vectores, calculo y formulario
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Calculo y formulario de vectores, documento word, introducción a la física.TRANSCRIPT
VECTORES
V E C T O R E S
2.1 -DEFINICION GEOMETRICA
Comenzaremos expresando la definicin geomtrica de los vectores lo cual consiste en un smbolo grfico denominado vector que posee punto de aplicacin, direccin y sentido, es un elemento que se utiliza cuando se estudia el movimiento de un punto material, para lo cual no basta con indicar un nmero, sino debemos establecer direccin y orientacin, todo eso se obtiene con el smbolo grfico llamado vector.
La longitud de un vector en una cierta escala, representa su medida y se llama mdulo del vector.
2.2 -OPERACIONES FISICAS CON VECTORES
2.2.1 -SUMA DE VECTORES.- Como hasta el momento estamos considerando el vector como un smbolo grfico, la existencia del vector como tal, conlleva a reglas operativas, particularmente las fundamentales de suma de vectores y de producto de un vector por un nmero real (escalar).
La resultante de dos vectores u, v s obtiene por la llamada ley del paralelogramo, esto es u + v es la diagonal del paralelogramo formado por u y v tal como se tiene en el grfico.
1
1
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2
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.......
-
-
-
-
-
-
=
n
n
n
n
n
n
u
c
c
u
c
c
u
c
c
u
Figura 1
Cuando tenemos tres vectores, sean estos u, v, w, se obtiene la resultante de los dos primeros, formando el respectivo paralelogramo y y luego dicha resultante se suma con el vector restante de igual manera construyendo un segundo paralelogramo cuya diagonal ser la suma final, tal como se observa en el grfico.
d
u
v
u
v
u
v
u
v
n
n
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u+v
d
u
v
d
u
v
d
u
v
d
u
v
d
u
v
u
u
u
u
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b
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u
v
d
u
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d
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d
u
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u
u
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1
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v
v
v
v
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-
+
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+
+
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w
Figura 2
2.2.2 -MULTIPLICACION POR ESCALAR.- El producto ku del nmero real k por el vector u, se obtiene multiplicando la magnitud de u por k y conservando la misma direccin si k > 0 o direccin opuesta si k < 0, tal como se observa en los grficos.
u
u
u
u
u
u
n
=
=
+
+
+
.
.
.
.
.
.
.
.
1
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2
Figura 3 Figura 4
Matemticamente identificamos un vector con su punto final, es decir si estamos en el espacio R2, llamaremos al par (a,b) un vector.
2.3 -LOS VECTORES COMO N-UPLAS DE NUMEROS REALES
Una vez que hemos analizado aspectos fsicos de los vectores, valindonos por ltima vez de la geometra, veamos una definicin general de lo que ser un vector para el lgebra lineal.
2.3.1 -EN EL ESPACIO R1.- Consideremos como espacio, un espacio R1, esto es una recta orientada con un punto de origen 0 y una unidad de medida. En razn de que el punto de aplicacin puede ser escogido arbitrariamente, convengamos en adoptar como origen de todos los vectores de R1 el punto 0, por tanto los vectores sobre la recta sern individualizados por su punto final x1, esto es existir correspondencia biunvoca entre los vectores de R1 y los nmeros reales, tal como se observa en el grfico.
x1
0 P
Figura 5
2.3.2 -EN EL ESPACIO R2.- Consideremos un espacio R2, sean los ejes x1 y x2, en lugar de los smbolos X y Y usados comnmente, consideremos como origen de todos los vectores de R2 el origen del sistema de coordenadas, existir una correspondencia biunvoca entre los vectores de R2 y los puntos de R2, que son estos ltimos los pares ordenados de nmeros reales (x1, x2), tal como se observa en el grfico.
Figura 6
2.3.3 -EN EL ESPACIO R3.- Si establecemos las mismas consideraciones ya efectuadas en R1 y R2, para el espacio de tres dimensiones llamado R3 es fcil deducir que entre los vectores de R3 y los puntos de dicho espacio que son ternas ordenadas de nmeros reales (x1, x2, x3) se establece una correspondencia biunvoca, tal como se observa en el grfico, formando un paraleleppedo.
X3
x3
P(x1,x2,x3)
x2 X2
x1
X1
Figura 7
Realizadas las consideraciones en los espacios R1, R2, R3 que pueden ser graficados, nos encontramos con una va natural para definir un vector de un espacio Rn, siendo n entero y positivo.
2.3.4 -DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR.- Se dice vector de un espacio Rn una n-upla ordenada de nmeros reales
(x1, x2, x3,.....xn).
Los nmeros x1, x2,......, xn se llaman componentes del vector.
Ejemplo de vectores:
u = (1, 2, -2) es un vector del espacio R3
v = (2, 3) es un vector del espacio R2
z = (1,-3, 2, 1, 0) es un vector del espacio R5
2.4 -SUMA DE VECTORES EN Rn
Dados dos vectores en Rn
u = (u1, u2, ........,un)
v = (v1, v2, ........,vn)
Se dice suma de los dos vectores al vector w que tiene por componentes la suma de las componentes correspondientes, esto es:
w = u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3, ..........,un+vn)
Es claro que para que pueda efectuarse la suma de vectores, deben tener el mismo numero de componentes, esto es pertenecer al mismo espacio.
Tambin la definicin dada se extiende para cuando sumamos mas de dos vectores.
Ejemplo en R2 (que puede ser graficado)
u = (2, 3)
v = (4, -1)
u+v = (2+4, 3-1) = (6,2)
Figura 8
2.5 -VECTOR NULO
Se llama vector nulo (de n componentes) i se indica con 0 el vector que tenga todas las componentes nulas.
0 = (0, 0, 0, ........., 0)
2.6 -MULTIPLICACION POR ESCALAR
El producto de un vector v = (v1, v2,.......,vn) por un numero real c es el vector que se obtiene multiplicando cada una de las componentes por c
cv = (cv1, cv2, ........., cvn)
2.7 -PRODUCTO INTERNO
Sean u y v vectores en Rn
u = (u1, u2, .........,un) v = (v1, v2, ........,vn)
El producto interno (o producto punto) de u y v expresado u.v, es el escalar que se obtiene multiplicando las componentes correspondientes de los vectores y sumando los productos resultantes.
u.v = (u1.v1 + u2.v2 +........ + un.vn)
Ejemplo
u = (1, 2, -3, -2)
v = (-2, -1, 2, 1)
u.v = (1.[-2] + 2.[-1] + [-3].2 +[-2].1)
u.v = -2 - 2 -6 -2 de donde u.v = -12
2.7.1 -VECTORES ORTOGONALES
Cuando el producto interno de dos vectores u y v es cero, dichos vectores se llaman ortogonales.
Ejemplo en R3
u = (2, -1, 3)
v = (-1, 4, 2)
u.v = (2*[-1] + [-1]*4 + 3*2)
u.v = -2 - 4 + 6 de donde u.v = 0 (vectores ortogonales)
Las propiedades bsicas del producto interno en Rn, para vectores u, v, w pertenecientes a Rn y cualquier escalar k perteneciente a los nmeros reales, son las siguientes;
(u+v).w = u.w + v.w
(k.u).v = k.(u.v)
u.v = v.u
u.u > 0 y u.u = 0 s y slo s u=0
2.8 -PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE VECTORES
Para todo vector u, v, w perteneciente a Rn y escalares a, b,
c, tenemos:
a) u + v = v + u (propiedad conmutativa)
b) (u + v) + w = u + (v + w) (propiedad asociativa)
c) u + 0 = u (vector nulo para adicin)
d) 0.u = 0 (vector nulo en producto)
e) 1.u = u (vector identidad producto)
f) c(u + v) = cu + cv (propiedad distributiva del
producto de una suma de
vectores por un escalar)
g) (a + b)u = au + bu (propiedad distributiva del
producto de un vector por
una suma de escalares)
h) (ab)u = a(bu) = abu (propiedad asociativa del
producto de escalares por un
vector)
2.9 -NORMA Y DISTANCIA EN Rn
Consideremos los vectores u y v en Rn
u = (u1, u2, u3,.......,un) v = (v1, v2, v3,.......,vn)
la distancia entre los puntos u y v la definimos por:
La norma o longitud del vector u escrito ||u|| se define como la raz cuadrada no negativa de u.u
Para cualquier vector u, el producto u.u ( 0, la igualdad se da slo s u = 0
Vale sealar que la presente definicin concuerda exactamente con las de distancia y longitud conocidas para los espacios de UNA, DOS Y TRES dimensiones que pueden ser representadas grficamente y que son deducidas a travs de la Geometra Analtica.
EJEMPLO # 1
Sean los vectores u = (2,-3,0,1) y v = (3,-2,-1,2). Hallar d(u,v), ||u|| , ||v||
EJEMPLO # 2
Sean los vectores u= (1/2,3,-2/3) y v= (1, -2/5, -1/3). Hallar d(u,v), ||u|| y ||v||
EJERCICIOS
1).- Realizar las siguientes sumas de vectores
u+v u = (3, -5) v = (2, 3)
u+v u = (2, -1) v = (4, -1, 2)
u+v u = (1/3, 2/5) v = (-2/3, -1/4)
u+v+z u=(3, -2, -3) v=(1/2, 2, -1/4) z=(-2, 1/2, 1)
2).- Realizar los siguientes productos de vectores por el escalar c.
u = (4, 5, 2) c = 3
v = (-2, 3,-1) c = -2
z = (2, -3, -2, 1) c = 2
0 = (0, 0, ......,0) c = 5
3).- Sean los vectores u=(3,-1,2,1), v=(-2,1,3,2) z=(1,-2,3,0) Hallar:
2u + 3v
2v - 4z
1/2u + 1/4z
3u - 2v + z
4).- Efectuar los siguientes productos internos de vectores
u.v u=(3, 4, -1) v=(-1, 2, -2)
u.v u=(-2, 3, 1) v=(3, -1, 0)
u.v u=(3/2, 5, 2/3) v=(2/3, -1, 1/2)
u.v u=(3, -2, 2) v=(4, 2, 0, 1)
5).- Determine el valor de x para que los vectores dados sean
ortogonales
u=(3, 2, x) v=(2,-3, 1)
u=(1, 1, 1) v=(-2, x, -3)
u=(2, x-1, 3, -1) v =(3, 2, x+2, x)
6).- Con dos vectores del espacio R3 realice un ejercicio de la propiedad conmutativa.
7).- Con tres vectores cualesquiera del espacio R4 realizar un
ejercicio de la propiedad asociativa.
8).- Con dos vectores cualesquiera del espacio R3 y un escalar diferente de cero, realice un ejercicio de la propiedad distributiva del producto de una suma de vectores por un escalar.
9).- Sean los vectores u = (3, -1, 2) 0 = (0, 0, 0)
calcular u.0
10).- Sean los vectores u = (2, 3) v = (-2, 1),
calcular d(u,v).
11).- Sean los vectores u = (-1, 2, 3) v = (0, -2, 1)
calcular d(u,v).
12).- Sean los vectores u = (-1, 3, 3) v = (3, -2, 1) y
z = ( 0, 1, 2),
calcular d(u,v) y d( u,z).
13).- Sean los vectores u = (2, -1, 3) v = (1/2, -1, 3),
calcular norma de u y norma de v.
14).- Sean los vectores u = (1, 0, 2, -3) v = (2, -1, 0, -1),
calcular d(u,v) y norma de u.
2.10 -DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
2.10.1 -COMBINACION LINEAL.-
Dados m vectores, sean estos: u1, u2, u3,.......um de un espacio Rn, y dados m numeros reales: c1, c2, c3,.......cm, se dice combinacin lineal de los m vectores con coeficientes c1, c2, c3,.......cm la expresin
c1u1 + c2u2 + c3u3 + ...... + cmum
La operacin antes indicada, es la mas general que sobre la base de las definiciones dadas hasta ahora puede ser realizada entre m vectores.
Veremos a continuacin que pueden ser definidas nuevas operaciones entre vectores, pero esto tambin nos permitir introducir algunas diferencias conceptuales sobre los conjuntos de vectores (ms adelante diremos espacios vectoriales)
2.10.2 -VECTOR LINEALMENTE DEPENDIENTE DE OTROS.-
Se dice que un vector v depende linealmente de otros n vectores u1, u2,...., un si es posible expresarlo como combinacin de estos vectores, esto es si existen n nmeros reales c1, c2, ...., cn tales que:
v = c1u1 + c2u2 + .... + cnun
Si el vector v fuese el vector nulo 0, sera siempre posible satisfacer esta relacin, escogiendo los ci todos nulos y por esto podemos decir que el vector nulo es linealmente dependiente de cualquier conjunto de vectores.
Ejemplos:
Demostrar que el vector v = (2, 3) es linealmente dependiente de los vectores u1 = (1, 1) y u2 = (1, 2).
Debemos demostrar que se cumple
(2, 3) = x(1, 1) + y(1, 2)
de donde (2, 3) = (x, x) + (y, 2y)
(2, 3) = (x + y, x + 2y)
Por la condicin de igualdad de vectores,
2 = x + y (A)
3 = x +2y (B)
Resolviendo el sistema
y = 2 - x
3 = x + 2(2 -x)
3 = x + 4 -2x
x = 1
Reemplazando en A
2 = 1 + y
y = 1
Los nmeros reales encontrados, son: x = 1, y = 1, por tanto el vector v es linealmente dependiente de los vectores u1 y u2
2.10.3 -VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES.-
Se dice que n vectores son linealmente dependientes (entre ellos) si existe una combinacin lineal, con coeficientes no todos nulos, igual al vector cero, esto es:
c1u1 + c2u2 + .... + cnun = 0 (ci no todos cero) (2)
Las definiciones dadas en 2.10.2 y 2.10.3 estan estrechamente vinculadas, por lo que podemos enunciar el siguiente teorema:
Teorema: Si n vectores son linealmente dependientes, almenos uno de ellos es linealmente dependiente de los restantes; viceversa, si un vector depende linealmente de otros n vectores, todos los n+1 vectores son linealmente dependientes.
Demostraremos la primera parte: si existe la ecuacin (2), con los ci no todos nulos, por consiguiente almenos uno de ellos deber ser diferente de cero, supongamos que cn ( 0, entonces podemos despejar un y obtenemos:
que es lo que se quera demostrar esto es que el vector un es una combinacin lineal de los otros vectores u1, u2, ....un-1
Ejemplo:
Demostrar que los vectores u1 = (-2, 3), u2 = (4, -6) son linealmente dependientes.
Debemos encontrar escalares no todos nulos, tales que
c1u1 + c2u2 = 0
c1(-2, 3) + c2(4, -6) = (0, 0)
(-2c1, 3c1) + (4c2, -6c2) = (0, 0)
(-2c1 + 4c2, 3c1 - 6c2) = (0, 0)
formando el sistema de ecuaciones lineales
-2c1 + 4c2 = 0 (A)
3c1 - 6c2 = 0 (B)
Resolviendo
3c1 = 6c2 de donde c1 = 2c2
Reemplazando en A
-2(2c2) + 4c2 = 0
-4c2 + 4c2 = 0
0.(c2) = 0
Por lo que c2 puede tomar cualquier valor diferente de cero, que entregara un valor cualquiera de la variable c1, por ejemplo, para c2 = 1, c1 = 2, que reemplazando en la suma de vectores, tenemos:
2(-2, 3) + 1(4,-6) = (0, 0)
(-4, 6) + (4,-6) = (0, 0)
(-4 + 4, 6 - 6) = (0, 0)
(0, 0) = (0, 0)
Por lo que concluimos que los vectores son linealmente dependientes, ya que hemos encontrado escalares no nulos que han satisfecho la condicin de dependencia lineal.
Ejemplo: Demostrar que los vectores u1 = (1, -1, 0), u2 = (1, 3, -1)
u3 = (5, 3, -2) son linealmente dependientes. Debemos probar que:
c1u1 + c2u2 + c3u3 = 0
reemplazando los respectivos valores, tendremos
c1(1, -1, 0) + c2(1, 3, -1) + c3(5, 3, -2) = 0
(c1, -c1, 0) + (c2, 3c2,-c2) + (5c3, 3c3, -2c3) = (0, 0, 0)
sumando los vectores del primer miembro e igualando al segundo miembro
c1 + c2 + 5c3 = 0 (1)
-c1 +3c2 + 3c3 = 0 (2)
-c2 - 2c3 = 0 (3)
sumando la primera y segunda ecuacin, tenemos
c1 + c2 + 5c3 = 0
-c1 +3c2 + 3c3 = 0
-------------------
4c2 + 8c3 = 0 (4)
Formando un sistema de esta cuarta ecuacin con la tercera original
-c2 - 2c3 = 0 (A)
4c2 + 8c3 = 0 (B)
Resolviendo 4c2 + 8c3 = 0 4c2 = -8c3
de donde c2 = -2c3
Reemplazando en A
-(-2c3) - 2c3 = 0
2c3 - 2c3 = 0
0(c3) = 0
Por lo que c3 puede tomar cualquier valor diferente de cero que entregar un valor cualquiera de la variable c2 valores que reemplazados en la primera ecuacin, nos permiten obtener un valor para c1, asumamos c3 = -1, reemplazando en (B)
4c2 + 8(-1) = 0 ( 4c2 = 8 ( c2 = 2
reemplazando en la ecuacin (1)
c1 + (2) + 5(-1) = 0
c1 + 2 - 5 = 0
c1 = 3
para verificar reemplazamos en la suma de vectores
3(1, -1, 0) + 2(1, 3, -1) - (5, 3, -2) = 0
(3, -3, 0) + (2, 6, -2) - (5, 3, -2) = (0, 0, 0)
(3 +2 -5, -3 +6 -3, 0 -2 +2) = (0, 0, 0)
(0, 0, 0) = (0, 0, 0)
Por lo que concluimos que los vectores son linealmente dependientes, ya que hemos encontrado escalares no nulos que satisfacen la condicin de dependencia lineal.
2.10.4 -SIGNIFICADO GEOMETRICO DE DEPENDENCIA LINEAL
a). - Dos vectores linealmente dependientes pertenecen a la misma recta y viceversa.
Siendo u y v los dos vectores, ya que suponer que sean dependientes equivale a suponer que uno dependa del otro, subsistirla relacin u = cv con c 0, excluyendo que uno de los vectores sea nulo, caso en el cual sera nulo tambin el otro en virtud de que u = cv. Para concluir con la proposicin (a), basta recordar el significado geomtrico de producto.
Ya que al definir el producto de un vector por un numero real por comodidad, nos hemos referido a vectores de un espacio R2 es fcil tambin demostrar la proposicin (a) en el caso de vectores de R3 (definidos como terna de nmeros reales), nos servimos de la figura
siguiente.
Z
cz
u = cv z
v
0 y cy Y
x
cx
X
Figura 9
mas en general, podemos volver a enunciar la proposicin (a) diciendo que:
a').- Condicin necesaria y suficiente para que dos vectores de un Rn sean linealmente dependientes, es que pertenezcan a un mismo R1 (subespacio de Rn de una dimensin).
Es obvio que en este caso para n > 3 se debe renunciar a la imagen geomtrica.
Consideremos ahora el inverso de lo que se dice en (a); esto significa que si dos vectores pertenecen a la misma recta, son linealmente dependientes; en otras palabras, se trata de demostrar que la condicin es necesaria y suficiente.
Todo lo que se debe demostrar es que si los vectores u y v pertenecen a la misma recta, entonces existe un nmero real c tal que u = cv; la existencia de dicho nmero, es consecuencia de proposiciones elementales (toda recta es continua).
Fijado sobre la recta un sistema de abscisas de origen 0, para obtener en concreto el valor de c basta hacer la relacin de la abscisa del punto A = 0 + u i aquella del punto B = 0 + v.
0 A=0+u B=0+v
Figura 10
b).- Tres vectores linealmente dependientes, pertenecen al mismo plano y viceversa
Suponiendo que los siguientes tres vectores no nulos: u, v, w son linealmente dependientes, por el teorema dado en 2.10.3, existir una relacin del tipo:
w = c1u + c2v
Admitiendo por ahora que los vectores u y v no se encuentren en la misma recta, los tres puntos: 0, A (extremo del vector u) y B (extremo del vector v), por geometra individualizan un plano.
La construccin geomtrica de w (ley del paralelogramo), asegura que tambin el vector w se encuentra sobre el mismo plano.
B=0+c2v
C=0+W
B=0+v
A=0+u A=0+c1u
Figura 11
2.10.5 -VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Se dice que n vectores son linealmente independientes si la siguiente combinacin lineal.
c1u1 + c2u2 + ..........+ cnun = 0
se verifica nicamente cuando todos los ci son nulos
Ejemplo 1:
Demostrar que los vectores u1 = (3, -1) y u2 = (1, 2) son linealmente independientes. Verifiquemos la condicin
c1(3, -1) + c2(1, 2) = (0, 0)
(3c1, -c1) + (c2, 2c2) = (0, 0)
(3c1 + c2, -c1 + 2c2) = (0, 0)
3c1 + c2 = 0
-c1 +2c2 = 0
Despejando c2 en la segunda ecuacin
2c2 = c1
c2 = (1/2)c1
reemplazando en la primera ecuacin
3c1 + (1/2)c1 = 0
(7/2)c1 = 0
c1 = 0
por lo tanto c2 = 0
hemos encontrado que los nicos valores que satisfacen la condicin son c1 = 0 y c2 = 0 por lo que los vectores son linealmente independientes.
Ejemplo 2: Demostrar que los vectores u1 = (-1, 2, 0); v = (2, -3, 1) y w = (1, -1, 2) son linealmente independientes.
Debemos demostrar la condicin:
c1(-1, 2, 0) + c2(2, -3, 1) + c3(1, -1, 2) = (0, 0, 0)
Realizando el producto y suma de los vectores, tenemos:
(-c1 + 2c2 + c3, 2c1 - 3c2 - c3, 0 + c2 + 2c3) = (0, 0, 0)
Igualando las componentes correspondientes, formamos un sistema:
-c1 + 2c2 + c3= 0
2c1 - 3c2 - c3= 0
c2 + 2c3= 0
Eliminando c1 entre la 1era y 2da. ecuacin:
2c1 + 4c2 + 2c3 = 0
2c1 - 3c2 - c3 = 0
c2 + c3 = 0
Formando un sistema de esta cuarta ecuacin con la 3era. original
(A) c2 + 2c3= 0 *(-1)
(B) c2 + c3 = 0
-c2 - 2c3 = 0
c2 + c3 = 0
-c3 = 0 ( c3 = 0
Reemplazando este valor en (A)
c2 + 2(0) = 0 ( c2 = 0
Remplazando en la primera ecuacin
-c1 +2(0) + 0 = 0 ( c1 = 0
por lo que concluimos que los vectores son linealmente independientes, ya que todos los ci son nulos, esto es la solucin del sistema es (0,0,0).
ANALORPE
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2