UNIDAD AJUSCO

“EL ESTUDIO DEL LENGUAJE DEL DOCENTE COMO ELEMENTO

PARA LA MEJOR COMPRENSIÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN

EDUCACIÓN BÁSICA”

ASESO

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

T E S I N A

PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

LICENCIADA EN PEDAGOGÍA

P R E S E N T A :

CARINA SÁNCHEZ REYES

RA: SILVIA ISABEL GONZALEZ GARCIA

México, D.F., 2004.

1

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 3

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

DELIMITACIÓN

5

6

OBJETIVO 7

METODOLOGÍA 7

JUSTIFICACIÓN 12

CAPÍTULO I.

APRENDIZAJE MATEMÁTICO Y SU DESARROLLO

14

I.I. La función simbólica del ser humano 15

I.II. El aprendizaje 18

I.III. El aprendizaje matemático 19

I.IV. El aprendizaje conceptual 23

I.V. Introducción al simbolismo 24

I.VI. Resolución de problemas aritméticos 28

I.VII. Códigos tripartitas 29

I. VIII. Situaciones problema 30

I.IX. Aprendizaje escolar 32

I.X Zona de desarrollo próximo

I.XI. Condiciones en la zona de desarrollo próximo

34

37

2

CAPITULO II

EL LENGUAJE MATEMÁTICO

II.I. Lenguaje natural y formal

41

43

II.II. Lenguajes formales 44

II.III. Diferencia entre lenguaje natural y formal 47

II.IV. Lenguaje del texto del enunciado del problema 50

II.V. Indicios verbales 55

II.VI. Lenguaje verbal en matemáticas 56

II.VII. Lenguaje verbal del niño 58

II.VIII. Lenguaje verbal del maestro 59

II.IX. Lenguaje escrito en matemáticas 62

II.IX.I. Diferentes tipos de simbolización 64

II.X. El lenguaje matemático en el aula 65

CAPITULO III

LA REPRESENTACIÓN Y LA COMUNICACIÓN EN EL APRENDIZAJE DE

LAS MATEMÁTICAS

69

III.I. El profesor como líder de grupo 70

III.ll. Principios 74

III.llI. Sugerencias para lograr un adecuado lenguaje matemático 77

CONCLUSIONES 88

SEMBLANZA( Lev Vigotsky)

BIBLIOGRAFÍA

94

98

3

INTRODUCCIÓN

El surgimiento del lenguaje hace posible la evolución intelectual y cultural del ser

humano, es a través de esté, como la humanidad hereda a las generaciones venideras

sus conocimientos y aportaciones, información útil no sólo para la supervivencia sino

para el desarrollo humano en todos su aspectos, de aquí su importancia.

Retomando lo anterior, el lenguaje matemático, tema de la siguiente tesina, es de gran

importancia para el desarrollo humano en general, sin embargo no entendamos el

lenguaje matemático como parte del lenguaje natural, entendámoslo como “…Un

lenguaje propio, generado y pulido a través de los siglos, las culturas y los progresos

técnicos: el llamado lenguaje simbólico matemático. (…)Un lenguaje vivo –se está

haciendo-, prácticamente hoy universal, fuertemente estructurado, inequívoco y

completo en sus propósitos.” 1

En las escuelas primarias los maestros consiguen, por lo general, enseñar las

operaciones elementales de sumar, restar, multiplicar, dividir; también los métodos para

manejar fracciones, decimales y porcentajes. Por desgracia no son tan eficaces a la

hora de enseñar cuándo hay que sumar o restar, cuándo hay que multiplicar o dividir,

en la mayoría de los alumnos no se da la capacidad de razonar inductivamente, no se

estudian los fenómenos matemáticos con vistas a captar las reglas y propiedades más

1 Manuel Alcala, La Construcción del Lenguaje Matemático, Grao, 2002, pág. 33.

4

relevantes. Ésta situación probablemente se debe a que las matemáticas no son vistas

como un lenguaje propio, con métodos, símbolos y significados diferentes,

independientes del lenguaje que comúnmente usamos. Aprender el lenguaje

matemático es aprender un lenguaje nuevo, en donde los símbolos y los signos tienen

significados específicos, exactos. El tratar de traducir los términos del lenguaje

matemático al lenguaje natural es un grave error que comúnmente cometen los

maestros. Lo adecuado sería introducir al niño a este nuevo lenguaje, de la misma

forma como se le introdujo al lenguaje natural, en forma práctica, jugando con ejemplos

de la vida cotidiana, estimulándolo a razonar y relacionar el significado con el signo y el

símbolo. Descubrir las matemáticas, por lo tanto, significa darse la oportunidad de ver al

mundo de una forma completamente nueva, sin prejuicios ni intereses.

Con la finalidad de introducir al lector en el tema, sobre lenguaje matemático, se

mencionarán los principales conceptos y teorías en las cuales se respalda el desarrollo

de la siguiente tesina y que se encuentran en el primer capítulo; en donde en forma

general se habla sobre el aprendizaje, el aprendizaje matemático, los tres niveles de

simbolización, el aprendizaje conceptual y escolar, la zona de desarrollo próximo y sus

condiciones.

En el segundo capítulo se adentra al lector en el tema principal del presente escrito: el

lenguaje matemático, tanto oral como escrito en el niño y el maestro.

En el tercer capítulo se desarrollará el análisis sobre la problemática a la que se

enfrenta el maestro en el salón de clases al tratar de enseñar matemáticas; el papel de

la comunicación y el lenguaje como apoyo de dicha tarea, así como principios y

5

sugerencias para lograr un lenguaje matemático “pertinente”. Por último en este mismo

capitulo se presentan las conclusiones a las que hemos llegado.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El objeto de la presente investigación es hacer énfasis en la importancia del lenguaje

matemático (escrito y oral) que utiliza el maestro de primaria en el aula, ya que gracias

a una buena comunicación dentro de la clase de matemáticas y una correcta

comprensión de los textos, el niño podrá lograr un aprendizaje significativo de la

materia.

No obstante existen situaciones que impiden el desarrollo adecuado del aprendizaje y

comunicación de este lenguaje matemático, entre otras el docente de primaria

comúnmente se enfrenta a las siguientes situaciones.

Además de matemáticas Imparte otras materias que requieren también de su

atención y tiempo como son: español, conocimiento del medio, artísticas, ciencias

sociales, naturales, etc.

Los alumnos se presentan al curso con predisposiciones para aprender la materia,

pues el entorno cultural la ha etiquetado como “difícil”.

En su mayoría los maestros de primaria estudiaron matemáticas en un contexto

cultural y social diferente al que actualmente se vive; aprendieron matemáticas con

métodos tradicionalistas, haciendo énfasis en la memorización de símbolos,

fórmulas, conceptos, procedimientos etc., dejando actividades que fomentarán el

razonamiento para niveles más avanzados.

En algunas ocasiones los cursos de actualización no le dan la importancia que tiene

el lenguaje matemático y por lo tanto no orientan adecuadamente al maestro sobre

6

cómo dirigirse al grupo, cómo tratar los textos, y los aciertos específicos de la

comunicación durante la clase de matemáticas.

DELIMITACIÓN

La cuestión que se eligió estudiar involucra al profesor, ya que éste tiene la

problemática de enseñar adecuadamente el lenguaje matemático, para que el

educando comprenda la utilidad que reporta este lenguaje en las actividades cotidianas.

El tema de interés de este documento es el lenguaje matemático (escrito y oral) que

utiliza el maestro de la escuela primaria pública urbana en el aula. Se analiza la

importancia que tiene éste lenguaje en la adecuada enseñanza-aprendizaje de las

matemáticas así como la construcción del lenguaje aritmético que sería posible hacer.

El trabajo se encuadra en un enfoque socio-cultural, considerando como documentos

orientadores los programa de estudio de educación básica de la Secretaría de

Educación Pública.

El objeto de estudio está sujeto al aspectos psicológico y pedagógico; tomando como

fundamento estas dos disciplinas debido a que existe una intima relación entre ellas en

la tarea educativa. La primera nos dice como es el niño y suministra al educador el

instrumento que ha de utilizar para influir en el desarrollo mental del niño, la psicología

nos proporciona los medios y el camino que conduce a los fines educativos.

La pedagogía por su parte nos prescribe normas o reglas prácticas, comprobadas por la

experiencia y que han de servir de indicador al profesor para lograr los propósitos que

se ha propuesto en la práctica docente.

7

OBJETIVO GENERAL

Destacar la importancia que tiene el lenguaje matemático en la enseñanza-aprendizaje

de las matemáticas, además de analizar aspectos y problemáticas en el lenguaje verbal

y escrito que utiliza el maestro de educación básica al impartir dicha materia, también

se pretende resaltar la necesidad de que el maestro use adecuadamente el lenguaje

matemático.

METODOLOGÍA

La presente investigación es una compilación documental en donde se analizan ideas

de diversos libros y documentos que abordan el tema del lenguaje matemático. Las

fuentes que se han utilizado son: libros, revistas y documentos oficiales. El instrumento

a través del cual se ha obtenido la información ha sido la lectura y el análisis de

contenido. Los procedimientos de recopilación de información son los siguientes:

Recopilación de material bibliográfico, informes y estudios relacionados con el

tema. Con la finalidad de llevar un control del acervo seleccionado se utilizan

fichas bibliográficas, que se archivan en un fichero, ordenadas alfabéticamente

por autor y subtemas. Las fichas se elaboran de la siguiente manera:

BF455W4.98

Universidad Pedagógica Nacional

García Gonzáles Enrique

Vigotsky, La Construcción Histórica de la Psique, 2ª.

ed. Trillas. México, 2000. p. 150.

8

Se realiza un análisis crítico de la bibliografía, informes y estudios recopilados

para evaluar la fiabilidad y calidad de la información, seleccionando a los autores

reconocidos en el campo pedagógico, además de los ya sugeridos por el asesor.

Para organizar y hacer más sencillo el control de la información relevante se

acude al uso de fichas de trabajo. Estas se archivan en ficheros independientes,

según el tipo de ficha, (de resumen, cita textual, de análisis). Al igual que las

fichas bibliográficas éstas se ordenan por autor y subtema.

En las fichas de resumen se sintetiza la información de interés de la siguiente forma:

Construcción Histórica de la Psique Aprendizaje

De la visión constructivista de Vigotsky es la idea de que existe una íntima relación

entre los procesos de desarrollo, concibe estos procesos estudiándolos desde su

origen. Para hacerlo divide diversos campos de estudio: Filogenético, sociogenético,

ontogenético, microgenético.

García González, Enrique, Vigotsky. La Construcción… p. 114.

En caso de que se requiera la ampliación del tema permite volver rápidamente a la

bibliografía.

En las fichas de cita textual, entre comillas se transcribe literalmente el párrafo del

autor. Estas servirán de fundamento para realizar algunos juicios u opiniones

personales o para hacer evidente la idea central del autor.

En las fichas de análisis, se emiten, juicios y opiniones personales que nos ayudaran a

construir nuestras conclusiones sobre el tema.

9

Las matemáticas una realidad nueva para el niño

El docente está obligado a enseñar las matemáticas como un nuevo lenguaje en

donde los signos y los significados del lenguaje cotidiano cambian y se transforman

en un lenguaje cada vez más formal. En donde intervienen nuevos razonamientos y

conceptos ligados a la realidad que para el niño es nueva.

Dugas Guillarme, Masaerts. Trastornos del aprendizaje… p. 15.

Después de analizada la información se elabora el esquema del discurso teniendo ya

una idea clara sobre las ideas y los argumentos que se desarrollarán; los temas,

subtemas y su organización.

Principales autores y sus aportaciones teóricas

En el siguiente cuadro se mencionará en forma muy breve las principales ideas que

manejan algunos de los autores que se consultaron y sus aportaciones en la presente

investigación:

Principales autores y sus aportaciones teóricas Idea(s) principal(es) que maneja el autor Principales aportaciones a la tesina Dienes

El cree que los niños pequeños, en particular, aunque también los mayores; aprenden las matemáticas con mayor facilidad construyendo los conceptos a partir de sus propias experiencias más bien que a partir de manipulaciones simbólicas.

En la tesina se retoma esta idea y se expone como el niño entra en contacto por primera vez con las matemáticas y su lenguaje por medio de vivencias con objetos e interacciones con adultos. Además de resaltar la importancia de que el maestro al enseñar matemáticas las relacione con las experiencias del niño; asignando siempre a los símbolos el significado y nombre correcto, con la finalidad de introducirlo adecuadamente al lenguaje matemático.

10

Vigotsky

La diferencia entre el nivel de las tareas realizables con ayuda de los adultos y el nivel de las tareas que pueden desarrollarse con una actividad independiente define el área de desarrollo potencial del niño (zona de desarrollo próximo). Para Vigotsky el aprendizaje consiste en la interiorización de procesos sociales interactivos. Por eso las tareas de cooperación son importantes, no sólo la discusión y la confrontación, sino también la imitación, la guía y la demostración permiten generar, estimular o actuar los procesos interiores de desarrollo.

A partir de esta idea central se desarrolla la mayoría de nuestra investigación pues destacamos en ella la importancia que tiene la figura del docente, como guía y ejemplo a seguir; de lo indispensable que resulta que el maestro fomente la comunicación y participación de los alumnos en el salón de clase; además de su asesoría y apoyo bien capacitado para introducir y avanzar en el lenguaje matemático al niño. Sin embargo se concientiza en cuanto a que no es tarea exclusiva del docente, también intervienen factores sociales y culturales que modifican las conductas de los alumnos, incluso se habla de que los primeros aprendizajes numéricos los adquiere el niño en el seno familiar.

David Pimm

El profesor actúa en gran medida, como intermediario y mediador entre el alumno y las matemáticas en parte mediante la determinación de las pautas de comunicación en clase, pero también a modo de “hablante nativo” de matemáticas. En consecuencia, algo que aprenden los alumnos del profesor es el conjunto de formas aceptables de comunicar y exponer las matemáticas.

En esta idea nos apoyamos al afirmar que el lenguaje matemático parte del lenguaje natural y se desarrolla en forma tal hasta volverse un lenguaje con características muy particulares, con una sintaxis y semántica propia. El maestro que domina el lenguaje matemático podrá con facilidad introducir al alumno en su aprendizaje presentándole las situaciones matemáticas apropiadas

Herman Maier Los principios del lenguaje matemático no pueden y no sabrían reemplazar simplemente a aquellos del lenguaje cotidiano utilizado por maestro y alumnos, pero puede modificar y cambiar este lenguaje a través de las situaciones matemáticas apropiadas.

Retomamos de este autor la idea de que el lenguaje matemático no debe ser confundido con el lenguaje natural o común. Aún teniendo símbolos en común, por ejemplo las letras, los significados son completamente diferentes en dichos lenguajes.

Brousseau Este autor cree que las situaciones didácticas se diseñan y controlan de modo que el conocimiento no sea enseñado directa o indirectamente por el maestro sino que aparezca progresivamente en el niño a partir de confrontaciones con cierto tipo de obstáculos hallados en el curso de la actividad. Entiende por situaciones didácticas el conjunto de relaciones que se expresan en el salón de clases entre el docente, los alumnos y el conocimiento.

A partir de las aportaciones de este autor podemos resaltar la importancia del papel del docente en el aprendizaje del lenguaje matemático, pues es el maestro quien debe preparar de antemano la clase, de tal forma que propicie la comunicación y participación de los alumnos en el salón, dándoles la oportunidad de reconocer por sí mismos los símbolos matemáticos y su significado.

Desarrollo del trabajo

La construcción y la disposición de los temas de la presente investigación se ordenaron

de tal forma que el lector sea introducido al tema principal; proporcionándole de

antemano algunos conceptos y conocimientos que lo apoyarán en la comprensión de

11

dicho tema, siempre pensando en el docente que al fin y al cabo es el encargado de

enseñar matemáticas.

En el primer capítulo fue importante apoyarse en la psicología educativa y escribir sobre

el aprendizaje, con la finalidad de que el lector tenga una idea de cómo el niño se va

apropiando del lenguaje matemático, además del papel tan importante que ocupa el

maestro en la adquisición de este lenguaje, zona de desarrollo próximo (ZDP); de la

intervención del entorno cultural y social. en el aprendizaje de este lenguaje, además de

mencionar y hacer énfasis en la diferencia que existe entre lenguaje natural y lenguaje

formal con el objeto de que el lector reconozca desde un principio al lenguaje

matemático como un lenguaje formal. Estos conocimientos servirán de apoyo al lector

para comprender el desarrollo del segundo capítulo, en donde se entra de lleno al tema

principal, el lenguaje matemático que usa el profesor en el aula. En donde a partir de un

enfoque pedagógico se intenta responder a cuestionamientos como: ¿Qué es el

lenguaje matemático?, principales problemas a los que se enfrenta, el lenguaje del texto

del enunciado del problema, los indicios verbales, etc., con la finalidad de que el

maestro reconozca lo importante que es dirigirse al alumno en clase de matemáticas

correctamente además de que reconozca en el lenguaje matemático un lenguaje

diferente al natural.

En el capítulo tres se consideró relevante el dar algunas sugerencias a los docentes

sobre el lenguaje matemático que pudieran usar en el aula, esperando les sean útiles

en el proceso de enseñanza-aprendizaje de dicho lenguaje,

Por último se presentan las conclusiones a las que llegamos al desarrollar la presente

investigación.

12

JUSTIFICACIÓN

Considerando que el lenguaje es el medio a través del cual se transmiten y generan los

pensamientos, creemos que es de vital importancia para el aprendizaje adecuado de

las matemáticas abordar el tema sobre el lenguaje que utiliza el maestro de primaria en

el aula.

Quizá los altos índices de reprobación, de bajo aprovechamiento, de desinterés en la

materia de matemáticas; se deban en gran medida a un problema de lenguaje, ya que

el alumno al no entrar en un verdadero proceso comunicativo se limita a seguir fórmulas

y realizar operaciones, que para él no significan nada; pues no conoce la relación entre

estas ejecuciones, ni su utilidad en la práctica.

Ésta actitud negativa por parte del estudiante de primaria hacia la materia de

matemáticas es fortalecida, tal vez sin querer, en la escuela. Ya que es en la escuela

donde se presentan las matemáticas como un sistema codificado y acabado, una

disciplina que se debe cursar en forma planeada y escalonada, donde el alumno no

tiene opción de hacer nuevas aportaciones o de avanzar en los conocimientos

matemáticos más allá de lo que marca el programa. Es la tradición.

La matemática aparece así como un método que se va enseñando, transmitiendo, un

cúmulo de contenidos y procedimientos soportados por un lenguaje especifico cada vez

más abstracto y alejado de la experiencia física. Y así, el sistema simbólico-matemático

que en principio no es sino el medio, la herramienta para transmitir ideas y/o resolver

problemas, llega a convertirse en el objeto mismo del conocimiento.

13

Por lo anterior, es necesario despertar el interés del maestro de educación primaria

para mejorar la didáctica de esta materia que podría verse reflejada en la necesidad del

maestro de aprender más matemáticas, resignificarlas, reestructurarlas, lograr una

concepción precisa sobre el aspecto formativo de esta ciencia y el análisis de nuevos

materiales y propuestas de trabajo, dando mayor importancia a la forma comunicativa.

14

15

I. APRENDIZAJE MATEMÁTICO Y SU DESARROLLO

I.I. La función simbólica del ser humano

El lenguaje matemático a través de miles de años se ha ido desarrollando, se ha

enriquecido y se ha unificado hasta volverse ahora un lenguaje universal, sin embargo

sólo una parte pequeña de la población de la tierra ha adquirido la capacidad de

interpretarlo y explotarlo, el resto lo considera un lenguaje difícil del cual sólo conoce lo

básico.

A partir de que el hombre apareció sobre la tierra ha dejando su huella: en un principio

éstas fueron huellas corporales que nos indicaron cómo era, complexión y estatura; su

recorrido, de donde provenían y hacia donde se dirigían en su caminar. A través de un

proceso de evolución físico y cultural el hombre empieza a sentir la necesidad de

comunicarse, haciéndolo primero con señas y sonidos, posteriormente, se auxilia del

lenguaje gráfico para después llegar al lenguaje simbólico con todas sus normas, reglas

y arbitrariedades. Cuando el hombre logra crear un lenguaje, las cosas se le facilitan y

conforme avanzan sus conocimientos de la naturaleza, este lenguaje se va

enriqueciendo, de este modo fue como el hombre empezó a hacer uso del lenguaje

matemático: al contar las cosas que poseía; la porción de tierra que deseaba cercar; al

calendarizar los ciclos de la tierra, en días, meses, años, estaciones; al medir el tiempo;

al realizar sus herramientas e instrumentos; al contar su ganado; al calcular o querer

más o menos de algo.

16

En efecto, actuamos y pensamos siempre apoyándonos en cosas ”significantes” que

nos remiten o nos evocan a otras, esta dualidad es una característica humana,

operamos con representaciones de objetos que nos remiten a los objetos mismos, nos

comunicamos gracias a sonidos ordenados que evocan en nosotros representaciones

mentales y causan emociones, sentimientos; nos intercambiamos mensajes mediante

huellas, iconos, letras, números, etc. que provocan ideas en el receptor del mensaje,

utilizamos unos garabatos específicos cuando nuestro pensamiento va referido a orden

y/o cantidad (cifras). Estas huellas gráficas de todo tipo, sonidos ordenados palabras o

no, íconos etc., son visibles o audibles, es decir se muestran a nuestros sentidos. Son

creaciones humanas en un contexto cultural que vamos haciendo nuestro a medida que

crecemos. Son signos pero carecerían de poder instrumental sino fuera porque son los

soportes de construcciones mentales, de significados personales altamente

estructurados. Los signos se convierten en significantes portadores de significados que

hacen posible el pensamiento conceptual y la comunicación.

“Cuando hacemos matemáticas trabajamos con mediadores simbólicos escritos

números y otros signos, utilizamos una jerga especial (palabras, expresiones típicas y

una forma de hacer) primero conjeturamos, a continuación buscamos estrategias de

resolución que llevamos a cabo utilizando un simbolismo especifico después

verificamos, etc., esa diversidad de signos y códigos operacionales que utilizamos al

razonar para resolver una situación en donde se forma una compleja red de significados

conforman un lenguaje y son las herramientas que creadas por generaciones pasadas

a lo largo de la historia y recreadas por nosotros en nuestro proceso de aprendizaje

utilizamos para razonar, idear, etc., para en definitiva, resolver el interrogante

17

planteado.” 2

El niño desde sus primeros balbuceos lingüísticos tiene nociones del lenguaje

matemático al pedir más leche, menos fría o caliente y estos conocimientos nos

demuestran que cuando el niño va por primera vez a la escuela no se encuentra

desprovisto de conocimientos matemáticos del todo, sino que ya posee ciertas ideas

que nosotros debemos aprovechar para desarrollar otras que ayudarán a comunicar

por medio del lenguaje matemático los conocimientos de los cuales se va apropiando.

El manejo del lenguaje matemático desde el inicio de la educación primaria evitará que

en los grados futuros el niño haga uso de palabras que pertenecen al lenguaje natural y

no al matemático como: “paso este para acá y lo pongo después allá”. En este caso el

niño tal vez posee el conocimiento requerido para resolver las operación correctamente

pero ahora lo importante es que pueda hacerse entender por los demás, y eso lo va a

lograr con un uso adecuado de este lenguaje.

2 Ca198

Prehistoria

Proceso de evolucion Fisico y cultural del

hombre Necesidad de comunicación

Lenguaje Grafico y

oral

Señas Sonidos

Lenguaje Matematico

abstracto

signo

Significantes(caracteristicas

Humanas)

significadoemociones

sentimientos

ideas

*Razonamiento *Pensamiento conceptual *comunicación

Mensaje

Transmisor Emisor Huellas, íconos, Letras, números etc.

Sonidos ordenados,

huellas gráficasque evocan en

nosotros; representaciones

mentales.

Prehistoria

Proceso de evolución Físico y cultural

hombre Necesidad de comunicación

Lenguaje

oral

Señas Sonidos

Lenguaje

abstracto

signo

Significantes(características

Humanas)

significado

Figura 1: La función simbólica del Ser Humano.

rlos Maza, Aritmética y representación de la comprensión del texto al uso de materiales, Paidos, 5, pág. 56.

18

I.II. El aprendizaje

Una de las principales aportaciones del enfoque sociocultural plantea que toda

operación mental fue inicialmente una actividad interpersonal, ( ley genética general del

desarrollo cultural). Para Vigotsky, el pionero del enfoque sociocultural, el aprendizaje

está íntimamente relacionado e influido con el desarrollo social y cultural en el que ha

crecido el individuo, generalmente el niño es guiado por otra persona en el proceso de

reconstrucción del conocimiento; “el aprendizaje incluye la entrada a la cultura vía la

inducción de un miembro de la misma capacidad.

En el proceso de reconstrucción del conocimiento intervienen las funciones psicológicas

superiores del individuo, éstas aparecen en dos planos:

1.- Interpsicológico (aprendiz – adulto, aprendiz-aprendiz)

2.-Intrapsicológico (individual)

Cuando los alumnos razonan sobre el conocimiento pueden expresar opiniones

distintas a las que demanda la dinámica de la interacción. Estas opiniones alternativas,

que generalmente buscan resolver un conflicto y que convocan a que los alumnos

expresen sus propias concepciones, enriquecen y contribuyen a la construcción

colectiva del conocimiento escolar.”3

El aprendizaje se dará en el ámbito interacción aprendiz-adulto y entre el grupo es

decir de una forma colectiva y de ésta pasará a la forma individual. El aprendizaje por

tanto consiste en una experiencia externa que es transformada en una experiencia

interna por mediación del lenguaje; el lenguaje es el medio que lleva la experiencia a la

3 Educar. Revista de educación, Vigotsky y la educación, pág. 24.

19

mente. Enseñar una nueva habilidad consiste en decirle al niño lo que debe hacer, el

niño se apropia de esa regla y la utiliza independientemente para regular su conducta.

De este modo, todo el aprendizaje, recorre el camino desde el exterior hacia el interior.

En cuanto al conocimiento matemático el maestro es el encargado de guiar la atención

y la conducta del niño hacia la identificación de las relaciones cualitativas. El niño

reconstruye el conocimiento matemático ya sea abstrayéndolo de sus acciones sobre

los objetos, al realizar distintas operaciones mentales, o reconstruyendo el

conocimiento generado por la cultura a través de representaciones mentales que él

elabora; en la escuela el niño comienza a tratar de representar cosas concretas con

símbolos, todo ésto con ayuda del maestro, quien empieza a enseñar al niño

conocimientos que ayudan a su desarrollo, sin embargo en ocasiones las matemáticas

son vistas por el niño tan sólo como una serie de algoritmos que deben realizarse para

cumplir con la tarea ¿Por qué?

En parte ésta situación se da por la influencia social y cultural que se ejerce sobre el

niño en relación a que las matemáticas son una materia “difícil”, no obstante para que

exista un adecuado aprendizaje de las matemáticas, el docente debe evaluar el

dominio que tiene el niño sobre el lenguaje natural, para partir de éste conocimiento e

introducir al alumno al lenguaje de las matemáticas.

I.III. El aprendizaje matemático

Las creencias que tengamos acerca de cómo se aprenden las matemáticas son de

especial importancia, pues tales creencias determinaran nuestra práctica.

20

Bruner señalaba que:

“En una palabra, la enseñanza está inevitablemente basada en nociones sobre la

naturaleza de la mente del aprendiz. Las creencias y supuestos sobre la enseñanza, ya

sea en la escuela o en cualquier otro contexto, son una reflexión directa de las

creencias y supuestos que la maestra tiene sobre el aprendiz”.4

Pero, además, las creencias acerca del aprendizaje matemático van entrelazadas con

la idea que tengamos de la matemática que hay que enseñar, formando una unión que

se va jalando al mismo tiempo lo que determina gran parte de nuestro trabajo en clase.

Sabemos que es por medio del lenguaje –de los diversos lenguajes- como el ser

humano expresa y modela sus creaciones, ya sea conceptuales, ya sea materiales:

somos seres simbólicos. Los lenguajes son sistemas de signos u organizaciones de

significados. El signo lleva un significado que se amplifica a partir de nuestras

potencialidades.

En su aprendizaje lo importante es la apropiación del significado que va de la mano del

código simbólico. En este sentido cabe interpretar el aprendizaje matemático como un

largo proceso de construcción de significados por parte del aprendiz, ya que el saber

matemático forma parte de la cultura tanto familiar como ambiental y académica en la

que el niño se ve inmerso. Forma parte hallándose materializado y exteriorizado

mediante un sistema simbólico. El sistema simbólico se compone de letras y de otros

signos y de palabras (ocho, nueve, mil, triángulo etc.), que son signos también. Cada

signo, por ejemplo 6, cociente, +, 2, actúa como significante, es decir remite a un

significado acordado con anterioridad al aprendizaje del mismo por el niño. O sea cada

4 J. Bruner, Acción, pensamiento y lenguaje, Alianza, 1986, pág. 64.

21

símbolo soporta un constructo mental genérico: el concepto matemático concepto

delimitado por la comunidad científica y la historia. El proceso de aprendizaje personal

no consiste en otra cosa que en la apropiación por el aprendiz de esos constructos

genéricos: conceptos, relaciones, propiedades previamente establecidas. Apropiación

que el sujeto hace utilizando sus recursos personales disponibles, e integrando el

nuevo conocimiento al que ya poseía; ya sea conocimiento adquirido del exterior –por

medio de la recepción de información, por ejemplo o la lectura de un texto- ya sea

conocimiento obtenido por descubrimiento personal: el hallazgo de una propiedad, de

una regularidad nueva para el aprendiz, etc. Cuando aprendemos, cada uno de

nosotros se va formando una representación subjetiva personal y exclusiva, de aquello

que va aprendiendo. Se resalta con ello el aprendizaje comprensivo, el aprendizaje con

significado, el aprendizaje centrado en el dominio de los códigos comunicacionales.

Por otra parte, los significados y sus soportes -los símbolos- a medida que van siendo

aprendidos van entrando a formar parte del conocimiento personal, de la estructura

mental misma, del acopio de recursos que cada persona tiene para operar, para actuar

en una situación intelectual o físicamente. “Los símbolos y por extensión, las

agrupaciones estructuradas de símbolos, como es el caso de la expresión de

operaciones aritméticas, se constituyen en instrumentos disponibles para el

pensamiento, devienen en herramientas que utiliza cada persona en su esfuerzo

intelectual. Por ello podemos considerar el aprendizaje matemático como un proceso

complejo de abastecimiento de recursos para actuar intelectualmente. Proceso siempre

22

inacabado cuyos dos rasgos esenciales , dadas las características epistemológicas de

la matemática son, operatorio y semiótico.” 5

Operatorio por cuanto el conocimiento matemático consiste más en recursos para la

acción (mental), es más un saber hacer que una simple reunión estática de

representaciones subjetivas memorizadas.

Semiótico porque se apoya en el manejo de símbolos, y, desde el punto de vista

escrito, en la utilización razonada de notaciones. Hacer matemáticas es operar con los

símbolos necesarios y dar la forma adecuada a la situación. Por ello el aprendizaje

matemático ha de ser aprendizaje comprensivo. Se dice que el avance en el

conocimiento, la progresión en el aprendizaje matemático de cada estudiante, se

produce gracias a la apropiación y al uso de símbolos y estructuras simbólicas,

símbolos y estructuras que son cada vez más abstractos y jerarquizados. El relativo

dominio de los códigos propios de cada nivel es condición para avanzar en el

aprendizaje. Por la misma razón, el mayor o menor dominio del código a un

determinado nivel sirve de acelerador o de freno en el avance, en la conquista del

conocimiento matemático escolar tengamos en cuenta que no hay dominio del código si

no se tiene un conocimiento semántico, sintáctico y funcional del mismo, es decir si no

se ha convertido en recurso intelectual.

Aprender las matemáticas es aprender a operar, a transformar cantidades, hechos y

relaciones; a descomponer y recomponer y a verificar lo realizado, ya sea manipulando

objetos o colecciones de ellos, o ya sea manipulando símbolos.

5 Alcalá Manuel, La construcción del lenguaje matemático, pág. 37.

23

Aprender matemáticas es aprender a hacer, a resolver, a crear haciendo uso de la

simbología propia y de unos razonamientos específicos.

I.IV. El Aprendizaje conceptual

Al introducir al niño al lenguaje matemático es necesario trabajar en la enseñanza clara

de los conceptos haciendo énfasis en que muchos de estos cambiaran dependiendo

del grado escolar y su evolución cognitiva.

Los conceptos que tienen mayor importancia para el alumno en la matemática escolar

se dice que son dinámicos e idiosincrásicos:

Dinámicos en cuanto a que son siempre inacabados. Tomemos la idea de número o,

por ejemplo, el concepto de fracción y veremos que la conceptualización de la fracción

va evolucionando, se va haciendo más compleja, va ajustándose: desde la fracción

como representación simbólica de parte de una cantidad (niños de 8-9 años) hasta la

idea de racional, pasando sucesivamente por otras diferentes significaciones. Es decir

no son conceptos ya de entrada estáticos, acabados, inmutables, sino que van siendo

configurados progresivamente por quien aprende. Por otra parte esas grandes nociones

escolares como la idea de número, de fracción, de ángulo, etc.

Son polifacéticas, o sea van adquiriendo diferentes significaciones a medida que el

conocimiento del aprendiz se va ampliando.

Además de dinámicos, los conceptos matemáticos son idiosincrásicos, pues en el

proceso de aprendizaje (de apropiación de subjetivación del saber) se personaliza el

24

concepto, conformándose una representación subjetiva que sólo es comunicable

parcialmente y mediante los códigos establecidos comúnmente.

Herramientas(Material didacticoLibros,

esquemas,modelos)

Mayor gradode dificultad

Aprendizaje Matemático y su desarrolloEl aprendizaje (enfoque socio-cultural)

Ley genética general del desarrollo cultural

Miembrosdel grupo

Contruccion colectiva de un nuevo conocimiento

escolar

Lenguaje Miembro(s)con mayor capacidadmaestro(s)

Lenguaje

Individuoactividad

intrapersonal

Conceptoscientificos

Interpers

onal

(Lenguaje)

Interpersonal

(Lenguaje)

actividadactividad

SiguienteestadioConstruccion de Significados

(aprendizaje)Aprendizaje

Conceptual(subjetivacion)

Operación mental

Herramientas(Material didacticoLibros,

esquemas,modelos)

Mayor gradode dificultad

Aprendizaje Matemático y su desarrolloEl aprendizaje (enfoque socio-cultural)

Ley genética general del desarrollo cultural

Miembrosdel grupo

Contruccion colectiva de un nuevo conocimiento

escolar

Lenguaje Miembro(s)con mayor capacidadmaestro(s)

Lenguaje

Individuoactividad

intrapersonal

Conceptoscientificos

Interpers

onal

(Lenguaje)

Interpersonal

(Lenguaje)

actividadactividad

SiguienteestadioConstruccion de Significados

(aprendizaje)Aprendizaje

Conceptual(subjetivacion)

Operación mental

Figura 2: El aprendizaje matemático y su enfoque socio-cultural.

I.V. Introducción al simbolismo

Aprender matemáticas significa operar con los símbolos necesarios y modelar la

situación. Para que ésto ocurra el aprendizaje matemático ha de ser aprendizaje

comprensivo. Se dice que el avance en el conocimiento, la progresión en el aprendizaje

matemático de cada estudiante, se produce gracias a la apropiación y al uso de

símbolos y estructuras simbólicas, símbolos y estructuras que son cada vez más

abstractos y jerarquizados.

25

En el siguiente cuadro se habla sobre las tres etapas o niveles de simbolización por la

que atraviesa el individuo y que le permiten acceder a la operaciones matemáticas

básicas.

Tres niveles de simbolización Primer nivel: Introducción al simbolismo

A partir de los dos y seis años tiene lugar el desarrollo de la función simbólica: el “periodo simbólico”.

Se va conformando la noción de número.

Se comienza a trabajar con símbolos de segundo orden.

Los tanteos de los niños en la captación de la numerosidad y en la asimilación de los aprendizajes parciales que conforman la idea de número los van adquiriendo de la mano de la lengua oral. La experiencia propia y los intercambios comunicativos a través del lenguaje natural van favoreciendo el aprendizaje de la serie de los numerales y las primeras aproximaciones a la cardinalidad.

La forma de enseñar es de modo lúdico. Adulto-niño.

Cuando el niño ya sabe expresar con una cifra una cantidad decimos que ya se está introduciendo en el simbolismo notacional. Son los primeros peldaños del lenguaje matemático.

Primeras nociones de número.

Hechos u “operaciones”: la unión de dos cantidades, o la transformación de una cantidad dada por la unión de otra o la sustracción de parte de ella. Si queremos saber si nuestro aprendiz va apropiándose de recursos y evolucionando hacia el cálculo pongámoslo en situación apropiada, por ejemplo, dándole dos recipientes en uno de, los cuales hay seis lápices y en el otro dos. Preguntémosle cuántos lápices habrá juntando los dos grupos. Probablemente reúna todos los lápices primero y luego cuente “uno, dos, tres…”., o bien no los reúna, pero si cuente visualmente. En ambos casos utilizará el conteo como estrategia y los dedos para indicar o tocar los objetos. Bien, con cualquiera de las estrategias opera valiéndose de símbolos de primer orden (palabras), pero no podemos afirmar que su operatoria es ya simbólica, por cuanto necesita tocar, puntear o marcar los objetos. Pasados unos meses se dará un cambio importante. Veámoslo teniendo el mismo caso: un niño y dos colecciones de seis y dos lápices cada una: Le pedimos que calcule cuántos lápices habrá si reunimos los lápices de las dos bandejas, pero le preguntamos si no lo puede decir “sin tocar ni mirar los lápices”. Le pedimos que no mire que nosotros le diremos con palabras los objetos que hay. “En un lado hay cinco y en el otro hay tres; si los reúno ¿Cuantos tendré? Si en lugar de apoyarse en los objetos (mirar, tocar), se apoya en significados (representaciones subjetivas suscitadas por las palabras “seis” y “dos”) y resuelve bien podemos afirmar que ha dado un salto cualitativo en su forma de operar; pues ahora acude a sus constructos personales, a sus ideas numéricas ayudado de las palabras, y no a la observación o a la acción física. En la escuela el trabajo sobre cálculo verbal se va haciendo de modo interrelacionado con el cálculo basado en notaciones y, también con la construcción de los códigos notacionales aditivos a partir de los 5-6 años: 4+2; 8-1;etc., es un proceso lento en el que viene a ser central el fenómeno de la simbolización activada por prácticas como el uso de representación gráfica de acciones o hechos, el uso de material simbólico, la traducción de expresiones aritméticas a expresión verbal, etc.

26

Tras un tiempo realizando actividades como las citadas podemos plantear al niño una situación como la verbal anterior, pero expresado en código aditivo. Presentamos bien visible la expresión 6+2 y le pedimos que la resuelva realmente. El niño si es que ya interpreta esa escritura, tomará seis lápices y luego tomará dos, los reunirá y contará, o bien irá cogiendo lápices y contando simultáneamente. En ambos casos la escritura le remite directamente a la acción física o la interiorización de algún cálculo: para resolver el interrogante se apoya en los objetos. Las cifras, ahora, sólo parecen ser sustitutos de los numerales y el signo, el indicador de la acción física a realizar. Si tras un tiempo le presentamos al niño la misma situación (cartulina con una expresión como 3+4), y le pedimos que la resuelva, pero sin manipular ni mirar, y resuelve bien, podremos inferir que 3+4 tiene como referente lejano, pero ya innecesario, una acción, pues resuelve el problema haciendo uso de sus propios significados mentales. El niño ha ido pasando de las acciones con objetos y del establecimiento de relaciones entre objetos o grupos concretos a interiorizaciones de las mismas: a las representaciones construidas subjetivamente. Por tanto de aquí en adelante va a operar con construcciones personales que se apoyan en las notaciones y que tienen como referente lejano la realidad física. Cuando los niños van adquiriendo esa capacidad de trabajar (actuar, razonar) con símbolos de segundo orden organizados en expresiones operacionales podemos considerar que están en el umbral del nivel siguiente. El de las operaciones aditivas. Segundo nivel: Operaciones aditivas Poco a poco se ha ido pasando del lenguaje oral a unos nuevos significantes –las notaciones- que nos inducen directamente a la notación. Cuando llegamos a este nivel expresiones como 8+40=…; 8+…=12; 15-…= 10 pueden ser consideradas textos tripartitas condensados, codificaciones en las que cada signo tiene por separado un significado, pero que, una vez organizados, su significación depende de la estructura global: sintaxis. La notación sintetiza, abrevia, la expresión oral y, a la vez, da potencia a las posibilidades de razonamiento al convertir las palabras, las expresiones, las remotas acciones en marcas, en notaciones manipulables. De ese modo el simbolismo matemático va constituyéndose en un poderoso apoyo tecnológico para el pensamiento. A medida que avanzamos en la construcción numérica (números con decenas, luego centenas…), avanzamos también en la complejidad de los problemas que hay que resolver y en las correspondientes expresiones. Poco a poco la expresión notacional va dejando de ser reflejo fiel de una acción para ir convirtiéndose, en una herramienta para operar. Tercer nivel: multiplicación y división Sobre La base de operaciones como la de adición y sustracción se construyen otras de mayor abstracción que son nuevas para los niños. Las operaciones multiplicativas. Estas integran en sí a las aditivas y tienen respecto de ellas la particularidad de que se apoyan en números de distinto nivel y significación, como veremos. La multiplicación y la división pueden ser innecesarias para el cálculo habitual fuera de la escuela pues con la suma aritmética (la multiplicación puede aplicarse como una suma reiterada) y con la resta (la división puede interpretarse como una serie de restas sucesivas) es suficiente. Pero si implicamos al alumnado en la construcción del código de las operaciones, pues van a ser el dominio del mismo y las propiedades inherentes al propio código notacional lo que nos ayudará a seguir avanzando. En este sentido es interesante hacer surgir la multiplicación de situaciones de correspondencia entre grupos y elementos y/o de situaciones de combinación. Son situaciones resolubles de diversas formas, pero al aritmetizarlas echamos mano de nuestros conocimientos anteriores que son aditivos. Por ejemplo, supongamos una situación fácilmente concretizable en la escuela: una bolsa de caramelos queremos saber cuántos hay en la bolsa. Una forma sencilla de hacerlo será contándolos: uno, dos, tres… Pero para evitar errores será conveniente otra técnica: la de hacer grupos iguales, de diez, por ejemplo. Si al terminar de contar tenemos 4 montones podremos decir que tenemos 10+10+10+10 caramelos, o sea 40. Pero también se podría hacer otra cosa: por cada diez caramelos contados ponemos en una bandeja un objeto, un lápiz, por ejemplo, si al final del conteo queremos saber el total bastará con contar los lápices. Tendremos 10+10+10+10 lo que podemos expresar también como 4x10. Un cúmulo adecuado de experiencias similares irá conduciendo a los niños a ver la utilidad del código multiplicativo.

27

La división puede proceder de situaciones de equidistribución o agrupamiento. En principio, ni es inversa de la multiplicación ni tiene mucho que ver con ella. Tomemos un ejemplo. Sea la situación de distribuir 15 canicas en tres cajas colocando en cada caja igual cantidad, ¿cuántas canicas corresponderán a cada caja?. Inicialmente es imposible que los niños sean capaces de dar con la respuesta adecuada apoyándose exclusivamente en su conocimiento numérico, pues lo que tienden a realizar la equidistribución manual o gráficamente. Reparten de uno en uno. Será la ejercitación en situaciones de equidistribución con cantidades pequeñas lo que les llevará a tomar conciencia de lo que hacen e intentan prever el resultado. Es entonces cuando el paso a la notación aritmética cobrá sentido, pues comenzarán a apoyarse en ella para anticipar las soluciones. En el ejemplo anterior sería 15:3=5. Nótese que también en este código hay números de dos niveles, pues el tres se refiere a las cajas, es decir a los conjuntos, ya que en cada caja ha de haber un conjunto. Criterios tomados de las Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas, Salamanca 1997,

Como ya se había mencionado con anterioridad para avanzar en el conocimiento del

lenguaje matemático y de las matemáticas mismas, es necesario que el individuo

adquiera una serie de conocimientos que servirán de apoyo para acceder a etapas

superiores, por ello es de gran importancia que el alumno comprenda los

razonamientos, procedimientos, algoritmos desde un principio con la mayor claridad

para hacer posible la comprensión de conocimientos nuevos en las siguientes etapas.

Periodo simbólico-Noción de número-Primeras aproximaciones ala cardinalidad-Modo lúdico de enseñanza-una cifra-Simbolismo notaciona -

apoyadas con palabras)-Representaciones graficas-

1er. Nivel(2 a 6 años)

Operaciones de Segundo orden

-

-Sustracción

-Decenas,centenas

-Situacionesproblematica

Mayor abstracción

-Multiplicativas

-División

-Situación Problemática

-Decenas, centenas, Unidad de millar

2 do. Nivel(6 años )

3 er. nivel

Apropiación y uso de símbolos y estructuras simbólicasCada vez más abstractas y jerarquizadas

Periodo --Primeras aproximaciones ala cardinalidad-Modo lúdico de enseñanza- Expresión de cantidad con una cifra-Simbolismo notacional -Operaciones aditivas

* Apoyándose en objetos* Apoyándose en significados

(constructos, personales, ideas numéricasapoyadas con -Representaciones gráficas

Situación problemática

1er. Nivel(2 a 6 años)

Operaciones de Segundo orden

-

-Sustracción

-Decenas,

-problemáticas

Operaciones de Mayor abstracción

-

-División

-Situación Problemática

-Decenas, centenas, Unidad de millar

2 do. Nivel(6 años ) 2 do. Nivel

(6 años )

3 er. nivel

Adición

Periodo simbólico-Noción de número-Primeras aproximaciones ala cardinalidad-Modo lúdico de enseñanza-una cifra-Simbolismo notaciona -

apoyadas con palabras)-Representaciones graficas-

1er. Nivel(2 a 6 años)

Operaciones de Segundo orden

-

-Sustracción

-Decenas,centenas

-Situacionesproblematica

Mayor abstracción

-Multiplicativas

-División

-Situación Problemática

-Decenas, centenas, Unidad de millar

2 do. Nivel(6 años )

3 er. nivel

Apropiación y uso de símbolos y estructuras simbólicasCada vez más abstractas y jerarquizadas

Periodo --Primeras aproximaciones ala cardinalidad-Modo lúdico de enseñanza- Expresión de cantidad con una cifra-Simbolismo notacional -Operaciones aditivas

* Apoyándose en objetos* Apoyándose en significados

(constructos, personales, ideas numéricasapoyadas con -Representaciones gráficas

Situación problemática

1er. Nivel(2 a 6 años)

Operaciones de Segundo orden

-

-Sustracción

-Decenas,

-problemáticas

Operaciones de Mayor abstracción

-

-División

-Situación Problemática

-Decenas, centenas, Unidad de millar

2 do. Nivel(6 años ) 2 do. Nivel

(6 años )

3 er. nivel

Adición

Figura 3: Aprendizaje matemático (operaciones básicas)

28

I.VI. Resolución de problemas aritméticos

Con la resolución de los problemas aritméticos el niño alcanza una abstracción a partir

de lo que ya conoce, y este avance le permite un conocimiento escalonado que

fortalece conforme avanza al desarrollo del pensamiento,

Algunas de las distintas etapas por las que debería atravesar el alumno antes de lograr

la resolución de problemas aritméticos con la simbología adecuada (suma, resta,

multiplicación y división), haciendo énfasis en la importancia del lenguaje matemático

verbal y escrito, tanto del maestro como del alumno, para lograr la resolución exitosa

del problema matemático:

• Expresión verbal: el maestro le platica al niño el problema, frecuentemente en los

primeros cursos el maestro simplemente platica el problema ya que todavía los

niños no saben leer, posteriormente los niños empiezan a leer el problema, pero el

maestro esta atento de que los niños hayan interpretado adecuadamente el

problema.

• Manipulación de objetos: cuando los niños son más pequeños se usan materiales

(taparroscas, palitos, plastilina) para representar cantidades, la manipulación de

objetos se va dejando siempre y cuando el niño sea capaz de expresar las

operaciones sin necesidad de usar material manipulable.

• En la representación gráfica del problema: el niño realiza dibujos en donde

representa el planteamiento y posible solución del problema. Posteriormente

explicará oralmente al maestro el significado de dicha representación, con la

29

finalidad de que este se convenza de que el niño ha comprendido el problema

planteado.

• En la representación simbólica: el niño empieza a identificar los símbolos que

intervienen en la resolución del problema, casi siempre en la misma representación

gráfica realizan la representación simbólica.

En la operación aritmética del problema el niño realiza una operación aritmética,

llevando a cabo una reflexión del problema.

Tal vez en los grados de quinto y sexto de primaria la manipulación de objetos y la

representación gráfica en algunos casos ya no sea necesaria, sin embargo al introducir

un nuevo concepto será de gran ayuda para lograr la comprensión del alumno.

I.VII. Códigos tripartitas

Estos códigos son las fases por las que atraviesa la resolución de un problema

aritmético, estas fases el maestro tiene que enseñárselas a sus alumnos, ya que es

significativo que los niños sepan como esta compuesto un problema aritmético.

Los códigos tripartitas se componen de tres elementos clave:

Estado 1 ó conjunto inicial es el inicio del problema, acción del suceso ó el operador es

donde se pone que operador se va utilizar y el estado 2 donde se finaliza el problema,

por ejemplo “La mamá de Eva, que le gustan mucho los pájaros, tenía en su casa

cuatro jaulas con canarios. En cada jaula había tres canarios. Pero a Eva no le gustaba

ver a los canarios encerrados y un día les abrió la puerta de las jaulas para que vivieran

libres. Los canarios se fueran volando a un árbol cercano. ¿Sabes cuántos canarios

habría en el árbol?”

30

ESTADO 1 O

CONJUNTO INICIAL OPERADOR

ESTADO 2 O

CONJUNTO FINAL

Lo que hay Lo que pasa La respuesta o resultado

Cuatro jaulas En cada una hay tres

pájaros 12 pájaros

I.VIII. Situaciones problema

El docente al elaborar los problemas deberá variar las situaciones y el planteamiento,

con la finalidad de que el niño no memorice un solo procedimiento obligándolo a

razonar.

En las situaciones problema en la suma: de unión. Por ejemplo “Pedro tiene cinco

dulces en su bolsillo; Mariana ha tomado cuatro dulces. Si los juntan, ¿cuantos dulces

tendrán entre los dos? Si los ponemos en una bandeja, ¿cuántos dulces hay ahora en

la bandeja?.

Problemas de transformación creciente de una cantidad dada. Por ejemplo (Ricardo

tenía en su estuche seis rotuladores de colores, pero su mamá creía que eran pocos y

le regalo tres rotuladores nuevos. ¿Sabes cuántos rotuladores tiene en total Ricardo?

En la resta existen dos tipos de situaciones problemas: de transformación decreciente

. Por ejemplo “Carla tenía en su caja ocho rotuladores y se le han perdido tres.

¿cuántos le quedan?”.

La resta de diferencia: comparación e igualaciones. Son situaciones en las que hay dos

cantidades dadas y se hace una interrogación acerca de la diferencia entre ambas:

“Irene tiene 16 chocolates y Rosa tiene 10. ¿Cuántos chocolates más tiene Irene que

Eva?, ¿cuántos necesitaría Rosa para tener tantos como Irene?, etc.” .

31

En la multiplicación existen cuatro situaciones problema:

La de razón. “Ayer compre cinco bolsas de cuatro chicles cada una. ¿cuantos chicles

compre en total?”

De conversión: “Tienes cuatro chocolates; si cada chocolate lo cambias por 6 panes,

¿cuántos panes obtendrás?”.

Combinatorios: “Tengo tres blusas distintas y dos faldas diferentes. ¿De cuantas

maneras me puedo vestir con ellas?”. Es el tipo producto cartesiano.

De comparación. “Alejandro tiene cinco paletas, pero María tiene tres veces más.

¿Cuántos tiene María?”.

En la división existen dos tipos de situación problema el de Partición o repartición : “ En

la clase somos 49 y vamos a hacer 7 equipos para una competencia de preguntas.

¿Cómo tendremos que agruparnos?

Agrupamiento: “En la clase somos 49 y vamos a hacer equipos de 7 elementos cada uno. ¿Cómo tendremos que agruparnos?”.

Situación Problema Expresión Verbal Manipulación Representación

gráfica delproblema

Operación aritmética del

problema

Códigos tripartítas

Situación Problema Expresión Verbal Manipulación Representación gráfica delproblema

Operación aritmética del

problema

Códigos tripartítas

Figura 4: Etapas por la que atraviesa la resolución de un problema aritmético.

32

I.IX. Aprendizaje escolar

Ya que los seres humanos somos individuos sociales por naturaleza, es la sociedad

quien nos introduce a la cultura y nos obliga a aprender. En un inicio el niño aprende de

su familia a caminar, hablar, reglas y normas de conducta que le servirán para convivir

con sus semejantes, posteriormente son sus padres quienes lo llevan a la escuela, con

el interés genuino de que aprenda de los maestros los conocimientos que a través de

miles de años el hombre ha adquirido..

La escuela es la encargada de institucionalizar la enseñanza, es la que formaliza la

educación a través de métodos, procedimientos, estructuras bien establecidas. Es en el

aprendizaje escolar en donde se define un régimen de trabajo particular que regula el

uso de los instrumentos mediadores (lenguaje; medios de comunicación, familia, grupo

social, material didáctico: libros, esquemas, modelos etc.) que funcionan como

“vehículo” de la enseñanza, para llegar a los conocimientos.

Tales regímenes de “uso” conforman unidades relativamente indiferenciadas en la

práctica con las actividades y contenidos trabajados, es decir, se aprende a interiorizar

el dominio de un instrumento de mediación con su estructura intrínseca y con su

modalidad y régimen de uso escolar; el texto del aprendizaje se enhebra con el

contexto que regula el aprendizaje. La escolaridad debe privilegiar el acceso al dominio

de los instrumentos de mediación con una forma acentuadamente descontextualizada

(sin ningún referencial concreto) y permitir el acceso a la lengua escrita y a las formas

de conceptuar propias de la ciencia.

Éstos no deben adquirirse sólo como la apropiación de un cuerpo de saberes externos

con los que pueda establecerse una relación de “información”, sino que su apropiación

33

se debe concebir como una reestructuración de las funciones psicológicas del sujeto

que permitan su desarrollo según el vector de un creciente control sobre las propias

operaciones intelectuales.

Por lo tanto el aprendizaje consiste no sólo en el dominio de los instrumentos o

sistemas conceptuales de los procedimientos de uso en abstracto sino también de su

recontextualización en el escenario escolar. A través de la enseñanza los conceptos

científicos se relacionan con los conceptos cotidianos del niño. Si no se incluyen

conceptos científicos en la enseñanza, todo el desarrollo del niño se verá afectado. El

maestro al enseñar matemáticas tiene que tener en cuenta los siguientes principios:

- Las matemáticas constituyen un sistema conceptual lógicamente organizado y

socialmente compartido.

Si un objeto matemático ha sido aceptado como parte del sistema puede considerarse

como una realidad textual y un componente de la estructura global. Puede ser

manipulado como un todo para crear nuevos objetos matemáticos y, al mismo tiempo

introduciendo nuevas restricciones al lenguaje y el trabajo matemáticos.

- Los problemas matemáticos y sus soluciones son compartidos dentro de las

instituciones o colectivos específicos implicados en el estudio de tales

problemas.

Es decir, los objetos matemáticos son entidades culturales socialmente compartidas

cuya naturaleza sistémica y compleja no puede ser descrita meramente con

definiciones formales cuando nos interesamos por los procesos de enseñanza y

aprendizaje de los mismos.

Por lo que el maestro debe tener en cuenta que no se trata exclusivamente de

transmitir los contenidos “científicamente correctos”sino de hacer reflexionar a los niños

34

sobre sus propias representaciones para permitir que evolucione su construcción del

conocimiento.

Cuando los niños ingresan en la escuela, el maestro los confronta con la zona de

desarrollo próximo mediante las tareas de la actividad escolar, para guiar su progreso

hacia el aprendizaje. Estas áreas ayudan a los niños a adquirir motivos y métodos para

dominar el lenguaje matemático escolar del mundo adulto con la mediación del

docente.

I.X. La zona de desarrollo próximo

La capacidad del ser humano de aprender es infinita, sin embargo para que esta

capacidad se desarrolle adecuadamente es necesario contar con el apoyo del grupo

social y de su cultura; el agente promotor de este desarrollo puede ser una persona

(padres, maestros, compañeros) o las herramientas culturales (un libro, la computadora,

un programa de T.V., la música o cualquier otra producción cultural). La apropiación de

estas herramientas permitirá el paso de una zona potencial a un nuevo estadio (poder

escribir, hablar, hacer música, etcétera). En relación con la escuela es indispensable

que el maestro posea un excelente dominio de lo que desea enseñar pues sólo así

tendrá la posibilidad de situarse continuamente en el nivel de competencia del niño y de

ayudarlo en la construcción de su conocimiento. En el aprendizaje matemático el

desarrollo del niño se da en forma gradual y teniendo como guía al maestro.

35

Se puede interpretar que la noción de Zona de Desarrollo Próximo (ZDP) de Vygotski

reubica el lugar de la instrucción, de la enseñanza, como un pivote que expande las

posibilidades del aprendizaje del niño, convirtiendo dichas experiencias en desarrollo:

“La ZDP es la distancia entre el nivel actual de desarrollo, determinado por la capacidad

de resolver independientemente un problema y el nivel de desarrollo potencial,

determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en

colaboración con otro compañero más capaz. (Vigotsky)” 6

Este concepto señala que existe un nivel de resolución de problemas en el niño (el nivel

real) que ya ha sido alcanzado, en un momento determinado, y que puede aplicar de

forma independiente. En el mismo momento, como se ve, existe un nivel potencial de

manera que, con la ayuda de un adulto o alguien más competente, puede resolver

problemas que no podría hacer sólo. En otras palabras, existen situaciones en la

interacción profesor-alumno donde pueden surgir nuevas comprensiones de los

términos de un problema (Newman, Griffin y Cole,). Estas situaciones conforman la

ZDP.

“Resulta importante ver como se construye el conocimiento matemático en la

interacción maestro-alumno. (Conocimiento Interpsicológico) y cómo se transforma en

conocimiento interno (o Intrapsicológico). En todo ello las representaciones internas son

los estados de dicho conocimiento interno, mientras que las representaciones externas

resultan ser las herramientas culturales que utiliza el profesor de las cuales se apropia

6 Educar. Revista de Educación. Vigotsky y la educación, México,1999, pág. 9.

36

el alumno, constituyendo así los instrumentos de negociación en la construcción del

conocimiento interpsicológico.” 7

En la ZDP no sólo se beneficia el aprendiz.; el desarrollo es un proceso abierto, incierto,

inacabado y siempre en construcción, por ello bien dice Gordon Wells, que el papel del

maestro es llegar a ser un colega más en esa comunidad académica, cuya

responsabilidad sea la de actuar como líder en la construcción del conocimiento.

Jeromer Bruner acuña un término llamado “andamiaje” o ayuda el cual consiste en

graduar la dificultad de la tarea, así como el grado de ayuda, de tal manera que no

fuera tan fácil que el niño perdiera interés por hacerla, ni tan difícil que renunciara a ella.

Gradualmente se moverían los papeles, en la medida en que el niño pudiera

autorregularse, y en varias de esas actividades lúdicas una señal clara de ello se daría

al intercambiar los papeles de interacción. El niño no sólo aprende la actividad sino con

ella se apropia de las reglas de interacción que gobiernan y regulan la actividad a

aprender.

Para trabajar en la ZDP es indispensable que el maestro posea un excelente dominio

de lo que desea enseñar pues sólo así tendrá la posibilidad de situarse continuamente

en el nivel de competencia del niño y de responder contingentemente a sus

necesidades de ayuda.

7 D.Newman,P.Greffen y M.Cole, La zona de construcción del conocimiento, Madrid,1991,pág. 45.

37

I.XI. Condiciones en la zona de desarrollo próximo

Al plantear un problema aritmético el maestro debe considerar ciertas condiciones que

permitan al alumno compartir el mismo significado con el maestro.

La construcción de la representación interna infantil está ligada al paso del

conocimiento interpsicológico al intrapsicológico, es decir del conocimiento compartido

al interiorizado, se dan las condiciones fundamentales que permiten la creación del

nuevo conocimiento, estó es se desplaza en la zona de desarrollo próximo.

Hablamos de intersubjetividad, cuando las representaciones internas del maestro y del

alumno presentan elementos comunes (que permiten la comunicación) y distintos (lo

que posibilita el aprendizaje). Esta condición llamada intersubjetividad, se mide de una

forma continua, dado que la mayor o menor presencia de estos elementos comunes y

dispares supone la existencia de distintos niveles de intersubjetividad.

“Wertsch señala cuatro niveles que describen el paso de lo interpsicológico a lo

intrapsicológico.

1. En el primer nivel las representaciones del profesor y el niño son tan distintas

que no es posible establecer una comunicación adecuada. Así puede suceder al

plantear el siguiente problema:

Tienes diez muñecos. Unos son verdes y otros son rojos. Si tienes seis muñecos

verdes, ¿cuántos rojos tienes?

Respuestas infantiles del tipo “pocos” o “diez” nos muestra una incomprensión de los

términos y objetivos del problema, una insuficiente lógica respecto a la relación parte

todo necesaria en este problema de combinación. Resulta difícil establecer los

elementos comunes entre la representación adulta y la que parece mostrar el niño.

38

2. El niño en el segundo nivel empieza a compartir con el profesor los elementos

básicos del problema (por ejemplo las cantidades en juego y las relaciones entre

ellas) pero difiere en la representación de las acciones del problema, lo que lleva

a no entender las actuaciones del profesor en este sentido.

En el problema anterior podría representar las cantidades del problema (a través de

diez fichas), pero no identificaría a este problema como una resta, sino como una suma

a partir del sexto elemento contado. El problema no estaría mal resuelto, pero la

representación de las acciones de resolución es diferente de la del adulto.

3. En un tercer nivel existiría en este nivel una coincidencia entre las

representaciones de ambos, de manera que el niño resolvería el problema

interpretándolo como una resta y realizando las acciones oportunas, que podrían

alcanzar el nivel simbólico con mayor transparencia que el nivel anterior

4. El último nivel de intersubjetividad se caracterizaría por el hecho de que el niño

tomaría un control completo sobre el problema planteado, asumiendo la

responsabilidad independiente de resolverlo a través del uso de las estrategias

cuya representación alcanzó en el nivel anterior.” 8

Como vemos, en el estado final de este proceso, el objetivo de la relación social

mantenida entre profesor y alumno es que el control y la responsabilidad pasen

enteramente al alumno y éste, a partir de la representación formada desde dicha

relación social pueda resolver el problema autónomamente.

8 Carlos Maza, Aritmética y representación, De la comprensión del texto al uso de materiales, pág. 56.

39

En el aprendizaje de las matemáticas debe existir un buen nivel de intersubjetividad

entre el maestro y el alumno, ya que si ambos no comparten o empiezan a compartir los

mismos significados el aprendizaje no se llevará a cabo.

40

41

II. EL LENGUAJE MATEMÁTICO

Es conveniente ver a la matemáticas como lenguaje por tres razones:

“Ayuda a interpretar la mayoría de las dificultades que tienen los niños en su

aprendizaje. Es sabido que la mayor parte de tales dificultades son:

Dificultades semánticas, en donde el significante-significado referido a las

notaciones y vocablos de la jerga matemática, es decir, radican en la

asociación de la notación o vocablo con el significado adecuado.

Dificultades inherentes a la estructura que adopta el código notacional de

cualquier campo (operaciones aritméticas, código fraccionario, código

tripartito aritmético, etc) y al funcionamiento del mismo; es decir son de

carácter sintáctico. Considerando que el código notacional de las

matemáticas tiene una sintaxis no se pueden colocar los símbolos y

signos de forma arbitraria sino que debe seguirse una sintaxis establecida.

Dificultades relativas al cuándo y/o al cómo utilizar el código notacional

para resolver determinada situación: son pragmáticas o funcionales.

Así pues, ver a la matemática escolar como lenguaje es útil desde el punto de vista

didáctico pues nos va a llevar a enfatizar los aspectos “lingüísticos” de la misma: nos va

a llevar a detenernos en la construcción de los significados y en la comprensión y

dominio de los códigos notacionales.

42

2. En el currículo se procura dar la debida importancia a cada uno de los

componentes de una buena formación matemática: resolución de problemas,

comunicación, memorización de datos, formación de conceptos, etc. Esto es, no

se trata de situarse en ninguna de las tendencias actuales de la enseñanza –

enseñanza directa, enseñanza por descubrimiento, resolución de problemas,

etc., sino que pone el acento en la construcción progresiva de los significados,

en los aspectos comunicativos y en el dominio sintáctico orientado hacia la

operatoria.

3. Es una buena guía para organizar, planificar e interpretar la enseñanza a lo largo

de la escolaridad obligatoria. En efecto son los rasgos inherentes a los procesos

de simbolización, las dificultades en la manipulación de los símbolos y el uso de

los códigos para razonar y resolver problemas los tres puntos en torno a los

cuales gira la acción escolar, a los que se les dedica más tiempo en el aula; los

puntos alrededor de los cuales se acumulan la mayoría de las dificultades de

aprendizaje.” 9

La escuela, en fin impone la matemática a los niños presentándola como un sistema ya

codificado y acabado, presentación que se va haciendo de forma planificada y

escalonada. Es la tradición. La matemática aparece así como un sistema del que se

van enseñando, transmitiendo diferentes contenidos parciales, diferentes conceptos y

procedimientos, soportados por un lenguaje específico cada vez más abstracto y

alejado de la experiencia física y social. Así el sistema simbólico que en el inició no es

9 Hermann Maier, El conflicto para los alumnos entre lenguaje matemático y lenguaje común, Iberoamérica, 1999,

43

sino el medio, la herramienta para transmitir ideas y/o resolver problemas, llega a

convertirse en objeto mismo de conocimiento y en ocasiones en su peor obstáculo.

II.I. Lenguaje natural y formal

El lenguaje natural se empezó a usar desde épocas muy remotas, cuando el hombre

empezó a ver la forma en que podía establecer vínculos entre el pensamiento y

símbolos materiales para poder representar la realidad. De esta manera para el hombre

el lenguaje vino a representar una ampliación de las facultades cognoscitivas, cuya

función permitió expresar sus pensamientos y comunicarse entre ellos. Esta función

llevada a cabo primeramente por medio de señales y vocales (voz) culmina

posteriormente con una escritura , para conformar el lenguaje natural.

La riqueza de su componente semántico y su relación estrecha con los aspectos

prácticos de los contextos en los cuales son usadas permite que los lenguajes

naturales tengan un gran poder expresivo como una herramienta para razonamientos

profundos.

Una de las características principales de los lenguajes naturales es la “polisemía” es

decir la posibilidad de que una palabra en una oración tenga diversos significados y

diversos valores. Por lo que el carácter “poli semántico de un lenguaje tiende a

incrementar la riqueza de su componente semántico.

El lenguaje natural trata del mundo que nos rodea, mientras que las matemáticas

expresan pensamientos especiales y denotan objetos y relaciones que normalmente,

44

aunque no siempre pueden aplicarse a nuestro mundo.

II.II. Lenguajes formales

En un lenguaje formal las palabras y las oraciones están perfectamente definidas, es

decir, una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o su uso.

En principio el significado de símbolos es determinado exclusivamente por la sintaxis,

sin referencia a ningún contenido semántico, una función y una fórmula puede designar

cualquier cosa sin embargo las relaciones como: los conectivos lógicos; los operadores

algebraicos mantendrán significados especiales y nos permitirán escribir fórmulas.

Los lenguajes formales son por ésto, necesariamente exentos de cualquier componente

semántico fuera de sus operadores y relaciones, y gracias a esta ausencia de

significado especial es que los lenguajes formales pueden ser usados para modelar una

teoría de la mecánica, por lo que en los lenguajes formales toda ambigüedad es

eliminada. El mundo de significados, que es el componente semántico, solamente

existe en la teoría que uno intenta expresar a través del lenguaje formal.

En términos generales se podría decir que un lenguaje formal está formado por seis

elementos claves:

- “Una colección de elementos primitivos a partir de los cuales se podrán construir,

elementos más complejos en el caso de las matemáticas son los números, la

suma, el producto de estos elementos primitivos los podemos comparar con las

letras de nuestro lenguaje escrito, es decir son los elementos que nos van a

permitir realizar cosas más avanzadas.

- Una colección de criterios sintácticos o reglas de recurrencia según los cuales se

45

pueden construir elementos compuestos o fórmulas del lenguaje, a partir de los

elementos primitivos. Son como las reglas o criterios para formar determinada

estructura matemática.

- Una colección de reglas de inferencia o de deducción.

- Una colección de definiciones, por medio de las cuales es posible abreviar las

expresiones o elementos compuestos de nuestro lenguaje.

- Los teoremas: los teoremas de una teoría o un lenguaje son aquellos

conocimientos acerca de los cuales podemos afirmar que son verdaderos o

falsos, apoyándonos para ello en los axiomas de la teoría y apegándonos a sus

reglas de inferencia.” 10

Hay pensamientos que son especiales, que solamente pueden ser expresados a través

del lenguaje matemático. Se verá a continuación dos ejemplos en donde se emplean

dos grupos de frases:

Grupo 1 Grupo 2 a) Hay tres libros en la mesa. a) 2+3=5. b) Me encontré a dos chicas. b) El cinco es un número primo. c) Compre medio kilo de queso. c) La raíz cuadrada positiva de 4 es 2.

Como podemos darnos cuenta en el grupo 1 nos centramos en los objetos, los cuales

son libros, chicas y queso, los números se usan para denotar su cantidad o su

magnitud; mientras que en que en el grupo 2 nos centramos en objetos y conceptos

relacionados con las matemáticas, tales como 5,2, número primo o raíz cuadrada. Los

10 Idem. pág. 16.

46

números naturales aparecen tanto en el lenguaje cotidiano como en las matemáticas.

En el lenguaje natural existen las palabras para designar a los números y en el lenguaje

matemático existen símbolos especiales, hay dígitos.

Existen otros muchos objetos y conceptos matemáticos que no tienen una expresión

paralela en el lenguaje natural, por ejemplo “raíz cuadrada de –1” o “función

exponencial” Estos son conceptos que el hombre adopta para expresar significaciones

que no podemos encontrar en el mundo real.

En cuanto a su aspecto semántico y sintáctico las matemáticas tienen su propia sintaxis

y su propia semántica. Por ejemplo se considerarán las siguientes expresiones

matemáticas:

a) 2+3=5 b) 2 3=+5

Si observamos estas expresiones nos podemos dar cuenta que existe algo extraño en

el inciso b. Hay reglas sintácticas que seguimos cuando sabemos matemáticas,

convenciones que se le enseñan al niño en la escuela.

Cuando vemos una preposición como la siguiente:

a+b=c entonces c-b=a.

Este acuerdo es consecuencia de nuestra comprensión del significado de los signos + y

- Comprendemos que cuando anotamos una proposición que contiene una operación

de adición, tal como a+b=c, la a y la b a ambos lados del signo + son los sumandos y c,

al otro lado del signo = es su suma. Por lo que la sintaxis de las matemáticas transmite

significados, lo que constituye la base para expresar conceptos matemáticos. “Al

tomarse en cuenta el papel que cada símbolo juega en las matemáticas y el significado

de sus expresiones, nos hallamos en el dominio de la semántica . Y la semántica del

lenguaje matemático es diferente a la semántica del lenguaje natural. X, +, > o 197 son

47

símbolos especiales del lenguaje matemático que usan su propia sintaxis y su propia

semántica para expresar pensamientos que tienen significado matemático.” 11

II.III. Diferencias entre lenguaje natural y formal.

1.- Todos los conceptos matemáticos son esencialmente “ideales”. Lo cual significa que

los objetos reales no se pueden percibir como representaciones de un concepto (así

como el concepto de caballo representa el concepto de caballo). Expresado de forma

diferente ciertos conceptos matemáticos se pueden representar mediante objetos,

mediante modelos o mediante formas reales (por ejemplo “triángulo” y “cubo”) pero

también pueden ser “construidos” mentalmente a través de experiencias reales.

Generalmente los modelos permanecen diferentes del concepto mismo, no sólo por

causa de la abstracción propia del concepto (pasaje del objeto a la clase de objetos)

sino también a causa de la idealización (pasaje del objeto real a su imagen ideal)

Considerados juntos, el pensamiento y el lenguaje matemático, destacan a la

experiencia y son independientes de cualquier liga directa con la realidad. Por otro lado

en las matemáticas las proposiciones o los teoremas no pueden ser demostrados sino

mediante relaciones lógicas, y no mediante referencias a los objetos, a los modelos o a

las figuras. Es por este mismo motivo que el uso de imágenes-ejemplos en las

escuelas, como modalidad de construcción, de conceptos matemáticos, debe ser

prudente: la comprensión de los alumnos no debe quedar fijada a todos los modelos o a

sus imágenes.

2.-La no ambigüedad implica que el significado de cada término o símbolo particular

11 Claudi Alsina y Carmen Burgués, Enseñar matemáticas, Grao, 1998, pág. 122.

48

está perfectamente definido en lo que respecta a su objetivo y a su extensión:

- Cada término o símbolo tiene un significado que es único

- Cada significado particular de los conceptos mencionados en el texto

corresponde a un solo término o símbolo.”12

3- Las matemáticas pueden utilizar términos o proposiciones que toman prestados del

lenguaje cotidiano, o de darles a otros un significado diferente del sentido que tienen

habitualmente en el lenguaje cotidiano. Por ejemplo en la Geometría el sentido de la

palabra ”semejante”, que es diferente al sentido que se le da habitualmente, se

restringe a figuras entre las que existe una relación de proporcionalidad y cuyos

ángulos miden lo mismo. En cuanto a las aplicaciones en donde tanto lenguaje natural

como lenguaje matemático se encuentran tenemos los siguientes ejemplos:

Los pensamientos expresados por las matemáticas son útiles en otros dominios aparte

del suyo propio. Por ejemplo los símbolos 240+360=600 es útil porque sabemos que si

encontramos 240 hombres en la antesala de un cine, y después contamos que entran

360 mujeres, no necesitamos volver a contar para saber si en una sala con una

capacidad de 600 butacas se podrán acomodarse todos. Podemos calcular la suma,

todo esto es posible porque encontramos, por una parte, una conexión entre la

semántica de la operación suma y, por otro nuestro conocimiento de que los hombres y

las mujeres forman conjuntos disjuntos; estas dos consideraciones estas dos

condiciones nos informan que pueden usarse como sumandos en una relación que es

aditiva.13

12 Maier Hermann, El conflicto para los alumnos entre lenguaje matemático y lenguaje común. Pág 15-16 13N. Gorgoria, J. Deulefeu, A. Bishop, Nesher Pearla, Matemáticas y Educación Retos y cambios desde una perspectiva internacional, Grao,1998, pág. 109.

49

Somos concientes de la naturaleza deductiva de las matemáticas y creemos que

podemos confiar en nuestros cálculos. Si alguien en lugar de haber sumado las dos

cantidades, contara otra vez cuánta gente hay en la antesala y obtuviera como

resultado 599, le diríamos que se ha equivocado al contar. Todos sabemos que

240+360 no da 599. Confiamos más en la naturaleza deductiva de las matemáticas y

en sus propias fuentes de veracidad y falsedad.

En el lenguaje informal el niño se desenvuelve entre un lenguaje natural y un lenguaje

matemático donde aparecen términos específicos junto a otros del propio lenguaje

natural pero con distinto significado (producto, potencia, raíz, etc.). El niño que parte del

lenguaje habitual tiene que llevar a cabo un nuevo aprendizaje de significados para

distintas palabras por lo que ha de partir de un lenguaje que es informal, con el que

describe los elementos del problema hasta su expresión formal y ajustada al sentido

que le dan las matemáticas. Con frecuencia los niños cuando se les da un problema

primero lo asocian con diagramas y símbolos (representaciones externas) que ellos

conocen y los nombran como ellos quieren.

Introducción de sím bolos, conceptos, procesos, m étodos m atem áticos a tráves del lenguaje m atem ático

E lem entos clave que com ponen el lenguaje form al (m atem ático)

C olección de E lem entos prim itivos(num eros, sum a, resta ,

m ultiplicaciones, division)

C ontrucción deElem entos

M as com plejas

C olección deC riteriosSintácticos o R eglas de R ecurrencia (estructurasM atem aticas)

C olecciónde reglas de

Inferencia o dededucción

C olección dedefiniciones

T eorem as verdadero-falso

Las m atem áticas tienenSu propia sintaxisY su propia sem ántica

Sus operadores y relaciones pueden ser aplicacionesen cualquier area del saber hum ana

G rupo social

Educaciónform al

M aestro

A prendizaje, aplicaciones, resoluciones de problem as m atem áticos A lum nos

Introducción de sim bo losconceptos, procesos

M etodos m atem aticos a través del lenguaje

m atem atico

G rupo Social

LenguajeN atural

M aestro

Educación form al

E lem entos clave que conform an el lenguaje m atem ático

Introducción de sím bolos, conceptos, procesos, m étodos m atem áticos a tráves del lenguaje m atem ático

E lem entos clave que com ponen el lenguaje form al (m atem ático)

C olección de E lem entos prim itivos(num eros, sum a, resta ,

m ultiplicaciones, division)

C ontrucción deElem entos

M as com plejas

C olección deC riteriosSintácticos o R eglas de R ecurrencia (estructurasM atem aticas)

C olecciónde reglas de

Inferencia o dededucción

C olección dedefiniciones

T eorem as verdadero-falso

Las m atem áticas tienenSu propia sintaxisY su propia sem ántica

Sus operadores y relaciones pueden ser aplicacionesen cualquier area del saber hum ana

G rupo social

Educaciónform al

M aestro

A prendizaje, aplicaciones, resoluciones de problem as m atem áticos A lum nos

Introducción de sim bo losconceptos, procesos

M etodos m atem aticos a través del lenguaje

m atem atico

G rupo Social

LenguajeN atural

M aestro

Educación form al

E lem entos clave que conform an el lenguaje m atem ático

.

Figura 5: Etapas por las que atraviesa el lenguaje formal matemático

50

II.IV. Lenguaje del texto del enunciado del problema

Para el niño adquirir el lenguaje matemático puede ser complicado, debido a que

requiere un cierto grado de dominio sobre el lenguaje natural, además de necesitar del

apoyo de un adulto, en este caso del maestro, quien deberá esforzarse por introducir

los conceptos, procesos y métodos matemáticos, de la forma más agradable y sencilla

posible, sin descuidar la formalidad de tales conceptos.

En la situación de resolución de problemas, la dificultad del texto del enunciado del

problema consiste principalmente en la comprensión; frecuentemente el texto no viene

expresado en la lengua que espera el alumno o en sus términos y por tanto el niño

debe traducir de una lengua adulta a una lengua propia y comprender el sentido de lo

pedido, para hacerse una imagen de lo que el problema plantea . Muchos de los

estudiantes no logran resolver problemas de enunciado verbal que se les presentan, a

excepción de los más simples. Este fracaso tiene dos raíces:

- “En primera los niños no logran entender la esencia misma de la tarea. Por

ejemplo en muchas ocasiones los niños dicen que comprenden las palabras y los

números, pero dudan al aplicar determinada operación aritmética , si el maestro

no sabe responder el porqué de estas dudas, genera en el niño un sentimiento

de fracaso que posteriormente derivara en una fobia hacia los problemas de

enunciado verbal, razón por la que los maestros deben saber cómo y porqué

enseñar a resolver problemas de enunciado verbal y no simplemente acumular

más y más ejemplos con la esperanza de que los estudiantes les encuentren

algún sentido.

- En segundo lugar para enseñar a los niños qué deben hacer con los problemas

51

de enunciado verbal y de qué forma pueden decidir qué modelo matemático

adoptar, se deberá comprender lo que supone esta tarea a los ojos de los niños.

Aunque se supone que los problemas que se les dan a los niños son del mundo

real, en muchas ocasiones el niño no lo considera así por ejemplo el siguiente

enunciado el niño no lo considera tan de la vida real.” 14

A Juanito, un niño de segundo grado, se le pidió que contara una historia que

correspondiera a la frase 1+6=7. Juanito contó: mamá compró una plancha y luego

compró seis planchas más. Ahora tiene siete planchas,

Por lo que podemos darnos cuenta la historia contada por el niño no representa

ninguna situación de la vida real, sino que más bien refleja la forma en que él considera

debe expresarse este tipo de problemas debido a su experiencia escolar en cuanto a

los exigencias de la tarea. El docente puede pensar que los problemas matemáticos de

tipo verbal presentan al niño situaciones de la vida real, pero para el niño en ocasiones

son sólo otra de las tareas escolares, irrelevantes y solamente para cumplir los deseos

del maestro, en las que se deben realizarse operaciones a partir de datos dados

verbalmente.

El proceso para solucionar problemas de enunciado verbal empieza con la lectura de un

texto expresado en lenguaje natural y termina escribiendo y calculando con el lenguaje

simbólico matemático.

¿Qué tipo de texto son los problemas de enunciado verbal? A continuación se verá un

ejemplo de problema verbal:

14 Idem. pág. 112.

52

En el estante hay dos muñecas y tres osos de peluche. ¿Cuántos juguetes hay en el

estante?

En este problema el maestro puede obtener mucha información de lo que dice, pero el

niño no. veamos porqué. En el análisis del problema existen tres series subyacentes en

el texto del problema, éste es un requisito indispensable para todo problema bien

formado que requiere una operación binaria, mientras que un problema que requiere

dos operaciones binarias deberá estar constituido por cuatro series subyacentes

(Hershhkovitz y Nesher):

- Serie (1): Hay dos muñecas en el estante

- Serie (2): Hay tres osos de peluche en el estante

- Serie (3): Hay un número desconocido de juguetes en el estante.

En cuanto que existen dos conjuntos disjuntos en la primera y la segunda serie y el

tercer conjunto sea su unión nos permite interpretar esta información a que es una

adición lo que debe realizarse para resolver dicho problema. Pero para poder llegar a la

conclusión de esto debemos saber que se trata de dos conjuntos disjuntos, cosa que

tiene que estar clara en el enunciado del problema, ya que si le mostramos al niño un

problema como el que sigue:

Un acuario tiene 5 peces grandes y 3 peces negros. En total hay 6 peces en el acuario.

¿Qué podemos decir a partir de esta información?

En este problema no existen los conjuntos disjuntos, no existe una diferencia clara entre

los conjuntos de peces, por lo que no podría considerarse como una adición sino como

la unión de conjuntos.15

15 Idem. pág. 113.

53

Regresando al problema 1, es de gran importancia conocer el lenguaje natural para

saber que no existe ningún objeto que sea al mismo tiempo una muñeca y un oso de

peluche (para que se cumpla la condición de ser conjuntos disjuntos). . En el texto del

problema 1 no describe un estante de juguetes real, por lo que el texto fue

principalmente compuesto para describir una situación en donde se cumplieran las

condiciones lógicas de conjuntos disjuntos y su unión. Es artificial debido a que

obedece a suposiciones que sólo son propias de este tipo de texto y que no se

mantienen en el uso cotidiano del lenguaje natural que describe la realidad. Otras de las

características generales de este tipo de textos son:

- Se usará el concepto de dependencia semántica por ejemplo en el texto 1

existían relaciones de dependencia entre las muñecas, los osos de peluche y los

juguetes, pero ésta podría haber sido expresada mediante adjetivos (ventanas

abiertas, ventanas cerradas, ventanas), o también por tiempo (por la mañana,

por la tarde, durante el día).

Obsérvese que la tripleta “por la mañana, por la tarde, por la noche no sería valida en

este caso, ya que ninguna de sus partes puede ser la unión de los otros dos conjuntos.

El lenguaje natural proporciona muchas tripetas como las que acabamos de utilizar, por

lo que la función de nosotros como docentes es enseñar al niño a identificar estas

tripetas en los problemas de enunciado verbal, tanto las que funcionan como las que

no.

- “Un problema aritmético de enunciado verbal es una unidad textual

autocontenida, situada en el contexto de la clase de matemáticas. Esto se

explicará con un ejemplo como el siguiente:

Por la mañana John tenía 5 caramelos y al mediodía su hermana le dio dos. ¿Cuántos

54

caramelos tiene ahora? en este problema como en todos los problemas de enunciado

verbal se supone que existen todos los objetos. Por otra lado no existe ningún otro

objeto, excepto aquellos citados en el texto. Por ello en el problema 1 no habría ningún

otro juguete en el estante. Además los objetos persisten a lo largo de la duración del

problema. Por lo que en el problema 3 John no pudo haberse comido ningún caramelo

en ese intervalo de tiempo.” 16

- El hecho de que los textos de los problemas de enunciado verbal estén

numéricamente sobrecargados de modo artificial enfatiza el papel especial de

los objetos en los problemas aritméticos de enunciado verbal. Éstos funcionan,

esencialmente, como objetos para ser manipulados numéricamente y fácilmente

se ignoran las funciones que estos objetos tienen en sus contextos naturales..

Esto explica por que mamá puede comprar 6 planchas más cuando ya tiene una.

- La cuestión de la identificación estricta raramente surge. La identidad real de los

objetos en los textos de los problemas de enunciado verbal es mucho menos

relevante que la relación entre las clases semánticas a las que pertenecen. Por

ello en los textos de los problemas de enunciado verbal se encuentran,

expresiones de tipo “3 chicos se fueron a la playa…” en la que se hace

referencia a tres miembros pertenecientes a la categoría chicos, en lugar de

“Pedro, José y Rosa se fueron a la playa”. Esta última formulación precisa más

elaboración para llegar a la primera, es decir, para llegar al número con el que

opera.

De todo ésto podemos concluir que los enunciados que los libros de texto presentan no

16 Claudi Alsina y Carmen Burgués, Enseñar matemáticas, pág. 76.

55

describen la realidad, sino que son recursos pedagógicos que crean textos artificiales

con el objeto de enseñar a los alumnos a tomar modelos usando las matemáticas. Los

recursos lingüísticos del lenguaje natural han de utilizarse de forma que aseguren la

interpretación de los problemas de enunciado verbal como reflejo del conjunto de

condiciones lógicas que conducen a una operación matemática especifica.

II.V. Indicios verbales

Muchos maestros por querer ayudar a los niños les facilitan el trabajo con indicios

verbales. Estos son palabras que el maestro utiliza para que el niño pueda saber cuál

es la operación que se tiene que realizar en un problema dado. Las palabras como:

más, menos, añadido, todo junto, ganado, perdido, sobrante, cada media, se pueden

llamar indicios verbales. El uso de los indicios verbales es un problema desde el punto

de vista de la evolución de una frase en lenguaje natural a la frase matemática

correspondiente. En el siguiente ejemplo se verá cómo una palabra tiene diferentes

significados:

a) “nueve más que siete” (que podría aparecer en un contexto como: invité a siete

personas a la fiesta pero aparecieron nueve más).

b) “nueve es más que siete” (que podría aparecer en un contexto como. Invité a

nueve personas a mi fiesta y Ana invitó a siete a la suya, por lo que yo tuve una

fiesta más concurrida).

c) Cuando las traducimos a símbolos matemáticos, aparecen del modo siguiente:

9+7

9>7

56

Por lo que se requiere que se comprendan no sólo palabras aisladas como más,

sino que se comprenda también la sintaxis del lenguaje natural y la del lenguaje

matemático.

La palabra “más” puede tener varios significados dependiendo del contexto

sintáctico.17

El maestro debe tener en cuenta que si utiliza indicios verbales puede generar más

desconcierto en los niños en la resolución de problemas.

Ya que si el niño no razona la respuesta , y el maestro por cuestión de tiempo trata de

que el niño llegue a la respuesta correcta, lo que se consigue es que el niño esté todo

el tiempo tratando de encontrar alguna palabra clave que pueda darle la respuesta al

problema planteado.

II.VI. Lenguaje verbal en matemáticas

El lenguaje verbal debe proponerse como instrumento del pensamiento, no sólo porque

lo traduce en palabras (permitiendo al individuo hablar consigo mismo, ésto es razonar),

sino porque exige y facilita el desarrollo de los pensamientos mentales que organizan

de varias formas. Los datos de la experiencia. Cuando en una clase se permite la

verbalización, el maestro puede darse cuenta de lo que piensan sus alumnos, Así

mismo, permite que los chicos comprueben que han comprendido lo que se ha dicho.

Al fomentar la conversación sobre aspectos de las matemáticas se centra la atención

en el argumento por medio de la explicación, así como en la tarea de encontrar

57

expresiones más precisas con las que se pueda, trabajar y verificar con mayor rapidez.

Hace mucha falta la fluidez verbal en matemáticas para que sea reconocida con

claridad como objetivo apropiado por los alumnos y para que los profesores encuentren

formas de reconocer y discutir sus objetivos con su clase.

Otro hecho que es importante es que el maestro se preocupa más por la forma en

como los niños tratan de comunicar alguna idea a expensas del significado que el

alumno trata de transmitir. Es preciso animar a los niños para que amplíen sus

manifestaciones verbales dentro de las clases de matemáticas.

Brown compara dos funciones distintas del lenguaje hablado: habla orientada hacia el

mensaje y habla orientada hacia el oyente. En el habla orientada hacia el mensaje, el

hablante se dirige a conseguir determinados objetivos y desea expresar un mensaje

concreto, para “modificar el estado de conocimiento del oyente” -importa que el oyente

entienda de modo correcto-. En el habla orientada hacia el oyente, el objetivo primario

consiste en el “establecimiento y mantenimiento de buenas relaciones sociales con el

oyente”. Brown cree que todos los alumnos tienen una habla fluida orientada hacia el

oyente, pero que el habla orientada hacia el mensaje debe practicarse de un modo

específico. Las formas lingüísticas características no son suficientes en sí mismas, ni

constituyen un objetivo de por si; son un medio dirigido a un fin:. Una expresión más

clara y precisa.

Muchas investigaciones sobre el tiempo que el profesor dedica a hablar reiteran los

resultados de “Flander quien descubrió que como promedio, durante dos tercios de ese

tiempo habla el profesor. Se aprecia una clara tendencia entre los profesores a asumir

17 Ibidem.

58

la responsabilidad y por tanto el control sobre los intercambios verbales en clase; en

muchas ocasiones el maestro es el que dirige la clase, es el que tiene el conocimiento

absoluto, sin dejar que el alumno se exprese libremente por temor a que lo reprendan

por expresar sus ideas.” 18

Por lo que es necesario que los niños sean oyentes activos.

II.VII. Lenguaje verbal del niño

El lenguaje que utiliza el niño en las matemáticas, está empapado de palabras de la

vida cotidiana, el niño expresa las matemáticas como algo concreto, sin embargo las

matemáticas, no siempre se pueden representar de forma concreta, ésto es algo que

deben entender los docentes al dar clases de matemáticas; por lo que la función del

maestro es enseñar al niño el lenguaje matemático; en el lenguaje oral el niño se platica

a sí mismo el planteamiento y posible solución de un problema, o lee el problema

muchas veces en voz alta hasta que logra comprenderlo empieza a dialogar con sus

demás compañeros, la forma en como resolver un problema, pero esto en muchas

ocasiones es mal visto por el maestro ya que este reprende al niño porque esta

hablando en clases y distrayendo a sus demás compañeros; una ventaja del hablar en

voz alta consiste en que requiere el uso de palabras, mientras que el pensar en “voz

baja” permite que se presienda de ellas. Cuando se nos dificulta expresar algo que

queremos decir, nos percatamos que las cosas no son como pensabamos pero si el

docente se pusiera a escuchar las preguntas que se hacen los niños obtendría una

importante ayuda ya que el maestro se percataría si en realidad el niño entendió la

18Anthony Orton, Didáctica de las matemáticas; cuestiones,teoría y práctica en el aula,Morata,1996,pág. 156.

59

explicación dada por el maestro. Por lo que el lenguaje oral en las matemáticas es muy

importante aunque se piense que no tiene mucha importancia, ya que las matemáticas

siempre han sido vistas como una materia en donde la adecuada realización de

algoritmos es lo que importa. Sin embargo la comunicación oral en matemáticas por

parte del alumno le puede aclarar muchas dudas, por ejemplo cuando el niño lee un

problema en voz alta o explica el problema a sus compañeros, ésto le ayuda a

comprender más el problema ya que exterioriza el posible resultado y al escucharse se

da cuenta de sus posibles errores.

Dentro de la clase de matemáticas existen dos razones principales para que los

alumnos hablen, para comunicarse con los demás y para hablar consigo mismos

(reflexión sobre los propios pensamientos), cuando el niño habla exterioriza sus

pensamientos lo cual le ayuda a organizar de la mejor forma sus ideas y también se

consigue que los demás sepan lo que está pensando.

El lenguaje oral es una herramienta con la cual el niño puede desarrollar una mejor

comprensión de las matemáticas, con la ayuda del maestro una clase de matemáticas

puede ser muy divertida.

II.VIII. Lenguaje verbal del maestro

Durante nuestro paso por la escuela recordamos la forma en que nuestros maestros

nos enseñaron matemáticas, la comunicación que se dio dentro del salón de clases fue

lo que en realidad dejó huella en nosotros. Existen diferentes formas que tiene el

maestro de comunicar las matemáticas, a continuación se presentan algunas:

60

• La noción de sacrificio: cuando no se responde de manera directa a una pregunta,

desviándola mediante otra dirigida a los alumnos acerca de lo que ellos piensan al

respecto, o cuando se invita a quien hace la pregunta original a explicar que ha

descubierto hasta ese momento.

• Otro ejemplo de comunicación del maestro es el de usar el silencio. Por ejemplo, el

silencio a continuación del planteamiento de una pregunta concede a los alumnos

cierto tiempo para pensar.

En las formas de preguntar del alumno y de responder del maestro surge lo siguiente:

• Algunos maestros realizan las llamadas repuestas de relleno en donde el maestro

responde alguna pregunta pero el alumno tiene que completar generalmente con

una sola palabra la respuesta. Una ligera subida de entonación, con una pausa

indica al alumno que se le pide una respuesta.

• Otra forma de reducir la cantidad de preguntas directas consiste en que el profesor

trate de retirarse del puesto central por ejemplo dirigiendo la atención de la clase

hacia un cartel o hacia la pantalla de una computadora.

• Otro medio consiste en que el profesor no conteste las preguntas que le hacen los

alumnos y los motive a razonar sobre el problema planteado19.

19 David Pimm,El lenguaje matemático en el aula, Morata 1985. pág

61

Estas formas de comunicación maestro-alumnos tienen ciertas ventajas y desventajas,

por ejemplo: en la noción de sacrificio el profesor pierde la ocasión de dar una

explicación clara de lo que piensa; dependiendo de los valores y creencias del docente,

esta situación se considera un sacrificio mayor o menor. Un beneficio a largo plazo

relacionado con esto sería que en la clase se dependa menos del profesor como fuente

de autoridad y el alumno tienda a obtener un juicio y autonomía matemáticos

personales más seguros.

El usar el silencio para que el niño razone y responda al cuestionamiento; supone que

el profesor tendrá que vérselas con cualquier posible incomodidad que pueda sentir,

dado que si no habla nadie sentirá la necesidad de iniciar el dialogo. El profesor que

crea que el beneficio previsto es importante tendrá que ceder parte del control sobre el

canal de comunicación oral.

Una de las ventajas del estilo de pregunta de relleno es que el maestro puede mantener

el control del discurso, mientras centra la atención en determinados elementos a

medida que surgen, también puede romper el monologo del profesor y funciona como

medio de comprobación de que al alumno que se interroga ha captado lo que se esta

explicando. Las causas en contra de este tipo de comunicación son que las respuestas

a las preguntas son muy reducidas, pues la respuesta puede ser de una sola palabra en

la mayoría de las ocasiones. En segundo lugar las restricciones impuestas por la forma

impiden que los alumnos formulen frases completas o explicaciones largas en particular

sobre su percepción de la situación. Existe el peligro de que esas preguntas lleven a

adivinanzas sobre la posible palabra buscada.

62

Al dirigir la atención del alumno hacia alguna ilustración, esquema, cartel, etc., se debe

tener cuidado en la elaboración de dicho material de apoyo con la finalidad de que

resulte una herramienta verdaderamente útil al niño, al expresar con claridad la

problemática o los elementos del tema de que se trate; en caso contrario sólo será un

elemento que confunda o distraiga la atención del o los alumnos.

Por último si el profesor decide no contestar al alumno sobre el planteamiento de

alguna situación problemática, deberá explicar al alumno la razón, con la finalidad de

que el alumno esté enterado de dicha dinámica de trabajo.

Es conveniente sugerir al docente que haga uso de todos estos tipos de comunicación,

adecuándolos a cada situación en particular y teniendo siempre cuidado de motivar y

alentar la comunicación alumno(s)-maestro.

II.IX. Lenguaje escrito en matemáticas

Un aspecto importante del lenguaje escrito consiste en que es visible. El texto escrito es

más uniforme y descontextualizado en el sentido de que a menudo requiere que sea

interpretable, hasta cierto punto, con independencia del contexto y por supuesto sin la

presencia del escritor. .Por otro lado la escritura exterioriza el pensamiento, aún más

que el habla, al pedir una expresión más exacta de las ideas. Al escribir algo se

convierte en externo a uno mismo, pudiendo ser examinado con mayor facilidad, de

modo que la reflexión sobre ello sea también más sencilla, con todas las ventajas de un

registro visible “permanente” sin embargo ese escrito puede consistir en algo que nadie

más sea capaz de entender

El trabajo escrito de los niños ayuda al docente a acceder a la forma de pensar de los

63

alumnos. Los errores que tengan los alumnos pueden darle información al profesor

mostrándole algunas malas interpretaciones, modelos de pensamiento y convicciones.

Frecuentemente la escritura matemática del profesor se desarrolla en el pizarrón a

modo de información y por lo tanto se trata de una escritura solamente para connsumo

de los alumnos y frecuentemente con la finalidad de que sea copiada e imitada.. Una

práctica que realizan los maestros es decirle a sus alumnos que vayan siguiendo lo que

el maestro escribe y que detecten los posibles errores ésto lo hacen con la finalidad de

llamar la atención y la concentración hacia la lección.

Los alumnos al querer poner por escrito cierta idea tienden a tratar de que su escritura

sea exacta sin errores ya que tratan de imitar la escritura del profesor o de los libros de

texto, ésto es muy común ya que generalmente lo que se pide en la escuela es que el

trabajo que entrega el niño no tenga borrones, sin errores ni tachaduras.

Los niños pueden escribir de diferentes formas sus ideas existen diferentes estilos:

verbal, mixto y simbólico.

En el estilo verbal, no es necesario el uso de símbolos ni signos matemáticos

especiales, por lo que la solución del problema se lleva a cabo mediante palabras que

son más comunes para los niños junto con símbolos numéricos.

El segundo estilo llamado mixto en este aparecen tanto palabras como determinados

símbolos matemáticos especiales ( a menudo para operaciones; entre los casos

habituales, se encuentran + y x) por ejemplo la siguiente fórmula matemática

El volumen de una pirámide es 1/3 x área de la base x altura.

El modo simbólico, que es el más usual en la escritura matemática profesional; en el se

hallan pocas palabras identificables, de modo que en el texto aparecen de modo

predominante símbolos de varios alfabetos, signos de puntuación, signos inventados a

64

propósito para designar operaciones y relaciones de diversos tipos. Existen dificultades

en los niños al querer expresar por escrito lo que piensan.

Por lo que es recomendable dejar que el niño escriba la solución de un problema

usando el tipo de escritura que desee.

II.IX.I. Diferentes tipos de simbolización

Hay diferentes formas de simbolizar. Esas distintas formas han ido construyendo

sistemas simbólicos, ésto es, conjuntos organizados de símbolos con características

sintácticas, semánticas y funcionales propios.

Si consideramos la matemática como un lenguaje hemos de indicar que tal lenguaje no

se reduce a notaciones, sino que es un universo mucho más amplio, por lo que

hablaremos de el ámbito notacional, pero ¿Qué símbolos forman el sistema notacional

matemático elemental? Pimm, en “El lenguaje matemático en el aula” describe cuatro

tipos de símbolos: “logogramas”, “pictogramas”, “símbolos de puntuación” y “símbolos

alfabéticos”:

Símbolos en el sistema notacional matemático elemental, según Pimm Los logogramas los define como “signos inventados en especial para referirse a conceptos totales”. Además de las diez cifras (0,1,2,…9) tenemos los operatorios y relacionantes:+, -, :, x, <, >, etc. Estos signos no tienen parecido alguno con lo que significan .

Los pictogramas en la notación matemática son unos pocos íconos geométricos. Vienen a ser “imagen estilizada, pero interpretable con toda claridad, del objeto en cuestión”. Los signos de ángulo, de cuadrado o triángulo son un ejemplo.

Los símbolos de puntuación son tomados de ortografía normal, pero asignándole un significado especifico: “()”, “[ ]”,”;” , “/”, etc. Cada uno de estos signos se denomina con un término extraído de la lengua común, pero sus funciones son diferentes.

Por último los símbolos alfabéticos son letras tomadas del alfabeto romano o del griego; a, b, c, x, y, A, B, C, etc y que son utilizados con la finalidad y significado muy diferentes al alfabético.

Adaptado de Pimm (1985)

65

Del cuadro anterior concluimos que para la construcción de las operaciones

matemáticas es indispensable que el niño sepa lo que los signos y las palabras

significan, pues de otra manera será imposible que ejecute las operaciones; es notorio

como el lenguaje, incluso el uso de ciertos términos es indispensable para avanzar en

el conocimiento matemático, se necesitan nuevos símbolos y palabras para expresar

nuevas relaciones. En este caso el adulto introduce el término “factores” para poder

explicar la multiplicación y su respectivo signo “x”, ante esta situación tal vez el niño

lleve a cabo una operación de multiplicación y obtener el resultado correcto pero sin

hacer el conocimiento declarativo de lo que está haciendo. Por lo tanto, el maestro debe

estar conciente de que está enseñando al niño un lenguaje nuevo el cual se apoya en el

lenguaje natural pero que tiene sus propias reglas.

II.X. El lenguaje matemático en el aula

La forma en que se nos presenta alguna materia en la escuela influye en cómo nos

interesemos por ella en un futuro, respecto a las matemáticas esto es de gran

importancia ya que generalmente la enseñanza de éstas es de una forma muy directa.

En numerosas ocasiones los fracasos de los estudiantes en matemáticas se debe a

estrategias didácticas mal empleadas. El alumno es considerado como un simple

espectador el cual sigue lo que el docente le indica, el maestro es el que posee el

conocimiento los alumnos sólo deben concretarse a responder lo que el docente les

pregunta.

Brousseau, dice: “¿Cierto tipo de contratos didácticos no impedirán a algunos niños

entrar en un proceso de aprendizaje?” Las causas de fracaso escolar deberán buscarse

66

entonces, en las relaciones del alumno con el saber y con las situaciones didácticas y

no en aptitudes o en características generales o permanentes”. Se debe saber ¿cómo?

se presenta el conocimiento matemático en la escuela primaria, ya que no se debe

atribuir el fracaso a causas biológicas aunque también ésto puede suceder, pero

solamente en contadas ocasiones. “Consideremos los tipos de obstáculos didácticos:

obstáculos de origen ontogénico (limitaciones neurofisiológicas) en donde el individuo

desarrolla conocimientos que son apropiados a sus medios y a sus objetivos.

Obstáculos de origen didáctico, Son los obstáculos que dependen de una elección o de

un proyecto de sistema educativo.

Obstáculos de origen epistemológico. Son los obstáculos simbólicos y operatorios

Actualmente el fracaso de la enseñanza de la matemática en la escuela se debe a la

reunión de varios factores causales, pero el factor más influyente es la idea que tiene el

profesorado y las familias sobre que es la matemática escolar. mayoritariamente se

cree que la matemática escolar ha de ser, simplemente, un conjunto de técnicas de

cálculo y de estrategias para la resolución de problemas con números, saber hacer

cuentas y aplicar las cuatro operaciones aritméticas básicas. También a esta idea se

une otra la de que el conocimiento matemático escolar puede ser transmitido y por lo

tanto aprendido mediante enseñanza directa siguiendo la secuencia “explicación verbal

(pizarra) ejercitación (lápiz y papel)”. lo que quiere decir que domina también una idea

del aprendizaje de las matemáticas escolares concebida a base de la tradición y de

sentido común, estas dos ideas forman una tercera idea radicada en la creencia de que

toda enseñanza produce aprendizaje.

67

Pero en realidad el fracaso en las matemáticas ha ido avanzando en nuestro país

desde hace muchos años por lo que se demuestra que toda la enseñanza no produce

aprendizaje, que la enseñanza directa metodología del pizarrón, papel y lápiz no es ni la

mejor ni la única forma de abordar la enseñanza de la matemática, principalmente en

primaria. A pesar de las aportaciones de la investigación psicología, didáctica, de la

abundancia de cursos de educación matemática que se han venido dando al

profesorado, del material didáctico que se vende; todavía hoy siguen teniendo validez

las palabras que escribiera Dienes en La construcción de las matemáticas “actualmente

son muy pocos los profesores de matemáticas, cualquiera que sea el nivel en que

trabajan, que se encuentren honestamente satisfechos del modo como transcurre su

enseñanza”20. Todo lo anterior ocasiona que los niños sientan antipatía por las

matemáticas, antipatía que aumenta con la edad y muchos los que encuentran

dificultades casi insuperables en las cuestiones más sencillas, .hay que reconocer que

la mayor parte de los niños nunca logra comprender la significación real de los

conceptos matemáticos, en el mejor de los casos se convierten en consumados

técnicos en el arte de manejar complicados conjuntos de símbolos, pero la mayor parte

de las veces acaban por desistir de comprender las imposibles situaciones en las que

las exigencias matemáticas escolares de hoy les colocan. La actitud mas corriente

consiste simplemente en esforzarse en aprobar el examen, tras lo cual nadie dedica a

las matemáticas ni un pensamiento más.

20 M. Alcalá, La construcción del lenguaje matemático, pág. 7.

68

El conocimiento matemático es visto como algo acabado que es legitimado por la

institución escolar, cuyo representante es el docente, por lo que la obligación del

alumno es aprender conocimientos que en muchos casos son enseñados de forma

errónea por parte de los docentes quienes tienen errores en la falta de dominio de

conceptos matemáticos y de notación, ésto hace imposible el aprendizaje de las

matemáticas. Otra causa que impide el aprendizaje de las matemáticas es que los

símbolos se encuentran de forma descontextualizada, por eso es poco factible que los

alumnos comprendan plenamente la utilidad de los símbolos y operen con ellos

correctamente. Por lo que el maestro de matemáticas antes de impartir clases debe

hacer un análisis conceptual del tema que vaya a impartir, tiene que saber planificar los

métodos por los que los esquemas necesarios pueden desarrollarse.

El profesor es responsable de la dirección general u orientación del trabajo, para

explicar y corregir errores, también debe mantener el interés y la motivación, por lo que

el papel del maestro en la enseñanza de las matemáticas es importante ya que puede

contribuir a lograr un buen aprendizaje.

69

-

70

III. LA REPRESENTACIÓN Y LA COMUNICACIÓN EN EL APRENDIZAJE DE LAS

MATEMÁTICAS

III.I. El profesor como líder de grupo

Organizar la actividad diaria dentro de clase no es una tarea fácil y quienes piensan

que basta con “explicar bien” y tener a los niños “controlados” y “trabajando” para que el

“aula funcione” están en un error, es decir, practicar una metodología acorde con el

respeto a las capacidades y necesidades de niños y niñas y que además, tome como

guía acercarse al aprendizaje autónomo, es una tarea complicada que requiere del

maestro unos principios pedagógicos claros y ciertas cualidades: sensibilidad,

capacidad para comunicarse, intuición, generosidad, sencillez, liderazgo, etc.

El maestro deberá valorar las diferentes aportaciones de los niños que le servirán para

conocer sus nociones y podrá propiciar un avance de aprendizaje a través del

descubrimiento y planteamiento de nuevas situaciones en donde los recursos que antes

eran buenos, ahora son insuficientes.

Que el maestro provoque la confrontación entre ellos, surjan explicaciones y

conclusiones. Esta actividad le da al aula un ambiente de constante movimiento ya que

la participación espontánea del niño es general.

“El maestro ayudará a los niños a construir su propio conocimiento en la medida en que

realice las situaciones de aprendizaje adecuadas, partiendo de lo que el niño sabe,

71

planteándole otras preguntas para que se conflictúe, confrontando sus conocimientos

con la realidad, estimulándolo para que piense y trate de encontrar las respuestas por sí

mismo. Debe el maestro estar atento a sus intereses, ser flexible para cambiar un tema

programado cuando surja en el aula un problema más inmediato, cuidar de no

interrumpir. Una vez frente al grupo deberá pasar por todas las mesas de trabajo dando

apoyo personal a todos aquellos niños que así lo requieran.” 21

El maestro de matemáticas tiene que estimular la escucha crítica y la fluidez verbal en

las explicaciones que dan sus alumnos.

En la enseñanza con una clase que tiene muchos alumnos en dónde el maestro debe

adoptar una actitud muy autoritaria, si no establece y mantiene el orden, no puede

cumplir su función como comunicador del conocimiento, de esta forma se ve al maestro

dentro del aula. Pero si pudiera verse al maestro como una persona capaz de cometer

errores con problemas personales y con sentimientos. Tal vez la relación de éste con

sus alumnos sería diferente, con ésto nos referimos que habría más confianza de parte

del alumno a preguntarle sus dudas .

Cuando el maestro se comporta de una forma autoritaria, produce ansiedad en el niño,

el cual con tal de complacer al maestro memoriza procedimientos aunque no les

encuentre sentido.

En la enseñanza de las matemáticas el maestro debe asimilar que el lenguaje que

emplea sea simple y debe evitar el vocabulario inapropiado o confuso. Otra misión del

maestro es la de “hacer vivir el conocimiento”; hacerlo producir por los alumnos como

21 José Parejo, Comunicación verbal y educación, Paidos, 1995, pág. 23.

72

respuesta razonable a una situación familiar y además transformar esa respuesta

favorable en un “hecho cognitivo” extraordinario, identificado, reconocido desde el

exterior“.

Para el docente es grande la tentación de brincar estas dos fases y enseñar

directamente el saber como “objeto cultural” evitando este doble movimiento. En este

caso se presenta el saber y el alumno se lo apropia como puede. El trabajo del docente

consiste, en poner al alumno una situación de aprendizaje para que produzca sus

conocimientos como respuesta personal a una pregunta, y los haga funcionar o los

modifique como respuesta a las exigencias del medio y no a un deseo del maestro. El

maestro al momento de enseñar tiene que tener presente el conocimiento declarativo y

el procesal:

• “El conocimiento declarativo. lo que se desea que los alumnos sepan: hechos,

conceptos y principios, es sumamente importante en la construcción del

conocimiento matemático aun para el manejo eficiente de los algoritmos, por lo

que su utilización deberá incrementarse si la herramienta fundamental en el

desarrollo de los procesos de pensamiento es el lenguaje, el maestro deberá

utilizarlo más para la explicación de conceptos, para la introducción de términos

nuevos que representen las experiencias, para explicar ciertos principios y sus

aplicaciones en diferentes contextos y para que finalmente los algoritmos sean

aplicaciones prácticas que tengan su base en una conceptualización clara del

fenómeno en cuestión.” 22

22 Luis Felipe Goméz, La enseñanza de las matemáticas, desde la perspectiva sociocultural del desarrollo cognitivo, pág.30.

73

Es importante evitar la memorización de procedimientos; en su lugar los niños podrían

crear modelos mentales de las operaciones que realizan, comprenda los conceptos,

generalizar los principios subyacentes a la operación y pasar del nivel concreto de las

operaciones a la abstracción.

• El conocimiento procesal es lo que queremos que los alumnos sepan como

hacer procesos y habilidades.

Una de las dificultades que enfrentan los niños con las matemáticas es el conocimiento

procesal, ya que a menudo se enseña sin enfatizar en la pertenencia conceptual de

estos procedimientos, y dicho con más precisión, la dificultad estriba en que al mismo

tiempo deben construirse ambos tipos de conocimientos así como la relación que

permita derivar procedimientos a partir de ciertas definiciones, y a la relación inversa, es

decir la construcción de conceptualizaciones a partir de las propias acciones en las

operaciones matemáticas.

Por lo general en la enseñanza de las matemáticas se da más importancia al uso de

procedimientos algorítmicos sin una base conceptual, cayendo en la repetición de

reglas rutinarias, mismas que en un corto plazo se olvidan y que no permiten un

lenguaje adecuado

Otra situación dentro del aula es la forma en como el maestro ve al alumno y el

concepto en que lo tiene influye en el aprendizaje del mismo ya que si el maestro

estereotipa al alumno como una persona incapaz de realizar algún ejercicio de

matemáticas, el alumno no lo podrá realizar de forma satisfactoria. No podemos decir

que la comunicación sólo tiene lugar cuando es intencional, consciente o eficaz, cuando

74

se logra un entendimiento mutuo. El mensaje sin sentido, el silencio el retraimiento, la

inmovilidad, (el silencio del cuerpo), también es un tipo de comunicación.

En variadas ocasiones el niño le manda mensajes al maestro al no entender cierto

concepto matemático o que le aburre la forma en como esta impartiendo la clase o que

no le interesa, sin embargo el maestro no ve o no quiere ver estos mensajes que envía

el alumno. En una clase de matemáticas las señales que manda el maestro hacia

determinado contenido matemático son variadas ya que puede abrir demasiado los ojos

cuando se trata de un tema que el mismo maestro considera difícil, o su modulación de

voz también demuestra si el contenido que está enseñando es difícil o fácil.” El maestro

como decía Skeemp es el experto encargado de proporcionar al estudiante una gran

variedad de situaciones con las cuales le permita una construcción conceptual a la vez

que se asegura que sólo si ya se posee un concepto se es capaz de aprender otros”23.

III.II. Principios

“El maestro debe suscitar en los alumnos la habilidad de representar la estructura de

los eventos matemáticos a través de modelos verbales, manipulativos o pictóricos y de

traducir esos modelos a expresiones matemáticas.

Necesita haber una interacción más activa entre maestro y alumno pues a partir de esta

interacción el niño se apropiará de las herramientas creadas por la cultura para

desarrollar más su razonamiento matemático.” 24

23 R.Skemp. Psicología del aprendizaje de las matemáticas, Morata.1993.Pág. 19 . 24 Luis Felipe Goméz, La enseñanza de las matemáticas, desde la perspectiva sociocultural del desarrollo cognitivo, pág.34.

75

Uno de los aspectos más importantes en la enseñanza es la interacción entre adulto y

niño, primero se construyen las operaciones externamente entre ambos, para que

posteriormente sean realizadas internamente por el niño. La enseñanza se da

únicamente en la zona de desarrollo próximo, en la cual el adulto guía al niño en la

adquisición de nuevos aprendizajes planteándole situaciones que sean un reto para su

capacidad actual pero que pueden ser resueltas exitosamente por el niño gracias a la

ayuda que el adulto le proporciona.

Es importante programar adecuadamente las actividades que se den a los niños

cuidando que vayan de lo simple a lo complejo, de lo concreto a lo abstracto y de lo

trivial a lo controversial; es decir es muy importante regular la dificultad de la tarea. El

aprendizaje debe ser trascendente, es decir debe ayudar no sólo a resolver el problema

inmediato, sino permitir la resolución de problemas que puedan presentársele

posteriormente.

Con frecuencia el maestro quiere que el niño resuelva determinado problema usando

algún algoritmo (multiplicación, división, suma o resta), pero si el niño resuelve dicho

problema usando otra estrategia diferente, las llamadas estrategias informales el

maestro lo reprende. Las estrategias informales no son un obstáculo en el aprendizaje

sino un paso que es necesario en el camino de la construcción de un procedimiento

más abstracto y más simbólico.

Esto nos lleva a pensar que para que se de un aprendizaje significativo se debe partir

del desarrollo conceptual del niño que enlaza lo que ya conoce con lo que debe

conocer. Se le debe mostrar al niño que los algoritmos están relacionados con los

76

procedimientos informales que el utiliza sólo así el aprendizaje será significativo.

Inicialmente el adulto debe asumir la responsabilidad de que la actividad se realice

correctamente y de manera gradual irá dejando al alumno la responsabilidad de la

actividad.

Se propone un tipo de enseñanza que permita una conceptualización amplia,

conjuntamente con los procedimientos algorítmicos, puesto que sólo con una

conceptualización del número y una comprensión del por qué de las operaciones y de

los procedimientos algorítmicos los niños podrán aplicar el conocimiento matemático

como una herramienta para la solución de problemas. La conceptualización matemática

y las operaciones aritméticas deben presentarse como aspectos complementarios del

estudio matemático.

Desde el comienzo del curso el maestro debe lograr un ambiente de trabajo adecuado.

El poder del profesor no provendrá de la capacidad que éste puede tener de ejercer

cierto terrorismo, sino de la convicción que el estudiante tenga de que él es quien

puede ayudarlo para avanzar en el curso. Es por ello que el contacto personal con los

estudiantes es trascendente; es de esta manera que el profesor logrará bajarse de su

trono y ponerse al mismo nivel que sus estudiantes.

77

III.III. Sugerencias para lograr un lenguaje matemático adecuado

Partir de las experiencias del niño

Pedir continuamente que el niño de ejemplos

Ayudar al niño a que exprese de manera simbólica lo que ha dicho de manera

lingüística

Pedir al niño que plantee problemas.

La necesidad de seguridad emocional, aprecio positivo y respeto afectan el

aprendizaje del niño

Dar al niño un trato personal.

Informarle que esta permitido cometer errores.

Recalcar sus respuestas acertadas.

Dirigirse al niño siempre por su nombre.

Señalar los errores del niño con brevedad, ayudándole a encontrar la falla y

señalando que los errores pueden permitirnos nuevos aprendizajes.

El sentirse competente hace que el niño se sienta motivado a realizar la tarea y a

correr riesgos en el aprendizaje.

Utilizar las respuestas acertadas del niño y su trabajo en general para ayudarle a

mejorar su autoestima.

Graduar la dificultad de la tarea y utilizar problemas concretos, sobre todo en las

fases iniciales de un proceso.

Pedir a los niños que planteen sus propios problemas.

Ayudar al niño a estimar el resultado antes de que haga el cálculo preciso.

Enseñar al niño a evaluar sus propios razonamientos y operaciones.

78

La enseñanza ocurre en la zona de desarrollo próximo.

Ayudar al niño cuando no pueda realizar sólo su trabajo.

Las matemáticas requieren del niño un vocabulario especializado es decir no se

deben sustituir palabras de uso cotidiano con las del lenguaje matemático.

Ayudar al niño a que comprenda las relaciones numéricas utilizando términos

que le sean comunes.

Sustituir términos poco precisos por otros de mayor precisión.

Ayudar al niño a dar nombre a cada proceso, a cada operación y a cada parte de

la misma.

Enfatizar la interacción verbal y que el niño proporcione explicaciones de sus

razonamientos y acciones.

Hablar en voz alta mientras resuelves un problema.

Comentar que harás para solucionar el siguiente problema.

Para facilitar la enseñanza, el adulto debe distinguir entre el conocimiento

declarativo y el procesal.

Hacer que el niño memorice el conocimiento declarativo y haga práctica del conocimiento procesal. La reflexión es un aspecto importante en la construcción del conocimiento matemático.

79

Pedir al niño que explique los procedimientos en términos del conocimiento

declarativo.

Pedir a los niños que piensen la respuesta antes de contestar.

Pedir las razones que avalan su respuesta

Es mejor que el niño aprenda los principios que gobiernan la solución de

problemas que la mera ejercitación en el uso de algoritmos.

Pedir al niño explicaciones de las operaciones que realiza.

Enfatizar los aspectos de comprensión.

Pedir al niño que describa el proceso que va a seguir antes de realizarlo.

Demostrar los principios que queramos enseñar y pedir al niño que los explique.

La memoria desempeña un papel importante en el aprendizaje.

Para ayudar a que el niño adquiera vocabulario se puede usar un crucigrama

para ligar la palabra a su significado o al modo en que puede aparecer en el

texto matemático.

Hacer una sopa de letras, el emparejamiento de una serie de palabras con una

lista de significados o una serie de imágenes y una mezcla de “sopa de letras” y

emparejamiento.

Otra posibilidad es la de seleccionar la mejor descripción para una palabra entre

cierto número de alternativas.

Se recomienda que el estudiante haga en su cuaderno un apartado tipo

diccionario destinado para anotar una lista de los conceptos que él ha visto.

Es importante que el diccionario no contenga únicamente el significado abstracto

del concepto sino que involucre el significado operacional del mismo. Esto es

80

que indique la manera como el concepto se puede utilizar dentro del contexto en

el que él interviene

Llevar a cabo una comunicación con alguien que estuviese en la habitación de a

lado.

Pedir que los niños realicen descripciones matemáticas por teléfono, o

instrucciones dadas a un alumno que tuviese los ojos tapados y tratar de

moverse en un camino con obstáculos.

Con sus preguntas el profesor de matemáticas puede fomentar en el niño la curiosidad

científica; dar oportunidad a los alumnos a que ejerzan una labor investigadora;

promover un aprendizaje significativo; promover el lanzamiento de hipótesis; analizar

los resultados; establecer un proceso comunicativo equilibrado; fomentar la

participación y reconocer la diversidad. Estas preguntas se proponen para niños de

quinto y sexto año de primaria

Entre las posibles preguntas que el maestro puede formular para fomentar la

curiosidad del alumno y ejercer investigación se encuentran:

¿Puedes predecir que pasará en la resolución de este problema?.

¿Qué puede ser interesante observar de la clase de matemática?

¿qué más te interesaría conocer de matemáticas? ¿Has encontrado utilidad ? ¿Ha

merecido la pena trabajar en los ejercicios que se ponen en clase?

81

- Cuestionamientos para promover significatividad:

¿Qué sabes de…?

¿Por qué consideras que puede ser interesante este tema matemático?

¿Hay alguna situación real en que pueda aplicarse lo que has visto en la clase de

matemáticas?

¿Esa es la única forma de plantear el problema ?

¿Se podría decir de otro modo?

¿Sabes encontrar los limites del problema? Promover hipótesis y analizar resultados.

¿Qué suposiciones has hecho para…? ¿Cómo has organizado tu forma de resolver el

problema?

¿El planteamiento del problema matemático es razonable? ¿Cómo sabes que es

correcto?

¿Se trata de la única solución (camino, estrategia…) posible?

¿Funciona?

¿Hay algo que quizá hayas sobreestimado?

¿ O tenido en cuenta?

Interrogantes para mejorar la comunicación y fomentar la participación

¿Cómo ha sido el trabajo en el grupo?

¿En que te has sentido colaborador?

¿En que ha ayudado el grupo a comprender mejor la clase de matemáticas…?

¿Alguien ha ejercido una labor negativa en el grupo?¿Por qué?

¿Se han dado oportunidades para que todos participaran?

¿Las palabras que ha utilizado el maestro han sido importantes para la resolución de

cualquier problema matemático?

82

- Preguntas y estrategias para fomentar la reflexión.

¿Qué pensaste cuando trataste de resolver un problema matemático?

¿Has olvidado algo?¿Has intentado otro procedimiento?

¿Cuál de tus razonamientos ha sido importante?

¿Por qué no ha funcionado?

Toma nota de las posibles soluciones que le darías a un problema matemático.

Discute.

¿Qué has aprendido de las posibles soluciones de los problemas matemáticos que dan

tus compañeros?

☺ Di tres cosas que te han sorprendido de la clase de matemáticas.

☺ Redacta un pequeño informe relacionado con la importancia de las matemáticas

en tu vida cotidiana.

☺ Escribe en grupo cuatro ideas importantes sobre un tema matemático.

☺ Expresar en un esquema las relaciones entre diversas figuras geométricas.

☺ Llegar a mejorar unas definiciones hechas por otros compañeros o compañeras.

☺ Leer cuentos o escribirlos.

☺ Poder describir o explicar lo que se está haciendo en una actividad basada en la

manipulación o en la observación facilita la abstracción y al mismo tiempo, da

información al docente del grado de comprensión y de las dificultades de

aprendizaje del alumnado.

☺ La comunicación de actividades sobre materiales u objetos sin su presencia

provoca la reflexión del alumnado y permite mejorar la comprensión y, además

facilita la memoria a largo plazo.

☺ La comunicación debe ser oral y progresivamente gráfica y escrita.

83

☺ Actividades de comunicación oral, gráfica o escrita destinadas a expresar

relaciones, resultados de investigaciones, a debatir posibilidades, a entender

información proporcionada por los compañeros y las compañeras o por el

maestro, a mejorar definiciones.

☺ Leer textos que contengan información matemática (periódicos, folletos

publicitarios, facturas, instrucciones).

☺ En sus exposiciones el maestro puede introducir un tema nuevo, para sintetizar

diversas actividades realizadas con un tema en común para introducir símbolos,

etc. Por ejemplo, puede ser un cuento sobre el número 1,000, también una

síntesis sobre los métodos propuestos por el alumnado para encontrar triángulos

diferentes en un geoplano de 5x5, para proponer una investigación sobre el

mercado de su comunidad (estadísticas, mediciones); los materiales para hacer

esta exposición pueden ser transparencias fotografías, gráficos, objetos, etc. Se

pueden usar cualquier tipo de materiales no únicamente el gis y el pizarrón.

☺ Trabajos que podrían dejarse al alumno: elaborar una ficha o un guión escrito

que pueda comprender por sí mismo. Puede tratarse de un trabajo de práctica,

de aplicación de un concepto, de exploración, de problemas sencillos.

☺ Trabajos en equipos, pueden realizar una investigación a partir de los materiales

didácticos para obtener propiedades, encontrar relaciones, descubrir conceptos,

resolver problemas, etc.

☺ Un plan de trabajo para organizar la clase: el “plan de trabajo” es un pequeño

cuadro que servirá de guía a lo largo de un corto periodo de tiempo y cuya

finalidad es doble:

☺ favorece la flexibilidad en la organización de la actividad en la clase.

84

☺ Desarrollar la responsabilidad personal y la autonomía de trabajo del aprendiz.

☺ Para ello es conveniente realizar dicho plan de trabajo de modo convenido entre

alumnos y maestro, dedicándole una sesión, o parte de una sesión. Con la

realización conjunta se adquiere carácter de compromiso y de proyecto común y

se realiza a la vez una función de programa al contener qué se persigue, dónde

está la información y qué materiales habrá de usar, finalmente, el tiempo

aproximado. Un modelo simple y eficaz es el que contiene los puntos siguientes:

Tema u objetivo de estudio

Objetivos

Materiales que hay que utilizar.

Tiempo

Cada alumno realiza un cuadro semejante en su cuaderno y el contenido de cada uno

de los puntos mencionados es el siguiente:

TEMA: qué se va estudiar en las próximas dos o tres semanas, formulado a propuesta

de los niños o del maestro, expresado como tema libre (medir el agua, hacer divisiones

grandes, las cuentas de quebrados, etc.) o coincidiendo con temas del libro de texto de

la SEP (las medidas de capacidad, operaciones con fracciones, etc.)

OBJETIVOS: se anota lo que se espera conseguir. El maestro indica que meta o metas

son las aconsejables, pero además cada cual puede añadir lo que se proponga

alcanzar. Desde el punto de vista personal se ajustan los objetivos en un diálogo

maestro-alumno con el fin de adecuar tales objetivos a cada uno.

MATERIALES: qué se va a utilizar. Aquí el maestro ha de seleccionar y ordenar el

material y las actividades que habrá que realizar. Incluye partes del libro de texto que se

tenga y otros materiales impresos, además de juegos, videos, etc. El caso es que cada

85

cual sepa qué ha de hacer y en qué orden. El maestro prepara además materiales

especiales tanto para los niños más avanzados como para los que difícilmente

consiguen unos mínimos y acuerda con ellos su realización.

TIEMPO: se prevé y anota el tiempo aproximado, dos o tres semanas, al término del

cual se realiza siempre una prueba evaluatoria, calificación incluida. La calificación está

en función de la capacidad de cada cual y de los niveles alcanzados.

De esta forma, todo el grupo trabaja una misma temática, pero el “plan de trabajo”

permite tener organizada y atendida, en la medida de lo posible la diversidad de niveles

dentro del grupo. El plan de trabajo viene a ser, una herramienta didáctica ideal para el

desarrollo del trabajo autónomo; es una herramienta de planificación para niños y

maestro a partir de los últimos cursos de primaria.

La relación entre las matemáticas y el español se pueden dar de la siguiente forma:

trabajar sobre las semejanzas y sobre las diferencias entre la descripción de un

accidente de tránsito reportada en un periódico y la descripción de una construcción

geométrica. Esta última sigue un proceso de deducción lógica (y no una cronología de

algunos eventos), y no puede dar lugar a una intervención o a una expresión de la

subjetividad.

A continuación se propone una poesía en donde intervienen los números del 1al diez,

este ejercicio es para niños de preescolar y primero de primaria, ya que es a través del

lenguaje verbal principalmente como los niños se van apropiando del lenguaje

matemático.

86

Poesía

Uno, dos, tres,

Tenemos el ritmo en los pies.

Cuatro, cinco, seis,

Marchamos con gracia. ¿Lo ves?

Siete, ocho, nueve,

Bailamos como el Viejo se mueve.

Al final de la lista está el diez y podemos contar al revés.

Nueve, ocho, siete,

Cantamos al sol que se mete.

Seis, cinco, cuatro,

El que no se mueva es un pato,

Tres, dos, uno,

Parado no se queda ninguno.

Ricardo Gómez, La selva de los números

El siguiente cuento se propone para niños de tercero y cuarto, en el lo que se persigue

es que el niño realice una interacción con el resto del grupo al verbalizar sus posibles

respuestas y posteriormente poder realizar sus operaciones de forma escrita.

Las gallinas gordas de la granjera

En una granja que había cerca del pueblo vivían, felices, unas gallinas. Todos los días, cada una de las

gallinas ponía un hermoso huevo y la granjera estaba muy contenta con ellas. Un buen día se le ocurrió

una brillante idea:

“Si cada gallina pone un huevo al día y tengo diez gallinas, al cabo de una semana tendré siete veces

diez huevos.

Pero, si les doy de comer el doble de granos de maíz a mis gallinas, ¡seguro que ponen el doble de

huevos!”

87

Muy satisfecha con esta idea, la granjera se fue a la cocina y comenzó a hacer cuentas con lápiz y

papel.

“¡Estupendo!, podría conseguir 20 huevos de cada gallina y en una semana tendría 140 huevos”, gritó

ilusionada,

“Cuando los venda en el mercado me darán mucho dinero por ellas y seré rica”.

Así que, desde el día siguiente les dio de comer el doble de maíz y las gallinas se pusieron muy

contentas. Pero empezaron a engordar y a engordar y se hicieron cada vez más vagas, tan vagas que no

querían ni poner huevos.

Primero pusieron un huevo cada dos días, luego uno a la semana y, finalmente dejaron de poner. La

granjera se enfureció y dejó de darles de comer.

Entonces las gallinas adelgazaron y, cuando menos lo esperaba la granjera, volvieron a poner huevos

como al principio: uno cada una al día.

Y así, la granjera pudo vender de nuevo sus huevos. Pero nunca se hizo rica.

Este tipo de narraciones le permiten al niño ir reconstruyendo una posible solución al

problema ayudado por el lenguaje natural y formal.

88

CONCLUSIONES

Al final de la presente investigación se concluye que somos seres simbólicos, toda

nuestra herencia cultural la hemos adquirido principalmente a través del lenguaje, el

cual se ha ido ampliando conforme avanzan nuestro conocimientos sobre los

fenómenos naturales y sociales; prueba de este desarrollo es el lenguaje matemático.

El lenguaje matemático es el fruto del razonamiento lógico que el hombre ha adquirido

a través de miles de años y que toma como base el lenguaje natural, transformándose

después en un lenguaje completo, complejo, universal, que ha apoyado al individuo a

través de su constante evolución intelectual en la resolución y explicación formal de sus

cuestionamientos sobre fenómenos y hechos naturales y sociales; si el hombre no

dominará éste lenguaje no habría logrado los avances tecnológicos que le han

permitido: salir al espacio, transformar los alimentos; generar energía eléctrica, atómica;

conocer y transformar la ingeniería genética; construir grandes rascacielos, puentes,

carreteras, túneles bajo el mar; la robótica; la estadística; las finanzas, la música, la

pintura, etc., he aquí la importancia de dicho lenguaje.

Muchos podrían pensar que los individuos que descubrieron y lograron éstos avances

son “especiales” o “diferentes” al resto de los hombres, sin embargo, no es así. La

mayoría de las personas somos capaces de aprender el lenguaje matemático siempre y

cuando recibamos la ayuda adecuada del entorno sociocultural en el que nos

desarrollemos: la familia, célula fundamental del grupo social, es la mayoría de las

veces la encargada de introducir al niño a la cultura y de obligarlo a aprender, es

probablemente en el núcleo familiar donde el niño se enfrenta a sus primeros

89

planteamientos y conceptos matemáticos, los cuales nacen de la experiencia y le

servirán de andamio para la posterior adquisición del lenguaje matemático que se da ya

en la escuela con la educación formal: sin embargo también la familia y el grupo social

que rodea al niño son quien propicia, en ocasiones, una actitud negativa hacia las

matemáticas y por ende al lenguaje matemático, generando en el niño confusión,

convirtiendo la enseñanza de las matemáticas y su lenguaje en una tarea difícil para el

maestro. Por esta razón es importante que el maestro domine dicha materia y su

lenguaje, además de apoyarse en material didáctico y métodos de enseñanza que le

permitan desarrollarse en el ámbito interacción aprendiz-adulto y entre el grupo en

forma colectiva, volviéndose no sólo un trasmisor de conocimiento, sino un receptor

dispuesto a detectar dudas o malas interpretaciones en las resoluciones de operaciones

o situaciones problemáticas, además de motivar al grupo a reflexionar y generar su

propio conocimiento, el cual será enriquecido por los miembros del mismo grupo,

generando un aprendizaje significativo en los niños.

Como se menciono al inicio de la investigación se retomaron principalmente los

conceptos de enseñanza-aprendizaje del enfoque socio cultural por lo que la mayoría

de las sugerencias que se le proponen al maestro se han desarrollado en esta corriente

en donde como pudimos apreciar el aprendizaje se da en el ámbito interacción

aprendiz-adulto y entre el grupo en forma colectiva y de esta forma pasa a la forma

individual. El aprendizaje consiste en una experiencia externa que es transformada en

una experiencia interna por mediación del lenguaje matemático, de aquí la importancia

de dicho lenguaje, si el maestro se expresa desde un principio usando los conceptos y

símbolos matemáticos correspondientes permitirá que el niño adquiera un vocabulario

90

matemático en donde un concepto o símbolo se asocie con una idea, trayendo como

consecuencia una comunicación exitosa donde el docente y los alumnos trabajen en la

misma frecuencia. No obstante para que este proceso de intersubjetividad sea

completo, además de presentarse elementos comunes en las representaciones

matemáticas entre los alumnos y el maestro, deben presentarse elementos distintos

que posibiliten el aprendizaje y el enriquecimiento de los conceptos que aporte cada

alumno al grupo, o en particular el alumno con el maestro.

¿Es posible que un buen o mal maestro fomente o reprima el gusto por las matemáticas

y su lenguaje en los niños? Al responder a este cuestionamiento recurro a mi

experiencia como estudiante, además de apoyarme en la literatura consultada para

afirmar que la forma como el maestro comunica las matemáticas en el salón de clases

influye en el correcto aprendizaje de las matemáticas. Si la actitud del maestro hacia los

alumnos es optimista, si los ve como individuos capaces de razonar lógicamente, de

aprender los procesos y estructuras matemáticos y responder a los problemas

planteados y se esfuerza por reflejar esta actitud hacia el grupo, seguramente la

mayoría de los alumnos responderán positivamente hacia esta materia; sin embargo no

sólo se requiere de una buena actitud, también el maestro deberá esforzarse por

preparar la clase con anticipación, documentándose adecuadamente y preparando

material didáctico que permita al niño un aprendizaje significativo, útil, de la vida real,

teniendo siempre presente que no en todos los casos se podrán relacionar los signo

con objetos; introducción a la abstracción.

Otro factor importante es que el maestro motive la participación de los niños hacia las

91

matemáticas relacionándolas con los intereses y las vivencias de éstos. Por último, la

adquisición y dominio del lenguaje por parte del docente, tema de ésta investigación, es

de vital importancia para que el niño logre un adecuado uso del lenguaje de las

matemáticas y pueda acceder a estructuras matemáticas de tipo superior que requieren

un cúmulo de conocimientos matemáticos adquiridos con anterioridad.

Si el niño logra resolver con éxito los problemas, seguramente tendrá una satisfacción

que lo motivará ha seguir estudiando matemáticas, además de aumenta su autoestima.

En concreto el lenguaje matemático ayuda a que el maestro interprete las mayoría de

las dificultades que tienen los niños en la asociación del vocablo con el significado

adecuado, además de detectar y ayudar a resolver dificultades relativas al cuándo y

cómo utilizar el código notacional para resolver determinadas situaciones, construcción

progresiva de los significados, manipulación de símbolos, el uso de los códigos para

razonar y resolver problemas…

Además de que es importante no olvidar que hay pensamientos que son especiales,

que solamente pueden ser expresados a través del lenguaje matemático.

92

En el siguiente cuadro se puede observar que dentro del salón de clases es importante

crear un clima de cooperación, un ambiente en donde todos los alumnos puedan

participar en donde el lenguaje matemático sea utilizado para crear conocimiento y

comprensión compartidos.

Proceso de reconstrucción socio-cultural del conocimiento matemáticoProceso de reconstrucción socio-cultural del conocimiento matemático

A. Funciones psicológicas superiores del individuo –Interpsicológicas-(aprendiz-maestro, aprendiz-aprendiz)

Grupo social

1. Transmición de conocimientos y símbolos através de conceptos científicos y cotidianos

-planteamiento del problema-

Escuela Educació formal

Vehículos de la Enseñanza: material didáctico,

libros, esquemas, etc.

M

A A

A

AA

A

?

2. Reconstrucción (objetos, cosas en concreto)y/o abstracción (representaciones mentales, símbolos)

Reflexión y razonamiento sobre el conocimiento.

A

3.

Opinión alternativaSobre el planteamiento

Del problema

4. Forma colectiva, distintos niveles de intersubjetividad

A

A A

A

A A

L.M.

L.M.

Expresión de concepciones propias por cada individuo sobre como

resolverel planteamiento prolemático

Enriquecen y contribuyena la construcción colectivade un nuevo conocimiento

escalarA

Construcción de significados,

conceptos, relaciones, propiedades

o apropiación y uso desímbolos y estructuras

simbólicas

B. Funciones psicológicas superiores del individuo

-Intrapsicológicas- (individual)

5. Avance en el aprendizajedel

lenguaje matemático.Zona de DesarrolloPróximo

(siguiente estadio)

LM= Lenguaje matemáticoM= MaestroA= Alumno

A. Funciones psicológicas superiores del individuo –Interpsicológicas-(aprendiz-maestro, aprendiz-aprendiz)

Grupo social

1. Transmición de conocimientos y símbolos através de conceptos científicos y cotidianos

-planteamiento del problema-

Escuela Educació formal

Vehículos de la Enseñanza: material didáctico,

libros, esquemas, etc.

M

A A

A

AA

A

?

2. Reconstrucción (objetos, cosas en concreto)y/o abstracción (representaciones mentales, símbolos)

Reflexión y razonamiento sobre el conocimiento.

A

3.

Opinión alternativaSobre el planteamiento

Del problema

4. Forma colectiva, distintos niveles de intersubjetividad

A

A A

A

A A

L.M.

L.M.

Expresión de concepciones propias por cada individuo sobre como

resolverel planteamiento prolemático

Enriquecen y contribuyena la construcción colectivade un nuevo conocimiento

escalarA

Construcción de significados,

conceptos, relaciones, propiedades

o apropiación y uso desímbolos y estructuras

simbólicas

B. Funciones psicológicas superiores del individuo

-Intrapsicológicas- (individual)

5. Avance en el aprendizajedel

lenguaje matemático.Zona de DesarrolloPróximo

(siguiente estadio)

LM= Lenguaje matemáticoM= MaestroA= Alumno

Figura 6: Proceso de reconstrucción socio-cultural del conocimiento matemático.

93

94

DATOS GENERALES Vygotsky nació en una familia judía de clase media el 5 de noviembre de 1896 en

Orsha, un pueblo en el norte de la República de Bielorrusia. Localizada dentro de los

límites occidentales de la parte europea de la Unión Soviética Un año más tarde su

familia se mudó a Gomel , una pequeña ciudad de mayor vitalidad cultural.

Su padre, Semyon L´vovich Vygodsky, era un ejecutivo del Banco Unido de Gomel.

Junto con su esposa, Cecilia Moiseievna, maestra diplomada, ayudó a convertir a su

familia en una de las más cultas de la ciudad y organizó una excelente biblioteca

pública.

La madre de Vygotsky, de carácter apacible, dedicó su vida a la crianza. Lev fue el

segundo de ocho hijos; recibió educación primaria en su casa, con Solomon Ashpiz, un

tutor privado que había estado exiliado en Siberia por su activismo revolucionario.

Aunque Asphiz era matemático, también enseñaba otras disciplinas. Aspiz era una

persona amable y de buen humor, que desarrollaba el proceso educativo con su técnica

basada en ingeniosos diálogos socráticos. Quizás esta experiencia fue una de las

raíces de la concepción de Vygotsky de la Zona de Desarrollo Próximo (ZDP), que

jugaría un papel clave en sus ideas pedagógicas.

Vygotsky terminó sus estudios secundarios en 1913. Tenía interés en estudiar historia o

filología, pero estas áreas de estudio desembocaban en la carrera docente y, como

judío, él no podía ser empleado gubernamental. Por lo tanto, ingreso a la facultad de

medicina, ya que esta le garantizaba una vida profesional. Sin embargo después de un

mes Vygotsy se pasó a la facultad de derecho, más adecuada para su interés por las

humanidades, cursando a la par Filosofía e Historia aunque en esta su titulación no

fuera reconocida..

En 1917, Vygotsky se graduó de dos universidades y regresó a Gomel, con su familia.

Allí trabajó como maestro, profesión que ahora si podía ejercer ya que, tras la

Revolución Socialista de Octubre, se había abolido la legislación antisemita.

En 1924 se casó con Roza Novena Smekhova, una mujer decidida e inteligente, que

mantuvo alto el espíritu durante los muchos periodos difíciles que compartió con

Vygotsky.

95

En la última época de su vida, Vigotsky comenzó Medicina buscando en ello una

explicación de la organización neurológica de las funciones mentales superiores que

había estudiado desde otras perspectivas. Su muerte no le permitió completar estos

estudios

Vygotsky contrajo la tuberculosos en el año de 1919 y fallece en el año de 1934, a

causa de esta enfermedad.

Vygotsky vivió una etapa de relativa libertad académica. Sus trabajos abarcaron

muchos campos, además de los ya señalados en filosofía, psicología, arte y cultura,

realizó trabajos y estudios vinculados a los problemas de los refugiados, de los

discapacitados y de las personas con desordenes neurológicos.

PRINCIPALES APORTACIONES TEORICAS DE VIGOTSKY A LA PRÁCTICA EDUCATIVA. La Teoria Vygotskiana de la Psicología:

Vygotsky escribe que la actividad mental es exclusivamente humana, Es el resultado

del aprendizaje social, de la interiorización de los signos sociales y de la internalización

de la cultura y de las relaciones sociales.

El carácter instrumental alude a la mediación de los procesos mentales superiores. Los

humanos modifican activamente los estímulos con los que se enfrentan, utilizándolos

como instrumentos para controlar las condiciones ambientales y regular su propia

conducta. La esencia de la conducta humana reside en su carácter mediatizado por

herramientas y signos. Las herramientas están orientadas hacia fuera, hacia la

transformación de la realidad física y social. Los signos están orientados hacia adentro,

hacia la autorregulación de la propia conducta.

El lenguaje es uno de los instrumentos claves creados por la humanidad para la

organización de los procesos del pensamiento. El lenguaje porta conceptos que

pertenecen a la experiencia y al conocimiento de la humanidad. Instrumentos tales

como el lenguaje se han desarrollado a lo largo de la historia; así la condición cultural

se une a la histórica.

96

Vigotsky mencionaba a los siguientes como ejemplos de herramientas psicológicas y

sus sistemas complejos: el lenguaje; varios sistemas para contar; técnicas

mnemónicas; sistemas de símbolos algebraicos; obras de arte; escritura; esquemas,

diagramas, mapas y dibujos mecánicos, signos convencionales.

Los procesos psicológicos del ser humano pueden ser comprendidos si se estudian

desde su origen para hacerlo se dividen diversos campos de estudio, el filogenético

(que se refiere al estudio de la especie humana), el sociogenético (que se refiere a la

historia de los grupos sociales), el ontogenético (que nos habla del desarrollo del

individuo) y el microgenético (que aborda el estudio de los aspectos específicos del

repertorio psicológico de los sujetos.)

Se puede hablar del desarrollo del individuo en cuanto a la maduración de su

organismo , sin embargo el aprendizaje es lo que posibilita el despertar de los procesos

internos de desarrollo, los cuales no tendrían lugar si el individuo no estuviese en

contacto con un determinado ambiente cultural Internalización es uno de los conceptos

claves de Vygotsky, importante para la determinación social: Cualquier función mental

superior necesariamente pasa por una etapa externa en su desarrollo porque es

inicialmente una función social. En una primera etapa, las funciones mentales existen

en el nivel de la interacción de niños con adultos; son interpsicológicas. Cuando estos

procesos se internalizan, ya existen dentro de los niños, son intrapsicológicos. Esta

concepción implica que la cultura no es simplemente una entidad independiente de los

individuos con la que éstos deben hacer transacciones.. Un concepto esencial de su

teoría es que las funciones mentales superiores se forman durante el proceso de

enculturación de los niños.

Para Vygotsky la educación formal era un instrumento esencial de enculturación.

Consideraba a la escuela como el mejor laboratorio de psicológica humana. Dentro del

contexto de una interacción activa y sistemática entre los niños y el maestro, en donde

se les va proporcionando a los niños, de manera organizada, las herramientas

psicológicas que determinaran la reorganización de sus funciones mentales.

Para Vygotsky la pedagogía crea procesos de aprendizaje que guían el desarrollo y

esta secuencia da como resultado Zonas de Desarrollo Próximo (ZDP). Vygotsky

definió a esta zona como la distancia entre el nivel actual de desarrollo, determinado

97

por la capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo

potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un

adulto o en colaboración con otro compañero más capaz.

El concepto de Zona de Desarrollo Próximo tipifica el método de investigación de

Vygotsky: se ofrece un objeto difícil; el niño recibe orientación de un adulto; alcanza ese

objetivo y se le ofrece otro con mayor dificultad, lo aborda y resuelve solo, si puede, o

con ayuda del adulto.

Entre otros aportes fundamentales de Vygotsky, sus ideas con respecto al juego son de

importancia en los procesos de educación preescolar.

CUATRO DE SUS OBRAS Psicología del arte, psicología pedagógica (1926);

Pensamiento y Lenguaje (1934);

El desarrollo de los procesos psicológicos superiores.

REFLEXIÓN Sin duda Vigotsky revolucionó con sus valiosas aportaciones el pensamiento psico-

pedagógico de su época, sus estudios han sido de gran importancia para el desarrollo

de la práctica educativa y clínica, continuando hoy con su vigencia y aplicación.

Vigotsky en sus escritos destaca la importancia del entorno social y su influencia en el

individuo, estudia al niño con la finalidad de aportar conocimientos que le sirvan al

adulto para encaminarlo a desarrollar su máximo potencial. Por esta razón es

importante conocer la literatura de Vigotsky.

98

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