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Facultad de Ciencias Naturales y Museo

Unidad Pedagógica de Matemática y Elementos de Matemática

Elementos de Matemática

1

Universidad Nacional de La Plata


Unidad Pedagógica de Matemática y Elementos de

Matemática


Contenidos de la Unidad Temática nº3

Concepto de intervalo y entorno. Límites y derivadas:

Límite de una función de variable real; cálculo de límites.

El numero e. Incrementos. Derivada. Interpretación

física y geométrica. Reglas de derivación Derivadas

sucesivas. Noción de derivada parcial.

Ing. Carlos Alfredo López




2

LÍMITES Y DERIVADAS

CONCEPTO DE INTERVALO.

Los intervalos son subconjuntos de "R" que tienen, como se verá oportunamente gran importancia en el lenguaje del Análisis Matemático. INTERVALOS FINITOS. Definición: Dados dos números reales a y b, tales que a < b, llamamos intervalo de extremos a y b al conjunto formado por todos aquellos números comprendidos entre a y b. Según que los extremos pertenezcan o no al intervalo se distinguen: a) Intervalo cerrado: Es aquel al cual pertenecen sus extremos.

I = { x/x R : a x b } = [ a , b ] Gráficamente es el segmento rayado de la figura.

[ ] a b b) Intervalo abierto: Idéntico al anterior, pero a él no pertenecen los extremos.

I = { x/x R a < x < b } = ] a , b [ = ( a,b )

] [ a b

c) Intervalos semiabiertos o semicerrados: (Contienen uno solo de sus extremos). c1) Abierto por izquierda y cerrado por derecha:

I = { x/x R a < x b } = ] a , b ] = ( a,b ]

] ]




3

a b

c2) Cerrado por izquierda y abierto por derecha:

I = { x/x R a x < b } = [ a , b [ = [ a,b )

[ [ a b

Longitud de un Intervalo finito: Se denomina así a la diferencia entre sus puntos extremos, pertenezcan estos o no al intervalo.

Sea el intervalo [ a , b [

l = a - b

Ejemplos:

a) longitud de ] -4 , 3 ] = -4 - 3 = -7 = 7

b) longitud de [ -4 ,-3 ] = -4 - (-3) = -1 = 1

c) longitud de ] -4 ,-3 [ = -4 - (-3) = -1 = 1 INTERVALOS INFINITOS. Sea el siguiente conjunto:

I = { x/x R x a } = ] - , a ]

a él pertenecen el número a y todos los números reales menores que a ; - se lee "menos infinito" y no simboliza un número real; solo debe interpretarse como una indicación de que al intervalo pertenecen todos los números reales menores que a, incluso a . Gráficamente:

)

- a

La notación de intervalo permite utilizar un nuevo símbolo para el conjunto de los

números reales: R = ] - , + [




4

NOTA IMPORTANTE: Los intervalos infinitos no tienen longitud. ENTORNOS: Definición: Entorno de un punto P es todo intervalo abierto ] a , b [ que contiene a P. Entorno simétrico: un entorno de un punto P se dice simétrico cuando dicho punto es el punto medio del intervalo. Pueden también definirse los entornos de la siguiente manera:

Dados dos números reales 1 y 2 no negativos y no simultáneamente nulos

] a - 1 ; a + 2 [ es un entorno del punto a.

a - 1 a a + 2

1 2

Si 1 = 2 = tenemos un entorno simétrico de a .

a - a a +

El entorno simétrico, se simboliza E(a, ) = ]a - ; a + [ y se lee: entorno de

centro a y radio .

ENTORNO REDUCIDO. Se denomina entorno reducido de a, a todo entorno de a que no lo contiene; se

simboliza: E*(a,) y de acuerdo a la definición:

E*(a,) = E(a,) - {a}

Resulta frecuente utilizar la notación de valor absoluto para definir entornos; en efecto:

x - a < se lee, entorno de centro a y radio . Aplicamos a la

desigualdad la definición de valor absoluto:




5

(x-a) si (x-a) 0.

x - a =

-(x-a) si (x-a) 0. debemos averiguar, en consecuencia cual es el entorno de a que verifica:

x - a , es decir, debemos hallar los valores de x que satisfagan la desigualdad. Aplicando la definición de valor absoluto:

a) Si (x - a) 0 x - a = (x - a)

x a x (a+) a x (a+ )

a x (a+) [a ; a+ [

b) Si (x-a) 0 x - a = - (x-a)

x a -x+a

x a a- x a- x a

a- x a = ]a- ; a [ Teniendo que verificarse las condiciones a) ó b), la solución será:

]a- ; a[ U [a ; a+ [ = ]a - ; a+ [ = E(a,)

Hemos verificado que x - a representa un intervalo abierto, o sea un

entorno de centro a y radio . Ejemplos:

x-2 5 = E (2,5) = ] -3 ; 7 [

x-2 3 = E(2,3) = ] -1 ; 5 [

x+3 5 = E(-3,5) = ] -8 ; 2 [

x 2 = E(0,2) = ] -2 ; 2 [ Para representar los entornos reducidos debemos tener en cuenta que un entorno de dicho tipo no debe contener al punto a; ello implica que en notación de

valor absoluto será imprescindible x a, que se expresa:

0 x - a = E*(a, )

puesto que si x - a 0 deberá ser necesariamente x a. Ejemplo:




6

0 x - 2 3 = E*(2,3) = ]-1 ; 2[ U ]2 ; 5[

CONCEPTO DE LÍMITE. Ejemplo.

Supongamos que se desea calcular la velocidad que desarrolla un automóvil cuando pasa por un punto elegido de una carretera. Más aún, vamos a precisar que en dicho punto estamos acelerando nuestro vehículo ( movimiento rectilíneo uniforme ). Nos proponemos calcular experimentalmente la velocidad del móvil.

Sabemos que la velocidad media en un trayecto es igual al cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado.

ve

tm

Para tal fin ubicamos a un observador en el punto en que deseamos calcular la velocidad y a otro a 100 metros más adelante. Los tiempos registrados en cada punto son t1 y t2 respectivamente. En consecuencia el tiempo empleado en recorrer los 100 metros es

t = t2 - t1 Supongamos que en nuestro ejemplo los valores obtenidos son

e = 100 [ m ] t = 5,5 [ seg ] luego

ve

t

m

seg

m

seg

km

m

seg

horam

100

5 5

100

5 5

1

1000

3600

1, ,

hora

kmvm 45,65

Si bien esta velocidad media nos brinda información sobre el tema en cuestión, es insuficiente porque no resuelve el problema planteado: hallar la velocidad en el primer punto. Es evidente que una mejor aproximación se obtendrá acercando al segundo observador y ubicándolo a una distancia de 10 metros. Repetimos la experiencia y observamos los siguientes registros:

e = 10 [ m ] t = 0,585 [ seg ] vm = 61,54 [ km/h ]




7

Pero la obtenida sigue siendo una velocidad media y no es evidentemente la velocidad en el punto requerido porque el movimiento no es uniforme. Para mejorar nuestra información debemos acercar más y más el segundo observador. Supongamos que podemos ubicarlos sucesivamente separados por una distancia de 1 m. , 1 dm. , 1 cm. , 1 mm. , etc. En el siguiente cuadro resumimos los valores obtenidos.

e [ m ] t [ seg ] vm [ km/hora ]

100 5,5 65,45

10 0,585 61,54

1 0,0593 60,71

0,1 0,00599 60,10

0,01 0,000539 60,01

0,001 0,000059999 60,001

............... .................... ........... En la última columna observamos que las velocidades medias (insistimos

en que por pequeños que sean e y t sus cocientes siempre son velocidades medias) van tomando valores cada vez más próximos al número 60. Es decir, podemos afirmar que las diferencias entre dichos valores y el número 60 pueden hacerse tan pequeñas como uno quiera con tal de tomar los incrementos de tiempo y espacio suficientemente pequeños. Entonces consideramos a 60 como el límite de las velocidades medias

cuando t tiende a cero. Dicho límite es por definición la velocidad instantánea en el punto considerado. Escribimos

lim

t

e

tv

0

Esta idea de límite aparece intuitivamente en otras situaciones. En geometría elemental, por ejemplo, se define la longitud de una circunferencia como el límite a que tiende una sucesión de perímetros de polígonos inscriptos en ella (o circunscriptos) cuando la longitud de cada lado tiende a cero.

Otro ejemplo:

En particular nos interesa estudiar en que condiciones los valores de una función escalar, dada por f (x), se aproximan a un número real determinado




8

cuando la variable independiente se acerca indefinidamente a un punto de abscisa a, que puede no pertenecer al dominio de la función. Así por ejemplo dada la función f (x) = 3x - 1

parece razonable decir que podemos obtener valores de la función tan próximos al número 5 (cinco) como queramos con tal de tomar x suficientemente próximo a 2 sin que llegue a tomar el valor 2. ACTIVIDAD. Verificar que si se desea que la diferencia entre f (x) y 5 sea igual a 3 centésimos es suficiente tomar x = 2,01 que difiere de 2 en un centésimo. Si este procedimiento se puede repetir indefinidamente para valores cada vez más próximos a 5 con tal de acercarnos convenientemente a 2, decimos que f (x) tiene límite 5 cuando x tiende a 2 y escribimos

513lim2

xx

Generalizando, diremos que el límite para x tendiendo a a de f (x) existe y es igual al número L y escribimos lim ( )

x axf

si la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y L puede hacerse tan pequeña como uno quiera con tal de tomar x convenientemente próximo a a . Esta forma de exponer el concepto de límite de una función, si bien facilita la comprensión del mismo, es muy impreciso por lo que trataremos ahora de explicarlo de otro modo.

DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Primero debemos recordar lo que se entiende por entorno de un punto.

Si es un número real cualquiera mayor que cero, se llama entorno de l R de radio

al conjunto de los x tales que :

,// xxxx

l l + l -




9

En forma similar si , se llama entorno reducido del punto a de radio , al conjunto de

números reales x tales que

aaaaaxaxaxaxx ,,/0/

Ahora estamos en condiciones de intentar una definición más precisa de límite de

una función.

El límite para x tendiendo a a de f (x) existe y es igual al número l y lo

escribimos:

lim ( )x a

xf

Si para cualquier número de > 0 (arbitrariamente pequeño 0 existe un número > 0 tal

que para todo x del entorno reducido de a de radio :

0 x a a x a x a

le corresponda una f (x) tal que satisfaga la conclusión:

xf xf

es decir una f(x) que pertenezca al entorno de L de radio .

Veamos una interpretación geométrica de esta definición para el caso en que exista el límite

l

a a +a-




10

a es cualquier número real no necesariamente un elemento del dominio de la función.

Esto equivale a decir que no es necesario que la función esté definida en el punto de

abscisa a.

es el menor de los números 1 y 2 o cualquier número menor que ambos.

En este gráfico hemos elegido un arbitrario y para ese

obtuvimos un ; según podemos observar, proyectando sobre el eje x las intersecciones de

las dos rectas horizontales ( que pasan por l - y l + ) con la gráfica de la función.

Ahora vemos que para toda x que pertenece al entorno reducido de a de radio , le

corresponde una f (x) que pertenece al entorno de l de radio .

Pero debemos insistir que para probar la existencia del límite l es preciso hallar un para

cada valor que prefijemos de , por pequeño que este sea.

Repetimos: el límite para x a de f (x) es igual a l y escribimos:

xax

flim

si para cada > 0 existe un número > 0 tal que xf cuando 0 x a

Además es importante no confundir el xax

f

lim con el valor de la función en el punto a, es

decir con el valor f (a).

l +

l

f (x)

l -

xa - a a -

y

x




11

ENUNCIADOS DE TEOREMAS SOBRE EL CÁLCULO DE LÍMITES.

El cálculo de límites utilizando la definición es, en general, muy dificultoso. Para facilitar

el cálculo se desarrollan los teoremas sobre el cálculo de límites.

Dados los números reales m y n

1. nmanmxax

lim

2. limx a

n n

3. limx a

x a

4. Si KR y existe el xax

f

lim entonces

xax

xax

fKKf

limlim

5. para a 0, limx a

x a

6. Si existen los límites: xax

f

lim y xax

g

lim entonces:

6.1. xax

xax

xxax

gfgf

limlimlim

6.2. xax

xax

xxax

gfgf

limlimlim

6.3. xax

xax

xxax

gfgf

lim.lim.lim

6.4.

0lim;

lim

limlim

x

axx

ax

xax

x

x

axgsi

g

f

g

f

7. Si dos funciones dadas por f (x) y g (x) son iguales para todos los valores de x distintos

de a, entonces tienen el mismo límite para x a

xax

xax

gf

limlim




12

CÁLCULO DE LÍMITES.

a). Ejemplo: limx

x x

x

1

2 2

3

Aplicando sucesivamente los teoremas precedentes resulta:

31

121

3lim

lim2lim.lim

3limlim

2limlim

3lim

2lim

3

2lim

2

1

111

11

1

2

1

1

2

1

2

1

x

xxx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xxx

xx

xx

x

x

x =

1

2

Si en estas igualdades comparamos el primer miembro con el último, veremos que se puede

reemplazar directamente x por ( -1 ), evitando los pasos intermedios.

Luego:

limx

x x

x

1

2 2

3

1

2

Ejemplo: limx

x x

x

3

22 5 3

3

Si reemplazamos x por 3 resulta una indeterminación del tipo 0

0.

Para eliminar la indeterminación debemos factorizar el numerador ( y eventualmente el

denominador) de modo de poner en evidencia el “ factor responsable “ del 0

0. Dicho

factor es x - 3, ya que al reemplazar x por 3 da cero. En general si el límite es para x

tendiendo a a es de la forma x - a.

Para factorizar polinomios recomendamos dividir por x - a, dado

que por el teorema del resto está garantizada la división con el resto igual a cero.




13

Volviendo al ejemplo:

2x2 - 5x - 3 x - 3

-2x2 + 6x 2x + 1

x - 3

-x + 3

0

Luego

712lim3

352lim

3

2

3

x

x

xx

xx

Se trata de dos funciones distintas.

3

352 2

x

xxf x y 12 xg x

Ambas funciones coinciden para todo valor de x 3, luego tienen el mismo límite para

x 3.

Es interesante observar que no siempre el límite coincide con el valor de la función en el

punto. En este ejemplo f (3) no existe y sin embargo existe el

limx

x x

x

3

22 5 3

37

Actividad: Representar gráficamente las funciones dadas por f (x) y g(x) y discutir la

diferencia entre ambas gráficas.




14

GENERALIZACIONES DEL CONCEPTO DE LÍMITE.

En la figura hemos representado la función 1

2

x

xf x

Vemos que no existe f (1) porque la división por cero no es posible. Sin embargo se pueden tomar valores de x tan próximos a uno como se quiera de modo que el denominador se acerque a cero y el cociente crezca hasta superar cualquier número por grande que se lo pueda imaginar. Cuando esto ocurre se dice que la función tiende a infinito y escribimos

limx

x

x

1

2

1

la línea punteada paralela al eje se llama asíntota vertical.

En general se dice que

xax

flim

si para cualquier número M > 0 ( arbitrariamente grande ) existen un número > 0 tal que f (x) > M para todos los valores de x que pertenezcan al entorno

reducido de a de radio . Actividad : Interpretar geométricamente la definición anterior.

X

Y

0

1

2




15

Si ahora le asignamos a x valores cada vez más grandes, hasta superar en valor absoluto cualquier número prefijado por grande que sea, vemos que la función se aproxima a dos. Simbólicamente

limx

x

x

2

12

En la figura este comportamiento queda reflejado porque la función se aproxima indefinidamente a la línea punteada paralela al eje x que se llama asíntota vertical. En general se dice que

xx

flim

Si para cualquier número 0 existe un número H > 0 tal que

xf

x H

Cuando

Actividad: Definir

xx

flim e interpretar geométricamente.

Ejemplo: limx

x

x x

2 2

5 2

4 4

H

H X

H

0 x

y

f (x)




16

Ejemplo; limx x

5

02

Ejemplo:

25 4lim xxx

Ejemplo: limx

x x

x x

7 3 2

2 3

3

3 2

Se trata de una indeterminación del tipo

. Para eliminar la indeterminación

debemos dividir numerador y denominador por x elevado al mayor exponente en que aparece, ya sea en el numerador o bien en el denominador.

lim limx x

x

x

x

x xx

x

x

x

x x

x

7 32

2 3

73 2

23

7

2

3

3 2 3

3

3

2

3

2 3

Actividad: investigar los resultados de ejemplos del mismo tipo cuando: a) el grado del polinomio numerador es mayor que el del

denominador. b) El grado del polinomio denominador es mayor que el del

numerador. Sacar conclusiones sobre la necesidad de realizar el cálculo.

El Número e.

Hemos definido como sucesión a toda función cuyo dominio es el conjunto de todos los números naturales. En especial la sucesión

n

nn

u

11

permite definir al número irracional e.

Se puede demostrar que la sucesión un es monótona creciente y que además está acotada superiormente; luego, existe el límite cuando n tiende a infinito y si designa universalmente con la letra e.

n

n ne

11lim




17

Para tener una idea del comportamiento de un cuando n crece independientemente calcularemos valores aproximados de un para valores cada vez más grandes de n.

n 1

1

n

n

nn

u

11

10 1

1

10

1,110 = 2,59374

100 1

1

100

1,01100 = 2,70481

1000 1

1

1000

1,0011000 = 2,71692

10000 1

1

10000

1,000110000= 2,71814

100000 1

1

100000

1,00001100000= 2,71826

1000000 1

1

1000000

1,0000011000000= 2,71828

e = 2,71828459045......... Si bien hemos supuesto que n N ( naturales ) en general se verifica

ez

z

z

11lim

Cualquiera que sean los valores reales de z infinitamente crecientes.




18

INCREMENTOS. Dada una función por y = f (x) podemos interesarnos en conocer la rapidez de variación de dicha función en un punto dado de abscisa a. Si la gráfica de la función es la representada en la figura, a la abscisa a le corresponde una ordenada que indicamos como f (a).

Si ahora queremos saber que pasa con la función cuando

nos corremos a la derecha o a la izquierda de a, debemos darle a la abscisa un

incremento distinto de cero que llamaremos x.

Supongamos que el x elegido sea la medida del segmento

PQ. Pasamos de ese modo a un nuevo punto de abscisa x + x dado que, como ya dijimos, la abscisa de un punto (en valor absoluto) mide la distancia entre dicho punto y el origen de las coordenadas.

La nueva ordenada será entonces f ( a + x ): Cómo se modificó la función ? Es evidente que el cambio que experimentó y = f (x) viene

dado por la diferencia f ( a+x ) - f ( a ). Precisamente a esa diferencia la llamamos

incremento de la función y la simbolizamos con y. Ejemplo:

Sea la función xx

fy x 2

2

en el punto a = 3.

y = f (x)

P Q

O

f (a + x )

f ( a )

a a + x x

y

C




19

En el siguiente cuadro calculamos el incremento y para distintos valores de x. En la tercera columna relacionamos ambos valores mediante el llamado cociente

incremental

x

y.

x a+x y y/x

1

2

7

2

9

8

9

42 25 ,

1

4

13

4

17

32

17

82 125 ,

1

8

25

8

33

128

33

162 0625 ,

1

16

49

16

65

512

65

322 03125 ,

1

32

97

32

129

2048

129

642 015625 ,

....................... .......................... ........................ ............................

Explicamos la primera fila del cuadro anterior.

a = 3 luego f ( a ) = 2

33

2

32

3 f

Si x 1

2 entonces a x 3

1

2

7

2 y

8

21

2

7

2

2

72

2/7

ff xa

En definitiva

8

9

2

3

8

2132/7 ffffy axa

Por último:

y

x

9

81

2

9

4




20

NOCIÓN DE DERIVADA.

Observamos en el cuadro que al disminuir x

simultáneamente se produce una disminución de y, sin embargo el cociente

incremental y / x se acerca paso a paso al número 2. Nos hacemos a la idea

de que lim

x

y

x

02 .

Decíamos al comienzo que nos interesaba conocer la rapidez de variación de una función en un punto. Por lo pronto el cociente incremental nos da un promedio de esa velocidad de crecimiento en el intervalo

a a x, .

Si queremos averiguar que es lo que pasa en el punto de abscisa a es evidente que tenemos que tomar valores cada vez más pequeños

de x. La rapidez de variación en el punto la obtendremos aplicando la

noción de límite. Dicho límite, si existe, recibe el nombre de derivada de la función y =f (x) en el punto a y lo simbolizamos con f ’(a) ó Df(a). Luego

x

ff

x

yf

axa

xxa

00limlim'

y decimos que la función es derivable en el punto a. INTERPRETACIÓN MECÁNICA Y GEOMÉTRICA.

Se habrá advertido, que al describir el ejemplo introductorio a la noción de límite hemos utilizado el concepto de derivada dado que planteamos el cociente entre los incrementos de los espacios recorridos y los tiempos empleados para ello y luego el límite de la relación incremental cuando

t 0. Ahora podemos afirmar que la velocidad instantánea viene

dada por la derivada del espacio con respecto al tiempo en el instante considerado. Otra interpretación muy importante de la derivada es la que surge analizándola desde el punto de vista geométrico.

Pero antes de avanzar en este tema vamos a precisar que entendemos por recta tangente de una curva en un punto. En la figura hemos trazado una curva y una secante a la misma que pasa por los puntos P y C.

C

C’

C”Recta tangente

P




21

Si dejamos fijo P y tomamos nuevas ubicaciones para C de modo que C’, C”, etc. recorran la curva acercándose cada vez más a P, vemos que las sucesivas secantes que pasan por PC’, PC”, etc., se aproximan a una posición límite que es la que definimos como recta tangente a la curva P. Luego si volvemos al gráfico en donde explicamos la noción de derivada vemos

que en el triángulo PQC.

QC

PQ

y

xtg

por lo tanto la derivada en el punto P es :

tgx

yf

xxa

00limlim'

pero cuando x 0, C recorre la curva acercándose a P de modo que las

secantes se aproximan a la recta tangente y si es la inclinación de ésta última

entonces

tgtgtgx

yf

CPxa

limlimlim'

0

luego, la derivada en un punto se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente en el punto considerado.

Q

x

y

P

C

O a

f (a+x )

f (a)

a+x x

x

y y




22

CONTINUIDAD. Decimos que una función dada por y = f (x) es continua en

un punto de abscisa x = a si se cumplen las siguientes condiciones: 1) La función está definida en x =a, es decir, a pertenece al dominio de la función.

2) Existe el límite xax

f

lim

3) El límite para x tendiendo a a es igual al valor de la función en el punto:

axax

ff

lim

Si hacemos en la anterior x = a+ x, cuando x a entonces x 0 y podemos escribir:

axax

ff 0

lim

que es otra forma de expresar la continuidad. Decimos que una función es continua en un intervalo si es continua en todos los puntos del intervalo, entonces se cumple:

xxxx

ff 0

lim

Ejemplo. Según hemos visto:

nmanmxax

lim

luego concluimos que la función lineal f(x) = mx + n es continua en x =a, cualquiera sea a .

Ejemplo. La función 3

352 2

x

xxf x no es continua en el punto x = 3 porque

f (3) da indeterminado.




23

EXISTENCIA DE LA DERIVADA Y CONTINUIDAD. TEOREMA. Si una función dada por y = f (x) es derivable en a entonces es continua en a. Demostración: Deseamos probar que:

axax

ff 0

lim

observemos que para x 0 podemos escribir:

aaxaxa ffff

y multiplicando y dividiendo por x los dos primeros términos del segundo miembro queda:

a

axa

xa fxx

fff

.

tomando límites en ambos miembros para x 0 resulta:

axx

axa

xxa

xfx

x

fff

0000limlim.limlim

aaxax

fff

0.'lim0

de donde

dqcff axax

...lim0

El recíproco de este teorema no es necesariamente válido:

una función puede ser continua en un punto y sin embargo no ser derivable en ese punto. FUNCIÓN DERIVADA.

Dada una función por la expresión y = f (x) cuyo dominio es

S y un incremento x positivo o negativo pero distinto de cero y tal que x + x S

x

ff xxx

x

0lim

Si existe para algunos valores de x S es una nueva función de x que simbolizaremos con f’ (x) y que llamaremos derivada de f (x) con respecto a x.




24

x

fff

xxx

xx

0lim'

Ejemplo: Hallar la función derivada de xx

f x 2

2

aplicando la definición

x

xx

xxxx

x

fff

x

xxx

xx

22limlim'

22

00=

lim

x

xx x

xx x

xx

x

0

2 2 2

2 2 2 lim

.

x

x xx

x

x

0

2

2

x

xxx

x

xx

xx

xx

12

lim2.

lim0

2

0=

112

lim0

x

xx

x

luego f ’ (x) = x - 1 Observación: Si calculamos el valor de la función derivada en el punto a = 3 hallamos f ’ (3) = 2

Actividad: Aplicando la definición hallar la derivada de f (x) = x .




25

REGLAS DE DERIVACION.

El cálculo de derivadas aplicando la definición resulta en general muy complicado, razón por la cual resulta interesante hallar reglas de derivación que convenientemente combinadas permitan derivar en una forma más práctica. DERIVADA DE LA FUNCION CONSTANTE.

Sea f (x) = c donde c R, luego

00limlimlim

00

xax

xxx

x x

cc

x

ffDc

Dc = 0

La derivada de una constante es cero.

DERIVADA DE LA FUNCION IDENTIDAD.

Sea f (x) = x, luego

Dx =

11limlimlimlim0000

xxx

xxx

x x

x

x

xxx

x

ff

Dx = 1 la derivada de la variable independiente es igual a uno. DERIVADA DE LA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES.

f ( x+x) -f (x) = c

Y

x x + x XO




26

Sea f (x) = u (x) v (x) donde u = u (x) y v = v (x) son dos funciones derivables. Luego

x

vuvu

x

ffvuD

xxxxxx

x

xxx

xxx

)(limlim

00

=

xx

xxx

x

xxx

xvu

x

vv

x

uu''limlim

00

'' vuvuD

La derivada de una suma o diferencia de funciones derivables es la suma o diferencia de sus derivadas. Esta regla se puede extender fácilmente a un número finito de funciones. FÓRMULA PARA DERIVAR PRODUCTOS Y COCIENTE.

Sea f (x) = u (x) . v (x) donde u = u (x) y v = v (x) son dos funciones derivables.

x

vuvu

x

ffvuD

xxxxxx

x

xxx

xxx

..limlim.

00

restando y sumando xxx vu . :

=

x

vuvuvuvu xxxxxxxxxxxx

x

....lim

0=

=

x

vvuv

x

uu xxx

xxx

xxx

x

0lim =

(1) (2) (3) (4)

x

vvuv

x

uu xxx

xx

xxx

x

xxx

x

0000limlimlimlim =

= u’ (x) . v (x) + u (x) . v’ (x) En síntesis: D (u . v) = u’ . v + u . v’ NOTAS:

1)

x

xxx

xu

x

uu'lim

0

porque u es una función derivable




27

2) xxxx

vv 0

lim por el teorema sobre existencia de derivada y

continuidad

3) xxx

uu 0

lim porque u = u (x) no depende de x.

4)

xx

vx

xvxxv'lim

0

porque v es una función derivable.

Para un producto de tres funciones obtenemos una regla similar D ( u . v . w ) = D ( u . v ).w = ( u . v )’ w + ( u . v ) w’ = ( u’ v + u v’ ) w + u . v . w’ = = u’ v w + u v’ w + u v w’ Si se trata del producto de una constante por una función entonces D (k.f (x)) = (D k ).f (x) + k ( D f (x)) = 0 . f (x) + k D f (x) = k D f(x) La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función. Para un cociente de dos funciones derivables debemos aplicar la expresión:

Du

v

u v u v

v

'. . '2

.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL.

Sea f (x) = ln x donde x > 0

x

xxx

x

ffxD

x

xxx

x

lnlnlimlimln

00

1) Por una propiedad de los logaritmos ln ln lna ba

b

lim .ln

x x

x x

x

0

1

2) Multiplicando y dividiendo por x.

x

x

x

x

xx1ln..

1lim

0

3) x no depende de x y se puede sacar como una constante.




28

x

x

x

x

x x1lnlim

1

0

4) Por otra propiedad de los logaritmos n.lna=ln an.

=

x

x

x x

x

x1lnlim

1

0

5) Porque la función f (x) = ln x es continua.

x

x

x x

x

x1limln

1

0

6) Haciendo x

x= z cuando x 0 y z y e

zx

xz

z

x

x

x

11lim1lim

0 ;

D ln x 1

xeln

7) Porque ln e = 1

D ln x = 1

x

EJEMPLOS. Derivar:

1.- y x x 3 2ln yx x

' . . 31

22

1

2.- y = x . ln x y x xx

x' .ln . ln 11

1




29

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA.

Llamamos funciones compuestas a aquellas en donde la dependencia de y respecto de x se logra mediante una variable auxiliar u. Expresamos en general:

xgfy donde y = f ( u ) y u = g ( x ) son funciones derivables.

Si ahora le damos a x un incremento x 0 entonces a

través de u = g ( x ) obtenemos un u y dicho incremento u origina en y = f ( u )

un nuevo incremento y. Por este motivo la razón incremental

y

x debe reflejar la

participación de la variable de enlace u.

Luego:

y

x

y

u

u

x

Si observamos que para x 0 también u 0 por ser u = g (x) una función continua:

yy

x

y

u

u

xx u u' lim lim lim

0 0 0

o sea

''''' ufgfy uxu

La fórmula anterior es válida en todos los casos, pese a que

para simplificar la demostración se tomó u 0 Ejemplo: Derivar

y x ln

se puede descomponer

y = ln u = f (u)

donde xgxu

entonces

xxx

ufy u2

1

2

1.

1'.''




30

en las llamadas tablas de derivadas se combinan las reglas obtenidas con la regla para funciones compuestas, así por ejemplo

D xx

ln 1

la escribimos D uu

uln . '1

DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES. DERIVADA DE LA FUNCION SENO. Sea f (x) = sen x luego

x

sensen

x

ffDsenx

xxx

x

xxx

x

00limlim

Como el límite que hemos planteado es indeterminado de la forma 0

0 debemos

efectuar algunas transformaciones trigonométricas. Recordemos las fórmulas

cos.cos. sensensen

cos.cos. sensensen

Restando miembro a miembro : cos.2sensensen

Con la anterior podemos desarrollar:

x x x

Sumando miembro a miembro: 2 22

2

x x

x x

Restando miembro a miembro: 22

xx

Luego:

2

2cos

22

xxxsenxsenxxsen

En consecuencia:

Dsenx

senx x x

xx

lim

cos

0

22

2

2 = lim lim cos

x x

senx

x

x x

0 0

22 2

2




31

2

coslim

2

2lim00

xx

x

xsen

xx

pero el primer límite vale 1 (ver x

xlim

x

sen

0

) y el segundo cos x.

entonces

Dsenx x x 1.cos cos En la tabla de derivadas escribimos

Dsenu u u cos . ' DERIVADA DE LA FUNCION COSENO.

senxxxDsenxD

1

2cos

2cos

D u senu ucos ' DERIVADA DE LA FUNCION TANGENTE.

Dtgx Dsenx

x

x x senx senx

x

cos

cos cos ( )

cos2

cos

cos cos

2 2

2 2

1x sen x

x x

Dtguu

u u u 1

2

2

cos. ' sec '

DERIVADA DE LA FUNCION COTANGENTE.

D gx Dx

senx

senx senx x x

sen xcot

cos . cos .cos

2 xsenxsen

xxsen22

22 1cos

D gusen u

u ec u ucot . ' cos ' 1

2

2




32

MÉTODO DE LA DERIVADA LOGARÍTMICA: DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. y = ax ; a > 0 Tomamos logaritmos en ambos miembros

ln y = ln ax ln y = x ln a

Derivando respecto de x en ambos miembros.

1

yy a. ' ln

y y a a ax' .ln .ln

Da a a uu u .ln . ' DERIVADA DE LA FUNCIÓN DE UN EXPONENCIAL NATURAL.

y ex

De e e ex x x .ln

De e uu u . ' DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL.

y = xn donde n R ln y = n. ln x

Derivando respecto a x

1 1

yy n

x. ' .

y n xx

n xn n' . . . 1 1

y para la tabla de derivadas

Du n u un n . . '1




33

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS. DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO SENO. Sea y = arc sen x 1) Esto significa que y es el ángulo cuyo seno es x. 2) O sea x es igual al seno del ángulo y. x = sen y 3) Derivando ambos miembros respecto de x. 1 = cos y . y’

4) Despejando y’. y’ = 1

cos y

5) Como cos2 y + sen2 y = 1 resulta cos y = 1 2 sen y

ysen y

'

1

1 2

6) Ya que x = sen y yx

'

1

1 2

En la tabla de derivadas asentamos:

D arc sen u =1

1 2 uu. '

Actividad: Calcular la derivada de la función y = arcos x (arco coseno de x) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO TANGENTE. y = arc tg x x = tg y derivando respecto de x

11

2

cos. '

yy

y

y

sen

y

tg y x'

cos

cos

cos

1

1

1 1

1

1

12

2 2

2

2 2

Finalmente




34

D arc tg u =1

1 2

uu'

Ejemplos. Derivar.

1.- yx

xarcsen

x

4 22

2

1

21

1

4

242

141

'22

2

2

xx

xx

xx

y

y

x x

x

x x'

4

4

4

1

24

4

2 2

2

2 2

22/324

1

4

4'

xxy

2/32

2

2/32

2

4'

4

44'

x

xy

x

xy

2.- y arctgx

x

2

1 2

22

21

2221

21

21

1'

x

xx

x

xy

22

2221

2421

21

221

1'

x

xx

x

xxy

yx x x x x

'

5

1 4 4 4 4

5

5 52 2 2

yx

'

1

1 2




35

TABLA DE DERIVADAS.

1.- '' vuvuD

2.- '' vuvuvuD

3.-

''' wvuwvuwvuwvuD

4.-2

''

v

vuvu

v

uD

5.- xx kdffDk

6.- DC 0

7.- Du n u un n . '1

7.1.-n uu

u 1

2'

7.2.- Du u

u1 1

2

'

8.- Dsenu u u cos ' 9.- D u senu ucos '

10.- Dtguu

u 1

2cos'

11.- D usen u

ucot '

12

12.- D usenu

uusec

cos'

2

13.- D ecuu

sen uucos

cos'

2

14.- Darcsenuu

u

1

1 2'

15.- D uu

uarccos '

1

1 2




36

16.- Darctguu

u

1

1 2'

17.- Darc guu

ucot '

1

1 2

18.- D uu

uln ' 1

19.- D uM

uu

uulog '

,'

0 43

20.- Da a a uu u ln '

21.- De e uu u ' 22.- Dshu chu u ' 23.- Dchu shu u '




37

Concepto de derivadas sucesivas:

Sea la función 45.23 234 xxxxy

La derivada de esta función, que también llamamos derivada primera, es:

52612´ 23 xxxy .

Como esta última es a su vez, una función, puede también derivarse, obteniéndose la que se denomina, derivada segunda de la función

original, que resulta ser: 21236´´ 2 xxy , y así siguiendo: 1272´´´ xy ; y

derivando una vez más: 72IVy . Volveremos sobre este concepto al estudiar los

extremos relativos de una función: Concepto de derivada parcial: Hasta ahora hemos realizado la derivación de una función de una variable independiente. Si se trata de realizar la derivación de una función de más de una variable independiente, se utiliza el concepto de derivada parcial, realizándose la derivación respecto de una de las variables independientes, dando (mientras se realiza esta operación) a la otra variable, tratamiento de constante. Sea por ejemplo, el caso de realizar la derivada de la

función yxyxz 322 23 con respecto a la variable x . La misma resulta ser:

xyxyx

z66 2

Si ahora queremos derivar respecto de y:

32 26 xyxy

z

(Volveremos sobre el tema en el siguiente párrafo, al tratar la resolución aproximada de sistemas incompatibles por el método de los mínimos cuadrados).




38

Resolución aproximada de sistemas incompatibles. Método de los cuadrados mínimos.

Por un problema estrictamente didáctico, escribiremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas utilizando una notación distinta a la que venimos utilizando: Sea el sistema:

mmmmmm

n

n

qxlxcxbxa

qxlxcxbxa

qxlxcxbxa

...

.....................................................

......................................................

.......

........

321

22322212

11312111

con m>n y todas las ecuaciones independientes, lo que significa que el sistema es incompatible. En estas condiciones no se verificarán todas las igualdades (puede ser que se verifiquen algunas o ninguna) resultando de la diferencia entre los primeros y los segundos miembros lo que denominamos diferencia o error.

mmmmmmm

n

n

eqxlxcxbxa

eqxlxcxbxa

eqxlxcxbxa

...

.....................................................

......................................................

.......

........

321

222322212

111312111

El denominado “principio de los cuadrados mínimos” se expresa de la siguiente manera: “el valor más probable como conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales incompatible es aquel que hace mínima la suma de los cuadrados de los errores. Veamos como se expresa esta suma:

m

immmmmm

n

n

eqxlxcxbxa

qxlxcxbxa

qxlxcxbxa

1

22

321

2

22322212

2

11312111

)...(

.....................................................

......................................................

).......(

)........(

debiendo ser m

ie1

2 = mínima.

La sumatoria del primer miembro es una función de las

variables mxxx ,..., 21 para que la misma sea un mínimo deberá ser nula la derivada

primera respecto de cada una de las variables. Dicho de otra forma deberán ser nulas todas las derivadas primeras parciales. Veamos como se construye la derivada parcial respecto de la variable x;




39

0.....2

.................................................

........2

.........2

321

22322212

11312111

1

mnmmmm

n

n

axlxcxbxa

axlxcxbxa

axlxcxbxax

f

0.....

.................................................

........

.........

321

22322212

11312111

mnmmmm

n

n

axlxcxbxa

axlxcxbxa

axlxcxbxa

o bien:

0.....

.................................................

........

.........

32|

22322222122

11311211111

nmmmmmmmm

n

n

xlaxcaxbaxaa

xlaxcaxbaxaa

xlaxcaxbaxaa

Como la derivada segunda respecto de 1x es igual a:

m

imm aaaaaaa1

22211 .......... y esta suma es siempre positiva el criterio de la

derivada segunda para el cálculo de extremos relativos nos dice que estamos en presencia de un mínimo.

Si sacamos factores comunes parciales y adoptamos la notación:

abbababa mm ...............2211

accacaca mm ................2211 ....................................................

....................................................

aqqaqaqa mm .................2211

la derivada parcial con respecto a la variable 1x se escribe:

aqxalxacxabxaax

fn

...........321

1

aaaaaaaa mm .............2211




40

y con el mismo razonamiento para las demás variables se escribe el sistema:

qqxllxlcxlbxla

cqxclxccxcbxca

bqxblxbcxbbxba

aqxalxacxabxaa

n

n

n

n

................

.....................................................................

.............

...........

...........

321

321

321

321

sistema de n ecuaciones independientes con n incógnitas (una ecuación resultante de cada una de las derivadas parciales), que resulta por lo tanto, compatible determinado, es decir, con única solución: según el principio de los cuadrados mínimos, la más probable. Este sistema de ecuaciones recibe el nombre de sistema de ecuaciones normales. Ejemplo: Calcular la velocidad inicial y la aceleración de un movimiento uniformemente acelerado, conocidos los espacios recorridos en los tiempos siguientes:

t 0 2 3 4 6 9

e 0 11,86 19.34 27.84 47.94 85.82

La ecuación del movimiento uniformemente acelerado es:

2

2

1tatve

conocidos los espacios recorridos para los tiempos t dados, tendremos como incógnitas v y

a; con estos datos podemos escribir las siguientes ecuaciones;

2v + 2a = 11,86

3v + 4,5a = 19,34

4v + 8a = 27,84

6v + 18a = 47,94

9v + 40,5a = 85,82

el cálculo de los coeficientes del sistema de ecuaciones normales es:

1469966443322 aa

5225,409186845,4322 ab

5,20525,405,401818885,45,422 bb

12,125382,85994,47684,27434,19386,112 aq

1,467282,855,4094,471884,27834,195,486,112 bq




41

y el sistema de ecuaciones normales resulta:

146v + 522a = 1253,12 522v +2052,5a = 4672,1

La solución del sistema de ecuaciones normales, es decir la

solución más probable para el sistema de ecuaciones lineales incompatible que se estudia es: v = 4,9 ; a = 10,3 , ambas cantidades medidas en las unidades correspondientes.

universidad nacional de la plata · + 2 1 2 si 1 = ... cuando la variable independiente se acerca...

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