UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA

NACIONAL

UNIDAD AJUSCO

RELACIÓN ENTRE LOS ERRORES QUE COMETEN LOS ALUMNOS DE

TERCER GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA AL EJECUTAR LOS

ALGORITMOS CONVENCIONALES DE LA SUMA Y LA RESTA CON LOS

CONTENIDOS MATEMÁTICOS DE LOS MATERIALES OFICIALES.

TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE

LICENCIADA EN PEDAGOGÍA

PRESENTA:

SÁNCHEZ BERNAL KARINA LEONOR

ASESOR DE TESIS:

ENRIQUE VEGA RAMÍREZ

2013

2

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………… 4

CAPÍTULO I DEFINICIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO

1.1. PLANTEAMIENTO Y JUSTIFICACIÓN……...…………………………………….. 1.2. OBJETIVOS…………………………………………………………………………… 1.3. HIPÓTESIS…………………………………………………………………………….

6 9 9

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO 2.1. REFERENCIAS CONCEPTUALES…………………..…………….……………..

10 2.1.1. Algoritmo, suma y resta……………..…….…………………………….…… 10

2.2. LOS ERRORES EN LOS ALGORITMOS EN LA SUMA Y LA RESTA………… 12

2.3. ANÁLISIS CURRICULAR.……………………………..………….…………….….. 15 2.3.1. Enseñanza del algoritmo convencional de la suma en los tres

primeros grados de educación primaria…………….……………………..

21 2.3.2. Enseñanza del algoritmo convencional de la resta en los tres primeros

grados de educación primaria...…………………………………………….

23

CAPÍTULO III METODOLOGÍA

3.1. ETAPAS DEL DISEÑO DEL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN……………

26 3.1.1. Revisión de plan y programas..................….……………………………… 26

3.1.2. Elaboración de reactivos.........…………….......……………………………. 26 3.1.2.1. Reactivos de la suma.........……………….................................... 27

3.1.2.2. Reactivos de la resta……….………………………………............ 27 3.1.3. Prueba piloto……….………...…………..………………………………….... 29 3.1.4. Instrumento definitivo. ……..………….……………………..………………. 3.1.5. Aplicación del instrumento definitivo……..………………….……………...

29 31

3.2. ESTRUCTURA DEL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS…............................... 31 3.2.1. Identificación y descripción de los errores en la suma y en la resta……. 31

3.2.2. Identificación y clasificación de patrones de error en la suma y resta…. 32 3.2.3. Comparación de patrones de error en la suma y en la resta………….... 32

3.2.4. Comparación de los contenidos con los patrones de error………………. 32

3.2.5. Patrones de error en la suma y en la resta a partir de su relación con el mismo contenido………………………………………………..…………….

32

CAPÍTULO IV ANÁLISIS DE RESULTADOS

4.1. RESULTADOS DE LOS ALUMNOS QUE PARTICIPARON EN LA PRUEBA………………………………………………………………………………

34

4.2. ERRORES EN LA SUMA…………………………………….……………………... 35

3

4.2.1. Clasificación de errores para la suma…………..……............................... 36 4.2.2. Clasificación de patrones de error en la suma………………………..…… 39

4.3. ERRORES EN LA RESTA...………………...............……………………………... 43 4.3.1. Clasificación de errores para la resta. ………………………..……….…... 43

4.3.2. Clasificación de patrones de error en la resta………........……………..… 49

4.4. ERRORES COMUNES EN LA SUMA Y EN LA RESTA………………………… 51 4.4.1. Comparación de patrones error en la suma y en la resta……………….. 51 4.4.2. Identificación de los errores comunes en la suma y en la resta…………. 54 4.4.3. Relación de los errores comunes en la suma y resta con los

contenidos matemáticos de los materiales impresos en los tres primeros grados de educación primaria……………………………………

55

4.4.3.1. Errores de transformación…….……………………………………. 56 4.4.3.2. Errores relacionados con el valor posicional…...………………… 75

4.3.3.3. Los errores sintácticos………………………………………………. 82

4.5. OTROS ERRORES EN LA SUMA Y EN LA RESTA Y SU RELACIÓN CON LOS CONTENIDOS………………………………………………………………….

89

4.5.1. Relación de los errores de mayor frecuencia en la suma con los contenidos matemáticos abordados en los tres primeros grados de educación primaria..............................................................................

91 4.5.2. Relación de los errores de mayor frecuencia en la resta con los

contenidos matemáticos abordados en los tres primeros grados de Educación primaria……………………………………………………………

93

4.6. REFLEXIONES FINALES DEL CAPÍTULO……………...…………..…………… 95

CONCLUSIONES……………………………………..................................................... 104

BIBLIOGRAFÍA…...………………………………………………………….……………. 111

ANEXOS.

A. LISTAS DE CONTENIDOS TEMÁTICOS DEL EJE LOS NÚMEROS SUS RELACIONES Y OPERACIONES PLANTEADAS EN LOS PMEB DE PRIMERO A TERCER GRADO………………………..........…………………………………...…

115

B. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN...……………...……..……………………..…… 124

C. TABLAS Y GRÁFICAS…………………...…………………………………………..… 131

4

INTRODUCCIÓN

Para nuestra sociedad las matemáticas juegan un rol primordial (estabilidad de la

misma), por lo tanto la enseñanza de las matemáticas debe responder a

perspectivas de la misma sociedad. Esta investigación se centra en uno de los

propósitos de la educación primaria que es que los alumnos se interesen y

encuentren significado y funcionalidad al conocimiento matemático de forma

consciente y eficaz.

Un contenido de las matemáticas son las operaciones de suma y resta por tanto

los algoritmos son tema en el curriculum de la educación primaria desde sus

primeros grados. Este trabajo aspira a identificar y analizar de forma concisa los

patrones de error que se cometen al ejecutar los algoritmos de la suma y de la

resta, para lograr así comprender la esencia misma de los errores y el cómo se

encuentran relacionados entre si con referente a los contenidos matemáticos

plasmados en los materiales educación primaria de primero a tercer grado (plan y

programas de estudios de 1993, libros de texto, fichero de actividades didácticas y

libros del maestro).

Durante el desarrollo de ésta tesis se pretende establecer la relación de los

errores de ejecución de los algoritmos de la suma y de la resta, en el contexto de

nuestro sistema educativo.

En el primer capítulo, se plantea y justifica el objeto de estudio de esta

investigación así como el propósito que se pretende alcanzar con el mismo.

El segundo capítulo es el marco teórico, se refiere al acumulado de principios o

nociones consideradas necesarias para analizar los errores de ejecución en los

algoritmos de la suma y la resta. Este capítulo se divide en tres apartados; el

primero define los conceptos matemáticos de suma, resta y algoritmo. En el

segundo apartado se presentan los aportes de algunas investigaciones

relacionadas con el estudio de los errores en la suma y la resta. En el último

apartado se examina el paquete curricular de 1993 de matemáticas de primero,

5

segundo y tercero de educación primaria del sistema nacional, con la finalidad de

identificar el tratamiento didáctico explicito para la compresión de los algoritmos de

la suma y de la resta en la línea de contenidos matemáticos.

En el tercer capítulo se encuentra plasmada la metodología seguida en la

investigación en tres apartados, el primer apartado expone el proceso seguido

para el diseño y aplicación del instrumento de evaluación, el segundo apartado

plantea la estructura del análisis de resultados obtenidos por el instrumento de

evaluación. El tercer apartado expone el como se presentan las conclusiones

obtenidas con relación a la existencia de una vinculación entre los errores de

ejecución algorítmica convencional de la suma y resta con los contenidos

matemáticos que se abordan en los materiales oficiales en los tres primeros

grados de educación primaria.

El cuarto capítulo presenta el análisis de los resultados obtenidos con el

instrumento de evaluación en seis apartados, en el primer apartado se menciona

las características de los participantes, en los dos siguientes describen y

clasifican los errores que cometen los alumnos al ejecutar el algoritmo

convencional de la suma y la resta. En el cuarto apartado se identifican y

comparan los conceptos matemáticos en común relacionados con los errores en la

ejecución del algoritmo convencional de la suma con el de la resta, en el quinto

se presentan otros errores en la suma y en la resta y su relación con los

contenidos, el sexto apartado se muestran las reflexiones del capítulo.

Finalmente se presentan las conclusiones obtenidas con relación a la

existencia de una vinculación entre los errores de ejecución algorítmica

convencional de la suma y resta con los contenidos matemáticos que se abordan

en los materiales oficiales en los tres primeros grados de educación primaria.

6

CAPÍTULO I DEFINICIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO

1.1 PLATEAMIENTO Y JUSTIFICACIÓN

Las matemáticas en la actualidad se caracterizan por su uso constante en todas

las áreas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la

investigación de proyectos científicos.

La disciplina matemática pone énfasis en la búsqueda de resultados precisos y

procedimientos que se justifiquen lógicamente; sus elementos básicos son las

operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos, los términos geométricos

y teoremas. Desarrollar procedimientos y comprender los conceptos básicos de

la disciplina es equivalente a saber matemáticas, por lo que la educación

matemática tiene como uno de sus objetivos proveer a los estudiantes de una

concepción comprensible de la matemática, que los impulse a desarrollar

habilidades, para que éstos logren aplicar los contenidos que han aprendido con

discernimiento (Mesa, 2001).

De acuerdo con Castro (2001:54) el aprendizaje de las matemáticas tiene tres

propósitos:

Interés de carácter formativo. Fomenta el desarrollo intelectual de cada

individuo y que éste se observe directamente en sus capacidades de

razonamiento lógico, simbolización, abstracción, rigor y precisión que

caracterizan el conocimiento formal de las matemáticas.

Utilidad práctica. Pretende que el conocimiento matemático sea aplicado

directamente para beneficio del individuo y de la sociedad.

Manejo sistemático de las matemáticas en las diversas disciplinas. Se

propone la construcción de puentes que favorezcan la comprensión y la

utilidad del resto de las disciplinas.

La investigación en educación matemática tiene dos propósitos principales, uno

puro que es el de comprender la naturaleza del pensamiento, aprendizaje y

7

enseñanza matemáticos, y otro aplicado que tiene como objetivo usar tales

comprensiones para mejora de la instrucción en matemáticas (Mesa, 2001).

Para Glaeser (1976) y Alsina (1996) el desarrollo curricular matemático debe

favorecer el entendimiento y fortalecimiento de conceptos matemáticos, por lo que

debe sustentarse en objetivos viables, pero sobre todo claros.

El proceso educativo se desarrolla en diversas etapas; planeación, ejecución y

evaluación, estas están relacionadas de una forma interdependiente. La didáctica

matemática se sustenta en una adecuada planeación, la cual diseña y organiza

actividades de aprendizaje, poniendo en práctica los recursos didácticos

previamente planeados, para después analizar verificando los resultados

obtenidos con la ejecución, la evaluación se fundamenta y justifica con la

pretensión de cumplir objetivos de la educación matemática.

La línea de investigación sobre el análisis de los errores es de gran relevancia en

educación matemática, debido a que los errores son una constante en los

ejercicios matemáticos realizados por los alumnos de todos los niveles

educativos, en consecuencia los errores son un elemento estable en la

construcción del conocimiento matemático (Pochulu, s. f.).

Las investigaciones sobre los errores en la ejecución de los algoritmos aritméticos

plantean que el proceso de aprendizaje tanto de la suma como el de la resta

depende de la construcción del conocimiento conceptual y procesal en relación al

algoritmo. De acuerdo con lo establecido en el Plan y Programas de Matemáticas

de Educación Básica (PPMEB) se concluye que es de trascendental importancia

que el alumno obtenga los conceptos de clasificación, seriación, pero sobre todo el

concepto de número de forma clara y precisa durante el nivel preescolar y los

primeros años de educación primaria, ya que de ello depende la exitosa

adquisición de las nociones de suma y resta.

Con el presente trabajo de investigación se pretende describir errores, identificar

y comparar los patrones de error en la ejecución de los algoritmos convencionales

8

de la suma y la resta con números naturales y analizar su relación con los

contenidos matemáticos que se abordan en los materiales oficiales de primero a

tercer grado de nivel primaria, por lo cual la pregunta directriz de esta

investigación es:

¿De qué forma se relacionan los errores en la ejecución de los algoritmos

de la suma y la resta que cometen los niños que cursan el tercer grado de

educación primaria?

Para poder lograr resolver este cuestionamiento, es necesario plantear las

siguientes preguntas:

¿Cómo debe estar estructurado un ejercicio para que a partir de su

aplicación se puedan identificar los errores de ejecución en los algoritmos de

la suma y resta que cometen los niños en tercer grado de educación

primaria?

¿Cuáles son los errores de mayor frecuencia que cometen en la ejecución de

los algoritmos de la suma y resta los alumnos que cursan el tercer grado de

educación primaria?

Debido a que diversas investigaciones plantean que el aprendizaje de los

algoritmos de la suma y resta se puede lograr simultáneamente, es necesario el

planteamiento de una cuarta y quinta pregunta:

¿Qué tipo de conocimientos matemáticos previos han cubierto los alumnos

de tercer grado de educación primaria, para ejecutar correctamente los

algoritmos convencionales de la suma y la resta?

¿Cómo están vinculados los patrones de error al realizar los algoritmos

estándar de la suma y la resta con los conocimientos matemáticos previos?

9

1.2. OBJETIVOS

Objetivo general:

Identificar los errores comunes que cometen los alumnos, de tercer grado

de primaria, al ejecutar los algoritmos convencionales de la suma y resta y

relacionar estos con los contenidos matemáticos que se abordan en los

materiales oficiales de primero a tercer grado de nivel primaria.

Objetivos específicos:

1) Identificar y analizar los patrones de error que comenten los alumnos de

tercer grado de educación primaria al ejecutar los algoritmo convencional

de la suma y de la resta con números naturales.

2) Identificar los contenidos matemáticos previos relacionados con los

algoritmos convencionales de la suma y la resta tratados en los materiales

oficiales de la educación básica.

1.3. HIPÓTESIS

De acuerdo con los objetivos trazados, se plantea la siguiente hipótesis:

Existe una estrecha relación entre los errores que cometen los alumnos,

de tercer grado, al ejecutar los algoritmos convencionales de la suma y

resta, y los contenidos matemáticos y los materiales oficiales de primero

a tercer grado de nivel primaria.

10

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO

En este capítulo se definen los conceptos matemáticos de algoritmo, suma y

resta posteriormente se presentan los aportes de algunas investigaciones que

analizan a los errores en la suma y la resta, y por ultimo se examina el

tratamiento didáctico explicito para la enseñanza de los algoritmos de la suma y

de la resta en los materiales oficiales de matemáticas de primero, segundo y tercer

grado de primaria.

2.1. REFERENCIAS CONCEPTUALES

2.1.1. Algoritmo, suma y resta La palabra algoritmo se deriva del matemático “Al-Jurarismi”. El término algoritmo

describe el procedimiento o esquema mediante el cual se resuelve un problema.

El algoritmo matemático puede definirse como un conjunto ordenado de

instrucciones sistemáticas finitas que permiten hallar la solución de un problema

especifico

Para Maza (1991) el algoritmo posee una doble naturaleza la primera como

procedimiento y la segunda como concepto, la procedimental se caracteriza por

una ampliación del número de etapas secuenciadas y la conceptual por la

ampliación y profundización de las relaciones en juego entre los conceptos

subyacentes al algoritmo.

El algoritmo de la suma puede entenderse como una operación binaria, o como

una operación unitaria; como operación binaria explica la combinación de dos

conjuntos disjuntos o cardinales distintos donde ambos ejercen el mismo papel. La

definición de la suma como una operación unitaria se entiende como un cambio de

estado de una cantidad inicial que se transforma en una cantidad mayor al

añadírsele una segunda cantidad, aquí las dos cantidades ejercen papeles

diferentes, una es la cantidad inicial y otra es la que viene a adoptar el papel de

operador al transformar la inicial en el resultado final (Maza, 1991).

11

Los componentes que intervienen en el algoritmo de la suma se denominan

„sumando‟ y el resultado obtenido „suma‟, la cual tiene las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa: se refiere a que el resultado final de una suma no

depende del orden de los sumandos.

Propiedad disociativa: menciona que la suma de varios números no se

altera al sustituir uno o más sumandos de forma que la suma de los nuevos

componentes sea igual a la primera.

Propiedad asociativa: es cuando los sumandos pueden agruparse en orden

arbitrario sin que se altere el resultado final de la operación.

Propiedad uniforme: hace énfasis la suma de números iguales.

La resta es una operación unidireccional y de carácter unitario, es decir la resta

parte de una cantidad inicial de elementos de la que posteriormente es retirada

otra cantidad que pasa a transformar la primera. La sustracción no encierra la

idea estática de simultaneidad sino la dinámica de cambio de estado. Es por ello

que esta operación parece ajustarse más al concepto de operación unitaria (Maza,

1991).

Los elementos que intervienen en el algoritmo de la resta se llaman „minuendo‟,

„sustraendo‟ y „diferencia‟ o „resta‟; el minuendo es el número del cual se va

extraer o quitar otra cantidad, el sustraendo es la cantidad que se extrae y la resta

o diferencia es el resultado.

De acuerdo con Maza, los niños desarrollan un pensamiento matemático por

etapas, un niño de preescolar se encuentra en una etapa de comprensión en

donde solo existen dos operaciones, por lo que efectúa diversas estrategias y por

lo tanto no encuentra relación estrecha entre: cambiar, unir, quitar, separar y

emparejar, convierte estas acciones en independientes. Tiene claro que el

algoritmo es una herramienta para resolver un problema determinado y que la

12

utilización de dicho algoritmo no implica una comprensión completa del mismo,

su aprendizaje significa aprender a transformar unos elementos en otros (Maza,

l991).

Kamii (1985:102) afirma que los niños logran primero el aprendizaje de la suma,

porque ellos piensan en los aspectos positivos (agregar) de los objetos y las

acciones que satisfacen estas necesidades, posteriormente a medida que

establecen relaciones entre los objetos y las acciones construyen aspectos

negativos (quitar). Para Maza y Kamii la sustracción es simplemente lo inverso de

la adición.

Vergnaud (1991), señala que el algoritmo de la resta no exige ser definido como

una operación inversa de la adición, ya que tiene una significancia propia, pero el

aprendizaje de las operaciones de la suma y la resta no puede ser construido

aisladamente, sino dentro de un mismo campo conceptual.

Para Baroody (2006), los niños solos llegan a considerar a la suma como la

reunión de dos conjuntos de una manera general. “La adición y la sustracción se

relacionan entre sí mediante la complementación: Restar un término (un

sumando) de un total (la suma) produce el otro término (el otro sumando)”

(Baroody, 2006: 154).

2.2. Los errores en los algoritmos en la suma y la resta De acuerdo con los diferentes análisis de los errores en el aprendizaje de los

algoritmos básicos, se puede concluir que los errores pueden tener orígenes

diferentes, habitualmente tienden a ser considerados como la adquisición de un

esquema cognitivo inadecuado en el alumno y no solamente como resultado de

una falta particular de conocimientos. Estas investigaciones servirán como base

de este trabajo para comparar los errores cometidos en la suma y resta, y analizar

13

si existe o no una vinculación entre la comprensión conceptual para la ejecución

del algorítmico.

Existen diversas investigaciones sobre los errores en el aprendizaje de los

algoritmos básicos, estos análisis han identificado patrones de errores

procedimentales de la suma y la resta. En cuanto a la sustracción los

especialistas han categorizando los patrones de errores de acuerdo con la

naturaleza misma del error:

Los errores en los algoritmos tienen como origen la inadecuada adquisición

de estructuras numéricas (Baroody, 1988, 2003; Baroody y Ginsburg, 1986;

Fuson, 1988; Gallistel y Gelman, 1992; Ginsburg, 1977; Resnick, 1982;

Huttenlocher, Jordan y Levine 1994) 1

La generación de errores desde la perspectiva sintáctica en la que sobresale la

Teoría de VanLehn, en la cual identifica y analiza más de 100 tipos de bugs o

errores distintos que cometen los estudiantes durante la ejecución de la operación

de la resta, además de mencionar procedimientos reparadores que surgen al paso

cuando los niños olvidan o se aprenden mal los procedimientos nombrado

impasse1 por Brown y VanLehn, 1982 y VanLehn, 1990, (cit. por López y

Sánchez, 2007,378-81).

La corriente liderada por Resnisck que manifiesta que la deficiente adquisición y

compresión de la serie numérica esta íntimamente ligada con el procedimiento

algorítmico, ya que el niño no ha comprendido las propiedades del número y por

tanto no ha desarrollado la habilidad para utilizarlos en contextos que lo requieran

(Martínez, 2003).

1 Citados por Ricardo López y Ana B. Sánchez, los componentes generadores de errores algorítmicos. Caso

particular de la sustracción. (Revista de Educación, 344. Septiembre-diciembre 2007, 377-402

http://www.cloudbreak.ucsd.edu/~Triesch/courses/cogs1/readings/nuñez2.pdf. 2000>)

14

El origen de los errores en los algoritmos de la sustracción se establece por

una simultanea relación entre el conocimiento conceptual y procesal de los

algoritmos (Richards y Briars 1982; Fuson, 1992; Fuson y Briars, 1990;

Hiebert y Carpenter, 1992; Hiebert Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne,

Murray, Oliver y Human, 1997; Stein, Grover, y Henningsen, 1996).2

La postura de Carpenter es que la eficacia al ejecutar los algoritmos aritméticos no

exterioriza un entendimiento conceptual previo “Pues el niño puede ser capaz de

resolver un problema algorítmico no teniendo aún un dominio del esquema

parte/todo lo cual descarta que el conocimiento conceptual es condición suficiente

que pueda impulsar tal construcción.” (cit. por Mendoza y Santana, 2001).

Los errores son resultado de un fracaso en el proceso de ejecución del

algoritmo (Young y O´Shea 1981).3

De acuerdo con López y Sánchez (2007) Young y O´Shea sustentan que el

origen de los errores en los algoritmos son producto de una memorización

imperfecta de pasos que constituyen el proceso, y son similares a los tipos de

errores vistos en experimentos de aprendizaje verbal donde los niños omiten un

paso, permutan el orden de los pasos, mezclan los componentes de los pasos, o

incluyen pasos de otros procesos algorítmicos. Apoyan sus investigaciones en el

análisis de las aportaciones de Brown, Burton, y de VanLehn.

Para poder construir conceptos y procesos matemáticos es necesario que

desarrolle un pensamiento matemático para evitar desfases innecesarios en su

aprendizaje

De acuerdo con Kamii (1985) para Piaget los conceptos; número, adición y la

sustracción no son conocimientos empíricos. El aprendizaje se construye

mediante la acción asimiladora del sujeto y la acomodación de éste a los objetos

de conocimiento, para lograr la adaptación intelectual. Por tal motivo se busca

2 Ídem.

3 Ídem.

15

presentar a los alumnos situaciones que susciten desequilibrios ó contradicciones

que los lleven a conflictos, sobre la hipótesis teórica de que la construcción

espontánea de las estructuras descansa en la superación de conflictos, en la

equilibración de los desequilibrios del funcionamiento cognitivo.

Maza (1991) afirma que para el aprendizaje de los algoritmos de la suma y la

resta se deben considerar los siguientes factores; manipulación, representación

gráfica y representación simbólica y que a partir de ello se podrá lograr la

resolución de problemas.

Del val (cit. por Proo, 1996:31) supone que las dificultades que obstaculizan el

aprendizaje de los algoritmos de la suma y la resta son deficiencias de la práctica

docente que no impulsa el desarrollo de la capacidad del pensamiento lógico

matemático en el niño que no reflexiona sobre las acciones que realiza y los

resultados que produce, por tanto no pueden ejecutar dichos algoritmos, este

argumento es fuerte porque la conceptualización de las matemáticas se desarrolla

a partir de las nociones fundamentales teóricas que se valen únicamente del

razonamiento lógico y de lo concreto, pero debido a las limitaciones de este

trabajo no podemos afirma que el docente es el responsable del estancamiento

del niño.

Existen diversos trabajos de investigación que plantean hipótesis sobre el qué

hay detrás de un error en el algoritmo de la resta. Los trabajos de Brown y Burton

han logrado ser un referente ya que 1978 diseñaron el modelo “BUGÍ” el cual

buscaba diagnosticar los que cometen los estudiantes durante el aprendizaje del

algoritmo de la resta y así poder apoyar al docente en su práctica

fundamentándose en enfoque psicológico (Sánchez, 2007).

2.3. ANÁLISIS CURRICULAR

El Sistema Educativo Nacional (SEN) en los Programas de Matemáticas de

Educación Básica (PMEB) considera a la suma y a la resta como instrumentos que

16

permiten resolver problemas, presupone que el significado de conceptos que le

dan los niños deriva esencialmente de las situaciones que resuelvan con ellas, por

lo que sus planteamientos derivan en acciones como; unir, agregar, igualar, quitar,

buscar algún faltante, repartir, medir, etc., con el propósito de que el niño

construya un aprendizaje matemático significativo.

La intención de la educación básica respecto al aprendizaje de las matemáticas

es que el niño descubra la utilidad y necesidad de las mismas para que así éste

logre comprenderlas y aplicarlas, por tanto para aprender significativamente los

conceptos básicos de la aritmética se debe partir de la construcción del concepto

de número, clasificación y seriación bajo un referente de conceptualización de

relaciones lógicas.

El Plan y los PMEB se fundamentan bajo la vertiente del planteamiento de

problemas por ende se sustentan en la corriente constructivista (Alatorre, S., et al,

s.f.), la cual parte de teorías centradas en desarrollo integral del ser humano, por

lo tanto cimienta sus bases en la teoría de Piaget (teoría psicogenética) sobre el

desarrollo cognoscitivo, aporta una descripción precisa de la adquisición de las

nociones matemáticas en el niño así como el desarrollo de habilidades y destrezas

que propician la construcción del conocimiento. Piaget elaboró una secuencia de

etapas o estadios por las que evoluciona el ser humano:

Sensorio-motriz: (0-2 años) Los niños aprenden la conducta propositiva, el

pensamiento orientado a medios y fines, la permanencia de los objetivos.

Preoperacional: (2-7 años) El niño utiliza símbolos y palabras para pensar.

Solución intuitiva de los problemas, pero el pensamiento esta limitado por la

rigidez, la centralización y el egocentrismo.

Operaciones concretas: (7-11años) El niño aprende las operaciones lógicas

de seriación, de clasificación y de conservación. El pensamiento está ligado

a los fenómenos y objetos del mundo real.

17

Operaciones formales: (11 o 12 – en adelante) El niño aprende sistemas

abstractos del pensamiento que le permiten usar la lógica proposicional, el

razonamiento científico y el razonamiento proporcional. (Piaget, 1958, 90-

98).

De acuerdo a estos estadios de desarrollo los niños que cursan el tercer grado de

primaria por la edad se ubican en el de las operaciones concretas, por lo tanto

pueden y están capacitados para resolver problemas precisos en forma lógica,

sin embargo el pensamiento está aun limitado a lo concreto de las características

tangibles del medio ambiente. “El constructivismo concibe el aprendizaje como

una actividad cognitiva individual que involucra la reorganización interna de un

esquema mental y a la enseñanza como un apoyo a este proceso” (Teppo, 1998,

cit. por Alatorre, S., et al, s.f., p.28).

Para Kamii (1985) de acuerdo con Piaget el niño va adquiriendo conceptos

lógicos matemáticos de acuerdo con la etapa del proceso psicológico por la que

atraviesa el niño. El concepto número es la base para el aprendizaje y desarrollo

de los conocimientos matemáticos, pero antes de construir este concepto el niño

debe formar sus primeros esquemas perceptivos y motores lo cuales logra por

medio de la manipulación de objetos la utilización de los sentidos como medio de

identificación y repetición, le posibilita consolidar esquemas nuevos,

posteriormente el niño hace una agrupación de los objetos, llamada clasificación,

(esté concepto interviene en todos los demás y no solo en la construcción del

concepto de número).

Cantoral (2003), argumenta que el desarrollo del pensamiento matemático se

produce en el transcurso de una relación didáctica que se sustenta en dos

elementos; el primero es lo que el profesor se plantea enseñar en matemáticas y

el segundo lo que el alumno es capaz de aprender eficazmente. El estudio del

pensamiento matemático se ocupa principalmente de entender la interpretación

18

del alumno, acerca del contenido, sus características, su proceso de comprensión

de conceptos claves y los procesos propiamente matemáticos.

Por lo que de acuerdo con Martínez (2003), citando a diversos trabajos

Brousseau (1994), Charnay (1994), Carear, Carraher y Schliemann (1995), Nunes

y Bryant (1996), exponen que la contextualización juega un papel fundamental en

la construcción de los conceptos y procedimientos matemáticos de los aprendices.

“Para Brousseau (1994), por ejemplo, el docente debe trabajar a la inversa del

científico, realizar primero una recontextualización y repersonalización del saber:

buscar situaciones que den sentido al conocimiento por enseñar.” (Martínez,

2003:3).

Los libros de matemáticas de primero, segundo y tercer grado de educación

primaria, tienen como base para el aprendizaje de la suma y la resta la enseñanza

de la noción de número el cual se va formando desde el punto de vista ordinal,

cardinal y relacional.

El niño va adquiriendo la noción ordinal cuando diferencia los números por su

valor y posición es decir cuando comienza con ejercicios de enumeración y

pueden distinguir que el 8 está entre 7 y 9; 8 es mayor que el 7 y menor que el 9.

La primera está en ordenar de forma ascendente y descendente de forma

inmediata, cuando el niño ya maneje relaciones entre los números de una forma

directa y alejada se podrá decir que esta construyendo una enumeración

conceptual.

Cuando el niño comprende que los números se pueden componer y descomponer

en otras cantidades, éste está adquiriendo la noción cardinal del número que

significa el conocimiento de la cantidad asociada al conjunto. Los niños irán

descubriendo que 20 es igual 10 + 10 ó 4 es igual 2 + 2 conocerán (para después

19

ir descubriendo todas las posibilidades de composición y descomposición de los

números sin dejar de ser la misma cantidad.

La noción relacional se aborda con el descubrimiento de las relaciones de

desigualdad entre los diferentes números y las posibilidades de producir

igualdades.

Con lo anterior podemos concluir que un niño no es capaz de construir el

concepto de número sin conocer sus varios significados. Por ejemplo, los

significados del número 10 no solo incluyen a los sumandos del 10 sino también a

la resta de cada subconjunto del 10. De acuerdo con el programa educativo la

suma y la resta se aprenden simultáneamente ya que en los libros de matemáticas

de educación básica de primaria enseñan que las operaciones aritméticas son

inversas. El desarrollo en el niño sus habilidades intelectuales, producto del

pensamiento matemático tales como las capacidades de asociatividad y

reversibilidad se da por etapas:

Una primera etapa en la enseñanza de la suma y la resta, es la

descomposición del conjunto en subconjuntos, en todas las formas posibles

y su composición posterior.

Una segunda etapa será la unión de conjuntos distintos.

Tercera etapa: suma avanzado y resta retrocediendo.

El aprendizaje del funcionamiento (principios y conceptos) de la suma y de la resta

vinculada con la enseñanza manipulativa, debido a que el uso de elementos

físicos y gráficos para contar, comparar, identificar, descomponer, componer y

completar son básicos para una primera etapa de aprendizaje y nivel cognitivo.

20

El Plan y Programas de Matemáticas de Educación Básica4 (PPMEB) del SEN

sustentan sus contenidos en seis ejes temáticos:

Los números, sus relaciones y sus operaciones.

Medición.

Geometría.

Procesos de cambio (se retoma hasta al cuarto grado).

Tratamiento de la información.

La predicción y el azar (se retoma hasta al tercer grado).

La lista de contenidos temáticos del eje los números, sus relaciones y sus

operaciones obedecen una secuencia determinada por una visión teórica acerca

de los procesos implicados en el aprendizaje de las matemáticas, por ende los

contenidos que estimulan el aprendizaje de la suma y la resta en teoría se

entrelazan, bajo un lineamiento de orden de contenidos matemáticos que buscan

servir como antecedentes para la comprensión y ejecución del algoritmo

convencional de la suma y de la resta.

Los temas del eje números, sus relaciones y sus operaciones se pueden clasificar

en números naturales, números ordinales, números fraccionarios y números

decimales, en cuanto al tipo de operaciones éstas son de suma, resta,

multiplicación, división y otras operaciones. Como prioridad de esta investigación

se pretende profundizar en como los PMEB de primero, segundo y tercer grado

en el eje los números, sus relaciones y sus operaciones abordan el tema de

números naturales y en particular en las operaciones de suma y resta, para lograr

identificar los conocimientos matemáticos previos que el SEN considera

necesarios para abordar la enseñanza de los algoritmos convencionales de la

suma y la resta con números naturales (véase anexo “A”) con la finalidad de que

4 La lista de contenidos temáticos del eje los números, sus relaciones y sus operaciones de los PMEB de

primero a tercer grado se encuentran en el anexo A.

21

un niño que cursa el tercer grado de educación primaria adquiera la destreza para

utilizar dichos algoritmos de manera ágil y eficiente

2.3.1. Enseñanza del algoritmo convencional de la suma en los tres primeros grados de educación primaria En el primer grado de educación primaria para la iniciación al aprendizaje de eje

los números, sus relaciones y sus operaciones, las situaciones didácticas del libro

de matemáticas inician con el conteo de material concreto así como la

memorización identificación de la serie numérica de hasta dos dígitos y la

realización de sumas y restas de forma horizontal respaldadas por imágenes

agrupadas donde el niño tiene que agregar o quitar, el conteo se hace de uno en

uno de dos en dos y de diez en diez. Los ejercicios hacen hincapié en la

secuencia ordenada de los números de hasta dos dígitos, impulsando en los

niños el desarrollo de habilidad para realizar estimaciones y cálculos mentales de

sumas y restas de hasta dos cifras, además de lograr que los niños interpreten los

símbolos convencionales de suma y resta en situaciones que implican agregar y

quitar objetos a una colección.

La lista de contenidos temáticos de matemáticas del primer grado de educación

primaria hace mención del algoritmo convencional de la suma y de la resta de

números naturales sin transformación, pero en las lecciones del libro de texto y en

los ficheros de actividades didácticas de matemáticas del primer grado los

ejercicios únicamente abordan la resolución de problemas de suma y resta de

números naturales con procedimientos informales expresando los resultados como

suma o resta de números naturales hasta el 100 por ejemplo las lecciones 61 y 92

de primer grado de educación básica5.

De acuerdo con lo visto en las lecciones de segundo grado, es de resaltar la

importancia del aprendizaje de formar agrupaciones de colecciones y su

5 La lección 61 “Lleva la cuenta” y la lección 78 “Más diez, menos diez” se analiza en el capítulo IV.

22

desintegración que se manejan en cantidades de hasta de tres dígitos, se llegan

a manejar millares pero tan solo para agruparlos en decenas o unidades. Los

niños trabajan en la resolución de problemas que implican operaciones aritméticas

de la suma y la resta mediante agrupamientos y reagrupamientos de unidades,

decenas y centenas representadas con material concreto. Los ejercicios están

realizados de forma tal para que los niños de segundo grado egresen manejando y

comprendiendo los números naturales de hasta tres cifras y puedan resolver

problemas de suma y de resta utilizando el procedimiento convencional con

transformaciones.

De acuerdo con los visto en el Plan y Programas de Matemáticas de Educación

Básica (PPMEB) de primero y segundo, un niño que ha cursado el segundo grado

de educación puede ejecutar correctamente los algoritmos convencionales de la

suma y la resta de números naturales de hasta tres dígitos con transformaciones.

La enseñanza del algoritmo convencional de la suma con números naturales de

hasta tres cifras con transformaciones se da mediante la siguiente secuencia:

Identificación de las unidades, decenas y centenas por columnas (no se

mencionan el término sumando).

Si en la suma de las unidades se obtienen más de nueve unidades se

cambian a decenas por cada diez unidades, anotando el resto de las

unidades como resultado en la columna de las unidades y se agrega el

número de decenas en la columna de las decenas.

Si en la suma de las decenas se obtienen más de nueve decenas se

cambian a centenas por cada diez decenas, anotando el resto de las

decenas como resultado en la columna de las decenas y se agrega el

número de centenas en la columna de las centenas.

En la suma de la columna de las centenas se anota directamente la

cantidad de centenas obtenidas.

23

2.3.2. Enseñanza del algoritmo convencional de la resta en los tres primeros grados de educación primaria De acuerdo con Bustos (cit. por Morales, 2009:22) la enseñanza de la operación

de la resta avanza por niveles de complejidad, en el primero se realizan

operaciones sustractivas sin transformación y en el segundo nivel de complejidad

las operaciones sustractivas tienen al menos un dígito en el minuendo menor al

dígito del sustraendo por tal motivo se tienen que realizar transformaciones.

La forma de enseñanza del algoritmo convencional de la resta con números

naturales de hasta tres cifras con transformaciones se da mediante la siguiente

secuencia:

Identificación de las unidades, decenas y centenas por columnas (no se

mencionan los términos minuendo y sustraendo)

Identificar si las columnas de las unidades se pueden restar directamente

en caso contrario, se tiene que transformar una decena por diez unidades.

Escribir el resultado de la resta de las unidades.

Analizar si la resta de las decenas se pueden restar directamente en caso

contrario se cambia una centena por diez decenas.

Escribir el resultado de la resta de las decenas.

Restar las centenas con el directamente.

El niño tiene que realizar anotaciones arriba de la columna correspondiente

de forma consecutiva e inmediata.

Un ejemplo de cómo se enseña a ejecutar los algoritmos de la suma y resta de

hasta tres dígitos de números naturales con trasformaciones, sin abordar todos los

casos son las lecciones 62 (algoritmo convencional de la suma) y 78 (algoritmo

convencional de la resta) del libro de segundo grado de educación básica6.

6 La lección 62 “Ferretería la tachuela” y la lección 78 “El zapatero remendón” se analiza en el capítulo IV.

24

En tercer grado en el eje los números, sus relaciones y sus operaciones en

particular en el tema de números naturales y la operaciones de suma y resta, se

llegan a manejar cantidades de hasta cuatro dígitos, por tanto se trabajan con el

conteo de agrupamientos en unidades, decenas, centenas y millares, los

algoritmos convencionales de la suma y la resta con transformaciones de hasta

cuatro cifras se trabajan de forma directa. Por medio de las lecciones planteadas

en el libro de tercer grado se pretende que el niño utilice los números hasta 9 999

y su representación simbólica, ordenar la serie numérica correspondiente y utilizar

los números para resolver problemas sencillos que impliquen la ejecución

eficiente de los algoritmos de suma y resta con transformaciones.

Los contenidos temáticos en el PPMEB de tercer grado, plantean que el niño es

capaz de comprender, y manejar de forma correcta a los números naturales desde

0 hasta 9 999 composición y descomposición de números naturales de hasta

cuatro cifras entendiendo sus ordenes: unidades, decenas, centenas, unidades de

millar por tanto su lectura y escritura correcta. Ordenamiento de mayor a menor

de cualquier colección que contenga números naturales de hasta cuatro cifras.

Planteamiento y resolución de operaciones de suma y resta con números de hasta

cuatro cifras en forma horizontal y vertical, utilizando la propiedad asociativa y

conmutativa para la compresión y ejecución eficaz de los algoritmos

convencionales de la suma y de la resta.

De acuerdo con los visto en el PPMEB, un niño que cursa el tercer grado es capaz

de realizar eficazmente los algoritmos de la suma y resta de números naturales

con cantidades de hasta cuatro dígitos con transformaciones.

El PPMEB plantean que el aprendizaje de los algoritmos convencionales de la

suma y de la resta se da mediante un proceso gradual que se sustenta en la

manipulación de material concreto pertenecientes a colecciones y en el

razonamiento de planteamientos de situaciones, donde los datos se tienen que

25

interpretar con símbolos numéricos convencionales, por medio de estos el niño va

adquiriendo el dominio de la descomposición y composición de cantidades

específicas, uniones y sustracciones de estas, además de razonar y comprender

que las operaciones de al suma y de la resta son inversas.

En libros de matemáticas de tercer grado de educación primaria, las lecciones 61

(algoritmo convencional de la resta) y 26 (algoritmo convencional de la suma)7

presentan como realizar el primer paso de los algoritmos de la suma y la resta a

realizar con cantidades de hasta tres cifras con el uso de transformaciones, se

espera que el alumno elabore inferencias necesarias de las secuencias

didácticas presentadas en el grado anterior, las cuales no contemplan todas las

variantes.

Conforme al PPMEB un niño que cursa el tercer grado tiene la capacidad de

comprender o inferir los procesos algorítmicos de la suma y resta de números

naturales con cantidades de hasta cuatro dígitos con transformaciones. En el

libro de tercer grado de educación primaria se plantean problemas de suma y

resta con cantidades de hasta cuatro cifras con procedimientos informales de

solución, los cuales deben ser respaldados con la ejecución de los algoritmos

convencionales de la suma y resta.

El PPMEB sustentan el aprendizaje de los algoritmos convencionales de la suma

y resta en el contexto solución de problemas, con la justificación que el niño al

solucionar problemas entiende las reglas de la operación de la suma y la resta,

puede identificar cuándo se resuelve un problemas con una suma o una resta

además de reconocer la relación entre la suma y la resta.

7 La lección 26 “Reunimos dinero para ir al zoológico” y la lección 61 “Cambios y préstamos” se

analiza en el capítulo IV.

26

CAPÍTULO III METODOLOGÍA

La presente investigación es de naturaleza diagnóstica descriptiva de corte

transversal bajo el enfoque cualitativo, se ubica bajo la línea de análisis de

errores. El procedimiento de dicha investigación considera los siguientes

aspectos; él diseño de un instrumento de evaluación, aplicación de una prueba

piloto y a partir de los resultados en dicha prueba, reelaboración del instrumento

de evaluación, aplicación del instrumento definitivo, categorización y análisis de

errores, y vinculación de los errores con el tratamiento de los contenidos en los

materiales oficiales de primero a tercer grado de educación básica.

El instrumento consta de dos apartados, en el primero se incluyen los reactivos

relacionados con de la suma y, en el segundo los relacionados con la resta. Los

reactivos se elaboraron a partir de los materiales que se utilizan en los tres

primeros grados de educación primaria, tomando en cuenta las actividades

relacionadas con suma y resta.

El diseño del instrumento se elaboró en las siguientes etapas:

3.1. ETAPAS DEL DISEÑO DEL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN

3.1.1. Revisión de plan y programas

Revisión de; plan y programas, libros de texto, fichero de actividades didácticas y

libros del maestro de matemáticas de primero, segundo y tercero de educación

primaria con la intención de conoce los contenidos y las secuencia didácticas de

los contenidos matemáticos relacionados con los algoritmos de la suma y de la

resta.

3.1.2. Elaboración de reactivos

Elaboración de los reactivos tomando como base, por un lado las actividades

contempladas en los materiales oficiales hasta el tercer grado de educación

primaria, así como las investigaciones que abordan la temática de los errores

cometidos por los niños al realizar las operaciones de suma y resta.

27

3.1.2.1. Reactivos de la suma

Los reactivos de la suma fueron elaborados a partir de la revisión del plan y

programas oficiales de matemáticas de primero, segundo y tercero grado de

educación primaria, a pesar de que existen investigaciones sobre los errores en la

realización de la operación de la suma, ésta gira en torno al planteamiento de

problemas (categorización y redacción).

De acuerdo a lo previsto en los PPMEB de SEP el niño que cursa el tercer grado

de primaria debe ser capaz de ejecutar eficientemente el algoritmo de forma

convencional de la suma de hasta cuatro dígitos y hasta tres sumandos, ubicar el

valor de los sumandos en unidades, decenas, centenas, y unidades de millar

comprender que no importa el orden de los sumandos, cuando la suma de las

unidades resulta un número mayor a nueve, identificar que diez de estas

unidades se transforman en una decena y así sucesivamente. Las sumas que se

plantean con el algoritmo en los materiales son de hasta tres dígitos y para el caso

de cuatro se deriva del planteamiento de problemas.

Los reactivos relacionados con la suma presentan las características que

muestran el grado, el nivel de complejidad sin transformación o con transformación

y si son o no planteados en los libros para ser resueltos con el algoritmo

convencional (véase anexo “B”).

3.1.2.2. Reactivos de la resta

La investigación de Van Lenh (1990) va más allá del concepto o modelo BUGGY8

ya que lo amplía al mencionar los errores que son el resultado de la invención de

procedimientos o estrategias equivocadas de solución, que cometen los

8

Sistema creado por Brown y Burton en 1978 que intenta identificar los errores producidos en el algoritmo

de la resta sustentados en una teoría psicológica.

28

estudiantes en la ejecución del algoritmo de la resta (acción del mpasse19). Para

ello Van Lenh desarrolló una prueba con 20 ítems y recolectó los datos que le

permitieron categorizar los diferentes errores en la sustracción y la frecuencia

con la que aparecen, sus trabajos son de tal trascendencia que constituyen un

referente clásico para el estudio de los errores aritméticos, ya que de acuerdo con

los principios de la investigación de Brown y Van Lenh (1980), una vez que se

identifican los errores de un procedimiento determinado estos pueden ser

utilizados en beneficio del proceso de enseñanza aprendizaje. Uno de los

objetivos de este estudio pretende indagar cómo están relacionados los

conocimientos matemáticos previos con los patrones de error en el proceso de la

resta, por lo tanto para la elaboración de los reactivos se tomaron en cuenta dos

factores principalmente: la investigación de Van Lenh (1990) (cit. por López y

Sánchez, 2007, 2009a y 2009b), y el plan y programas oficiales, libros de texto,

libros para el maestro y ficheros de actividades de los tres primeros grados de

educación primaria .

Los reactivos de la resta fueron diseñados considerando el grado, el nivel de

complejidad sin transformación o con transformación y si son o no planteados en

los libros para ser resueltos con el algoritmo convencional (véase anexo “B”).

Dentro de estas tablas se presentan reactivos con las características específicas

de las categorías planteadas por Riviére (1990, p7) que retomó de Mayer (1983):

Tener que substraer el dígito menor del mayor, independientemente de que

estén en el minuendo o substraendo.

Realizar la operación con un cero intermedio:

Al darle valor al cero de diez de forma independiente, no transforma la

columna a la izquierda del cero.

Cero menos un número es igual a ese número.

9Procedimientos reparadores que nacen cuando se olvidan o se aprenden mal la estructura algorítmica de

la operación de la resta.

29

Cero menos un número es igual a ese número, a pesar de haber llevado a

cabo una transformación en la columna anterior, saltando la

transformación sobre el cero.

Saltar transformación sobre el cero.

3.1.3. Prueba piloto

La prueba piloto (véase anexo “B”) fue aplicada en la escuela primaria “Lázaro

Cárdenas” C.C.T. 15EPR2726M, turno vespertino ubicadas al oriente del Estado

de México en el municipio de Valle de Chalco Solidaridad al grupo “B” de tercer

grado” compuesto por 25 alumnos.

3.1. 4. Instrumento definitivo

Análisis de los resultados obtenidos en la prueba piloto y realización de los ajustes

necesarios a los reactivos para establecer el instrumento definitivo.

En el primer apartado del instrumento (reactivos de suma) se modificaron dos

reactivos el número 1 y el número 20. El primer reactivo fue modificado debido

que los 25 alumnos lo pudieron realizar sin ninguna dificultad, contrariamente al

número 20 el cual ninguno de los niños lo pudo llevar a cabo correctamente.

Conviene señalar que el tratamiento didáctico no presenta ejemplos explícitos

para llevar a cabo la ejecución del algoritmo convencional de la suma de hasta

cuatro dígitos, pero en el libro de texto de tercer grado sí plantea ejercicios y

problemas que tienen que ser realizados con algoritmo presentando esta

variante.

La tabla I muestra los reactivos de suma como se presentaron en la prueba piloto

y en el instrumento de evaluación definitivo, así como el grado escolar donde son

empleados en el contexto de planteamiento de problemas.

30

TABLA I. REACTIVOS DE SUMA MODIFICADOS

PLANTEADOS PILOTO DEFINITIVO

PRIMER GRADO

No. Reactivo No. Reactivo

1º 9

+ 2

1º 10

+ 6

TERCER GRADO 20º

9708

+ 7299

20º

9708

+ 99

En el apartado correspondiente a los reactivos de resta, se modificaron tres

reactivos el 5, el 19 y el 20. El reactivo número 5 fue modificado debido que al

momento de analizar el resultado obtenido era confuso clasificar el tipo de error

que se cometió. Los reactivos 19 y 20 fueron modificados porque ninguno de los

niños los pudo realizar eficazmente y se consideró pertinente cambiarlos debido a

que solamente se plantean en el contexto de problemas.

La tabla II muestra los reactivos de resta como se presentaron en la prueba piloto

y en el instrumento de evaluación definitivo, así como el grado escolar que

corresponden.

TABLA II. REACTIVOS DE RESTA MODIFICADOS

PLANTEADOS PILOTO DEFINITIVO

No. Reactivo No. Reactivo

SEGUNDO GRADO

5º

62

- 57

5º

63

- 57

TERCER GRADO

19º

1001

- 99

19º

2100

- 160

20º

9107

- 8089

20º

9107

- 489

31

Los reactivos están estructurados de acuerdo con los contenidos y manejo de los

algoritmos convencionales de la suma y de la resta que tienen los alumnos de

tercer grado de primaria, y se justifican con las actividades o ejercicios planteados

en los libros de texto, los libros del maestro y los ficheros de actividades

didácticas de matemáticas de primero, segundo y tercero de educación primaria

del sistema nacional. Los contenidos de dichos materiales de los tres primeros

grados difieren de lo expuesto en los Programas Matemáticos de Educación

Básica de la SEP, debido a que en los ejercicios o actividades propuestos no

abarcan todas las temáticas del Programa planteadas para la enseñanza de los

algoritmos convencionales de la suma y la resta.

3.1.5. Aplicación del instrumento definitivo

La aplicación del instrumento de evaluación definitivo se llevo a cabo durante el

ciclo escolar 2009 – 2010, a alumnos que cursaban el tercer grado de educación

primaria en tres escuelas públicas “Tierra y Libertad”, “Lázaro Cárdenas” e

“Ignacio Zaragoza” ubicadas en el Estado de México en el Municipio de Valle de

Chalco Solidaridad.

3.2. ESTRUCTURA DEL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

3.2.1. Identificación y descripción de los errores en la suma y en la resta

Identificación y descripción de los errores que cometen los alumnos al ejecutar

algoritmo convencional de la suma y resta, tomando como referencia los errores

identificados por autores que han propuesto vertientes de investigación sobre el

origen de los errores en la suma y la resta.

El análisis de la aplicación del instrumento de evaluación permitió la identificación

de los errores en la ejecución de los algoritmos convencionales de la suma y la

resta, para ello se consideran principalmente los trabajos VanLehn (cit. por López

y Sánchez, 2007, 2009a y 2009b) y Riviére (1990).

32

3.2.2. Identificación y clasificación de patrones de error en la suma y resta Al examinar los errores cometidos se visualizaron la existencia de errores

sistemáticos tanto en la ejecución algorítmica de la suma como en la de la resta,

los cuales se clasifican en patrones de error que se asocian con la falta o

deficiencia de conocimientos matemáticos.

3.2.3. Comparación de patrones de error en la suma y en la resta Análisis de los patrones de error identificados en la ejecución algorítmica de la

suma y de la resta y comparación de los mismos con los estudios que

establecen categorías de errores al realizar las operaciones de suma y de resta,

para observar si existe consistencia en los errores.

3.2.4. Comparación de contenidos con los patrones de error Análisis de los patrones de error entre los algoritmos convencionales de la suma y

la resta, describiendo la relación con los contenidos matemáticos abordados en

los tres primeros grados de educación primaria, dicha descripción permite

establecer elementos que vinculan los errores con los contenidos temáticos y su

tratamiento en la suma y en la resta.

3.2.5. Patrones de error en la suma y en la resta a partir de su relación con el mismo contenido Comparación de los patrones de error en la suma y en la resta a partir de su

relación con el mismo contenido, dicha comparación permite establecer

elementos que vinculan los errores con los contenidos temáticos y su

tratamiento.

Además se describe por separado la relación de los contenidos matemáticos y

los errores, de mayor frecuencia, en la ejecución del algoritmo de la suma y de la

resta.

33

CAPÍTULO IV ANÁLISIS DE RESULTADOS

En este capítulo se realiza el análisis de los resultados que arrojó el instrumento

de evaluación aplicado a los alumnos, el análisis se centra en los errores que

cometieron los niños al ejecutar los algoritmos convencionales de la suma y la

resta, en un primer momento se identifican los errores relacionados con ambos

algoritmos, partiendo de esto se catalogaron en patrones de error de acuerdo con

sus características, se establece una relación entre los errores y los contenidos

matemáticos planteados en los materiales impresos de primero a tercer grado de

educación primaria.

Los primeros indicadores tienen que ver con el número de alumnos que

obtuvieron una evaluación satisfactoria y aquellos que no alcanzaron los niveles

básicos en su desempeño en la suma y la resta.

A partir de los contenidos matemáticos y los resultados de las investigaciones de

VanLehn (cit. por López y Sánchez, 2007, 2009a y 2009b) y Riviére (1990) se

identifican los errores sistemáticos en la ejecución de los algoritmos. Los errores

se clasifican tanto para la suma como para la resta en patrones de errores y a

partir de los conocimientos matemáticos necesarios para su ejecución.

Además, se presenta el análisis de los errores comunes en la suma y la resta, y

se describe la relación de estos con los contenidos matemáticos de los materiales

impresos (libro de texto, fichero didáctico, programa oficial y libro del maestro) en

los tres primeros grados de educación primaria.

En el último apartado se analizan por separado otros de los errores de mayor

frecuencia para la suma y la resta, y como en los casos anteriores este análisis

se centra en relación con los contenidos.

34

4.1. RESULTADOS DE LOS ALUMNOS QUE PARTICIPARON EN LA PRUEBA

El total de alumnos que contestaron la prueba de evaluación es de 70, estos

cursaban el tercer grado de educación primaria en el ciclo escolar 2009 – 2010,

en tres escuelas públicas. Las escuelas se ubican en el Estado de México en el

Municipio de Valle de Chalco Solidaridad. Los alumnos con los que se trabajó

integraban el tercer grado grupo “A” del turno vespertino en cada una de las

escuelas primarias. En la tabla siguiente se indican el nombre de la escuela y el

número de alumnos que participaron de cada una de ellas:

TABLA III. TOTAL DE ALUMNOS

NOMBRE DE LA ESCUELA No. DE ALUMNOS

Tierra y Libertad 22

Lázaro Cárdenas 27

Ignacio Zaragoza 21

TOTAL DE ALUMNOS 70

Los resultados de los alumnos acertaron y fallaron, de cada uno de los apartados,

se presentan en la siguiente tabla:10

TABLA IV. ALUMNOS ACERTARON Y FALLARON

SUMA RESTA

ACERTARON 55 12

FALLARON 15 58

TOTAL 70 70

10

Las tablas y gráficas de los alumnos acertaron y fallaron por escuela se encuentran en el anexo C.

35

El promedio de calificaciones obtenido por los alumnos en los reactivos de la suma

es de 7.19 y el de la resta es de 3.22, la diferencia es evidente, el promedio de

fallaron es mayor en la resta. El 21.43% fallo al no poder realizar eficientemente el

algoritmo de la suma y el 82.86% fallo al no poder ejecutar correctamente el

algoritmo de la resta.11 La gráfica siguiente muestra el porcentaje de los

alumnos acertaron y fallaron:

GRÁFICA I. ALUMNOS ACERTARON Y FALLARON

4.2. ERRORES EN LA SUMA

En los reactivos de la suma se identificaron 19 errores que son clasificados en

6 patrones de error cuya naturaleza se asocia con la falta o deficiencia de

conocimientos matemáticos. Las investigaciones en donde se analizan los

errores que cometen los alumnos de educación básica asociados a la suma,

centran el análisis en el planteamiento de problemas y el empleo de estrategias.

El estudio de variables sintácticas (número de palabras, secuencia de la

información, presencia de palabras que expresan una determinada acción, etc.)

que se relacionan con la resolución de los problemas y las variables semánticas

11

Las tablas y gráficas del porcentaje de alumnos acertaron y fallaron, calificaciones, así como los promedios

obtenidos en cada uno de los apartados de la prueba del total de alumnos y por escuela se encuentran en el

anexo C.

36

se tomaron en cuenta para clasificar en patrones de error (Carpenter y Moser,

1982).

4.2.1. Clasificación de errores para la suma

De acuerdo con lo expuesto anteriormente para la clasificación de los errores en

los algoritmos en la suma no se parte de una categorización de errores

previamente establecida, se tiene claro que las investigaciones relacionadas con

los errores en la suma abordan los aspectos relacionados con el planteamiento y

resolución de problemas, en particular es notable la carencia de conocimientos

previos que se trasladan a los nuevos contenidos que se abordan (Pochulu, s.f.)

La tabla V muestra la clasificación de errores en los algoritmos en la suma, está

compuesta por tres columnas, en la primera se ubica el listado de errores, en la

segunda se describe dicho error y en la tercera se muestra un ejemplo.

TABLA V CLASIFICACIÓN DE ERRORES EN LOS ALGORITMOS EN LA SUMA

No. de error

DESCRIPCIÓN EJEMPLO

1 No realiza la transformación

4 7

+ 7 9

11 6

2 Cuando un dígito en la misma columna de los sumandos es el mismo, colocan como resultado el mismo dígito.

8 7

+ 2 5 7

3 4 7

37

3

Cuando en alguna columna se encuentra el cero y cualquier otro número mayor a cero coloca como resultado "0"

1 0

+ 6

1 0

4

Realiza correctamente la suma en la columna de las unidades, en las decenas considera la transformación solamente en uno de los sumandos y no realiza la suma con las decenas del segundo sumando.

4 7

7 9

5 6

5 No suma todos los sumandos.

67

+ 58

179

225

6 Comienza por el lado izquierdo

4 7

+ 7 9

11 7

7

Cuando hay un cero intermedio y se requiere la transformación esta se omite, la transformación la realiza en la columna a la izquierda del cero.

507

809

+ 493 + 9

1090 908

8 Cuando uno de los sumandos tiene un solo dígito este lo suma con cada uno de los dígitos del otro sumando.

145 895

+ 3 + 9

478 1894

38

9

Comete un error de cálculo.

12

+ 4

17

10

Coloca como resultado el dígito de las decenas agregando las unidades a la columna de la izquierda y procede de igual manera con las siguientes columnas.

677

+ 298

179

1622

11

Realiza correctamente la suma en la columna de las unidades, en las decenas incluye la transformación por duplicado.

809

+ 9

828

12 No se entiende, es inconsistente.

87

+ 257

332

13 Coloca el total de la suma en cada una de las columnas.

4 7

7 9 5

+ 7 9 + 8 9 7

1116 151812

14 En lugar de agregar la transformación la sustrae.

67

+ 58

179

064

39

15 No ejecuta la operación indicada, resta al dígito mayor el menor independientemente de su ubicación.

10

2 7

+ 6 + 7 2

4 5 5

16 Realiza correctamente la suma en la columna de las unidades, agrega la transformación en las siguientes.

809

+ 9

918

17 No realiza transformación con un nueve intermedio, la transformación la realiza hasta las centenas.

895

+ 9

994

18 En el resultado de la suma de las unidades coloca el dígito de las decenas y hace la transformación.

507

+ 493

1001

19

En la columna de las decenas hay un cero, efectúa la suma usando el dígito de las unidades.

97

+ 204

341

4.2.2. Clasificación en patrones de error para la suma

La tabla VI presenta la clasificación en patrones de error para la suma, los errores

están descritos en la tabla V. Los patrones de error se determinan por criterios o

conceptos identificables en el procedimiento del algoritmo de la suma.

La tabla está dividida en tres columnas; en la primera se nombra al tipo patrón de

error, en la segunda se encuentran ubicados el listado de errores que conforman

el patrón y en la tercera se describen las diferentes variantes de error que

componen el patrón.

40

TABLA VI. PATRONES DE ERROR EN LA SUMA

PATRÓN DE ERRORES

LISTADO DE ERRORES

DESCRIPCIÓN

Transformación Ad’1

1 - 2 – 4 – 5 - 11 – 16 – 17

No es capaz de reagrupar un número:

No realiza transformación.

Lleva a cabo transformación de forma incorrecta.

Realiza la transformación en forma parcial.

Sintácticos Ad’2

6 – 14 – 15

Confunde o mezcla la estructura algorítmica de la suma:

Inicia la suma por la columna izquierda,

Substrae en lugar de añadir

No ejecuta la operación indicada y la operación que utiliza la efectúa restando al dígito mayor el menor independientemente

de su ubicación.

Valor posicional Ad’3

8 – 10 – 13 - 18

Considera cada columna como una suma aislada

de un dígito:

Coloca el total de la suma en cada una de las columnas.

Cuando uno de los sumandos tiene un solo dígito este lo suma con cada uno de los dígitos del otro sumando.

Coloca como resultado el dígito de las decenas agregando las unidades a la columna de la izquierda y procede de igual manera con las siguientes columnas.

En el resultado de la suma de las unidades coloca el dígito de las decenas y hace la transformación.

Conceptualización del cero

Ad’4 3 – 7- 19

Cuando encuentra en alguna de las columnas el cero y otro dígito mayor, coloca como resultado "0".

No realiza transformación con un cero intermedio, la transformación la realiza en

la columna a la izquierda del cero. En la columna de las decenas hay un cero,

efectúa la suma usando el dígito de las unidades.

Problema de conteo Ad’5

9 Comete errores al confundirse en la realización de conteo, este tipo de errores son aislados:

No aumenta una unidad.

41

Incoherencia – abandona

Ad’6 12

No se entiende el procedimiento, lo abandona o simplemente no lo realiza.

En la tabla VII muestra la frecuencia de los tipos de errores en la suma que

previamente se describieron y ejemplificaron en la tabla VI.

La frecuencia está determinada por el número de alumnos (de los 70

participantes) que cometieron el patrón de error, ya fuese una sola vez o de

manera recurrente o combinado con otro patrón de error.

TABLA VII FRECUENCIA DE LOS PATRONES DE ERRORES EN LOS ALGORITMOS EN LA SUMA

transformación Sintácticos Valor

posicional Conceptualización

del cero Problemas de conteo

Incoherencia - abandona

Patrón de error

Ad'1 Ad'2 Ad'3 Ad'4 Ad'5 Ad'6 Total

Frecuencia 47 11 33 15 29 10 145

GRÁFICA II. FRECUENCIA DE LOS PATRONESDE ERRORES EN LOS ALGORITMOS EN LA SUMA

42

En la tabla VIII y gráfica III se puede apreciar que los errores de mayor frecuencia

que cometieron los alumnos con respeto a la suma son los relacionados con los

conceptos matemáticos de transformación, valor posicional y problemas de

conteo.

TABLA VIII PATRONES DE ERROR EN LA SUMA DE MAYOR FRECUENCIA

Transformación Valor posicional Problemas de conteo

Patrón de error

Ad'1 Ad'3 Ad'5

Frecuencia 47 33 29

Porcentaje 32.41% 22.76% 20%

GRÁFICA III PORCENTAJE DE LOS PATRONES DE ERROR EN LA SUMA DE MAYOR FRECUENCIA

43

4.3. ERRORES EN LA RESTA

En este apartado se clasifican los errores cometidos al ejecutar el algoritmo de la

resta, se identifican veintitrés tipos de errores y estos se agrupan en seis patrones

de error asociados a los contenidos matemáticos de los materiales impresos de

primero a tercer grado de educación primaria.

4.3.1. Clasificación de errores para la resta

La teoría de VanLehn (cit. por López y Sánchez, 2009a) ha examinado cómo los

individuos aprenden habilidades procesales con referencia al algoritmo de la resta

y el cómo adecuan procedimientos reparadores (impasse1), mencionando así 100

bugs o errores sistemáticos

Riviére (1990) expone cinco procedimientos producto de errores en la resta ya

mencionados por Mayer, 1983,

1. “Menor de mayor: substraer el dígito menor del mayor en cada columna con independencia de que estén en minuendo o substraendo (253 - 118= 145).

2. Pedir al cero: si hay que „llevarse" de una columna cuyo número superior es 0, se realiza correctamente la substracción en esa columna, pero no se añade uno al substraendo de la de su izquierda (103-45=158).

3. Cero menos un número: igual a ese número: si el dígito superior de una columna es 0, el alumno responde con el inferior (140-21=121).

4. Saltar sobre cero y pedir prestado: si hay que llevarse hasta una columna cuyo dígito superior es 0, el alumno -se salta--esa columna, de modo que no añade 1 a su substraendo y "conserva el 1"- para la columna siguiente (304 - 75 = 139).

5. Cero menos un número igual al número: si el dígito superior es 0, se responde con el inferior, que no se modifica aunque haya que --llevarse-- de la columna anterior, en cuyo caso se añade 1 al substraendo de la siguiente (304 -75=179)” (Riviére, 1990, p7).

Para VanLehn y Riviére el origen de los errores en la resta es influido por una

estructura conceptual. Los errores son intentos con cierta lógica que parten de

una reflexión al adaptar un conocimiento previamente adquirido, por lo cual

existen criterios persistentes que pueden determinar patrones de error.

44

Se identificaron veintitrés tipos de error en los reactivos de la resta los cuales se

presentan en la tabla IX, la cual consta de tres columnas, en la primera se ubican

el listado de errores, en la segunda se describe el error y en la tercera muestra

un ejemplo del mismo.

TABLA IX. CLASIFICACIÓN DE ERRORES EN LOS ALGORITMOS EN LA

RESTA

No. de

error DESCRIPCIÓN EJEMPLO

1.

No realiza transformación, sustrae el dígito menor del mayor en cada columna sin importar que estén en el minuendo o en el sustraendo.

63

- 57

14

2.

No realiza transformación, coloca “0” en la columna de las unidades cuando el dígito correspondiente del minuendo es menor que el del sustraendo.

707

- 608

100

3.

No realiza transformación cuando hay un cero

intermedio y en las unidades coloca en la

resta el dígito del sustraendo.

707

- 608

108

4. Hace la transformación en las unidades pero ésta no afecta a las decenas y centenas.

707

- 608

109

45

5.

No realiza la transformación, la cifra de las unidades del minuendo es “0”, en la resta coloca en la columna correspondiente “0”.

80

- 57

30

6. Suma en lugar de restar.

457

- 9

466

7.

No realiza la transformación, la cifra de las unidades del minuendo es “0”, en la resta coloca en la columna correspondiente el dígito del sustraendo.

80

- 57

37

8. Realiza la transformación parcialmente, en los dígitos donde hay “0” no impacta.

9107 707

- 489 - 608

8628 009

9.

Realiza la transformación parcialmente, los dígitos son iguales en las decenas y ahí no impacta, la transformación impacta hasta las centenas.

230

- 37

103

10.

Cuando en la columna de las unidades hay un dígito mayor a cero en el minuendo y cero en el sustraendo coloca como resultado "0" en las unidades.

81

- 70

10

11. Cuando es el mismo dígito en la columna de las unidades coloca como resultado el mismo dígito.

797 - 57

747

46

12.

Coloca el resultado de forma incompleta, debido a que no termina la resta, o la transformación la extiende, cuando no es necesaria, hasta las centenas.

170

- 3

67

13.

Cuando hay un espacio en blanco en el sustraendo en la columna de las decenas al dígito de las unidades del sustraendo le resta cada uno de los dígitos del minuendo, resta el menor del mayor.

17

- 7

60

14.

Realiza la transformación parcialmente y ante la ausencia de dígitos en las centenas del sustraendo coloca en esa columna en la resta “0”.

510

- 8

002

15.

Cuando en las unidades y las decenas del minuendo son cero realiza la transformación parcialmente y esta no impacta en el cero de las decenas del minuendo.

700

- 598

112

16. Realiza la transformación y comete un error de calculo

20 63

- 7 - 57

12 05

17. No se entiende

457

- 9

740

18.

Cuando en el minuendo los dígitos de las unidades y decenas son cero realiza la transformación parcialmente, no impacta en las centenas.

700

- 97

703

19. Realiza la transformación parcialmente esta no modifica las cifras de las decenas.

457

- 9

458

20. Realiza la transformación parcialmente esta no modifica las cifras de las centenas.

707

- 598

209

47

21. Realiza la transformación parcialmente ya que en las decenas del minuendo aumenta en lugar de disminuir.

20

- 7

33

22. Inicia la resta por la columna izquierda

408

- 387

120

23. Identifica a las unidades y decenas como la transformación.

510

- 8

5 2

4.3.2. Clasificación en patrones de error para la resta

Para lograr la identificación de patrones de error se toman como referencia las

categorizaciones de errores previamente establecidas por VanLen (cit. por López y

Sánchez, 2007, 2009a y 2009b) y por Riviére (1990). Del análisis de los errores

sistemáticos se observa que éstos corresponden al dominio de conceptos

matemáticos.

La tabla X presenta la clasificación de patrones de error para la resta, los errores

están descritos en la tabla IX, dicha clasificación se determino con base a los

errores sistemáticos descritos y ejemplificados previamente. La tabla X esta

dividida en tres columnas; en la primera se denomina el patrón de error, en la

segunda se ubican los tipos de errores, y en la tercera se describe las diferentes

variantes de error que componen el patrón de error.

48

TABLA X. CLASIFICACIÓN DE ERRORES LA RESTA POR TIPO DE ERROR

PATRÓN DE ERRORES

TIPOS DE ERRORES

DESCRIPCIÓN

Transformación Ad1

2 - 4 - 9 - 11 19- 20

Reagrupar un número.

No realiza transformación, coloca “0” en la

columna de las unidades cuando el dígito

correspondiente del minuendo es menor

que el del sustraendo.

Cuando es el mismo dígito en la columna de

las unidades coloca como resultado el

mismo dígito.

Transformación parcial:

Realiza la transformación parcialmente esta

no modifica las cifras de las decenas.

Realiza la transformación parcialmente, los

dígitos son iguales en las decenas y ahí no

repercute, la transformación impacta hasta

las centenas.

Realiza la transformación parcialmente esta

no modifica las cifras de las decenas y/o

centenas.

Sintácticos Ad2

6- 21-22

Confunde o mezcla la estructura algorítmica de la resta:

Inicia la resta por la columna izquierda,

Realiza la transformación parcialmente ya que en las decenas del minuendo aumenta en lugar de disminuir.

Valor posicional Ad3

1 - 13 - 14 - 23

Considera cada columna como una resta aislada

de un dígito:

Sustrae el dígito menor del mayor en cada

columna sin importar que estén en el

minuendo o sustraendo.

Realiza la resta sin importar el valor del número ya

que no diferencia entre unidades, decenas,

centenas o unidades de millar:

Cuando hay un espacio en blanco en el sustraendo en la columna de las decenas al dígito de las unidades del sustraendo le resta cada uno de los dígitos del minuendo, resta el menor del mayor.

Realiza la transformación parcialmente y ante la ausencia de dígitos en las centenas del sustraendo coloca en esa columna en la resta “0”.

Identifica a las unidades y decenas como la transformación.

49

Conceptualización del cero

Ad4

3 - 5 - 7 - 8 - 10 - 15 - 18

No realiza transformación cuando hay un cero intermedio y en las unidades coloca en la resta el dígito del sustraendo.

No realiza la transformación, la cifra de las

unidades del minuendo es “0”, en la resta

coloca en la columna correspondiente “0”.

No realiza la transformación, la cifra de las unidades del minuendo es “0”, en la resta coloca en la columna correspondiente el dígito del sustraendo.

Cuando en la columna de las unidades hay un dígito mayor a cero en el minuendo y cero en el sustraendo coloca como resultado "0".

Cuando en las unidades y las decenas del minuendo son cero realiza la transformación parcialmente y esta no impacta en el cero de las decenas del minuendo.

Cuando en el minuendo los dígitos de las unidades y decenas son cero realiza la transformación parcialmente, no impacta en las centenas.

Problema de conteo

Ad5 16

Comete errores de conteo, este tipo de errores son aislados:

No disminuye una unidad

Incoherencia – abandona

Ad6 12 - 17

No se entiende el procedimiento, lo abandona, no lo realiza o lo extiende, cuando no es necesario, hasta las centenas.

La tabla XI y la gráfica IV muestran la frecuencia de los patrones de error en la

resta que previamente se describieron en la tabla X.

TABLA XI FRECUENCIA DE LOS PATRONES DE ERRORES EN LA RESTA

Transformación Sintácticos Valor

posicional Conceptualización

del cero Problemas de conteo

Incoherencia - abandona

Patrón de error

Ad1 Ad2 Ad3 Ad4 Ad5 Ad6 Total

Frecuencia 54 12 60 64 11 12 213

50

GRÁFICA IV FRECUENCIA DE LOS PATRONES DE ERRORES EN LOS ALGORITMOS EN LA RESTA

En la tabla XII y gráfica V se observan que los errores de mayor frecuencia, se

relacionan con la adquisición de los conceptos matemáticos sobre el valor

posicional, la conceptualización del cero y errores de transformaciones.

TABLA XII PATRONES DE ERROR EN LA RESTA DE MAYOR FRECUENCIA

Transformación Valor

posicional Conceptualización

del cero

Patrón de error

Ad1 Ad3 Ad4

Frecuencia 54 60 64

Porcentaje 25.35% 28.17% 30.05%

51

GRÁFICA V PORCENTAJE DE LOS PATRONES DE ERROR EN LA RESTA DE MAYOR FRECUENCIA

4.4. ERRORES COMUNES EN LA SUMA Y EN LA RESTA

En este apartado se presenta los tres patrones de error comunes en la suma y la

resta, así como la relación de los elementos que los vinculan con los contenidos

matemáticos de primero a tercer grado. El análisis pretende establecer una

correspondencia de estos errores con los contenidos en los materiales oficiales.

4.4.1. Comparación de patrones error en la suma y en la resta

Para establecer el vínculo de los erros de ejecución algorítmica entre la suma y la

resta presentan y se describen una serie de tablas con los datos de cada uno de

los aspectos.

La tabla XIII muestra la compara de la frecuencia de los tipos de error.

52

TABLA XIII FRECUENCIA DE TIPO DE ERROR EN LA SUMA Y EN LA RESTA

ER

RO

RE

S E

N

LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

N

LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

N

LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

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LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

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LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

N

LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

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LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

PA

TR

ON

DE

ER

RO

R

Ad'1 Ad1 Ad'2 Ad2 Ad'3 Ad3 Ad'4 Ad4 Ad'5 Ad5 Ad'6 Ad6

FR

EC

UE

NC

IA

47 54 11 12 33 60 15 64 29 11 10 12

La gráfica VI muestra y compara la frecuencia de los tipos de error en la ejecución

de los algoritmos convencionales de la suma y de la resta.

GRÁFICA VI FRECUENCIA DE TIPO DE ERROR

TR

AN

SF

OR

MA

CIÓ

N

SIN

TÁ

CT

ICO

S

VA

LO

R P

OS

ICIO

NA

L

CO

NC

EP

TU

AL

IZA

CIÓ

N

DE

L C

ER

O

PR

OB

LE

MA

DE

CO

NT

EO

INC

OH

ER

EN

CIA

-

AB

AN

DO

NA

53

Se cometieron 358 errores de ejecución algorítmica en total conforme a los datos

proyectados, de estos 145 se presentaron en la suma y 213 en la resta.

Entendiendo que algunos alumnos cometieron en el mismo reactivo errores

combinados.

La gráfica VII y a tabla XIV muestran y comparan el porcentaje de error en la

ejecución de los algoritmos convencionales de la suma y de la resta

GRÁFICA VII PORCENTAJE DE TIPO DE ERROR

Con respecto a la conceptualización del cero (Ad4 y Ad´4) y de conteo (Ad5 y

Ad´5), se aprecia una diferencia muy significativa, en el primer caso, en la resta es

de 30.05% y en la suma es de 10.34%, en el segundo caso, para la resta es de

5.16% y para la suma es de 20% 12

12

Las tablas y gráficas de frecuencia y porcentaje de los errores cometidos por alumnos obtenidos en cada

uno de los apartados del instrumento de evaluación (apartado uno, algoritmo de la suma y apartado dos,

algoritmo de la resta), del total de alumnos y por escuelas encuentran en el anexo C

54

TABLA XIV PORCENTAJE DE TIPO DE ERROR EN LA SUMA Y EN LA RESTA

ER

RO

RE

S E

N

LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

N

LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

N

LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

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LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

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LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

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LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

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LA

RE

ST

A

ER

RO

RE

S E

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LA

SU

MA

ER

RO

RE

S E

N

LA

RE

ST

A

PA

TR

ON

DE

ER

RO

R

Ad'1 Ad1 Ad'2 Ad2 Ad'3 Ad3 Ad'4 Ad4 Ad'5 Ad5 Ad'6 Ad6

PO

RC

EN

TA

JE

32

.41

%

25

.35

%

7.5

9%

5.6

3%

22

.76

%

28

.17

5%

10

.34

%

30

.05

%

20

%

5.1

6%

6.9

0%

5.6

3%

4.4.2. Identificación de los errores comunes en la suma y en la resta

Los errores sistemáticos identificados en la ejecución algorítmica de la suma y la

resta, asociados a patrones de error en común presentan las siguientes

características:

No se realiza o se realizan innecesariamente la transformación.

Se aplica inadecuadamente el concepto de valor posicional.

No se siguen los pasos en el orden adecuado, se confunde el proceso

algorítmico.

TR

AN

SF

OR

MA

CIÓ

N

SIN

TÁ

CT

ICO

S

VA

LO

R P

OS

ICIO

NA

L

CO

NC

EP

TU

AL

IZA

CIÓ

N

DE

L C

ER

O

PR

OB

LE

MA

DE

CO

NT

EO

INC

OH

ER

EN

CIA

-

AB

AN

DO

NA

55

La tabla XV plantea el patrón de error común y lo ejemplifica:

TABLA XV PATRONES DE ERROR COMUNES

PATRÓN DE ERROR SUMA RESTA

Transformación

895

87

+ 9

+ 257

994

347

63 707

- 57 - 608

14 109

Valor de posicional

677

298 145

+ 179 + 3

1622 478

510 63

- 8 - 57

5 2 14

Sintácticos

67

47 10 58

+ 79 + 6 + 179

117 4 064

408 20 47

- 387 - 7 - 9

120 33 466

4.4.3. Relación de los errores comunes en la ejecución de los algoritmos convencionales de la suma y resta con los contenidos matemáticos de los materiales impresos en los tres primeros grados de educación primaria.

Debido a que los reactivos de la prueba de evaluación fueron diseñados para

evaluar el proceso algorítmico de la suma y de la resta y la congruencia con los

requerimientos de los PMEB del SEN para el tercer grado, es necesario

describir como se abordan los conceptos matemáticos (de primer grado a tercer

grado) que acorde a esta investigación se encuentran vinculados con los patrones

de error comunes en el proceso algorítmico de la suma y de la resta.

56

4.4.3.1. Errores de transformación

Con respecto a los errores de transformación, estos se refieren a los procesos

para reagrupar un número, y las dificultades se presentan si no realizan la

trasformación o la ejecutan innecesariamente o de manera parcial, para el caso en

que no la realizan, particularmente se aprecia en los reactivos que tienen el

mismo dígito en la columna de las unidades, colocan en el resultado el mismo

dígito, en el otro caso, la aplican en todas las columnas cuando esta no es

necesaria o no impacta en alguna de las columnas y en otra si donde es necesario

aplicarla. En los materiales impresos, las secuencias didácticas que se plantean,

para abordar el algoritmo convencional de la resta no cubren todos los casos de

manera explicita, no obstante se dejan ejercicios a realizar, con todas las

variantes, una, dos o mas transformaciones y con números de hasta cuatro

dígitos, ya sea que son planteados directamente o en el contexto de los problemas

con la instrucción de comprobar el resultado con el uso del algoritmo.

Lecciones del los libros de texto de matemáticas vinculadas con las

transformaciones y los algoritmos convencionales de suma y resta.

Lecciones de segundo grado

Lección 31 del bloque 2, “Tonatiuh suma” (Páginas 48 – 49) expone un problema

de suma de números de dos dígitos, planteando su solución con la utilización de

material concreto, cuyo resultado de la operación es un número de tres dígitos.

Se puede observar, con elementos gráficos, la explicación para transformar de

unidades a decenas y de decenas a centenas. Deja abierta una indicación donde

el maestro debe plantear problemas de resta y los niños deben resolver con la

manipulación del material concreto. (Imagen I y II).

57

IMAGEN I. LECCIÓN 31, SEGUNDO GRADO

58

IMAGEN II. LECCIÓN 31, SEGUNDO GRADO

Lección 34 del bloque 2, 12ª lección “Tonatiuh resta” (Páginas 54 - 55) expone un

problema de resta de un número compuesto por tres dígitos menos un número de

dos dígitos, planteando su solución con la utilización de material concreto pero no

se representa con objetos el valor del sustraendo, el resultado de la operación

59

es un número dos dígitos. Se puede observar con elementos gráficos la

explicación para transformar de unidades a decenas y de decenas a centenas.

Deja abierta una indicación donde el maestro debe plantear problemas de resta y

los niños deben resolver con la manipulación del material concreto. (Imagen III y

IV).

IMAGEN III. LECCIÓN 34, SEGUNDO GRADO

60

IMAGEN IV. LECCIÓN 34, SEGUNDO GRADO

Lección 45 del bloque 2, “la tarea de Néstor” (Página 69) se dan las indicaciones

de verificar el resultado de los reactivos de suma y resta con la instrucción de que

utilice el material recortable (cartoncitos) y corrija las operaciones incorrectas. Es

importante notar que hasta el momento no se ha trabajado ninguna operación de

suma o resta en forma vertical y los ejercicios, requieren para su ejecución hacer

uso de las transformaciones. (Imagen V).

61

IMAGEN V. LECCIÓN 45, SEGUNDO GRADO

A pesar de que las lecciones 31 y 34 del libro de segundo grado son un

antecedente lógico para el proceso relacionado con los algoritmos

convencionales de suma y resta, de la revisión de los materiales impresos

podemos afirmar que no ha adquirido los elementos necesarios para realizar los

ejercicios de la lección 45, no podemos aseverar que el docente en su práctica

cotidiana no haya expuesto anteriormente el como realizar el proceso algorítmico

convencional de la suma y de la resta.

62

Lección 62 del bloque 2, “Ferretería la tachuela” (Páginas 94- 95). Se plantea un

problema relacionado con la suma de números con dos dígitos, se expone el

procedimiento que relaciona la representación icónica con la numérica, se indica

que se utilice la tabla en donde se ubican por columnas centenas, decenas y

unidades además se sugiere utilizar el material concreto, la operación requiere

realizar dos transformaciones. Al final de la lección se propone que el alumno

plantee problemas similares y proceda de igual manera. (Imágenes VI y VII).

IMAGEN VI. LECCIÓN 62, SEGUNDO GRADO

63

GEN VII. LECCIÓN 62, SEGUNDO GRADO

Lección 66 del bloque 3, “El puesto de revistas” (Página 100). Se plantea un

problema y se pide identificar y ejecutar la operación aritmética, de suma o resta,

que se requiere para encontrar la solución a dicho problema. Se le indica al niño

que estructure diversos problemas con la información proporcionada donde tenga

que realizar operaciones de suma y resta. Hasta esta lección no se ha trabajado

64

en ninguna de las secuencias anteriores en el algoritmo convencional de la resta

con transformaciones ni sumas con más de dos sumandos. (Imagen VIII).

IMAGEN VIII. LECCIÓN 66,

La lección 78 del bloque 2, “El zapatero remendón” (Páginas 120- 121) Se plantea

un problema relacionado con la resta de un número de dos dígitos a número de

tres dígitos, se expone el procedimiento que relaciona la representación icónica

con la numérica, se indica que se utilice la tabla en donde se ubican por columnas

las centenas, decenas y unidades además se sugiere utilizar el material concreto,

65

la operación requiere realizar dos transformaciones. Al final de la lección se

propone que el alumno plantee problemas similares y proceda de igual manera.

(Imagen IX y X).

IMAGEN IX. LECCIÓN 78, SEGUNDO GRADO

66

IMAGEN X. LECCIÓN 78, SEGUNDO GRADO

67

En el libro de segundo grado se incluyen de secuencias numéricas de tres dígitos

de forma ascendente y descendente aumentado o disminuyendo una unidad, se

plantean ejercicios del algoritmo convencional de la suma y la resta desfasados

ya que las actividades no son complementadas con actividades previas para la

comprensión de los algoritmos, no se cubre el tratamiento didáctico explicito para

poder llevar a cabo llevar una transformación con dos ceros.

Los ficheros de actividades didácticas de segundo grado con respecto a la

adquisición de conceptos matemáticos, referente al tema de suma y resta,

propone 9 fichas, estas actividades sugeridas al docente plantean que el niño

realice operaciones de suma y resta mentalmente con apoyo de material concreto

y verificando su resultado con la calculadora no platean el como realizar los pasos

algorítmicos. La ficha 32 “Con sumas y restas”, es la única donde explícitamente

se muestra operaciones de forma vertical de suma y resta, pero las operaciones a

realizar son con números menores a cien.

Lecciones de tercer grado

La lección 48 del bloque 3 “Cuentas y cambios” (Páginas 110- 111) se plantea la

representación de forma icónica y numérica de la transformación de unidades a

decenas y en las actividades siguientes, por medio de preguntas, se espera que el

alumno realice los pasos siguientes del algoritmo de la suma. (Imagen XI y XII).

68

IMAGEN XI. LECCIÓN 48, TERCER GRADO

69

IMAGEN XII. LECCIÓN 48, TERCER GRADO

70

Lección 50 del bloque 3, “otra vez el banquito” (Páginas 114- 115) expone un

problema de suma de números de tres dígitos, se indica que se deben ejecutar

los pasos algorítmicos de suma, pero en el tratamiento didáctico se expone de

forma inconclusa debido a que únicamente se muestra el primer paso a seguir, la

transformación de unidades a decenas, de forma explícita y se espera que el niño

infiera los pasos subsecuentes. (IMAGEN XIII y XIV).

IMAGEN XIII. LECCIÓN 50, TERCER GRADO

71

IMAGEN XIV. LECCIÓN 50, TERCER GRADO

72

Lección 61 del bloque 4, “Cambios y préstamos” (Páginas 140- 141) expone un

problema de resta de números de tres dígitos, la secuencia didáctica únicamente

plantea como llevar a cabo la primera transformación, el niño tiene que inferir los

pasos subsecuentes del algoritmo y proceder a realizar restas con números de

hasta de tres dígitos y el uso de transformaciones. (Imagen XV y XVI).

IMAGEN XV. LECCIÓN 61, TERCER GRADO

.

73

IMAGEN XVI. LECCIÓN 61, TERCER GRADO

Se aprecia que las lecciones en donde se aborda el algoritmo convencional de la

suma y resta no plantean todos los casos de manera explícita, a pesar de que en

el programa se contemplan las operaciones hasta cuatro dígitos y con

transformaciones.

74

La primera secuencia didáctica que se plantea relacionada con el algoritmo

convencional de la suma y el uso de transformaciones en el libro de segundo

grado, lección 31y no expone la relación icónica con la numérica.

Para el caso de la resta es en la lección 34 del libro de segundo grado en donde

se plantean las actividades relacionadas con el algoritmo convencional de la resta

y el uso de transformaciones que establece con la relación icónica y numérica se

abordan parcialmente.

Los ejercicios planteados en la lección 45 en el libro de segundo grado para su

desarrollo requieren que se usen los algoritmos convencionales de suma y

resta, con el uso de transformaciones y con números de dos dígitos, pero el

contenido en las lecciones previas no plantean el procedimiento de manera

explícita, es hasta las lecciones 62 y 78 donde se platea el tratamiento didáctico

de los algoritmos de suma y resta y solamente contemplan un caso y se infiere

que los otros casos deberán ser abordados de la misma manera.

En el libro de texto de tercer grado, en la lección 48 se plantea la representación

de forma icónica y numérica de la transformación de unidades a decenas y en

las actividades siguientes, por medio de preguntas, se espera que el alumno

realice los pasos siguientes del algoritmo.

El tratamiento didáctico para los algoritmos de la suma y resta con números de

hasta tres dígitos se exponen de forma inconclusa debido a que únicamente se

muestra el primer paso, la transformación de unidades a decenas, de forma

explícita y se espera que el niño infiera los pasos subsecuentes esto se plantea en

las lecciones 50 y 61 del libro de tercer grado.

En varias de las lecciones de segundo y tercer grado se plantean, ya sea en

ejercicios o en problemas, la indicación explicita en que se uso de los algoritmos,

75

las actividades consideran números de hasta cuatro dígitos y el uso de

transformaciones, en algunos casos se requiere operar hasta con cuatro

sumandos, pero el tratamiento didáctico no contempla todas las variantes de

manera explícita y recurrentemente las actividades se encuentra desfasadas, se

plantean operaciones que se abordan posteriormente.

4.4.3.2. Errores relacionados con el valor de posicional

Los errores de valor posicional se dan al considerar cada columna como una

operación aislada, al realizar la operación sin importarle el valor del número ya que

no diferencia entre unidades, decenas, centenas o unidades de millar.

Las secuencia didácticas planteadas en los libros de texto exponen los números

del uno al nueve como elementos sueltos de conjuntos o colecciones,

presentando a los números como cantidades agrupadas en colecciones uniformes

y elementos sueltos (unidades de millar, centenas, decenas y unidades).

Lecciones de segundo grado

En segundo grado los agrupamientos que llegan hasta las centenas se plantean

en algunos ejercicios con sumas y restas cuya solución requiere de usar los

agrupamientos. Lección 67 del bloque 3, “La cosecha de mangos”, (Página 101)

plantean un problema de suma donde se requiere que identifiquen, asocien y

reagrupen cantidades e imágenes. (Imagen XVII).

76

IMAGEN XVII. LECCIÓN 67, SEGUNDO GRADO

La lección 49 del bloque 3, “Di lo mismo de varias maneras” (Página 69) el niño

tiene que asociar e identificar los elementos de una colección y expresarlos de

forma correcta. Es de notar que el niño ha utilizado en diferentes ocasiones los

elementos gráficos expuestos. Obsérvese la imagen XVIII.

77

77

IMAGEN XVIII. LECCIÓN 49, SEGUNDO GRADO

Lecciones de tercer grado

En tercero se plantean secuencias didácticas hasta unidades de millar, el material

concreto, en comparación con el grado anterior, se reduce considerablemente, tal

vez con la expectativa que el niño logre realizar los ejercicios sin apoyo de éste.

78

La lección 9 del bloque 1, “Adornamos la plaza” (página 24 y 25) plantea

preguntas que el niño tiene que responde al identificar la equivalencia de

cantidades y el orden entre números de hasta cuatro dígitos. (Imagen XIX y XX).

IMAGEN XIX. LECCIÓN 9, TERCER GRADO

79

79IMAGEN XX. LECCIÓN 9, TERCER GRADO

La lección 19 del bloque 2, “Entrada al zoológico” (página 48 y 49) aborda

aspectos de lectura y escritura de números de cuatro cifras, con el apoyo del

contador; identificando así por columnas la ubicación y valor de los dígitos

(unidades, decenas, centenas y unidades de millar), se espera que el niño escriba

los números de la secuencia numérica al sumar el numero que se le indica.

(Imagen XXI y XXII).

80

IMAGEN XXI. LECCIÓN 19, TERCER GRADO

81

IMAGEN XXII. LECCIÓN 19, TERCER GRADO

Debido a los errores identificados en el instrumento de evaluación considero que

las situaciones didácticas planteadas relacionadas con el concepto valor

posicional son limitadas, es necesario que se expongan un mayor número de

situaciones didácticas vinculadas con el tema, para que el alumno comprenda el

concepto y opere de forma eficiente, en esta etapa el niño se encuentra en el

82

proceso de construir estructuras multiunitarias por lo que es conveniente poner

énfasis en todas las variantes que intervienen en el algoritmo.

De acuerdo con el programa de matemáticas de educación primaria el niño debe

operar comprendiendo el concepto de valor posicional, en primer grado con

números de dos dígitos, en segundo hasta tres y en tercero hasta cuatro dígitos.

4.3.3.3. Los errores sintácticos

Los errores sintácticos es cuando el niño confunde o mezcla el proceso

algorítmico. Éste tipo de errores derivan de la errada memorización de los pasos

a seguir en el proceso algorítmico.

Las secuencias didácticas planteadas para el aprendizaje de la reglas del

procedimiento de los algoritmos convencionales de la suma y resta en los

materiales oficiales, no presentan las diversas variantes, a continuación se

describen ejemplos de lecciones para ilustrar las carencias en el tratamiento

didáctico referente a los algoritmos.

Lecciones de segundo grado

La lección 53 del bloque 2, “Zapatería la bota de oro” (Páginas 82- 83) plantea

dos problemas relacionados con la suma y resta con números de tres dígitos, el

tratamiento didáctico no vincula la relación icónica con la numérica, se indica que

se utilice la tabla en donde se ubican por columnas las centenas, decenas y

unidades, las operaciones no requieren realizar transformaciones. Al final de la

lección se propone que el maestro reestructure los problemas y el alumno

proceda de igual manera. (Imagen XXIII y XXIV).

83

IMAGEN XXIII. LECCIÓN 53, SEGUNDO GRADO

84

IMAGEN XXIV. LECCIÓN 53, SEGUNDO GRADO

Lecciones de tercer grado

La lección 26 “Reunimos dinero para ir al zoológico” del bloque 2, (Páginas 62 -

63) Se plantea un problema relacionado con la suma de números con tres

dígitos, se utiliza la tabla en donde se ubican por columnas; centenas, decenas y

unidades. Se le indica al niño que realice las operaciones de suma planteadas en

el punto tres de la lección hay un reactivo con tres sumados, hasta esta lección

no se ha trabajado en ninguna de las secuencias anteriores el algoritmo

convencional de la suma con más de dos sumandos. El niño debe verificar los

resultados obtenidos empleado material concreto (Imagen XXV y XXVI).

85

IMAGEN XXV. LECCIÓN 26, TERCER GRADO

86

IMAGEN XXVI. LECCIÓN 26, TERCER GRADO

87

La lección 30 “En la tienda del Zoológico” del bloque 2, (Páginas 70- 71) se

expone el procedimiento que relaciona la representación icónica con la numérica,

se indica que se utilice la tabla en donde se ubican por columnas decenas y

unidades se espera que el alumno proceda de igual manera en las preguntas,

problemas y operaciones relacionadas con la resta con números de hasta de tres

dígitos. (Imagen XXVII y XXVIII).

IMAGEN XXVII. LECCIÓN 30, TERCER GRADO

88

IMAGEN XXVIII. LECCIÓN 30, TERCER GRADO

Se aprecia que las situaciones didácticas planteadas para la enseñanza del

algoritmo convencional de la suma y resta no abordan todos los casos de manera

explícita, pero en diversas lecciones de segundo y tercer grado se presentan

actividades que deben realizarse con el empleo de los algoritmos, en dichas

actividades se llegan a contemplar números de hasta cuatro dígitos y no se

89

plantea de manera explícita para este caso, en los ejercicios y problemas se

requiere operar con esta variante. Para el caso de tres y cuatro sumandos no se

plantean el tratamiento didáctico, igual que en la situación anterior se incluyen

actividades que requieren del dominio de esta variante. Con respecto a la

presentación de las actividades hay un desfase debido que plantean ejercicios o

problemas con la indicación explicita del uso de los algoritmos, pero el

procedimiento algorítmico no ha sido cubierto previamente. Como se puede

observar en las lecciones anteriores hay secuencias didácticas que se abordan

parcialmente.

4.5. OTROS ERRORES EN LA SUMA Y EN LA RESTA Y SU RELACIÓN CON

LOS CONTENIDOS.

Los patrones de error en la suma y la resta de alta frecuencia que no se

encuentran vinculados entre sí son, para la suma, los relacionados con el tema de

conteo y para la resta los referentes a la conceptualización del cero.

Errores en la suma.

Identifico un tipo error que no ha sido considerado en los casos anteriores.

La tabla XVI presenta; la descripción del error, el patrón, la frecuencia, el

porcentaje y un ejemplo de un reactivo, todo lo anterior relacionado con el tema

de conteo, estos atañen a problemas de cálculo.

TABLA XVI CONTEO EN LA SUMA

Descripción

Ejemplo

Patrón de error

Ad'5 12

+ 4

17

Frecuencia 29 Al efectuar la suma esta no corresponde al

resultado correcto

Porcentaje 20%

90

Errores en la resta

El tipo de errores considerados en la categoría de conceptualización del cero

corresponde a errores en la resta cuando ésta involucra al cero, como se

presenta en la tabla XVII

La tabla siguiente contiene el patrón de error la frecuencia, el porcentaje,

descripción de error en sus diferentes variantes y los ejemplos correspondientes.

TABLA XVII CONCEPTUALIZACIÓN DEL CERO ERRORES EN LA RESTA

Patrón de error Frecuencia Porcentaje

Ad4 64 30.05%

No realiza transformación cuando hay un cero intermedio y en las unidades coloca en la resta el dígito del sustraendo.

707 80

- 608 - 57

108 37

Desvalorización del sustraendo cuando el minuendo

es cero y viceversa.

81 80

- 70 - 57

10 30

Realiza la transformación parcialmente, en los dígitos donde hay “0” no impacta.

707 9107

- 608 - 489

009 8682

Cuando en el minuendo los dígitos de las unidades y decenas son cero realiza la transformación parcialmente, no impacta en el cero de las decenas del minuendo.

700

- 598

112

Cuando en el minuendo los dígitos de las unidades y decenas son cero realiza la transformación parcialmente, no impacta en las centenas.

700

- 97

703

Como se observa en el ejemplo del último punto de la tabla XVI I el resultado no

es correcto y no se relaciona con una posible estimación lógica.

91

4.5.1. Relación de los errores de mayor frecuencia en la suma con los contenidos

matemáticos abordados en los tres primeros grados de educación primaria.

Los libros del maestro de primero a tercer grado recomiendan que el niño debe

ser enfrentado a la resolución de problemas sencillos que lo conduzcan hacia la

estimación del resultado mediante estrategias como separar las decenas y las

unidades mediante la urticación de una tabla (ubicación las decenas y

unidades), reparto de colecciones en los que no haya sobrante (entre 2, 3, 4 o 5

niños) o problemas en los que se deba distribuir en partes iguales cierta cantidad

de objetos y el de realizar el cálculo mental y verificar el resultado con cálculos

escritos.

La habilidad de cálculo se estimula a lo largo de los tres grados, sustentándose

con material de apoyo (imágenes y material concreto) con la temática de conteo

de números naturales, pero como ya se expuso anteriormente en algunas

lecciones de los libros no se vinculan los problemas con la utilización de material

concreto. Se puede inferir que el niño se encuentra en el proceso de representar

las cantidades y el de realizar el calculo mental, además de que algunos

resultados son ilógicos de donde se deduce que los niños no relacionan el

proceso de estimación con la ejecución del algoritmo.

4.5.2. Relación de los errores de mayor frecuencia en la resta con los contenidos

matemáticos abordados en los tres primeros grados de educación primaria

El patrón de error que hace referencia a la estructura conceptual del cero es de

frecuencia considerable en la ejecución algorítmica de la resta. En las lecciones

en los tres primeros grados solo existe una explicación para realizar el algoritmo

cuando este involucra al cero. Para introducir el concepto de cero se recurre al

conteo regresivo y posteriormente se le relaciona con algo inexistente.

Lecciones de segundo grado

92

La lección 53 del bloque 2, “Zapatería la bota de oro” (Páginas 82- 83) se expone

un problema de resta con números de tres dígitos, es la primera lección donde

se da la explicación del algoritmo convencional de la resta sin transformación y

con números de tres dígitos. (Imagen XXIX).

IMAGEN XXIX LECCIÓN 53, SEGUNDO GRADO

A lo largo de las lecciones se plantean ejercicios de la resta de hasta doble cero

pero no hay explicaciones de cómo realizarlos, el niño tiene que enfrentarse a

situaciones como las planteadas en la lección 100 del bloque 5, “El mapa del

pirata Barba Coa” (Páginas 152- 153) donde se planten ejercicios de suma y

resta donde utilizan hasta doble cero, (Imagen XXX y XXXI).

I

93

IMAGEN XXX LECCIÓN 100, SEGUNDO GRADO

94

IMAGEN XXX LECCIÓN 100, SEGUNDO GRADO

95

Basándose en las lecciones únicamente de los tres primeros grados de educación

primaria se puede sustentar que no son suficientes para lograr la comprensión

de la estructura conceptual del cero ya que no se vincula con el valor posicional y

el agrupamiento, debido a ello “…para los niños el cero puede aparecer y

desaparecer mágicamente, se le puede convertir en diez o simplemente, cuando

les causa algún conflicto, lo eliminan porque el cero no vale” (Mendoza y Santana:

200, p 24).

Por lo que se observa en los materiales impresos oficiales se puede inferir que

no se encuentran plasmados elementos suficientes para que el niño logre ejecutar

eficazmente operaciones de resta que impliquen la compresión del concepto del

cero debido a que el tratamiento a esta temática es inadecuada e insuficiente

La persistencia y análisis de los errores sistemáticos a la conceptualización del

cero son permanentes en las investigaciones, particular en la resta, debido a la

complejidad de aprendizaje.

4.6. REFLEXIONES FINALES DEL CAPÍTULO

Los errores sistemáticos identificados en la ejecución algorítmica de la suma y de

la resta se asocian a las secuencias didácticas planteadas para su compresión,

los ejercicios, problemas, así como el tratamiento didáctico de los conceptos

matemáticos previos y la secuencia del proceso algorítmico no plantean las

variantes de manera explicita en los materiales impresos oficiales.

En muchos casos se platean una serie de ejercicios con la indicación de resolver o

verificar resultados por medio de la ejecución del algoritmo de la suma o la resta

según sea el caso, pero estos no son complementados con actividades previas

para la comprensión del proceso algorítmico, por ejemplo la lección 45 del bloque

2, “La tarea de Néstor” (página 69 del libro de texto de matemáticas de segundo

grado).

96

Los patrones de error en la suma y la resta que se relacionan se caracterizan

por:

No llevar a cabo una transformación o realizarla innecesariamente.

El concepto de valor posicional.

Se confunde el proceso algorítmico a seguir, (errores sintácticos).

Se podría llegar a la conjetura que uno de los factores, sin dejar de considerar que

hay muchos otros que intervienen en el proceso de aprendizaje, por lo cuales los

niños no logran realizar eficazmente los algoritmos de suma y resta tiene que ver

con que el tratamiento didáctico no se presenta de manera explicita la relación

con los conocimientos sobre valor posicional, descomposición numérica

(transformación) y el como se relacionan entre sí las operaciones y la estimación.

En los materiales oficiales impresos se presentan algunos ejemplos del cómo

realizar los algoritmos de suma y resta, pero estos no contemplan todos casos que

se presentan en los libros, resultando un desfase entre la adquisición de un

concepto matemático y la ejecución del algoritmo. La importancia del contexto

en el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas son la base para la

construcción de conceptos y procedimientos matemáticos.

Las actividades planteadas para el manejo de las operaciones de suma y resta no

se centran en ejercicios donde se tome en cuenta al cero, según su posición

para un adecuado manejo en la ejecución de los algoritmos. El cero no es

considerado un contenido base para aprender los algoritmos convencionales.

Las tablas XVIII y XIX presentan como se relacionan los errores en la ejecución

de los algoritmos convencionales de la suma y la resta con los contenidos

matemáticos de los materiales oficiales (libros de texto, fichero de actividades

didácticas y libros del maestro) en los tres primeros grados de educación primaría,

para ello se analizo como se plantea el tratamiento didáctico relacionado con los

97

conceptos matemáticos asociados al patrón de error, si éste se cubre de forma

explícita, o si es presentado de manera inconclusa o parcial o no es planteado.

En la tabla siguiente se sintetiza la relación de los patrones de error en la suma

con los contenidos matemáticos en los materiales impresos.

TABLA XVIII PATRONES DE ERROR EN LA SUMA Y CONTENIDOS

MATEMÁTICOS

Contenidos matemáticos

(tratamiento didáctico)

PATRÓN DE ERROR Se

plantea Parcial

Se omite Argumentos

Transformación Ad’1

a) No se reagrupa el número:

No se realiza la transformación.

Se lleva a cabo transformación de forma incorrecta.

b) .Se realiza la transformación en forma parcial.

X

No se cubren todos los casos de manera explícita.

No se presenta el tratamiento didáctico para llevar acabo el algoritmo con dos o más transformaciones.

No se plantea de manera explicita como ejecutar el algoritmo cuando una operación tiene números de hasta cuatro dígitos.

Algunas de las actividades se encuentran desfasadas debido que se plantean operaciones que posteriormente se abordan de manera parcial.

El tratamiento didáctico para el algoritmo con números de hasta tres dígitos se exponen de forma inconclusa debido a que únicamente se muestra el primer paso.

98

Sintácticos Ad’2

a) Confunde o mezcla la estructura

algorítmica de la suma:

Inicia la suma por la columna izquierda,

Substrae en lugar de añadir.

b) No ejecuta la operación indicada y la operación que utiliza la efectúa restando al dígito mayor el menor independientemente de

su ubicación.

X

El tratamiento didáctico del algoritmo convencional en algunos casos se describe en los primeros paso y para los subsecuentes se plantean preguntas que el lector deberá responder

Valor posicional Ad’3

a) Considera cada columna como

una suma aislada de un dígito:

Coloca el total de la suma en cada una de las columnas.

Cuando uno de los sumandos tiene un solo dígito, y el otro más de uno, éste lo suma con cada uno de los dígitos del otro sumando.

Coloca como resultado el dígito de las decenas agregando las unidades a la columna de la izquierda y procede de igual manera con las siguientes columnas.

b) En el resultado de la suma de

las unidades coloca el dígito de

las decenas y hace la

transformación, no utiliza el

digito de las unidades del

resultado de la suma en la

primera columna.

X

.

El concepto de valor posicional no se representa de forma explícita con los pasos a seguir en el algoritmo

99

Conceptualización del cero Ad’4

a) Cuando hay en alguna de las

columnas un cero y otro dígito distinto, se coloca como resultado "0".

b) No realiza transformación con un cero intermedio, esta se lleva acabo en la siguiente columna,

a la izquierda del cero. c) Sí la columna de las decenas

hay un cero, se efectúa la suma utilizando nuevamente el dígito de la unidad.

X

En las actividades planteadas no se considera de manera explicita los casos en donde el cero aparece como uno de los dígitos de los sumandos, excepto en un caso donde el cero aparece en las unidades.

Problema de conteo Ad’5

Comete errores en la realización de conteo, este tipo de errores son aislados, (no aumenta una unidad).

X

La habilidad de cálculo se estimula a lo largo de los tres grados, sustentándose con material de apoyo (imágenes y material concreto) la temática de conteo con números naturales, no se vincula estimación con el algoritmo

En la tabla siguiente se sintetiza la relación de los patrones de error en la resta

con el tratamiento didáctico que se les da a los contenidos matemáticos en los

materiales impresos.

100

TABLA XIX PATRONES DE ERROR EN LA RESTA CONTENIDOS

MATEMÁTICOS

Tratamiento didáctico

PATRÓN DE ERROR Se

plantea Parcial

Se omite Argumento

Transformación Ad1

a) Reagrupar el número.

No se realiza la

transformación, se coloca “0”

en la columna de las

unidades cuando el dígito

correspondiente del

minuendo es menor que el

del sustraendo.

Cuando es el mismo dígito en

la columna de las unidades

se coloca como resultado el

mismo dígito.

b) Transformación parcial:

Se realiza la transformación

parcialmente, no se modifica

la cifra de las decenas.

Se realiza la transformación

parcialmente, si los dígitos en

las decenas son iguales, la

transformación impacta hasta

las centenas.

Se realiza la transformación

parcialmente esta no

modifica las cifras de las

decenas y/o centenas.

X

No se cubren todos los casos de manera explícita.

No se presenta el tratamiento didáctico para llevar acabo el algoritmo con dos más transformaciones.

No se plantea de manera explicita como ejecutar el algoritmo cuando una operación tiene números de hasta cuatro dígitos.

Algunas de las actividades se encuentran desfasadas debido que se plantean operaciones que posteriormente se abordan de manera parcial.

El tratamiento didáctico para el algoritmo con números de hasta tres dígitos se expone de forma inconclusa, debido que únicamente se ejemplifica como restar en la columnas de la unidades.

En las actividades planteadas no se considera casos con números de hasta tres dígitos con el uso de trasformaciones, excepto en un caso donde se describe el primer paso y para los subsecuentes se plantean preguntas que el lector deberá responder.

101

Sintácticos Ad2

a) Se confunde o se mezcla la

estructura algorítmica de la resta:

Inicia la resta por la columna izquierda.

b) Se realiza la transformación parcialmente en las decenas del minuendo aumenta en lugar de disminuir.

X

El tratamiento didáctico para el algoritmo de la resta se describe, en algunos de los casos, en los primeros paso y para los subsecuentes se plantean preguntas que el lector deberá responder.

Valor posicional Ad3

a) Se considera cada columna como

una resta aislada de un dígito:

Se resta el dígito menor del

mayor en cada columna sin

importar que estén en el

minuendo o sustraendo.

b) Se realiza la resta sin importar el

valor del número ya que no

diferencia entre unidades,

decenas, centenas o unidades de

millar:

Cuando hay un espacio en blanco en el sustraendo en la columna de las decenas al dígito de las unidades del sustraendo le resta cada uno de los dígitos del minuendo y se resta el dígito menor del mayor.

Se realiza la transformación parcialmente y ante la ausencia de dígitos en las centenas del sustraendo coloca en esa columna en la resta “0”.

Cuando el minuendo es menor al sustraendo, realiza la resta considerando a las unidades y decenas como una cantidad independiente.

X

El concepto de valor posicional no se relaciona de forma explícita con el proceso algorítmico de la resta.

102

Conceptualización del cero Ad4

a) Cuando en la columna de las

unidades se requiere una

transformación pero en la cifra de

las decenas del minuendo es

“0”, no se realiza la

transformación, en la resta se

coloca en la columna de las

unidades el dígito del sustraendo

como resultado.

b) No se realiza la transformación, la

cifra de las unidades del

minuendo es “0”, y la del

sustraendo, distinta de cero, en la

resta se coloca en esa columna

“0”.

c) No se realiza la transformación, la cifra de las unidades del minuendo es “0”, en la resta coloca en la columna correspondiente el dígito del sustraendo.

d) Cuando en la columna de las

unidades hay un dígito mayor a cero en el minuendo y cero en el sustraendo coloca como resultado "0".

e) Cuando en las unidades y las

decenas del minuendo son cero se realiza la transformación parcialmente y esta no impacta en el cero de las decenas del minuendo.

f) Cuando en el minuendo los dígitos de las unidades y decenas son cero se realiza la transformación parcialmente, no impacta en las centenas.

X

Solo existe una explicación para realizar el algoritmo cuando este involucra al cero en el sustraendo, el ejemplo presentado no requiere el uso de transformaciones.

No se plantean explicaciones para operar el algoritmo de la resta cuando la cifra de las decenas del minuendo es “0”, y la del sustraendo, distinta de cero.

No se presenta tratamiento didáctico para ejecutar el algoritmo de la resta cuando las cifras de las unidades y decenas del minuendo es “0”, y las del sustraendo son distintas de cero.

103

Problema de conteo Ad5

Comete errores de conteo, este tipo de errores son aislados:

No disminuye una unidad

X

La habilidad de cálculo se estimula a lo largo de los tres grados, sustentándose con material de apoyo (imágenes y material concreto) la temática de conteo con números naturales, no se vincula la estimación con el algoritmo convencional.

104

CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos en esta investigación con respecto al Programa de

Matemáticas de Educación Básica oficial muestran que; los contenidos

matemáticos relacionados con los algoritmos convencionales de la suma y la resta

se plantean de manera limitada, lo anterior se establece a partir del análisis y la

relación que hay entre los errores que cometieron los alumnos, y los contenidos

matemáticos incluidos en los materiales impresos (libros de texto, fichero de

actividades didácticas y libros del maestro) en los tres primeros grados de

educación primaría.

En general se aprecia que, tanto para la suma como para la resta, es en los

ejercicios o los problemas a realizar, en los libros de texto, en donde se requiere

hacer uso de los algoritmos convencionales de hasta cuatro dígitos con las

diversas variantes (sin transformación, con una transformación, con dos o más

transformaciones, con cero o doble cero intermedios), se espera que el lector

haga las inferencias correspondientes, las actividades no se complementan con

las secuencias didácticas de los algoritmos para cada una de las variantes

mencionadas previamente. Este análisis únicamente se basa en las actividades

contenidas en los materiales impresos, por lo que no se puede descartar que los

profesores en su práctica los aborde.

Conforme a los datos obtenidos se observan 358 errores de ejecución

algorítmica en total, de estos 145 se presentaron en la suma y 213 en la resta.

Entendiendo que algunos alumnos cometieron en el mismo reactivo errores

combinados.

Los seis patrones de error que se lograron identificar que cometieron los alumnos

se presentan en la siguiente tabla, donde se puede apreciar la frecuencia y el

porcentaje de los mismos, así como identificar el número de niños que tuvieron la

misma dificultad al realizar tanto el algoritmo convencional de la suma como el de

105

la resta. La tabla se divide en dos partes la primera hace referencia a la suma y

la segunda a la resta, en cada apartado se presenta el total de errores asociados

al patrón error, la segunda columna indica el porcentaje con relación al total de

errores y la tercera establece el porcentaje respecto al total de alumnos, lo cual

quiere decir que algunos alumnos cometieron más de un tipo de error, la ultima

columna considera el total de alumnos que cometen el mismo patrón de error en

la suma y en la resta

SUMA RESTA

Patrón de error Frecuencia Porcentaje

de error

Porcentaje de

alumnos Frecuencia

Porcentaje de error

Porcentaje de

alumnos

Coincidencia en los

alumnos

Descomposición 47 32.41 67.14 54 25.35 77.14 31

Sintácticos 11 7.59 15.71 12 5.63 17.14 6

Valor posicional 33 22.76 47.14 60 28.17 85.71 32

Conceptualización del cero

15 10.34 21.43 64 30.05 91.43 13

Problema de conteo

29 20 41.43 11 5.16 15.71 3

Incoherencia – abandona

10 6.90 14.29 12 5.63 17.14 4

Los patrones de error en la suma y la resta vinculados entre sí se caracterizan

por:

No llevar a cabo la transformación o realizarla innecesariamente.

El concepto de valor posicional.

Confusión al ejecutar el algorítmico a seguir (errores sintácticos).

El porcentaje de los errores de transformación o descomposición en la suma es

de 32.41% y en la resta de 25.35%, los errores se relacionan con el proceso

que se requiere para reagrupar un número, y las dificultades se presentan si no

realizan la trasformación o la ejecutan innecesariamente o de manera parcial, para

el caso en que no la realizan, particularmente se aprecia en los reactivos tanto

para la suma como para la resta que tienen el mismo dígito en la columna de las

106

unidades, colocan en el resultado el mismo dígito, en el otro caso, aplican la

transformación en todas las columnas, o en alguna de ellas, cuando esta no es

necesaria.

El tratamiento didáctico para los algoritmos de la suma y resta que se plantean

en los materiales impresos, no cubren todos los casos de manera explícita, no

obstante incluyen ejercicios a realizar, con todas las variantes, una, dos o más

transformaciones y con números de hasta cuatro dígitos, en las lecciones de

segundo y tercer grado se presentan ejercicios o problemas con la indicación

explicita del uso de los algoritmos, recurrentemente las actividades se encuentran

desfasadas debido que se plantean operaciones que posteriormente se abordan

de manera parcial.

Con respecto a los errores asociados al concepto de valor posicional, el

porcentaje es: en la suma de 22.76% y en la resta de 28.17%, esto se aprecia

cuando los números que forman una cantidad no se relacionan entre sí, ya que

no diferencian entre unidades de millar, centenas, decenas o unidades por lo que

se considera que en cada una de las columnas se opera de manera aislada,

dichos errores corresponden a la operatividad del valor posicional.

Las actividades para la enseñanza del valor posicional en los materiales oficiales

no abordan de manera explícita toda la explicación de los pasos a seguir para

ejecutar los algoritmos, esto se puede apreciar en las lecciones de segundo grado

debido a que, al inicio solamente muestran la representación gráfica asociada al

concepto del valor posicional y realizan los primeros pasos de los algoritmos, y

para los subsecuentes se espera que el alumno elabore las inferencias

correspondientes.

Los errores sintácticos tiene un porcentaje de 7.59% en la suma y 5.63% en la

resta, se observan cuando el niño confunde o mezcla el proceso algorítmico a

107

seguir o no lo inician por las unidades, de acuerdo con Young y O´Shea 1981 (cit.

por López y Sánchez 2007) éste tipo de errores pueden asociarse a una errada

memorización de los pasos a seguir en el proceso algorítmico

Las secuencias didácticas en donde se abordan los algoritmos convencionales de

suma y resta en los materiales oficiales, no plantean de manera explícita y

completa las diversas variantes, en las lecciones de segundo y tercer grado se

presentan actividades en donde se pide hacer uso de los algoritmos, en dichas

actividades se contemplar números de hasta cuatro dígitos, operaciones con dos

o más transformaciones, con cero o doble cero intermedio y sumas de hasta

cuatro sumandos, en cada una de las actividades se espera que el alumno

elabore las inferencias correspondientes de los pasos a seguir.

Con respecto a la conceptualización del cero, 13 alumnos, que en porcentaje

representan el 18.57% cometen errores tanto en la suma como en la resta, la

frecuencia de error en la suma es de 15 niños que representan el 21.42% mientras

que en la resta se identificaron 64 que equivalen a 91.4%.

Con respecto a los resultados obtenidos, en el apartado de la suma se identificó

que; los errores de mayor frecuencia cometidos por los alumnos evaluados son

los relacionados con los conceptos matemáticos de transformación, valor

posicional y de conteo, en los dos primeros casos las conclusiones fueron

descritas anteriormente, y con respecto al apartado de los errores relacionados

con los problemas de conteo se obtuvo un porcentaje de 20%.

En los errores de conteo, clasificados como Ad‟5 y descritos como; al efectuar la

suma el resultado es incorrecto, no se aprecia una relación coherente entre el

resultado que se obtiene con el algoritmo y el de la estimación.

108

La habilidad de cálculo se estimula a lo largo de los tres grados, sustentándose

con material de apoyo (imágenes y material concreto) con la temática de conteo

con números naturales, pero como ya se expuso anteriormente en las lecciones

de los libros no se vincula la estimación mental con la ejecución del algoritmo

Los libros del maestro de primero a tercer grado recomiendan el planteamiento

de problemas donde el niño realice cálculo mental y verifique sus resultados con

cálculos escritos pero no se hace de forma explícita la relación de éste con el

algoritmo.

Los errores de mayor frecuencia en la resta se vinculan con los conceptos

matemáticos de valor posicional transformación y conceptualización del cero, en

los dos primeros casos las conclusiones fueron establecidas anteriormente, y con

respecto a los errores relacionados con la conceptualización del cero concluimos

que tienen un porcentaje de 30.05%.

Los errores de conceptualización del cero clasificados como Ad4, se refieren a la

dificultad para ejecutar el algoritmo de la resta cuando en los reactivos incluyen

un cero ya sea en el minuendo o en el sustraendo, las dificultades se presentan si

no se realiza la transformación o se hace parcialmente; cuando hay un cero

intermedio en el minuendo, desvalorizan el dígito del sustraendo, en la misma

columna del cero, y viceversa, y al efectuar la transformación, esta no impacta

donde hay un cero, cuando esta es necesaria, y se realiza hasta el siguiente

dígito.

Las actividades planteadas para el manejo de las operaciones de suma y resta no

se centran en ejercicios donde se tome en cuenta al cero según su posición para

un adecuado manejo en la resolución de los algoritmos, solo existe una

explicación en segundo grado para realizar el algoritmo de la resta cuando este

109

involucra al cero en el sustraendo, el ejemplo presentado no requiere el uso de las

transformaciones.

Las lecciones plantean problemas y ejercicios donde se debe ejecutar el algoritmo

con un cero o doble cero en el minuendo pero no hay explicaciones de cómo

realizarlos.

De los materiales impresos oficiales se puede inferir que no se encuentran

plasmados los elementos suficientes para ejecutar eficazmente los reactivos de

la resta que tienen al cero, y un factor importante que influye en los errores es que

el tratamiento didáctico del contenido es insuficiente.

La persistencia y análisis de errores sistemáticos con referencia a la

conceptualización del cero son permanentes en las investigaciones de los errores

en la resta debido a la complejidad que implica su aprendizaje. Se aprecia que los

resultados obtenidos del análisis de los errores en los reactivos que incluyen un

cero son un elemento estable comparado con las investigaciones de VanLehn y

Riviére

Con respecto al promedio de calificaciones obtenido por los alumnos, en la suma

es de 7.19 y en la resta de 3.22, la diferencia es evidente y se podría atribuir a que

el proceso de aprendizaje de la resta es de mayor complejidad comparado con el

de la suma. El tratamiento didáctico de los conocimientos previos en los

materiales oficiales, según los resultados de la investigación, tienen un impacto en

el manejo de los algoritmos, no se abordan todos los casos explícitamente.

El porcentaje de errores es mayor en la resta. El 21.43% se equivocó al ejecutar

el algoritmo de la suma y el 82.86% al ejecutar el algoritmo de la resta. En las

tres escuelas donde se aplicó el instrumento de evaluación, el panorama es similar

110

en cuanto al índice de reprobación en la ejecución delos algoritmos, así como el

comportamiento de los errores es similar entre las diferentes escuelas.

Considerando que la investigación se sustenta en la revisión de la estructura de

los contenidos para la enseñanza de los algoritmos no en la práctica docente, se

puede inferir que uno de los factores que se relacionan con los errores en la

ejecución de los algoritmos convencionales de la suma y resta es el dominio de los

conocimientos previos y se aprecia que en los materiales escritos, en las

secuencias didácticas o no se contemplan de manera explícita o se planten de

forma restringida.

RECOMENDACIONES DIDÁCTICAS

Esta investigación recomienda que los contenidos de los materiales impresos

oficiales de primero a tercer grado de educación básica en beneficio del proceso

de enseñanza de los algoritmos convencionales de la suma y la resta consideren:

Incluir secuencias didácticas en donde se exponga la correspondencia

explicita de la representación gráfica con la numérica en los algoritmos

convencionales de la suma y de la resta.

En las secuencias didácticas, abordar explícitamente los pasos a seguir en

los algoritmos de la suma y de la resta con transformaciones, con ceros

intermedios y con números de hasta cuatro dígitos.

Incorporar las secuencias didácticas relacionadas con el manejo del cero en

cada uno de los algoritmos.

Reforzar el concepto de valor posicional y relacionarlo de una forma

explícita con los pasos a seguir en los algoritmos.

111

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115

ANEXO A. LISTAS DE CONTENIDOS TEMÁTICOS DEL EJE LOS NÚMEROS,

SUS RELACIONES Y SUS OPERACIONES DE LOS PROGRAMAS DE

MATEMÁTICAS DE EDUCACIÓN BÁSICA DE PRIMERO A TERCER GRADO

El Plan y Programas de Estudio de1994 sustenta sus contenidos matemáticos en base al desarrollo cognoscitivo del niño y sobre los procesos que sigue en la adquisición y la construcción de conceptos matemáticos específicos, articulándose en seis ejes temáticos

Los números, sus relaciones y sus operaciones.

Medición.

Geometría.

Procesos de cambio (se retoma hasta al cuarto grado).

Tratamiento de la información.

La predicción y el azar. La resolución de problemas es el sustento de los programas. A partir de las acciones realizadas al resolver un problema (agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar repetidamente, repartir, medir, etcétera) el niño construye los significados de las operaciones. El grado de dificultad de los problemas que se plantean va aumentando a lo largo de los seis grados. El aumento en la dificultad no radica solamente en el uso de números de mayor valor, sino también en la variedad de problemas que se resuelven con cada una de las operaciones y en las relaciones que se establecen entre los datos. Las operaciones o algoritmos son concebidos como instrumentos que permiten resolver problemas; el significado y sentido que los niños puedan darles, deriva precisamente de las situaciones que resuelven con ellas. El eje de los números, sus relaciones y sus operaciones se trabajan desde el primer grado con el objetivo de que los alumnos comprendan el significado de los números y de los símbolos que los representan y puedan utilizarlos como herramientas para solucionar diversas situaciones problemáticas a las que se enfrentan cotidianamente el niño, ya que a partir de una serie de actividades, reflexiones, estrategias y discusiones, los alumnos estimulan la construcción de conocimientos nuevos o la búsqueda de la solución a partir de los conocimientos que ya poseen. Lista de contenidos temáticos del eje los números, sus relaciones y sus operaciones, en primer grado:

1. Los números, sus relaciones y sus operaciones. 2. Números y sus relaciones. 3. Números naturales.

116

4. Conteo con números naturales. 5. Conteo de uno en uno con números de una cifra. 6. Conteo de uno en uno con números hasta de dos cifras. 7. Conteo de uno en uno, de dos en dos,...hasta de nueve en nueve. 8. Conteo de 10 en 10, o de múltiplos de 10 en múltiplos de 10. 9. Resolución de problemas de conteo con números naturales. 10. Agrupamientos y desagrupamientos de números naturales en millares,

centenas, decenas y unidades. 11. Agrupamientos y desagrupamientos con números naturales de una cifra. 12. Agrupamientos y desagrupamientos en decenas y unidades, con

números naturales hasta de dos cifras. 13. Resolución de problemas de agrupamientos y desagrupamientos en

millares, centenas, decenas y unidades con números naturales. 14. Resolución de problemas de aproximación y redondeo con números

naturales. 15. Lectura y escritura de números naturales. 16. Lectura y escritura de números naturales de una cifra. 17. Lectura y escritura de números naturales hasta de dos cifras. 18. Resolución de problemas que impliquen lectura y escritura de números

naturales. 19. Orden en los números naturales. 20. Orden en los números naturales de una cifra. 21. Orden en los números naturales hasta de dos cifras. 22. Resolución de problemas que involucren el orden en los números

naturales. 23. Antecesor y sucesor de un número natural. 24. Antecesor y sucesor de un número natural de una cifra. 25. Antecesor y sucesor de un número natural hasta de dos cifras. 26. Resolución de problemas que involucren al antecesor o al sucesor de un

número natural. 27. El número cero. 28. Construcción de series de números naturales. 29. Construcción de series de números naturales de una cifra, en orden

ascendente o descendente. 30. Construcción de series de números naturales hasta de dos cifras, en

orden ascendente o descendente. 31. Resolución de problemas que impliquen la construcción de series de

números naturales en orden ascendente o descendente. 32. Valor posicional en números naturales. 33. Valor posicional en números naturales de una cifra. 34. Valor posicional en números naturales hasta de dos cifras. 35. Resolución de problemas que involucren el valor posicional en un

número natural. 36. Los números naturales en la recta numérica. 37. Los números naturales de una cifra en la recta numérica.

117

38. Los números naturales hasta de dos cifras en la recta numérica. 39. Resolución de problemas que impliquen la ubicación de números

naturales en la recta numérica. 40. Números ordinales. 41. Lectura y escritura de números ordinales. 42. Conceptos básicos de lectura y escritura de números ordinales. 43. Uso de números ordinales. 44. Conceptos básicos en el uso de números ordinales. 45. Uso de números ordinales en contextos familiares para el alumno. 46. Números fraccionarios. 47. Resolución de problemas que involucren el concepto de fracción. 48. Sistema decimal. 49. Valor posicional en el sistema de numeración decimal. 50. Numeración oral. 51. Sistemas de numeración figurativos (fichas de colores, monedas,

ábacos, contador, tablas para escritura posicional, etc.). 52. Operaciones con números naturales. 53. Suma de números naturales. 54. Concepto de suma de números naturales. 55. Concepto de suma de números naturales como agrupamientos. 56. Concepto de suma de números naturales como yuxtaposiciones. 57. Algoritmo de la suma de números naturales. 58. Algoritmo de la suma de números naturales sin transformaciones. 59. Resolución de problemas de suma de números naturales. 60. Resolución de problemas de suma de números naturales con

procedimientos informales. 61. Resolución de problemas de suma de números naturales sin

transformaciones. 62. Resta de números naturales. 63. Concepto de resta de números naturales. 64. Concepto de resta de números naturales como desagrupamientos. 65. Concepto de resta de números naturales como yuxtaposiciones. 66. Algoritmo de la resta de números naturales. 67. Algoritmo de la resta de números naturales sin transformaciones. 68. Expresión de un número natural como suma o resta de otros. 69. Resolución de problemas de resta de números naturales. 70. Resolución de problemas de resta de números naturales con

procedimientos informales. 71. Resolución de problemas de resta de números naturales sin

transformaciones. Los contenidos temáticos del eje los números, sus relaciones y sus operaciones, en primer grado se encuentran 75 lecciones y 36 fichas. Ejemplos de fichas o lecciones que estimulan el aprendizaje de la suma y la resta,

118

Lista de contenidos temáticos del eje los números, sus relaciones y sus operaciones, en segundo grado:

1. Los números, sus relaciones y sus operaciones. 2. Números y sus relaciones. 3. Números naturales. 4. Conteo con números naturales. 5. Conteo de uno en uno con números hasta de tres cifras. 6. Conteo de uno en uno, de dos en dos,...hasta de nueve en nueve. 7. Conteo de 10 en 10, o de múltiplos de 10 en múltiplos de 10. 8. Técnicas de conteo. 9. Resolución de problemas de conteo con números naturales. 10. Agrupamientos y desagrupamientos de números naturales en millares,

centenas, decenas y unidades. 11. Agrupamientos y desagrupamientos en centenas, decenas y unidades,

con números naturales hasta de tres cifras. 12. Resolución de problemas de agrupamientos y desagrupamientos en

millares, centenas, decenas y unidades con números naturales. 13. Resolución de problemas de aproximación y redondeo con números

naturales. 14. Lectura y escritura de números naturales. 15. Lectura y escritura de números naturales hasta de tres cifras. 16. Resolución de problemas que impliquen lectura y escritura de números

naturales. 17. Orden en los números naturales. 18. Orden en los números naturales hasta de tres cifras. 19. Resolución de problemas que involucren el orden en los números

naturales. 20. Antecesor y sucesor de un número natural. 21. Antecesor y sucesor de un número natural hasta de tres cifras. 22. Resolución de problemas que involucren al antecesor o al sucesor de

un número natural. 23. Construcción de series de números naturales. 24. Construcción de series de números naturales hasta de tres cifras, en

orden ascendente o descendente. 25. Resolución de problemas que impliquen la construcción de series de

números naturales en orden ascendente o descendente. 26. Valor posicional en números naturales. 27. Valor posicional en números naturales hasta de tres cifras. 28. Resolución de problemas que involucren el valor posicional en un

número natural. 29. Los números naturales en la recta numérica. 30. Los números naturales hasta de tres cifras en la recta numérica. 31. Resolución de problemas que impliquen la ubicación de números

naturales en la recta numérica.

119

32. Números ordinales. 33. Uso de números ordinales. 34. Uso de números ordinales en contextos familiares para el alumno. 35. Números fraccionarios. 36. Resolución de problemas que involucren el concepto de fracción. 37. Sistema decimal. 38. Valor posicional en el sistema de numeración decimal. 39. Numeración oral. 40. Sistemas de numeración figurativos (fichas de colores, monedas,

ábacos, contador, tablas para escritura posicional, etc.). 41. Sistema monetario. 42. Operaciones con números naturales. 43. Suma de números naturales. 44. Concepto de suma de números naturales. 45. Concepto de suma de números naturales como agrupamientos. 46. Concepto de suma de números naturales como yuxtaposiciones. 47. Algoritmo de la suma de números naturales. 48. Algoritmo de la suma de números naturales con transformaciones. 49. Resolución de problemas de suma de números naturales. 50. Resolución de problemas de suma de números naturales con

procedimientos informales. 51. Resolución de problemas de suma de números naturales sin

transformaciones. 52. Resolución de problemas de suma de números naturales con

transformaciones. 53. Resta de números naturales. 54. Concepto de resta de números naturales. 55. Concepto de resta de números naturales como desagrupamientos. 56. Concepto de resta de números naturales como yuxtaposiciones. 57. Algoritmo de la resta de números naturales. 58. Algoritmo de la resta de números naturales con transformaciones. 59. Expresión de un número natural como suma o resta de otros. 60. Resolución de problemas de resta de números naturales. 61. Resolución de problemas de resta de números naturales con

procedimientos informales. 62. Resolución de problemas de resta de números naturales sin

transformaciones. 63. Resolución de problemas de resta de números naturales con

transformaciones. 64. Multiplicación de números naturales. 65. Concepto de multiplicación de números naturales. 66. Concepto de multiplicación de números naturales como agrupamientos,

arreglos rectangulares o sumas iteradas. 67. El área como significado del concepto de multiplicación de números

naturales.

120

68. Escrituras convencionales de la multiplicación de números naturales. 69. El cuadro o tabla de multiplicaciones de números naturales. 70. Resolución de problemas de multiplicación de números naturales. 71. Resolución de problemas de multiplicación de números naturales con

procedimientos informales. 72. División con números naturales. 73. Concepto de división con números naturales. 74. Concepto de división con números naturales como reparto.

Los contenidos temáticos del eje los números, sus relaciones y sus operaciones, en tercer grado se encuentran 61 lecciones y 28 fichas. Lista de contenidos temáticos del eje los números, sus relaciones y sus operaciones, en tercer grado:

1. Los números, sus relaciones y sus operaciones. 2. Números y sus relaciones. 3. Números naturales. 4. Conteo con números naturales. 5. Conteo de uno en uno con números hasta de cuatro cifras. 6. Conteo de uno en uno, de dos en dos,...hasta de nueve en nueve. 7. Conteo de 10 en 10, o de múltiplos de 10 en múltiplos de 10. 8. Resolución de problemas de conteo con números naturales. 9. Agrupamientos y desagrupamientos de números naturales en millares,

centenas, decenas y unidades. 10. Agrupamientos y desagrupamientos en millares, centenas, decenas y

unidades, con números naturales hasta de cuatro cifras. 11. Resolución de problemas de agrupamientos y desagrupamientos en

millares, centenas, decenas y unidades con números naturales. 12. Resolución de problemas de aproximación y redondeo con números

naturales. 13. Lectura y escritura de números naturales. 14. Lectura y escritura de números naturales hasta de cuatro cifras. 15. Resolución de problemas que impliquen lectura y escritura de números

naturales. 16. Orden en los números naturales. 17. Orden en los números naturales hasta de cuatro cifras. 18. Resolución de problemas que involucren el orden en los números

naturales. 19. Antecesor y sucesor de un número natural. 20. Antecesor y sucesor de un número natural hasta de cuatro cifras. 21. Resolución de problemas que involucren al antecesor o al sucesor de

un número natural. 22. Construcción de series de números naturales.

121

23. Construcción de series de números naturales hasta de cuatro cifras, en orden ascendente o descendente.

24. Resolución de problemas que impliquen la construcción de series de números naturales en orden ascendente o descendente.

25. Valor posicional en números naturales. 26. Valor posicional en números naturales hasta de cuatro cifras. 27. Resolución de problemas que involucren el valor posicional en un

número natural. 28. Los números naturales en la recta numérica. 29. Los números naturales hasta de cuatro cifras en la recta numérica. 30. Resolución de problemas que impliquen la ubicación de números

naturales en la recta numérica. 31. Números ordinales. 32. Lectura y escritura de números ordinales. 33. Conceptos básicos de lectura y escritura de números ordinales. 34. Números fraccionarios. 35. Concepto de fracción. 36. Concepto básico de fracción. 37. Concepto de medios, cuartos u octavos. 38. Representación convencional de las fracciones. 39. Resolución de problemas que involucren el concepto de fracción. 40. Las fracciones como resultado de operaciones. 41. Las fracciones como resultado de repartos. 42. Las fracciones como resultado de fraccionamiento de longitudes, áreas

o volúmenes. 43. Resolución de problemas que involucren a las fracciones como

resultado de operaciones. 44. Reconstrucción de la unidad a partir de una fracción. 45. Lectura y escritura de fracciones. 46. Lectura y escritura de fracciones comunes. 47. Sistema decimal. 48. Valor posicional en el sistema de numeración decimal. 49. Numeración oral. 50. Sistemas de numeración figurativos (fichas de colores, monedas,

ábacos, contador, tablas para escritura posicional, etc.). 51. Sistema monetario. 52. Operaciones con números naturales. 53. Suma de números naturales. 54. Concepto de suma de números naturales. 55. Concepto de suma de números naturales como agrupamientos. 56. Concepto de suma de números naturales como yuxtaposiciones. 57. Resolución de problemas de suma de números naturales. 58. Resolución de problemas de suma de números naturales con

procedimientos informales.

122

59. Resolución de problemas de suma de números naturales con transformaciones.

60. Resta de números naturales. 61. Concepto de resta de números naturales. 62. Concepto de resta de números naturales como desagrupamientos. 63. Concepto de resta de números naturales como yuxtaposiciones. 64. Concepto de resta de números naturales como suma “con agujero”. 65. Concepto de resta de números naturales como resta “con agujero”. 66. Expresión de un número natural como suma o resta de otros. 67. Resolución de problemas de resta de números naturales. 68. Resolución de problemas de resta de números naturales con

procedimientos informales. 69. Resolución de problemas de resta de números naturales con

transformaciones. 70. Multiplicación de números naturales. 71. Algoritmo de la multiplicación de números naturales. 72. Algoritmo convencional de la multiplicación de números naturales. 73. Algoritmo de la multiplicación con números naturales terminados en

ceros. 74. Resolución de problemas de multiplicación de números naturales. 75. Resolución de problemas de multiplicación de números naturales con

procedimientos informales. 76. Resolución de problemas de multiplicación de números naturales hasta

de dos cifras. 77. División con números naturales. 78. Concepto de división con números naturales. 79. Concepto de división con números naturales como reparto. 80. Concepto de división con números naturales como agrupamientos. 81. Concepto de división con números naturales como multiplicación “con

agujero”. 82. Concepto de división con números naturales como división “con

agujero”. 83. Escrituras convencionales de la división con números naturales. 84. Algoritmo de la división con números naturales. 85. Algoritmo de la división con números naturales y divisor de una cifra. 86. Resolución de problemas de división con números naturales. 87. Resolución de problemas de división con números naturales usando

procedimientos informales. 88. Resolución de problemas de división con números naturales hasta de

tres cifras. 89. Varias operaciones con números naturales. 90. Resolución de problemas que impliquen dos o más operaciones con

números naturales. 91. Operaciones con fracciones. 92. Suma de fracciones.

123

93. Concepto de suma de fracciones. 94. Concepto de suma de fracciones como agrupamientos. 95. Concepto de suma de fracciones como yuxtaposiciones. 96. Resolución de problemas de suma de fracciones. 97. Resolución de problemas de suma de medios, cuartos u octavos. 98. Concepto de resta de fracciones. 99. Resolución de problemas de resta de fracciones. 100. Resolución de problemas de resta de medios, cuartos u octavos.

Los contenidos temáticos del eje los números, sus relaciones y sus operaciones, en tercer grado se encuentran 58 lecciones y 37 fichas.

124

ANEXO B. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN

INSTRUMENTO PRESENTADO A ALUMNO PRIMER APARTADO: SUMAS

ESCUELA: _______________________________________________________

NOMBRE DEL ALUMNO: ____________________________________________

GRUPO: ______________

Resuelve las siguientes sumas:

1º 1 0

2º 1 2

3º 1 5

4º 7

+ 6

+ 4

+ 8

+ 7 6

5º 2 7

6º 2 0

7º 4 7

8º 1 4 5

+ 7 2

+ 7 9

+ 7 9

+ 3

9º 8 9 5

10º 8 0 9

11º 8

12º 8 5 2

+ 9

+ 9

+ 9 0 7

+ 4 7

13º 8 5 7

14º 9 7

15º 8 7

16º 6 7

+ 6 0

+ 2 0 4

+ 2 5 7

+ 5 8

1 7 9

17º 5 0 7

18º 7 9 5

19º 6 7 7

20º 9 7 0 8

+ 4 9 3

+ 8 9 7

+ 2 9 8

+ 9 9

1 7 9

125

INSTRUMENTO PRESENTADO A ALUMNO SEGUNDO APARTADO: RESTAS ESCUELA: _______________________________________________________

NOMBRE DEL ALUMNO: ____________________________________________

GRUPO: ______________

Resuelve las siguientes restas:

1º 9 2º 1 7

3º 2 0 4º 8 1

- 7 - 7

- 7 - 7 0

5º 6 3 6º 8 0

7º 1 7 0 8º - 4 5 7

- 5 7 - 5 7

- 3 9

9º 5 1 0 10º 4 0 7

11º 9 0 0 12º 7 9 7

- 8 - 9

- 9 - 5 7

13º 9 7 9 14º 2 3 0

15º 7 0 0 16º 7 0 7

-

9 0 -

3 7

- 9 7

- 6 0 8

17º 4 0 8 18º 7 0 0

19º 2 1 0 0 20º 9 1 0 7

- 3 8 7

- 5 9 8

-

1 6 0 -

4 8 9

126

Las siguientes tablas muestran la clasificación de los reactivos tomando en cuenta

lo siguiente: el grado, el nivel de complejidad sin transformación o con

transformación y el cómo son planteados en los materiales oficiales impresos.

TABLA I REACTIVOS DE LA SUMA DEL INSTRUMENTO DEFINITIVO

No. Reactivo Justificación del reactivo

1º

10

+ 6

Sin transformación, visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

2º

12

+ 4

Sin transformación, visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

3º

15

+ 8

Con transformación, visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

4º

7

+ 76

Con transformación, visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

5º

27

+ 72

Sin transformación visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

6º

20

+ 79

Sin transformación, visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

7º

47

+ 79

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

8º

145

+ 3

Sin transformación, visto en el segundo grado de educación

primaria.

127

9º

895

+ 9

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

10º

809

+ 9

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

11º

8

+ 907

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

12º

852

+ 47

Sin transformación, visto en el segundo grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

13º

857

+ 60

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria, pero no con el algoritmo convencional.

14º

97

+ 204

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria, pero no con el algoritmo convencional.

15º

87

+ 257

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria, pero no con el algoritmo convencional.

16º

67

+ 58

179

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

17º

507

+ 493

Con transformación, visto en el segundo grado de educación

primaria.

128

18º

795

+ 897

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

19º

677

+ 298

179

Con transformación, visto en el tercer grado de educación

primaria.

20º

9708

+ 99

Con transformación, visto en el tercer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

TABLA II REACTIVOS DE LA RESTA INSTRUMENTO DEFINITIVO

No. Reactivo Justificación del reactivo

1º

9

- 7

Sin transformación, visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

2º

17

- 7

Sin transformación, visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

3º

20

- 7

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

4º

81

- 70

Sin transformación, visto en el primer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

5º

63

- 57

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

129

6º

80

- 57

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

7º

170

- 3

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

8º

- 457

9

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

9º

- 510

8

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

10º

- 407

9

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

11º

- 900

9

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria, pero no con el algoritmo

convencional.

12º

797

- 57

Sin transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

13º

979

- 90

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

14º

230

- 37

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria.

15º

700

- 97

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria, pero no con el algoritmo

convencional.

130

16º

707

- 608

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria, pero no con el algoritmo

convencional.

17º

408

- 387

Con transformación, visto en el segundo grado de

educación primaria, pero no con el algoritmo

convencional.

18º

700

- 598

Con transformación, visto en el tercer grado de educación

primaria.

19º

2100

- 160

Con transformación, visto en el tercer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

20º

9107

- 489

Con transformación, visto en el tercer grado de educación

primaria, pero no con el algoritmo convencional.

131

ANEXO C. TABLAS Y GRÁFICAS

Las siguientes tablas y gráficas muestran los datos relacionados con los errores en la suma; frecuencia y porcentaje de

los errores cometidos, frecuencia y porcentaje de errores por reactivo, número de alumnos acertaron y fallaron,

calificaciones, así como los promedios obtenidos por escuela

TABLA I. FRECUENCIA DE ERRORES EN LA SUMA POR ESCUELA

TIPO DE ERROR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TOTAL

ESCUELA

"TIERRA Y LIBERTAD" 11 0 4 2 2 1 2 6 9 2 2 2 11 1 0 1 2 1 0 59

"LÁZARO CÁRDENAS" 16 0 2 0 5 1 0 4 16 5 3 7 13 1 0 2 1 1 1 78

“IGNACIO ZARAGOZA” 5 1 2 1 6 0 5 9 4 2 0 1 9 4 3 1 2 1 0 56

GRÁFICA I. FRECUENCIA DE ERRORES EN LA SUMA POR ESCUELA

132

TABLA II. PORCENTAJE DE ERRORES EN LA SUMA POR ESCUELA TIPO DE ERROR

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ESCUELA

"TIERRA Y LIBERTAD"

18.6

4%

0

6.7

8%

3.3

9%

3.3

9%

1.6

9%

3.3

9%

10.1

7%

15.2

5%

3.3

9%

3.3

9%

3.3

9%

18.6

4%

1.6

9%

0

1.6

9%

3.3

9%

1.6

9%

0

"LÁZARO CÁRDENAS"

20.5

1%

0

2.5

6%

0

6.4

1%

1.2

8%

0

5.1

3%

20.5

1%

6.4

1%

3.8

5%

8.9

7%

16.6

7%

1.2

8%

0

2.5

6%

1.2

8%

1.2

8%

1.2

8%

“IGNACIO ZARAGOZA”

8.9

3%

1.7

9%

3.5

7%

1.7

9%

10.7

1%

0

8.9

3%

16.0

7%

7.1

4%

3.5

7%

0

1.7

9%

16.0

7%

7.1

4%

5.3

6%

1.7

9%

3.5

7%

1.7

9%

0

GRÁFICA II. PORCENTAJE DE ERRORES EN LA SUMA POR ESCUELA

133

TABLA III. FRECUENCIA DE PATRON ERROR EN LA SUMA POR ESCUELA

PATRON DE ERROR

Ad'1 Ad'2 Ad'3 Ad'4 Ad'5 Ad'6 ESCUELA

FR

EC

UE

NC

IA 19 2 11 5 9 2 "TIERRA Y LIBERTAD"

13 2 9 3 16 7 "LÁZARO CÁRDENAS"

15 7 13 7 4 1 “IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA III. FRECUENCIA DE PATRON ERROR EN LA SUMA POR ESCUELA

134

TABLA IV. PORCENTAJE DE PATRON ERROR EN LA SUMA POR ESCUELA

PATRON DE ERROR Ad'1 Ad'2 Ad'3 Ad'4 Ad'5 Ad'6 ESCUELA

PO

RC

EN

TA

JE

9.12% 0.96% 5.28% 2.4% 4.32% 0.96% "TIERRA Y LIBERTAD"

6.5% 1% 4.5% 1.5% 8% 3.5% "LÁZARO CÁRDENAS"

7.05% 3.29% 6.11% 3.29% 1.88% 0.47% “IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA IV. PORCENTAJE DE PATRON ERROR EN LA SUMA POR ESCUELA

135

TABLA V. FRECUENCIA DE ERRORES DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA SUMA POR ESCUELA

REACTIVO 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° ESCUELA

FR

EC

UE

NC

IA

DE

ER

RO

RE

S

16 18 19 17 21 18 17 16 13 13 18 14 17 17 16 13 18 15 9 7 "TIERRA Y LIBERTAD"

25 26 26 20 25 24 13 22 16 16 21 23 22 24 17 13 20 18 10 16 "LÁZARO

CÁRDENAS"

16 15 16 18 21 20 18 15 11 7 10 15 13 15 11 12 16 17 12 12 “IGNACIO

ZARAGOZA”

GRÁFICA V. DE ERRORES DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA SUMA POR ESCUELA

136

TABLA VI. PORCENTAJE DE ERRORES DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA SUMA POR ESCUELA

RE

AC

TIV

O

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° ESCUELA

PO

RC

EN

TA

JE

DE

ER

RO

RE

S

72.7

3%

81.8

2%

86.3

6%

77.2

7%

95.4

5%

81.8

2%

77.2

7%

72.7

3%

59.0

9%

59.0

9%

81.8

2%

63.6

4%

77.2

7%

77.2

7%

72.7

3%

59.0

9%

81.8

2%

68.1

8%

40.9

1%

31.8

2%

"TIERRA Y LIBERTAD"

92.5

9%

96.3

%

96.3

0%

74.0

7%

92.5

9%

88.8

9%

48.1

5%

81.4

8%

59.2

6%

59.2

6%

77.7

8%

85.1

9%

81.4

8%

88.8

9%

62.9

6%

48.1

5%

74.0

7%

66.6

7%

37.0

4%

59.2

6%

"LÁZARO CÁRDENAS"

76.1

9%

71.4

3%

76.1

9%

85.7

1%

100%

95.2

4%

85.7

1%

71.4

3%

52.3

8%

33.3

3%

47.6

2%

71.4

3%

61.9

%

71.4

3%

52.3

8%

57.1

4%

76.1

9%

80.9

5%

57.1

4%

57.1

4%

“IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA VI. PORCENTAJE DE ERRORES DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA SUMA POR ESCUELA

137

TABLA VII. FRECUENCIA DE ACIERTOSDE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA SUMA POR ESCUELA

REACTIVO 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° ESCUELA

FR

EC

UE

NC

IA

DE

AC

IER

TO

S

6 4 3 5 1 4 5 6 9 9 4 8 5 5 6 9 4 7 13 15 "TIERRA Y LIBERTAD"

2 1 1 7 2 3 14 5 11 11 6 4 5 3 10 14 7 9 17 11 "LÁZARO

CÁRDENAS"

5 6 5 3 0 1 3 6 10 14 11 6 8 6 10 9 5 4 9 9 “IGNACIO

ZARAGOZA”

GRÁFICA VII. ACIERTOS DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA SUMA POR ESCUELA

138

TABLA VIII. PORCENTAJE DE ACIERTOSDE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA SUMA POR ESCUELA

REACTIVO 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° ESCUELA

PO

RC

EN

TA

JE

DE

AC

IER

TO

S

27.2

7%

18.1

8%

13.6

4%

22.7

3%

4.5

5%

18.1

8%

22.7

3%

27.2

7%

40.9

1%

40.9

1%

18.1

8%

36.3

6%

22.7

3%

22.7

3%

27.2

7%

40.9

1%

18.1

8%

31.8

2%

59.0

9%

68.1

8%

"TIERRA Y LIBERTAD"

7.4

1%

3.7

%

3.7

%

25.9

3%

7.4

1%

11.1

1%

51.8

5%

18.5

2%

40.7

4%

40.7

4%

22.2

2%

14.8

1%

18.5

2%

11.1

1%

37.0

4%

51.8

5%

25.9

3%

33.3

3%

62.9

6%

40.7

4%

"LÁZARO CÁRDENAS"

23.8

1%

28.5

7%

23.8

1%

14.2

9%

0

4.7

6%

14.2

9%

28.5

7%

47.6

2%

66.6

7%

52.3

8%

28.5

7%

38.1

%

28.5

7%

47.6

2%

42.8

6%

23.8

1%

19.0

5%

42.8

6%

42.8

6%

“IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA VIII. PORCENTAJE DE ACIERTOSDE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA SUMA POR ESCUELA

139

TABLA IX. PORCENTAJE DE ALUMNOS ACERTARON Y FALLARON EN LA SUMA

PORCENTAJE DE ALUMNOS

ESCUELA ACERTARON FALLARON

"TIERRA Y LIBERTAD" 77.27% 22.73%

"LÁZARO CÁRDENAS" 88.89% 11.11%

“IGNACIO ZARAGOZA” 66.67% 33.33%

GRÁFICA IX. PORCENTAJE DE DE ALUMNOS ACERTARON Y FALLARON EN LA SUMA

TABLA X. PROMEDIO OBTENIDO EN LA SUMA

ESCUELA PROMEDIO

"TIERRA Y LIBERTAD" 7.27

"LÁZARO CÁRDENAS" 7.35

“IGNACIO ZARAGOZA” 6.90

140

GRÁFICA X. PROMEDIO OBTENIDO EN LA SUMA

141

Las siguientes tablas y gráficas muestran los datos relacionados con los errores en la resta; frecuencia y porcentaje de

los errores cometidos, frecuencia y porcentaje de errores por reactivo, número de alumnos acertaron y fallaron,

calificaciones, así como los promedios obtenidos por escuela

TABLA XI. FRECUENCIA DE ERRORES EN LA RESTA POR ESCUELA

TIPO DE ERROR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 TOTAL

ESCUELA

"TIERRA Y LIBERTAD" 16 5 1 9 3 0 16 5 1 6 2 0 10 5 7 5 2 2 8 0 1 0 0 104

"LÁZARO CÁRDENAS" 21 9 1 8 4 4 20 8 2 1 7 4 5 4 1 3 2 4 7 5 2 1 1 124

“IGNACIO ZARAGOZA” 20 3 0 10 11 5 20 3 0 0 5 2 10 5 3 3 2 3 4 0 1 0 0 110

GRÁFICA XI. FRECUENCIA DE ERRORES EN LA RESTA POR ESCUELA

142

TABLA XII. PORCENTAJE DE ERRORES EN LA RESTA POR ESCUELA No, DE ERROR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

ESCUELA

"TIERRA Y LIBERTAD"

15

.38%

4.8

1%

0.9

6%

8.6

5%

2.8

8%

0

15

.38%

4.8

1%

0.9

6%

5.7

7%

1.9

2%

0

9.6

2%

4.8

1%

6.7

3%

4.8

1%

1.9

2%

1.9

2%

7.6

9%

0

0.9

6%

0

15

.38%

"LÁZARO CÁRDENAS

" 16

.94%

7.2

6%

0.8

1%

6.4

5%

3.2

3%

3.2

3%

16

.13%

6.4

5%

1.6

1%

0.8

1%

5.6

5%

3.2

3%

4.0

3%

3.2

3%

0.8

1%

2.4

2%

1.6

1%

3.2

3%

5.6

5%

4.0

3%

1.6

1%

0.8

1%

16

.94%

“IGNACIO ZARAGOZA

” 18

.18%

2.7

3%

0

9.0

9%

10

%

4.5

5%

18

.18%

2.7

3%

0

0

4.5

5%

1.8

2%

9.0

9%

4.5

5%

2.7

3%

2.7

3%

1.8

2%

2.7

3%

3.6

4%

0

0.9

1%

0

18

.18%

GRÁFICA XII. PORCENTAJE DE ERRORES EN LA RESTA POR ESCUELA

143

TABLA XIII. FRECUENCIA DE PATRON ERROR EN LA RESTA POR ESCUELA

PATRON DE ERROR Ad1 Ad2 Ad3 Ad4 Ad5 Ad6 ESCUELA

FR

EC

UE

NC

IA 22 1 22 23 5 2 "TIERRA Y LIBERTAD"

15 5 18 20 3 6 "LÁZARO CÁRDENAS"

17 6 20 21 3 4 “IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA XIII. FRECUENCIA DE PATRON ERROR EN LA RESTA POR ESCUELA

144

TABLA XIV. PORCENTAJE DE PATRON ERROR EN LA RESTA POR ESCUELA

PATRON DE ERROR Ad1 Ad2 Ad3 Ad4 Ad5 Ad6 ESCUELA

FP

OR

CE

NT

AJE

29.33% 1.33% 29.33% 30.67% 6.67% 2.67%

"TIERRA Y LIBERTAD"

22.39% 7.46% 26.87% 29.85% 4.48% 8.96%

"LÁZARO CÁRDENAS"

23.94% 8.45% 28.17% 29.58% 4.23% 5.63%

“IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA XIV. PORCENTAJE DE PATRON ERROR EN LA RESTA POR ESCUELA

145

TABLA XV. FRECUENCIA DE ERRORES DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA RESTA POR ESCUELA

REACTIVO 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° ESCUELA

FR

EC

UE

NC

IA

DE

ER

RO

RE

S 0 4 8 5 13 17 17 18 15 15 15 5 15 17 18 18 17 16 18 18 "TIERRA Y

LIBERTAD"

0 4 11 3 17 18 18 16 17 20 25 10 18 27 25 27 26 27 27 27 "LÁZARO CÁRDENAS"

0 7 10 7 14 19 17 17 16 19 20 11 17 20 21 21 21 21 21 21 “IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA XV. DE ERRORES DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA RESTA POR ESCUELA

146

TABLA XVI. PORCENTAJE DE ERRORES DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA RESTA POR ESCUELA

RE

AC

TIV

O

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° ESCUELA

PO

RC

EN

TA

JE

DE

ER

RO

RE

S

0

18.1

8%

36.3

6%

22.7

3%

59.0

9%

77.2

7%

77.2

7%

81.8

2%

68.1

8%

68.1

8%

68.1

8%

22.7

3%

68.1

8%

77.2

7%

81.8

2%

81.8

2%

77.2

7%

72.7

3%

81.8

2%

81.8

2%

"TIERRA Y LIBERTAD"

0

14.8

1%

40.7

4%

11.1

1%

62.9

6%

66.6

7%

66.6

7%

59.2

6%

62.9

6%

74.0

7%

92.5

9%

37.0

4%

66.6

7%

100%

92.5

9%

100%

96.3

%

100%

100%

100%

"LÁZARO CÁRDENAS"

0

33.3

3%

47.6

2%

33.3

3%

66.6

7%

90.4

8%

80.9

5%

80.9

5%

76.1

9%

90.4

8%

95.2

4%

52.3

8%

80.9

5%

95.2

4%

100%

100%

100%

100%

100%

100%

“IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA XVI. PORCENTAJE DE ERRORES DE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA RESTA POR ESCUELA

147

TABLA VII. FRECUENCIA DE ACIERTOSDE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA RESTA POR ESCUELA

REACTIVO 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° ESCUELA

FR

EC

UE

NC

IA

DE

AC

IER

TO

S

22 18 14 17 9 5 5 4 7 7 7 17 7 5 4 4 5 6 4 4 "TIERRA Y LIBERTAD"

27 23 16 24 10 9 9 11 10 7 2 17 9 0 2 0 1 0 0 0 "LÁZARO CÁRDENAS"

21 14 11 14 7 2 4 4 5 2 1 10 4 1 0 0 0 0 0 0 “IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA XVII. ACIERTOSDE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA RESTA POR ESCUELA

148

TABLA XVIII. PORCENTAJE DE ACIERTOSDE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA RESTA POR ESCUELA

REACTIVO 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° ESCUELA

P

OR

CE

NT

AJE

DE

AC

IER

TO

S

100%

81.8

2%

63.6

4%

77.2

7%

40.9

1%

22.7

3%

22.7

3%

18.1

8%

31.8

2%

31.8

2%

31.8

2%

77.2

7%

31.8

2%

22.7

3%

18.1

8%

18.1

8%

22.7

3%

27.2

7%

18.1

8%

18.1

8%

"TIERRA Y LIBERTAD"

100%

85.1

9%

59.2

6%

88.8

9%

37.0

4%

33.3

3%

33.3

3%

40.7

4%

37.0

4%

25.9

3%

7.4

1%

62.9

6%

33.3

3%

0

7.4

1%

0

3.7

0%

0

0

0 "LÁZARO

CÁRDENAS"

100%

66.6

7%

52.3

8%

66.6

7%

33.3

3%

9.5

2%

19.0

5%

19.0

5%

23.8

1%

9.5

2%

4.7

6%

47.6

2%

19.0

5%

4.7

6%

0

0

0

0

0

0 “IGNACIO

ZARAGOZA”

GRÁFICA XVIII. PORCENTAJE DE ACIERTOSDE ACUERDO AL NO. DE REACTIVOS DE LA RESTA POR ESCUELA

149

TABLA XIX. PORCENTAJE DE ALUMNOS ACERTARON Y FALLARON EN LA RESTA

PORCENTAJE DE ALUMNOS

ESCUELA ACERTARON FALLARON

"TIERRA Y LIBERTAD" 31.82% 68.18%

"LÁZARO CÁRDENAS" 11.11% 88.89%

“IGNACIO ZARAGOZA” 9.52% 90.48%

GRÁFICA XIX. PORCENTAJE DE DE ALUMNOS ACERTARON Y FALLARON EN LA RESTA

150

TABLA XX. PROMEDIO OBTENIDO EN LA RESTA ESCUELA PROMEDIO

"TIERRA Y LIBERTAD" 3.95

"LÁZARO CÁRDENAS" 3.28

“IGNACIO ZARAGOZA” 2.38

GRÁFICA XX. PROMEDIO OBTENIDO EN LA RESTA

151

Las siguientes tablas y gráficas comparan la frecuencia y porcentaje delos patrones error en la ejecución algoritmos convencionales de la suma y la resta.

TABLA XXI. FRECUENCIA DE LOS PATRONES DE ERROR EN LA SUMA Y EN LA RESTA POR ESCUELA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

PATRON DE

ERROR Ad'1 Ad1 Ad'2 Ad2 Ad'3 Ad3 Ad'4 Ad4 Ad'5 Ad5 Ad'6 Ad6 ESCUELA

FR

EC

UE

NC

IA 19 22 2 1 11 22 5 23 9 5 2 2

"TIERRA Y LIBERTAD"

13 15 2 5 9 18 3 20 16 3 7 6 "LÁZARO

CÁRDENAS"

15 17 7 6 13 20 7 21 4 3 1 4 “IGNACIO

ZARAGOZA”

GRÁFICA XXIFRECUENCIA DE LOS PATRONES DE ERROR EN LA SUMA Y EN LA RESTA POR ESCUELA

152

TABLA XXII. PORCENTAJE DE LOS PATRONES DE ERROR EN LA SUMA Y EN LA RESTA POR ESCUELA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

ERRORES EN LA SUMA

ERRORES EN LA RESTA

PATRON DE

ERROR Ad'1 Ad1 Ad'2 Ad2 Ad'3 Ad3 Ad'4 Ad4 Ad'5 Ad5 Ad'6 Ad6 ESCUELA

PO

RC

EN

TA

JE

9.12% 29.33% 0.96% 1.33% 5.285 29.33% 2.4% 30.67% 4.32% 6.67% 0.96% 2.67% "TIERRA Y LIBERTAD"

6.50% 22.39% 1% 7.46% 4.5% 26.87% 1.5% 29.85% 8% 4.48% 3.5% 8.96% "LÁZARO CÁRDENAS"

7.05% 23.94% 3.29% 8.45% 6.11% 28.17% 3.29% 29.58% 1.88% 4.23% 0.47% 5.63% “IGNACIO ZARAGOZA”

GRÁFICA XXII. PORCENTAJE DE LOS PATRONES DE ERROR EN LA SUMA Y EN LA RESTA POR ESCUELA