variables aleatorias distribuciones

Variables Variables AleatoriasAleatorias

DistribucionesDistribuciones

DAGOBERTO SALGADO HORTA

Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real

X : R

Ejemplo N°1: = falla , no falla

X( no falla ) = 0X( falla ) = 1

Variables AleatoriasVariables Aleatorias

fallano falla

Espacio Muestral

X({falla}) = 1X({no falla}) = 0

0 1

ConjuntoNúmerosReales

IR

X : Rx

X-1(-, x) Familia de eventos elementales

IR

A cada s le corresponde exactamente un valor X(s)


a b

• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).

• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral

• El espacio muestral original “induce” un espacio muestra Rx asociado a

la Variable Aleatoria X

• Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX

RX

X(s) = b; s

X(s) = a

si

Ask


( a < x < b )

( a < x b ][ a x < b )

[ a x b ]

Nótese que para cada

par de números

reales a y b existen los siguientes conjuntos

a b

RX

X(s) = b; s

X(s) = a

si

sk

A

( x > a ( x a

x < b ) - x b ]-


• El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral se puede aplicar a eventos en RX.

RX

X: RX

X(s) = x

1

0

f : R [0, 1]

f(x)0 P(X(s) = x ) = f(x) 1

s

Función de ProbabilidadFunción de Probabilidad

Variable AleatoriaX : R

X-1(-, x)

Variable Aleatoria DiscretaSea C (con C ) Soporte contable

f : C R C = ci : i I N

i) f(ci) 0

ii) = 1

Usando la transformación X

Ii

i )f(c

• Sea X una variable aleatoria.

• Si el número de posibles valores de X (esto es su RX). - Es finito (contable) o. - Es contablemente infinito (denumerable).

• Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.

• Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados. X1, x2, x3, ...., xn, .....

- En el caso contable la lista es finita. - En el caso denumerable la lista es infinita contable

Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta

Sea C

X: C

tal que

i) p(ci) = Pr(ci) 0

X(ci) = xi

P(A) =

IR

ACcii i

i

i

xXP:

i )()p(c

Conjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C X es una función definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales los eventos elementales definidos en C = ci: i N

En algunos textos se utiliza la letra fpara acentuar que la variable aleatoria discreta es una fución

Sea A el evento tal los eventos elementales ciC pertnezcan también a A, esto es ci C A. Usando la transformación X

Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta

x

P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia

x1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn

f(xi)

Los f(xi) deben satisfacer

• 0 f(xi) 1; i = 1, 2, 3, ... , n

• f(xi) = 1

El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantia.

A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi)

llamado la probabilidad de xi

i

Función de Probabilidad v.a. DiscretaFunción de Probabilidad v.a. Discreta

X(ci) = xi

P(A) =

Propiedades función de cuantia:1. P ( X = xi ) 0

2. P ( X = xi ) = 1

3. Función de Distribución:

F(x) = P ( X = xi ) = f ( xi )

ACcij i

i

i

xxP:

j )()f(c

xix xix

i

Esperanza de una v.a. X

i

ii xXPxXE )(

Varianza de una v.a. X

i

ii xXPXExXV )()( 2

1. Distribución Bernoulli

X : R

P(X(ω)=0) = 1 – pP(X(ω)=1) = p

E X = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = pV X = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p = p ( 1 - p )

Distribuciones Discretas EspecialesDistribuciones Discretas Especiales

Consideremos un solo experimento sea A un evento asociado con tal experimento.

supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- p

P(X = 1) = p

P(X = 0) = 1 – p

f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1-x

X = 0, 10 < p < 1

Entonces su función de cuantía es

00 1

p = 0,7

x

f(x)

Sea la v.a. X(A ) = 1

X(Ac) = 0

Función de Distribución v.a. DiscretaFunción de Distribución v.a. Discreta

2. Distribución Binomial

Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad “p”.X: N° de piezas defectuosas en las n extracciones

Entonces

k = 0, 1, 2,......,n

knk ppk

nkXP

)1()(


E X = npV X = np (1-p)

Notación: X B( n , p )

•Se utiliza en el muestreo de una población finita con reemplazo. •También cuando la población es muy grande, con o sin reemplazo, ya que “p” se hace relativamente constante.

x

n

• Sean n repeticiones independientes del experimento consiste de todos los posibles secuencias { a1, a2, a3, .., an},

donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac. • Existen 2n de tales secuencias

Sea la variable aleatoria X := número de veces que ocurre el evento A sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3 , ....., n

f(x) = P(X = x) = px (1 –p)n-x

x = 0, 1, 2,......,n0 < p < 10,000

0,100

0,200

0,300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n = 16p = 0,2

x

f(x)


3. Distribución Hipergeométrica

Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos ( con defectos: D ; sin defectos: N - D ).

Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo.

X: N° de artículos defectuosos en la muestra


n

N

kn

DN

k

D

kXP )(

k =0,1,2,.....,min n , D

Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación al tamaño de la muestra ( N 10 n ).

ND

nXE )1(

))((2

NN

nNDNDnXV

4. Distribución de Poisson

Supongamos que tenemos una muestra de tamaño grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es pequeño “p”, y por lo tanto “np” el número total de artículos defectuosos en la muestra. Sea = np.

Entonces

k = 0, 1, 2,.......

!)(

ke

kXPk


E X = V X =

Caso límite: X B( n , p )

con n p 0

nkInnk

nkXP

knk

,,....2,1,0)(1)(

)(!

)( kIek

kXPk

N0

• Se define una v.a. X igual al número de piezas defectuosas;

luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))

• Las piezas a la salida de una línea de producción se clasifican

en defectuosas (D) o no defectuosas (N).

• Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de

acuerdo a este esquema. El para este experimento es:

= {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}

• La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no

cambia. Eso implica que si la población es finita, las

observaciones se hacen con reemplazo

• Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen.

Cronstrucción de un Modelo ProbabilísticoCronstrucción de un Modelo Probabilístico

= {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}

x

f(x)

0

(1-p)3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2

3(1-p) p2

3

p3

1

X(NND)= 1X(NDN)= 1X(DNN)= 1

3(1-p)2p

3 P(N) P(N) P(D)

Creando un Modelo ProbabilísticoCreando un Modelo Probabilístico

x

1

0

F(x)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn

P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia

F(x) = 0 x < x1

= f( xi ) x1 x < x2

1

i = 1

= f( xi ) x2 x < x3

2

i = 1

= f( xi ) x3 x < x4

3

i = 1

= f( xi ) x4 x < x5

4

i = 1


• Cuando el experimento se realiza sobre un espacio muestral que está relacionado con escalas intevalares (tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad,

voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.)

• Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial

f:

f(x) = lim h 0 > 0P(x < X < x + h)

h

R R

Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas

f(x)

xf(x) > 0;

Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface:

x Rx

f(x) dx = 1

Rx

a b

b

a

dxxP(A) = P(a < x < b) )(f

A: un evento

A: { x| a < x b)


Están definidas por una densidad de v. a. X

f : R R se dice densidad de probabilidad

PropiedadesPropiedades:

1. f (x) 0

2.

-

1)df( xx

Distribuciones de Probabilidad ContinuasDistribuciones de Probabilidad Continuas

x

dttxXPxF )(f)()(

ObservacionesObservacionesObservacionesObservaciones1.

2.

3. F (-) = 0 ; F () = 1

4. Fx es no decreciente

5.

6.

b

a

dxxbxaP )(f)(

R|

)(f dxxxXE

R

dxxfXExXV )()( 2

a b

b

a

dxxfA )(f(x)

x

Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores:

F(x) = P(X x)

Si X es una v.a. Continua

F(x) = f(t) dt

Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t x

x

-

Si X es una v.a. ContinuaSi X es una v.a. Discreta

F(x) = f(xi)

Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satifacenxi x

i xi x

Si X es una v.a. Discreta

Función de Distribución AcumuladaFunción de Distribución Acumulada

II) Sea F : R R , Fu Distribución, entonces:

i) F es no decrecienteii) F es continua por la derechaiii) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1

Luego P( - , x ) = F(x) define una Probabilidad

Además: P( a,b ) = F(b) - F(a)P( a,b ) = F(b) - F(a-)P( a,b ) = F(b-) - F(a)P( a,b ) = F(b-) - F(a-)

Construcción de Modelos de ProbabilidadConstrucción de Modelos de Probabilidad

abxf

1

)( a x b

min máx

0,0

0,1

0,2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a b

f(x)

x

Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar

cuarquier valor entre a x b; cuya pdf es:

Sea a = 3; b = 12

A: el evento { 4 < x < 7 }

Entonces:

7

4

dxP(A) = P(4 < x < 7)91

P(A) = 1

3


1. Distribución Uniforme: Dada la función de densidad

La función de Distribución es

bxaab

xf

1

)(

bx

bxaabax

ax

xF

1

0

)(

Distribuciones Continuas EspecialesDistribuciones Continuas Especiales

Notación: X U( a , b )

2ba

XE

12)( 2ab

XV

2. Distribución Normal

F(x) : No tiene expresión analítica

Rxexfx

,)(

2

2

1

2

1


Notación: X N( , 2 )

XE 2XV

EstandarizaciónEstandarización

Haciendo N( 0 , 1 )

se tiene que:

y FZ(z) se obtiene de tablas !

XZ

Rzezfz

z

,)(2

2

1

2

1

3. Distribución Rayleigh

0)(2

2

22

xsiex

xfx

X

01)(2

2

2

xexFx

X

22XE 2)

22( XV


4. Distribución Gamma

)()(

),,(1

xIex

xf R

x

X

x

X dttfxXPxF ),,()()(

XE 2XV


Función Densidad de ProbabilidadesFunción Densidad de Probabilidades

5. Distribución Chi-Cuadrado

Evaluando en Gamma

Se llega a que X 2(n) ( n/2 , 2 )

)(

2)2

(

)2,2

,(2

21

2

xIn

exnxf Rn

xn

X

nXE nXV 2


6. Distribución Beta

X ( r , s ) ssi

)()()()()(

),,(,xIxx

srsr

srxf srX 10

11 1

1

0

11 1 dxxxsr sr )(),(

0

1 0ndyeyn yn)(


)()()(

),(srsr

sr

srr

XE

)()( 12

srsr

rsXV

)()()()(usrrursr

XE

x

X dusrufxXPxF ),,()()(

Función Densidad de ProbabilidadesFunción Densidad de Probabilidades

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