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SISTEMAS ELECTRÓNICOS Y AUTOMÁTICOS

Tema 0

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE SISTEMAS. SISTEMAS CONTINUOS

1. INTRODUCCIÓN. CONCEPTO DE SISTEMA.

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE.

3. MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA. 3.1. Función de transferencia. 3.2. Respuesta impulsional. 3.3. Representación de sistemas no lineales.

4. ANÁLISIS DE SISTEMAS. 4.1. Sistemas de primer orden. 4.2. Sistemas de segundo orden.

5. SISTEMAS DE CONTROL. 5.1. Sistemas realimentados. 5.2. Acciones básicas de control.

Escuela Politécnica Superior de Elche

Ingeniería Industrial

Sistemas electrónicos y automáticos 2

1. INTRODUCCIÓN. CONCEPTO DE SISTEMA. Un sistema es un conjunto de elementos que funcionan juntos, el propósito de los cuales consiste en realizar una operación determinada. Las variables que definen el comportamiento de cada uno de estos elementos dependen de la evolución de las variables del resto de elementos. En general, denominaremos sistema a cualquier elemento que deseemos controlar, por ejemplo, un vehículo, un horno, un sistema de depósitos, etc.

En todo sistema existen variables que podemos modificar. Estas son las VARIABLES DE ENTRADA. Mediante su modificación podemos acceder al sistema y modificar otras variables del mismo. Asimismo, existen otras variables que pueden ser medidas. Estas son las VARIABLES DE SALIDA, y nos permiten conocer la evolución del sistema.

Un ejemplo podría ser un sistema de calefacción. Al programar una determinada temperatura deseada, el sistema se pone en marcha (se inyecta una determinada corriente, que será la variable de entrada), y la habitación comienza a calentarse. Este efecto no es inmediato, sino que el incremento de temperatura es gradual. Esta dinámica depende de muchos factores (que configuran el modelo del sistema). El efecto final es un incremento de temperatura en la habitación, medible, que será la salida del sistema.

De este modo, un sistema es un elemento transmisor de la información. Al modificar las entradas, el sistema comienza a evolucionar con una determinada dinámica, produciendo una modificación en las salidas.

Existen dos formas básicas de llevar a cabo el control de un sistema:

- SISTEMAS DE CONTROL REALIMENTADO (EN BUCLE CERRADO). En estos sistemas, se trata de minimizar el error entre una entrada de referencia y la salida. El control se realiza teniendo en cuenta este error. Un ejemplo sería el control de temperatura de una habitación. Midiendo la temperatura real, y comparándola con la deseada, el termostato activa o desactiva el equipo de calefacción o de enfriamiento.

- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO: En estos sistemas, la salida no tiene ningún efecto sobre la acción de control. Por ejemplo, una lavadora funciona con una base de tiempos, sobre la cual se ejecutan una serie de acciones de control, que siempre son las mismas independientemente de la salida (grado de limpieza de la ropa), que no es medida de ninguna forma. Otro ejemplo sería el control del tráfico mediante semáforos.

La realimentación es la forma más adecuada de controlar un sistema cuando existen perturbaciones impredecibles, ya que es más insensible a ellas. La siguiente figura muestra un ejemplo de un sistema de control de temperatura por ordenador, utilizando realimentación. Mediante un termómetro (sensor analógico) medimos la temperatura del horno. Dicha temperatura se convierte a una temperatura digital mediante un conversor A/D y se introduce en el ordenador mediante una interfaz. Esta temperatura digital se compara con la entrada programada, y si hay una discrepancia (error), el controlador envía una señal, que hace pasar una intensidad a través del calefactor para hacer que la temperatura del horno suba.




2. TRANSFORMADA DE LAPLACE: La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite resolver cómodamente las ecuaciones diferenciales lineales. Gracias a ella, como veremos más adelante, podemos usar técnicas gráficas para conocer el comportamiento del sistema sin necesidad de resolver las ecuaciones diferenciales del mismo.

La trasformada de Laplace consiste en realizar un cambio de variable (se pasa de una variable t real a una variable s compleja), utilizando la siguiente expresión:

( ) ( )sFtf ⎯⎯→⎯L

( )[ ] ( ) ( )∫∞

−⋅==0

dtetfsFtf stL

El proceso inverso se puede llevar a cabo mediante la siguiente expresión:

( )[ ] ( ) ( )∫∞+

∞−

− ⋅==jc

jc

stdtesFj

tfsFπ211L

Donde ( )sFtCs ,, ℜ∈∈ es una función de variable compleja y ( ) .00 <∀= ttf Habitualmente no se utilizan estas expresiones para calcular la transformada y la transformada inversa, sino que se usan las transformadas básicas que se muestran en el apartado 2.1. A partir de estas transformadas y de las propiedades de la transformada (apartado 2.2) podemos calcular la transformada de cualquier función de las que se usan habitualmente en teoría de sistemas.

Gracias a la trasformada de Laplace, es posible convertir funciones complicadas en el tiempo (senoidales, exponenciales…) en funciones algebraicas en s, operaciones complicadas en t (derivación, integración…) en operaciones algebraicas en el plano complejo, y ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas.

2.1. Transformadas básicas:

Impulso unitario ( ) ( ) 1=Δ⎯⎯→⎯ st Lδ

Escalón unitario ( ) ( )s

st 1111 =⎯⎯→⎯= L

Rampa unitaria ( ) ( ) 2

1s

sRttr =⎯⎯→⎯= L

( ) ( ) 1

!+=⎯⎯→⎯= n

n

snsFttf L

( ) ( )as

sFetf at

+=⎯⎯→⎯= − 1L

( ) ( )( )2

1as

sFettf at

+=⎯⎯→⎯⋅= − L

( ) ( )( ) 1

!+

−

+=⎯⎯→⎯⋅= n

atn

asnsFettf L




( ) ( ) ( ) 22sinω

ωω+

=⎯⎯→⎯=s

sFttf L

( ) ( ) ( ) 22cosω

ω+

=⎯⎯→⎯=s

ssFttf L

Donde un impulso unitario es una función que toma un valor muy grande para t=0, y nulo para el resto de instantes de tiempo.

Cabe tener en cuenta para que existan estas transformadas de Laplace, en todos los caso se debe cumplir ( ) .00 <∀= ttf

2.2. Propiedades de la transformada de Laplace: 1. Linealidad:

( ) ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftf 2121 ⋅+⋅=⋅+⋅ βαβαL

2. Diferenciación:

( ) ( ) ( )+−⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 0fsFs

dttdf

L

( ) ( ) ( ) ( ) K& −⋅−⋅−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+− 00 21 fsfssFsdt

tfd nnnn

n

L

3. Integración:

( ) ( ) ( )s

df

ssFdttf

t ∫∫

+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0

0

0

ττL

Donde el segundo término es nulo habitualmente. 4. Traslación en el tiempo:

( )[ ] ( )sFetf s ⋅=− ⋅−ααL En la siguiente figura se muestra una función f(t) original y la función trasladada en el tiempo.

5. Traslación en el dominio de Laplace:

( )[ ] ( )asFtfe at +=⋅−L

6. Teorema del valor inicial:

( ) ( ) ( )[ ]sFstffst

⋅==∞→→

+ limlim00




7. Teorema del valor final:

( ) ( )[ ]sFstfst

⋅=→∞→ 0

limlim

8. Transformada de la convolución de dos señales:

La operación de convolución de dos señales ( )tf1 y ( )tf2 se define de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) τττ dftftftft

20

121 * ⋅−= ∫

La transformada de Laplace de la convolución de dos señales es:

( ) ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftf 2121 * ⋅=L

2.3. Transformada inversa de Laplace: En teoría de sistemas, interesa conocer cómo calcular la trasformada inversa de Laplace cuando la función en el dominio de Laplace es un cociente de polinomios.

( ) ( )( )sBsAsF =

El método para realizar la transformada inversa consiste en la descomposición de la función en fracciones parciales. Tras ello, se debe convertir cada fracción al dominio del tiempo, utilizando la tabla de transformadas y las propiedades de la transformada de Laplace. A continuación se presentan varios ejemplos de cómo llevar a cabo este proceso:

Caso a) El denominador sólo tiene raíces reales:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21213 21

++

+=

+⋅++

=sa

sa

ssssF

Donde 1a y 2a se calculan con las siguientes expresiones:

( ) ( )[ ] 21 11 =⋅+= −=ssFsa

( ) ( )[ ] 12 22 −=⋅+= −=ssFsa

Una vez realizada la descomposición, se puede calcular la transformada inversa de forma sencilla mediante la tabla de transformadas de Laplace:

( ) ( ) ( ) ( ) tt eetfss

sF 222

11

2 −− −⋅=⎯⎯→⎯+−

++

= L

Caso b) El denominador tiene dos raíces complejas conjugadas:

( )52

1222 ++

+=

ssssF

Las raíces del denominador son: jsss 210522 ±−=⇒=++

La descomposición en fracciones parciales se puede llevar a cabo de forma idéntica al caso 1. Sin embargo, en este caso resulta más sencillo expandirlas en la suma de una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada. Para ello, recurriendo a la tabla de




transformadas de Laplace (transformadas de la función seno y coseno) y a la propiedad 5, las transformadas del seno y del coseno amortiguados quedan:

( )[ ]( ) 22sin

ωωω++

=⋅−

aste atL

( )[ ]( ) 22cos

ωω

+++

=⋅−

asaste atL

El denominador de la función que queremos descomponer se puede convertir al formato de la senoidal amortiguada de la siguiente forma:

( ) 222 2152 ++=++ sss

Teniendo en cuenta estas consideraciones, la F(s) dada se puede escribir como suma de una función seno y una función coseno amortiguadas en el dominio de Laplace:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) 2222222 21

1221

25211210

52122

+++

⋅+++

⋅=+++⋅+

=++

+=

ss

sss

ssssF

Con lo cual, ya hemos conseguido descomponer F(s) en suma del seno y del coseno amortiguados. La transformada inversa quedará entonces:

( ) ( ) ( )tetetf tt 2cos22sin5 ⋅⋅+⋅⋅= −−

Caso 3) El denominador tiene una raíz múltiple:

( )( )3

2

132

+++

=s

sssF

Cuando tenemos una raíz múltiple, la expansión en fracciones parciales tomará la forma:

( )( ) ( ) ( ) ( )3

32

213

2

111132

++

++

+=

+++

=s

as

asa

ssssF

Donde ,1a 2a y 3a se determinan sistemáticamente de la siguiente forma:

( ) ( )[ ] 21 13

3 =⋅+= −=ssFsa

( ) ( )[ ] 01!1

1

1

32 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅+=

−=s

sFsdsda

( ) ( )[ ] 11!2

1

1

32

2

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅+=−=s

sFsdsda

Por lo tanto, la expansión quedará:

( )( ) ( ) ( )33

2

12

11

132

++

+=

+++

=sss

sssF

Y la transformada inversa de Laplace:

( ) tt etetf −− ⋅+= 2




2.4. Solución de una ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace: La transformada de Laplace simplifica la resolución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes con el tiempo.

Cuando transformamos al dominio de Laplace cada término de la ecuación diferencial, se convierte en una ecuación algebraica en s, en la que podemos despejar la trasformada de Laplace de la variable que queremos despejar. La solución en el dominio del tiempo se obtendrá entonces calculando la transformada inversa de Laplace de dicha expresión.

Por ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación diferencial (con las condiciones iniciales):

( ) ( ) 10,20023 ===++ xxxxx &&&&

Cuando transformamos al dominio de Laplace (teniendo en cuenta la propiedad 2):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0203002 =⋅+−⋅⋅+−⋅−⋅ sXxsXsxxssXs &

Sustituyendo las condiciones iniciales y reordenando:

( ) ( ) 72232 +=⋅++ ssXss

( )23

722 ++

+=

ssssX

Para calcular x(t) hemos de hallar la transformada inversa de Laplace (mediante una descomposición en fracciones parciales):

( ) ( ) ( ) ( ) tt eetxssss

sss

ssX 22 35

23

15

2172

2372 −− −⋅=⎯⎯ →⎯

+−

+=

+⋅++

=++

+=

-1L




3. MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA: Modelo matemático Conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema.

Habitualmente, los sistemas se pueden describir como un sistema de ecuaciones diferenciales (obtenidas mediante el planteamiento de leyes físicas a los elementos del sistema: sistemas mecánicos, térmicos, eléctricos…).

Existen múltiples formas de modelar un sistema:

- Función de transferencia.

- Respuesta impulsional.

- Espacio de estados (es el tipo de modelo que se estudiará durante el curso).

3.1. Función de transferencia: La función de transferencia nos permite representar SISTEMAS LINEALES.

Un sistema es lineal si cumple el principio de superposición. Si al ser excitado con una entrada ( )tu1 el sistema responde con una salida ( )ty1 y al ser excitado con una entrada ( ),2 tu el

sistema responde con una salida ( );2 ty el sistema es lineal si al ser excitado con una

combinación lineal de las entradas ( ) ( ),21 tutu ⋅+⋅ βα el sistema responde con una salida

igual a la combinación lineal de las anteriores salidas: ( ) ( ).21 tyty ⋅+⋅ βα

Un sistema lineal se comporta según una ecuación diferencial lineal:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tubdt

tdubdt

tudbtyadt

tdyadt

tydadt

tyda mmm

m

nnn

n

n

n

+++=++++ −−−

−

1011

1

10 KK

Donde en sistemas físicos siempre ocurrirá que .nm ≤

Si transformamos la ecuación diferencial al dominio de Laplace (utilizando la propiedad 2, diferenciación) y suponiendo que las condiciones iniciales son nulas, llegamos a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUbssUbsUsbsYassYasYsasYsa mmm

nnnn +++=++++ −−−

1011

10 KK

Agrupando términos:

( ) ( )nn

nnmm

mm

asasasabsbsbsbsUsY

++++++++

⋅=−

−−

−

11

10

11

10

K

K

( ) ( ) ( )sGsUsY ⋅=

Siendo ( )sY la transformada de Laplace de la salida, ( )sU es la transformada de la entrada y

( )sG la FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA, que modela el comportamiento del sistema (en el dominio de Laplace).

La función de transferencia del sistema:

- Es un modelo matemático que permite expresar de forma sencilla el comportamiento de un sistema (contiene la misma información que la ecuación diferencial que relaciona la entrada y la salida del sistema).

- Es una propiedad del sistema. Es independiente de la entrada con que se excite el sistema.

- No proporciona información acerca de la estructura física del sistema.

- Puede establecerse sometiendo al sistema a varias entradas tipo y viendo como es la salida.




- Su estructura determina el comportamiento del sistema.

Asimismo, cabe destacar que para llegar a la relación ( ) ( ) ( ),sGsUsY ⋅= hemos supuesto que las condiciones iniciales del sistema eran nulas. En caso contrario, la función de transferencia no sería válida.

3.2. Respuesta impulsional: Cuando excitamos un sistema con una entrada impulso, la salida se denomina respuesta impulsional.

Donde la entrada impulso se modela mediante un pulso de duración τ y altura 1/τ, donde τ 0. El área bajo la función impulso es 1.

Cuando sometemos al sistema a una entrada cualquiera ( ),tu dicha entrada se puede

descomponer en una serie de pulsos, cada uno de los cuales tiene un área ( ) .τΔ⋅tu Dado que

estamos trabajando con sistemas lineales, la salida ante la entrada ( )tu se puede calcular como la suma de las respuestas impulsionales ante cada uno de los impulsos en los que hemos descompuesto ( ).tu

Matemáticamente, lo podemos expresar como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]∑∞

=

Δ⋅−⋅Δ⋅Δ⋅=

=+Δ−⋅Δ⋅Δ+Δ−⋅Δ⋅Δ+⋅Δ⋅=

0

220

iitgiu

tgutgutguty

τττ

τττττττ K

Si en la anterior suma hacemos 0→Δτ , llegamos a la siguiente integral:




( ) ( ) ( )∫∞

⋅−⋅=0

τττ dtguty

Dicha integral se denomina PRODUCTO DE CONVOLUCIÓN, y habitualmente se representa mediante la siguiente operación matemática (ver propiedad 8 de la transformada de Laplace): ( ) ( ) ( )tgtuty *=

Si transformamos esta expresión al dominio de Laplace (aprovechando la propiedad 8 de la transformada de Laplace): ( ) ( ) ( )sGsUsY ⋅=

Esta expresión que relaciona las transformadas de Laplace de la entrada y de la salida, es la misma a la que hemos llegado en el apartado anterior. Comparando ambas, llegamos a la conclusión de que la función de transferencia G(s) es la transformada de Laplace de la respuesta impulsional.

Por lo tanto, la respuesta a impulso es una forma alternativa de representar un sistema, y proporciona toda la información necesaria sobre el mismo. La función de transferencia y la respuesta impulsional contienen la misma información (se puede calcula la función de transferencia haciendo la transformada de Laplace de la respuesta impulsional y viceversa).

3.3. Representación de sistemas no lineales:

Tal y como se ha comentado en los apartados anteriores, la función de transferencia es un modelo válido únicamente si el sistema es lineal y las condiciones iniciales de todas las variables son nulas.

Aunque muchas relaciones físicas se representan mediante ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos, las relaciones reales no son verdaderamente lineales. Incluso los sistemas lineales lo son únicamente en un rango de operación determinado. Por ejemplo, los amortiguadores son lineales únicamente en operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional al cuadrado de la velocidad de operación. Otros componentes pueden presentar zonas muertas (rango de entradas en el que el sistema es insensible) y saturaciones.

En ingeniería de control, un sistema suele operar alrededor de un punto de equilibrio, en el que todas las variables toman valores constantes. Si el sistema opera en torno a un punto de equilibrio y las señales involucradas son pequeñas alrededor de ese punto, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal, que será equivalente al sistema completo en el entorno del punto de operación.

El proceso de linealización se basa en el desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto de operación, reteniendo sólo el término lineal y desechando los de orden superior (estos términos deben tener un valor pequeño para que el nuevo modelo lineal sea válido).

Consideremos un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t), y la relación entre ambas:

( )xfy =

Si partimos del un punto de equilibrio en el que las variables toman el valor xx = e ,yy = al expandir en serie de Taylor alrededor de este punto y retener sólo el término lineal obtendremos:

( ) ( ) ( )xxkyxxdxdfxfy

xx

−⋅+=−⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=

=




donde xxdx

dfk=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= .

La ecuación puede reescribirse como:

( )xxkyy −⋅=−

Donde podemos definir las variables incremento:

xxxyyy

−=Δ−=Δ

Estas variables indican el incremento de la salida y de la entrada respecto al punto de equilibrio. Con estas nuevas variables, la relación es:

xky Δ⋅=Δ

Lo cual indica que yΔ e xΔ tienen una relación lineal. De este modo, hemos pasado a un nuevo sistema lineal, equivalente al inicial en el entorno del punto de equilibrio. Cabe destacar que las nuevas variables yΔ e xΔ siempre tienen condiciones iniciales nulas ( 0=Δ=Δ xy para 0=t ).

Mediante este procedimiento (linealización y definición de variables incremento respecto al punto de equilibrio), hemos conseguido convertir un sistema no lineal y con condiciones iniciales cualesquiera en un sistema lineal y con condiciones iniciales nulas, por tanto, podremos representarlo mediante una función de transferencia (válida únicamente en el entorno del punto de equilibrio).

Consideremos ahora un sistema no lineal cuya salida es función de dos entradas x1(t) y x2(t).

( )21, xxfy =

Si partimos del punto de 11 xx = , 22 xx = e ,yy = al expandir en serie de Taylor alrededor de este punto y retener sólo el término lineal obtendremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222111222

111

21

2111

2111

, xxkxxkyxxxfxx

xfxxfy

xxxx

xxxx

−⋅+−⋅+=−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+===

==

Finalmente, definiendo las variables incremento:

2211 xkxky Δ⋅+Δ⋅=Δ

La técnica de linealización es válida alrededor del punto de equilibrio. Si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse las expresiones no lineales. Un determinado modelo matemático del sistema puede representarlo muy bien en ciertas condiciones de operación, pero puede no ser preciso para otras.




4. ANÁLISIS DE SISTEMAS: El análisis de sistema consiste en excitar el sistema con señales de entrada normalizadas y estudiar su salida. Las señales habituales y sus transformadas de Laplace son:

- Impulso δ(t) Δ(s) = 1.

El impulso se representa mediante un pulso de duración τ y altura 1/τ, donde τ 0.

- Escalón unitario u(t) = 1 U(s) = 1/s.

- Rampa unitaria r(t) = t R(s) = 1/s2.

El comportamiento del sistema depende de su función de transferencia:

( )nn

nnmm

mm

asasasabsbsbsbsG

++++++++

=−

−−

−

11

10

11

10

K

K

Donde en los sistemas causales, siempre ocurrirá .mn ≥

Al igualar el denominador de la función de transferencia a cero, obtenemos la ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DEL SISTEMA. Sus raíces se denominan POLOS DEL SISTEMA (pi).

011

10 =++++ −−

nnnn asasasa K

Por su parte, las raíces del numerador se conocen como CEROS DEL SISTEMA (zi).

011

10 =++++ −−

mmmm bsbsbsb K

En sistemas causales, el número de polos siempre es mayor o igual al número de ceros.

La dinámica del sistema depende totalmente del valor de estos polos o ceros. Si expresamos el numerador y el denominador de la función de transferencia en factores simples, aparecerán explícitamente los ceros y polos del sistema:

( )( )

( )∏

∏−

=

−

=

−

−= 1

0

1

0n

ii

m

ii

ps

zssG

Donde los polos y ceros serán números complejos, que podemos representar en el plano complejo de la siguiente forma.




En este tipo de representación, existirá simetría respecto al eje real, dado que las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados.

4.1. Sistemas de primer orden.

Los sistemas de primer orden responden a una ecuación diferencial del tipo:

( ) ( ) ( )tubtyadt

tdy⋅=⋅+

Si transformamos dicha ecuación al dominio de Laplace:

( ) ( ) ( )sUbsYasYs ⋅=⋅+⋅

Operando, podemos obtener la función de transferencia del sistema:

( ) ( ) ( )as

bsGsUas

bsY+

=⇒⋅+

=

Se puede observar que la función de transferencia posee un polo en s=-a. Habitualmente, la función de transferencia se expresa en el siguiente formato.

( )Ts

kas

bsG+

=+

=1

Gráficamente, el diagrama de bloques sería:

Donde k=b/a y T=1/a, son parámetros cuyo sentido físico se estudia más adelante. k es la GANANCIA ESTÁTICA del sistema y T la CONSTANTE DE TIEMPO.

Respuesta impulsional:

Como se ha comentado en el apartado anterior, la respuesta impulsional es la transformada inversa de la función de transferencia:

( ) ( ) ( ) ( ) tTat e

TkebtgtysGsY

1−− ⋅=⋅==⇒=

Gráficamente, si a>0 (es decir, si el polo es negativo), se trata de una exponencial decreciente que tiende a 0.




Si a<0 (el polo se encuentra en el semiplano real positivo), la exponencial sería creciente (sistema inestable).

Respuesta escalón:

La respuesta ante escalón en el dominio de Laplace, teniendo en cuenta que la señal escalón tiene como transformada de laplace U(s) = 1/s, será:

( ) ( ) ( ) ( )sas

bsYsUsGsY 1⋅

+=⇒⋅=

Si descomponemos en fracciones simples y calculamos la transformada inversa de Laplace:

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=−⋅=⇒⇒

+−

+=⋅+

=⋅−⋅− t

Tta ekeabty

asab

sab

sasbsY

1

111

Si representamos esta señal gráficamente.

De este modo, observamos como la ganancia del sistema, k, es una constante que ejerce un efecto multiplicador sobre la entrada (la salida ante escalón unitario tiende a un valor k), y la constante de tiempo (T) indica la rapidez con que el sistema responde ante entrada escalón. Cuanto mayor es T, más lento tiende el sistema hacia el valor final. En t=T, el sistema ha evolucionado hasta el 63.2% de su valor final. Por último, la pendiente en el origen toma un valor k/T.

Conviene observar sobre las respuestas anteriores como cumplen las propiedades de Laplace. La respuesta impulsional se puede calcular a partir de la respuesta escalón multiplicando por s. Dado que esto equivale a la operación de derivación en el dominio del tiempo, la respuesta impulsional debe ser la derivada de la respuesta escalón, y la respuesta escalón se puede calcular como la integral de la respuesta impulsional. A la vista de las expresiones obtenidas, se puede comprobar como se cumplen estas propiedades.




Asimismo, se puede observar como el sistema es estable sólo si a>0, es decir, si el polo del sistema es negativo (se encuentra sobre la parte negativa del eje real). En caso contrario, tanto la respuesta impulsional como la respuesta ante escalón tenderían a infinito.

Sistemas de primer orden con cero:

La forma de la función de transferencia en estos sistemas es:

( ) ( )Ts

sksG++

=11 τ

Donde además del polo en s=-1/T, hay un cero en s=-1/τ. Esta función de transferencia se puede descomponer en:

( ) ( ) ( ) ( )sGsGTs

ksTs

kTs

sksG 211111

+=+

⋅++

=++

= ττ

Por tanto, la salida del sistema de primer orden con cero, se puede calcular como la superposición (suma) de las salidas de los dos sistemas anteriores.

Cuando la entrada es un escalón unitario, el primer sistema responde según la gráfica mostrada en el apartado anterior (respuesta ante escalón unitario de un sistema de primer orden. En cuanto al segundo sistema, dado que ( ) ( )sGssG 12 ⋅⋅= τ , su respuesta ante escalón será la derivada de la respuesta del primer sistema, multiplicada por τ (multiplicar por s en el dominio de Laplace equivale a derivar en el dominio del tiempo). Gráficamente, estas respuestas tendrán la forma:




La suma de estas dos respuestas dará lugar a una gráfica de la forma:

En cualquier caso se observa que, ante una entrada en la que hay un salto brusco (escalón unitario), se produce un salto brusco en la salida. Esto siempre va a ocurrir cuando el grado del numerador de la función de transferencia sea igual al grado del denominador. Si el grado del denominador es mayor, la respuesta siempre será continua aunque la entrada varíe bruscamente.

4.2. Sistemas de segundo orden.

Los sistemas de segundo orden responden a una ecuación diferencial del tipo:

( ) ( ) ( ) ( )tuctybdt

tdyadt

tyd⋅=⋅+⋅+2

2

Si transformamos al dominio de Laplace suponiendo condiciones iniciales nulas:

( ) ( ) ( ) ( )sUcsYbsYsasYs ⋅=⋅+⋅⋅+⋅2

De donde podemos despejar la función de transferencia del sistema:

( ) ( ) ( )bsas

csGsUbsas

csY+⋅+

=⇒⋅+⋅+

= 22

Esta expresión representa a un sistema de segundo orden, dado que el denominador es un polinomio de segundo grado (el sistema tiene 2 polos). Asimismo, en este caso, el sistema no tiene ningún cero.

Habitualmente, en lugar de usar a, b y c, se usan otros parámetros que tienen sentido físico, quedando la función de transferencia:

( ) 22

2

2 2 nn

n

ssk

bsascsG

ωζωω

++=

+⋅+=

Donde:

k Ganancia estática. Su significado es el mismo que en sistemas de primer orden (factor multiplicador sobre la entrada).

ζ Coeficiente de amortiguamiento.




nω Frecuencia natural (no amortiguada).

La respuesta de este sistema depende del valor de estos parámetros.

Los polos del sistema se pueden obtener a partir de la ecuación característica:

102 222 −±−=⇒=++ ζωζωωζω nnnn sss

Donde dependiendo del valor del coeficiente de amortiguamiento, pueden darse tres casos:

Si 1>ζ 2 polos reales. SISTEMA SOBREAMORTIGUADO.

Si 1=ζ 1 polo real doble. SISTEMA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO.

Si 1<ζ 2 polos complejos conjugados. SISTEMA SUBAMORTIGUADO.

Pasamos ahora a describir el comportamiento de cada uno de estos tipos de sistemas:

a) SISTEMA SOBREAMORTIGUADO 1>ζ :

Un sistema de segundo orden sobreamortiguado tiene dos polos reales 1p y ,2p por lo tanto, la función de transferencia tomará la forma:

( ) ( )( )21

2

22

2

2 pspsk

ssksG n

nn

n

−−=

++=

ωωζω

ω

La respuesta impulsional de este sistema será la transformada inversa de la función de transferencia. Si la descomponemos en fracciones parciales:

( ) ( )( ) ( ) ( )2121

2

psB

psA

pspsksG n

−+

−=

−−=

ω

Donde 1,1, 22

21

21

2

−−−=−+−=−

=−= ζωζωζωζωωnnnn

n pppp

kBA

La respuesta de este sistema es, por tanto, la superposición de la de dos sistemas de primer orden ( ) tptp eAeAtg 21 ⋅−⋅= . Gráficamente, se puede representar de la siguiente forma:




La integral de esta respuesta, será la respuesta ante escalón unitario. Dicha respuesta tendrá la forma:

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⋅−⋅⋅=⋅−⋅= ∫

21

21

210

212111

ppppe

pe

pAdeAeAty pp

tpp ττττ τ

Se puede demostrar que y(0) = 0, y que ( ) ktyt

=∞→

lim , por lo tanto, gráficamente:

En ambas respuestas se puede comprobar como el sistema es estable sólo si los polos son negativos (p1, p2 < 0).

b) SISTEMA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO 1=ζ :

Un sistema de segundo orden críticamente amortiguado tiene un polo real doble en np ω−= . Su función de transferencia será de la forma:

( )( )2

2

psksG n

−=

ω

La respuesta impulsional del sistema será la transformada inversa de Laplace:

( ) tn

ntektg ωω −= 2

La respuesta ante escalón será la integral de la anterior, y se puede deducir que tendrá la forma:

( ) ( )[ ]11 +−= − tekty ntn ωω

Si lo representamos gráficamente, la evolución será muy similar a la de un sistema sobreamortiguado. La diferencia es que un sistema críticamente amortiguado es más rápido que un sistema sobreamortiguado. En un mismo sistema, al disminuir el coeficiente de amortiguamiento, la respuesta se hace más rápida (la salida alcanza más rápidamente el valor final ante entrada escalón unitario).




c) SISTEMA SUBAMORTIGUADO 1<ζ :

Un sistema de segundo orden subamortiguado tiene dos polos complejos conjugados:

( ) 22

2

2 nn

n

ssksG

ωζωω

++=

Los polos estarán situados en:

dnnnn jjsss ωσζωζωωζω ⋅±=−±−=⇒=++ 222 102

Donde σ es la parte real y dω es la parte imaginaria, que se conoce como FRECUENCIA AMORTIGUADA. Gráficamente, los polos están situados sobre el plano complejo de la siguiente forma:

Donde .arccoscos ζθζθ =⇒=

La respuesta a impulso se puede calcular como la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia:

( ) ( )tektg dtn ω

ζ

ω σ sin1 2

⋅⋅−

⋅= ⋅

Gráficamente, se trata de un senoidal amortiguada cuya frecuencia es dω , que se representa

de la siguiente forma (cuando 0<σ ):

A continuación se muestra la evolución ante entrada impulso para diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento:




Se observa como cuanto menor es ζ , más tarda el sistema en estabilizarse en torno a 0 (sistema más oscilante) y mayor es la frecuencia de oscilación. Para 1=ζ (sistema críticamente amortiguado), el sistema deja de ser oscilante y tiende a 0 directamente.

La respuesta ante escalón unitario tendrá la siguiente forma:

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅⋅−⋅= ⋅ θω

ωω σ tekty d

t

d

n sin1

Gráficamente, (cuando 0<σ ):

De nuevo se trata de una respuesta oscilante, que comienza en las condiciones iniciales (cero) y se estabiliza en torno a un valor k (ganancia del sistema) después de un proceso oscilatorio decreciente de frecuencia .dω

En ambas respuestas hemos llegado a la conclusión de que el sistema es estable sólo si 0<σ . En caso contrario, aparece un término exponencial creciente que hace tender la

respuesta a infinito. Después de todos los análisis realizados, podemos llegar a la siguiente conclusión general: un sistema es estable sólo si todos sus polos tienen parte real negativa. Si algún polo tiene parte real positiva, el sistema es inestable.

La respuesta de un sistema de segundo orden sobreamortiguado ante escalón unitario, se caracteriza mediante los siguientes parámetros:




Tiempo de respuesta: Es el tiempo que la respuesta tarda en alcanzar por primera vez el valor final (k):

ndrt ωω

θπ 5.1≈

−=

El tiempo de respuesta depende de la frecuencia natural no amortiguada, que es el módulo de los polos del sistema. Por tanto, el tiempo de respuesta depende de la distancia de los polos al origen, tal y como se muestra en la siguiente figura:

Sobreoscilación: Es la diferencia entre el valor máximo de la respuesta y el valor final. Esta diferencia se suele expresar en tanto por cien. Suponiendo que el máximo se alcance en el instante :pt

dpt

ωπ

= ( ) ( )

( ) ( ) ( )%100%100 ⋅=⋅∞

∞−= − θπ tgp

p ey

ytyM

La sobreoscilación depende de θtg , donde .arccosζθ = Los sistemas cuyos polos están sobre una recta que pasa por el origen tienen el mismo factor de amortiguamiento y, por tanto, la misma sobreoscilación, tal y como se muestra en la siguiente figura. Cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento, mayor es la sobreoscilación.




Tiempo de establecimiento: Es el instante de tiempo a partir del cual la respuesta oscila en un entorno del %5± del valor final. A partir de este instante se considera que el sistema ha pasado al régimen permanente (la respuesta es estable).

σπ

≈st

El tiempo de establecimiento depende únicamente de ,σ que es la parte real de los polos. Cuanto más alejados están los polos del eje imaginario, menor es el tiempo de establecimiento y, por tanto, más rápido es el sistema.

Análisis de la posición de los polos:

Las siguientes figuras resumen los conceptos estudiados para sistemas de primer orden. En ellas, se muestra la respuesta ante escalón unitario de diferentes sistemas de segundo orden, en los que cambia el factor de amortiguamiento.

En primer lugar, cuando 1>ζ (sistema sobreamortiguado), los dos polos son reales y se sitúan sobre el semieje real negativo. La respuesta adopta la siguiente forma:

Cuando 1=ζ (sistema críticamente amortiguado), existe un polo real doble, situado sobre el semieje real negativo. La respuesta es:

Cuando 10 << ζ (sistema subamortiguado), los dos polos son complejos conjugados, con parte real negativa. La respuesta ante escalón es:




Un sistema con 0=ζ se denomina marginalmente estable. Sus polos son imaginarios puros, y responde con una senoidal que no se amortigua, de la siguiente forma:

Los sistemas con 0<ζ , tienen polos con parte real positiva. En este caso, el sistema no es estable, y la respuesta ante escalón unitario tiende a infinito.

Esta información se resume en la siguiente figura, donde se muestra la evolución de un sistema de segundo orden dependiendo del valor del coeficiente de amortiguamiento.




Ceros adicionales:

Dada la función de transferencia de un sistema de segundo orden:

( ) 22

2

2 nn

n

ssksG

ωζωω

++=

Supongamos que añadimos un cero a dicha función de transferencia, de forma que la nueva función de transferencia queda:

( ) ( ) ( )sGsTsG z ⋅⋅+= 1'

Donde se ha añadido un cero en .1 zTs −=

La función de transferencia se puede descomponer como la suma:

( ) ( ) ( )sGsTsGsG z ⋅⋅+='

Si quisiéramos representar la respuesta ante escalón unitario de este nuevo sistema, a la vista de la expresión anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGTssG

ssGsUsGsY z ⋅+==⋅=

''

Donde el término 1 es la respuesta ante escalón del sistema original, y el segundo término es la respuesta impulsional (amplificada un factor zT ). Gráficamente:

Observamos como la nueva respuesta del sistema tiene una mayor sobreoscilación. Asimismo, el sistema se hace más rápido (el tiempo de subida es menor).

En general, añadir un cero el sistema se hace más rápido y más oscilatorio. Este efecto es mayor cuanto más grande es zT , por tanto, cuanto más cercano al origen se encuentra dicho cero.

En general, si σ⋅> 61

zT, consideraremos despreciable el efecto del cero, y lo podremos

eliminar para simplificar la función de transferencia del sistema.




Polos adicionales:

Si añadimos un polo a la función de transferencia de un sistema de segundo orden:

( ) ( )( )sT

sGsGp ⋅+

=1

''

Donde se ha añadido un polo en .1 pTs −=

Este cambio supondría tener dos sistemas en serie con el siguiente formato:

Donde se ha representado la respuesta ante escalón. Se observa que cuando la entrada es un escalón unitario, el sistema de primer orden devuelve una respuesta en la que se suaviza dicho escalón, por tanto, la respuesta final del sistema será una respuesta más lenta y con menor sobreoscilación.

Cuanto más cerca del origen esté el polo, mayor será esta ralentización del sistema. Si el polo está muy lejos del origen, se puede despreciar su efecto. En la siguiente figura se muestra la respuesta del sistema dependiendo del valor de .pT

En general, si σ⋅> 61

pT, consideraremos despreciable este efecto. De forma general, los

polos dominantes son los que se encuentran más cercanos al origen. Si el resto de polos se encuentran lo suficientemente alejados, puede considerarse despreciable su efecto y la dinámica del sistema vendrá determinada por la posición de los polos más cercanos al origen.

Cuando tenemos un sistema de orden mayor a 2, es importante establecer guias para discernir entre los polos dominantes (que determinan la dinámica del sistema) y los insignificantes. En la




siguiente figura se muestra este concepto. Los polos que están cercanos al eje imaginario en el semiplano izquierdo provocan respuestas lentas (polos dominantes) mientras que los lejanos provocan respuestas rápidas. En la práctica, se considera como distancia D de separación entre regiones, al menos 5 veces la parte real del polo dominante más lejano del eje imaginario.




5. SISTEMAS DE CONTROL.

- Sistemas en lazo abierto: La salida no afecta a la acción de control. Ocurre por ejemplo en una lavadora, que funciona aplicando varias acciones de control según una base de tiempos, y no afecta el grado de suciedad de la ropa (que no se mide de ninguna forma). Los sistemas en lazo abierto no responden correctamente en presencia de perturbaciones, puesto que no se conoce la evolución de la salida.

- Sistemas en lazo cerrado o realimentados: Comparan la entrada con la salida y usan la diferencia para calcular la acción de control. Por ejemplo, en un sistema con aire acondicionado se mide constantemente la temperatura de la habitación. En caso de bajar de la temperatura deseada, un termostato detiene la máquina, y cuando la temperatura asciende por encima de lo deseado, el termostato se encarga de volver a encenderla. Este tipo de control se muestra más insensible ante perturbaciones externas.

El siguiente esquema muestra un sistema realimentado.

En el ejemplo de un sistema de control de temperatura, U(s) sería la entrada de referencia, en este caso, un voltaje que indicaría la temperatura deseada, Y(s) es la temperatura de la habitación y H(s) es un sensor que mide la temperatura de la habitación y la convierte a voltaje, para poder compararla con la entrada.

A partir de este diagrama de bloques, podemos obtener la función de transferencia en lazo cerrado, que es la función de transferencia que relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGsHsYsGsUsGsHsYsUsGsEsY ⋅⋅−⋅=⋅⋅−=⋅=

( )( )

( )( ) ( )sGsH

sGsUsY

⋅+=

1

5.1. Sistemas realimentados:

En este apartado vamos a calcular la respuesta en régimen permanente de sistemas con realimentación unitaria. La respuesta en régimen permanente es el valor de la salida para tiempos muy grandes. El objetivo de la realimentación, habitualmente, consiste en conseguir que la salida del sistema siga a una determinada entrada (con un error nulo). De este modo, vamos a estudiar como la realimentación contribuye a este efecto:




Error = Salida Deseada – Salida Real ( ) ( ) ( ) ( )teetctrtetrp ∞→

=⇒−=⇒ lim

La función de transferencia en bucle cerrado del sistema es:

( ) ( )( )

( )( )sGsG

sRsCsM

+==

1

La función de transferencia que relaciona el error con la entrada de referencia:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )sGsGsG

sRsCsR

sRsEsW

+=

+−=

−==

11

11

Por tanto, el error puede calcularse en función de la referencia como:

( ) ( )( )sG

sRsE+

=1

Para calcular el error en régimen permanente, podemos el teorema del valor final de la transformada de Laplace (propiedad 7):

( ) ( )( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=⋅==→→∞→ sG

sRssEsteesstrp 1limlimlim

00

Supongamos que la función de transferencia tiene la siguiente estructura:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )spspsps

sasasaksGn

rm

+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

=111

111

21

21

K

K

Siendo r el TIPO DEL SISTEMA (r es el número de polos en el origen, en s=0).

Dicha función posee m ceros y n polos (además de los r polos en el origen).

Calculemos ahora el error ante diversas entradas tipo.

Error de posición: Es el error ante entrada escalón, R(s) = 1/s.

( )( ) ( ) p

ssrp ksGsGsRse

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=→→ 1

11

1lim1

lim00

Donde )0(Gkp =

- Sistema de tipo 0: k

erp +=

11

- Sistema de tipo 1 o mayor: 0=⇒∞= rpp ek




Por tanto, cuando tenemos un sistema con un polo en el origen (o más), al realimentar dicho sistema unitariamente, el error ante entrada escalón es nulo.

Cuando una función de transferencia tiene un polo en el origen, también decimos que el sistema tiene un INTEGRADOR (un factor 1/s).

Error de velocidad: Es el error ante entrada rampa, R(s) = 1/s2.

( )( ) ( ) v

ssrp ksGsssGsRse 11lim

1lim

00=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=→→

Donde )(lim0

sGsksv ⋅=→

- Sistema de tipo 0: ∞=⇒= rpv ek 0

- Sistema de tipo 1: k

ekk rpv1

=⇒=

- Sistema de tipo 2 o mayor: 0=⇒∞= rpv ek

Por tanto, cuanto mayor es el tipo de sistema (mayor número de integradores), mejor seguimiento presenta ante la entrada.

Cabe destacar que estas deducciones se han realizado con un sistema realimentado unitariamente, y no tienen porque cumplirse si existe un bloque de realimentación H(s) distinto a 1.

Comparación entre bucle abierto y bucle cerrado:

Supongamos que tenemos un sistema de primer orden ( )Ts

ksG+

=1

, y que le añadimos un

bloque constante para conseguir que el error ante entrada escalón sea nulo:

Veamos cuanto debe valer ck para que el error sea nulo:




( ) ( ) ( )tctrte −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sGksRsCsRsE c⋅−⋅=−= 1

El error en régimen permanente ante entrada escalón unitario (U(s) = 1/s) será:

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) kksGksGks

ssGksRse ccscscsrp ⋅−=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅=

→→→11lim11lim1lim

000

Si calculamos el valor de kc de forma que kc·k = 1, entonces conseguiremos que el error en régimen permanente sea nulo. Por lo tanto, en principio, no es necesario realimentar el sistema para conseguir eliminar el error en régimen permanente, basta con añadir y seleccionar adecuadamente el valor de kc.

Sin embargo, si hemos cometido un error durante el modelado del sistema, y en realidad el valor de k es k+Δk. Suponiendo que k=10 y que Δk = 1:

( ) 1.01110111 −=⋅−=Δ+⋅−= kkke crp

Por tanto, un error en el modelo del sistema provocaría la no eliminación del error en régimen permanente.

Si en lugar de en bucle abierto, hubiéramos realimentado unitariamente el sistema:

( )( ) ( ) p

ssrp kksGsGsRse

⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=→→ 1

11

1lim1

lim00

Si elegimos kp de forma que el producto k·kp tome un valor muy elevado, podemos conseguir que el error en régimen permanente sea prácticamente nulo (por ejemplo, si k=10 podemos tomar kp=10)

Sin embargo, si hemos cometido un error durante la construcción del modelo (supongamos que k=10 y Δk = 1, kp=10)

009.010111

11

1=

⋅+=

⋅+=

prp kk

e

Vuelve a haber error, pero es mucho menor que el que se producía en bucle abierto. De este modo, vemos como en igualdad de condiciones, la realimentación compensa posibles errores en el modelo del sistema, perturbaciones, etc.




5.2. Acciones básicas de control.

Como se ha estudiado en el apartado anterior, el hecho de realimentar negativamente un sistema le dota de robustez ante errores de modelado y perturbaciones externas.

Habitualmente, deseamos que la salida cumpla unas determinadas especificaciones de comportamiento. Cuando estas especificaciones se dan en el dominio del tiempo, pueden ser de dos tipos:

- Especificaciones del transitorio: Kprp ttM ,,

- Especificaciones del régimen permanente. Kket rps ,,

Para conseguir estas especificaciones, habitualmente se añade un regulador antes del sistema G(s).

El controlador detecta la señal de error, la amplifica y alimenta a un actuador (un motor, una válvula neumática…), que produce la entrada a la planta con el objetivo de que la salida se aproxime a la entrada de referencia.

En teoría clásica, los tipos de acciones de control que se suelen añadir son:

Regulador P (proporcional).

( ) RksR =

Este regulador simplemente amplifica el error. Cuanto mayor es el error, mayor será la acción correctora para tratar que el sistema siga a la referencia. Eligiendo correctamente el valor del regulador, podemos eliminar el error en régimen permanente ante escalón unitario. Sin embargo, si se produce alguna perturbación o error en el modelo de la planta, como se ha mostrado en el apartado anterior, habrá un cierto error en régimen permanente.

Supongamos que añadimos un regulador proporcional a un sistema de segundo orden tal y como se muestra en la figura anterior. La respuesta será tal y como se muestra en la siguiente gráfica. Vemos como la respuesta presenta una gran sobreoscilación y es muy oscilatoria. También se muestra sobre dicha gráfica la señal de error (diferencia entre la entrada escalón unitario y la salida). Supongamos además que nuestro sistema es un motor, la señal de




referencia es un voltaje que indica la posición deseada (sea cual sea su posición inicial, el motor debe girar y detenerse en la posición de referencia que se le indica) y la acción de control es el par que el controlador inyecta en el motor para hacerlo girar.

Veamos por qué la respuesta con un regulador P toma esta forma:

- En el intervalo ,0 1tt << el valor del error es muy grande, por lo tanto, el controlador suministra una fuerte acción correctora, que provoca que el sistema supere la referencia (sobreoscilación). El par inyectado en el motor es muy grande, y este supera la posición deseada.

- En el intervalo ,31 ttt << el error es negativo, y la acción de control (el par) también lo será. Este par tiende a reducir la aceleración de salida, provocando que la dirección de giro se invierta y tenga un sobrepaso negativo.

Este comportamiento se repite, con oscilaciones cada vez menores, hasta que el sistema se estabiliza en torno al valor final.

Regulador PD (proporcional-diferencial).

El regulador PD suministra una acción de control proporcional al error y a su derivada. La acción derivativa aumenta la sensibilidad del controlador, ya que responde a la velocidad de cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Por tanto, el control derivativo prevé el error, ejerce una acción correctiva y tiende a aumentar la estabilidad del sistema.

Si e(t) es la entrada al controlador y u(t) su salida (acción de control):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]sTksRsEsTksEksUdt

tdeTktektu

dRdRR

dRR

+⋅=⇒⋅⋅⋅+⋅=

⋅⋅+⋅=

1

Donde: Td = constante de tiempo derivativa.

Si al mismo sistema del apartado anterior le añadimos un controlador PD:




Antes de añadir el regulador, la función de transferencia completa del sistema es:

( ) ( )( ) 22

2

2 nn

n

sssRsCsG

ωζωω

++==

Al añadir el regulador, el sistema queda:

( ) ( )( )

( )( ) 222

2

21

nRndRn

dRnPD ksTks

sTksRsCsG

ωωζωω

++++

==

Con lo cual, el efecto del regulador es el de añadir un cero al sistema y cambiar la ubicación de los polos del mismo (por tanto, cambiará su dinámica).

Para entender el funcionamiento de este regulador, supongamos que la salida evoluciona de la siguiente forma. En la misma gráfica se muestra la evolución del error y de su derivada.

- En el intervalo ,0 1tt << el error es positivo y la derivada del error es negativa. Esto reducirá el par original desarrollado debido al error solo (el desarrollado sólo con controlador P). De este modo, se reducirá la sobreoscilación. Dado que el error está disminuyendo, el sistema está evolucionando correctamente y se puede reducir la acción de control para reducir la sobreoscilación.

- En el intervalo ,21 ttt << tanto el error como su derivada son negativos, por lo tanto, el par negativo desarrollado será más grande que sólo con el control proporcional. Dado que el error está creciendo, es necesario aumentar la acción de control para hacer tender la salida hacia la referencia deseada.

De este modo, hemos conseguido disminuir las sobreoscilaciones positivas y negativas del sistema y aumentar su estabilidad. El control derivativo no afectará al error en estado estable del sistema si dicho error es constante (la derivada es cero y la acción derivativa no actuará).




Regulador I (integral).

Si e(t) es la entrada al controlador y u(t) su salida (acción de control):

( ) ( )

( ) ( ) ( )i

ii

t

i

TssksRsE

sksU

dektu

⋅==⇒⋅=

⋅= ∫1

0

ττ

Donde: Ti = constante de tiempo integral.

Dado que un regulador integral añade un integrador al sistema original, dicho regulador permite eliminar el error en régimen permanente cuando tenemos realimentación unitaria.

Dado que la acción de control es en todo momento el área bajo la curva del error hasta dicho momento, la señal de control u(t) será diferente a cero aun cuando el error el error sea nulo. De forma intuitiva, si estamos controlando un horno, al llegar a la temperatura deseada debemos seguir inyectando una corriente para evitar que la temperatura baje (compensando las pérdidas de calor). Si al llegar a la temperatura deseada apagáramos el horno (esto es lo que ocurriría con un control P), se perdería pronto el punto de consigna.

Regulador PI (proporcional-integral).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅=⇒

⋅⋅

+⋅=

+⋅= ∫

110

sTksR

sTsEksEksU

deTktektu

iR

i

RR

t

i

RR ττ

Al añadir un controlador de este tipo:

De nuevo, al añadir el control PI, se añade un integrador al sistema en bucle abierto y se elimina el error en régimen permanente ante entrada escalón unitario.

Sin embargo, si obtuvieramos la función de transferencia global del sistema, veríamos como se ha convertido en un sistema de tercer orden que puede ser inestable si no se eligen correctamente las constantes del regulador.




Regulador PID (proporcional-integral-diferencial).

Como ya se ha visto anteriormente, el controlador PD puede añadir amortiguamiento a un sistema, pero no afecta a la respuesta en estado estable. Por su parte, el controlador PI puede mejorar el error en régimen permanente. El controlador PID utiliza las tres acciones de control comentadas anteriormente, tratando de aprovechar las ventajas de cada uno.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅=⇒⋅⋅⋅+

⋅⋅

+⋅=

⋅⋅++⋅= ∫

sTsT

ksRsEsTksTsEksEksU

dttdeTkde

Tktektu

di

RdRi

RR

dR

t

i

RR

11

0

ττ

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