VECTORES1. En la figura se muestra un cubo de arista b = 2 unidades en el cual hay un vector

que es la resultante de la suma de los vectores .a) Encuentre las componentes rectangulares de los

vectores . b) Determine el vector . c) Aplicando producto escalar encuentre el ángulo

entre los vectores

Rpta.: a)2(i+j-k), 2j-k, b)-2i +k, c)cos-1(0,7746)

2. En la figura se tiene un paralelepípedo de lados 8u, 4u y 15u con los vectores fuerza . Las magnitudes de los vectores son: A = 170 u, B = 120u. Encontrar:

a) Los vectores b) El producto escalar c) El producto vectorial

Rpta.a) A=9,73(8i -4j + 15k); B= 6,87 (8i + 4j-15k)b) A.B = -11,8x103

c) AxB = 66,8(240j + 64k)

3. Se tienen los vectores , y . Encontrar:a) El vector y el ángulo que hace con el eje +x. (1.5 puntos)b) El vector y el ángulo que hace con el eje +z. (1.5 puntos)c) El ángulo entre los vectores (1 punto)

Rpta: a) ; = 100,5 b) ; = 78,5 c) =122,4

4. Dados dos vectores . Donde y Halle:a) El vector unitario perpendicular a ambos vectores.b) Hallar el ángulo que forman los vectores A y B.

Rpta: a) –0,84 i – 0,37 j + 0,38 k b) 125,77

5. La figura muestra los vectores , si las magnitudes de los vectores son A = 15 u, C = 10 u y = 37º. Encuentre:a) Las componentes de los vectores

b) La suma c) El ángulo que forma el vector con el vector Rpta: a) , b) c) 40, 45º

6. La suma de dos vectores es un vector , además se sabe que . Halle:

a) Los vectores

60 B

A

y

x

b) El ángulo que forman dichos vectores. Rpta: a) ; ). b) 907. En la figura se muestra un cubo de arista b = 4 unidades en el cual se muestra los

vectores A, B y C. Calcular:a) La expresión de los vectores A, B y C en

función de i, j y kb) El ángulo entre los vectores A y B (aplicando

producto escalar)c) Un vector unitario perpendicular a los

vectores A y B.

Rpta: a) ; ;

b) 35° c)

8. En la figura se muestra el vector cuyo modulo es 50N y que sigue la dirección de la diagonal mostrada. Halle:

a) Un vector unitario en la dirección del vector b) Exprese el vector en componentes rectangulares.c) El ángulo que forma el vector con el vector .d) El vector x .

Rpta. a) 0,54i + 0,71j - 0,45k. b)27,0i +35,5j - 22,5k. c)32,9°. d) 2,5i + 135j + 216k

9) Dado los puntos A(3,4,5)m, B(5,2,0)m y C(-4,5,3)m en el espacio, determinar:a) Los vectores posición de los puntos A, B y C.b) El ángulo formado por los vectores .

Rpta. a) (3i + 4j + 5k) m; (5i + 2j) m ; (-4i + 5j +3k) m. b) 53º

10. Una fuerza de módulo F= tiene su origen en el punto C y la dirección de la recta CD cuyas coordenadas son C ( 2, 4 , -1 ) y D ( 3, 2, -2 ).Halle: a) La expresión de la fuerza en componentes rectangulares. b)El vector torque con respecto al punto A (1,2,0 )

Rpta. a) (4i-8j-4k)N. b) -16(i+k) Nm

11. Dado los vectores : ; y si se sabe que son perpendiculares:

a) Hallar bb) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores .c) Determinar los ángulos que hace este vector unitario con cada uno de los ejes

coordenados. Rpta. a) 3, b) 0,787i + 0,097j – 0,617k, c) 78,3° ; 84,7° y 128,5°

12) Las magnitudes de los vectores son respectivamente 3 y 4 unidades y el ángulo entre ellos es de 60. (Ver figura)

a) Cual es la magnitud del vector b) Cual es el ángulo entre los vectores c) Hallar un vector unitario perpendicular al

vector . Rpta. a) 6,08 ; b) 34,7° ; c)

13) La figura muestra un paralelepípedo rectangular de lados a = 6cm, b = 3cm y C = 6cm. Determinar:

a) Los vectores y b) El ángulo formado por las diagonales AG y DF c) Un vector unitario perpendicular al plano ODBF0.

Rpta. a) y ; b) 38,9°

c)

14. En la figura se muestra un cubo de arista a = 2m en el cual se encuentra el vector a lo largo de una diagonal. Calcular:

a) El vector en términos de i, j, kb) Los ángulos entre el vector y los ejes coordenados.c) Un vector unitario perpendicular al plano que contiene al vector y al eje z. ( Use el producto vectorial )

Rpta. a) ; b)125°; 125° y 54,7°

c)

15. Respecto a la figura mostrada, determinar: a) Los vectores , y

b) El ángulo formado por los vectores

y c) Un vector unitario perpendicular al plano ABC. Nota: M es punto medio de BC Rpta.a) ; y M= 1,5j –2

b) 44,3°

16. En la figura se muestra el vector , que une los puntos A y B. Si un vector fuerza, de módulo F = 112 N, se aplica al punto A con la misma dirección y sentido que el vector , determinar las expresiones cartesianas de :

a) a) El vector y el ángulo que éste hace con el eje Y.b) b) El vector c) c) El vector torque de la fuerza con respecto al

origen O.Rpta. a) (-5i-8j+6k)m y 136º. b) (-50,1i-80,1j+60,1k)

N c) (481i-301j)Nm. 17) Se muestra un paralelepípedo rectangular y los vectores . Halle:

a) Las expresiones en componentes rectangulares de los vectores .

b) La resultante

c) El ángulo entre los vectores .d) El torque con respecto al origen O de un vector fuerza de modulo F = 100N y

que tiene la dirección del vector .Rpta. a) , , b) , c) 62, 6°, d) Nm

18) En el paralelepípedo mostrado se muestra un vector fuerza de modulo F=130N y que sigue la dirección OC. Halle:a) La expresión en componentes rectangulares de la fuerza F. b) La proyección vectorial de F en la dirección del vector OB. c) El torque de F con respecto al punto A. Rpta. a) (40i + 120j + 30k) N ; b) (40i + 30k) N

d) (-360i + 120j) Nm

19) Se tienen dos vectores conocidos: y . Encontrar:a) Un tercer vector , tal que se cumpla la relación: b) El ángulo entre los vectores c) El ángulo entre los vectores

Rpta. a) b) 143° c) 16,3 °

20) La figura muestra un cubo de 2m de lado. Las fuerzas y actúan en los puntos

P y Q. Determinar:

a) El ángulo entre las fuerzas y

b) Los vectores posición de los puntos P y Q. c) El torque o momento resultante de las fuerzas

y respecto del punto 0.

Rpta.a) 113°, b) m y m, c) Nm

22) Se tienen dos vectores conocidos: y . Hallar: a) Un tercer vector C, tal que se cumpla la relación: A - B + 2 C = 0 b) El ángulo entre los vectores A y B. c) El producto vectorial A X B Rpta. a) b)168 c)

23) La figura muestra dos vectores , el módulo del vector es A = 500 u y el Ángulo = 37º. Si la suma de estos dos vectores es . Encuentre :

a) El vector . b) El ángulo que hace el vector con el vector

Rpta. a) -400i +600j; b) 33,7°

X

Y

Z

2 (3 5 )F i j N ������������������������������������������

1 (3 5 4 )F i j k N ��������������������������������������������������������

0

P

Q

24) Dado los vectores y Encontrar:a) El vector b) El ángulo entre los vectores .c) El ángulo entre los vectores .d) El producto vectorial .

Rpta. a) ; b) 66° ; c) 41° d)

25) Tres cubos iguales de lados a = 6,50 cm están situados en la forma indicada en la figura. Halle: a) Los vectores b) El ángulo formado por estos vectores c) Un vector unitario perpendicular a y al eje x

Rpta. a) y , b) 19,5°

c)

26) La figura muestra un cubo de arista a = 2 m y los vectores y de módulos m y m, respectivamente. Determinar.

a) Los vectores y b) El ángulo formado entre los vectores y c) El producto

Rpta. a) , b) 145°, c)

27. La figura muestra un cubo de 2 m de arista y los vectores y de módulos m y m, respectivamente. Hallar. (5P)

a) Los vectores y b) El ángulo formado por los vectores y c) El producto

Rpta. a) ; b) 145; c)

28. En la figura mostrada, los módulos de los vectores son A = 10u, F = 20 u y el ángulo = 37 ° . Encuentre: (5P).

a) Los vectores y b) El vector c) El ángulo que forma el vector con Rpta: a) y b) ; c) 26,56°

29. Los vectores y son perpendiculares entre si. Además se sabe que el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las x es menor que 70°. Determinar: (5P)

a) Los vectores y b) Un vector de modulo que sea paralelo al vector Rpta. a) , ; b)

30. La figura muestra un cubo de arista a = 2,00 m y los vectores y de módulos A=1,5 m y m, respectivamente. Determinar:

a) Los vectores y b) El ángulo formado por los vectores y c) El producto Rpta. ; b) 145o

c)

31. En el paralelepípedo de la fig. se muestra un vector fuerza de modulo F = 943,4 N y que sigue la dirección . Halle:a) La expresión en componentes rectangulares de un vector unitario que tenga la dirección de b) La expresión vectorial de .c) El ángulo entre el vector y el vector . d) El torque de con respecto al punto O.

Rpta. a) 0,424i+0,848j-0,318k ; b) 400i+800j-300j N; c) 32,0; d) -2400i +1200j Nm

32. El cubo de la figura tiene 2m de arista; sobre él se muestran dos vectores . Halle: a) La expresión en componentes rectangulares de los dos vectores; b) El vector suma: , también en componentes rectangulares; c) El vector producto vectorial: , también en componentes rectangulares.d) El ángulo que forman los vectores .

Rpta. a) , b) c) ; d) 50,8o

33. La figura muestra los vectores . Determinar: el vector en términos de los vectores unitarios

.

Rpta:

34. En la figura se muestra un sistema en equilibrio. AC es una barra de longitud L = 5,00 m, de peso insignificante y que forma un ángulo α con el eje x según tg(α) = 4/3, mientras que las cuerdas que sostienen a la barra son CD y CE de igual longitud con m, que están fijadas simétricamente en los puntos D y E en una recta paralela al eje Z y plano XZ, donde a = 7,00 m y b = 2,00 m. En el extremo C de la barra está colgado un bloque de peso W = 240 N, tal que el plano que forma la barra AC y el peso W están en el plano vertical XY. Se pide:

a) Expresar los vectores unitarios de CD y CE en función de i, j y k

b) Expresar los vectores generados por las tensiones de las cuerdas T1 y T2 y los vectores N y f de la figura. )

Sugerencia: Para la suma de vectores puede usar el método de polígonos, considerando los vectores en función de i, j y k. También es importante considerar las condiciones de equilibrio de un cuerpo.

35. Las fuerzas , y se muestran en la figura, donde el módulo de es N. Determinar:

a) La fuerza resultante.b) El ángulo que forma la fuerza resultante con el eje

+Z.c) El torque resultante respecto al punto B.

Rta. a) ; b) 51,78°

36. La figura muestra un paralelepípedo rectangular de lados a = 6,50 cm, b=3,20 cm y c=6,80 cm. Determinar:

b) Los vectores AC y CEc) El ángulo formado por las diagonales y d) Un vector unitario perpendicular al plano ACGEA. Rta: a)

b) 140,9° ; c)

37)En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular, en el cual hay un vector , que es resultante de la resta de los vectores . Halle:

a) Las expresiones en componentes rectangulares de los vectores .

b) El vector .c) La suma de d) Calcule el ángulo entre los vectores aplicando el

producto escalar

Rpta: a) ; b) ; c) ; d) 47,9°

38. La figura muestra los vectores , , , y , en donde los módulos de lo

vectores y son 20N y 10N respectivamente. Determinar:

a) Los vectores y en función de los vectores

unitarios y .

b) El vector resultante en función de los vectores

unitarios y .

c) El ángulo entre los vectores y .

Rpta: a) ; b) ; c) 27,79°

39. En la figura se muestra el vector cuyo modulo es 50N y que sigue la dirección de la diagonal mostrada. Halle:

a) Un vector unitario en la dirección del vector b) Exprese el vector en función de sus componentes rectangulares.c) El ángulo que forma el vector con el vector .d) El vector x .

40. Dado los puntos A(3,4,5)m, B(5,2,0)m y C(-4,5,3)m en el espacio, determinar:a) Los vectores posición de los puntos A, B y C.b). El ángulo formado por los vectores .c) Encontrar un vector perpendicular al plano formado por los puntos A, B y C.

41. Una fuerza de módulo F= tiene su origen en el punto C y la dirección de

la recta CD cuyas coordenadas son C ( 2, 4 , -1 ) y D ( 3, 2, -2 ).Halle: a) La expresión vectorial de la fuerza . b) El vector torque con respecto al punto A (1,2,0 )

42. La barra uniforme AB de 100N de peso y de longitud L, esta articulada en su extremo A, mientras que su extremo B cuelga de un techo. El sistema esta en equilibrio cuando W = 500N. Halle:

a) Trace el DCL en la barra ABb) La tensión T en la cuerdac) Las componentes rectangulares de la

reacción en A.d) El ángulo que hace la reacción en A con

la horizontal.

43. Los vectores y son perpendiculares entre si. Además se sabe que el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las x es agudo. Determinar:

a) Los vectores y b) Un vector de modulo 8 V5 que sea perpendicular al vector A y B

44. La figura muestra un cubo de 2 m de arista y los vectores y de módulos m y B = 4 V3 m, respectivamente. Hallar.

a) Los vectores y b) El ángulo formado por los vectores y c) El producto

45. La barra uniforme AB de 15 kg de masa y de longitud L, está articulada en su extremo A, mientras que su extremo B cuelga de un techo. El sistema está en equilibrio cuando el bloque tiene una masa de 52 kg. Determine:

a) El DCL en la barra ABb) La tensión T en la cuerdac) Las componentes rectangulares de la reacción en A.

46. Un disco de madera de 5 kg de masa y radio R = 2 m esta suspendido desde el techo de una sala mediante tres cables inextensibles T1 , T2 y T3 distribuidas en la forma siguiente como se ve en la figura, calcular las tensiones T1 , T2 y T3 para que el disco este en equilibrio.