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IT203 Física General I Texto Informativo

La Cinemática

INTRODUCCION

La cinemática es la parte de la mecánica que estudia a los aspectos geométricos del

movimiento, prescindiendo de las causas que lo originan.

Decimos que un objeto se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro cuando su

posición, medida relativa al segundo cuerpo, está cambiando con el tiempo, por otra parte, si

esta posición relativa no cambia con el tiempo, el objeto se encuentra en reposo relativo, esto

es, depende de la condición del objeto con relación al cuerpo que se usa como referencia. Un

árbol y una casa se encuentran en reposo relativo respecto a la tierra, pero en movimiento con

respecto al sol. Cuando un tren pasa por una estación decimos que el tren está en movimiento

relativo con respecto a la estación, pero un pasajero del tren bien puede decir que la estación

se encuentra en movimiento en la dirección opuesta por ello para describir un movimiento,

entonces el observador debe definir un sistema de referencia con relación al cual se describe

el sistema del movimiento.

3.1 Movimiento rectilíneo de partículas

El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta.

3.1.1 Velocidad Media(Vm)

Supongamos que en el tiempo t, el objeto se encuentra en la posición A, mas tarde en el

tiempo t' se encuentra en el punto B.

Definimos la velocidad media así:

∆X= X'-X → desplazamiento de la partícula

∆t= t'-t → tiempo transcurrido

UNIVERSIDAD PRIVADA

JUAN MEJÍA BACA Autorización de Funcionamiento Resolución Nº 522-2008- CONAFU

Universidad Privada JUAN MEJIA BACA TEXTO INFORMATIVO – FÍSICA I CINEMATICA

Lic. Alfonso Mendoza Gamarra. 2

Por consiguiente la velocidad media durante un cierto intervalo de tiempo, es igual al

desplazamiento dividido en la unidad de tiempo.

3.1.2 Velocidad Instantánea

Para determinar la velocidad instantánea en un punto tal como A, debemos hacer el intervalo

de ese tiempo ∆t, tan pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran

cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo.

En el lenguaje matemático este equivalente a calcular el valor límite de la velocidad media así:

Pero esta es la definición de la derivada de X, con respecto al tiempo; esto es:

3.1.3 Aceleración Media (am)

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Si la velocidad permanece

constante, se dice que el movimiento es uniforme. Supongamos que en el tiempo t, el objeto

se encuentra en A, con una velocidad V y en el tiempo t' en B, con una velocidad V', la

aceleración media entre A y B esta definida por:

Donde:

∆V =V'-V → cambio en la velocidad

∆t = t'-t → tiempo transcurrido

3.1.4 Aceleración instantánea (a):

Es el valor límite de la aceleración media cuando el intervalo ∆t, es muy pequeño esto es:



Luego:

También:

Condiciones iniciales:

De la relación:

Con:

Obtenemos:



De la relación:

Despejamos:

Y reemplazamos en:

3.4 PROBLEMAS VARIOS

1. Una partícula se mueve en línea recta y su posición en función del tiempo está dada por:

Donde x, se mide en metros y t en segundos, calcular:

a) La velocidad media en el intervalo de t₁ =2s a t₂ =5s.



b) La velocidad instantánea en el tiempo t.

c) La aceleración media en el intervalo de t₁ =2s a t₂ =5s

d) La aceleración instantánea en el tiempo t.

Solución:

a) Para t₁ =2s tenemos x₁ =(2)³-(2)²-5(2)= -6m

Para t₂ =5s tenemos: x₂ = (5)³-(5)²-5(5) = 75m

Luego: Δt =5-2=3s y Δx= x₂ - x₁ =75-(-6)= 81m

b)

V= 3t² - 2t – 5

c) Para t₁ =2s tenemos : V₁ =3(2)²-2(2) - 5 = 3m/s

Para t₂ =5s tenemos V₂ =3(5)²-2(5) – 5 = 60m/s

d)

a= 6t – 2 2. La aceleración de una partícula que se mueve sobre el eje x, está dada en función del

tiempo por: A2= -8t³ + 16t, donde la aceleración se mide en m/s² y el tiempo en segundos.

Suponiendo que la partícula parte del reposo en el origen, calcular:

a) La velocidad instantánea en función del tiempo

b) El desplazamiento en función del tiempo

c) El valor máximo del desplazamiento para t >0

d) El valor máximo del desplazamiento para t >0

Sugerencia: Revisar este problema minuciosamente

SOLUCION

a) De



b)

Si parte del reposo en el origen

c) Para que el desplazamiento sea máximo debe ser:

t= ±2s

, t=2s

d) Para que la velocidad sea máximo debe ser:

= 0 de donde

Luego:

3. Las ecuaciones del movimiento de una partícula son:

a) El vector velocidad y el vector aceleración en el tiempo t

b) El módulo de la velocidad cuando t= 1.5 s

c) El módulo de la aceleración cuando t= 1.5 s

d) El vector de posición cuando t=5 s



SOLUCION

Del enunciado:

Los componentes de la velocidad son:

Así mismo:



b)

Para t=1.5 s ; tenemos V=13.3 m/s

c)

Para t=1.5s: tenemos a=31m/s²

e) Para t=5s

X= -2(5)² +3(5)³ =32.5

Y= 4(5)²-(5)⁴ = -525

Z=10(5)-(5)³= -75

Como:

Tenemos:

4. La aceleración “a” de una corredera unida a un resorte, es proporcional a su

desplazamiento S, a partir de la posición, en que la fuerza del resorte es nula y está dirigida en sentido contrario al desplazamiento, la relación existente es:

a= -K²s , donde K es una constante.

Si la velocidad de la corredera es Vo cuando S=0 y si t=0cuando S=0 hallar:

a) El desplazamiento

b) La velocidad en cualquier instante.

SOLUCION

a) De la relación siguiente y con las condiciones iniciales:



De la ecuación , reemplazamos para t=0, cuando S=0 y obtenemos:

b)

5. Una partícula desacelera proporcionalmente a su velocidad de acuerdo a la ecuación a=-KV:

a) V en términos de t

b) K en términos de t

c) V en términos de x, dibujar las curvas de movimiento correspondiente

SOLUCION

a) En la relación

Luego



b) De la ecuación:

Reemplazamos

c) Sustituyendo –KV

En



V-Vo= -KX

6. Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y percibe el primer eco a los 3

segundos y el siguiente a los 3,6 segundo correspondientes a la otra montaña. Determinar la distancia de separación entre las montañas. Velocidad del sonido en el

aire es igual a 340 m/s.

SOLUCION

El sonido demora en llegar a la montaña “A” 1.5 s. y a la montaña “B” 1.8 s.

Distancia= Velocidad x tiempo

Montaña(A): x=(340)(1.5)=510m

Montaña(B): y=(340)(1.8)=612m

Luego: x + y= 1122m

Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaños iguales, los cuales tienen una

duración de T1=4 horas y T2=3 horas emitiendo energía luminosa. Si las

velas empiezan a emitir luz al mismo instante, después de cuanto tiempo el

tamaño de uno de ellos es el doble que el otro.

SOLUCION 7. Considerar las velas de longitud “L”. Velocidad de consumo de las velas:



VA=L/T1=L/4

VB=L/T2=L/3

Después de un tiempo “T” consideremos las alturas de las velas “2h” y “h”

e = Vt

Vela (A) = (L – 2h)= L.T/4

Vela (B) = (L-h)=L.T/3

Dividiendo

Reemplazando t = 2,4horas

8. Un auto parte del reposo con un M.R.U.V y recorre entre lo puntos A y B de su trayectoria la distancia de 1,0Km. durante 10 segundos, si al pasar por B su velocidad es el triple de la que tuvo en A. Calcular el espacio que recorrió entre el punto de partida y el punto A.

SOLUCION

Usando la relación donde identificamos Vo como V en el

gráfico (punto A) y en el punto B será 3V

Luego:

TRAMO “AB”:

Con: d=1000 → 1000=2V(10)

V=1000/200=50m/s

Calculo de la aceleración:



TRAMO “OA”:

Como parte del reposo

3er Tramo

X=810m

9. Un avión horizontalmente a la altura H= 4Km sobre la superficie de la tierra a velocidad supersónica. El ruido llega a un observador al cabo del tiempo t = 10s de haber pasado el avión sobre el. Determinar la velocidad V del avión. La velocidad del ruido C=330m/s

SOLUCION

Desde cada punto por donde pasa el avión se propaga una onda sonora (en la

figura mostramos varias de estas ondas cuando el avión se halla en el punto

A) de límite de la zona a la cual llega el sonido sirve en cono, que es la

envolvente de dichas ondas.

AB y CA son las líneas de intersección del cono en el plano de la figura (este

plano es perpendicular a la superficie de la tierra), hasta el punto B llega

primero el sonido desde el punto Ol (BO1| AB), OA es el camino recorrido



por el avión desde el instante en que pasó sobre el observador hasta que este

oyó el sonido OD es el camino recorrido durante este mismo tiempo por la

onda sonora desde el punto O (OA | AB), con ángulos BAO y BOD, son

iguales por ser ángulos de lados mutuamente perpendiculares (sea α el

ángulo).

V=583 m/s

10. Desde el punto A, situado en el extremo superior el diámetro vertical de cierta circunferencia. Por unos canales colocados a lo largo de distintas cuerdas de aquella, empiezan a deslizarse simultáneamente varios cuerpos ¿Al cabo de cuanto tiempo llegan estos cuerpos a la circunferencia? O ¿como depende el tiempo del ángulo de inclinación α de la cuerda respecto de la vertical? Despréciese el rozamiento

SOLUCION

Vo=0

X→ Longitud de la cuerda

a→ Aceleración del cuerpo

a=g cosα y L=D cosα

D=diámetro

Por tanto:



El tiempo que dura el movimiento de los cuerpos a lo largo de cualquiera de

las cuerdas será el mismo.

3.5 GRAFICAS DEL MOVIMIETO LINEAL

3.5.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme:

Para este movimiento tenemos los siguientes gráficos representativos:

Donde:

Aceleración: a=0

Velocidad: V=Vo(constante)

Ecuación del movimiento: X = Xo + Vt

Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado

Tenemos:

Aceleración a=ao(constante)

Velocidad V=Vo + at (variable)

Ecuación del movimiento

11. Una partícula está sometida a la acción de fuerzas intermitentes de tipo explosivo,

siendo su aceleración resultante la que se muestra en la figura. Si el móvil en el tiempo 1/3 parte del reposo y termina en el reposo en el tiempo t.

Calcular:

a) El tiempo t1

b) La distancia total recorrida

Sugerencia: Revisar minuciosamente este problema



SOLUCION El área total bajo la curva es igual a la suma de 2 áreas: Una positiva

triangulo de base 1/3 y otra negativa (triangulo de base t1 – 1/3. Como la

velocidad final en t1 es cero, la suma de estas áreas es cero, por lo cual.

t = 1 seg.

Observamos que la aceleración “a” varía linealmente; conociendo en el

intervalo 0 ≤ t ≤ 0.5 y aumentando al 0.5 (t=1 seg.)

Luego la ecuación de la aceleración es 0 < t < 0.5 es:

De donde:

a=20 – 60t

Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que parte por los puntos

(Xo,Yo) e (X1,Y1)

Queda definido por:

Luego con la relación:



El valor de C1, se obtiene con las condiciones iniciales: t=0 y V=0

De donde en: C1=0

Y así tenemos V= 20t – 30t²

La distancia recorrida en este intervalo es:

En 0.5 ≤ t ≤ 1, ecuación de la recta que pasa por los punto (0.5,-10) y (1,0)

Con:

El valor de C2 se obtiene con la condición de que en: t=0.5, las condiciones

anteriores deben ser el mismo valor de la velocidad.

Luego: reemplazando V1en y t=0.5

Tenemos:

La distancia recorrida en este intervalo es:

La distancia total recorrida es:

X=X1+X2=1.25+0.4166=1.666m=5/3m 12. La aceleración de una partícula que se mueve en línea recta, varía mediante la

siguiente ley:



Si la partícula inicial en movimiento con una aceleración de 2m/s³ y claridad constante

C=1m/s³ , determinar la gráfica de la aceleración.

SOLUCIÓN

De la fórmula

Graficando la función

Propiedades:

1. La pendiente de la recta es igual a la claridad(plus aceleración) de la partícula

C=Tgθ

2. El área bajo la curva es igual, al cambio de la velocidad que experimenta la

partícula en el intervalo de tiempo.

t A

0 2

1 3

2 4

3 5

4 6



(Vf-Vo) = A1-A2 se considera el signo del área

13. Una partícula se mueve en el eje X mediante la siguiente ley:

Sus gráficas V-t y a-t son

Si la partícula inicia su movimiento (t=0) en la posición Xo=-2m, determinar su posición en el

instante t=4s

SOLUCION

De la gráfica V-t, la velocidad inicial (t=0) es:

Vo=3m/s

De la gráfica a-t, la aceleración inicial (t=0) es:

ao= 2m/s²



La claridad es igual a la pendiente de la recta:

Reemplazando el movimiento

3.6Movimiento de caída libre

El ejemplo más sencillo de movimiento acelerado, con aceleración aproximadamente

constante, lo constituye un que cae a tierra, podemos decir con ello que el movimiento en

caída libre es un caso particular del MRUV con a=g y tamaño convencionalmente en las

fórmulas del MRUV El signo (+) cuando el cuerpo cae y el signo (-) cuando se lanza hacia arriba

PROBLEMAS

14. Durante el último segundo de caída libre sin velocidad inicial un cuerpo recorre las ¾ partes de todo su camino. ¿Cuánto tarda en caer todo el cuerpo?

SOLUCION

Veamos el siguiente gráfico:

Igualando



15. Una partícula es proyectada verticalmente hacia arriba y en el mismo instante otra se deja caer para encontrarse con la que sube. Probar que si las partículas tienen igual velocidad cuando se encuentran una de ellas

ha viajado el triple de la otra.

SOLUCION

Entonces



16. Un cuerpo cae libremente de un punto “O”, parando tres puntos A, B y C las distancias AB y BC son iguales. El tiempo de A a B es 2seg. y de B a C 1seg. Hallar la distancia AB

SOLUCION

Resolviendo esta ecuación: t=1/2

17. Una partícula es proyectada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial Vo y

“t” segundo mas tarde otra partícula es proyectada hacia arriba desde el mismo punto y con la misma velocidad inicial y probar que ellas se encuentran a una altura por:

SOLUCION

T: tiempo total de la primera partícula desde A hasta C y de C a B.

AC: altura máxima que sube la primera partícula.

El tiempo que demora en ir de A a C será:

V=Vo –gt

Cuando alcanza la máxima altura: V=0, luego:

Vo= gt → t = Vo/g

El tiempo en bajar de C a B será: (T - Vo/g)

El tiempo que trata la segunda partícula que sale retrazada en “t” segundos con respecto

a T desde A hasta B será:

(T-t)

Luego: Si recorre estos tiempos, estos deben ser iguales al tiempo que tardarán en

alcanzar su altura máxima o sea:



Pero como:

Además con la relación:

También:

Luego:

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