m.r.u.v m.r.u caida.libre
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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado(M.R.U.V.)
Es aquel movimiento en la cual la trayectoria es una línea recta, variando progresivamente elvalor de la velocidad, ya sea aumentando o disminuyendo.
Se puede afirmar también que es aquel movimiento rectilíneo que se obtiene cuando hayvariaciones de velocidades iguales en tiempos iguales; vale decir, permanece constante el valorde la “aceleración”.
Fórmulas del M.R.U.V.
Usar: (+) si el movimiento es acelerado(-) si el movimiento es retardado
· Si la velocidad del móvil en un M.R.U.V., aumenta; el movimiento será acelerado, y el signode la aceleración será positivo.
· Si la velocidad del móvil en el M.R.U.V., disminuye: el movimiento será retardado, y elsigno de la aceleración será negativo.
OBSERVACIONES
taVV f ±= 0 daVV f 220
2 ±=
tVV
a f 0-= t
VVd f
÷÷ø
öççè
æ +=
20
20 2
1 tatVd ±=
Vf : velocidad finalV0 : velocidad inicial a : aceleración d : distancia t : tiempo
Þ÷÷ø
öççè
æ += t
VVe f
20
Þ÷øö
çèæ +
= t210050
20 2
1 tatVe +=
( )2104210 += te
taVV f += 0
( )1040 +=fV
Problemas Resueltos
1. Un auto que viaja a 10 m/s se le aplica los frenos y se detiene después de recorrer 50 m ¿Qué tiempodemoró en detenerse?
2. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 4 m/s2 ¿Qué espacio recorre en 10 s ycuál es su velocidad al cabo de ese tiempo?
3. Un auto parte del reposo en el instante t = 0 s, con una aceleración constante de 8 m/s2 ¿Quédistancia recorre el móvil entre los instantes t1 = 3 s y t2 = 5 s?
Entre A y B Entre A y C
4. Un móvil triplica su velocidad al recorrer 200 m, empleando 10 s ¿Cuál es el módulo de laaceleración constante que posee?
Luego V0= 10 m/s; Vf = 30 m/s
t = 10 s
e = 200 mVf = 40 m/s
x = 64 m
201 2
1 attVe +=
( ) ( ) me 36382130 2
1 =+=
201 2
1 attVxe +=+
( ) ( )258215036 +=+ x
tVV
e f 0+=
103
200 00 VV +=
tVV
a f 0-=
101030 -
=a a = 2 m/s2
5. Un automóvil parte del reposo y acelera uniformemente de modo que en los dos primeros segundosrecorre 10 m ¿Qué espacio logrará recorrer los siguientes dos segundos?
Entre A y B Entre A y C
6. Un móvil parte del reposo con aceleración constante y tarda 8 s en recorrer la distancia de 600 m quehay entre dos puntos de su trayectoria. Si la velocidad en el segundo punto es 100 m/s, calcular; lavelocidad en el primer punto, la distancia que hay desde el punto de partida hasta el primer punto ypor último, la aceleración
Entre los puntos “B” y “C”
Entre los puntos “A” y “B”
7. Un carro se mueve con M.R.V.U., y al pasar por un punto “P” tiene una velocidad de 60 m/s. Si 360 mmás adelante su velocidad es 120 m/s ¿Cuál fue su velocidad 100m atrás de “P”?
Entre los puntos “P” y “B” Entre “A” y “P”
20 2
1 attve +=
a = 5 m/s2
20 2
1 attve +=
( ) ( )22212010 a+=
x = 30 m
( ) ( )( )245214010 +=+ x
tvv
e f÷÷ø
öççè
æ +=
20
82
100600 ÷øö
çèæ +
= Bv
VB = 50 m/s
tvv
a f 0-=
850100 -
=a
a = 6,25 m/s2
aevv f 220
2 +=
( )e25,62050 2 +=
e = 200 m
aevv f 220
2 +=
( )360260120 22 a+=
a = 15 m/s2
aevv f 220
2 +=
( )( )10015260 22 += Av
VA = 24,5 m/s
8. Un auto y un camión parten del reposo en el mismo instante, hallándose inicialmente el auto acierta distancia detrás del camión, el camión acelera con 1,2 m/s2 y el auto con 1,8 m/s2. Si el autopasa al camión, cuando dicho camión ha recorrido 60m. Calcular la distancia inicial entre auto ycamión.
Para el camión Para el auto
9. Las partículas mostradas en la figura, comienzan a frenar con aceleración constante hastaencontrarse exactamente cuando sus velocidades se hacen nulas. Hallar la desaceleración de lapartícula B
Con cada partícula “A”
Como es desaceleración Con la partícula “B”: (e = 30 m)
10. Para un móvil que describe M.R.V.U., se han registrado los siguientes valores para su posiciónrespecto al tiempo. Determinar la rapidez, en t = 2,5 s.
Entre 0 y A
x (m) 0 - 4 - 10 - 20 - 34t (s) 0 1 2 3 4
a = - 3,75 m/s2
aevv f 220
2 -=
( ) ( )e42200 2 +=me 50=
aevv f 220
2 -=
( )302150 2 a-=
2/75,3 sma =
( ) Þ÷øö
çèæ +
=Þ÷÷ø
öççè
æ +=
ïþ
ïý
ü
===
12
042
10
40
0Af vt
vve
stv
meVA = 8 m/s
20 2
1 attve +=
( ) ( ) 22,121060 tt +=
st 10=
20 2
160 attvx +=+
( ) ( ) ( )2108,12110060 +=+ x
x = 30 m
Entre A y B
Entre B y C
Nos piden
11. Un móvil parte del reposo y de un punto “A”, con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (a= 5 m/s2). Tarda en recorrer una distancia BC = 90 m, un tiempo de 2 s; y finalmente llega al punto D.Si CD = 110 m. hallar el tiempo total del recorrido AD.
Entre B y C Además
Entre A y B Entre C y D
12. Un peatón corre hacia un ómnibus para alcanzarlo con una velocidad constante de 6 m/s, en elinstante en que se encuentra a 25 m, por detrás de dicho ómnibus. En ese mismo instante el ómnibusparte del reposo, acelerando a razón de 1 m/s2. Determinar si el peatón alcanza o no, al ómnibusSupongamos que el peatón alcanza al ómnibusPeatón: M.R.U.Ómnibus: M.R.U.V.
( ) Þ÷øö
çèæ +
=Þ÷÷ø
öççè
æ +=
ïþ
ïý
ü
===
12
86
21
/86
00
Bf vtvv
est
smvme
( ) ( ) Þ+=Þ+=ïþ
ïý
ü
===
2200 1
211410
21
1/4
10aattve
stsmv
me
Þ÷øö
çèæ+=Þ+=
ïï
þ
ïïý
ü
=
==
=
21124
?/4/12
5,0
00
2
ff
f
vatvv
vsmvsma
st
VB = 4 m/s
a = 12 m/s2
Vf = 10 m/s
( )( )
smv
v
attve
B
B
/40
252190
21
2
20
=
+=
+=( )
smvv
vvatvv
C
C
BC
C
/501040
250
=+=+=+=
sttatvv
ABAB
f
850400
=Þ+=
+=
( ) Þ+=
+=
2
20
52150100
21
tt
attve
t = 2 s
(Absurdo)
El Absurdo es consecuencia de suponer que elpeatón alcanza al ómnibus
13. Del problema anterior, en el caso que el peatón no alcanza al ómnibus. Hallar la mínima distancia ala cual logró acercarse
La mínima distancia a la cual en el caso que el peatón no alcanza al ómnibus es cuando peatón y ómnibustienen la misma velocidad
Con el ómnibus
De la Figura
14. Un representante del orden observa a un malhechor que se encuentra a 6 m de él, en ese instante eldelincuente se da a la fuga con una velocidad de 1 m/s. De inmediato el policía parte, acelerando arazón de 2 m/s2, en su persecución ¿después de qué tiempo será atrapado el malhechor?
( )
( )
tt
ttt
attvtv
eeómnibuselporrecorridoEspacioe
p
p
62
25
1210625
2125
25
2
2
20
0
+-
=
÷øö
çèæ +-=
÷øö
çèæ +-=
-== 050122 =+- tt
146 -±=t
No lo Alcanza
stt
tvv
a f
6
061
0
=
-=
-=
250 +=+ exe p
( )
( ) ( )Þ+=+
+=+
+÷øö
çèæ +=+
+÷øö
çèæ +=+
252
666
252
6
2512106
25216
2
2
2
20
x
txt
ttxt
attvxt
x = 7 m
( )tvattv
ee Mp
+÷øö
çèæ +=
-=
20 2
16
6 ( ) ( )
Þ-=
-÷øö
çèæ +=
tt
ttt
2
2
6
122106
x = 3 s
15. Un auto parte del reposo con aceleración constante, entre el octavo y noveno segundo recorrer 34 m¿Qué distancia recorre en el doceavo segundo?
e8 =espacio recorrido hasta el octavo segundo Por analogíae9 =espacio recorrido hasta el noveno segundo
16. Los extremos de un tren pasan por un mismo punto con velocidades de 2 y 3 m/s ¿qué longitud deltren pasaría por ese punto en la mitad de tiempo que ha necesitado para pasar el tren por completo?(longitud deliren = 100m)
Primer Caso Segundo Caso
17. Tres móviles A, B y C recorren una recta, partiendo del mismo punto, en la misma dirección y con lamisma velocidad inicial de 246 m/s. Primeramente empieza su movimiento “A” y está sometido auna desaceleración de 10m/s2; transcurridos cinco segundos, “B” empieza su movimiento, el cual esuniforme. Finalmente transcurridos otros tres segundos, empieza “C” que acelera constantemente arazón de 4 m/s2. Determinar el tiempo que demora en equidistar entre si con respecto al móvil “B”
Móvil “A”: M.R.U.V. (Retardado) Móvil “B”: MR.U. Móvil “C”:M.R.U.V. (Acelerado)
Entonces de (1) y (2)
( ) ( ) 222
28
29
89
/48219
2134
21
2134
34
smaaa
atat
ee
=Þ-=
-=
-=
( )( ) ( )( )22
211
212
1112
11421124
21
21
21
-=
-=
-=
x
atatx
eex
x = 46 m
( )
st
t
tavv
sma
a
aevv
f
4040123
/401
100223
2
0
2
22
20
12
=
+=
+=
=
+=
+=
( ) ( ) Þ÷øö
çèæ+=
+=
===
===
2
20
201
1
20401
21202
21
/401;/20;20
202
4021
e
tatve
smasmvst
st
e = 45 m
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )210212465246
12102124684
218246
2
2
22
KKKKKKKKK
KKK
xttt
xee
xtttt
xee
AB
AC
+-=-
+=
+-=-+-
+=
t = 9,70 s
( ) ( )
( )6123610
212620
-+=
=+=
tt
v KKKK
18. Un auto está esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde el auto acelerauniformemente durante 6 segundos a razón de 2 m/s2, después de la cual se mueve con velocidadconstante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camión que se mueve en la mismadirección con movimiento uniforme de 10 m/s, lo pasa ¿En qué tiempo se encontraran nuevamente elauto y el camión?
De la Figura
(2) en (1)
Con el autoDonde
19. Dos autos A y B, están viajando en la misma dirección y sentido con velocidades v y v,respectivamente. Cuando el auto A se encuentra a una distancia “d” detrás del auto “B”, se aplicanlos frenos de “A”, causando una desaceleración “a” ¿Cuál debe ser la distancia límite para que losautos choquen?
Con el auto “B” (1) en (3);
Con el auto “A” De (2):
Reemplazando datos:
( )( ) ( )
( ) ( )163610
6622110 2
KKKKK-+=
-+=
+=
tvt
tvt
yxe
tavv f += 0t = 18 s
)1(KKKKKKtvx B= tvtvd AB 2=+
)3(2
0
2
)2(0
0
0
KKK
KKKKKKK
tvxd
tvv
e
tavtavtavv
A
f
A
A
f
÷øö
çèæ +=+
÷÷ø
öççè
æ +=
=-=
-=
( )BAA
AAAB
A
vva
vd
avv
avvd
avt
22
2
-=
×=+
=
d = 72 m
20. Un tren de pasajeros se desplaza en un avía a razón de 30 m/s. Cuando es frenado, desacelerando arazón de 1,2 m/s2, en el instante en que se encuentra a 180 m de un tren de carga que se mueve en lamisma dirección y sentido con velocidad constante de 9 m/s. Determinar si se produce o no el choque
Calcularemos el tiempo que demora el tren en igualar al tren de carga, en velocidad, para esto la velocidad deltren de pasajeros tendrá que ser también 9 m/s
Cálculo de los espacios recorridosal cabo de ese tiempo
Con el tren de pasajeros:Con respecto al punto “A”, el espacio recorrido por el trende pasajeros será: 341,25 m
Con respecto al punto “A” el espacio recorrido por el trende carga será: 180 + 157,47 = 337,5 m
Con el tren de carga:
stttavv f 5,172,13090 =\-=Þ-=
( ) ( )( )
me
e
attve
p
p
p
25,341
5,172,1215,1730
21
2
20
=
-=
-=
( )( )me
vte
C
C
5,1575,179
===
Es decir, el tren de pasajero ya pasó al tren decarga; por lo tanto ya se produjo el choque
PROBLEMAS PROPUESTOS1. Un cuerpo describe un M.R.U.V. cuya aceleración es de 2 m/s2 en un determinado instante su
velocidad vale 15 m/s ¿cuál fue su velocidad 6 segundos antes?
A) 12 m/s D) 15 m/s C) 3 m/s D) 2 m/s E) N.A.
2. Un cuerpo con M.R.U.V. tiene una aceleración de 5 m/s2 y recorre 100 m en 3 segundos. Calcular suvelocidad final
A) 40 m/s B) 50 m/s C) 40,83 m/s D) 20,43 m/s E) N.A.
3. Un cuerpo con movimiento rectilíneo acelera a razón de 2 m/s2, de modo que al cabo de 3 segundostriplica el valor de su velocidad ¿qué espacio recorre en este tiempo?
A) 100 m B) 18 m C) 300 m D) 400 m E) 500 m
4. Un móvil parte del reposo con aceleración constante de 2 m/s2 ¿qué espacio recorre en el 4to
segundo de su recorrido?
A) 7 m B) 5 m C) 9 m D) 2 m E) 8 m
5. Un móvil se desplaza con MRUV y recorre en el 3er segundo 16 m menos que el recorrido en elséptimo segundo, calcular su aceleración
A) 1 m/s2 B) 2 m/s2 C) 3 m/s2 D) 4 m/s2 E) 5 m/s2
6. ¿durante qué segundo un móvil que parte del reposo y tiene MRUV, recorrerá el triple del espaciorecorrido durante el quinto segundo?
A) 6to B) 14vo C) 7mo D) 9no E) N.A.
7. Un avión recorre antes de despegar una distancia de 1800 m en 12 segundos con MRUV Calcular ladistancia recorrida en el doceavo segundo
A) 57,10 m D) 97,5 m C) 60 m D) 58,25 m E) 172,25 m
8. Un móvil parte del reposo con MRUV Si durante el 13avo segundo recorre 100 m, determinar elespacio recorrido entre el 4to y 8vo segundo
A) 200 m B) 210 m C) 192 m D) 300 m E) 250 m
9. Al iniciar una cuesta de cinco por ciento de pendiente un coche lleva una velocidad de 72 km/h¿qué espacio podrá subir con esa velocidad inicial, si el motor no funciona? (g=10 m/s2)
A) 60 m B) 400 m C) 600 m D) 608 m E) 300 m
10. Un tren marcha a 180 km/h y en un momento dado aplica los frenos produciéndose unadesaceleración de 4 m/s2. Determinar que espacio recorrido en el tercer segundo de movimientodespués de aplicarse los frenos
A) 45 m B) 38 m C) 40 m D) 25 m E) 20 m
11. Un móvil realiza un MRUV de tal manera que en los dos primeros segundos de su movimientorecorre una distancia de 20 m. en los próximos 2 segundos cubre una distancia de 23 m, ¿cuál es laaceleración del móvil?
A) 0,75 m/s2 B) 10 m/s2 C) 0,5 m/s2 D) 1,25 m/s2 E) N.A.
12. Dos carros separados una distancia “L” entre sí parten del reposo en el mismo sentido, alcanzandoel carro posterior al delantero después que éste ha recorrido un espacio “x”. hallar la relación de susaceleraciones
A) B) C) D) E)
13. Dos móviles parten del reposo en la misma dirección y sentido, si inicialmente están separados 50m y se observa que el alcance se produce 10 s después de iniciados los movimientos, determinar susaceleraciones si éstas están en la relación de 3 a 2
A) 2 m/s2 , 3 m/s2 B) 1 m/s2, 2 m/s2 C) 3 m/s2 , 4 m/s2
D) 3 m/s2, 6 m/s2 E) N.A.
14. Un móvil se desplaza con M.R.U.V. y al pasar por “A” su velocidad es “v”. Cuatro segundosdespués pasa por “B” con una velocidad “3v”. El móvil experimenta una aceleración de 2 m/s2.¿qué velocidad poseerá cinco segundos después de haber pasado por “B”?
A) 16 m/s B) 14 m/s C) 18 m/s D) 20 m/s E) 22 m/s
15. Un piloto imprudente viaja en su automóvil con la velocidad excesiva de 100 km/h; un policía detránsito que lo observa monta su motocicleta y en el momento que pasa frente a él parte en supersecución; luego de 10 segundos la motocicleta alcanza su velocidad límite de 120 km/h. Calcularal cabo de qué tiempo será alcanzado el infractor
A) 15 s B) 29 s C) 30 s D) 45 s E) N.A.
16. Un móvil parte del reposo y acelera a razón constante de 5 m/s2 durante un tiempo de 20segundos, luego continúa su recorrido a velocidad constante durante un tiempo de 30 segundos,finalmente desacelera a razón de 2 m/s2 hasta que se detiene. Determinar el espacio total recorridoy su velocidad media promedio.
A) 6500 m y 65 m/s B) 6300 m y 60 m/s C) 3500 m y 20 m/sD) 8500 m y 75 m/s E) 8000 m y 63 m/s
17. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10 m/s2, luego de transcurrir ciertotiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/s2 hasta detenerse, si eltiempo total empleado es de 30 segundos ¿cuál es el espacio recorrido?
A) 1000 m B) 1200 m C) 1300 m D) 1500 m E) N.A.
18. Dos móviles se dirigen a su encuentro con movimientos uniformemente acelerados desde dospuntos distantes entre sí 180 m y tardan 10 s, en cruzarse, los espacios recorridos por estos móvilesestán en la relación de 4 a 5. Calcular las aceleraciones
A) 1,6 y 2 m/s2 B) 2 y 3 m/2 C) 5 y 3 m/s2
D) 2,8 y 3,6 m/s2 E) 1,3 y 2,4 m/s2
19. Una partícula viaja a lo largo de la línea OX con un movimiento uniformemente acelerado. En lostiempos t1 y t2 sus posiciones son x1 y x2, respectivamente. Hallar la aceleración de dicha partícula
Lxx+ L
xLx2
LxL +
xLx +2
( )1221
2211)tttttxtxaA
--
= ( )1221
2112)tttttxtxaB
+-
=( )
( )1221
21112)tttttxtxaC
--
=
( )( )1221
21122)tttttxtxaD
--
=( )( )2
221
212)ttxxaE
-+
=
20. Una partícula parte del origen hacia la derecha con una velocidad de 10 m/s y con una aceleraciónde 1 m/s2 hacia la izquierda ¿Cuáles son los instantes en que se distancia desde el origen es 1 m?
A) t = 0,1 sB) t = 0,1 s; t = 19,9 sC) t = 0,2 s; t = 18,8 sD) t = 0,1 s: t = 19,9 s; t = 20,1 sE) t = 1 s
21. Un móvil se mueve con una velocidad constante de 10 m/s como se muestra en la figura, de prontocuando se encuentra en el punto “A” el conductor aplica los frenos, adquiriendo el móvil unaaceleración constante de 1 m/s2: ¿Es posible; que dicho móvil siga la trayectoria (SI - NO)?y ¿Si esposible, calcular el tiempo que emplea para recorrer dicha trayectoria?
A) No D) Si, 40 sB) Si, 20 s E) Si, 50 sC) Si, 30 s
MOVIMIENTO VERTICAL
Línea Vertical.- es aquella línea recta, radial a un planeta
Movimiento Vertical.- cuando se suelta un cuerpo a una determinada altura, éste cae a través dela vertical, para ello ejerce un movimiento que toma el nombre mencionado.Si el cuerpo es lanzado desde la superficie hacia “arriba” también describe una trayectoria vertical.
En el caso de nuestro planeta, los cuerpos cercanos a ella caen porque la Tierra ejerce atracciónsobre los cuerpos próximos a la superficie con una determinada fuerza denominada fuerzagravitacional (Peso)
CAIDA LIBRE
Concepto.- Se denomina así al movimiento vertical que ejercen los cuerpos en el vacío, por acciónde su propio peso.
¿Por qué en el vacío? Porque si un cuerpo es soltado en unmedio ejemplo aire, éste se opone al libre movimiento delcuerpo y por consiguiente, el movimiento no sería de caídalibre. Este movimiento es totalmente independiente de lasmasas y de las formas de los cuerpos. Ejemplo: si soltamossimultáneamente a una determinada altura en el vacío, unahoja extendida y una piedra; se notará que los dos llegarán a lasuperficie en el mismo tiempo. Lo cual no sucedería en el aire.
A una altura relativamente pequeña los cuerpos caen con movimiento rectilíneo uniformementevariado, siendo la aceleración la misma para todos los cuerpos en el mismo lugar de la Tierra,independientemente de su forma geométrica o de la sustancia que los compone.
Aceleración de la Gravedad (g).- Es aquella aceleración con la cual caen los cuerpos. Su valordepende íntegramente del lugar en que se tome. En la superficie terrestre esta aceleración no esconstante como se cree, esto se debe a que la Tierra no es perfectamente esférica y además poseesuperficies accidentadas.
Algunos valores de la g:En los Polos: g = 9,83 m/s2 En el Ecuador: g = 9,79 m/s2
Sin embargo se considera un valor promedio de “g”g = 9,8 m/s2
g = 32,2 pies/s2
Se considera también caída libre los siguientes casos:A) Cuando un cuerpo es soltado hacia abajo C) Cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba
B) Cuando un cuerpo es lanzado hacia abajo
IMPORTANTE
§ El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada, para unmismo nivel.
§ El módulo de la velocidad de subida es igual al módulo de lavelocidad de bajada, para un mismo nivel.
Fórmulas de Caída Libre.- Puesto que el movimiento de caída libre es un caso particular delM.R.U.V., las fórmulas serás las mismas, con la diferencia de que la aceleración ya es conocida (g)
Así tenemos:
Historia.- La caída de los cuerpos llamó bastante la atención de los antiguos filósofos, quienes trataronde dar una explicación a este fenómeno. Aproximadamente 300 años antes de Cristo surgió el granfilósofo Aristóteles, quien descubrió que al dejar caer simultáneamente dos cuerpos de diferentes pesosdesde la misma altura, el más pesado llegaría primero al suelo. Esto estuvo gran influencia en la épocay perduró casi durante 2000 años como un principio básico; fue aceptado este descubrimiento por laIglesia Católica, la cual no aceptaba contradicciones a las ideas vertidas por Aristóteles.Por fin en el siglo XVI empezaron las refutaciones del ya conocido Galileo Galilei. La defensavehemente de sus descubrimientos en pugna con las enseñanzas de Aristóteles, casi le cuesta serquemado por la inquisición a los 70 años de edad. Galileo demostró que el movimiento de caída de loscuerpos es independiente de su masa. Cuenta la historia, que para verificar la igualdad de los tiemposde caída, Galileo lanzó desde lo alto de la torre inclinada de Pisa varios cuerpos de sustancias y pesosdiferentes, observando que todos llegaron simultáneamente al suelo. (La resistencia del aire puededespreciarse cuando se trata de cuerpos compactos y alturas inferiores a 200 m)
tgvvF ±= 0
20 2
1 tgvh ±=
hgvvF 220
2 ±=
tvv
h F ÷øö
çèæ +
=2
0
Usar: (+) Si el cuerpo baja
Usar: (-) Si el cuerpo sube
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un cuerpo es dejado caer de la parte superior de un edificio. Calcular su velocidad después de 2segundos (g = 100 m/s2)
Entre A y B
2. Un cuerpo es lanzado hacia arriba con una velocidad de 20 m/s ¿Qué altura máxima sube?(g = 100 m/s2)
Entre A y B
3. Una piedra es soltada desde la parte superior de un edificio y demora un segundo en recorrerlos últimos 25 m ¿Cuál es la altura del edificio? (g = 100 m/s2)
Entre “B” y “C” Entre “A” y “B”
4. Un cuerpo es dejado caer desde cierta altura “H” y se observa que la segunda mitad de aquellaes recorrida en 10 s ¿En qué tiempo el cuerpo recorrió la primer mitad?
Entre A y B Entre A y C
De (1) y (2)
( )21000
+=+=
B
F
vtgvv
VB = 20 m/s
2
0
/10
0/20
smgv
smv
F
=
== ( )
20102200 2
20
2
=-=
-=
hh
hgvvF
Hmax = 20 m
( ) ( )( )
smv
v
tgtvh
B
B
/20
11021125
21
2
20
=
+=
+= xgvvF 220
2 +=
( )
xHmx
x
+==
+=
2520
102020 22
H = 45 m
( )
( )
)1(
21
2
210
2
21
2
2
2
20
KKKKKtgH
tgH
tgtH
tgtvHH
=
=
+=
+= ( ) ( )
( ) ( )
( ) )2(102
1021100
102110
2
2
20
KKKKKK+=
+++=
+++=
tgH
tgtH
tgtvH
t = 24,14 s
5. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 80 m/s. Calcular la velocidad en el 5to
segundo de su movimiento (g = 100 m/s2)
Por tanto el 5to segundo corresponde altramo AB
Primero calculamos que tiempo demorael cuerpo en llegar a “B”
Entre “A” y “B”
6. Un cuerpo con M.R.U.V. por un plano inclinado, que forma un ángulo “θ” con la horizontal. Siparte del reposo, hallar el valor de dicho ángulo. Sabiendo que después de 10 segundo adquiereuna velocidad de 80 m/s (g = 100 m/s2)
Entre “A” y “B”
Pero:
7. Desde un globo que se encuentra a 240 pies de altura, se suelta una piedra, el globo sube conuna velocidad de 32 pies/s ¿Qué espacio recorrió la piedra hasta llegar el cuelo? (g = 100 m/s2)
Entre A y B
En (1):
2
0
/10
0/80
smgv
smv
F
=
==
stttgvvF
810800
0
=-=
-=
( )51080
5/10
?/80
0
2
20
-=-=
==
==
F
F
F
vtgvv
stsmg
vsmv
VF = 30 m/s
( )2
0
/810080
smaa
tavvF
=
+=+=
54
810
=
==
q
sen
senaseng
θ = 53º
)1(2402 KKKKKK+= he
( )piesh
h
hgvvF
16322320
22
20
2
=-=
-=
( ) 240162 +=e
e = 272 pies
8. Una piedra lanzada hacia arriba en el Tierra alcanza 20 m de altura ¿Cuál será la gravedad enun Planeta donde lanzada con la misma velocidad alcanza la altura de 4 m?
En la Tierra (entre A y B) En otro Planeta (entre A y B)
9. Un paracaídas se deja caer de un avión desde una altura dad y cuando ha recorrido las ¾partes de dicha altura, abre el paracaídas y empieza a caer con una velocidad límite de 10 m/s¿Qué tiempo demoró en llegar al suelo si el tiempo que demora en su caída libre es igual altiempo que tardó en su caída con velocidad límite? (g = 100 m/s2)
Entre A y B
Entre B y C (d = v t) De (1) y (2)
Tiempo Total
10. Dos cuerpos A y B se encuentran inicialmente a la misma altura. Si en el instante en que A sedeja caer, B es lanzado hacia abajo con una velocidad inicial de 10 m/s ¿Al cabo de cuantotiempo estarán separado 60 m? (g = 100 m/s2)
Con el cuerpo “A”
Con el cuerpo “B”
De (1) y (2)
( )( )smv
vhgvv
vsmg
vmh
F
F
/20201020
2
?/10
020
0
20
20
2
0
2
=-=
-=
==
==
( )422002
?4
0/20
2
20
2
0
ghgvv
gmh
Vsmv
F
F
-=
-=
====
g = 50 m/s2
( ) ( )
)1(203
10210
43
21
2
2
20
KKKKKKKtH
ttH
tgtvh
=
+=
+=
)2(40?
/104
KKKtHt
smv
Hd
=ïï
þ
ïï
ý
ü
==
= ( )tH 104=
st 6=
66+=T
T = 12 s
)1(521
2
2
KKKKKKKth
tgh
=
==
( )
( ) )2(510602160
2
20
KKtth
tgtvh
+=+
+=+
t = 6 s
)(,
)(3602
180
21
2
2
20
b
a
KK
KKKKKKKK
sonidopiedra tttPerot
a
ta
tatve
+=
=
=
+=
( )
st
t
tgtve
p 42
32256
21
2
20
=
=
+=
stt
tve
s
s
23,01130256
==
=
st 23,423,04 =+=
( ) 89,17360
23,4360
2 ==a
( )
st
t
tgtvh
3
3221144
21
2
20
=
=
+= ( ) ( )
( ) ( )( )20
20
232212144
1211
+=
-+-=
v
tgtvh
11. Desde el suelo, un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba. Halle el módulo de estavelocidad de lanzamiento tal que entre los instantes T = 4 s y T = 10 s no haya desplazamiento(g = 100 m/s2)Analizando e ilustrándole problema Entre A y C
12. Un alumno deja caer una piedra en un pozo cuya profundidad (entre el borde y el nivel de aguaen el fondo) es de 256 pies. Un segundo alumno que se encuentra 180 pies del pozo, queriendopresenciar la caída, empieza a correr en el mismo instante acelerando uniformemente hacia elborde del pozo; pero llega solo a tiempo de escuchar el ruido que hacia la piedra al tocar elagua. Calcular la aceleración del segundo alumno (g = 100 m/s2)
Con el 2do AlumnoCon el sonido
En (β)
En ()Con la Piedra:
13. Desde un punto que está a 144 pies de altura sobre el agua se deja caer una piedra. Un segundodespués se arroja una piedra verticalmente hacia abajo. Si ambos llegan al agua al mismotiempo. Calcular la velocidad inicial para la segunda piedra (g = 100 m/s2)
Con la piedra (1) Con la piedra (2)
( )7100
?/10
70
0
0
0
2
-=
-===
==
vtgvv
vsmg
stv
F
F
V0 = 70 m/s
a = 20,1 pies/s2
V0 = 40 pies/s
stttgvvF
110100
0
=-=
-=
( ) ( )( )2
20
21021220
21
-=
-=
h
tgtvh
( ) ( )443442143421
yx
ttt
yx
tgtve
22
20
10211210
2184
8421
-+=
+=
±=
stt 232640 =Þ-=
20 2
1 tgtve +=
( ) ( )( ) )1(43221464
/642
KKKK-+-=
=
TTx
spiesvC
( )( ) )2(33221 2 KKKKKKKKK-= Tx
tgvvF ±= 0
14. En la figura, se tienen dos cuerpos 1 y 2 con sus respectivas velocidades iniciales. Calcular laaltura del edificio cabiendo que ambos chocan en su extremo superior, luego de partirsimultáneamente (g = 100 m/s2)
Con el cuerpo (1) Con el cuerpo (2)Entre A y B Entre D y C
Condición: tDC = tAC = 2 s
Por lo tanto: tAC = 2 s
15. En el mismo instante que un cuerpo es dejado caer desde una altura de 84 m, una piedralanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/s. Calcular el tiempo quedemoran en encontrarse (g = 100 m/s2)
16. Una persona en la orilla de una azotea arroja una piedra verticalmente hacia arriba con unavelocidad inicial de 64 pies/s, 3 s mas tarde se deja caer otra piedra ¿A qué distancia debajo dela orilla de la azotea se encuentran las piedras? (g = 100 m/s2)
Entre A y B
Sea “T” el tiempo total que emplea (1)entre C y D (t = T - 4)
Velocidad subida = velocidad bajada
Con la piedra (2)
Con la piedra (1)
De (1) y (2)
h = 20 m
t = 7 s
x = 36 pies
( )
( )( )
smvv
tsengvvst
tsengx
F
F
F
/10250
º302
º302110
0
2
=+=+=
=
== ( )
( ) ( )( )( )2
20
41021410202
21
q
q
senx
tsengtve
-==
-=
Þ=41qsen
( ) ( )( )
)1(52
110211
2
21
0
20
20
KKKKKKKKK+=
-=
-=
hv
vh
tgtvh
17. En el instante mostrado, se suelta de “A” una bola. Si el tiempo en recorrer OB es de 4 s yOA = 10 m, OB = 2 (OA), g = 100 m/s2, determinar el ángulo “”. Considerar la rapidez con lacual llega al punto “O” igual a la rapidez con que sale de él
Entre “A” y “O” Entre “O” y “B” (t = 4 s)
De donde:
18. Se dispone un instrumento de precisión el cual lanza una pelota a continuación de otra al cabode cada segundo, con la misma velocidad inicial y cuando la anterior alcanza la mitad de sualtura máxima y así sucesivamente. Determinar el máximo número de pelotas que podránencontrarse en el aire (g = 100 m/s2)
Conclusión:En el problema, calcularemos el tiempototal que demora una pelota
Entre A y B
÷øö
çèæ=
41senarcq
Si una pelota demorara 2 s, elnúmero de pelotas sería 3
Si una pelota demorara 3 s, elnúmero de pelotas sería 4
Si una pelota demorara (n) s, el número de pelotas sería (n + 1)
)2(2
20
2
0
0
0
KKKKKKKKtvh
tvh
tvvh F
=
÷øö
çèæ +
=
÷ø
öçè
æ +=
)3(10100
0
0
0
KKKKKKKKtvtvtgvvF
=-=-=
4,322
)(22
)(22
22
=+=
+=
-=
±=
t
problemaelconCumplet
problemaelconcumpleNot
t
sTT
total
total
8,68,64,34,3
==+=
415
8525
85
85
322000
=÷øö
çèæ-=
==
=
-=+=
CD
ABBC
AB
AB
F
t
tt
st
ttavv
( )
piesCD
CD
tatvCD
3004
153221
41520
21
2
2
=
÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ=
+=
)1(' KKKKKKCDAAx +=
( )piesAA
AAtve
100'100520'
=
-==
400300100 =+=x
Entre A y C De (1), (2) y (3)
Pero: t = Tiempo de subida
Además:
Rpta: El número de pelotas que puedeencontrarse en el aire es:
19. Un ascensor esta subiendo con una velocidad constante “v” de 20 pies/s; y cuando el ascensorse encuentra a una altura de 300 pies se suelta un perno del piso del ascensor. Calcular al cabode 5 s ¿Qué distancia separa al perno y a la parte más baja del ascensor?
Con el perno (M.R.U.V.)Entre “A” y “B”
También:
Con el Ascensor (M.R.U.)
En (1):
6 + 1 = 7
x = 400 pies
)4(21
)3(21
)2(21
)1(21
2
2
2
2
KKKKKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
tge
tsenge
tsenge
tsenge
D
C
B
A
=
=
=
=
q
b
a
qba
seneeseneesenee
DC
DB
DA
===
20. En un instante dado varias partículas inician su movimiento bajo la acción de sus fuerzas degravedad, desde un punto “O” y a lo largo de varios planos inclinados OA, OB, OC, OD queforman los ángulos , β, θ, y /2, respectivamente, con la horizontal. Determinar que figuraforma la línea que une dichas partículas en cualquier instante
Todos parten del reposo: V0 = 0 Graficando las Relaciones
Relacionando (1), (2) y (3) con (4)
Rpta: “La curva que se forma es una circunferencia”
MÉTODO VECTORIAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE
Fórmulas a usar:tavV F += 0
200
21 tatvhh F ++=
§ No olvidarse que en este movimiento todos los vectores son colineales
§ h (+) Cuando el cuerpo está sobre la línea de referencia (eje x)h (-) Cuando el cuerpo está debajo de la línea de referencia (la línea dereferencia es arbitraria)
OBSERVACIONES
Así por ejemplo, la aceleraciónde la gravedad siempre estádirigida hacia abajo, luegollevará signo negativo
200
/10;32
/40;80
smamhsmvmh
f -==
==
( )
Þ=--
-+=
-++=
++=
0484055408032
1021408032
21
2
2
2
200
tttt
tt
tatvhhF
( ) 2
200
200
1021800100
21
/10;100
/80;0
tt
tatvhh
smamh
smvh
F
f
++=-
++=
-=-=
==
jga
tTTtT pq
-=
+== ;
( ) ( ) )1(210
21
2
200
KKtTgtTvH
TaTvHH pp
+-++=
++=
)2(210
21
2
200
KKKtgtvH
TaTvHH qq
-+=
++=
21. Una piedra se lanza hacia arriba con una velocidad de 40 m/s, si inicialmente estaba a unaaltura de 80 m ¿En qué tiempo su altura será de 32 m? (g = 10 m/s2)
Datos: (entre A y B)
Luego:
22. De la parte superior de un edificio de 100 m de altura, se lanza un cuerpo hacia arriba con unavelocidad de 80 m/s ¿Qué tiempo emplea en llegar al suelo? (g = 100 m/s2)
Dato: (entre A y B)
23. De un mismo punto con la velocidad “v” se lanzan dos bolas verticalmente hacia arriba conun intervalo de tiempo “T” ¿Dentro de cuánto tiempo después de lanzar la segunda bola, ellaschocarán?
Hasta el encuentro Con la partícula “q”
Con la partícula “p” De (1) y (2):
t = 9,06 s
t = 17,15 s
÷øö
çèæ-÷÷
ø
öççè
æ=
2T
gvt
)1(21640
21
2
200
KKKKTgTy
tatvhh F
-+=
++=
( ) ( )
( ) )2(32
0
321300
2
2
KKKKKK--=
---+=
Tgy
TgTy
)1(4
2210
20
20
KKKKKTgTvh
TgTvh
f
f
+=
÷øö
çèæ++=
( )
)2(2
21
20
200
KKKTgTvhh
TgTvhh
f
f
-+=
-++=
200
21 TaTvhh f ++=
24. Una persona en la orilla de una azotea arroja una piedra verticalmente hacia arriba con unavelocidad inicial de 64 pies/s, 3 segundos más tarde se deja caer otra piedra ¿A qué distanciadebajo de la orilla de la azotea se encuentran las piedras? (g = 32 pies/s2)
Con la piedra lanzada (entre “p” y “q”)
Con la piedra soltada (entre “p” y “q”)
De (1) y (2):
25. Un ascensor sube con una aceleración constante de g/2, en un determinado instante un pernose desprende del techo. Calcular el tiempo en el cual el perno choca con el piso, la altura delascensor es de h.
La velocidad inicial del perno es la misma Con el ascensor:que la velocidad inicial del ascensor (V0 = v)
Con el perno:
(1) = (2)
Utilizando la siguiente expresión:
y = 36 pies
ghT
32=
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un cuerpo es soltado desde una altura de 125 m ¿Qué tiempo demora en llegar al piso?(g = 100 m/s2)
A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
2. Una partícula es lanzada hacia arriba con una velocidad de 20 m/s ¿Qué tiempo demora enregresar al mismo punto? (g = 100 m/s2)
A) 4 s B) 3 s C) 2 s D) 1 s E) 10 s
3. Desde el fondo de un pozo se lanza verticalmente una piedra. Calcular el tiempo mínimo que debetranscurrir para que logre llegar al borde del pozo (g = 32 pies/s). Su velocidad inicial es de 240pies/s.
A) 15 s B) 7,5 s C) 9 s D) 5 s E) 8 s
4. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 80 m/s. Determinar la distancia recorrida enel 5to segundo de su movimiento.
A) 40 m B) 45 m C) 20 m D) 35 m E) 25 m
5. Una partícula es proyectada verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad de 20 m/s;en ese mismo instante, a 40 m de altura verticalmente sobre el punto de lanzamiento, se deja caerotra partícula ¿Ala cabo de qué tiempo chocarán ambos cuerpos?
A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
6. En la boca de un pozo se deja un cuerpo y una persona ubicada en el borde de ésta escucha elsonido del impacto luego de 51 segundos ¿Cuál es la profundidad del pozo?(Vsonido = 340 m/s; g = 100 m/s2)
A) 6790 m B) 6000 m C) 5780 m D) 5608 m E) 5760 m
7. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad de 4,9 m/s desde una altura de 80m sobre el piso; en ese mismo instante otro móvil parte del reposo y acelera con 2 m/s2, partiendo a25 m del punto donde caerá el primer cuerpo y dirigiéndose a él. Calcular la separación entre losmóviles cuando el primer llegue al piso.
A) 20 m B) 21 m C) 23 m D) 24 m E) N.A.
8. Una persona se encuentra en cierto planeta en cuyo entorno su aceleración gravitatoria vale 4 m/s2.Lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s ¿Qué distancia subedurante el último segundo de su ascenso?
A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m
9. Durante el último segundo de caída libre sin velocidad inicial, un cuerpo recorre las ¾ partes detodo su camino ¿Cuánto tiempo tarda en caer el cuerpo?
A) 3 s B) 4 s C) 2 s D) 1,5 s E) 5 s
snn510
1-- snn10
1-- sn5
12 +
sn 2-
2
121
÷÷ø
öççè
æ+
gLg
2
31
21
÷÷ø
öççè
æ+
gLg
2
21
21
÷÷ø
öççè
æ+
gLg
( )221
+Lg ( )21+ggL
423321 vvv
==232321 vvv
==
3232
1vvv ==
5332
1vvv ==
321
32vvv
==
10. ¿Durante qué tiempo un cuerpo que cae libremente sin velocidad inicial, pasa el enésimocentímetro de su trayectoria?
A) B) C)
D) E) N.A.
11. ¿De qué altura debe caer un cuerpo para recorrer una distancia “L” en el último segundo de sucaída?
A) B) C)
D) E)
12. Un globo sube con una velocidad constante de 32 pies/s. Si se suelta una piedra en el mismoinstante en que se arroja verticalmente hacia abajo otra piedra con una velocidad de 64 pies/s.Determinar la distancia que separa a las piedras después de 2 segundos.
A) 19,2 m B) 182 m C) 172 m D) 162 m E) N.A.
13. Desde un globo que se eleva verticalmente a razón de 20 m/s se suelta una piedra. Si llega al pisodespués de 10 segundos. ¿A qué altura estuvo el globo cuando se soltó la piedra?(considerar g = 100 m/s2)
A) 100 m B) 200 m C) 300 m D) 400 m E) 500 m
14. Para el siguiente experimento ¿Qué respuesta es correcta, si el viajero “A” suelta un paquete alpasar frente a “B”?
A) Para “A” el objetivo cae libremente con movimiento acelerado
B) Para “B” el objeto baja con movimiento acelerado
C) Para “A” el objeto sube con M.R.U. retardado y luego baja conM.R.U. acelerado
D) Para “B” el objeto cae libremente con M.R.U.
E) Para “A” el objeto primero se mueve retardadamente y luegoaceleradamente pero siempre hacia abajo
15. Si “A”, “B” y “C” son los puntos de altura máxima. Hallar la relación de velocidades v1,v2 y v3
A) B)
C) D)
E)
sm /310
23
21
3
21
23
43
16. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura, mientras que lanzada en laTierra con la misma velocidad alcanza 20 m ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedrasoltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída?
A) 41 m B) 52 m C) 35 m D) 39 m E) 45 m
17. De un cañón caen gotas con intervalos de 2 s. Hallar la distancia que separa la 1era gota de la 5ta
gota, si la 1era lleva cayendo 12 s.
A) 540 m B) 180 m C) 320 m D) 480 m E) 640 m
18. Desde las superficie terrestre, una partícula es lanzada vertidamente hacia arriba con una rapidezde ¿Cuál será su rapidez cuando haya alcanzado la cuarta parte de su altura máxima?
A) 10 m/s B) 15 m/s C) 20 m/s D) 25 m/s E) 30 m/s
19. De un cuerpo lanzado al vacío desde el cuelo, con una velocidad V0, hacia arriba y alcanza unaaltura “H” ¿Qué afirmaciones son verdaderas?
I. El tiempo que emplea en ir de “P” a “R” es el mismo que emplea de “R” a “Q”II. En los puntos “P” y “Q” el módulo de la aceleración de la gravedad es el
mismoIII. Los módulos de las velocidades del proyectil en los puntos “P” y ”Q” son
iguales
A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo IIIE) Todas
20. Desde una altura de 1000 m se deja caer una partícula y al mismo tiempo desde tierra es proyectadaotra partícula verticalmente hacia arriba. Si las partículas tienen la misma velocidad cuando seencuentran ¿Qué altura ha recorrido la partícula lanzada desde tierra?
A) 50 m B) 35 m C) 30 m D) 25 m E) 75 m
21. Se sueltan sin rozamiento las esferitas desde el punto “A”. Hallar la relación de tiempos con quellegan al final de los planos inclinados
A) 1 B)
C) 2 D) E)
22. En la misma figura se sueltan dos esferas de la misma altura y marchan sin rozamiento por losplanos inclinados. Determinar la relación de velocidades con que llegan al mismo nivel.
A) 1 B) C) 2
D) E)
23. Por una ventana una persona observa pasar un cuerpo verticalmente hacia arriba y luego lo vepasar hacia abajo. Si la altura de la ventana es de 4 pies y el tiempo total que observa el cuerpodicha persona es de ¼ de segundo; hallar que altura “x” asciende el cuerpo, por encima del marcode la ventana.
A) 1,5 m B) 4,03 m C) 1,55 m D) 2,25 m E) 1,05 m
24. Una pelotita se deja caer en la parte superior de un cilindro hueco, inclinado un ángulo “”, en elpreciso momento que éste se mueve horizontalmente con una aceleración de 24 pies/s2.Considerando g = 32 pies/s2, hallar el ángulo “” para que la bola no toque el cilindro hasta queimpacte en su base.
A) 37º B) 30º C) 53º D) 60º E) 26,5º
25. La masa de Martinete cae desde una altura de 2,5 m. Para levantarla a esta es necesario gastar untiempo tres veces mayor que para la caída ¿Cuántos golpes hace ésta en 1 minuto, si la aceleraciónde la caída libre de la masa de Martinete es de 9,8 m/s2?
A) 10 B) 9 C) 21 D) 30 E) 5