v tema 1: introducción a la teoría de grafos g = (va · discreta pedro reyes introducción a la...
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1
Tema 1: 1
MA
TE
MÁ
TIC
A D
ISC
RE
TA
Pedro Reyes
Tema 1: Introducción a la Teoría de Grafos
• Nociones básicas
• Formas de definir un grafo
• Subgrafos. Operaciones con grafos
• Isomorfismo de grafos
Tema 1: 2
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas:
Grafo: G = (V,A)V conjunto de vértices
A conjunto de aristas
E
D
A
F
C
B
vértices
aristas
G = (V,A)
V = {A,B,C,D,E,F}
A = {{A,B}, {A,D}, {A,F}, {B,F}, {C,E}, {D,E}, {E,F}}
Tema 1: 3
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas:
Grafo: G = (V,A)V = {1,2,3,4,5,6}
A = {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2
3
45
6
1 2
3 4
5
6
Representación gráfica Inmersión
Grafo planoTema 1: 4
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas: Variantes de grafos:
1
2
34
{2,4} arista múltiple
multigrafo
2
Tema 1: 5
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas: Variantes de grafos:
{2,4} arista múltiple
1
2
34
{3,3} lazo o bucle
seudografo
grafo simple (no admite aristas múltiples ni lazos)
Tema 1: 6
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas: Variantes de grafos:
1 2
3
45
grafo dirigido o digrafo(las aristas son pares “ordenados”de vértices)
(1,2) es arista, pero (2,1) no lo es
digrafo múltiple o multigrafodirigido (digrafo con aristas múltiples)
seudo digrafo o seudografo dirigido(digrafo con aristas múltiples y/o lazos)
Tema 1: 7
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas: Variantes de grafos:
grafo ponderado(las aristas llevan asignadas un peso)
H
SE
CA
CO
GR
AL
MA
94
125
187
219
265
129166
256
219
138166
JA104
99
Tema 1: 8
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas:
vértices adyacentes
v1, v2 ∈ V, v1 ~ v2 e ={v1 , v2} ∈ A
1 2
3
45
6
valencia o grado de un vértice v δ(v)
v1 y v2 inciden en la arista e
δ(1)=4, δ(2)=3, δ(3)=3, δ(4)=2, δ(5)=2, δ(6)=2
δ : V N
vértices pares e impares
aristas incidentes
vértice aislado
3
Tema 1: 9
Matemática Discreta
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Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas:
Propiedades de la valencia: G = (V,A) n=|V|
1 2
3
45
6
1) 0 ≤ δ(v) ≤ n-1
2) Un grafo no puede tener simultáneamente vértices de valencia 0 y de valencia n-1
3) La suma de las valencias de los vértices es igual al doble del número de aristas:
∑v∈V
δ(v) = 2 |A|
(lema del apretón de manos) Tema 1: 10
Matemática Discreta
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Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas:
Adyacencia en digrafos
valencia o grado de entradaδ e(v)
δe(1)=2, δs(1)=2,
δe(2)=1, δs(2)=1,
δe(3)=1, δs(3)=2,
δe(4)=2, δs(4)=2,
δe(5)=1, δs(5)=0
1 2
3
45
valencia o grado de salidaδ s(v)
Tema 1: 11
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas: Algunos grafos especiales
Grafo regular: Todos los vértices tienen la misma valencia.
δ(v)=k (∀v∈V)
grafo k-valente o k-regular
Si k=n-1 se llama grafo completo (Kn)
K2
K3 K4
K5grafo ciclo
C5
grafo camino
P3
Grafo trivial: No tiene ninguna arista.
Tema 1: 12
V2
V1Matemática Discreta
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Intr
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ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Nociones básicas: Algunos grafos especiales
Grafo bipartito:
V = V1 ∪ V2
∀ e∈ A : e = {v1,v2} , v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2
G = (V,A)
Grafo bipartito completo: (Kn,m)
K4,2 K3,3
4
Tema 1: 13
Matemática Discreta
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Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
G’ es subgrafo de GG = (V,A) y G’=(V ’,A’)
G’ ⊆ GV ’ ⊆ V
A’ ⊆ A
G G’Tema 1: 14
Matemática Discreta
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ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
S
G G(S)
G(S): subgrafo inducido por SG = (V,A) y S ⊆ V
Tema 1: 15
Matemática Discreta
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oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
G’ subgrafo recubridor de G si V ’=V
G = (V,A) y G’ =(V’,A’) un subgrafo de G
G G’Tema 1: 16
Matemática Discreta
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Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
Eliminación de vértice
G
v
G =(V,A), v∈V
5
Tema 1: 17
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
Eliminación de vértice
G-v = G(V-{v})
G =(V,A), v∈V
G-v
Tema 1: 18
Matemática Discreta
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ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
Eliminación de arista
G
e
G =(V,A), e∈A
Tema 1: 19
Matemática Discreta
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oduc
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a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
Eliminación de arista
G-e = (V,A-{e})
G =(V,A), e∈A
G-e
Tema 1: 20
Matemática Discreta
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de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
G = (V,A) Grafo complementario G = (V, A )
e ∉ Ae ∈ A
G G
Kn = G ∪ G
6
Tema 1: 21
Matemática Discreta
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de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
a b
de
G
b
de
c
G’
G = (V,A)
G’ = (V’,A’)
Unión de grafos
G ∪ G’ = (V ∪ V’,A ∪ A’)
b
de
c
a
G ∪ G’
Intersección de grafos
G ∩ G’ = (V ∩ V’, A ∩ A’)
b
de
G ∩ G’Tema 1: 22
Matemática Discreta
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de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
G = (V,A) y G’ = (V’,A’) disjuntos (V ∩ V’= φ)
Suma de grafos:
G G’
Aristas: A ∪ A’ ∪ {{v,v’} / v∈V, v’ ∈V’}
G + G’
Vértices: V ∪ V’
Tema 1: 23
Matemática Discreta
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de G
rafo
s
Subgrafos. Operaciones con grafos:
Grafo rueda Wn = K1 + Cn
K1
+ C12 =
W12 Tema 1: 24
Matemática Discreta
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de G
rafo
s
Operaciones con grafos: Grafo de línea
{ai,aj}∈L(A) si, en el grafo G, las aristas ai y aj son incidentes en un vértice.
Dado G = (V,A)V = {v1, v2, … , vn}
A = {a1, a2, … , am}
L(G) = (L(V), L(A))L(V) = A = {a1, a2, … , am}
L(A)
Ga7
a1
a2
a9
a10
a3
a4
a11
a8
a5
a6
L(G)
a7
a1
a2
a9
a10 a3
a4
a11
a8 a5
a6
7
Tema 1: 25
Matemática Discreta
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de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},
{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2
3
45
6
1 2
3 4
5
6
Tema 1: 26
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},
{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2
3
45
6
Lista de adyacencias o lista de listas
Lista formada por nv listas.
{{2,3,5,6},{1,4,6},{1,4,5},{2,3},{1,3},{1,2}}
nv vértices, na aristas
Tema 1: 27
Matemática Discreta
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de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},
{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2
3
45
6
Matriz de adyacencia
Ad: Matriz de orden nv × nv
nv vértices, na aristas
aij = 1 si vi es adyacente a vj
0 en caso contrario
0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 11 0 0 1 1 00 1 1 0 0 01 0 1 0 0 01 1 0 0 0 0
Ad =
Tema 1: 28
Matemática Discreta
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oduc
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a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},
{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2
3
45
6
Matriz de adyacencia
Propiedades:
nv vértices, na aristas
0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 11 0 0 1 1 00 1 1 0 0 01 0 1 0 0 01 1 0 0 0 0
Ad =Es cuadrada y simétrica
La suma de cada fila (o columna) es el grado del vértice correspondiente
La diagonal es nula
8
Tema 1: 29
Matemática Discreta
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Intr
oduc
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a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},
{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2
3
45
6
Matriz de incidencia
In: Matriz de orden nv × na
nv vértices, na aristas
bij = 1 si vi es vértice de la arista aj
0 en caso contrario
1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 00 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 1 0 0
In =
Tema 1: 30
Matemática Discreta
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oduc
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a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)V={1,2,3,4,5,6}A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},
{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2
3
45
6
Matriz de incidencia
Propiedades:
nv vértices, na aristas
No tiene por qué ser ni cuadrada ni simétrica
La suma de cada fila es el grado del vértice correspondiente
La suma de cada columna vale 2
1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 00 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 1 0 0
In =
Tema 1: 31
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un digrafo
G = (V,A)V={1,2,3,4,5}A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,1),
(3,4),(4,1),(4,5)}
1 2
3
45
0 1 0 1 00 0 1 0 01 0 0 1 01 0 0 0 10 0 0 0 0
Ad =
Ad: Matriz de orden nv × nv
aij = 1 si (vi , vj) es una arista
0 en caso contrario
Tema 1: 32
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un digrafo
G = (V,A)V={1,2,3,4,5}A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,1),
(3,4),(4,1),(4,5)}
1 2
3
45
0 1 0 1 00 0 1 0 01 0 0 1 01 0 0 0 10 0 0 0 0
Ad =
Propiedades:
Es cuadrada pero no tiene por qué ser simétrica
La suma de cada fila es el grado de salida del vértice correspondiente
La diagonal es nula
La suma de cada columna es el grado de entrada del vértice correspondiente
9
Tema 1: 33
Matemática Discreta
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Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un seudografo
0 1 1 01 0 0 21 0 4 10 2 1 2
Ad =
Ad: Matriz de orden nv × nv
aij = número de veces que aparece la arista {vi ,vj} doble del número de veces que aparece el lazo {vi,vi}
i≠j
i=j
G = (V,A)V={1,2,3,4}A={{1,2},{1,3},{2,4},{2,4},
{3,3},{3,3},{3,4},{4,4}}1
2
3
4
Tema 1: 34
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un seudografo
G = (V,A)V={1,2,3,4}A={{1,2},{1,3},{2,4},{2,4},
{3,3},{3,3},{3,4},{4,4}}
0 1 1 01 0 0 21 0 4 10 2 1 2
Ad =
1
2
3
4
Propiedades:
Es cuadrada y simétrica
La suma de cada fila (o columna) es el grado del vértice correspondiente
La diagonal no tiene por qué ser nula
Tema 1: 35
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un grafo ponderado
Ad: Matriz de orden nv × nv
aij = peso de la arista {vi, vj}
0 7 3 0 9 77 0 0 5 0 83 0 0 3 7 00 5 3 0 0 09 0 7 0 0 07 8 0 0 0 0
Ad =
1 2
3 4
5
67 8
75
3
7
9
3
Tema 1: 36
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
1
2
34
5 c
e a
d
b
G = (V,A) y G’=(V ’,A’) son isomorfos (G ∼ G’)
f : V V ’ biyectiva | {u,v} ∈ A {f(u),f(v)} ∈ A’
f(1) = c
f(2) = e
f(3) = a
f(4) = d
f(5) = b
10
Tema 1: 37
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
Invariantes: Si G y G’ son isomorfos (G ∼ G’) deben tener en común:
número de vértices
número de aristas
grados de los vértices
número de ciclos de igual longitud
número de componentes conexas
etc. Tema 1: 38
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
Grafo autocomplementario: Si G ∼ G
G
12
3
45
6
8
7
e
b
gd
a
c
f
h
Gf(1)=a, f(2)=b, …. f(8)=h
Tema 1: 39
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
Lista de grados de un grafo
1
2
34
5
Relación de adyacencias
{2,4,3,3,4}
δ(1)=2, δ(2)=4, δ(3)=3, δ(4)=3, δ(5)=4
Lista de grados (4,4,3,3,2)
Tema 1: 40
Matemática Discreta
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Intr
oduc
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a la
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ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
Lista de grados de un grafo
Dos grafos pueden tener la misma lista de grados y no ser isomorfos.
1
6
5 4
3
2
f
e d
c
ba
Listas de grados (3,3,3,3,3,3)
No son isomorfos. El primer grafo contiene 3-ciclos y el segundo no.
11
Tema 1: 41
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
Lista de grados de un grafo
No siempre una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un grafo. Cuando esto ocurre se dice que la secuencia numérica es una secuencia gráfica.
La secuencia numérica decreciente (a1,a2,...,ap) (con a1>0,p>1) es una secuencia gráfica si, y sólo si, también lo es la que resulta de efectuar las siguientes operaciones:
1) Eliminar el primer elemento (a1) de la lista.
2) Restar una unidad a los primeros a1 elementos de la nueva lista.
3) Ordenar en sentido decreciente la nueva lista.
Teorema de Havel-Hakimi
Tema 1: 42
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
Lista de grados de un grafo
Una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un grafo si el siguiente algoritmo devuelve una lista de ceros:
Algoritmo de Havel-Hakimi
P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.
P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).
Tema 1: 43
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafosAlgoritmo de Havel-Hakimi
P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.
P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).
(5,4,4,4,2,1)
(4,4,4,2,1)
(3,3,3,1,0)
(3,3,1,0)
(2,2,0,0)
(2,0,0)
(1,-1,0)
(-1,-1)
P.3
P.4
P.3
P.4
P.3
P.4
P.4
(5,4,4,4,2,1) no es una secuencia gráfica
(1,0,-1)P.5
(0,-1)P.3
Tema 1: 44
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
(1,2,2,3,4)
(4,3,2,2,1)
(3,2,2,1)
(2,1,1,0)
(1,1,0)
(0,0,0)
P.3
P.4
P.3
P.4(1,2,2,3,4) es una secuencia gráfica
Algoritmo de Havel-Hakimi
P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.
P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).
12
Tema 1: 45
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
(1,2,2,3,4)
(4,3,2,2,1)
(3,2,2,1)
(2,1,1,0)
(1,1,0)
(0,0,0)
P.3
P.4
P.3
P.4
Algoritmo de Havel-Hakimi
P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.
P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).
Tema 1: 46
Matemática Discreta
Pedro Reyes
Intr
oduc
ción
a la
Teo
ría
de G
rafo
s
Isomorfismo de grafos
(1,2,2,3,4)
(4,3,2,2,1)
(3,2,2,1)
(2,1,1,0)
(1,1,0)
(0,0,0)
P.3
P.4
P.3
P.4
Algoritmo de Havel-Hakimi
P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.
P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).
Tema 1: 47
Matemática Discreta
Pedro Reyes
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Isomorfismo de grafos
(1,2,2,3,4)
(4,3,2,2,1)
(3,2,2,1)
(2,1,1,0)
(1,1,0)
(0,0,0)
P.3
P.4
P.3
P.4
Algoritmo de Havel-Hakimi
P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.
P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).