Interpretación del informe de sensibilidad

de SolverPROGRAMACIÓN LÍNEAL

VOLUMEN 4

METODO SIMPLEX (Restricción de igualdad)• El método Simplex fue diseñado a fines de los

años 40 del siglo pasado para poder abordar restricciones de desigualdad convirtiéndolas en restricciones de igualdad.

• Este método fue muy útil mientras se desarrollaba la computación. Hoy en día, complementos de excel como el SOLVER, llevan incorporados este método, evitando tediosas resoluciones mecánicas y ganando un tiempo precioso para analizar la lógica de la interpretación de decisiones.

METODO SIMPLEX (Restricción de igualdad)

• Siguiendo con el ejemplo tipo, veamos:

Sujeto a:

Solver usa el método simplex de la siguiente manera:A las restricciones tipo ≤, les añade variables de holgura (s) para convertirlas en igualdades, y a las restricciones del tipo ≥, les sustrae variables de excedente (s) para obtener la misma condición de igualdad.

Puntos importantes:• Cualquier restricción del tipo “menor o igual”, ≤, puede convertirse en una

igualdad agregando al miembro izquierdo una nueva variable de holgura no negativa.

• Cualquier restricción del tipo “mayor o igual”, ≥, puede ser convertida en una igualdad, sustrayendo del lado izquierdo una nueva variable de excedente no negativa.

METODO SIMPLEX (Restricción de igualdad)• La nueva forma interna del modelo tiene todavía cinco

restricciones, de decisión utilizadas internamente por Solver ha elevado a siete, en lugar de dos, por la adición de las variables de holgura y de excedente. Observemos que las variables no aparecen explícitamente en la función objetivo de Solver. Sin embargo, dado que.

Resulta aceptable pensar que las variables de holgura y de excedente han sido incluidas en la función objetivo, pero con coeficiente cero.

Valores óptimos de variables de holgura y excedente

• Teniendo en cuenta que el resultado de la función objetivo fue: E=4,5 y F=7 y despejando de las ecuaciones anteriores obtendríamos:

Ahora bien, repitiendo esta operación en cada una de las ecuaciones, obtendríamos lo siguiente:

Recordando lo que ya sabemos sobre restricciones activas u obligatorias y restricciones inactivas, podemos concluir:• Las restricciones activas son aquellas para las cuales los

valores óptimos de las correspondientes variables de holgura o de excedente son cero.

• Las restricciones inactivas son aquéllas para las cuales los valores óptimos de las correspondientes variables de excedente u holgura son positivos.

Degeneración y no degeneración

Viendo el modelo de igualdades obtenidas anteriormente, podemos concluir (se lo puede probar geométricamente).• Cualquier modelo de PL con restricciones de igualdad, el

número de variables positivas en cualquier vértice es menor o igual que el número de restricciones.

• La solución de Solver para un modelo de PL siempre tiene como máximo m variables positivas, donde m es el número de restricciones.

• Cuando la solución de Solver tiene menos de m variables positivas, la solución es DEGENERADA y hay que tener especial cuidado al interpretar el informe de sensibilidad de Solver.

Análisis de informe de SolverUsando un modelo ya estudiado

• Una compañía fabricante de TV produce dos modelos de TV, el Astro y el Cosmos. Hay dos líneas de producción, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada modelo. La capacidad de línea de producción de Astro es de 70 aparatos de TV por día. La capacidad de línea de Cosmo es de 50 TV diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento, se requiere una hora de trabajo para cada modelo Astro y dos horas para Cosmo. En la actualidad, puede asignarse un máximo de 120 horas de trabajo diarias para la producción de ambos tipos de aparato en el departamento A. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere una hora de trabajo para cada Tv Astro y también una hora para el Cosmos. Actualmente se pueden asignar 90 horas de trabajo al departamento B para la producción de ambos modelos. La contribución a las ganancias es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada TV Astro y Cosmos.

Si la compañía sabe que podrá vender todos los aparatos que sea capaz de fabricar, ¿cuál deberá ser el plan de producción por día para cada modelo, para obtener la mayor ganancia?

Respuesta en Solver del modelo TV Astro, Cosmos

Astro CosmoVariables de decisión 70 20Contribución 20 10 1600Sujeto a: LI LD Holgura

HH Dep A 1 2 110 <= 120 10HH Dep. B 1 1 90 <= 90 0

Cap. Prod. X 1 70 <= 70 0Cap. Prod. Y 1 20 <= 50 30

S1S2S3S4

S1S2S3S4

S1S2S3S4

Las variables de holgura son cero, por lo tanto las

restricciones 2 y 3 son activas o satisfechas

R2R3

R1

R4

V1 V2

Se presentan cuatro variables positivas; dos variables de decisión (V1 y V2) y dos variables de holgura (S1 y S4). Y ha sido diseñado adecuadamente. Estas cuatro variables positivas es igualal número de restricciones que son cuatro (R1, R2, R3, R4) Por lo tanto el modelo es no degenerado

Microsoft Excel 14.0 Informe de confidencialidadHoja de cálculo: [Inv Operaciones.xlsx]Televisores Astro, CosmosInforme creado: 08/06/2012 19:24:03

Celdas de variablesFinal Reducido Objetivo Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Coste Coeficiente Aumentar Reducir$H$40 Variables de decisión X 70 0 20 1E+30 10$I$40 Variables de decisión Y 20 0 10 10 10

RestriccionesFinal Sombra Restricción Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Precio Lado derecho Aumentar Reducir$J$44 HH Dep A 110 0 120 1E+30 10$J$45 HH Dep. B 90 10 90 5 20$J$46 Cap. Prod. X 70 10 70 20 10$J$47 Cap. Prod. Y 20 0 50 1E+30 30

En la columna de precio sombra, las restricciones inactivas, en este caso R1 y R4, aparecen con cero por que no causan ningún efecto significativo.

Astro Cosmo70 20

Contribución 20 10 1600Sujeto a: LI LD Holgura

HH Dep A 1 2 110 <= 120 10HH Dep. B 1 1 90 <= 90 0

Cap. Prod. X 1 70 <= 70 0Cap. Prod. Y 1 20 <= 50 30

El precio sombra nos dice que, en las restricciones

activas al aumentar el lado derecho en uno, el valor

objetivo se incrementa en 10, igual pasa si disminuye en

uno. Veamos

1610

91

Por último las dos columnas “permisible aumentar” y “Permisible disminuir” nos advierte hasta cuanto podemos aumentar el lado derecho (relajar el

modelo) y hasta cuanto podemos disminuirlo (estrechar el modelo). Más allá de esto la restricción se deforma.

Conclusiones

• El precio sombra de una restricción dada puede interpretarse como la razón de cambio del valor objetivo (lado derecho de la función objetivo) a medida que aumenta el LD de dicha restricción, mientras los demás datos permanecen iguales.

• Al cambiar los coeficientes de la función objetivo cambia la pendiente de los contornos (isocuantas) de dicha función. Este cambio de pendiente puede afectar o no la solución y el valor óptimo de la función objetivo.

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES