valores crÍticos y valor absoluto 3

1

MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

3. INECUACIONES POLINÓMICAS: Son de la forma:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0

El método que facilita la solución de las inecuaciones polinómicas es el

método de los valores críticos.

Pasos a seguir:

- Se halla los valores críticos factorizando el polinomio P(x)

- se ubica los valores críticos en la recta.

- se determinan los signos de los intervalos de variación.

- La solución será la unión de los intervalos positivos si P(x) > 0 y

negativo si P(x) < 0 .

Sea el polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0 donde P(x)

puede factorizarse tal como:

P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )

entonces se presentan los siguientes casos:

2


PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 , son reales y diferentes, es decir:

i. Si P(x) > 0

o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0

Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo.

Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución.

- ∞ r1 r2 . . . rn -1 rn + ∞

+ - + + - +

{-2,3,4}PC ; 04)-3)(x-2)(x(x: dofactorizan 0242x5xx 23

=>+>+−−

+ +--

, 4 3 , -2x >∞+<∪>∈<

-2 3 4

3


ii. Si P(x) < 0

o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0

Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo negativo.Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución.

- ∞ r1 r2 . . . rn -1 rn + ∞

+ - + + - +

}{-4,-1,1,2PC ; 02)-1)(x-1)(x4)(x(x: dofactorizan 082x9x2xx 234

=<++<+−−+

- +-+

2 , 1 1- , -4x ><∪>∈<

-4 1 2-1+

4


SEGUNDO CASO :

Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad

mayor que (1) , se tiene:

suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces,

entonces:

i. Si m es par , los signos de los intervalos de variación donde figura ri son iguales , es decir no son alterados.

Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 ≥ 0 , Hallar el conjunto

Solución.

{-2,1,4}PC ; 04)-(x1)-)(x2(x

: dofactorizan 0814x3x4x2

234

=≥+

≥−+−− x

- +-+

] { }[ 1 ,4 2- , -x ∪>+∞∪∞∈<-2 1 4

5


ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri

tienen signos diferentes.

Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto

Solución.

{-2,1,3}PC ; 01)-3)(x-2)(x(x

: dofactorizan 0617x14x4xx3

245

=<+

<+−+−

+ +--

><∪>∞∈< 1,3 2- , -x

-2 1 3

6


TERCER CASO:

Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.

Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0 , Hallar el conjunto

Solución.

{-2,1,3}PC ; 0)43)(x-1)(x-2)(x(x

: dofactorizan 02420x-2xx2x2

2345

=>++

>+−−− x

+ +--

>+∞<∪>∈< , 3 1 , -2x-2 1 3

El factor x2 + 4 = 0 no tiene raíces reales , por lo que x2 + 4 > 0 ∀x ∈ R ;

podemos prescindir de este factor.

7

INECUACIONES POR EL MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

4. INECUACIONES FRACCIONARIAS.

Son inecuaciones de la forma:

( ó con > ó < )

Donde Q(x) ≠ 0

Al factorizar P(x) y Q(x) , se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en

cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es

cerrado.

NOTA.- Si al factorizar el polinomio, uno de los factores esta afectado a un exponente par, el valor crítico que le corresponde no se toma en cuenta , este mismo criterio se aplica si el valor crítico es un número imaginario.

0Q(x)P(x) ó

)x(Q)x(P

<> 0

8


Ejemplo:

Resolver:

Solución.

07xx

4022xxx2

23≤

++−−

+ +--

[2,4][-5,0 7- , -x ∪>∪>∞∈<-7 0 2

07xx

4022xxx2

23≥

+−++−

Multiplicando por (-1) Aplicando Ruffini en el

numerador.

0 1 5- 5-

0 5 1

040-40

102210-3112442211 −−

,4}{-7,-5,0,2PC 07)x(x

5)2)(x-4)(x-(x=≤

++

-5 4

+-

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VALOR ABSOLUTOEl Valor absoluto de un número real x , denotado por IxI , se define así:

Ejemplo:l -4 l = - ( -4) = 4

l 5 l = 5

ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES MAS IMPORTANTES

1.- l x l = 0 ⇒ x = 0

2.- l x l =

3.- l x - y l = l y - x l 4.- l x y l = l x l . l y l

5.- l x + y l < l x l + l y l 6.- l x l2 = x2

7.- I x I > I y I ⇒ I x I2 > l y l2 ⇒ x2 > y2

<≥

= 0 x si ; x-

0 x si ; xx

2x

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SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

* Para la resolución de ecuaciones con Valor Absoluto, nos

apoyamos en los siguientes teoremas :

i ) Si: l x l = l y l ⇒ x = y ∨ x = -y

ii) Si: l x l = y ⇒ y > 0 ∧ ( x = y ∨ x = - y )

* Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los siguientes Teoremas:

iii ) y > 0 ; l x l > y ⇔ x > y ∨ x < - y

iv ) y > 0 ; I x I < y ⇔ -y < x < y

v ) I x I > I y I ⇔ x2 > y2 ⇒ x2 - y2 > 0

vi ) I x I < I y I ⇔ x2 < y2 ⇒ x2 - y2 < 0

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Ejemplos:

1. Resolver: l x - 2 l = 3x - 9 : Aplicamos el teorema:

l x l = y ⇔ y > 0 ∧ ( x = y ∨ x = - y )

)4

11x27(x3 x

11)4x72x(3x

=∨=∧≥

=∨−=−∧≥

32 11/4 7/2

=

27CS

9)(3x2x9-3x2(x09-3x9-3x2x −−=−∨=−∧≥⇔=−

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2. Resolver: l11 x +3 l = 5

Aplicamos el teorema:

l x l = y ⇔ y > 0 ∧ ( x = y ∨ x = - y )

118x

112 x

811x 211x 5311x 53x115311x

−=∨=

−=∨=

−=+∨=+⇔=+

−=

118,

112CS

13


3. Resolver: l5 x -3 l = l7 + 4 x l

Aplicamos el teorema: l x l = l y l ⇔ x = y ∨ x = - y

( )( )( )

−=∨=

=∨=−=∨=

+=∨+=−⇔+=

94 x 10x

-49x 10x 4x-73-5x 10x

4x)-(73-5x 4x 735x4x73-5x

−= 10,

94CS

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4. Resolver: l x + 3 l ≤ 3x - 1

Aplicamos el teorema: l x l ≤ y ⇔ - y ≤ x ≤ y

( )

2 x 21x

-42x- 24x - 1-3x3 x 3x 13x-

1-3x3x 13x- 13313133x

≥∧−≥

≤∧≤≤+∧+≤+

≤+≤+

−≤+≤−−⇔−≤+ xxxx

[ >+∞= ,2CS

-1/2 2

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5. Hallar el conjunto solución l3 x - 11 l ≥ 9

Aplicamos el teorema: l x l ≥ y ⇔ x ≥ y ∨ x ≤ - y

32 x

320 x

23x 203x -911-3x 9113x911-3x

≤∨≥

≤∨≥

≤∨≥−⇔≥

] [ >+∞∪−∞=< ,3/20 3/2,CS

2/3 20/3

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6. Hallar el conjunto solución de: l5 x + 7 l ≥ 8x - 3

Aplicamos el teorema:

l x l ≥ y ⇔ x ≥ y ∨ x ≤ - y

134- x

310 x

413x 103x- 3)--(8x75x 38x75x38x75x

≤∨≤

−≤∨−≥

≤+∨−≥+⇔−≥+

]3/10,CS −∞=<

-4/13 10/3

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7. Hallar el conjunto solución de: l x2 -2x -5 | ≥ l x2 + 4x +1|

Aplicamos el teorema: l x l ≥ l y l ⇔ x2 ≥ y2

( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )( )( ) 01)-2)(x1)(x(x02-xx1x

04-x22x6-6x-

014xx5-2x-x 14xx5-2x-x

014xx5-2x-x

14xx5-2x-x14xx5-2x-x

2

2

2222

2222

222222

≤++⇔≤++⇔

≥+⇔

≥+++++−⇔

≥++−⇔

++≥⇔++≥

] [ ]1 , 12,CS −∪−−∞=<-2 -1 1- ++-

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8. Hallar el conjunto solución de: l l x l -2 | < l x |

Aplicamos el teorema: l x l < l y l ⇔ x2 ≥ y2

( ) ( )( )

1x1x1x4x44x4-

x4x4-xx 2x

x2xx2x2222

22

−<∨>⇔

>⇔>⇔−<⇔

<+⇔<−

<−⇔<−

] >+∞<∪−−∞=< ,11,CS

-1 1

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9. Demostrar que : Si l x - 1 | < 2 → ><∈+

3/8 , 1/4 9x

3

83 ,

41

9x3

83

9x3

41

83

9x3

123

81

9x1

121

129x8 939x91-

3x1- 21221-x

><∈+

⇒

<+

<

<+

<

<+

<

<+<+<+<+

<<

<−<−⇒< xSi

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10. Hallar el conjunto solución :

[ >∞+= ,3S10 3

0x

3x≥

−

{ }

0,3PC , 0x

3 0 xSi .1 =≥−

⇒>x

+ - +

{ }

3,0-PC , 0x

3x 0x

3x 0 xSi 2. =≤+

⇔≥−−

⇒<

- ++

-3 0 [ >−= 0, 3S2

[ [ >−∪>∞+=∪= 0 , 3 , 3SSSG 21

valores crÍticos y valor absoluto 3

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