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VIBRACIONES
1.- Una masa de 8 kg se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento,
segn se indica en la figura. Los dos resortes estn sometidos a traccin en todo
momento y las poleas son pequeas y exentas de rozamiento si se desplaza la masa2 mm hacia la derecha de su posicin de equilibrio y se suelta con una velocidad de
800 mm por segundo hacia la derecha cuando t=0 determinar:
a)
La ecuacin diferencial que rige el movimiento.
b) El periodo.
Solucin:
= 022 + 33 = 04 + 9 = 0En una posicin cualquiera
22 + 2 33 + 3=
22 22 33 33 =
4 4 + 9 9 =
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+ 4+ 9= 0
+4+ 9
= 0+ = 0
= 4+ 9 = 700=2= 2700= 0.2375
2.- El pndulo mostrado consiste en un disco homogneo de M en kg, unido a una
barra esbelta de m en kg. Cul es la frecuencia natural de las pequeas vibraciones
del pndulo?
DESARROLLO
Podemos escribir la energa cintica de la barra y del disco
T =12 Ivariaddt +12 Iiddt
T =12 [(13 mL) + (12 MR+L + RM)] d/dt
Donde:
m=masa de la varilla
M=masa del disco
L=longitud de la barra
R=radio de la esfera
Ahora calculamos la energa potencial de la barra y la esfera
V = mgLcos2 MgRcos
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= gcos2 + 2Ahora si sumamos la energa cintica y potencial ser constante (por ley de
conservacin de la energa)
T + V =12 [(13 mL) + 12 mR+L + RM] d/dt + [ gcos2 + 2]= cteSi derivamos la ecuacin anterior respecto al tiempo tenemos
12 [(13 ) + (12 + + )] / d/dt+ + 2 = 0Dndole la forma de la ecuacin general
ddt
+ w
= 0
ddtddt+ g2 +212 13 mL + 12 MR+ L + RM = 0Por tratarse de oscilaciones pequeas sen = , as hallamos la frecuencia naturalcircular
w = g2 + 212 13 mL + 12 MR+ L + RMAhora para la frecuencia aplicamos la relacin entre la frecuencia natural circular
(w) y la frecuencia natural f f = w2
f = 212 13 mL + 12 MR+ L + RMg2 + 2
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f = 212 13 mL + 12 MR+ L + RMg2 + 2
f = 212 13 0.20.06 + 12 10.05+0.05 + 0.0619.812 0.20.06+ 210.05 f = 1.4Hz
3.- Hallar el periodo del sistema si = 5 = 10si la masa del bloque es 1 kg.
Solucin
Resortes paralelos = + = 10 + 10 = 20 /Resortes en Serie:
Donde:
m=0.2kg
M=1kg
L=0.06mR=0.05m
g=9.81m/s2
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1= 1+ 1= 120+151=1 + 420 = 520= 4 /
Ecuacin de reposo = 0 = 1Aplicando la Segunda Ley de Newton =
+ + =
+ = 2Reemplazando la ecuacin (1) en (2) + = =
+ = 0 Ecuacin Diferencial HomogneaMultiplicando (1/M) + = 0 Ecuacin NormalizadaResolviendo la ecuacin diferencial homognea, tenemos+ 0 + = 0+ 0 + = 0
+ 0 + = 0
+ 0 + = 0
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+ = 0Como = Entonces
= = 4 /1 = 2 3Reemplazando (3) en la ecuacin del periodo=2=22 = 3.14
4.- Una varilla delgada de 1 m de longitud est suspendida de un alambre como se
muestra en la figura, el alambre de cual est suspendida tiene un momento
rotacional de 0.2 N*m provocando un desplazamiento angular de 0.1 rad. Si la masade la varilla es de 0.5kg Calcular la frecuencia de las oscilaciones torsionales?
Hallando la constante de torsin = 0.2 = 0.1 = 2
Aplicando la segunda Ley de Newton
= = = 12 2 = 1 24
48 =
+48 = 0
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+ = 0Como = 48Entonces = 6.928 Periodo
=
Frecuencia = = 1.10 5.- En la Fig. la barra esbelta homognea tiene L pies de longitud y pesa w lb. La
resistencia aerodinmica y la friccin en el soporte ejercen un momento resistente
sobre la barra de magnitud y (/) pie-lb, donde (/es la velocidad angularde la barra en s.
(a)Cules son el periodo y la frecuencia natural de las pequeas vibraciones de la
barra?
(b)Cunto tiempo pasa antes de que la amplitud de la vibracin disminuya a lamitad de su valor inicial?
Solucin
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Parte a)
= . 2 =13
De la ecuacin anterior la ecuacin(lineal izada) de movimiento es
+ 3 + 32 = 0.Esto es de la forma de la ecuacin de un sistema con amortiguamiento donde
=32 Y la frecuencia del amortiguamiento es
= 32Suponemos que
> , por lo que el movimiento es subcritico o sobre amortiguado
= =32 32
Ahora la frecuencia y el periodo
=2= 12 32 32
=2= 232 32
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Parte b)
Nos piden la amplitud en la mitad de su valor inicial, dado que la amplitud es
proporcional a
hacemos.
= = 0.5ln = ln0.5
32 = ln0.5
= ln0.5 32 = ln0.5 23
PARTE a)
Para la frecuencia natural
=
2= 12 32 32
=2= 12 332.224 30.521032.24 = 0.55
Para el periodo
=2= 232 32
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=2= 2
332.224 321032.2 4= 1.8
PARTE b)
El tiempo que pasa antes de que la amplitud de la vibracin disminuya a la
mitad de su valor inicial
= ln0.5 2
3
= ln0.5 210/32.2430.5 = 4.59