MATEMATICA IV

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Valores Mximos y Mnimos

Criterio de Segunda Derivada:

Suponga que las segundas derivadas parciales de son continuas y suponga

que ( ) y ( ) es decir ( ) es un punto critico de .

Sea

( ) ( ) ( ) [ ( )]

a) Si y ( ) entonces ( ) es un mnimo relativo.

b) Si y ( ) entonces ( ) es un mximo relativo.

c) Si entonces ( ) no es ni un mximo relativo ni un mnimo

relativo.

Observacin.-

1. En caso de c) el punto ( ) se llama punto silla de y la grafica de cruza el plano tangente en ( ).

2. Si , la prueba no proporciona informacin 3. Para recordar la formula de es til escribirla como un determinante:

|

| ( )

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Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Ejemplo: Determine los valores mximo y mnimo relativos y los puntos silla de ( )

Solucin:

Primero localice los puntos crticos

Al igualar a estas derivadas parciales con 0, se obtienen las ecuaciones

Para resolver estas ecuaciones, sustituya de la primera ecuacin en la segunda, y obtiene

( ) ( )( ) ( )( )( )

De modo que hay tres races reales: . Los tres puntos crticos son ( ) ( ) ( ).

Luego calcule la segunda derivada parcial y ( )

( ) ( )

Puesto que:

( ) , el origen es un punto silla.

( ) , y ( ) , se concluye que

( ) es un mnimo relativo.

( ) , y ( ) , se concluye

que ( ) es un mnimo relativo.

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Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Ejemplo: Una caja rectangular sin tapa se fabrica con de cartn. Calcule el volumen mximo de la caja

Solucin:

Sean la longitud, el ancho y la altura de la caja en metros, segn se

muestra en la figura.

Entonces el volumen de la caja es

Exprese como una funcin de solo dos variables recurriendo al hecho de que el rea de los cuatro lados y el fondo de la caja es

Al resolver la ecuacin y determinar , obtiene

( ) [ ( )]

De modo que la expresin para se transforma en

( )

( )

Calcule las derivadas parciales:

( )

( )

( )

( )

Si es un mximo, entonces

, pero o da ,

de modo que debe resolver las ecuaciones

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Esto significa que y (Note que deben ser ambas positivas en este problema). Si hace en cualquier otra ecuacin obtiene

, lo cual da ( )

[ ( )] .

Por lo tanto ( )( )( ) de modo que el volumen mximo de la caja es .

AUTOEVALUACION

1. Calcule los valores mximo y mnimo relativos, y punto o puntos sillas de la funcin:

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

e) ( )