vigas de gran altura. ménsulas. distribución no lineal de deformaciones y modelo de puntales y...
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HORMIGÓN II
Unidad 10:
VIGAS DE GRAN ALTURA. MÉNSULAS. DISTRIBUCIÓN NO LINEAL DE DEFORMACIONES
Y MODELO DE PUNTALES Y TENSORES.
Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.
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CONTENIDO.
1 INTRODUCCIÓN. 2 DISEÑO CONSIDERANDO COMPORTAMIENTO NO LINEAL.
2.1 DISEÑO A FLEXIÓN. 2.1.1 VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS. 2.1.2 VIGAS CONTINUAS.
2.2 DISEÑO AL CORTE.
2.3 INTRODUCCIÓN DE CARGAS CONCENTRADAS. 2.4 EJEMPLO N
o1.
2.5 EJEMPLO No2.
3 MÉNSULAS CORTAS. 3.1 COMPORTAMIENTO. 3.2 MECANISMO DE FALLA. 3.3 PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO. 3.3.1 HIPÓTESIS DE CORTE POR FRICCIÓN. 3.3.2 MODELO DE BIELA DE COMPRESIÓN. 3.4 EJEMPLO N
o 3. DISEÑO DE MÉNSULA CORTA.
4 MODELO DE BIELAS: PUNTAL Y TENSOR. 4.1 INTRODUCCIÓN. 4.2 MODELO DEL RETICULADO. 4.3 MODELO DEL PUNTAL Y TENSOR. 4.4 APLICACIÓN DEL MODELO DEL PUNTAL Y TENSOR. C-201-05. 4.4.1 ECUACIÓN DE DISEÑO. 4.4.2 RESISTENCIA DE LOS PUNTALES. 4.4.3 RESISTENCIA DE LOS TENSORES. 4.4.4 RESISTENCIA DE ZONAS NODALES. 4.5 EJEMPLO N
o 4: DISEÑO DE UNA VIGA POR EL MÉTODO DE PUNTAL Y
TENSOR. 5 BIBLIOGRAFÍA.
Filename Emisión 1
T10-VIGAS granALTURA ENE 2009
Páginas 52
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1. INTRODUCCIÓN. En ref.[1] se cataloga como vigas de gran altura aquellas en donde la relación
luz/profundidad de vigas simplemente apoyadas es menor de 2 o en vigas continuas menor de 2.5. Para el código CIRSOC 201-2005, ref.[2], sección 10.7, las vigas de gran altura son aquellos elementos cargados en un borde y apoyados en el opuesto de tal forma que puedan generar bielas de compresión entre las cargas y los apoyos, y que se de alguna de las siguientes condiciones:
a) que las luces libres, ln, sean iguales o menores que 4 veces la altura
efectiva d, o bien b) que las zonas cargadas con cargas concentradas estén ubicadas a una
distancia igual o menor que 2d a partir de la carga del apoyo. Para estos casos los principios tradicionales de análisis de deformaciones y
tensiones no son válidos para determinar la resistencia de vigas de hormigón armado de gran altura. Estos elementos se los puede encontrar contenedores rectangulares suspendidos, como el caso de piletas, silos, Bunkers, en fundaciones apoyadas en pilotes o cilindros de fundación (como tabiques perimetrales de subsuelos o de basamento), etc.
La norma citada, indica que estos elementos se deben diseñar considerando la
distribución no lineal de deformaciones o adoptando el método de puntales y tensores que desarrolla en su Apéndice A, “modelo de bielas”. Una ménsula corta, como la que se muestra en la Fig. 1, ref.[3], es un caso donde se puede aplicar la modelación a través de un puntal o biela de compresión.
Fig. 1. Comportamiento estructural de una ménsula. Modelo de biela comprimida.
Las tensiones que se generan en vigas homogéneas isotrópicas de gran altura
antes de la fisuración se pueden determinar utilizando diversas técnicas como el método de los elementos finitos o estudios de foto-elasticidad. Se ha encontrado que a menor relación luz/profundidad (menor de 2.5) se incrementa la desviación de la configuración de tensiones dadas por las teorías de Bernoulli y de Navier. La Fig. 2 muestra la distribución de tensiones inducidas por flexión en la sección media de una viga simplemente apoyada con diferentes relaciones l/h, y sometida a carga uniformemente distribuida.
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Fig. 2. Distribución de las tensiones de flexión en una viga simplemente apoyada.
Para cada relación de luz, que se hace variar
de forma tal que l/h=4 y l/h<1 como casos extremos, se muestran los resultados de las tensiones de borde de tracción, ft, y compresión, fc, dadas por la teoría de Navier, los cuales se pueden comparar con la distribución real “no lineal” de tensiones. La teoría de secciones planas indica que
para el momento de 8/2lM , con módulo de
resistencia 6/2bhS , la tensiones varían con la
expresión hlbff ct //75.0̀ . Se deja al lector la
demostración de esta expresión, y el obtener los valores según a la figura. Se puede apreciar que para el caso de viga panel con l/h=1.0, la tensión de
tracción según Navier daría bff ct /75.0 en
contraposición con la solución más real que daría
bff ct /6.1 , es decir una diferencia de más de
2. Desviaciones similares ocurren con la distribución de esfuerzos de corte. A los efectos de la determinación de tensiones principales, las tensiones verticales, en particular en los puntos de apoyos de la viga panel, son de gran importancia.
Este tipo de estructuras es muy sensible a
las cargas que recibe en los extremos de apoyos. La longitud de los soportes de los soportes afectará en forma sustancial las tensiones principales, las cuales pueden ser críticas en dichos apoyos. En forma similar, la presencia de rigidizadores,
tabiques transversales, extensión de columnas, etc., marcarán diferencias importantes en la configuración de tensiones. Una de los aspectos más significativos es la forma de aplicación de las cargas, que para el caso de la Fig. 2 es distribuída uniforme y en el borde superior. La Fig. 3 muestra la distribución de tensiones elásticas para distintos casos de apoyos y condiciones de cargas. Se muestran la trayectorias de las tensiones principales, líneas sólidas las de compresión y discontinuas las de tracción.
Fig. 3(a) Viga continua de gran altura. Carga borde superior.
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Fig.3 Viga simplemente apoyadas de gran altura. (b) Cargas borde superior (c) Cargas borde inferior
El caso de Fig. 3(c) puede ser el de paredes de un tanque que recibe la carga desde la losa inferior, lo cual crea una situación más adversa que el caso (b). Los casos pueden resolverse colocando armaduras para resistir los esfuerzos de tracción, según lo indican las líneas traccionadas. En general las tensiones de compresión no son críticas. Sin embargo, tales soluciones fallan en no tomar en cuenta los requerimientos de anclajes, que es uno de los aspectos más importantes en el diseño de vigas de gran altura, además del considerable aumento de las tensiones de compresión en los apoyos a inicio de la fisuración. 2 DISEÑO CONSIDERANDO COMPORTAMIENTO NO LINEAL. 2.1 DISEÑO A FLEXIÓN.
Como se expresó antes, el CIRSOC 201-2005 (ACI-318), en la sección 10.7, no
da un procedimiento específico para diseño a flexión, sino que dice que “se deben diseñar considerando la distribución no lineal de la deformación”, o aplicar el modelo de bielas del Apéndice A.
A continuación se hacen una serie de proposiciones que están sustentadas por
investigaciones experimentales de Leonhardt y Walther en la Universidad de Stuttgart, y que son tomadas por las Recomendaciones del Euro-International Concrete Committee (CEB).
2.1.1 VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS.
En referencia a Fig. 2, para el caso de viga cuadrada, l/h=1.0, se pueden hacer
dos observaciones basadas en los experimentos: (i) que el brazo de palanca, z, del momento resistente nominal, Mn, no cambia significativamente aún después de la fisuración (note que dicho brazo elástico no es muy afectado por la relación l/h), y (ii) que la zona de tracción de la viga es relativamente pequeña, aproximadamente 0.25l, por lo que se sugiere que la armadura principal de tracción debería ser colocada en dicha zona. En definitiva, la ref.[3] dice que:
zfAMM ysnd (1)
)2(2.0 hlz para 21 h
l (2a)
6
lz 6.0 para 1h
l (2b)
donde l es la luz efectiva que se mide entre centros de apoyos, o se toma 1.15ln, o sea 15 % mayor de la luz libre, adoptando el menor valor. La armadura debe cumplir además dos condiciones: (i) ser colocada en la zona inferior, con una altura desde el borde traccionado y tal que: hlhy 20.005.025.0 (3)
y (ii) cumplir con cuantía mínima tal que:
bdf
bdf
f
zf
MA
yy
c
y
us
4.1
4
´
(4)
límites mínimos que coinciden con los de las vigas normales. La altura útil es hd 9.0 .
La armadura debería consistir en barras de diámetro pequeño distribuida en la altura y, y correctamente ancladas en los apoyos. La Fig. 4 grafica ecuaciones (2).
Fig.4 Brazo de palanca para Vigas de gran altura.
Para el caso de carga concentrada, ver Fig. 1, es evidente que la misma induce acciones de arco. Esto necesita de muy buenos anclajes y de la extensión de toda la armadura de flexión en los apoyos. Se sugiere, CEB, que en la cara interna de los apoyos el anclaje debería desarrollar al menos el 80 % de la fuerza máxima de acero calculada. Para prevenir fallas de anclaje antes de alcanzar la resistencia requerida para la armadura de flexión se deben utilizar barras de diámetro pequeño o anclajes mecánicos. Ensayos en los que se utilizaron barras lisas o barras dobladas (las cuales reducen en forma considerable la cantidad de armadura en los apoyos) fallaron en los anclajes a cargas relativamente pequeñas.
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Fig.5 (a) Arreglo de Armaduras en viga simplemente apoyada y (b)vista en planta de la armadura en los apoyos para vigas de gran altura.
La Fig. 5 muestra detalles tomados de Ref.[1]. Como muestra la figura, en vez
de ganchos verticales se prefiere el uso de ganchos horizontales pues de esta manera los mismos estarán sometidos a compresión transversal proveniente de las reacciones de los apoyos donde ellos mismos deben ser anclados.
La Fig. 6, Ref.[4], muestra resultado de ensayos de VGA con cargas distribuidas
en borde superior e inferior respectivamente. Note la trayectoria de las tensiones principales y compare con el modelo de Fig. 3(b) y (c).
Fig.6 Ensayos de VGA con diferentes formas de aplicación de cargas distribuidas. Observar disposición de armaduras. Vista de las fisuras poco antes de alcanzar la rotura.
La Fig. 7, Ref.[4], muestra la distribución de tensiones debido a carga concentrada sobre VGA con diferentes relaciones l/h.
Fig.7 Distribución de las
tensiones verticales y horizontales en distintas secciones horizontales originadas por una carga concentrada en VGA en su borde superior, para distintas relaciones de luces/altura.
La Fig. 8, Ref.[4], indica las
tensiones para el caso de carga concentrada aplicada en el centro del panel.
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Fig.8 Trayectoria de tensiones principales y componentes de las tensiones verticales y horizontales en chapa cuadrada con carga concentrada en centro de la misma.
2.1.2 VIGAS CONTINUAS.
Se ha observado que en vigas continuas de gran altura, la desviación de la configuración de tensiones lineales a través de las secciones a mitad de luz y apoyos es aún mayor que en el caso de vigas simplemente apoyadas. El brazo interno de palanca de la resultante de las tensiones decrece rápidamente cuando la relación luz/altura de la viga se aproxima a uno. Esto se puede apreciar en la Fig. 9, Ref.[4], la cual se puede comparar con la Fig. 2. Se ha observado en particular que la fuerza de tracción en el apoyo, o sea en sección de máximo momento negativo, puede estar más cerca del borde comprimido que del traccionado (comparar 2(c) con 9(b)). Esto debe ser considerado en el diseño, aún cuando los brazos de palanca crecerán tanto en momento negativo como positivo luego de la fisuración, y en particular cuando el acero entre en fluencia.
Las tensiones de corte, cuando son combinadas con las tensiones verticales de
compresión que se inducen en los apoyos, generan tensiones principales de compresión con mucha pendiente, lo cual sugiere que el corte es transferido en gran medida por acción de arco.
Para simplificar los cálculos, el CEB sugiere que se apliquen las siguientes
ecuaciones para evaluar el brazo z, por lo que el diseño sería controlado por:
uysnd MzfAMM (1)
)5.1(2.0 hlz para 5.21 h
l (5a)
lz 5.0 para 1h
l (5b)
y relacionar con la Fig. 4.
Los momentos últimos Mu, según Ref.[1], se pueden computar con las
expresiones de vigas normales, es decir 12/2wl y 24/2wl para momentos en apoyo y centro del tramo respectivamente.
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Fig.9 VGA continua. Componentes de tensión horizontal axial y de corte, intensidad y ubicación de esfuerzos internos en tramo y bordes. Carga distribuida en borde superior. Distintas relaciones
luz/altura.
Como muestran las figuras, en las vigas fisuradas el brazo de palanca puede ser menor en los apoyos que en los tramos. Esto no se evidencia en las ecuaciones previas pero se compensa por el hecho de que los momentos en los apoyos son
menores que los computados a partir de análisis corrientes, 12/2wl . En correspondencia, los momentos para una viga fisurada en el centro del tramo son
mayores que 24/2wl . Esto se ha observado en ensayos. La armadura de tramo, para momento positivo, se debe colocar de la misma
forma que para vigas simplemente apoyadas. Todas las barras se deben anclar o pasar a través de los apoyos. La mitad de la armadura negativa sobre el apoyo se
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debe extender sobre la lontitud total de los tramos adyacentes. La otra mitad se debe interrumpir a una distancia de 0.4l ó 0.4h, la que sea menor, desde el borde de apoyo.
Fig.10 Distribución de las armaduras negativas en el apoyo de una VGA continua.
La armadura negativa debe ser uniformemente distribuida en dos bandas, como muestra la Fig. 10:
(i) en la banda superior de profundidad 0.2h la armadura distribuida debería ser:
ss Ah
lA
15.01 (6)
(ii) el resto del acero, 12 sss AAA , debe ser colocado en la banda inferior de
profundidad 0.60h. La profundidad que se debe considerar no necesita ser mayor que la luz l. En
vigas pared cuya altura se mayor que la luz, sólo se necesita colocar armadura nominal mínima en la parte superior de la viga.
Las fuerzas de compresión debidas a flexión raramente son críticas en VDA. Sin
embargo se debe examinar la posibilidad de pandeo lateral en la zona de compresión en VDA de pequeño espesor. Lo que es más importante es proteger la zona de compresión en los apoyos debido a las compresiones diagonales que se producen por concentración de esfuerzos de corte.
La Ref.[6], sección 2.3.3.4, indica que para vigas de dos tramos, con l/d1 y carga uniforme w, los momentos sobre los apoyos resultan ser aproximadamente la mitad (w.l
2/16) que para vigas esbeltas con EI constante, y teoría elástica (w.l
2/8). Por
condiciones de equilibrio los momentos en los tramos deben ser mayores. Para hormigón armado, y condición de fisurada, estas diferencias se pueden incrementar. La Fig. 11 muestra en línea punteada la configuración de momentos y de corte para vigas esbeltas y la posible distribución para VGA en trazo continuo. En Ref.[3] en el ejemplo planteado se toma M
-max=wl
2/16 y en el tramo M
+ max=wl
2/11. Se deja al lector
la justificación de tales valores.
Fig.11 Diagramas de momentos flectores y esfuerzos de corte en vigas esbeltas y VGA sobre tres apoyos. _____________ VGA - - - - - - - - - - - Vigas Esbeltas.
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2.2 DISEÑO A CORTE. Es claro que el hormigón se fisura en dirección perpendicular a las tensiones
principales de tracción. Cuando la carga se incrementa, las fisuras se propagan, multiplican y abren. Debido a que la luz de corte a es pequeña, comparar la Fig.1 con la de viga normal Fig. 13, las tensiones de compresión en los apoyos afectan la magnitud y dirección de las tensiones principales de tracción de tal forma que ellas se vuelven menos inclinadas y menores en valor. La evidencia de los experimentos muestra que en muchos casos las fisuras son casi verticales, ver Fig. 6 o siguen la trayectoria de las compresiones, con la tendencia de la viga a fallar por corte en los apoyos. Por lo tanto, en el caso de VGA la armadura horizontal es necesaria en toda su altura además de la armadura vertical de corte a lo largo de su luz. De la Fig. 3 se ve que con la fuerte pendiente de las trayectorias de las tensiones de tracción en las fibras inferiores, se necesita una concentración de armadura horizontal en esa zona. Por ello la forma en que se dispone la armadura.
Fig.12 Mecanismo de falla diagonal de tracción. Carga concentrada. Luz de corte a.
Además, la alta relación h/l de la viga debería suministrar un incremento en la resistencia al corte externo debido a la mayor acción de arco en compresión. En consecuencia se
debería esperar para el caso de VGA que la contribución del hormigón a la resistencia nominal al corte, Vc, sea mayor que para el caso de vigas normales como las de Fig. 11. En definitiva, el corte es una consideración muy importante en VGA sometidas a cargas gravitatorias. La magnitud y separación de la armadura vertical y horizontal de corte difieren bastante de las utilizadas en vigas normales, a la vez que las expresiones de diseño.
Fig.13 VGA sometida a Carga Concentrada.
Nomenclatura.
Como se dijo antes, la norma CIRSOC 201-05, en su sección 11.8 especifica
que los criterios de diseño al corte que siguen corresponden a los casos siguientes, con referencia a Fig. 13:
(i) donde 4/ hln
(ii) zonas de vigas con cargas concentradas, con a2h.
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Recordamos que para vigas normales, sección 11.3.1.1, la contribución del hormigón al corte es, en general:
dbfV wcc
´
6
1 (7)
y la contribución del mecanismo de reticulado limitada por:
dbfsV wc
´
6
4 (8)
por lo que la limitación de resistencia nominal es:
dbfV wcn
´
6
5 (9)
lo cual en forma efectiva significa, introduciendo el factor , que:
dbfVVV wcndu
´
6
5 (10)
Es decir que el corte demanda último debe cumplir que:
dbfdbfV wcwcu
´´ 625.06
575.0 (11)
Esta es la misma limitación que impone el C-201-05 en su sección 11.8.3 para el corte en VGA.
El ACI-318-05, y por ello el C-201-05, no da una guía para la determinación del
valor máximo de Vc, contribución del hormigón al corte. Sin embargo, tal cual antes se analizó, la capacidad al corte del hormigón sin armar en VGA debe ser bastante mayor que en vigas normales. Para vigas normales, ref.[4], la expresión más sofisticada para evaluar la contribución del hormigón, está dada por:
dbfdbM
dVfV wcw
u
uwcc
´´ 30.0)14.17143.0( (12)
En refs.[3] y [5] se indica que este límite se puede incrementar para VGA a:
dbfdbM
dVf
dV
MV wcw
u
uwc
u
uc
´´ 51.0)14.17143.0(5.25.3
(13)
donde el factor 5.25.25.31
dV
M
u
u es un multiplicador de la ecuación básica de
contribución de Vc en vigas normales, y que tiene en cuenta la mayor posibilidad de contribución del hormigón al corte en VGA. La Fig. 14(a) muestra la variación del valor máximo de Vn en función de ln/d y la (b) el coeficiente de mayoración para VGA.
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(a) (b)
Fig.14 (a) Limitaciones de Vn para VGA y (b) multiplicador de resistencia a cortante.
Cuando el corte mayorado demanda Vu (ver luego la sección donde se evalúa)
excede Vc, se debe suministrar armadura tal que:
/)( cus VVV (14)
y
dfdl
s
Adl
s
AV y
n
h
vhn
v
vs
12
/11
12
/1 (15)
donde: Av = área total de armadura vertical separada la distancia sv en la dirección horizontal Ash = área total de armadura horizontal separada la distancia sh en la dirección vertical y con las siguientes limitaciones:
mmdsv 3005/ mmdsh 3005/
vv bsA 0025.0 hvh bsA 0015.0
La armadura de corte en la sección crítica se debe extender en toda la VGA. Combinando las ecuaciones (14) y (15) se llega a:
df
Vdl
s
Adl
s
A
y
sn
h
vhn
v
v
12
/11
12
/1 (16)
Es interesante observar que a los efectos del diseño, la ecuación (16) tiene en
su primer término factores entre paréntesis que son de ponderación para la efectividad relativa del acero vertical y horizontal en el alma. La Fig. 14 muestra estos factores en función del parámetro ln/d. Se observa que para VGA con valores pequeños de ln/d, el acero horizontal Avh es que domina y el agregado de armadura vertical en el alma tiene poco efecto en el aumento de la resistencia. A medida que crece ln/d la efectividad de este último crece hasta l valor de ln/d=5.0, que es el límite para VGA según el ACI-318, y a partir de allí ambos aceros son efectivos por igual. Por lo tanto, para VGA es más efectivo colocar acero en el alma con barras horizontales, cuando el diseño lo requiere, y debiendo satisfacer además las cuantías mínimas para las barras verticales. La ref.[1] aclara que el enfoque del ACI-318 para derivar la ecuación (15) está basada en
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el concepto de fricción de corte. Se supone que cuando se desarrollan fisuras casi verticales, como las que se muestran en Fig. 15, se producirán deslizamientos por corte. Como resultado del incremento del ancho de las fisuras se movilizará a toda armadura que cruce la fisura. La componente de la fuerza de fluencia que actúa perpendicular a la fisura se puede suponer que suministrará la fuerza de anclaje requerida para que opere el mecanismo de fricción de corte. De esta manera, la armadura horizontal del alma puede contribuir en forma sustancial a la resistencia al corte si el momento flector es pequeño. A través de una derivación experimental que relaciona la inclinación de la fisura y la relación ln/d, y la adopción de un coeficiente de fricción igual a 1.0, se llegó a la expresión (15).
Fig.15 Coeficiente de efectividad para el refuerzo vertical y horizontal en el alma de VGA.
Fig.16 Falla de una VGA simplemente apoyada. Carga introducida (a ) borde superior y (b) borde inferior.
En vigas normales el corte demanda Vu se evalúa a una distancia d desde la
cara del apoyo. En VGA el plano de corte tiene más pendiente y está más cercano al apoyo. En la Ref.[3] se indica que la distancia x a la que debe evaluarse el corte es:
Para carga uniforme…………..…..x= 0.15 ln
Para carga concentrada…………..x= 0.50 a
Para cualquier caso, xd.
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Cuando la carga es suspendida cerca del borde inferior de una VGA, la misma debe ser soportada principalmente por tracción vertical y tracción inclinada hacia los apoyos. Para que se desarrollen los arcos de compresión, Fig. 3(b), la carga total suspendida se debe transferir por medio de armadura vertical hacia la zona comprimida de la viga. Esto se debe lograr sin que se llegue a la fluencia de los estribos (armadura vertical suspendida) para proteger la armadura de flexión horizontal contra posibles separaciones horizontales y asegurar un control de fisuras satisfactorio para cargas de servicio. La Fig. 16(b) muestra este tipo de comportamiento. La falla se produce por la compresión diagonal en el apoyo derecho. Los estribos deberían rodear completamente la armadura inferior de flexión y extenderse en la zona de compresión como muestra la Fig. 16.
Fig.17 Armadura Adicional requerida en VGA por aplicación de carga en borde inferior.
También se deberían introducir consideraciones especiales cuando las cargas o reacciones se
introducen a lo largo de la profundidad total de la VGA, como en el caso que se muestra en la Fig. 18. La carga desde la viga transversal central es transmitida principalmente vía diagonal de compresión hacia la parte inferior de la viga pared larga longitudinal. Desde ésta la carga debe ser llevada a la parte superior de las vigas pared principales.
En la unión central se debe suministrar armadura vertical de suspensión para
soportar toda la fuerza P, y ésta debe rodear las barras inferiores de flexión de la viga pared principal. Las barras se deben extender verticalmente hasta una altura h o l, la que sea menor, 1.44 m en el caso de la Fig. 18. En forma similar, en las vigas de soporte extremas la mitad de la carga debe ser soportada por armadura de suspensión, como se muestra en la Fig. 19(a). Los ensayos han demostrado que las barras en diagonal dobladas con un gran radio en la unión viga-viga son también efectivas, pero que la carga asignada no debería ser más del 60 % de la carga total. La Fig. 19(b) muestra detalles típicos.
Las fisuras diagonales que se muestran en la Fig. 17 muestran claramente las inclinaciones de los puntales diagonales de compresión. Para que estas fuerzas se puedan equilibrar con componentes horizontales y verticales, se debe contar con barras horizontales bien ancladas en los extremos de las diagonales. El CEB recomienda que la malla de acero se suministre, según lo que muestra la Fig. 19, para que soporte la fuerza de reacción vertical total. Las barras horizontales de esta malla, que se deben extender la menor distancia entre 0.3h o 0.3l desde la cara del apoyo, junto con las de flexión que corren hacía el tramo de la viga, deberían ser capaces de resistir al menos el 80 % de la fuerza de reacción (corte máximo). Las barras verticales cortas de la malla se deberían extender 0.5h o 0.5 l, la menor, por encima del borde inferior de la viga.
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(a) dimensiones del modelo de VGA ensayado Ref.[1]. (b) Configuración de fisuras.
Fig.18 VGA soportada por otra VGA
Fig.19 Armadura de suspensión a suministrar donde una VGA soporta a otra VGA utilizando:
(a) armadura ortogonal
(b) barras dobladas.
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Fig.20 Armadura adicional requerida en VGA simplemente apoyada para soporte del corte. Recomendaciones del CEB.
2.3 INTRODUCCIÓN DE CARGAS CONCENTRADAS.
Es necesario inspeccionar las tensiones de apoyo en áreas donde se aplican cargas concentradas ya que las VGA pueden soportar grandes fuerzas con relativamente poca armadura. Las regiones de apoyo corresponden a estas zonas a verificar. Las reacciones se pueden calcular como se lo hace con vigas normales. Sin embargo se debe tener en cuenta que en los apoyos interiores de VGA continuas los momentos son menores que los que pueda predecir la teoría elástica. En consecuencia, la reacción calculada en forma convencional en los apoyos externos de una VGA continua debería ser incrementada un 10 % a los efectos de verificar las tensiones de apoyo.
Cuando a la viga se le coloca un rigidizador o columna, el cual pueda agrandar
la superficie de apoyo sobre una parte importante de la altura, las tensiones de apoyo no son generalmente críticas. En ausencia de rigidizadores o columnas, la magnitud de las reacciones para cargas mayoradas no debe exceder:
´)(60.0 co fhtb (17a)
para apoyos exteriores, y:
´)2(90.0 co fhtb (17b)
para apoyos interiores, donde: b = ancho de la viga ho= ancho un ala que pueda rigidizar la porción inferior de la viga t = longitud de apoyo en estudio, el cual no debería exceder 1/5 del menor de los tramos adyacentes. La Fig. 21 muestra esquema y notación.
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Fig.21 Suposición de distribución de tensiones de apoyos en los soportes de VGA.
Debido a la gran rigidez que poseen, las VGA son muy sensibles a deformaciones impuestas. Por lo tanto se debe cuidar de que no se produzcan desplazamientos en los apoyos de VGA continuas. Alternativamente, se debe disponer de armadura adicional que permita absorber cambios importantes de momentos debido a posibles asentamientos.
Es común que grandes fuerzas concentradas sean introducidas directamente
encima de los apoyos en VGA. Esta situación, que se muestra en la Fig. 22, es similar a la que se produce en los puntos de anclaje de un cable de pretensado. Las fuerzas concentradas se dispersan en el alma de la viga, y esta distribución debe ser considerada a menos que se disponga de un rigidizador vertical entre el punto de carga y el apoyo. El CEB sugiere colocar armadura horizontal suplementaria en dos capas, cada una capaz de resistir una fuerza de tracción igual a ¼ de la carga aplicada.
Fig.22 Arreglo de armaduras requerido para transmitir fuerzas concentradas a través de VGA continuas.
Cuando se debe evaluar la capacidad al corte en al alma de VGA, de acuerdo a ecuación (10), el CEB recomienda que se incluya una fuerza adicional de corte para apoyos internos dada por:
l
tlP 2
2
*
o
h
thP 2
2
*
(18a)
y para apoyos externos:
l
tlP* o
h
thP* (18b)
para compensar los efectos que P
* introduce. Sólo la menor de las expresiones
indicadas es la que debe considerarse.
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2.4 EJEMPLO No 1. VGA simplemente apoyada sometida a carga uniforme.
Diseñar la armadura de corte y flexión aplicando conceptos de distribución no lineal de deformaciones. ln = 3.00 m l= 3.50 m L=1150 KN/m = 115 t/m f´c = 27 MPa h = 1.80 m bw= 0.50 m fy = 420 MPa
Fig.23 Datos tomados de Ref.[3] para el ejemplo N
o1.
Los mismos han sido modificados levemente para trabajar en unidades internacionales. La solución será modificada en función de diámetros disponibles en nuestro medio.
Armadura de Flexión. D= 0.50mx1.80mx2.40t/m
3= 2.16t/m
U= 1.2 D + 1.6 L = 187 t/m Mu= 187 x 3
2/ 8 = 210 tm
1 < l/h = 3.50 / 1.80 = 1.94 < 2 d=0.9h = 162 cm
)2(2.0 hlz para 21 h
l (2a)
mxz 42.1)80.125.3(2.0
2
239
/2.41429.0
21000cm
cmtcmxx
tcmAs 825mm……..As=39.29cm
2
= 39.29/50x162=0.00485 >1.4/fy = 0.00333 > 003.04/27 yf OK.
y= 0.25x180cm – 0.05x300cm = 30cm desde el borde inferior.
20
Se disponen de 4 capas de 225 mm en cada carra, la capa inferior a 5cm desde el borde inferior y 8.33 cm entre ejes de cada capa. Armadura de Corte. ln/d = 300 / 162 = 1.85 < 4 tratar como VGA. Sección crítica a x=0.15x300cm = 45 cm. Corte en sección crítica: Vu = 187 x 3/2 – 187 x 0.45 = 196.35t Tensión límite: vu= 196.35 / 0.5 x 1.62 = 242 t/m
2 < 0.75 x 0.833 x(27)
1/2= 3.25 Mpa = 325 t/m
2 OK
En la sección crítica, el momento es: Mu = (187 x 3/2)x0.45 – 187 x( 0.45)
2/2 = 107.30t
Mu/Vud =0.337 (3.5 – 2.5x0.337) = 2.657 usar 2.5
w = 8 x 4.91 / 50 x 162 = 0.00485 1/(Mu/Vud) = 1/0.337 = 2.97
dbfdbM
dVf
dV
MV wcw
u
uwc
u
uc
´´ 51.0)14.17143.0(5.25.3
(13)
tKNMNxxxVc 200200021620500)94.200485.014.1727143.0(5.2
MNxxVc 14.216205002751.0
txVV
V cus 62
75.0
20075.035.196
es la demanda a cubrir.
Adoptando cuantías mínimas vertical y horizontal en el alma:
12mm cada 17 cm ….v= (2.26cm2/50cmx17cm) = 0.00265>0.0025
en dirección vertical, y:
10mm cada 20 cm ….h= (1.60cm2/50cmx20cm) = 0.0016>0.0015
en dirección horizontal. Resulta el suministro:
dfdl
s
Adl
s
AV y
n
h
vhn
v
vs
12
/11
12
/1 (15)
tttxVs 62631622.412
85.111
20
60.1
12
85.11
17
26.2
OK.
21
2.5 EJEMPLO No 2. Tramo interior de una VGA continua sometida a carga uniforme.
Para los mismos datos del ejemplo N
o1, y tomando como referencia los datos de Fig.
24, aunque levemente modificados por las unidades, resuelva el tramo de VGA continua. La ref.[3] de donde se tomó el ejemplo adoptó como momento máximo positivo (w.l
2/16= 0.0625wl
2) y como momento negativo en apoyo (w.l
2/11= 0.0909wl
2).
Note que para vigas normales los momentos hubieran sido, para solución lineal elástica, y viga cargada uniformemente con cuatro tramos, momento máximo positivo (w.l
2/27= 0.036wl
2) y momento negativo en apoyo (w.l
2/9.3= 0.107wl
2).
Al elegir los momentos, el lector debería formular razones para su decisión. Se deja al lector la solución del problema.
Fig.24 Datos tomados de Ref.[3] para el ejemplo N
o2.
22
3 MÉNSULAS CORTAS. 3.1 COMPORTAMIENTO.
Las ménsulas se utilizan generalmente para soportar cargas puntuales actuando
cerca de las caras de las columnas y que provienen de vigas prefabricadas. Definir el comportamiento elástico de tales estructuras es muy complejo. De nuevo, elementos finitos o foto-elasticidad son técnicas que pueden ayudar a comprender las líneas de trayectorias de las tensiones. La Fig. 25, ref.[1], muestra la trayectoria de tensiones para una ménsula en comportamiento elástico.
Fig.25 Tomada de Ref.[1]. Trayectorias de tensiones.
Cuando la intensidad de la carga
es suficientemente grande, se formarán fisuras aproximadamente a 90
o con
respecto a las trayectorias principales de tracción (línea continua). Luego de la fisuración, la armadura trabajará en forma más satisfactoria si está colocada aproximadamente a lo largo de tales trayectorias y si puede resistir el momento con el mayor brazo de palanca interno. Por observación de la figura y evaluación de los estudios respectivos, se pueden sacar las siguientes cinco conclusiones:
(i) las tensiones de tracción a lo largo del borde superior de la ménsula se
mantiene casi constante entre el punto de aplicación de la carga y la cara de la columna. Además, dado que la separación de las trayectorias varía muy poco, la fuerza total de tracción también se mantiene casi constante en ese tramo.
(ii) la fuerza de compresión a lo largo del borde libre en pendiente es también aproximadamente constante, indicando que se desarrolla un puntal de compresión.
(iii) Las tensiones de tracción inclinadas y que aparecen por el cambio de dirección de la fuerza de compresión, son muy pequeñas. Se ve que la diagonal comprimida se estrecha en el vértice inferior y las tensiones perpendiculares de tracción son pequeñas y en ese sector sólo las tensiones de compresión controlan.
(iv) en la columna sin carga aparece sobre el lugar de empotramiento de la ménsula una tracción vertical. La misma es debida a que la columna debe acompañar los acortamientos de la diagonal comprimida. Estas tensiones de tracción, en casos prácticos, resultan compensadas y anuladas por las tensiones de compresión originadas por cargas en la columna por encima de la ménsula.
(v) la forma de la ménsula tiene poco efecto en el estado de tensiones. Como muestra la Fig. 26, en una ménsula rectangular, el vértice inferior extremo casi no soporta tensiones.
Estas observaciones indican que a pesar de la complejidad de la configuración
de tensiones, se puede llevar a cabo un procedimiento simple de análisis basado en un mecanismo de arco interno lineal: la carga es soportada por el cordón superior traccionado y una diagonal ideal comprimida.
23
Fig.26 Tomada de Ref.[6]. Trayectorias de tensiones Para ménsulas con a/d=0.5, y caso de ménsula en pendiente y ménsula rectangular.
La configuración de fisuras observada en los ensayos verifica que la fuerza de corte es resistida por la componente vertical de la diagonal comprimida más que por tensiones de corte a lo largo de la sección crítica. En una ménsula con armadura insuficiente, la fisura de flexión en la cara del apoyo se puede propagar hasta muy cerca del borde comprimido y debido a la pequeña profundidad de la zona de compresión se puede inducir una falla por deslizamiento. En ese caso se deben movilizar los mecanismos de acción de dovela y de interacción entre agregados a lo largo de las fisuras.
En el enfoque tradicional se ponía énfasis en la consideración de tensiones de
corte. Como muestra la Fig. 27, las ménsulas se armaban con frecuencia con barras diagonales que tomaran una parte sustancial de la fuerza total de corte. Según ref.[1] los ensayos han demostrado la ineficiencia de este procedimiento. Los desplazamientos que se producen a través de las fisuras se corresponden con una rotación de cuerpo rígido con respecto a un centro localizado dentro de la ménsula cerca de la raíz de la zona comprimida, ver Fig. 29(a). Por lo tanto, los desplazamientos cerca del tope de la ménsula son casi horizontales, y si se colocan barras diagonales las mismas estarán sometidas a considerables fuerzas de dovela. Además, las barras dobladas no proveen suficiente área de acero horizontal en la vecindad de la carga aplicada y en consecuencia, como se han observado, se pueden producir fallas de anclaje.
Fig.27 Tomada de Ref.[1]. Forma tradicional de armar las ménsulas.
24
3.2 MECANISMOS DE FALLAS. La Ref.[1] menciona que el ACI-318 tiene recomendaciones de diseño basadas
en un extenso plan de ensayos que identifican los siguientes mecanismos de fallas:
Fig.28 Tomada de Ref.[1]. Mecanismos de Fallas
(a)Tracción por Flexión; (b) Separación Diagonal; (c) Deslizamiento de Corte; (d) Separación de Anclaje; (e) Desintegración debido a falla de soporte y (f) Tracción Horizontal.
(a) La falla de tracción por flexión ocurre si hay exceso de plastificación de la armadura de tracción (flexión) y que causa desintegración del hormigón en la raíz o extremo del puntal. Las fisuras de flexión se pueden volver muy grandes. Ver Fig. 28(a).
(b) La separación Diagonal se desarrolla a lo largo de la biela de compresión después que se han formado las fisuras de flexión. Al final, la falla es por compresión por corte. Ver Fig. 28(b).
(c) La falla por deslizamiento puede ocurrir si se forman una serie de fisuras diagonales cortas y en pendiente pronunciada que se puedan interconectar, pudiendo ocurrir la separación de la ménsula de la columna. Ver Fig. 28(c).
(d) Cuando la carga es aplicada muy cerca del extremo libre de la ménsula, se puede producir una falla por separación a lo largo de la armadura que escasamente queda anclada. Ver Fig. 28(d). Al rotar el extremo, podría generar una excentricidad no intencional que agrava el problema.
(e) Si la placa de apoyo y transmisión es pequeña o flexible, o si la ménsula es demasiado angosta, el hormigón puede fallar por aplastamiento bajo la placa. Ver Fig. 28(e).
(f) Varios de estos mecanismos se acentúan si está presente una carga horizontal Nu en adición a la carga de gravedad Vu. La fuerza horizontal puede provenir de efectos dinámicos en vigas de puentes grúas, o puede ser inducida por contracción, fluencia lenta, acortamiento por temperatura de una viga prefabricada que tenga el desplazamiento restringido en la ménsula. Ver Fig. 28(f). El problema se agrava si la cara externa de la ménsula tiene poca altura.
(g) El mecanismo de arco interno lineal implica que la capacidad de la armadura de flexión se debe desarrollar en la zona inmediata de la placa de apoyo. Esto llevaría a la falla de la ménsula en su totalidad, movilizando todos sus mecanismos. Está claro que la diagonal de compresión no se podrá desarrollar a menos que su componente horizontal sea transmitida a la armadura principal cerca del extremo libre de la ménsula. Los requerimientos de detalle de las ménsulas surgen de los análisis de esos
siete (7) mecanismos de fallas. Es claro que los estribos verticales, utilizados para resistencia al corte, serán mayormente inefectivos en todas las situaciones mencionadas.
25
Ensayos comparativos indican que podría utilizarse cierta armadura diagonal, combinada con la horizontal, tratando de reducir la demanda de acero. Sin embargo, tal ventaja económica se podría perder por la mayor mano de obra involucrada en el detalle de barras dobladas. 3.3 PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO.
El C-201-05 en su sección 11.9 indica que las ménsulas cortas, con relación luz de corte a y altura útil d, sea menor que 2, es decir a/d<2, se pueden diseñar con las siguientes suposiciones: (i) hipótesis de fricción de corte para el caso de existir una fisura potencial de corte en la interfase ménsula-columna, (ii) modelo de puntal para el caso de construcción monolítica entre ménsula y su soporte, (iii) modelo de puntales y tensores. 3.3.1 HIPÓTESIS DE CORTE POR FRICCIÓN.
Hay varios casos que el C-201-05 menciona en su sección 11.7 como necesarios a considerar la transmisión del esfuerzo de corte a través de un plano dado, fisura potencial, sea por superficie de contacto entre materiales diferentes o superficie de contacto entre hormigones colados en distintas etapas. La Fig. 29 muestra varios casos, y entre ellos el de las ménsulas.
Fig.29 Aplicaciones del concepto de corte por fricción.
A menor relación a/d mayor es la tendencia a que ocurra una falla de corte puro esencialmente en planos verticales. Este problema se acentúa si está la posibilidad de falla entre dos hormigones distintos.
El concepto del C-201-05
se muestra en la Fig. 30. La suposición es que en el plano vertical desarrollado por la fisura se puede producir un deslizamiento entre las partes una vez alcanzado el estado límite de falla. Se utiliza un
coeficiente de fricción para transformar las fuerzas horizontales resistentes, que sonsuministradas por bien
ancladas armaduras, en fuerzas resistentes verticales nominales que deben ser mayores que la fuerza externa demanda de corte.
26
Fig. 30. Modelo que simula el comportamiento de bloques de hormigón armado en fisuras potenciales y bajo corte directo. Corte por fricción.
La Figura 30 indica la
correcta notación del ACI-318, donde la demanda se muestra con Vu (o bien podría ser Vr) y la relación con la resistencia nominal, Vn, está dada por:
und VVV (19)
donde el factor de reducción de capacidad es = 0.75 y la resistencia nominal es:
yvfn fAV (20)
siendo el coeficiente de fricción que adopta los valores indicados en la Tabla 1, y Avf el área total de acero que atraviesa la fisura con resistencia de fluencia fy.
Tabla No1
El CIRSOC limita, en su sección 11.7.5, la resistencia al corte Vn a:
cn
ccn
AV
AfV
5.5
2.0 ´
(21a)
expresando Vn en Newton, f´c en MPa y Ac= bwd, área de la sección de hormigón que resiste la transferencia de corte, en mm
2. En forma efectiva, incorporando el factor de
reducción de resistencia, = 0.75, esto implica que la fuerza última de corte debe ser:
27
cu
ccu
AV
AfV
125.4
15.0 ´
(21b)
Puede ser el caso de que el refuerzo de acero para cortante por fricción no
atraviese el plano de corte a 90o, sino que lo haga con cierto ángulo como se muestra
en la Fig. 31, por lo que corresponde hacer análisis adicionales. Si el refuerzo está
inclinado con respecto al plano de corte en un ángulo f y la fuerza de corte provoca un aumento en la tensión de tracción del acero, entonces por un lado hay que considerar que la componente vertical de la fuerza normal a la fisura debe contener el
factor (sen f), y que a su vez, la componente horizontal de la armadura diagonal,
donde aparece el factor (cos f), contribuye a la resistencia al corte, por lo que entonces resulta, ver Fig. 31:
)cos.( ffy
uvf
senf
VA
(22)
Pero si el ángulo f es mayor de 90o, es decir que la tensión de tracción tiende a
reducirse por efecto del corte (es como si las barras estuvieran orientadas según las diagonales comprimidas por corte), el supuesto de adoptar fy no sería válido y hay que analizar mejor el problema o bien cambiar la distribución de las barras, o en caso de esfuerzos alternativos en signo, colocar, por ejemplo, armaduras diagonales cruzadas con 90
o entre sí.
Fig.31a Armadura para corte por fricción en un plano de corte por fisura potencial. Caso de armadura inclinada.
Fig.31b Idealización de la Armadura para corte por fricción en un plano de corte por fisura potencial. Caso de armadura
inclinada un ángulo f.
28
El CIRSOC, en la sección 11.7.7 estipula que en la resistencia a fricción se puede considerar el efecto favorable de alguna compresión neta permanente con que se pueda contar a través del plano de corte. Además, establece que si existe tracción neta en la sección en estudio, la misma se debe tomar con armadura adicional. En los comentarios, sección C11.7.7 aclara que las tracciones se pueden también originar por efecto de restricción de las deformaciones debidas a temperatura, fluencia lenta y contracción del hormigón.
En este aspecto, el autor considera que el enfoque que hace el NZS:3101, Ref.[7], es más racional cuando se trata de la simultaneidad de corte y axial pues incorpora explícitamente la siguiente expresión:
uyvfnd VNfAVV *75.0 (23)
donde N
* es la carga axial de diseño, que debe incluir los efectos de contracción y
temperatura, que se produce en la sección transversal simultáneamente con el cortante Vu, y que se debe tomar como positiva cuando es de compresión y negativa cuando es de tracción. Por ello, la norma NZS:3101 establece como ecuación de diseño de las armaduras que atraviesan la grieta la siguiente expresión:
y
uvf
fN
VA
1*
(24)
3.3.2 MODELO DE BIELA DE COMPRESIÓN.
Cuando la ménsula es construida monolíticamente con la columna o tabique
soporte, y pueda además estar sometida a una fuerza horizontal Nuc inducida por la viga que es soportada, se puede utilizar el procedimiento del modelo de puntal de compresión, ver Fig. 1. En todos los casos, Nuc no puede exceder el valor de la carga vertical Vu.
El C-201-05 especifica, sección 11.9.2, que la altura en el borde exterior del área
de apoyo debe ser mayor que d/2. Además, dicha norma especifica que la sección en la cara del apoyo se debe
diseñar para resistir en forma simultánea un esfuerzo de corte Vu, un axial de tracción
Nuc y un momento [Vu.a+Nuc(h-d)]. En todos los casos, se debe utilizar =0.75. Para resistir Nuc se debe suministrar una armadura An:
y
ucn
f
NA
(25)
Para soportar el momento flector, una armadura Af:
dy
ucuf
jf
dhNaVA
)( (26)
29
Con referencia a Fig.1, se que se puede plantear la siguiente ecuación de equilibrio de fuerzas internas y externas, suponiendo la “biela de compresión” de ancho b:
sen
VfATcbfC uyfs
cc coscos
85.0 1
´ (27)
de donde se puede obtener la profundidad c1 del bloque en la dirección del puntal:
cos85.0 ´1
bf
fAc
c
yf (28)
El brazo de palanca es entonces:
cos2/)( 1cdjd (29a)
que se puede reemplazar en la ecuación 26 o bien, en vez de utilizar el
procedimiento de prueba y error, adoptar como una muy buena aproximación: djd 85.0 (29b)
El C-201-05 especifica además que se debe tomar Nuc0.2Vu, a menos que se adopten disposiciones especiales para los esfuerzos de tracción. El valor de Nuc debe considerarse como una sobrecarga útil, o sea como si fuera tipo L, aún cuando provenga de efectos como de contracción o de temperatura.
Fig.32 Notación de norma C-201-05. Detalle de armaduras.
La Fig. 32 muestra cómo se debe disponer la armadura total principal de tracción: Af + An
As igual mayor que el valor obtenido entre: (30) (2/3)Avf + An
30
En forma paralela a As se deben colocar estribos cerrados con área total Ash, distribuidos en forma uniforme dentro de la altura (2/3)d, tal que:
)(5,0 nsh AAA (31)
y la cuantía:
y
cs
f
f
bd
A ´
04.0 (32)
La armadura principal As se debe anclar en la cara frontal de la ménsula corta con
alguno de los siguientes métodos: (i) soldadura estructural, usando una barra transversal de cómo mínimo igual
diámetro, (ii)doblado de las barras principales de As, (iii) algún otro medio efectivo de anclaje.
El área de apoyo de la carga Vu no se debe prolongar más allá de la zona recta
donde se ubican las barras de As. La Fig. 33, Ref.[1], muestra detalles típicos.
Fig.33 (a) Idealización de comportamiento de puntal con fuerzas internas; (b) dimensiones de un ejemplo (nota: multiplique por 3 y ese es casi el valor del diámetro de las barras en mm y
anclaje utilizando barras de pequeño diámetro (#516mm); (c)anclaje utilizando barras de gran
diámetro (#825mm) y (d) conexión por soldadura para tracción horizontal.
La Fig. 34, Ref.[1], muestra también detalles típicos y comportamiento para el caso dobles ménsulas. El modelo armado con barras horizontales soportó un 23% más de
31
carga última. Cuando se los invierte, se pueden tratar como VGA simplemente apoyadas y sometidas a cargas puntuales. El centro de rotación indicado en Fig. 34(c), cerca de alcanzar la falla, indica la dirección de desplazamiento en los niveles de las armaduras y una vez más se nota la menor eficiencia de las barras dobladas.
Fig.34 Ménsulas dobles. Comportamiento y detalles de armado.
Ocasionalmente, la carga puntual es introducida cerca o en el borde inferior de la
ménsula. El camino natural (el más corto) de las fuerzas de tracción es ahora diagonal. La Fig. 35 muestra detalles típicos de configuración de armaduras. En ambos casos las fuerzas de corte reactivas requeridas a ser soportadas por la ménsula se transmiten por diagonales internas de compresión que intersectan a ésta casi en su borde inferior.
Fig.35 Introducción de la carga en borde inferior de ménsula por medio de dobles ménsulas. (a) vista lateral; (b) vista frontal.
32
(a) Hipótesis de corte por Fricción. (b) Diseño por Modelo de Puntal. Fig.36 Ménsulas dobles. Detalles de armado según distintos modelos.
La Fig. 36 muestra una síntesis de los requerimientos de armaduras y dimensiones
para los dos tipos de modelos de comportamiento.
3.4 EJEMPLO No 3. DISEÑO DE MÉNSULA CORTA.
Se supone Vu= 350 KN = 35 t, actuando a una distancia de a=13 cm de la cara de
la columna. Ancho de ménsula 25 cm y altura total 46 cm, con altura efectiva d=36cm. Hormigón H35 y acero ADN420. Dimensión de columna de apoyo 30x45cm.
tNxxAtV
txxxAftV
cu
ccu
37360250125.4125.435
40362530.015.015.035 ´
Suponiendo construcción monolítica y hormigón de densidad normal:
284.12.475.0
35cm
xx
t
f
VA
y
uvf
Suponiendo construcción no monolítica y hormigón de densidad normal:
210.110.12.475.0
35cm
xx
t
f
VA
y
uvf
Puesto que no hay carga externa Nuc se adopta:
Nuc = 0.20 Vu = 0.30 x 35t = 7.0 t
2
258.5
3685.0/2.475.0
)3646(71335)(cm
cmxxcmtx
cmtcmtx
jf
dhNaVA
dy
ucuf
2
220.2
/2.475.0
2.7cm
cmtx
tAn
33
Af + An= 5.58 + 2.20 = 7.80 cm
2
As (2/3)Avf + An = 0.67x11.10 + 2.20 = 9.60 cm
2
Se adoptan 3 barras =20mm con área 9.42 (apenas 2% menos), pero verá de adoptarse un poco más de armadura que la necesaria bajo la principal.
270.3)2.26.9(5.0)(5,0 cmAAA nsh
270.310.1133.03/1 cmxAf
Se adoptan 3 capas de estribos cerrados de =10mm por lo que se cuenta con: 280.48.023 cmxxAh
y la cuantía total debe ser:
00333.0420
3504.004.001.0
3625
42.9 ´
y
cs
f
f
xbd
A OK
Se usa placa de apoyo de 140x140mm, por lo que la tensión de apoyo (verificación al aplastamiento) es:
ttxxxxtfbear 41141435.085.07.035 OK
Como anclaje se prefiere usar una barra de 20mm de diámetro (y no #3 como
indica la figura). Fig.37 Ejemplo N
o3.
Diseño de Ménsula.
34
4 MODELO DE BIELAS: PUNTAL Y TENSOR. 4.1 INTRODUCCIÓN.
Se mencionó que en ciertos casos el procedimiento usual, que tiene como base
el suponer que las secciones planas antes de la deformación permanecen planas luego de aplicadas las cargas, no es válido. Se presentó en las secciones anteriores la manera de enfocar el problema a través de la no linealidad de deformaciones. Como una alternativa el modelo de bielas puede ser utilizado en forma efectiva en regiones de discontinuidad.
Los elementos estructurales pueden ser divididos en segmentos designados
como regiones B, donde es válida la teoría convencional de deformaciones planas, y regiones D en la que dicha hipótesis ya no es aplicable. Esto queda esquematizado en la Fig. 38.
Fig.38 Regiones B y D en vigas. (a) Viga continua; (b) Viga con carga Concentrada; (c)Viga Prefabricada con reducción de altura en apoyo.
En los comentarios del C-201-05, Apéndice A se aclara aún más con
definiciones y gráficas los conceptos de regiones B y D. Indica que en un elemento estructural la discontinuidad en la distribución de tensiones se produce en donde cambia la geometría del elemento o en puntos de aplicación de las cargas o en los puntos de reacción. El principio de St. Venant indica que las tensiones debidas a carga axial y de flexión se aproximan a una distribución lineal a una distancia aproximadamente igual a la altura total h del elemento, medida a partir de la discontinuidad.
La Fig. 39 muestra algunos de los casos de discontinuidades geométricas y de
cargas reconocidas por el C-201-05. Se indican las zonas donde no es aplicable la hipótesis de secciones planas.
35
(a) Discontinuidad Geométrica (b Discontinuidad de Cargas y Geométrica
Fig.39 Regiones D y discontinuidades.
La Fig. 40 muestra esquemas para diferenciar los casos de VGA y esbeltas. Note que la máxima relación longitud-profundidad en la región D es aproximadamente 2 (pendiente 1:2) Por lo tanto, el menor ángulo entre el puntal y el tensor en una región D sería arctang(2)=26.50 grados, es decir casi 25 grados, que es lo que se adopta.
Fig.40 Descripción de VGA y Vigas esbeltas.
36
4.2 MODELO DEL RETICULADO.
El análisis sigue esencialmente la analogía del reticulado, donde se espera que se formen fisuras inclinadas paralelas en zonas de corte importante. El hormigón que está entre las fisuras inclinadas soporta fuerzas de compresión como así también el hormigón en compresión por flexión del cordón superior, a la vez que las tracciones en el cordón inferior y en los estribos son tomadas por las barras de acero. Ver Fig. 41.
Fig.41 Modelos de Bielas.
Es necesario adoptar simplificaciones de diseño debido al amplio rango de alternativas para seleccionar el camino que siguen las fuerzas a través de los puntales y los tensores que se interceptan en los nudos. Puesto que la modelación del camino de las cargas es un método plástico con concentración de tensiones y cargas, este método no suministra forma de verificar las condiciones de servicio (deformaciones, por ejemplo), lo que es inherente a estos métodos y que representa el haber alcanzado el estado límite de resistencia en las secciones críticas. En consecuencia, si se producen fisuraciones o deformaciones excesivas, las idealizaciones o suposiciones que se hayan realizado hace que el método sea menos preciso a los efectos del diseño.
4.3 MODELO DEL PUNTAL Y TENSOR.
Los modelos de puntal y tensor son muy utilizados en hormigón armado, y de
hecho se puede pensar que siempre se puede resolver, con una aproximación muy razonable, un problema aplicando este método: se reduce a encontrar los caminos de las fuerzas a través de tracciones y compresiones. Por ello, la tracción simple y la compresión es obvio que son casos especiales. Flexión se puede interpretar que es tracción en un lado y compresión en el otro borde. Corte se puede descomponer en
37
diagonales de tracción y compresión. Los siguientes esquemas en Figs. 42 a 48 muestran distintos casos y posibles idealizaciones.
Fig.42 Modelo de Bielas para el Comportamiento unión interior Viga-Columna. Fig.43 Modelo de Bielas para apoyos de Vigas secundarias y principales.
Fig.44 Modelo de Bielas para Vigas Principales de apoyo que soportan Vigas T. (a) y (b) esquemas. Fig.45 Modelo de Bielas para Nudo (c) y (d) posible solución. Exterior de pórtico. (a) Agrietamiento por diseño inapropiado. (c) (d) (b) modelo puntal-tensor.
38
Fig.46 Ménsula corta. Modelo de Bielas para Nudo (a) cargas y refuerzo. (b) modelo puntal y tensor.
Fig.48 VGA de C-201-05.
Por equilibrio, al menos tres (3) fuerzas deben aparecer en un nudo, como se
indica en la Fig. 49, donde C= Compresión y T= tracción.
39
Fig.49 Clasificación de los nudos.
Los nudos se clasifican de acuerdo con el sentido de las fuerzas que se intersectan en ese punto ideal. Un nudo C-C-T indica que resiste dos fuerzas de compresión y una fuerza de tracción.
La Fig. 50(a) muestra una representación para una VGA simplemente apoyada, y la (b) para VGA continua con cargas concentradas.
Fig.50 (a) Modelo de puntales y tensores para una VGA simplemente apoyada con carga concentrada en borde superior.
Fig.50 (b) Modelo de puntales y tensores para una VGA continua con cargas concentradas.
(a) reticulados para momentos positivos. (b) Reticulados para momentos negativos.
40
Una zona nodal C-C-T, por ejemplo, puede ser representada como una zona nodal hidrostática si el tensor se supone que se extiende a través del nodo y es anclado, por ejemplo, con una placa nodal en el extremo alejado del nudo, o por adherencia. Esto es lo que muestra la Fig. 51. Lo de hidrostático es porque las tensiones en el plano son iguales en todas las direcciones (estrictamente hablando, la terminología no es correcta pues fuera del plano las tensiones no son iguales). La Fig. 52 muestra otras zonas nodales.
Fig.51 Modelo de puntales y tensores.
A los efectos de diseñar la zona critica D, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Aislar la zona D. 2. Evaluar las tensiones que actúan en los bordes de la región D, reemplazando los esfuerzos por uno o más fuerzas que actúan sobre cada borde. 3. Seleccionar un modelo de reticulado para transferir los esfuerzos por la región D. Los ejes de puntales y tensores se deben seleccionar de forma que aproximadamente coincidan con los ejes de los campos de compresión y tracción respectivamente. 4. Determinar los anchos efectivos de los puntales y de las zonas nodales utilizando los esfuerzos obtenidos en punto 3, y las resistencias efectivas del hormigón. En los tensores se debe colocar la armadura determinada según la resistencia del acero.
41
Fig.52 Zonas de Nudos en Modelo de bielas (a) tres puntales en un nudo; (b) dos puntales AE
y CE actuando en un nudo; (c) nudo en zona de soporte y (d) zona nodal subdividida.
Fig.53 Zonas Extendidas de Nudos demostrando el efecto de la distribución de las fuerzas, y forma de medir las longitudes de anclaje (ver también Fig. 57) (a) una capa de armaduras. (b) acero distribuido.
42
Fig.54 Distribución de Tensiones y Modelo de Bielas en VGA, simple apoyo y cargas concentradas. (a) líneas de tensiones principales para viga con carga UD en tope. (b) distribución elástica de tensiones a través de la altura de la viga. (c) modelo de reticulado idealizado. (d) configuración de fisuras.
Si a un nudo concurren más de tres fuerzas, como se insinúa en Fig. 52(b), es necesario utilizar juicio ingenieril para reducir a tres las fuerzas concurrentes. Los esfuerzos de los puntales que actúan en las caras AE y CE se pueden reemplazar por un esfuerzo actuando sobre la cara AC. Este esfuerzo atraviesa el nudo en el punto D. Siempre hay algunas alternativas por lo que no hay una única solución.
Los puntales, tensores y zonas nodales que componen el modelo de bielas
tienen anchos finitos que se deben considerar al seleccionar las dimensiones del reticulado. Por ejemplo, en Fig. 52(a) se ilustra un nudo y la zona nodal. Los esfuerzos vertical y horizontal equilibran el esfuerzo en el puntal inclinado. Si las tensiones son iguales en los tres puntales se puede utilizar una zona nodal hidrostática, y los anchos de los puntales serán proporcionales a los esfuerzos que actúan en los mismos.
El ángulo entre los ejes de los puntales y tensores no debe ser menor de 25
o a
los efectos de minimizar efectos de figuraciones y de evitar incompatibilidades que puedan resultar del alargamiento de los tensores y acortamiento de los puntales que puedan ocurrir prácticamente en las mismas direcciones.
La Fig. 54(c) representa un modelo simplificado de reticulado para las tensiones
principales de tracción y compresión que resultan de una carga distribuida uniforme aplicada en el borde superior de la VGA con simple apoyo. Esta suposición es una alternativa y pueden existir otras: siempre se deben satisfacer condiciones de equilibrio y compatibilidad.
43
4.4 APLICACIÓN DEL MODELO DEL PUNTAL Y TENSOR. C-201-05. 4.4.1 ECUACIÓN DE DISEÑO.
En A.2.6 de la norma se especifica que la ecuación básica es:
und FFF (33)
uF = esfuerzo en un puntal o tensor o esfuerzo que actúa en una cara nodal, debido a
las cargas mayoradas.
nF = Resistencia nominal.
dF Resistencia de diseño
75.0 es el Factor de reducción de resistencia, o sea como el usado en corte.
4.4.2 RESISTENCIA DE LOS PUNTALES. Corresponde al menor valor que resulte de aplicar la ecuación:
ccuns AfF (34)
nsF Resistencia nominal del puntal.
cA Área efectiva de la sección transversal en un extremo del puntal, tomada
perpendicular al eje del puntal.
cuf es el menor valor entre:
(a) resistencia efectiva a compresión en el hormigón en el puntal dada por ´85.0 cscu ff (35)
(b) resistencia efectiva a compresión en el hormigón en la zona nodal, según 5.4.4
0.1s si el área de la sección transversal es uniforme en toda su longitud.
Para el caso en que los puntales estén ubicados de tal forma que el ancho de la
sección transversal de los mismos en la mitad de sus longitudes sea mayor que el
ancho en los nodos, puntales con forma de botella, Fig. 48(b), el valor de s será:
(a) 75.0s si el puntal tiene armadura que resiste fuerzas transversales de tracción,
que resulta de la expansión del esfuerzo de compresión en el puntal. La norma permite suponer que el esfuerzo de compresión en el puntal se expande con una pendiente de 2 en sentido longitudinal por 1 en sentido transversal, como muestra la Fig. 55.
Fig.55 Puntal en forma de botella.
(a) fisuración del puntal.
(b) Modelo de bielas para el puntal forma de botella.
44
(b) 60.0s si el puntal no tiene armadura que resiste fuerzas transversales de
tracción, como el caso anterior, con según Tabla No de este trabajo (sec. 11.7.4.3).
(c) 40.0s para puntales en los elementos traccionados, o en las alas traccionadas
de los mismos.
Cuando la resistencia especificada MPafc 42´ se puede verificar el requisito para
75.0s si se cumple que el eje del puntal es cruzado por capas de armadura que
verifiquen:
003.0)( i
i
si senbs
A (36)
Asi sección total de armadura con separación si en una capa que forma ángulo i con
eje de puntal. Si la armadura se coloca sólo en una dirección, 40o.
Fig.56 Ejemplo y nomenclatura de armadura que atraviesa un puntal en dos direcciones.
La norma aclara que se permite utilizar una mayor resistencia efectiva a la compresión de los puntales debida a presencia de armadura de confinamiento siempre y cuando la misma esté avalada por ensayos y análisis.
También se puede aumentar la resistencia de un puntal si se utiliza armadura de
compresión. La misma debe estar adecuadamente anclada, ser paralela al eje del puntal, estar ubicada dentro del mismo y encerrada por estribos o armadura en espiral que verifique la sección 7.10 de la norma C-201-05. En esos casos:
´´
ssccuns fAAfF (37)
donde ´
sf es la armadura del puntal para la resistencia nominal y se puede obtener a
partir de las deformaciones del mismo al producirse su aplastamiento. En los comentarios se aclara que para aceros AL220 y ADN420 se puede tomar directamente las tensiones de fluencia 220MPa y 420 MPa respectivamente.
45
4.4.3 RESISTENCIA DE LOS TENSORES.
La resistencia nominal de un tensor es:
)( psepsstynt ffAAfF (38)
stA Área de acero no pretensado
psA Área de acero pretensado
sef tensión efectiva en el acero de pretensado luego de las pérdidas
pf incremento de la tensión de pretensado más allá del nivel de cargas de servicio.
Puede tomarse como 420 MPa para armadura pretensada adherente y 70MPa para no adherente.
Además debe cumplirse que pypse fff )( .
Fig.57 Zona nodal extendida y longitudes de anclajes. El eje de la armadura debe coincidir con el eje del tensor en el modelo propuesto. La armadura en los tensores debe estar correctamente anclada sea por ganchos normales o longitudes necesarias de barras rectas, dispositivos para anclajes postensados, ver Fig. 51 (b) y (c), o dispositivos mecánicos. En las zonas nodales que anclan un tensor, el mismo se debe anclar desde el punto donde el baricentro de la armadura del tensor abandona la zonal nodal extendida e ingresa al tramo. Ver Fig. 57.
46
4.4.4 RESISTENCIA DE LAS ZONAS NODALES. La resistencia nominal a la compresión en una zona nodal será:
ncunn AfF (39)
nA Área efectiva de la zona nodal tomada según:
(a) si la cara de la zona nodal es perpendicular al eje del puntal, Fig. 57(a), se toma el área de esa cara.
(b) si la cara de la zona nodal no es perpendicular al eje del puntal, Fig. 57(b), se toma el área de la cara que resulta de atravesar la zona nodal por una perpendicular al eje del puntal.
´85.0 cncu ff Resistencia efectiva a compresión del hormigón en la zona nodal, con:
0.1n en zonas nodales limitadas por puntales o áreas de apoyo, o ambas.
80.0n en zonas nodales que anclan un tensor.
60.0n en zonas nodales que anclan dos o más tensores.
4.5 EJEMPLO N
o4: DISEÑO DE UNA VGA POR EL MÉTODO DE PUNTAL Y
TENSOR.
Determine la armadura para la viga simplemente apoyada que se muestra en la Fig. 58 que soporta una carga concentrada de una columna en el centro del tramo Permanente de 830 KN y Accidental 1150 KN. Considere hormigón H28 y acero ADN 420.
Fig. 58 Ejemplo N
o4.
Unidades inglesas. bw= 50 cm h= 150 cm L= 440 cm Ln= 370 cm Ancho columnas de apoyo= 40 cm Ancho columna de carga=50cm D=83 t L=115 t.
1. Calcular las acciones para diseño por resistencia. Considerar como criterio conservador que el peso propio de la viga está concentrado en donde actúa D y L. Como se verá el peso propio es menos del 10 % de D. DPp=(0.50x1.50x3.70)x2.4 t= 6.67 t y adoptamos 7 t. Pu = 1.2 (83+7) + 1.6 x 115 = 108 + 184 = 292 t 2. Verificar si la viga es esbelta o es VGA . Adopto d=145 cm Ln/h = 370/145 = 2.55 < 4.0 a/d = 205/145 = 1.41 < 2.0 s/C-201-05 sección 10.7 cuando se da alguna de esas condiciones es VGA, y aclara que se debe diseñar o aplicando concepto de tensiones no lineales o modelo de bielas.
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3. Verificar límite para corte último.
tNxNxxdbfdbftRV wcwcAu 240104.2145050028625.0625.06
575.0146 6´´
OK. 4. Adoptar modelo de Bielas.
Fig. 59. Modelo de bielas.
Note: 1 Kip = 1000 lb = 454 Kgr. Se muestran valores de acción y reacción en estado último.
Suponer:
nudos coinciden con ejes de columnas, soportes A y B y eje de cargas C, y ubicados a unos 12.5 cm (para seguir la referencia) de bordes superior e inferior.
Modelo consiste de dos puntales AC y BC y un tensor AB. Tres nudos, A, B y C.
En los nudos A y B puntales de reacción y en C el de cargas. 5. Ángulos, Longitudes y fuerzas en las bielas. Verificar ángulo del puntal:
ootagarc 2532)03.2/27.1(. OK.
Longitud del puntal diagonal mld 39.203.227.1 22
Fuerza en Puntal diagonal: CD= RA/sen32
o = 146t/0.53= 275 t.
Fuerza en el Tensor: T= RA/tag32
o = 146t/0.625= 234 t.
6. Resistencia del puntal.
ccuns AfF
resistencia efectiva a compresión en el hormigón en el puntal dada por ´85.0 cscu ff
Puntal diagonal, suponiendo forma de botella y con armadura especial:
22 /1785.0/28.075.085.0 cmtcmtxxfcu
Para puntales verticales en apoyos y punto de carga:
48
22 /238.0/28.00.185.0 cmtcmtxxfcu
7. Resistencia en zonas nodales. Tensiones:
´85.0 cncu ff Resistencia efectiva a compresión del hormigón en la zona nodal, con:
0.1n en zonas nodales limitadas por puntales o áreas de apoyo, o ambas.
80.0n en zonas nodales que anclan un tensor.
60.0n en zonas nodales que anclan dos o más tensores.
Caso de nudo C que es C-C-C
2/238.028.085.0 cmtxfcu
Caso de nudos A y B que son C-C-T
2/19.028.080.085.0 cmtxxfcu
8. Verificación en Nodo C.
Se supone que existe una zona nodal hidrostática en C, por lo que las fuerzas nodales perpendiculares a los ejes de los respectivos puntales inducen una presión idéntica en cada una de las tres caras. Para satisfacer este criterio de resistencia se debe adoptar el menor valor de tensión de compresión de los puntales que concurren
al nudo, o sea 2/1785.0 cmtfcu , usar el mismo valor para los nudos A y B, y obtener
las longitudes efectivas de las caras de los nudos. La ecuación de diseño es:
uencuncunnnd FblfAfFF
Para la cara Horizontal en el nudo C, ancho de viga b= 50 cm y Fu= 292 t (640kips)
cmcmxtcmx
tl HC
en 62.43501785.075.0
2922
que tiene que ser menor que la dimensión de la columna en ese sentido. Como se debe tener igual presión en las otras caras, las longitudes diagonales del nudo se obtienen a partir de la relación de proporcionalidad:
cmcmt
tl DC
en 4162.43292
275
9. Verificación de dimensiones en Nodo C.
Fig. 60. Geometría en nudo C.
1”=25.4 mm. Las dimensiones no coinciden exactamente con los resultados obtenidos por ajuste de datos y unidades, pero son muy aproximados.
49
El baricentro del triángulo se encuentra a 1/3 de la altura, es decir:
cmcmx 60.1172.343/1)2/62.43(413/1 22
que es similar al valor de 12.5 cm adoptado (8% diferencia) 10. Verificación de dimensiones en Nodos A y B.
El tensor debe provocar una tensión de tracción en la cara vertical de 2/1785.0 cmtfcu , por lo que la dimensión vertical en esos nudos debe ser:
cmcmxtcmx
tl VA
en 95.34501785.075.0
2342
El centro del tensor está localizado a (34.95/2) cm=17.5cm, con un error ya del
casi 40 %. Se hace decide hacer reajuste, suponiendo baricentro inferior a 18 cm y superior de 12 cm.
Fig. 61. Geometría en nudo A. Nota: se deja al lector el reajuste de dimensiones según lo que se ha obtenido.
11. Ángulos, Longitudes y fuerzas en las bielas. Verificar ángulo del puntal:
ootagarc 2559.30)03.2/20.1(. OK.
Longitud del puntal diagonal mld 358.203.220.1 22
Fuerza en Puntal diagonal: CD= RA/sen30.59
o = 146t/0.519= 287 t.
Fuerza en el Tensor: T= RA/tag30.59
o = 146t/0.59= 247 t.
12. Re-evaluación en Nodo C.
cmcmt
tl DC
en 87.4262.43292
287
El baricentro del triángulo se encuentra a 1/3 de la altura, es decir:
cmcmx 30.1290.363/1)2/62.43(87.423/1 22
50
que es similar al valor de 12 cm adoptado (2.5% error).
13. Re-evaluación de dimensiones en Nodos A y B.
cmcmxtcmx
tl VA
en 90.36501785.075.0
2472
El centro del tensor está localizado a (36.90/2) cm= 18.45 cm, con un error
aceptable de casi 2.5 %. Se puede obtener ahora la dimensión horizontal del nudo en A y B:
cml HA
en 82.2190.3687.42 22
14. Armadura que resista separación de puntales diagonales.
Ángulo de la diagonal prácticamente 30o. En Ref. a Fig. 56, 1= 30
o y 2= 60
o.
Para la armadura vertical, como el ancho de la viga es de 50cm, adopto 4 ramas de 10mm cada 25cm. Para el horizontal adopto la misma armadura, por lo que:
Condición:
003.00035.0)5.0867.0(2550
80.04)(
2
cmcmx
cmxsen
bs
Ai
i
si
Por lo que es correcto haber adoptado 75.0s .
15. Suministrar armadura en tensores.
2
241.78
/2.475.0
247cm
cmtx
t
f
FA
y
us
Se adoptan 16 barras =25mm que proveen 78.56cm2.
Fig. 62. Armadura principal de Tracción.
51
16. Anclaje.
Fig. 63. Anclaje de Armadura principal de Tracción.
El anclaje se debe medir desde el punto donde el tensor o baricentro de los tensores dejan o salen de la zonal nodal extendida, como se indica en la Fig. 63.
Longitud de desarrollo necesaria para barras con extremo recto:
cmcmdf
fl b
c
y
dh 1255.228
420625.0625.0
´
Longitud disponible de anclaje: La mitad de longitud de cara horizontal de nudo es 10.91cm. Mitad de longitud de cara vertical de nudo es 18.45cm Tag.30
o=0.577=18.45cm/x………………..x=18.45cm/0.577 = 32cm
Suponiendo 5 cm de recubrimiento: Longitud disponible: 32 + 10.91 +20 – 5 = 57.91 cm No es posible anclaje con extremo recto. Longitud de desarrollo necesaria para barras con gancho a 90
o:
cmcmdf
fl b
c
y
dh 60.475.228
42024.024.0
´
Por lo que es posible el anclaje con ganchos según Fig. 62. La Fig. 64 muestra otra posibilidad de modelación.
Fig. 64. Modelo alternativo de Bielas.
52
5. BIBLIOGRAFÍA. [1] “Reinforced Concrete Structures”, Robert Park and Tom Paulay. John Wiley
& Sons. 1975.
[2] “Reglamento CIRSOC 201-2005” y Comentarios. INTI. 2005.
[3] “Reinforced Concrete. A fundamental Approach”. E. Nawy. ACI-318-05. 2005.
[4] “Análisis y Diseño al Corte”. C.R. LLopiz. Apunte. Hormigón I. FI-UNCuyo. Rev. Feb.2008. 86 pág.
[5] “Diseño de Estructuras de Concreto”. Arthur Nilson. Mc Graw Hill. 12 edición. 2000. [6] “Estructuras de Hormigón Armado”. Fritz Leonhardt. Tomo II. El Ateneo. 1990. [7] “New Zealand Standard”, NZS, 3101:1995, Parte 1 (Código) y Parte 2 (Comentarios).
[8] “Anclajes y Empalmes”. C. R. LLopiz. Apunte. Hormigón I. FI-UNCuyo. Rev. Sep.2007. 86 pág.
[9] “Notes on ACI-318-02 Building Code Requeriments for Structural Concrete”. PCA Portland Cement Association. Edited by David Fanella & Basile Rabbat.