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VECTORES1. En la figura se muestra un cubo de arista b = 2 unidades en el cual hay un vector
que es la resultante de la suma de los vectores .a) Encuentre las componentes rectangulares de los
vectores . b) Determine el vector . c) Aplicando producto escalar encuentre el ángulo
entre los vectores
Rpta.: a)2(i+j-k), 2j-k, b)-2i +k, c)cos-1(0,7746)
2. En la figura se tiene un paralelepípedo de lados 8u, 4u y 15u con los vectores fuerza . Las magnitudes de los vectores son: A = 170 u, B = 120u. Encontrar:
a) Los vectores b) El producto escalar c) El producto vectorial
Rpta.a) A=9,73(8i -4j + 15k); B= 6,87 (8i + 4j-15k)b) A.B = -11,8x103
c) AxB = 66,8(240j + 64k)
3. Se tienen los vectores , y . Encontrar:a) El vector y el ángulo que hace con el eje +x. (1.5 puntos)b) El vector y el ángulo que hace con el eje +z. (1.5 puntos)c) El ángulo entre los vectores (1 punto)
Rpta: a) ; = 100,5 b) ; = 78,5 c) =122,4
4. Dados dos vectores . Donde y Halle:a) El vector unitario perpendicular a ambos vectores.b) Hallar el ángulo que forman los vectores A y B.
Rpta: a) –0,84 i – 0,37 j + 0,38 k b) 125,77
5. La figura muestra los vectores , si las magnitudes de los vectores son A = 15 u, C = 10 u y = 37º. Encuentre:a) Las componentes de los vectores
b) La suma c) El ángulo que forma el vector con el vector Rpta: a) , b) c) 40, 45º
6. La suma de dos vectores es un vector , además se sabe que . Halle:
a) Los vectores
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60 B
A
y
x
b) El ángulo que forman dichos vectores. Rpta: a) ; ). b) 907. En la figura se muestra un cubo de arista b = 4 unidades en el cual se muestra los
vectores A, B y C. Calcular:a) La expresión de los vectores A, B y C en
función de i, j y kb) El ángulo entre los vectores A y B (aplicando
producto escalar)c) Un vector unitario perpendicular a los
vectores A y B.
Rpta: a) ; ;
b) 35° c)
8. En la figura se muestra el vector cuyo modulo es 50N y que sigue la dirección de la diagonal mostrada. Halle:
a) Un vector unitario en la dirección del vector b) Exprese el vector en componentes rectangulares.c) El ángulo que forma el vector con el vector .d) El vector x .
Rpta. a) 0,54i + 0,71j - 0,45k. b)27,0i +35,5j - 22,5k. c)32,9°. d) 2,5i + 135j + 216k
9) Dado los puntos A(3,4,5)m, B(5,2,0)m y C(-4,5,3)m en el espacio, determinar:a) Los vectores posición de los puntos A, B y C.b) El ángulo formado por los vectores .
Rpta. a) (3i + 4j + 5k) m; (5i + 2j) m ; (-4i + 5j +3k) m. b) 53º
10. Una fuerza de módulo F= tiene su origen en el punto C y la dirección de la recta CD cuyas coordenadas son C ( 2, 4 , -1 ) y D ( 3, 2, -2 ).Halle: a) La expresión de la fuerza en componentes rectangulares. b)El vector torque con respecto al punto A (1,2,0 )
Rpta. a) (4i-8j-4k)N. b) -16(i+k) Nm
11. Dado los vectores : ; y si se sabe que son perpendiculares:
a) Hallar bb) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores .c) Determinar los ángulos que hace este vector unitario con cada uno de los ejes
coordenados. Rpta. a) 3, b) 0,787i + 0,097j – 0,617k, c) 78,3° ; 84,7° y 128,5°
12) Las magnitudes de los vectores son respectivamente 3 y 4 unidades y el ángulo entre ellos es de 60. (Ver figura)
a) Cual es la magnitud del vector b) Cual es el ángulo entre los vectores c) Hallar un vector unitario perpendicular al
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vector . Rpta. a) 6,08 ; b) 34,7° ; c)
13) La figura muestra un paralelepípedo rectangular de lados a = 6cm, b = 3cm y C = 6cm. Determinar:
a) Los vectores y b) El ángulo formado por las diagonales AG y DF c) Un vector unitario perpendicular al plano ODBF0.
Rpta. a) y ; b) 38,9°
c)
14. En la figura se muestra un cubo de arista a = 2m en el cual se encuentra el vector a lo largo de una diagonal. Calcular:
a) El vector en términos de i, j, kb) Los ángulos entre el vector y los ejes coordenados.c) Un vector unitario perpendicular al plano que contiene al vector y al eje z. ( Use el producto vectorial )
Rpta. a) ; b)125°; 125° y 54,7°
c)
15. Respecto a la figura mostrada, determinar: a) Los vectores , y
b) El ángulo formado por los vectores
y c) Un vector unitario perpendicular al plano ABC. Nota: M es punto medio de BC Rpta.a) ; y M= 1,5j –2
b) 44,3°
16. En la figura se muestra el vector , que une los puntos A y B. Si un vector fuerza, de módulo F = 112 N, se aplica al punto A con la misma dirección y sentido que el vector , determinar las expresiones cartesianas de :
a) a) El vector y el ángulo que éste hace con el eje Y.b) b) El vector c) c) El vector torque de la fuerza con respecto al
origen O.Rpta. a) (-5i-8j+6k)m y 136º. b) (-50,1i-80,1j+60,1k)
N c) (481i-301j)Nm. 17) Se muestra un paralelepípedo rectangular y los vectores . Halle:
a) Las expresiones en componentes rectangulares de los vectores .
b) La resultante
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c) El ángulo entre los vectores .d) El torque con respecto al origen O de un vector fuerza de modulo F = 100N y
que tiene la dirección del vector .Rpta. a) , , b) , c) 62, 6°, d) Nm
18) En el paralelepípedo mostrado se muestra un vector fuerza de modulo F=130N y que sigue la dirección OC. Halle:a) La expresión en componentes rectangulares de la fuerza F. b) La proyección vectorial de F en la dirección del vector OB. c) El torque de F con respecto al punto A. Rpta. a) (40i + 120j + 30k) N ; b) (40i + 30k) N
d) (-360i + 120j) Nm
19) Se tienen dos vectores conocidos: y . Encontrar:a) Un tercer vector , tal que se cumpla la relación: b) El ángulo entre los vectores c) El ángulo entre los vectores
Rpta. a) b) 143° c) 16,3 °
20) La figura muestra un cubo de 2m de lado. Las fuerzas y actúan en los puntos
P y Q. Determinar:
a) El ángulo entre las fuerzas y
b) Los vectores posición de los puntos P y Q. c) El torque o momento resultante de las fuerzas
y respecto del punto 0.
Rpta.a) 113°, b) m y m, c) Nm
22) Se tienen dos vectores conocidos: y . Hallar: a) Un tercer vector C, tal que se cumpla la relación: A - B + 2 C = 0 b) El ángulo entre los vectores A y B. c) El producto vectorial A X B Rpta. a) b)168 c)
23) La figura muestra dos vectores , el módulo del vector es A = 500 u y el Ángulo = 37º. Si la suma de estos dos vectores es . Encuentre :
a) El vector . b) El ángulo que hace el vector con el vector
Rpta. a) -400i +600j; b) 33,7°
X
Y
Z
2 (3 5 )F i j N ������������������������������������������
1 (3 5 4 )F i j k N ��������������������������������������������������������
0
P
Q
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24) Dado los vectores y Encontrar:a) El vector b) El ángulo entre los vectores .c) El ángulo entre los vectores .d) El producto vectorial .
Rpta. a) ; b) 66° ; c) 41° d)
25) Tres cubos iguales de lados a = 6,50 cm están situados en la forma indicada en la figura. Halle: a) Los vectores b) El ángulo formado por estos vectores c) Un vector unitario perpendicular a y al eje x
Rpta. a) y , b) 19,5°
c)
26) La figura muestra un cubo de arista a = 2 m y los vectores y de módulos m y m, respectivamente. Determinar.
a) Los vectores y b) El ángulo formado entre los vectores y c) El producto
Rpta. a) , b) 145°, c)
27. La figura muestra un cubo de 2 m de arista y los vectores y de módulos m y m, respectivamente. Hallar. (5P)
a) Los vectores y b) El ángulo formado por los vectores y c) El producto
Rpta. a) ; b) 145; c)
28. En la figura mostrada, los módulos de los vectores son A = 10u, F = 20 u y el ángulo = 37 ° . Encuentre: (5P).
a) Los vectores y b) El vector c) El ángulo que forma el vector con Rpta: a) y b) ; c) 26,56°
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29. Los vectores y son perpendiculares entre si. Además se sabe que el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las x es menor que 70°. Determinar: (5P)
a) Los vectores y b) Un vector de modulo que sea paralelo al vector Rpta. a) , ; b)
30. La figura muestra un cubo de arista a = 2,00 m y los vectores y de módulos A=1,5 m y m, respectivamente. Determinar:
a) Los vectores y b) El ángulo formado por los vectores y c) El producto Rpta. ; b) 145o
c)
31. En el paralelepípedo de la fig. se muestra un vector fuerza de modulo F = 943,4 N y que sigue la dirección . Halle:a) La expresión en componentes rectangulares de un vector unitario que tenga la dirección de b) La expresión vectorial de .c) El ángulo entre el vector y el vector . d) El torque de con respecto al punto O.
Rpta. a) 0,424i+0,848j-0,318k ; b) 400i+800j-300j N; c) 32,0; d) -2400i +1200j Nm
32. El cubo de la figura tiene 2m de arista; sobre él se muestran dos vectores . Halle: a) La expresión en componentes rectangulares de los dos vectores; b) El vector suma: , también en componentes rectangulares; c) El vector producto vectorial: , también en componentes rectangulares.d) El ángulo que forman los vectores .
Rpta. a) , b) c) ; d) 50,8o
33. La figura muestra los vectores . Determinar: el vector en términos de los vectores unitarios
.
Rpta:
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34. En la figura se muestra un sistema en equilibrio. AC es una barra de longitud L = 5,00 m, de peso insignificante y que forma un ángulo α con el eje x según tg(α) = 4/3, mientras que las cuerdas que sostienen a la barra son CD y CE de igual longitud con m, que están fijadas simétricamente en los puntos D y E en una recta paralela al eje Z y plano XZ, donde a = 7,00 m y b = 2,00 m. En el extremo C de la barra está colgado un bloque de peso W = 240 N, tal que el plano que forma la barra AC y el peso W están en el plano vertical XY. Se pide:
a) Expresar los vectores unitarios de CD y CE en función de i, j y k
b) Expresar los vectores generados por las tensiones de las cuerdas T1 y T2 y los vectores N y f de la figura. )
Sugerencia: Para la suma de vectores puede usar el método de polígonos, considerando los vectores en función de i, j y k. También es importante considerar las condiciones de equilibrio de un cuerpo.
35. Las fuerzas , y se muestran en la figura, donde el módulo de es N. Determinar:
a) La fuerza resultante.b) El ángulo que forma la fuerza resultante con el eje
+Z.c) El torque resultante respecto al punto B.
Rta. a) ; b) 51,78°
36. La figura muestra un paralelepípedo rectangular de lados a = 6,50 cm, b=3,20 cm y c=6,80 cm. Determinar:
b) Los vectores AC y CEc) El ángulo formado por las diagonales y d) Un vector unitario perpendicular al plano ACGEA. Rta: a)
b) 140,9° ; c)
37)En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular, en el cual hay un vector , que es resultante de la resta de los vectores . Halle:
a) Las expresiones en componentes rectangulares de los vectores .
b) El vector .c) La suma de d) Calcule el ángulo entre los vectores aplicando el
producto escalar
Rpta: a) ; b) ; c) ; d) 47,9°
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38. La figura muestra los vectores , , , y , en donde los módulos de lo
vectores y son 20N y 10N respectivamente. Determinar:
a) Los vectores y en función de los vectores
unitarios y .
b) El vector resultante en función de los vectores
unitarios y .
c) El ángulo entre los vectores y .
Rpta: a) ; b) ; c) 27,79°
39. En la figura se muestra el vector cuyo modulo es 50N y que sigue la dirección de la diagonal mostrada. Halle:
a) Un vector unitario en la dirección del vector b) Exprese el vector en función de sus componentes rectangulares.c) El ángulo que forma el vector con el vector .d) El vector x .
40. Dado los puntos A(3,4,5)m, B(5,2,0)m y C(-4,5,3)m en el espacio, determinar:a) Los vectores posición de los puntos A, B y C.b). El ángulo formado por los vectores .c) Encontrar un vector perpendicular al plano formado por los puntos A, B y C.
41. Una fuerza de módulo F= tiene su origen en el punto C y la dirección de
la recta CD cuyas coordenadas son C ( 2, 4 , -1 ) y D ( 3, 2, -2 ).Halle: a) La expresión vectorial de la fuerza . b) El vector torque con respecto al punto A (1,2,0 )
42. La barra uniforme AB de 100N de peso y de longitud L, esta articulada en su extremo A, mientras que su extremo B cuelga de un techo. El sistema esta en equilibrio cuando W = 500N. Halle:
a) Trace el DCL en la barra ABb) La tensión T en la cuerdac) Las componentes rectangulares de la
reacción en A.d) El ángulo que hace la reacción en A con
la horizontal.
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43. Los vectores y son perpendiculares entre si. Además se sabe que el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las x es agudo. Determinar:
a) Los vectores y b) Un vector de modulo 8 V5 que sea perpendicular al vector A y B
44. La figura muestra un cubo de 2 m de arista y los vectores y de módulos m y B = 4 V3 m, respectivamente. Hallar.
a) Los vectores y b) El ángulo formado por los vectores y c) El producto
45. La barra uniforme AB de 15 kg de masa y de longitud L, está articulada en su extremo A, mientras que su extremo B cuelga de un techo. El sistema está en equilibrio cuando el bloque tiene una masa de 52 kg. Determine:
a) El DCL en la barra ABb) La tensión T en la cuerdac) Las componentes rectangulares de la reacción en A.
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46. Un disco de madera de 5 kg de masa y radio R = 2 m esta suspendido desde el techo de una sala mediante tres cables inextensibles T1 , T2 y T3 distribuidas en la forma siguiente como se ve en la figura, calcular las tensiones T1 , T2 y T3 para que el disco este en equilibrio.