1. IDENTIFICACIÓN DE ELEMENTOS DE LAS MATRICES1.1. Se tiene una matriz columna de tres entradas tal que a21 = 6 y para los otros casos ai1 = 0

____________________Construya la matriz

1.2. Se sabe que A = [a ij ] tiene tamaño 3 x 4 y

a ij = i+ j.

____________________Encuentre la matriz A.

1.3. Sea A = [a ij ] es 12 x 10.

____________________1.3.1. ¿Cuántas entradas tiene la matriz A?

1.3.2. Si a ij = 1

para i= j y a ij = 0

para i≠ j , encuentre a33 , a52 , a10 ,10 y

a12,10

1.4. Dada la matriz

A = [aij ] = [7 −2 14 66 2 3 −25 4 1 08 0 2 0 ]

____________________1.4.1. ¿Cuál es el orden de la matriz A?1.4.2. Encuentre las entradas siguientes:

1.4.2.1. [a21 ]1.4.2.2. [a14 ]1.4.2.3. [a32 ]1.4.2.4. [a34 ]1.4.2.5. [a44 ]1.4.2.6. [a55 ]

1.4.3. ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal?

2. IGUALDAD DE MATRICESSe tiene la siguiente igualdad de matrices:

[ 4 2 13x y 3 z0 w 7 ] = [4 2 1

6 7 90 9 8 ]

__________________Resolver dicha ecuación matricial.

3. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

3.1. Sea la matriz A = ¿ [1 2 3 ¿ ] ¿

¿¿

____________________Encuentre AT.

3.2. Sea la matriz

A = ¿ [3 1 4 2 ¿ ] [1 7 3 6 ¿ ]¿¿

¿____________________Encuentre AT.

3.3. Sea la matriz

A = ¿ [1 3 7 3 ¿ ] [3 2 −2 0 ¿ ]¿¿

¿____________________

3.3.1. Encontrar la transpuesta de la matriz A (AT

).3.3.2. Encontrar (AT)T.

4. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES

4.1. Se tienen las siguientes matrices:

A=¿ [3 0 −2 ¿ ]¿¿

¿¿ y

B=¿ [5 −3 6 ¿ ]¿¿

¿¿____________________Determina la suma de dichas matrices.

4.2. Una empresa de muebles de oficina fabrica escritorios y mesas en dos plantas, Chiclayo y Trujillo. La matriz E representa la producción de las dos plantas en mayo, y la matriz F representa la producción de las dos plantas en febrero.Se sabe que la producción ha sido la siguiente:

Mes Producto Cantidad producida en plantaChiclayo Trujillo

Enero Escritorio 120 80Enero Mesas 105 130Febrero Escritorios 110 140Febrero Mesas 85 125

____________________4.2.1. Encuentre la matriz E.4.2.2. Encuentre la matriz F.4.2.3. Determine la matriz de producción de enero y febrero.

4.3. Se tiene la siguiente expresión:

3[1 0 00 1 00 0 1 ]−3 ([1 2 0

0 −2 10 0 1 ]−[ 4 −2 2

−3 21 −90 1 0 ])

____________________Determinar el valor de dicha expresión matricial.

4.4. Se dan las siguientes matrices:

A=[2 13 −3 ] B=[−6 −5

2 −3 ] C=[−2 −1−3 3 ] O=[0 0

0 0 ]____________________

4.4.1. Encontrar la matriz 2O

4.4.2. Determinar

12A−2 (B+2C )

4.4.3. Hallar −15A+5 B−3C

4.5. Dadas las siguientes matrices:

A=¿ [1 2¿ ] [0 −1 ¿ ]¿¿

¿¿

B=[1 34 −1 ]

C=[1 01 2 ]

D=¿ [1 2 −1¿ ]¿¿

¿¿____________________

4.5.1. Determinar 3 A+DT

4.5.2. Hallar 2BT−3CT

4.5.3. Encontrar (D−2 AT )T

5. SISTEMAS DE ECUACIONES

5.1. Se da la siguiente ecuación matricial

xalignl [3 ¿ ] ¿¿

¿¿____________________5.1.1. Expresar dicha ecuación matricial como un sistema de ecuaciones lineales.5.1.2. Resolver dicho sistema.

5.2. Se da el siguiente sistema de ecuaciones:

2 x−4 y=165 x+7 y=−3

____________________Expresar matricialmente el sistema de ecuaciones dado.

5.3. Se tiene la siguiente ecuación matricial:

3¿ [ x ¿ ] ¿¿

¿____________________Resolver dicha ecuación matricial.

5.4. Se da la siguiente ecuación matricial:

[2¿ ] [4 ¿ ]¿¿

¿¿____________________Resolver la ecuación matricial dada.

5.5. Se presenta la ecuación matricial siguiente:

xalignl [2 ¿ ] [0 ¿ ]¿¿

¿¿____________________Resolver la ecuación matricial planteada.

5.6. Un fabricante de puertas, ventanas y armarios registra su utilidad anual (en miles de dólares) para cada categoría, en un vector como

P=¿ [248 ¿ ] [319 ¿ ]¿¿

¿¿. Sus costos fijos de producción pueden describirse por medio del vector

C=¿ [40 ¿ ] [30 ¿ ]¿¿

¿¿. El fabricante estima que con

una nueva estructura de precios que genere un margen de contribución (ventas menos costos variables) del 80% del margen de contribución de su competidor, puede duplicar su utilidad si sus costos fijos permanecen constantes. Se sabe que el margen de

contribución de su competidor por cada categoría es x1 , x2 y

x3 .____________________5.6.1. Expresar la ecuación matricial que describe el enunciado.5.6.2. Resolver dicha ecuación matricial.

6. PRODUCTO DE MATRICES

6.1. Dadas las matrices:

A=¿ [2 1 −6 ¿ ] ¿¿

¿¿ B=¿ [ 1 0 −3¿ ] [ 0 4 2¿ ]¿¿

¿¿____________________Determinar el producto de las matrices A y B.

6.2. Se tienen las matrices siguientes:

A=[ 1 3 0−2 2 11 0 −4 ] B=[1 0 2

5 −1 32 1 −2 ]

____________________Calcular AB.

6.3. Sea

A=[1 01 2 ]

____________________Calcular A3.

7. INVENTARIOUna tienda de abarrotes vendió 125 latas de sopa de tomate, 275 de frijoles y 400 de atún. Además, el precio de venta unitario de cada uno de los productos es 0.95 UM, 1.03 UM y 1.25 UM respectivamente.

____________________7.1. Escribir un vector renglón que proporcione el número de artículos vendidos de cada tipo de producto.7.2. Escribir un vector columna los precios de venta unitarios de cada tipo de producto.

8. ANÁLISIS DE VENTALa empresa WIDGET S.A. presenta sus reportes de ventas mensuales por medio de matrices cuyos renglones representan, en orden, el número de modelos regular, de lujo y de súper lujo vendidos, en tanto que las columnas proporcionan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras que se vendieron. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son:

E = ¿ [2 6 1 2 ¿ ] [0 1 3 5¿ ]¿¿

¿

F = ¿ [0 2 8 4 ¿ ] [2 3 3 2 ¿ ] ¿¿

¿____________________

8.1.1. En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de súper lujo blancos se vendieron?8.1.2. En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron?8.1.3. ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras?8.1.4. ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses?8.1.5. ¿En qué se vendieron más muebles de lujo?8.1.6. ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?8.1.7. ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

9. MATRIZ INSUMO – PRODUCTOLas matrices de insumo-producto desarrolladas por W.W. Leontief indican las interrelaciones que existen entre los diferentes sectores de una economía durante algún periodo. Un ejemplo hipotético para una economía simplificada consiste en la matriz M que presenta al final de este ejercicio Los sectores consumidores son los mismos que los productores y pueden considerarse como manufactura, gobierno, acero, agricultura, doméstico, etc. Cada renglón muestra cómo consumen el producto de un sector dado cada uno de los cuatro sectores. Por ejemplo, del total de la producción de la industria “A”, se destinaron 50 unidades para propia industria “A”, 70 para la “B”, 200 para la “C” y 360 para todos los demás consumidores. La suma de las entradas en el renglón 1 – a saber, 680 – informa sobre la producción total de “A” para un periodo dado. Cada columna indica la producción de cada sector, que consume un sector dado. Por ejemplo, en la producción de 680 unidades, la industria “A” consume 50 unidades de “A”, 90 de “B”, 120 de “C” y 420 de todos los demás productores.

Industria Industria Industria Todos los⏞CONSUMIDORES

PRODUCTORES A B C demásconsumidores

Industria AIndustria B

M = Industria CTodos los

¿

[ 50 70 200 360¿ ] [ 90 30 270 320 ¿ ] [ 120 240 100 1050 ¿ ]¿¿

¿¿

____________________9.1.1. Encontrar la suma de las entradas para cada columna.9.1.2. Encontrar la suma de las entradas para cada renglón.9.1.3. ¿Qué observa al comparar esos totales?9.1.4. Suponga que el sector “A” aumenta su producción en 20%, es decir 20% x 680 = 136 unidades. Si se supone que esto provoca un

aumento uniforme de 20% en todos sus insumos, ¿en cuántas unidades aumentará su producción el sector “B”?9.1.5. Responda la pregunta del ítem anterior para el sector “C” y para los demás productores.

10. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES: APLICACIONES10.1. INVENTARIO

Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición. Si el valor de un gatito es de US$ 55, el de cada perrito es de US$ 150 y el de cada loro es de US$ 35.____________________Por medio de la multiplicación de matrices, encontrar el valor total del inventario de la tienda de mascotas.

10.2. ACCIONES

Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los precios por acción de A, B, C y D son US$ 100, US$ 150, US$ 200 y US$ 300, respectivamente.____________________

10.2.1. Escribir un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo.10.2.2. Con el uso d la multiplicación de matrices, encuentre el costo total de las acciones.

10.3. COSTOS

Suponga que un contratista ha aceptado pedidos para cinco casas con estilo rústico, siete con estilo moderno y 12 con estilo colonial. Además, suponga que los costos directos que utilizan en cada tipo de casa son acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra representados por la siguiente matriz:

Acero Madera Vidrio Pintura Mano de obra

RústicoModernoColonial

¿ [5 20 16 7 17 ¿ ] [7 18 12 9 21¿ ]¿¿

¿

Asimismo, se sabe que el acero tiene un costo de US$ 2 500 por unidad, la madera US$ 1 200 por unidad, y el vidrio, la pintura y la mano de obra tiene un costo de US$ 800, US$ 150 y US$ 1 500 por unidad, respectivamente.____________________

10.3.1. Expresar la cantidad de pedidos por tipo de casas que tiene el contratista como un vector renglón (fila).10.3.2. Aplicando el producto de matrices, determinar el requerimiento (en cantidad) de materiales.10.3.3. Resolviendo por multiplicación de matrices, calcular el costo de los pedidos por cada tipo de casas.10.3.4. Haciendo uso de la multiplicación de matrices, determinar el costo de todos los pedidos.