UNIVERSIDAD SANTO TOMÁSDEPARTAMENTO CIENCIAS BÁSICASESTADÍSTICA I.

Profesora: Nathalie Castro M.

TALLER Nº 7.

CONTENIDOS: Variables aleatorias discretas.

EJERCICIO 1

Sea la función f ( x )= x−25

, donde la variable aleatoria x toma los valores {1, 2, 3, 4, 5}. ¿Es

ésta una función de densidad de probabilidad? Justifica tu respuesta.

EJERCICIO 2

Sea X una variable aleatoria discreta. Determinar el valor de k para que la función f ( X )= kX

, x

= {1, 2, 3, 4}, sea la función de probabilidad de X. Determinar la esperanza de X y además P(1≤ X ≤3).

EJERCICIO 3Lanzamos simultáneamente una moneda y un dado. Sea X una variable aleatoria que anota los puntos obtenidos, teniendo en cuenta que cuando sale cara se duplican (ejemplo: si obtenemos cara y 5 serían 10 puntos; si obtenemos cruz y 4 serían 4 puntos). Se pide:

a) La función de densidad de probabilidad.b) Esperanza de la variable aleatoria.c) Desviación estándar.

EJERCICIO 4Considere la siguiente función:

f ( x )={1−α si x=0α si x=10 coc

a) ¿Para qué valor de α f (x) es una función de densidad de probabilidad discreta? Explique.

b) Calcule la esperanza y la varianza de X.

EJERCICIO 5a) ¿Cuál de las siguientes tres funciones f i ( x ) ,i=1,2,3 es una fdp legítima para X y por

qué no se permiten las otras dos? Explique.

x 0 1 2 3 4f 1 ( x ) 0,3 0,2 0,1 0,0

50,05

f 2 ( x ) 0,4 0,1 0,1 0,1 0,3

f 3 ( x ) 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3

b) Para la fdp legítima, calcule la función de distribución acumulada.

EJERCICIO 6Un negocio de computadoras que atiende pedidos por correo tiene seis líneas telefónicas. Simbolicemos con X el número de líneas en uso en un momento específico. Supongamos que la fpd de X está dada en la tabla siguiente:

x 0 1 2 3 4 5 6f (x) 0,10 0,15 0,20 0,25 0,20 0,06 0,04

Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:a) A lo sumo 3 líneas están en uso.b) Menos de 3 líneas están en uso.c) Por lo menos 3 líneas están en uso.d) Entre 2 y 5 líneas están en uso.e) Entre 2 y 4 líneas no están en uso.f) Por lo menos 4 líneas no están en uso.

EJERCICIO 7Una compañía de refrescos anuncia premios en las chapas asegurando que en cada 1000 chapas hay 500 con “inténtalo otra vez”, 300 con premio de 0.3 euros, 150 con premio de 0.6 euros, 40 con premio de 3 euros y 10 con premio de 6 euros. Un individuo, al que no le gusta el refresco, decide comprar una botella cuyo costo es de 0.6 euros.

a) Caracterizar su ganancia mediante una variable aleatoria. Indique el rango de ella. b) Calcule la esperanza y responda: ¿es razonable la decisión del individuo? Explique. c) Calcular la probabilidad de perder dinero.

EJERCICIO 8El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 25% son economistas. Suponga que, para que un ingeniero ocupe un puesto directivo debe tener a lo más 3 años en la empresa, mientras que los empleados que son economistas deben tener entre 4 o 5 años para llegar a un puesto directivo. Por otro lado los no ingenieros y los no economistas deben tener a lo menos 7 años en la empresa para llegar al mismo puesto directivo.Luego, consideramos como T la variable aleatoria que indica el tiempo (en años) que un empleado lleva cumpliendo funciones en la empresa. La función de densidad de probabilidad está dada por:

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9f (t) 0,05 0,10 0,15 0,15 0,25 0,2 0,05 0,03 0,02

Si se elige un empleado al azar para ocupar el cargo de directivo, ¿cuál es la probabilidad de que no sea ni ingeniero ni economista?