v 1 teoría general de cáscaras

Teoría General de Cáscaras


El análisis teórico de las cáscaras, consiste

en establecer en primer lugar las ecuaciones

de equilibrio de un elemento diferencial

cortado de la misma, bajo la acción de

solicitaciones externas, y en segundo

término las ecuaciones de compatibilidad de

las deformaciones , de manera tal de restituir

de esta forma la continuidad del elemento

cortado, después de la deformación de la

cáscara.


• El material se supone continuo , isótropo y homogéneo.

Hipotesis fundamentales:

• De comportamiento elástico y lineal.

• Las deformaciones elásticas son pequeñas en relación al espesor de la cáscara.

• La normal a la superficie media se mantiene tras la deformación.

• Se podrán despreciar las tensiones normales perpendiculares a la sup. media.

Teoría General de CáscarasTeoría de las Superficies

S

R

Q

P

dSy

dSx

2

1

1 + d 1

2 + d 2

n1

t1

t2

Los arcos diferenciales dSx y dSy

corresponden a las longitudes del

elemento diferencial en coordenadas

curvilíneas ortogonales.

9

8

7

21

12

2

2

222

1

1

111

rrFA

PSdr

dGdASd

PQdr

dEdAdS

y

x

r’x

r’y

Donde E, F y G son los coeficientes de la Primera Forma

Fundamental de la Teoría de las Superficies


Dada una curva, sobre una superficie

La derivada de la long de arco:

Primera forma fundamental de Teoria de Superficies


La curvatura total (χγ)

de una curva γ(t)

puede ser

descompuesta entre la

curvatura medible

desde la superficie,

llamada curvatura

normal (kn) y la

curvatura no medible

desde la superficie,

llamada curvatura

tangencial o

geodésica (kg).

K= Kn + Kg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svg

Curvatura Normal

Dada una curva C contenida en la superficie S, de vector de curvatura k

en un punto P de la misma, se llama curvatura normal de C en el punto P,

Kn, a la proyección del vector k sobre el vector normal N a la superficie en P.

El vector curvatura de C en un

punto dado se define como :

y el vector tangente:

En definitiva, es:


S

R

Q

P

dS'1 - dS1

dw1dw2

dS'2

dS2

dS1

dS'1

1 = y

2 = x

1

2

12cos,

111'

101'

21

1

2

1

222

1112

2

11

1

222

2

1

2

111

2221

2

22

2

111

geodesicurvaturasderadios

dA

AdA

dAddA

A

sd

sdsdwd

dA

AdA

dAddA

A

sd

sdsdwd

14111

13111

2

1

212

2

2

1

2

211

1

1

A

AASd

wd

A

AASd

wd

x

y


P

2 = Cte

1= Cte

n1

r1

r2 r2 ( 1, 2)

19··

18··2

1

17·

16·

:

15··2

··21

2121

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

1

2

2212

1

2

2212

1

rrrrF

rnrnM

rnN

rnL

donde

dGddFdE

dNddMdL

rx

n

n

La segunda forma fundamental de la teoría de superficies permite

encontrar el valor de la curvatura normal de la superficie,en dirección

de cualquier curva ubicada sobre ella

Formulación de las ecuaciones de equilibrio

Se desprecian las tensiones normal z y las tangenciales zx y zy


Teoría General de CáscarasCara 1= cte Cara 2= cte

I


Los esfuerzos y momentos se pueden

reducir en forma vectorial poniendo:

» (resultante en 2 = cte)

(resultante en 1 = cte)



• Siendo la resultante de las fuerzas externas:(resultante de las fuerzas

externas sobre el elemento)

I

Teoría General de CáscarasEl sistema vectorial debe estar en equilibrio

• Equilibrio de fuerzas

En 2 = cte En 2 + d 2

En 1 = cte En 1 + d 1

Fuerzas exteriores

Teoría General de CáscarasEcuaciones de equilibrio vectorial

• Fuerzas

• Momentos


Teniendo en cuenta las expresiones:

Siendo curvatura geodésica de 1

curvatura normal de 1

torsión de las curvas coordenadas


• Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en

coordenadas curvilíneas ortogonales :


• Las ecuaciones de equilibrio de momentos en

coordenadas curvilíneas ortogonales :


Estas ecuaciones pueden escribirse en función

de los arcos diferenciales y los radios de

curvatura geodésicos, recordando:

Efectuado sus reemplazos obtendremos:


60''''

50

40

30''''

20''

10''

yx

y

xy

x

y

yx

x

xyyxxy

y

y

xyyx

x

xy

x

xy

y

y

x

x

yxxy

y

yx

y

xy

x

x

x

y

y

x

y

y

x

x

yx

yx

xy

xy

y

y

x

x

yx

x

y

y

y

xyyx

x

yx

x

xy

x

x

xy

y

x

x

x

yxxy

y

yx

y

xy

x

x

r

M

r

M

r

M

r

MNN

QMMMM

S

M

S

M

QMMMM

S

M

S

M

ZQQ

S

Q

S

Q

r

N

r

N

r

N

r

N

Yr

Q

r

QNNNN

S

N

S

N

Xr

Q

r

QNNNN

S

N

S

N

Ecuaciones de equilibrio, expresadas en coordenadas curvilineas :


DeformacionesLas deformaciones específicas:

Luego

Reemplazando, obtenemos

• Las deformaciones específicas extensionales:


21'

11

20'

11

2

1

2

122

1

1

2

1

211

2

y

y

x

x

r

wA

Au

A

v

A

r

wA

Av

A

u

A

)25('

1

'

1

)24('

1

'*

1

23'2

1

'

1

'

1·

1

''·

1·

1

'

1

'*

1

22'

2··

12

1

2

1

1

2

21222

1

21

1111

2

211

2

122

112

xyxy

xy

yy

y

xyxyy

xyxxx

x

xy

xy

rrxx

rrxx

uAvA

AArrr

vw

A

A

AA

r

v

r

uw

AArrxx

r

w

A

v

A

A

A

u

A

A

Deformación de flexión

Deformación de torsión


)31()1()1(12

)2(

)30()()1(12

)2(

)29()()1(12

)2(

)28()1(2

2

)27(1

2

)26(1

2

2

3

2

3

2

3

2

2

xyyxxy

xyy

yxx

xyyxxy

xyy

yxx

XuhE

MM

XXhE

M

XXhE

M

hENN

u

hEN

u

hEN

Las ecuaciones esfuerzo-deformación resultan:


Reemplazando las deformaciones

especificas expresadas en función de los

desplazamientos (u,v,w) en las

ecuaciones esfuerzo-deformación

obtendremos 6 ecuaciones esfuerzo –

desplazamiento, que sumadas a las 5 de

equilibrio conforman 11 ecuaciones con

11 incógnitas , que permite una solución

completa del problema.

Teoría

General

de

Cáscaras

Simplificación para obtener la

ecuación diferencial de las chapas.

• Parámetros geométricos

Plantearemos la ecuación

paramétrica de las chapas:

)(0

)31(

xyplanoenestardebenz

qy

qx

y

x

Z= (-u )

2 + d 2

dx

dy

11 + d

xy

O

P

r ( 1, 2)

Parámetros geométricos

Las cargas serán de superficie:

)(0

)31(

xyplanoenestardebenz

qy

qx

y

x

)32()(),()( 21 ttrtrr

El vector posición será:

Hacer variar alfa1 es lo mismo que variar x, por lo tanto será:

jr

rir

r

jijyixr

ddyddx

yx

2

2

1

1

212,1

21

12

;

;

;

Los coeficientes de la

primera forma fundamental

serán:

)35(00;

)34(11

)33(11

21

12

2

2

1

1

FFrr

A

GGr

A

EEr

A

Parámetros geométricos

• Los coeficientes de la segunda forma fundamental :

Los radios de curvatura de las lineas coordenadas:

)37(1

0,0

)36(1

0,0

)35(1

0,0

22

2

1

2

21

2

21

2

22

2

1

2

22

2

22

2

22

2

1

2

21

2

21

2

FGE

rrrM

r

FGE

rrrN

r

FGE

rrrL

r

0'

1

)38(0'

1

22

11

E

L

rxcte

G

N

rxcte

x

y

La curvatura de torsión será:)39(0

'

1

21

12

AA

M

EG

M

rx

xy

Por lo tanto será:

xyyx rrr '''

Reemplazando en las ecuaciones de deformación -

desplazamientos (20) a (24)

0

0

0

)40(

12

1

2

12

2

1

xy

y

x

xy

y

x

xx

xx

xx

x

v

y

uvu

y

vv

x

uu

Reemplazando en las ecuaciones de esfuerzos-

deformaciones (25) a (30)

0

)1(2

2

)41(1

2

1

2

2

2

yxxyyx

yxxy

y

x

MMMM

x

v

y

uhENN

x

u

y

vhEN

y

v

x

uhEN

Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio

(1) al (5)los parámetros geométricos:

011

011

'''

2

1

21

1

2

21

22

11

A

AA

A

AA

rrr

dydASd

dxdAdS

x

y

xyyx

y

x

yxyx

x

y

y

x

rrr

A

AA

A

AA

dyddASd

dxddAdS

'''

011

)42(011

1

2

21

2

1

21

222

111

)44(0

)43(0

Yx

N

y

N

Xy

N

x

N

xyx

yxx

)45(0y

Q

x

Q yx

)47(0

)46(0

y

x

Q

Q

Obtención de la ecuación diferencial

• Ecuaciones de equilibrio

• Ecuaciones esfuerzos-deformaciones

)44(0

)43(0

Yx

N

y

N

Xy

N

x

N

xyx

yxx

0

)1(2

2

)41(1

2

1

2

2

2

yxxyyx

yxxy

y

x

MMMM

x

v

y

uhENN

x

u

y

vhEN

y

v

x

uhEN

v 1 teoría general de cáscaras

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