polinomiosiespravia.com/moodle31/.../5/...polinomiosresumen.pdf · valor numérico de un polinomio...

I.E.S. _______________________

CUADERNO Nº 2 NOMBRE: FECHA: / /

Polinomios - 1 -

Polinomios

Contenidos

1. Monomios y polinomios Expresiones algebraicas Expresión en coeficientes Valor numérico de un polinomio

2. Operaciones Suma y diferencia Producto Factor común

3. Identidades notables Suma al cuadrado Diferencia al cuadrado Suma por diferencia

Objetivos

Manejar las expresiones algebraicas y calcular su valor numérico.

Reconocer los polinomios y su grado.

Sumar, restar y multiplicar polinomios.

Sacar factor común.

Conocer y utilizar las identidades notables.

Autora: Conxa Sanchis Sanz Bajo licencia

Adaptación a Descartes JS: Xosé Eixo Creative Commons Si no se indica lo contrario.

I.E.S. _______________________


Polinomios - 2 -

1. Monomios y polinomios 1.a. Expresiones algebraicas EJERCICIO. Completa el siguiente texto:

Un monomio es una _____________________ que sólo contiene _____________________

y ____________________________________ .

Un polinomio es una ______________________ de varios __________________. A cada

uno de ellos se le llama ______________

Completa las soluciones de las cuestiones:

Calcula la expresión algebraica que nos da el número e cuadraditos del rectángulo:

Expresión Grado Coeficientes

¿Qué monomio nos da el área del rectángulo de base x y altura y?


¿Qué expresión nos da el volumen de un cubo de arista x?


Indica qué polinomio nos da la longitud del segmento marrón con la ?


¿Qué polinomio nos da la media aritmética de dos números x e y?


I.E.S. _______________________


Polinomios - 3 -

1.b. Valor numérico de un polinomio

Completa:

El valor numérico del polinomio 5x2 + 2x + 3 para x = 10 es ________________________

El valor numérico del polinomio 5x2 + 2x + 3 para x = 60 es ________________________

Opción P(x) x Valor numérico

322)( 2 xxxP 3 P( ) = =

4)( 23 xxxxP -1 P( ) = =

355)( 23 xxxP -2 P( ) = =

45

312

213

21)( xxxxP 4 P( ) = =

Ejemplos de cálculo del valor numérico

Fíjate en el orden de las operaciones.

Polinomio: P(x) = 2546)( 23 xxxxP Valor numérico en x = -3

Operación que hay que resolver:

Primero las potencias =

Ahora los productos =

Por último sumas y restas

=

Resultado

Ejercicios Realiza dos ejercicios de cada uno de los siguientes apartados anotando los datos y resultados en los siguientes recuadros

P(x) x Valor numérico

246)( xxP 4

3 P( ) = =

4353)( 23 xxxxP 5 P( ) = =

447)( 2 xxxP 5

3 P( ) = =

25)( 342 xxxP 6 P( ) = =

I.E.S. _______________________


Polinomios - 4 -

EJERCICIOS

1. Halla las expresiones algebraicas asociadas a cada imagen

El triple de un número menos

cinco

La suma de los cuadrados de dos

números La diagonal de un cuadrado de lado x

La diagonal de un rectángulo de base

x y altura y

2. Escribe, con lo que aparece a la izquierda, un polinomio tal que:

3. Halla el valor numérico en 1, 0 y –2 de los siguientes polinomios:

POLINOMIO Valor en 1 Valor en 0 Valor en -2

x5-2x3 -x2

x2/5-1

- 2x3 + x2

-x3+1/2x2-1/5

I.E.S. _______________________


Polinomios - 5 -

2. Operaciones con polinomios 2.a. Sumas y restas A continuación se explica la forma de sumar y restar polinomios “linealmente”

xxxxQ

xxxxP

62)(

4353)(43

23

Nota sobre los grados: ))(),(()( QGPGmáxQPG

SUMA: RESTA:

43522

624353

624353

)()(

234

4323

4323

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xQxP

49542

624353

624353

)()(

234

4323

4323

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xQxP

Otro EJEMPLO Polinomios Operaciones

P(x) = 5

4x3 + x2 – x – 1

Q(x) = 5

1 x3 +

4

1x2 – 2x – 3

RESULTADO P(x) + Q(x) = 5

3 x3 +

4

5x2 – 3x – 4

En los ejercicios que siguen aparecen dos polinomios y la operación a efectuar (Los dos últimos en el Aula 204).

EJERCICIO 1 Operación

2

1

3

2

3

2

2

1)( 23 xxxxP

12

33)( 23 xxxxQ

Comprueba que P(x) − Q(x) =2

1

6

13

3

1

2

7 23 xxx


22

32

5

3)( 23 xxxxP

4

32

2

1)( 2 xxxQ

Comprueba que P(x) + Q(x) =4

11

2

7

2

5

5

3 23 xxx

I.E.S. _______________________


Polinomios - 6 -


P(x) = Q(x) =

P(x) Q(x) =


P(x) = Q(x) =

P(x) Q(x) =

2.b. Producto A continuación se explica la forma de multiplicar polinomios “linealmente”

6)(

353)(2

23

xxQ

xxxxP Nota sobre los grados: )()()( QGPGQPG

xxxxx

xxxxxx

xxxx

xQxP

18301553

183305183

6353

)()(

2345

32435

223

xxxxx

xxxxxx

xxxx

xPxQ

18301553

183018353

3536

)()(

2345

23345

232

Completa:

Los polinomios se multiplican _________ a _________, aplicando la propiedad ___________ del producto. Después

ordenamos los _____________ según su _______ y en orden ___________ y reducimos los términos semejantes.

P(x) Q(x) P(x)·Q(x)

45 42)( xxxP xxxQ 32)( 2

42)( 2 xxxP 23)( 2 xxxQ

14)( 2 xxxP 22)( 2 xxxQ

xxxP 4)( 3 53)( 2 xxxQ

I.E.S. _______________________


Polinomios - 7 -

2.c. Factor común

Atiende al profesor cuando explica en clase el procedimiento para sacar factor común.

42242182)(

1322212322264)(

3336

232245

xxxxxxxxxxxxxxQ

xxxxxxxxxxxxxxxxxxP

En la práctica, para poder extraer factor común en un polinomio:

Éste debe carecer de término independiente (debe ser cero)

Como máximo puede extraerse el producto del Mcd(coeficientes)·xmenor exponente

Haz los primeros cinco ejercicios de la tabla siguiente en clase y los cinco últimos en el aula 204:

P(x) Mcd(coeficientes)

Factor común Resultado de extraer factor

246 2182)( xxxxP

45 126)( xxxP

xxxxP 23 5)(

46 48)( xxxP

xxxxP 15510)( 34

I.E.S. _______________________


Polinomios - 8 -

3. Identidades notables 3.a. Cuadrado de una suma

En la escena aparece un puzzle que te permitirá

deducir la fórmula para obtener el cuadrado de una

suma. Tienes:

Un cuadrado azul de lado 3, por tanto de área

____

Otro rojo de lado 4 y área ____

Dos rectángulos de lados 3 y 4, luego el área de

cada uno es ____

Un cuadrado de lado 3+4, cuya área es _______

Resulta la expresión:

EJERCICIOS

4. Halla P(x)—Q(x) y 3·P(x)-Q(x)

P(x)=x4+2x3+3x Q(x)=2x3+x2-3x+5

5. Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 por Q(x)= x3+3x2+5

6. Suma P(x) y Q(x) Multiplica P(x) y Q(x)

7. Saca factor común:

P(x)= 4x6 – 4x5 - 6x3 – 3x2 P(x)=

P(x)= -8x4 + 6x3 – 2x2 – 4x P(x)=

P(x)= 6x5 + x2 – 4x P(x)=

I.E.S. _______________________


Polinomios - 9 -

Completa como en el ejemplo:

a b Fórmula para (a+b)2 a b (a+b)2=(a+b)·(a+b)

3 4 (3+4)2 = 32 + 2 · 3 · 4 + 42 = 49 4 2x

2

2

41616

488162424

xx

xxxxx

1 2x 3x 1

x 5 6 x

Copia en este espacio la fórmula que nos da el cuadrado de una suma:

Significado:

Debes reconocer esta igualdad también al contrario, de manera que identifiques el polinomio x2+6x+9 con la expresión (x+3)2 3.b. Cuadrado de una diferencia

En la escena aparece un puzzle que te permitirá

deducir la fórmula para obtener el cuadrado de una

diferencia. Tienes:


____

Otro rojo de lado 3 y área ____

Dos rectángulos de lados 3 y 7, luego el área de

cada uno es ____

Un cuadrado de lado 7–3, cuya área es _______



a b Fórmula para (a–b)2 a b (a–b)2=(a-b)·(a-b)

7 3 (7–3)2 = 72 – 2 · 7 · 3 + 32 = 16 4 x

2

2

816

441644

xx

xxxxx

4 2x 2x 3

x 1 x 2

I.E.S. _______________________


Polinomios - 10 -

Copia en este espacio la fórmula que nos da el cuadrado de una diferencia:

Significado:

Debes reconocer esta igualdad también al contrario, de manera que identifiques el polinomio x2–10x+25 con la expresión (x–5)2

3.c. Suma por diferencia

En la escena aparece una demostración geométrica

de la fórmula que nos da la expresión para la suma

por diferencia. Tienes:


____

Otro gris de lado 3 y área ____

En azul aparece la diferencia de los dos

cuadrados, ___________

Arrastra y gira el rectángulo inferior hasta el

contorno rojo. Se habrá formado un rectángulo de

lados: _____ y _____ y su área será _______.



a b (a+b) · (a–b) a b (a+b) · (a–b)

7 3 (7+3) · (7–3) = 72 – 32 = 40 4 x

2

2

16

441644

x

xxxxx

5 2x 2x 1

x 3 2 3x

Copia en este espacio la fórmula que nos da producto de suma por diferencia:

Significado:

I.E.S. _______________________


Polinomios - 11 -

Debes reconocer esta igualdad también al contrario, de manera que identifiques el polinomio x2–16 con la expresión (x+4) · (x–4).

EJERCICIOS

8. Desarrolla las siguientes expresiones

Expresión Solución Expresión Solución

(x+1)2 (x-1)2

(2x+1)2 (3-2x)2

(3x/2+5)2 (x/3-2)2

9. Halla la expresión en coeficientes de los siguientes productos

Productos Solución Productos Solución

(x+2)·(x-2) (x-1/4)·(x+1/4)

(3x+7)· (3x-7) (1+2x)·(1-2x)

12 MATEMÁ

Ex

Valen x

en x

Polin

ÁTICAS Orientada

Recuelo má

xpresiones

lor numérx=4

2·42 +

x=-2 2·(-2)2

omios

as a las Enseñanz

erda ás impo

s algebraic

ico de la e

3·4 = 2·16

+ 3·(-2) =

s

zas Aplicadas 3º E

ortant

cas

expresión

6 + 3·4= 32 + 1

= 2·4 + 3·(-8

ESO

e

12 = 44

-2)= - 6 = 2

10 MATEMÁ

1. Halla númersabienes tres

2. De ludiarioscada dque dseman

3. Si pramediaal mesun año

4. Mi suaño asueldo

5. 2·Π·ralongitufuncióvariab¿la lon

6. ·radioárea radio.¿el code 12

7. 4· ·rel áreradio.¿el code 15

8. 4·/3definefuncióvariab¿el vo

9. ¿Cuál−6x2 ¿dos? ¿valor n

10. ¿Qué y 14como polino

Polino

ÁTICAS Orientada

Para

la expresiro de cndo que la s veces la c

unes a jus y de vierndía. Halla lada los Kmnas

actico ciclisa de 45 Kms.¿Cuántoso?

eldo mensuaumenta uo mensual d

adio es la eud de la

ón de su ble? ¿el grngitud para

o2 es la exdel círculo¿Cuál es la

eficiente? ¿cm?

radio2 es laa de la esf¿Cuál es la

eficiente? ¿cm?

·radio3 ese el volumón de su ble? ¿el grlumen para

es el grad¿Cuál es su¿y el de gnumérico e

fracción desegundosel valor

omio de 2º

omios

as a las Enseñanz

practic

ión algebracuatro cifcifras de lacifra de las

eves camines a domia expresión

m. que cam

smo a unam./h. Duras Km. hago

ual es de 1un x%. Cdentro de d

xpresión qua circunfe

radio. ¿Crado? ¿el ca un radio d

xpresión quo en funca variable?¿el área pa

a expresiónfera en funa variable?¿el área pa

s la exprmen de la

radio. ¿Crado? ¿el ca un radio d

o del polinu coeficientrado uno?

en x=-1

e hora son s? ¿Sabes r numéricgrado?

s

zas Aplicadas 3º E

car

aica de unras, xyztas unidadesdecenas.

ino x Kmngo, 6 Km

n algebraicamino en z

a velocidadnte t horas al cabo de

400€. CadaCalculara edos años.

ue define laerencia enCuál es lacoeficiente?de 3 cm?

ue define eción de su? ¿el grado?ara un radio

que definención de su? ¿el grado?ara un radio

resión queesfera en

Cuál es lacoeficiente?de 6 cm

nomio –4x3

te de gradoCalcula su

51 minutosexpresarla

co de un

ESO

nt, s

.

. az

dse

ael

ana?

el u?o

eu?o

ena?

ou

san

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

. ¿Cuántosy 53 segel valor n2º grado?

2. ¿Cuántasgruesas expresarlde un pol

Una masadocenas, u

3. Halla los

P(x)=-7xQ(x)=6x3

4. Halla los c

P(x)=7x2

5. Saca fac4x12+24x

6. ¿Cuántasa x2+16xen el cuad

7. Calcula a)

c) (2x-3/2

8. Calcula m

9. Halla ladefine elenteros cnúmero c

0. Simplifica

a) 2x 4x3x 6

c) 2

2

4x 4x8x

segundos .? ¿Sabes

numérico d?

unidades hy 6 d

as como einomio de t

=12 gruesauna docena

coeficientes3+2x2-x-2 -2x2+x-2

coeficientes

+5x Q(x)

tor común7

unidades x para convdrado de ot

) (x+6)2 b

2)·(2x+3/2)

mentalmente

expresiónproducto

onsecutivocentral.

a las fraccio

46 b)

x

x 12 d)

2x

hay en 5h.expresarloe un polino

hay en 5 mdocenas? el valor ntercer grad

as, una grua= 12 unida

s de P(x)-3

s de P(x)·Q

)=-4x3+7x2

n en el po

tienes quevertir este tro binomio

b) (-2x+5)2

)

e 322-312 y

n algebraide tres n

s. Toma co

ones 2

2

4x 4x 2x 1

2 2

2 2

2xy y2x 2y

. 35min. os como omio de

masas, 8 ¿Sabes

umérico do?

uesa=12ades.

3·Q(x)

Q(x) 2-x-3

olinomio

e añadir binomio

o?

2

y 19·21

ca que números omo x el

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

Jvh

Tachado

Jvh

Tachado

Jvh

Tachado

Jvh

Tachado

Jvh

Tachado

Jvh

Tachado

Jvh

Tachado

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

Jvh

Rectángulo

1. HaP(x

2. Ca

3. Hacu

4. ¿E

5. Ha

6. ¿Qcu

7. Ca

8. Ca

9. Sim

10. Sa

MA

alla el result do de P cx)=6x+1, Q

alcula el valo

alla la expradrados de

s cierta la ig

alla los coefic

Qué constantadrado de u

alcula el coef

alcula menta

mplifica la fr

aca factor c

ATEMÁTICAS Orie

Auto

c ((x)=3x2-2 y

or numérico d

resión algeblado x+y y 6

gualdad 9x2+

cientes de (2

te hay que n binomio?

ficiente de p

lmente en m

racción 2xx

común la m

entadas a las Ens

oevalu

(x)·Q(x)+ P(R(x)=x2+14

de 2x3-5x2+

braica que 6 rectángulo

+30x+25=(3

2x+1)2 .

sumar a 25

rimer grado

menos de 10

2bb

.

mayor potenc

P

señanzas Aplicada

uación

(x)·R(x) sien4x.

+4 en x=2.

define el os de base x

3x+5)2?

5x2-30x para

de (4x-5)2.

segundos 3

cia de x en

Polino

as 3º ESO 13

ndo

área de 6y altura y.

a obtener el

342-332.

n 5x19+8x8.

omios

3

6

l

.

s

14 MATEMÁ

1. 1

2. 4

3. 5

4. 1

5. VG~

6. VG

7. VG

8. VG

9. GC

10.

Polino

SolAUT1. 2

2. 0

3. 6

4. S

5. 4

6. 9

7. –

8. 6

9. x

10. x

ÁTICAS Orientada

So

1000x+100y

4xz+18z

540·t

1400+28x+0

Variable=radGrado=1, Lo~18,84cm

Variable=radGrado=2, Ár

Variable=radGrado=3, Ár

Variable=radGrado=2, Vo

Grado=3, CoCoeficiente g

1537 valor1800

omios

ucionesTOEVAL24 88 2 -2

0

6x2+6y2+18

Sí

4 4 1

9

–40

67

x-b

x8(5x11+8)

as a las Enseñanz

luciones

y+13z

0,14x2

dio, coeficienongitud=6 c

dio, coeficienrea en cm2=1

dio, coeficienrea en cm2=9

dio, coeficienol. en cm3=28

oeficiente grgr2=-6, Valo

1r en60

de 5

s

UACIÓN2

xy

zas Aplicadas 3º E

s de los

nte=2 cm

nte= 44Π ~452,16

nte=4/3 00Π ~2826

nte=4 88Π ~2826

1=0, or en –1=-2

51x+14x2

N

ESO

ejercicio

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

os para

. 20153 val

. 9864 valo

. 8 0 4

. –28 29 0

. 4x7(x5+6)

. 64

. a) x2+12xc)4x2-9/4

. 63; 19·21

. x3-x

. x 2a)3

2x 1c)2(2x

practica

or en 60 de

r en 12 de 5

0 -26 -15 0

x+36 b)4x2

1=202-12=39

4(xb)x

1 xd)1) 2x

ar

5x2+35x+5

5x3+8x2+6x

0

-20x+25

99

1)1

y2y

3

polinomiosiespravia.com/moodle31/.../5/...polinomiosresumen.pdf · valor numérico de un polinomio...

Documents