UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ING. CIVIL

DINÁMICA CAPITULO 10

10.1 INTRODUCCIÓN A LA VIBRACIÓN10.2 VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

INTRODUCCIÓN A LA VIBRACIÓN

• La vibración se define simplemente como el movimiento oscilante de un cuerpo, en direcciones alternativamente opuesta, respecto a la posición de equilibrio estático.

• Hay dos tipos generales de vibración: la vibración libre y la vibración forzada. En el caso de la vibración libre, el sistema oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras elásticas o gravitacionales únicamente, sin otra fuerza externa que actué sobre el mismo. Como ejemplo, considérese el péndulo simple que aparece en la figura 10.1.

• Todas las vibraciones son amortiguadas por fuerzas de fricción que disminuyen el movimiento disipando la energía mecánica del sistema. Sin embrago, en algunas aplicaciones de ingeniería en las que el amortiguamiento es pequeño, puede despreciarse en el análisis su efecto sobre la vibración de un sistema. A esta vibración ideal se le conoce como no amortiguada.

• Consideremos un sistema simple formado por un bloque de masa m soportado por un resorte de rigidez k, como se ve en la siguiente figura 10.2.

VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

• Supongamos que la masa del resorte es despreciable y su longitud sin estirar es la que aparece en la figura anterior. La posición de equilibro estático del sistema resorte-masa se muestra en la figura 10.2b, en donde δ representa la elongación del resorte en la posición de equilibrio. Como lo indica el diagrama de cuerpo libre del bloque (figura 10.2c), el bloque esta en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas: su peso W y la fuerza del resorte

_ = . Al aplicar la ecuación del equilibrio, ∑ = 0, obtenemos: 𝐹 𝑥 𝑘𝛿 𝐹𝑥−𝑾 𝒌𝜹= 𝟎 o = (10.1)𝑾 𝒌𝜹

• En seguida, ponemos que el bloque se desplaza en la dirección descendente desde su posición de equilibrio y se suelta. Como el resorte tira del bloque, este regresara a la posición de equilibrio con una velocidad mayor de cero. No habiendo fuerzas de amortiguamiento, el bloque continuara oscilando indefinidamente respecto a su posición de equilibrio estático.

• Consideremos que el desplazamiento del bloque oscilante respecto a la posición de equilibrio, en cualquier instante de tiempo t, lo define la coordenada x (figura 10.2d), el cual se mide como positivo en la dirección descendente. Como solo se requiere una coordenada x para describir el movimiento del bloque. El diagrama de cuerpo libre del bloque en la posición desplazada x se muestra en la figura 10.2e. Se considera que la aceleración = es positiva en la 𝑎dirección del desplazamiento positivo x. Al aplicar la segunda ley del movimiento de Newton, ∑ = , obtenemos𝐹 𝑥 𝑚𝑎−𝑾 𝒌( + )= =𝜹 𝒙 𝒎𝒂 𝒎

• Como por la ecuación (10.1) = , la ecuación 𝑾 𝒌𝜹anterior se convierte en − = , o sea + =𝑘𝑥 𝑚 𝒎 𝒌𝒙 𝟎(10.2)• Midiendo el desplazamiento x desde la posición de

equilibrio en lugar de hacerlo desde una posición escogida arbitrariamente, podemos eliminar las fuerzas iguales y opuestas W y de la ecuación (10.2). 𝑘𝛿

• Por lo general la ecuación anterior se escribe en la forma (10.3)en la cual: (10.4)

• A la constante se le llama frecuencia natural circular de la vibración y se expresa en unidades de radianes/segundo. La solución general de la ecuación general del movimiento (10.3)

es de la forma (10.5)

• En la cual se determinan las constantes y a partir del desplazamiento inicial 𝑥0 y la velocidad inicial 𝑣0 del sistema. Derivando la ecuación (10.5) sucesivamente con respecto al tiempo t, se obtienen las ecuaciones de la velocidad y la aceleración como

= (10.6) (10.7)

• Sustituyendo , en las ecuaciones (10.5) y (10.6), respectivamente a , obtenemos como: 𝑦• Encontramos entonces la expresión para el desplazamiento x en

función de las condiciones iniciales sustituyendo las ecuaciones (10.8) en la ecuación (10.5). Así,

(10.9)

• Las expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración pueden escribirse de manera mas conveniente como ecuaciones trigonométricas independientes utilizando diferentes constantes A y , las cuales están relacionadas con las constantes 1 y 2 por las ecuaciones𝐶 𝐶

y (10.10)• Sustituyendo las ecuaciones (10.10) en la ecuaciones (10.5), escribimos

o

• Derivando la ecuación (10.11) en forma sucesiva con respecto al tiempo, obtenemos las expresiones para la velocidad y la aceleración en la forma alternativa

(10.12) (10.13)

• Se pueden determinar las constantes A y sustituyendo las condiciones iniciales = 𝑥 𝑥0 y = 𝑣 𝑣0 en las ecuaciones (10.11) y (10.12), respectivamente, en t = 0 y resolviendo las ecuaciones resultantes para A y . Así,

(10.14)y

(10.15)

• Elevando al cuadrado y sumando las dos ecuaciones, obtenemos𝐴^2=𝑥0^2+(𝑣0 ∕ )^2𝜔𝑛𝑨=√( ^ +(𝒙𝟎 𝟐 𝒗𝟎/ )^ ) 𝝎𝒏 𝟐(10.16)Se puede dividir luego la ecuación (10.14) entre la ecuación (10.15) para obtener

tan Φ=𝑥0/((𝑣0 / ) ); = ^(− ) (𝜔𝑛 𝜱 𝒕𝒂𝒏 𝟏 𝝎𝒏𝒙𝟎/𝒗𝟎 ) (10.17)

• El movimiento del bloque, como lo expresa la ecuación (10.11) esta representado gráficamente en la fig. 10.3ª. Este movimiento se denomina movimiento armónico simple. Por la figura, vemos que el movimiento es oscilatorio y que se repite después de que el ángulo ha aumentado en 𝝎𝒏𝒕2π radianes. En otras palabras, transcurren "2π" / segundos desde el 𝝎𝒏instante en que pasa el bloque por una posición moviéndose en una dirección, hasta que vuelva a pasar por la misma posición moviéndose en la misma dirección. Este intervalo que se requiere para completar un ciclo del movimiento se llama el periodo natural de la vibración y los da la expresión

(10.19)

• El periodo natural se expresa comúnmente en segundos. Al numero de ciclos completados por unidad de tiempo se le llama frecuencia natural de la vibración y se expresa en la forma

La frecuencia natural se expresa generalmente en ciclos por 𝑓𝑛segundo o hertz, siendo 1 Hz = 1 ciclo/s.

• El método de análisis de un sistema simple de resorte-masa que se desarrolla en esta sección es general en el sentido de que se puede aplicarse a cualquier sistema de un solo grado de libertad que experimente vibración libre transnacional no amortiguada, siempre que la fuerza restauradora que actué sobre la partícula o cuerpo sea linealmente proporcional al desplazamiento. En el caso general de sistemas que contiene varios resortes, se hace necesario usar una rigidez equivalente, a la que por lo común se llama rigidez efectiva, del sistema en análisis. La rigidez efectiva es la 𝑘𝑒𝑓rigidez de un solo resorte equivalente a los resortes múltiples del sistema.

• Si bien en la mayoría de los casos la puede determinarse directamente por inspección, en algunos otros es necesario determinar primero la deflexión del sistema bajo una carga estática F y calcular luego la rigidez efectiva utilizando la relación .

PROBLEMAS

EJEMPLO10.1 UNA MÁQUINA DE 400 LB ESTÁ SOPORTADA POR CUATRO RESORTES, CADA UNO CON UNA RIGIDEZ DE 1200 LB/PIE. LA MÁQUINA SE EMPUJA 2 PULGADAS HACIA ABAJO DESDE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO Y LUEGO SE SUELTA CON UNA VELOCIDAD ASCENDENTE DE 2 PIES/S. PARA LA VIBRACIÓN QUE OCURRE EN SEGUIDA, DETERMINE LA FRECUENCIA NATURAL CIRCULAR, EL PERIODO NATURAL, LA FRECUENCIA NATURAL, LA AMPLITUD DEL MOVIMIENTO MEDIDA DESDE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO ESTÁTICO, LA VELOCIDAD MÁXIMA DE LA MÁQUINA Y LA ACELERACIÓN MÁXIMA DE LA MÁQUINA.

SOLUCIÓN:

Ya que la maquina esta soportada por cuatro resortes paralelos, la rigidez efectiva del sistema queda de la siguiente manera:

La masa de la maquina es:

De la ecuación de movimiento vibratorio simple no amortiguado que dice:

Tenemos que la ecuación para el movimiento de la maquina es la siguiente:

Donde se mide positiva hacia abajo desde la posición de equilibrio estático de la máquina.

Para la frecuencia natural circular:

Periodo Natural:

Frecuencia Natural:

Para el cálculo de la amplitud hacemos uso de la ecuación:

Velocidad máxima: Si la función coseno es máxima en +1 entonces la velocidad máxima seria:

Aceleración máxima: Si la función seno es máxima en -1 entonces la aceleración máxima seria:

EJERCICIO 10.1UN BLOQUE DE 30 LB ESTÁ SOPORTADO POR UN RESORTE DE RIGIDEZ K= 200 LB/PIE. DETERMINE A) LA FRECUENCIA NATURAL CIRCULAR Y B) EL PERIODO NATURAL DE VIBRACIÓN DEL BLOQUE. SI EL BLOQUE SE DESPLAZA 6 PULGADAS HACIA ABAJO DE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO Y SE SUELTA, DETERMINE C) LA AMPLITUD DE LA VIBRACIÓN, D) LA VELOCIDAD MÁXIMA Y E) LA ACELERACIÓN MÁXIMA DEL BLOQUE.

SOLUCIÓN:Suponiendo que está en equilibrio

 

EJERCICIO 10.3 UN BLOQUE DE 7 KG ESTÁ SUJETO A UN RESORTE DE RIGIDEZ K = 900 N/M. DETERMINE A) LA FRECUENCIA NATURAL CIRCULAR Y B) EL PERIODO NATURAL DE VIBRACIÓN DEL BLOQUE. SI SE LE DA AL BLOQUE UNA VELOCIDAD INICIAL DE 0.2 M/S HACIA LA IZQUIERDA ESTANDO EN LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO, DETERMINE C) LA AMPLITUD DE LA VIBRACIÓN, D) LA VELOCIDAD MÁXIMA Y E) LA ACELERACIÓN MÁXIMA DEL BLOQUE.

SOLUCIÓN:

Si

A=

EJERCICIO 10.5CUANDO UN CONTENEDOR QUE PESA 5 LB SE SUJETA AL RESORTE Y SE SUELTA LENTAMENTE, EL RESORTE SE ALARGA 1.5 PULGADAS. DESPUÉS SE COLOCA UN BLOQUE DE 3 LB EN EL CONTENEDOR, COMO SE ILUSTRA. DETERMINE EL PERIODO NATURAL DE VIBRACIÓN DEL SISTEMA.

SOLUCIÓN:

EJERCICIO 10.7DEMUESTRE QUE LA FRECUENCIA NATURAL CIRCULAR DE VIBRACIÓN DEL SISTEMA QUE SE ILUSTRA ES ΩN = √((K1+K2)/M). EL BLOQUE ESTÁ OBLIGADO A MOVERSE ÚNICAMENTE EN LA DIRECCIÓN VERTICAL, COMO SE ILUSTRA.

SOLUCIÓN:

m + kx = 0m + x + x = 0m + ( + x = 0 + x = 0

Entonces,

EJERCICIO 10.9EL BLOQUE DE 25 LB SE DESPLAZA 1 PULGADA HACIA LA DERECHA DESDE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO Y SE SUELTA. PARA LA VIBRACIÓN RESULTANTE, DETERMINE A) LA FRECUENCIA NATURAL CIRCULAR, B) LA VELOCIDAD MÁXIMA Y C) LA ACELERACIÓN MÁXIMA DEL BLOQUE.

Datos:;  

Solución:a.-) b.-) si V0=0; Entonces A = 0.0833pie.= 1.794 pie/sc.-)

TERMINAMOS, MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN.