Variables aleatorias:Es aquella variable que toma valores numéricos de acuerdo a alguna (s) distribución (es) de probabilidad.

Las variables aleatorias pueden ser: Continuas (Adquieren valores numéricos reales) Discretos (Adquieren valores íntegros no negativos).

La distribución de probabilidad que asigna la probabilidad de cada valor (en el caso de datos discretos) ó de un intervalo de valores (en el caso de valores continuos) sedescribe como:.- PMF (Probability mass function) p(x) (V. Discretas).- PDF (Probability Density function) f(x) (V. Continua)Las mismas describen la forma de la distribución de probabilidades.

Para ambos casos se define la función de distribución acumulada (CDF), F(x) la cual provee la probabilidad acumulada. Se denota de la siguiente manera:

F(x) = Pr {X ≤ x}. Por convención, la denotación en mayúsculas representa la variable aleatoria mientras que, la denotación en minúscula representa el valor particular que la variable aleatoria pudiera asumir.A continuación se indican algunos ejemplos de variables aleatorias:

T= La variable aleatoria continua que representa el tiempo de falla de un componente.Y= La variable aleatoria discreta que representa el número de fallas que ocurren en algún tiempo t.

W= La variable aleatoria continua que representa el tiempo de reparación de un equipo ó sistema.X= La variable aleatoria discreta que representa el número de ciclos (on-off)

Distribuciones Discretas:

Para cualquier distribución discreta definiremos a p(x) = Pr{ X = x} como la función de probabilidad de masa (PMF) además podremos definir lo siguiente:

como la CDF. (1)

F(x) es monótonamente creciente con 0 ≤ F(x) ≤ 1 ; particularmente F(0) = 0 y F(∞) = 1.

Además se tiene que:

1.- 0 ≤ p(x) ≤ 1

2.-

3.- µ = define la media de la distribución.

4.- es la varianza de la distribución.

De las distribuciones discretas más utilizadas en confiabilidad tenemos la distribución binomial y la distribución Poisson.

Distribución Binomial:

Supongamos que X es la Vad (Variable aleatoria discreta) que representa el número de aciertos en n intentos independientes donde la probabilidad de éxito en cada intento se define como una constante p.

X = 0,1,2,3,....,n. La PMF se define así:

; x = 0,1,2,....,n ; p(x) =

donde

La media, o valor esperado es E(X) = np

La varianza es Var(X) = np(1-p).

Ejemplo:

Una línea de envasado de productos farmacéuticos contiene 5 componentes idénticos e independientes en los que cada uno de ellos tiene el chance de 1 en 100 de fallar. Supongamos que X es la Vad que representa el número de componentes que fallaron de esos cinco.

Suponiendo que el fenómeno puede ser representado por una distribución Binomial. Determine el número promedio de fallas, su varianza y la probabilidad de obtener exactamente una falla, ¿Cuál sería la probabilidad de obtener exactamente dos fallas?

Solución:

X= 0,1,2,....,5

P= 1/100 = 0.01 y n = 5.

Por lo tanto el número promedio de fallas es E(X) = np,

Sustituyendo se obtiene que E(X) = 5(0.01)=0.05 fallas.

La varianza es Var(X) = np(1-p)

Var(X) = 0.05(0.99)= 0.0495.

La probabilidad de tener exactamente una falla es:

p(x) =

p(1) = = 0.048.

La probabilidad de tener exactamente dos fallas es:

p(2) = =

Distribución Poisson:

Supongamos que X es la Vad (Variable aleatoria discreta) que representa el número de ocurrencias (eventos) aleatorios en un número específico de tiempo;X = 0,1,2,3,....; La PMF se define como:

x= 0,1,2,....

La media, o valor esperado es E(X) = λ

La varianza es Var(X) =λ.

Ejemplo:

Suponga que X es una Vad que representa el número de fallas y las consecuentes reparaciones de una línea de ensamblaje de equipos mecánicos en un año de producción. Suponga que X tiene una distribución Poisson con una media de λ= 2 fallas por año.

Calcule la probabilidad de tener no más de 1 falla al año.

Pr{x ≤1}= F(1)=