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VALORACION Y ELABORACION DE UNA ESTRATEGIA DE
CUBRIMIENTO PARA UNA OPCION UP-AND-IN SOBRE EL REAL
BRASILERO
Prashant Bhatia Ramos*
Asesor: Diego Jara, Ph.D**
Resumen
Las recientes intervenciones del banco central en Brasil han tenido un impacto considerable
en el mercado cambiario ya que han ubicado al Real en un rango de 2 a 2.1 durante un año.
Esta situación se ha traducido en un incremento en la demanda de opciones up-and-in sobre
el Real. Este trabajo recoge ese contexto económico por el cual está pasando Brasil para
valorar y elaborar una estrategia de cobertura estática para una opción up-and-in. Para ello,
se parte de una extensión al modelo de Black-Scholes para construir un árbol que describe
la evolución del Real a partir de la superficie de volatilidad. Este instrumento permitirá
valorar la opción de forma consistente con el mercado. Además, el árbol es el input
principal para la replicación de la opción barrera utilizando opciones regulares. El resultado
que se obtiene al emplear esta metodología es un árbol a cinco periodos que permite
obtener un portafolio replicante compuesto por cinco opciones regulares.
Palabras Claves: Opciones, Opciones Barrea, Árbol implícito, Cobertura estática.
Clasificación JEL: G12 G13 G21
*E-mail: [email protected]
** El profesor Diego Jara es Ph.D. en Matemáticas Financieras y M.S en Matemáticas de la
Universidad de Carnegie Mellon, Pittsburg, Estados Unidos. Diego jara es director de Quantil
S.A.S y dicta el curso de maestría Riesgo y Valoración de Derivados en la Facultad de Economía de
la Universidad de Los Andes.
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1. INTRODUCCIÓN
El mercado financiero abarca el mercado de acciones, bonos, bienes raíces, divisas,
materias primas, diversas clases de activos e instrumentos como los derivados financieros.
Según el Deutsche Borse Group1, los derivados financieros se han convertido en el
segmento más importante de este mercado. Además, los instrumentos derivados han
registrado el crecimiento más alto de todos los segmentos en los últimos años. Es
importante mencionar que el mercado de derivados es un contribuyente esencial a la
estabilidad del sistema financiero y un importante factor en el funcionamiento de la
economía.
El uso de este instrumento permite que los riesgos futuros sean transables, lo cual da lugar a
que los derivados tengan dos usos principales. El primero es eliminar la incertidumbre
mediante el intercambio del riesgo de mercado, comúnmente conocido como cobertura. Los
derivados sirven como un seguro ante un movimiento de precios no deseado y permiten
reducir la volatilidad de los flujos de caja de las compañías, esto resulta en pronósticos más
confiables, menores requerimientos de capital y una mayor productividad del mismo. El
amplio beneficio de los instrumentos derivados ha llevado a que la gran mayoría de las 500
compañías más grandes administren su riesgo mediante el uso de derivados. El segundo uso
es inversión: Los derivados son una alternativa de inversión sin tener que comprar el activo
subyacente directamente
Un derivado financiero es un contrato entre un comprador y un vendedor pactado hoy, el
cual concierne una transacción cuyo cumplimiento se da en una fecha futura. La vida del
contrato derivado puede ser bastante larga, en algunos casos más de diez años. Estos
contratos pueden ser transados en bolsas de derivados, pero también bilateralmente entre
participantes del mercado-mercado mostrador-. Para el 2007, en el mercado mostrador se
realizaban el 84% de las transacciones de derivados de renta fija, divisas, renta variable,
crédito y materias primas.
Uno de los factores que ha llevado al mercado mostrador a convertirse en la fuerza
dominante en la industria financiera es la posibilidad de ofrecer nuevos, “exóticos”,
1 El Deustche Borse Group es una compañía líder en operaciones de corretaje.
3
derivados que se ajustan a las necesidades del cliente. Entre los más sobresalientes
productos en este mercado, se destacan las opciones con barrera2.
Las opciones con barrera son extensiones de las opciones regulares y vienen de dos
formas. Las opciones de tipo “knock-in” entran en existencia si el precio subyacente toca la
barrera. También, se ofrecen opciones con barrera de tipo “knock-out” donde la opción
deja de existir si el precio subyacente llegase a tocar la barrera. Por ejemplo, una “up-and-
out” call tiene el mismo perfil de pagos de una opción regular call, si el precio subyacente
permanece por debajo de la barrera durante la vida de la opción, pero pierde su valor tan
pronto el precio subyacente cruza la barrera.
Las opciones con barrera satisfacen diferentes necesidades económicas y son ampliamente
utilizadas en los mercados de derivados de renta fija y de divisas desde los noventas. Estas
opciones permiten reducir el costo de modificar la exposición al riesgo dado que son más
económicas que sus contrapartes regulares. A su vez, son de gran ayuda para los traders que
realizan apuestas direccionales ya que aumentan el apalancamiento. También, son útiles
para los inversionistas que aceptan tener algo de riesgo residual en sus libros para reducir
sus costos de cobertura.
Los bancos son las entidades financieras que usualmente ofrecen este tipo de instrumentos
a sus clientes. Por lo general, los bancos prefieren cubrir sus posiciones, es decir, cuando se
vende una opción barrera el banco queda expuesto a que la opción se ejerza. Por lo tanto, el
banco toma la posición contraria, de esta forma se mitiga cualquier riesgo.
Las opciones con barrera son difíciles de cubrir ya que no se tiene certeza si la opción se
activará o desactivará según corresponda. Sin embargo, los bancos son muy activos en este
tipo de instrumentos.
Se tomará como referencia opciones con barrera sobre el Real Brasilero. El contexto
económico para Brasil durante el año pasado, ha presentado intervenciones del Banco
central en el mercado cambiario que contribuyeron a que el Real se ubicara en un rango
2 Una opción otorga el derecho más nos la obligación de comprar o vender el activo sobre el cual está
subscrita la opción, a un determinado precio durante un tiempo determinado.
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estrecho (2-2.1). Debido a una perspectiva de crecimiento bajo, por parte de algunos
participantes en el mercado, se crearon expectativas negativas sobre el Real, que han
forzado al banco central de ese país, a defender el Real ante escenarios que deprecien la
moneda rápidamente mediante la venta de contratos Swap3. La situación anterior se ha
traducido en la compra de opciones call europea up-and-in4 con un knock (barrera) de 2.1
sobre el Real, por parte de inversionistas que cuestionan la efectividad de las acciones que
pueda tomar el banco central ante una mayor depreciación de la moneda.
Este trabajo presenta una extensión del modelo de Black-Scholes. Este modelo será
utilizado para extraer de la superficie de volatilidad un árbol binomial, que permitirá
valorar y desarrollar una estrategia de cobertura para una opción call up-and-in sobre el
Real ya que uno de los problemas más antiguos en la valoración de opciones ha sido como
reconciliar la superficie de volatilidad con el modelo de Black-Scholes. Los valores que
arroja el modelo son consistentes con los precios observados en el mercado.
Este árbol binomial desarrollado por Derman y Kani (1994), el cual recibirá el nombre de
árbol implícito, permite calcular la distribución como la volatilidad futura para el Real. El
árbol es especialmente útil para realizar estrategias de cobertura estática, y generar
simulaciones de Monte Carlo para valorar opciones que dependen de una trayectoria.
El objetivo en este trabajo es valorar y generar una estrategia de cobertura estática para una
opción con barrera call up-and-in sobre el Real a través del uso del árbol binomial que
permite encontrar precios consistentes a los observados en el mercado.
Este trabajo presenta varios resultados: Para empezar, se exhiben los tres resultados que
arroja la calibración del modelo mencionado. En segunda instancia, se presenta el árbol que
describe el perfil de pagos de la opción call up-and-in. Finalmente, se presenta en detalle la
elaboración de una estrategia de cobertura estática para la opción relevante en este trabajo.
3 Un swap es un contrato derivado donde se intercambia algún tipo de flujo.
4 Una opción up-and-in es una opción que inicialmente no existe, esta se activa cuando el valor del subyacente
alcanza la barrera. Si la opción se activa, esta se comporta igual que una opción regular. Este tipo de opciones
son útiles cuando se tiene una perspectiva definida, en este caso ascendente, sobre el precio del activo
subyacente.
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Esta memoria de grado está organizado de la siguiente manera: En primera instancia, se
exhibe un breve repaso sobre algunos de los trabajos más importantes en la valoración de
opciones y opciones con barrera. En segunda instancia, se presenta el marco teórico
relevante para este trabajo. Después, se aborda en detalle la metodología que permitirá
construir el árbol para dar lugar a la valoración y elaboración de una estrategia de
cobertura. Finalmente, se realizan las conclusiones pertinentes.
2. REVISIÓN DE LITERATURA
Esta sección se divide en dos: En primer lugar, se presentará una revisión literaria de la
valoración de opciones regulares. Después, se realizará un repaso literario sobre las
opciones con barrera.
La historia de la valoración de opciones comienza con el trabajo de Bachelier (1900),
donde deriva una formula suponiendo que el activo subyacente sigue un movimiento
browniano aritmético y su retorno se distribuye normal. Merton (1973) en su trabajo tiene
dos críticas sobre el trabajo realizado por Bachelier. En primer lugar, la fórmula admite
números negativos, esto no es coherente ya que los precios por definición no pueden ser
negativos, dado que Bachelier asume retornos normales. En segundo lugar, Bachelier pasa
por alto el valor del dinero en el tiempo.
Sprenkle (1961) es el primero que corrige la negatividad de los precios al suponer que el
retorno del activo se distribuye log-normal. También, considera que los inversionistas son
adversos al riesgo. Sin embargo, ignora la importancia de descontar a valor presente.
Boness (1964) añade un parámetro de descuento, este equivale al retorno esperado del
activo.
Samuelson y Merton (1969) derivan una formula asumiendo que el precio de la opción es
una función del precio del activo subyacente. La tasa de descuento se determina a partir de
la conformación de una estrategia de cobertura por parte de los inversionistas. Sin embargo,
lo anterior no resulta ser una aproximación correcta ya que se omite el hecho de que los
inversionistas mantienen posiciones en otros activos para que el riesgo de una opción o
acción, que afecta la tasa de descuento del inversionista represente solo la cuantía del riesgo
no diversificarle. La fórmula para la valoración del activo en este trabajo depende de la
6
forma de la función de utilidad que los autores consideraban como representativa para un
inversionista típico.
Thorp y Kassaouf (1967) logran obtener una fórmula de valoración mediante el uso de
elementos empíricos para warrants5 por medio de la calibración de una curva con precios
de warrants actuales. Los autores utilizan la fórmula para calcular la proporción de
unidades del activo subyacente que se necesitan para cubrir una posición en opciones. No
obstante, Thorp y Kassaouf (1967) no contemplaron el hecho de que en un estado de
equilibrio, el retorno esperado de la posición cubierta debe ser igual al retorno de un activo
libre de riesgo
Los trabajos precedentes al de Black y Scholes (1973) se caracterizan por presentar dos
rasgos comunes: por un lado, permitir situaciones de arbitraje de mercado, en la cual se
puede realizar una estrategia que con absoluta certeza no se obtendrán pérdidas. Y por el
otro, fórmulas que dependen del perfil de riesgo del inversionista.
Black y Scholes (1973) proponen una formula innovadora que permite obtener un precio
único, es decir, sin importar la aversión de riesgo del inversionista la formula permite
obtener un solo precio. A su vez, la fórmula es libre de arbitraje ya que el retorno esperado
de la opción es equivalente a la tasa libre de riesgo. Por su importancia, el modelo de
Black-Scholes es considerado el marco teórico para esta memoria de grado.
El marco de Black-Scholes no solo provee de fórmulas analíticas para valorar opciones
regulares, también es útil para valorar opciones con barrera. Reiner & Rubinstein (1991)
deducen fórmulas para estimar el valor de los ocho tipos de opciones con barrera bajo un
mundo Black-Scholes. Haug (1998) propone una generalización del conjunto de fórmulas
propuestas por Reiner & Rubinstein (1991) mediante el uso de variables binarias.
Los trabajos de Haug (1998) y Reiner & Rubinstein (1991) se caracterizan por presentar
un método para valorar opciones con barrera en tiempo continuo. Sin embargo, en la
industria financiera usualmente se utilizan muestreos discretos para valorar activos. Por
ejemplo, Chance (1994), Flesaker (1992) y Kat y Verdonk (1995), indican que pueden
5 Un Warrant es un instrumento derivado que le otorga al comprador el derecho, más no la obligación de
comprar o vender un activo a determinado precio
7
existir diferencias de precios significativas entre opciones con barrera discretas y continuas.
En consecuencia, han surgido una serie de trabajos que valoran opciones con barrera
discretas, el trabajo de Glasserman et al (1997) permite valorar opciones con barrera
discretas al introducir una corrección simple de continuidad. El método utiliza fórmulas
para encontrar precios de opciones con barrera continuas, no obstante, la barrera es
monitoreada de forma discreta.
Como la mayoría de opciones que dependen de una trayectoria, las opciones con barrera
pueden ser valoradas por árboles binomiales, trinomiales o por un proceso de difusión con
saltos, dentro de la investigación de procesos de difusión con saltos para opciones con
barrera se destaca el trabajo de Leisen (1998), que discretiza el espacio del activo en vez
del espacio del tiempo para incorporar el riesgo de salto dentro del modelo. En lo que
respecta a los trabajos que involucran marcos entramados, se destaca el trabajo de Derman
y Kani (1994) que desarrollan, dentro de un marco binomial, un modelo libre de arbitraje
que extiende el modelo Black-Scholes al incorporar una función de volatilidad local que
depende del precio del activo y del tiempo. El árbol binomial que arroja el modelo es útil
para valorar opciones con barrera, donde la probabilidad de tocar la barrera es sensible a la
función de volatilidad local.
3. MARCO TEÓRICO
Aunque la fórmula de B-S es para una opción regular call europea, se expone porque es la
base del modelo que se utilizará para valoración y replicación de la opción con barrera.
Después, se presenta la extensión pertinente. A continuación se presenta la deducción de la
fórmula que realizan Black y Scholes.
En el marco teórico planteado por B-S, se asumen condiciones ideales en el mercado para
el activo subyacente como para la opción:
1. Las tasas de interés de corto plazo son conocidas y constantes a lo largo del tiempo.
2. El precio del activo sigue una caminata aleatoria en tiempo continuo con una taza
de varianza proporcional al cuadrado del precio del activo subyacente. La
8
distribución de posibles valores al final de cualquier intervalo finito es log-normal.
A su vez, la tasa de varianza del retorno del activo es constante
3. El activo subyacente no paga dividendos u otra clase de distribuciones
4. La opción es de tipo europea, solo puede ser ejercida cuando esta madure.
5. No existen costos transaccionales al comprar o vender el activo o la opción.
6. Es posible endeudarse en cualquier fracción del precio de un activo para comprarlo
o simplemente para tenerlo a la tasa de interés de corto plazo.
7. No existen penalidades por vender en corto.
Bajo estos supuestos, el valor de la opción dependerá solo del precio del activo subyacente
y del tiempo, dado que las otras variables relevantes permanecen constantes. El propósito
de B-S es crear una posición de cobertura que consiste en una posición larga en el activo
subyacente y una posición corta en la opción. es el valor de una opción en función
del precio del activo y el tiempo el número de opciones que son necesarias para vender
en corto para cubrir una posición larga en la acción es:
(1)
En la expresión anterior, el subíndice se refiere a la derivada parcial de la función con
respecto al primer argumento .
Es importante mencionar que el valor de la posición cubierta puede no llegar a depender de
ningún modo del precio del activo subyacente, vale la pena notar que si el precio del activo
cambia por un monto , el precio de la opción cambia . El número de
opciones en la expresión anterior cambia en . Por lo tanto, el cambio en el valor de una
posición larga en el activo neutraliza el valor de una posición corta en 1/ opciones.
Si la posición en la cobertura se mantiene continuamente, la aproximación mencionada se
sostiene. A su vez, el retorno de la misma es completamente independiente del cambio en el
precio del activo. De hecho, el retorno de la posición cubierta se convierte cierto. Por lo
tanto, el riesgo en la posición cubierta es nulo, si la posición corta en la opción es ajustada
continuamente. Si la posición en la cobertura no se sostiene continuamente, el riesgo es
pequeño y consiste enteramente del riesgo que puede ser diversificado formando un
portafolio de un gran número de posiciones cubiertas.
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En general, dado que la posición cubierta contiene una posición larga en el activo y 1/
opciones en corto, el valor de la posición en el activo es:
(2)
El cambio en el valor de la posición en el activo en un intervalo corto de tiempo es:
(3)
Asumiendo que la posición corta es ajustada continuamente, B-S utilizan cálculo
estocástico para expandir lo cual viene siendo de la
siguiente manera:
(4)
Los subíndices en se refieren a derivadas parciales, es la tasa de varianza del retorno
del activo. Substituyendo la expresión anterior en la expresión (3), se obtiene el cambio del
valor del activo en la posición cubierta:
(5)
Dado que el retorno del activo en la posición cubierta es conocido, el retorno debe ser igual
a Si la posición cubierta no cambia continuamente, el retorno esperado para esta
posición en el corto plazo debe ser la tasa de interes. Si lo anterior no fuese cierto, los
especuladores tratarían de obtener una ganancia pidiendo prestado cantidades considerables
de dinero para crear la posición de cobertura; y en el proceso fuerzan que el retorno de la
posición sea la tasa de interés.
Por lo tanto, el cambio del valor del activo debe igualar el valor del activo multiplicado por
(
)
(
) (6)
Cancelando para ambos lados, y reordenando términos, se obtiene una ecuación
diferencial para el valor de la opción.
10
(7)
Sea la fecha de madurez de la opción y el precio de ejercicio, entonces se sabe que:
(8)
Solo existe una fórmula que satisface la ecuación diferencial (7) sujeto a la
condición de frontera (8). Esta fórmula debe ser la formula de valoración para opciones.
Para resolver la ecuación diferencial es necesario hacer la siguiente sustitución:
(9)
[
(
) ]
(
)
Con la sustitución la ecuación diferencial se convierte:
(10)
Y la condición de frontera se convierte:
0, (11)
⌊
⌋
La ecuación diferencial (10) es la ecuación de transporte de calor en física, y su solución es
dada por Churchill (1963, p 155). En la notación de B-S, la solución es:
√ ∫
√
[
( √ )( )
]
(12)
11
Al substituir desde la ecuación (12) en la ecuación (9), y simplificando B-S obtienen lo
siguiente:
(
)
√
(
)
√
En las ecuaciones anteriores, es la función de densidad normal acumulada.
Cox-Ross-Rubistein (1979) realizan una implementación binomial que recoge los
principios económicos fundamentales de no arbitraje y de neutralidad al riesgo planteados
por Black-Scholes, donde el activo evoluciona sobre un árbol binomial riesgo neutral con
volatilidad constante.
Los precios de las opciones en el mercado no son consistentes con los precios teóricos que
se derivan del modelo de Black-Scholes. En un mundo B-S, se asume que el activo sigue
un proceso aleatorio con volatilidad constante. Por lo tanto, un resultado del modelo es que
todas las opciones sobre un mismo activo deben tener la misma volatilidad implícita. Sin
embargo, después de la caída de la bolsa de Nueva York en el 87, las volatilidades
implícitas que arrojaban el modelo de Black-Scholes mostraban una correlación negativa
con los precios de ejercicio de las opciones. Es decir, los Traders6 en el mercado valoraban
las opciones con distintas volatilidades dependiendo del precio del ejercicio (Strike) y
expiración. Derman y Kani (1994) describen el proceso anterior, matemáticamente,
argumentado que el precio del activo no sigue una distribución log-normal como
consecuencia de un proceso aleatorio modificado, cuya raíz reside en que el activo
subyacente tiene una volatilidad variable que depende del precio que posee el activo y del
tiempo.
6 Persona natural o jurídica que compra o vende títulos financieros.
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Derman y Kani (1994) extienden el modelo de Black-Scholes utilizando el smile7 -precios
de opciones de tipo europeo con diferentes expiraciones y niveles de strike- como input
para deducir el proceso aleatorio del activo. La extensión del modelo de Black-Scholes
permite acomodar la estructura de volatilidades implícitas en el mercado ya que incorpora
una función de volatilidad local que depende del precio del activo y del tiempo,
.Específicamente, el enfoque de los autores determina numéricamente del
smile, al exigir que los precios de las opciones calculados a partir del modelo sean
coherentes con el smile de volatilidad. Este modelo contrasta con otras extensiones que
usualmente involucran una forma paramétrica específica para la función de volatilidad
local, por ejemplo, Lin Chen (1996).
A continuación, se presentan las ecuaciones que resumen el párrafo anterior: En primer
lugar, se muestra la ecuación que sintetiza el modelo de Black y Scholes. Después, se
introduce la ecuación que describe la extensión de la ecuación de Black-Scholes. Ambas
ecuaciones están calibradas para describir el proceso del Real ya que es el activo relevante
en este trabajo.
El proceso de difusión del activo subyacente sobre un tiempo infinitesimal esta descrito
por la siguiente ecuación diferencial estocástica.
Donde S es la tasa de cambio (Real/Dólar americano). Aplicando el lema de Ito se puede
encontrar el drift ( del modelo, el cual es la diferencia entre una tasa money-market en
Brasil y la correspondiente tasa money-market en dólares americanos.
El proceso de difusión que plantea Derman y Kani (1994) es el siguiente.
Donde el parámetro es la función de volatilidad local.
7 El termino smile incorpora el “skew” como la estructura a término de la volatilidad.
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El modelo planteado por Derman & Kani (1994) se aborda desde un marco binomial. De
esta manera, los precios de las opciones para todos los strikes y expiraciones, obtenidos a
partir de interpolar o extrapolar precios conocidos de opciones, determinarán la posición y
la probabilidad de llegar a cada nodo en el árbol, como el árbol incorpora la estructura de
volatilidades implícitas a partir de los precios conocidos de opciones, se puede valorar la
opción barrera y todos los instrumentos de cobertura de forma consistente con el mercado.
En adición, este árbol permite capturar lo sensible que es la probabilidad de tocar la barrera
a la forma que tiene el smile. Por las características del árbol mismo, este recibirá el
nombre de árbol implícito. En la siguiente sección de este trabajo se describe
detalladamente la construcción del árbol implícito para el Real.
4. METODOLOGIA
Esta sección aborda la construcción del árbol implícito creado por Derman & Kani (1994)
utilizando inducción. Los niveles del árbol están uniformemente espaciados en . A
continuación, se presenta la notación de los parámetros relevantes en el modelo. Después,
se detalla en la construcción misma.
La tasa de interés foward libre de riesgo domestica (Brasil) y la tasa de interés foward libre
de riesgo extranjera (EE.UU), y respectivamente, capitalizan continuamente. Estas
tasas no son constantes a lo largo del tiempo; pueden variar de nivel a nivel. Sin embargo,
por simplicidad se suponen constantes para todos los niveles del árbol.
Se requiere determinar los nodos en el nivel ( del árbol. Específicamente,
existen nodos para ser fijados, que corresponden a precios aún desconocidos
del Real . La siguiente figura muestra para un nodo en el nivel , el precio conocido del
Real que evoluciona hacia un nodo arriba y hacia un nodo abajo cuyo precio es
para el nivel donde el precio foward correspondiente a es 8. El
gráfico también muestra la probabilidad de transición , neutral al riesgo, hacia el nodo
de arriba y el precio Arrow-Debreu ( para el mismo nodo . ) es el precio de una
opción que paga 1 unidad en un solo estado en el nivel enésimo y paga cero de lo
8 Cabe mencionar que el gráfico supone que todos los precios que preceden el nivel han sido previamente
determinados.
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contrario. El precio Arrow-Debreu para cada nodo es computado por inducción hacia
adelante y es la suma sobre todos los caminos desde la raíz del nodo del producto de
las probabilidades de transición descontadas libres de riesgo en cada nodo y para cada
camino que conduce al nodo . Por lo tanto, todos los en el nivel son conocidos ya
que las probabilidades de transición y los nodos anteriores han sido computados para el
nivel .
En el modelo existen parámetros que definen la transición del nivel al nivel
( . Específicamente, los precios del Real y las probabilidades de
transición neutrales al riesgo ( . Los parámetros serán determinados a partir del
smile.
Ilustración 1. Construcción del Árbol implícito en el (n+1)esimo nodo del árbol.
Fuente: Derman y Kani (1994)
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Para determinar los parámetros, se utiliza el árbol para calcular el valor teórico de
valores conocidos, los cuales se distribuyen de la siguiente manera: valores foward y
opciones, el modelo permitirá que los valores teóricos de las opciones y los fowards
concuerden con los valores interpolados del mercado. Como el modelo presenta más
parámetros que incógnitas, Derman & Kani (1994) utilizan ese grado libertad para que el
centro del árbol sea coherente con un árbol binomial recombinante, planteado por Cox-
Ross-Rubinstein. La condición de centralidad depende si el nivel del árbol es par o
impar. Si es impar, el nodo central tiene como valor el precio actual del activo, para este
caso particular será el precio spot del Real. Si lo contrario sucede, se toma el promedio de
los logaritmos naturales de los dos nodos centrales para que igualen el logaritmo del precio
spot del Real.
A continuación se detallara en la derivación realizada por Derman & Kani (1994) de las
ecuaciones para los valores teóricos de los fowards y de las opciones.
El árbol implícito es riesgo neutral. Por lo tanto, el valor esperado un periodo después para
el Real en cualquier nodo debe ser su precio foward.
(1)
La tasa foward es conocida, por medio de la siguiente ecuación
Existen ecuaciones, una para cada .
El segundo conjunto de ecuaciones describe el valor de las opciones. Es importante
mencionar que solo hay opciones independientes ya que las opciones puts y calls con el
mismo precio de ejercicio están relacionadas a través de la paridad put-call, la cual se
sostiene en el modelo de los autores ya que el árbol implícito está atado a valorar todos los
fowards de forma correcta.
Existe una ecuación para cada opción con strike , el strike es igual al precio conocido para
el Real en el nivel que expira en el periodo siguiente. El strike separa el nodo
hacia arriba y el nodo hacia abajo, y respectivamente, en el siguiente nivel. Esto
permite que el nodo de arriba y todos lo que estén arriba de él serán deducidos a partir de
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una opción call con strike De forma análoga, el nodo de abajo y los nodos que ubiquen
debajo de él serán deducidos por una opción put con strike
Las opciones call y put, y respectivamente, se valoraran a precios de
mercado. Es decir, se interpola el smile para conocer el precio actual de las calls y puts con
strike y expiración El siguiente aparte de este capítulo ilustrará al lector como las
opciones calls y puts contribuyen a la deducción de los nodos de arriba y de abajo que
conforman el árbol. Las ecuaciones de opciones, junto a la ecuación (1) y la condición
de centralidad permitirán construir el árbol.
A continuación, se muestra la contribución que hacen las opciones de tipo call para la
deducción de los nodos de arriba.
Derman & Kani (1994) parten de la ecuación que describe el valor teórico de una opción
tipo call en un marco binomial, donde el precio de una opción de este tipo puede ser
expresado como el pago esperado en su expiración descontado a valor presente.
Matemáticamente, el precio se puede ver como la sumatoria de todos los nodos sobre el
nivel descontados por la probabilidad de llegar a cada nodo y
multiplicado por su pago.
∑ { } (2)
Cuando el strike de la opción es igual a , se puede conocer la contribución de la opción
para deducir el nodo de arriba utilizando la ecuación (1). El uso de la ecuación (1) permite
encontrar una expresión en términos de los precios Arrow-Debreu, los precios conocidos ,
y los precios foward.
∑ (3)
La expresión anterior tiene dos parámetros aún desconocidos y , como se conoce
y se puede resolver simultáneamente la ecuación (3) y (1) para y la
probabilidad de transición , en función de .
[
∑ ]
[ ∑ ]
(4)
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De esta forma, se obtiene una ecuación que iterativamente determinará los nodos que se
ubiquen arriba del centro del árbol y la probabilidad de transición neutral al riesgo si se
conoce .
(5)
La ecuación (4) es útil cuando el número de nodos en el nivel es inpar ya
que se puede identificar el inicial para los
con el nodo central cuyo valor es el
precio spot del Real. Si el número de nodos en el nivel es par se identifican
el y iniciales para los , con los nodos que están justo abajo y arriba
del centro en el nivel. La condición de centralización escogida por los autores equivale a
escoger los dos precios centrales para que satisfagan , donde y equivale
al precio spot del Real, esa relación al ser reemplazada en el ecuación (4) proporcionará una
fórmula para encontrar el nodo más arriba de los dos nodos centrales.
[
]
(5)
El parámetro equivale a la sumatoria en la ecuación (3).
El desarrollo que se realizó para determinar los nodos de arriba aplica de forma análoga
para encontrar un fórmula que permita hallar los nodos de abajo, el perfil de pago de una
opción put está definido como el . La sumatoria pertinente para este caso
se hace sobre todos los nodos que están por debajo del nodo con precio . A continuación,
se presenta la expresión para encontrar el valor de .
[
( ) ∑ ]
[ ( ) ∑ ]
Para el cálculo de los precios Arrow-Debreu se utiliza la siguiente formula iterativa
donde equivale a 1 por definición.
18
{
[( ) ]
[ ( )]
[ ]
}
Por último, para que el árbol sea riesgo neutral, la probabilidad de transición en
cualquier nodo debe estar entre 0 y 1. Si es mayor que uno, en el siguiente nivel
sería menor al precio foward . Si es menor que cero, entonces el precio sería mayor
a Cualquiera de las dos situaciones daría lugar a una oportunidad de arbitraje. Por lo
tanto, para que esa condición no se presente en el modelo se debe cumplir la siguiente
desigualdad.
5. VALORACIÓN
Esta sección ilustra la construcción del árbol implícito para el Real. El modelo fue
calibrado de la siguiente manera: El árbol está espaciado en intervalos semanales, donde el
nodo inicial corresponde al valor spot del Real para el 17 de abril de 2013. El nivel ,
que corresponde al tiempo es 5 semanas, es decir, el árbol describe los posibles
valores que el Real puede tomar durante 5 semanas, partiendo del 17 de abril del presente
año.
Para calibrar el árbol se utilizaron las tasas de depósito en ambas monedas que determinan
la devaluación implícita en la tasa foward. Como se mencionó en el capítulo anterior las
tasas varían de nivel en nivel. La siguiente tabla corrobora ese hecho y muestra las tasas de
depósito para ambas monedas en función de la expiración del contrato foward (BRL/USD).
Sin embargo, por simplicidad se supone que las tasas de depósito relevantes son constantes
a lo largo del árbol.
Los valores de ambas tasas que se utilizaron para construir el árbol son los siguientes:
0.28% en Dólares y 6.58% en Reales.
19
0.00%
0.05%
0.10%
0.15%
0.20%
0.25%
0.30%
0.00%
1.00%
2.00%
3.00%
4.00%
5.00%
6.00%
7.00%
0 2 4 6
T
A
S
A
U
S
D
T
A
S
A
B
R
L
SEMANAS
TASAS DE DEPOSITO
BRL
USD
.
También, se utiliza la superficie de volatilidad de las opciones regulares sobre el Real para
el 17 de Abril. Extrapolando o interpolando la superficie de volatilidad se encontrará el
valor de las opciones calls y puts necesarias para deducir los valores del Real en los nodos
de arriba y de abajo del árbol respectivamente.
Gráfico 1. Tasas de Deposito por Semanas en USD Y BRL.
Gráfica 2. Superficie de volatilidad asociada a las opciones sobre el Real (17/04/2013)
Fuente: Bloomberg Finance L.P Tomado el (17/04/2013)
Fuente: Bloomberg Finance L.P tomado el (17/0472013)
20
0 1 2 3 4 5
Tiempo
(Semana) 2,3267
Árbol Implicito 2,1444
2,1073 2,1103
2,0773 2,0576
2,0262 2,0256 2,0309
2,0021 2,0021 2,0021
1,9783 1,9788 1,9737
1,9441 1,9568
1,9260 1,9419
1,9024
1,8776
La gráfica anterior muestra la volatilidad implícita en función del delta y la madurez.
Usualmente los traders de opciones utilizan este gráfico para determinar rápidamente la
forma de la superficie de volatilidades implícitas, y para identificar áreas donde las
volatilidades implícitas relativas puedan ofrecer oportunidades de trade. En los mercados de
divisas, las volatilidades implícitas usualmente tienden a subir a mayor o menor sea el
precio strike. En la gráfica, el termino ATM muestra la volatilidad de una opción At-the-
money. Es decir, un opción donde el precio ejercicio es igual al precio Forward.
A continuación, se presentan los tres resultados principales del modelo. Primero, se
presenta el árbol que permitirá valorar y encontrar una estrategia de cobertura para una
opción up-and-in, cuyas características se describirán a continuación. Segundo, se
presentan las probabilidades de transición hacia un nodo de arriba para cada nodo . Por
último, se presentan los precios Arrow-Debreu ( .
ÁRBOL 1: Árbol implícito para el Real, los nodos muestran el valor de 𝒔𝒊.
Fuente: Elaboración Propia.
21
0 1 2 3 4
Tiempo
(Semanas) 0,1698
0,6024
Probabilidad 0,6637 0,3679
0,3532 0,4687
0,5483 0,5496 0,5393
0,6319 0,5400
0,3870 0,5445
0,4777
0,4215
0 1 2 3 4 5
Tiempo
(Semanas) 0,0131
Arrow-Debreu 0,0770
0,1280 0,0058
0,1932 0,2452
0,5476 0,4153 0,3758
1 0,6385 0,4099
0,4511 0,3513 0,3029
0,1658 0,2098
0,1015 0,1179
0,0530
0,0306
Según Derman y Kani (1994) el árbol implícito es especialmente útil por las aplicaciones
que de él se derivan para las opciones con barrera. En primer lugar, el árbol puede valorar
una opción con barrera de forma adecuada, ya que este permite capturar lo sensible que es
la probabilidad de tocar la barrera a la superficie de volatilidad. En segundo lugar, el árbol
puede ser usado para crear estrategias de cobertura mediante portafolios estáticos.
A continuación, se detalla en las características de la opción con barrera. También, se
presenta al lector el contexto económico que da lugar al uso de opciones barrera.
ÁRBOL 2: Probabilidades de transición, los nodos muestran 𝒑𝒊.
ÁRBOL 3: Árbol de precios Arrow-Debreu, los nodos muestran el valor de 𝝀𝒊.
Fuente: Elaboración Propia.
Fuente: Elaboración Propia.
22
opcion call up-and-in
Spot 2.0021
Strike 2.0256
Barrera 2.1000
Tipo Europea
Fecha Inicio 17 de Abril de 2013
Fecha Expiracion 24 de Mayo de 2013
Posteriormente, se aborda la valoración de la opción con barrera, utilizando el árbol
implícito.
La opción barrera relevante para el ejercicio tiene las siguientes características.
En el contexto actual de la economía brasilera, un inversionista que desee tomar una
posición larga en una opción con esas características considera que el Real seguirá una
tendencia depreciativa. Los recientes datos de la economía de ese país no son favorables. El
dato de inflación para marzo del presente año se ubicó en 6.59 % anual. Sin embargo, el
banco central en Brasil ha declarado que no permitirá que el Real se deprecie rápidamente
debido a que una mayor depreciación puede tener efectos negativos sobre la inflación. No
obstante, el mismo banco ha actuado ante escenarios que revalúen el Real ya que dentro de
las políticas monetarias del banco está establecido mantener una tasa de cambio
competitiva.
Para valorar la opción barrera se utiliza inducción hacia atrás. El pago para una opción call
regular europea en la expiración es igual al . Por lo tanto, existen
pagos que corresponden a los nodos que hay en la expiración. El pago para los
nodos en la expiración también está condicionado a si el precio spot del Real en la
expiración proviene de una trayectoria que active la opción. Si la opción no se activa, el
pago de la misma toma el valor de cero para ese nodo al momento que finaliza el contrato.
Ambas condiciones determinaran el valor de la opción barrera para los nodos en la
expiración. Las probabilidades de transición riesgo-neutrales permiten computar el valor
esperado de la opción para cada nodo . El valor de la opción equivale a la sumatoria de
los valores esperados en los nodos traídos a valor presente utilizando la tasa de interés
Tabla 1: Parámetros para la opción call up-and-in.
Fuente: Elaboración Propia.
23
domestica . A continuación, se presenta el árbol que describe el perfil de pagos para la
opción con las características definidas.
ÁRBOL 4: Representación binomial del valor de la opción a lo largo del tiempo, los nodos muestran el valor intrínseco.
Fuente: Elaboración Propia.
El valor que se presenta el nodo inicial, 0.0170 Real/ Dólar Americano, es el valor teórico
de la opción call up-and-in con las características definidas.
6. CUBRIMIENTO
Cubrir una posición blinda a la entidad financiera que emite una opción barrera de los
riesgos inherentes de mercado que el instrumento derivado conlleva. Esta sección aborda la
elaboración de una estrategia de cubrimiento estática para la opción call up-and-in europea.
La opción se cubre utilizando la metodología propuesta por Derman et al (1994) donde se
describe la construcción de un portafolio compuesto de opciones regulares con diferentes
precios de ejercicio y fechas de expiración, cada opción dentro del portafolio tiene un peso
fijo que no necesitará ajuste. El valor del portafolio replicante aproximadamente coincidirá
con el valor de la opción barrera para una amplia gama de precios del Real sobre un
determinado tiempo, en general el portafolio presentará el mismo comportamiento que la
opción barrera.
0 1 2 3 4 5
0,3011
Opcion Barrera 0,1213
0,0853 0,0847
0,0614 0,0311
0,0268 0,0146 0,0000
0,0170 0,0080 0,0000
0,0050 0,0000 0,0000
0,0000 0,0000
0,0000 0,0000
0,0000
0,0000
24
El método propuesto por los autores difiere de otros trabajos. Los estudios que preceden la
metodología propuesta por Derman et al (1994) se pueden dividir en dos grupos: El primero
reúne aquellos trabajos que se han caracterizado por emplear algún método de optimización
para minimizar la discrepancia entre el valor de la opción barrera y el portafolio replicante
para determinadas condiciones de mercado. El segundo grupo, se ha enfocado en encontrar
portafolios de cubrimiento estático para ciertos casos donde un número pequeño de
opciones puede replicar la opción con barrera.
El método de Derman et al (1994) se caracteriza por sistematizar la construcción de un
portafolio que replicará la opción con barrera para futuros precios del Real. El método de
los autores parte de la premisa que una replicación estática perfecta requeriría un infinito
número de opciones, aún así, un portafolio de cubrimiento estático compuesto de varias
opciones provee una replicación adecuada para una amplia gama de condiciones futuras de
mercado.
Para finalizar esta breve introducción se hablará un poco de las ventajas que ofrece la
cobertura estática. Después, se explicará cómo implementar la metodología propuesta por
los autores.
La cobertura estática tiene varias ventajas, una de ellas se refiere a la valoración. Una
estrategia de cobertura estática descompone una opción barrera en un portafolio de
opciones regulares, por lo tanto, el valor de mercado del portafolio proporciona un
estimado práctico del valor justo de una opción barrera. Este valor podría reflejar el
verdadero costo de la opción de forma más realista que el valor teórico ya que en el
mercado se presentan costos de transacción, superficies de volatilidad y otras condiciones
de mercado que quebrantan algunos de los supuestos que están detrás del modelo de
Black-Scholes. En adición, el cubrimiento estático es útil para cubrir opciones exóticas de
alto gamma, como es el caso de las opciones barrera, donde se requiere frecuentemente
cubrir la posición dinámicamente con el portafolio replicante. Por consiguiente, el
cubrimiento estático es una alternativa más económica debido a que no se presentan los
altos costos de transacción al optar por un cubrimiento dinámico.
25
El método está compuesto por tres componentes: El primero es un árbol binomial riesgo
neutral, el árbol relevante para el ejercicio fue calibrado en el capítulo anterior utilizando la
metodología propuesta por Derman & Kani (1994). El segundo componente se denomina
las condiciones de frontera. Las condiciones de frontera son los valores de la opción en una
frontera en algún nivel del árbol donde su valor está determinado por los términos de la
opción. Los valores de la opción dentro de la frontera están determinados por los valores
sobre la frontera. El último componente es la valoración de las opciones que conforman el
portafolio replicante, se utiliza inducción hacia atrás utilizando las probabilidades de
transición riesgo neutrales calculadas en el capítulo anterior.
La siguiente ilustración muestra las condiciones de frontera para la opción up-and-in.
Fuente: Elaboración Propia.
El método de replicación de los autores consiste en replicar el valor de la opción en la
frontera. De esta forma, se podrá replicar los valores dentro de la frontera ya que estos
dependen de los valores sobre la frontera. Para cada punto sobre la frontera que cuyo valor
sea mayor al precio spot actual, se puede utilizar opciones call con strike sobre o más arriba
de la frontera. Esto previene que la call tenga un valor dentro de la frontera, ya que si lo
tuviese alteraría el valor de las opciones que han sido computados por inducción de los
valores en la frontera. De forma análoga, sobre fronteras que se encuentren por abajo del
Precio Actual
Tiempo
Precio
Real Frontera de pago tipo In
Frontera Expiración
Ilustración 2: Condiciones de Frontera para una opción call up-and-in.
26
Posición Tipo Strike Expiración
Largo Call 2,0256 5
Corto Put 2,0363 5
Largo Put 2,0309 4
Largo Put 1,9802 3
Corto Put 1,9755 2
Portafolio
0 1 2 3 4 5
2,0256
PAGO ARBOL 0,3011
Portafolio Replicante 0,1213
0,0853 0,0847
0,0614 0,0311
0,0268 0,0146 0,0000
0,0170 0,0080 0,0000
0,0050 0,0000 -0,0626
0,0000 -0,0029
0,0513 -0,0944
-0,0029
-0,1587
precio actual, se puede utilizar opciones put sobre o por debajo de la frontera. Para replicar
el pago en la expiración se puede utilizar opciones put o call con un strike conveniente.
A continuación, se presenta el árbol que replica el perfil de pagos de la opción call up-and-
in que se valoró anteriormente. El árbol representa la conformación de un portafolio de
opciones europeas para la misma fecha pertinente de valoración de la opción barrera. La
tasa spot es igual para todas las opciones y equivale a la tasa spot del árbol que muestra los
posibles valores futuros del Real. Después, se detallara brevemente en la forma como el
portafolio fue construido.
Los guiones en rojo marcan las condiciones de frontera. Las posiciones que conforman el
portafolio se muestran a continuación.
ÁRBOL 5: Representación binomial del valor del portafolio en el tiempo.
Tabla 2: Canasta de opciones que conforman el portafolio.
Fuente: Elaboración Propia.
Fuente: Elaboración Propia.
27
Para la elaboración del portafolio replicante fue necesario partir de una opción regular call
con un precio de ejercicio de 2.0256, igual que el de la opción barrera, con una fecha de
expiración dentro de cinco semanas. Esta opción se comporta similar para un subconjunto
de nodos que se ubican en la parte de arriba del árbol. Sin embargo, existe una trayectoria
que genera un pago, en la expiración, diferente para ambas opciones. En la opción barrera
este perfil de pago es cero, debido a que la trayectoria no toca la barrera. Para replicar la
frontera de pago en la expiración se utiliza una opción put con strike 2,0363. El resto de
las opciones permiten replicar la condición de frontera diagonal.
Es importante fijarse que el valor del portafolio replicante difiere considerablemente del
valor de la opción barrera para el subconjunto de nodos que se ubican debajo de la frontera.
En general, el portafolio se comporta igual a la opción barrera si la última vale algo. Este
resultado es consecuencia de solo replicar la opción en las condiciones de frontera y no en
todos los nodos que conforman el árbol.
En resumen, el portafolio resulta en una cobertura adecuada en las trayectorias que
conducen a un valor de la opción en la expiración. Sin embargo, existen trayectorias que
conducen a que la opción deje de valer antes de la expiración, lo cual discrepa con el
portafolio replicante.
A continuación, se calculará el valor que el portafolio en términos del precio de mercado de
las opciones que conforman el portafolio. Para encontrar el valor de estas opciones se
utilizará la superficie de volatilidad para extrapolar o interpolar la volatilidad implícita en
cada una de las opciones que conforman el portafolio replicante. El valor de cada opción
tiene en consideración el Bid-Ask spread para cada volatilidad implícita. Las tasa spot es
igual para todas, como las tasas de depósito relevantes, y corresponde al nodo inicial del
árbol que describe la transición del Real hacia el futuro.
28
Corta 0,0476
Larga 0,0610
Valor Inicial Portafolio 0,0134
Valor Portafolio (Consolidado por posición)
Posición Tipo Strike Expiración Vol BID (%) Vol ASK (%) Precio
Largo Call 2,0256 5 9.819 10.833 0,0192
Corto Put 2,0363 5 10.060 11.124 0,0416
Largo Put 2,0309 4 9.775 11.033 0,0344
Largo Put 1,9802 3 9.268 10.301 0,0074
Corto Put 1,9755 2 9.398 10.877 0,0060
Portafolio
La siguiente tabla presenta las posiciones consolidadas y el valor inicial del portafolio que
corresponde con la fecha de valoración.
El precio justo de mercado para la opción de acuerdo con la estrategia empleada es 0.0134
Reales por Dólar Americano. Este valor se diferencia del valor teórico computado, el cual
es 0.0170 Reales por Dólar Americano. El valor del desajuste equivale a 27% del valor
teórico, en términos monetarios equivale a 0.0036. Para calcular el desajuste en los
siguientes periodos se vuelve a calibrar el árbol implícito para las semanas restantes
utilizando la superficie de volatilidad de la semana correspondiente. Se calibra cada árbol
con las tasas que determinaban el precio foward para cada fecha, esas tasas se asumen
constantes a lo largo del árbol.
Tabla 3: Precio componentes del portafolio.
Tabla 4: Valor del portafolio.
Fuente: Elaboración Propia.
Fuente: Elaboración Propia.
29
Calibración 4: Cuatro semanas después.
Fuente: Elaboración Propia.
Los resultados de la calibración para el resto de semanas muestran que la opción barrera
solo vale hasta la segunda semana, ya que para la tercera en adelante no hay posibilidad
Calibración 1: Una semana después.
Calibración 2: Dos semanas después.
Calibración 3: Tres semanas después.
30
0 1 2 3 4
Tiempo
0.1239
0.0806
0.0554 0.0361
0.0235 0.0160
0.0153 0.0085 0.0000
0.0056 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000
0.0000
que el Real llegue a 2.1 durante lo que queda de la vigencia del contrato. El valor teórico de
la opción barrera una semana después es 0.153. El siguiente árbol describe el perfil de
pagos.
El valor del portafolio replicante una semana después es de 0.122, lo que implica un
desajuste del 25% del valor teórico, monetariamente equivale a 0.003. De acuerdo a la
nueva calibración realizada, a partir de la tercera semana de haber hecho el contrato el valor
de la opción barrera es 0. Por lo tanto, se debería liquidar el portafolio replicante en esa
semana a un valor de 0.0068.
El ejercicio realizado permite ver que existe un desajuste considerable en el portafolio
replicante. Este podría ser menor si se emplea un mayor número de opciones para replicar
la opción barrera en sus condiciones de frontera. Para ello, se tendría que espaciar el árbol
con un tiempo significativamente menor al empleado en este trabajo.
7. CONSIDERACIONES
Este breve capítulo cubre algunos aspectos que se deben tener en cuenta cuando se
emplean los métodos utilizados en este trabajo. Para empezar, el árbol implícito se debe
calibrar para un activo que sea líquido ya que se modela a partir de la superficie de
volatilidad -está condición aplica de forma análoga para la metodología de replicación dado
que se necesita un mercado liquido de opciones. Además, es importante resaltar que el
Calibración 5. Valor de la opción barrera una semana después.
Fuente: Elaboración Propia.
31
modelo no siempre es estable; este puede permitir arbitrajes si se obtienen probabilidades
de transición mayores que uno o menores que cero. Algunas reformas al modelo de Deman
y Kani (1994) han sido desarrolladas para otorgarle una mayor estabilidad al modelo.
Barle y Cakici (1998) proponen modificar la condición de centralidad, siendo esta ahora el
precio foward del activo y no el precio spot como lo plantean los autores iniciales. Sin
embargo, los cambios propuestos no solucionan el problema.
8. CONCLUSIONES
Este trabajo presentó una extensión del modelo de Black-Scholes para valorar y replicar
una opción barrera sobre el Real en un marco binomial de forma consistente con el
mercado. El árbol mostró de forma coherente la evolución del Real durante las 5 semanas
pues el Real se ha comportado como lo predijo el árbol.
El método empleado para cubrir la opción barrera es novedoso porque se reduce a replicar
el perfil de pagos de la opción barrera en sus condiciones de frontera. De esta manera, se
logra obtener un instrumento de cobertura que, en general, exhibirá el mismo
comportamiento que la opción barrera.
Aunque el portafolio en este trabajo replica las condiciones de frontera de la opción
barrera, este presenta un desajuste considerable. Para lograr un nivel de desajuste menor se
podría replicar las condiciones de frontera con un árbol que este espaciado en intervalos
menores a los semanales. De este modo, un mayor número de opciones conformarían el
portafolio replicante, aumentando las probabilidades de obtener un portafolio más
confiable.
32
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