2016

JUAN CAMILO PINEDA

DANIEL CASTAÑO CARDONA

JESÚS GARRIDO LEON

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA.

28-5-2016

RESPUESTA VIBRATORIA INDUCIDA POR EL DESBALANCEO DE LA COLA DE UN HELICÓPTERO

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Sabiendo que unas de las aspas del rotor de la cola de un helicóptero tiene una

masa desbalanceada de 0.8 𝑘𝑔 a una distancia de 0,2 𝑚 del eje de rotación, la cola

tiene de longitud de 4,5 𝑚 con una masa de 300𝑘𝑔, una rigidez flexional 𝐸𝐼 =

2.5 𝑀𝑁𝑚2, la relación de amortiguamiento de la cola es de 0.2, y el rotor de la cola

posee una masa de 25 kg. Conociendo lo anterior, se hace necesario estimar la

respuesta vibratoria, cuando las aspas tienen un régimen de giro igual a 1800 RPM.

Figura1. Helicóptero

DATOS CONOCIDOS.

Rotor:

m: masa desbalanceada 𝑚 = 0,8 [𝐾𝑔]

e: excentricidad 𝑒 = 0,2 [𝑚]

M: masa rotor 𝑀 = 25 [𝐾𝑔]

ω : Régimen de giro aspas 𝜔 = 1800 [𝑅𝑃𝑀]

Cola:

L: Longitud 𝐿 = 4,5 [𝑚]

mc: masa de la cola 𝑚𝑐 = 300 [𝐾𝑔]

EI: Rigidez Flexional 𝐸𝐼 = 2,5 [𝑀𝑁𝑚2]

ζ : Relación de amortiguamiento. 𝜁 = 0,2

Figura 2. Ubicación de los diferentes datos en un esquema del helicóptero.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA.

Para la solución del problema presente se asumirá la cola helicóptero como una

viga en voladizo y al rotor como una masa M apoyada en el extremo de la viga,

como se puede observar en la figura 3.

Figura 3. Simplificación del sistema del helicóptero.

Es necesario llegar a un sistema mucho más simple de analizar, el sistema masa-

resorte- amortiguador que se muestra a continuación en la figura4.

Figura 4. Simplificación del sistema inicial a un sistema masa-resorte-amortiguador.

𝑀 = 25 𝑘𝑔

𝑚 = 0,8 𝑘𝑔

𝑒 = 0,2 𝑚

𝑚𝑐 = 300 𝑘𝑔, 𝐿 = 4,5 𝑚, 𝐸𝐼 = 2,5 𝑀𝑁𝑚2 𝜁 = 0,2

Para esto se hace necesario calcular la masa equivalente del sistema, la cual estaría

ubicada en el extremo libre de la viga y se hallará, por medio de la suma entre la

masa del rotor y la masa equivalente del peso de la viga que esta aplicada en el

extremo libre.

Primero se procederá a hallar la masa equivalente del peso de la viga aplicada en

su extremo libre, por lo cual se utilizan las expresiones conocidas para este tipo de

sistemas.

DEFLEXIÓN PARA UNA VIGA EMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL EN EXTREMO.

DEFLEXIÓN PARA UNA VIGA EMPOTRADA CON CARGA DISTRIBUIDA.

De las anteriores expresiones se obtiene que las deflexiones en los extremos son:

𝑌𝐵 =𝑃𝐿3

3𝐸𝐼 (1) ; 𝑌𝐵 =

𝑊𝐿4

8𝐸𝐼 (2)

Para hallar la carga equivalente P que genera la misma deformación que W se

igualan las expresiones 1 y 2 y se despeja la carga P en función de W y L y se

obtiene:

𝑃 =3𝑊𝐿

8

Sabiendo que: 𝑊 ∗ 𝐿 = 300 𝐾𝑔, por tanto: 𝑃 = 112,5 𝐾𝑔. La cual es la carga

equivalente del sistema aplicada en el extremo libre.

Teniendo la carga equivalente se halla la masa equivalente en el sistema

𝑀𝑒 = 𝑃 + 𝑀 = 112,5 + 25

𝑀𝑒 = 137,5 𝐾𝑔

Para hallar la constante de rigidez K del sistema, es necesario hacer uso de la

expresión (1) , para la deflexión en vigas empotradas; de (1), se despeja, la carga

P y se obtiene:

𝑌𝐵 ∗ 3𝐸𝐼

𝐿3 = 𝑃

La anterior expresión, tiene la forma de una fuerza elástica 𝐹 = 𝐾𝑌, de la cual, la

constante de rigidez viene dada por:

3𝐸𝐼

𝐿3= 𝐾 =

3 ∗ 2,5 ∗ 106𝑁𝑚2

(4,5𝑚)3

= 82,304𝑘𝑁

𝑚

Con los datos anteriormente encontrados, se procede a hallar la frecuencia natural

del sistema:

𝜔𝑛 = √𝐾

𝑀𝑒= √

82304

137,5= 24,5

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔

Se halla también la frecuencia del rotor trasero:

𝜔 = 1800 𝑟𝑒𝑣

𝑚𝑖𝑛∗

1𝑚𝑖𝑛

60𝑠∗

2𝜋𝑟𝑎𝑑

1𝑟𝑒𝑣= 188,5

𝑟𝑎𝑑

𝑠

Con lo cual se tienen todos los datos necesarios para el análisis simplificado: masa-

resorte-amortiguador que se muestra en la figura 4.

Para poder estimar la respuesta oscilatoria se utiliza la solución de la ecuación

diferencial del movimiento, la cual es:

(3)

Dónde:

𝑋 =𝑚∗𝑒

𝑀𝑒∗ (

𝜔

𝜔𝑛)

2|𝐻(𝑖𝜔)| (4)

Dónde:

(5)

𝑟 =𝜔

𝜔𝑛=

188,5

24,5= 7,7; 𝑟2 = 59,29

Reemplazando los valores, en (5), se obtiene:

|𝐻(𝑖𝜔)| = 0,01713

Reemplazando en 4, se tiene:

𝑋 = 1,18 ∗ 10−3 𝑚 = 1,18 𝑚𝑚

Por tanto, la respuesta vibratoria del sistema que se tiene, debida al desbalanceo

en el aspa del rotor trasero viene dada por la siguiente expresión, asumiendo 𝜑 = 0

𝑥(𝑡) = 1,18 cos(188,5𝑡).