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Una trayectoria de aprendizaje de subitización en niños y niñas de educación inicial

Nelssy Azucena Jiménez Díaz

Maestría en Educación

Énfasis en Educación Matemática

Modalidad de Profundización

Facultad de Ciencias y Educación

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá, 2015

Una trayectoria de aprendizaje de subitización en niños y niñas de educación inicial

Nelssy Azucena Jiménez Díaz

Directora:

Dra. Olga Lucía León Corredor

Grupo de Investigación Interdisciplinaria en

Pedagogía del Lenguaje y las Matemáticas

Maestría en Educación

Énfasis en Educación Matemática

Modalidad de Profundización

Facultad de Ciencias y Educación

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá, 2015

Dedicatoria

A Chelita y Luis Antonio,

por enseñarme a soñar y construir con amor el futuro en cada paso.

Agradecimientos

En primer lugar, quiero dar las gracias a la directora de este trabajo, Dra. Olga Lucía

León Corredor, mi maestra, por haber confiado en mí. Gracias por su compañía en los trayectos

de los niños.

A Faberth Díaz Celis por creer en cada instante. Gracias por ayudarme

incondicionalmente para poder continuar sin otras preocupaciones, sin su generosa colaboración

no habría ido tan lejos en este campo, mucho más de lo que yo imaginaba.

A mis docentes, Dr. Jorge Castaño García, Dr. Carlos Vasco, Dr. Pedro Javier Rojas, Dr.

Rodolfo Vergel y Dr. Orlando Lurduy, por su amistad, aportes, exigencia y enseñanzas de

respeto por el conocimiento

A los más importantes, a quienes hacen de mi vida una alegría permanente y una fuerza de

esperanza, para la construcción de un mejor mundo: los niños.

Contenido

Introducción ....................................................................................................................... 2

1. Planteamiento del problema ...................................................................................... 4

1.1. Objetivos ................................................................................................................... 6

1.1.1. Objetivo General. ............................................................................................... 6

1.1.2. Objetivos específicos. ........................................................................................ 6

2. Marco de referencia conceptual ................................................................................... 7

2.1. El sentido numérico .................................................................................................. 7

2.2. Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje ................................................................ 17

2.3. Subitización ............................................................................................................ 22

2.4. THA subitización de Clements & Sarama (2004) .................................................. 28

2.4.1. Metas de la THA de Subitización. ................................................................... 29

2.4.2. Niveles de la THA de Subitización de Clements & Sarama (2004). ............... 30

2.4.3. Actividades de la THA de Subitización. ......................................................... 31

2.5. Lineamientos oficiales de apoyo que tienen que ver con la Subitización .............. 36

3. Marco de referencia metodológico ............................................................................. 39

3.1. Aspectos generales ................................................................................................. 39

3.2. Instrumentos de indagación .................................................................................... 43

3.2.1. Formulación de hipótesis. ................................................................................ 43

3.2.2. Descripción de las actividades. ........................................................................ 51

3.3. Población ............................................................................................................ 54

3.4. Recolección de la información y de datos .......................................................... 55

4. Análisis de datos........................................................................................................... 56

4.1. Configuración de los datos ..................................................................................... 56

4.2. Trayectorias Reales de Aprendizaje de Subitización ............................................. 56

4.3.1. Sara. ................................................................................................................. 57

4.3.2. Camila. ............................................................................................................. 69

4.3.3. Gabriela. .......................................................................................................... 81

4.3.4. Alejandra. ........................................................................................................ 94

4.4. Análisis por niveles .............................................................................................. 106

5. Conclusiones ............................................................................................................ 112

Referencias bibliográficas ............................................................................................. 115

Tablas

Tabla 1 Hipótesis de Metas Clements & Sarama (2004) ................................................... 29

Tabla 2. Descripción de las niveles de la THAS Clements & Sarama (2004) .................. 30

Tabla 3 Hipótesis de nivel. ................................................................................................ 31

Tabla 4. Hipótesis de actividades de Clements & Sarama ................................................ 32

Tabla 5 Actividades propuestas para avanzar en la progresión de niveles. ....................... 32

Tabla 6. Hipótesis de investigación: Meta 1...................................................................... 43

Tabla 7. Hipótesis de investigación: Meta2....................................................................... 44



Tabla 10. Hipótesis de investigación: Meta 5.................................................................... 45

Tabla 11. Hipótesis de investigación: Nivel 1. .................................................................. 45









Tabla 20. Hipótesis de investigación: Nivel 10. ................................................................ 50

Tabla 21. Hipótesis de investigación: Actividades. ........................................................... 50

Tabla 22 Rejilla del desarrollo por niveles de Camila ....................................................... 69

Tabla 23 Rejilla del desarrollo por niveles de Gabriela. ................................................... 81

Tabla 24 Rejilla del desarrollo por niveles de Alejandra. ................................................. 94

Tabla 25 Registro general de acciones de Nivel 1. .......................................................... 107





Ilustraciones

Ilustración 1 Ciclo de enseñanza. (Simon, 1995, p. 136). ................................................. 19

Ilustración 2 Componentes de las Trayectorias de Aprendizaje ....................................... 20

Ilustración 3 Estructura investigación de diseño (Molina et al, 2011, p.76). .................... 41

Resumen

Los niños siguen procesos de desarrollo en el aprendizaje de los sistemas numéricos,

construyen ideas y desarrollan habilidades, de acuerdo con la riqueza de las

experiencias que han tenido y de los ambientes en los que viven. Cuando los profesores

somos conscientes de esos procesos de desarrollo y los comprendemos, buscamos crear

ambientes de aprendizaje ricos en experiencias, planeamos y realizamos secuencias de

actividades para que sean acordes y efectivas para el aprendizaje. Es en ese momento

en el que necesitamos tomar decisiones y generar caminos que posibiliten lo esperado

buscamos rutas de desarrollo tales como las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje

(THA), las seguimos y observamos los resultados. El trabajo de profundización, que se

presenta, tiene como objetivo la caracterización de las Trayectorias Reales de

Aprendizaje (TRA), que se potencian en los niños de las Aulas de Primeria Infancia, al

seguir una THA de subitización.

Los productos del trabajo tienen que ver con la descripción de las metas, niveles y

actividades de la THA de subitización, la puesta en práctica de la secuencia de

actividades de la THA y el análisis de los niveles de la Trayectoria Real que alcanzan

los niños.

Palabras clave:

Subitización, Primera Infancia, Trayectorias de aprendizaje, Sentido numérico.

2

Introducción

Las Políticas Públicas de Infancia en relación con la Educación Inicial, tanto a nivel

Nacional y del distrito de Bogotá, consideran al niño y la niña1 como sujetos de derechos y

enfatizan en el derecho impostergable a una educación con perspectiva de género y de inclusión

social, que forma a los sujetos en y para la participación como ciudadanos que aportan a la

transformación y construcción de la sociedad. Desde esta perspectiva, el Departamento

Administrativo de Bienestar Social (DABS, 2000), hoy Secretaría Distrital de Integración Social,

enuncia los principios que orientan esta etapa educativa, entre los que se destacan: 1) la

construcción de ambientes pedagógicos favorables para el desarrollo, en los que la acción

pedagógica sea el fruto de la preparación y anticipación de contextos y de relaciones que faciliten

la comprensión y el crecimiento compartido, y 2) la necesidad de que los profesores mantengan

una actitud permanente de cuestionamiento, problematización, reflexión, estudio y replanteamiento

del hacer cotidiano.

El presente trabajo busca profundizar en el diseño y análisis de secuencias didácticas para

estimular en los niños de las Aula de Primera Infancia, API, los procesos del sentido numérico

mediante la relación entre los fundamentos teóricos y las prácticas en el contexto de aprendizaje

de las matemáticas. En particular, se profundiza sobre las trayectorias hipotéticas y reales de

aprendizaje de subitización, en las que se establecen las metas que pueden alcanzar los niños en

sus procesos, los posibles niveles que alcanzan y el diseño de una secuencia de actividades que

pueda favorecer el avance.

Desde un enfoque metodológico de tipo interpretativo, este trabajo se propone caracterizar

las acciones que realizan los niños cuando subitizan, como tratar de dar cuenta de los procesos y

procedimientos que usan para hacerlo.

1 Para simplificar la lectura, de aquí en adelante se utilizará la palabra niño, para referirse a niño y niña, no se

presentará la escritura diferenciada por género

3

Producto del trabajo de profundización se espera escribir artículos sobre las características

de las Trayectorias Reales de Aprendizaje de subitización que se potencian en los niños de las API

al seguir la trayectoria Hipotética de Aprendizaje propuesta por los autores Douglas Clements y

Julie Sarama, además se escribirá un documento con una secuencia didáctica, para el desarrollo de

la subitización, para niños de cuatro años, como aporte para los lineamientos pedagógicos de la

educación de la primera infancia. La realización de este trabajo de profundización en las Aulas de

Primera Infancia, con niños de 3 años, asume el reto planteado en las palabras D’Amore, Angeli,

Di Nunzio & Fascinelli (2015) acerca de la importancia de los estudios en estas edades,

Los estudios de didáctica de la matemática de los últimos treinta años han puesto en evidencia la delicadísima función mediadora que tiene el profesor de matemáticas en la historia cognitiva de un individuo. Pero tales estudios solamente hacen referencia a la escuela primaria o a la escuela secundaria, en ocasiones a la universidad. Es difícil encontrar estudios significativos donde el objeto de estudio sean los niños que cursan el preescolar (p.10).

Los avances del presente trabajo han sido socializados en diferentes eventos de

reconocimiento académico nacional e internacional. Fueron aprobados y presentados una

comunicación breve y un curso corto en el Encuentro Distrital de Educación Matemáticas (Jiménez,

2014a; 2014b), un curso corto en el Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones en la Universidad

Pedagógica Nacional (León, Jiménez, González, Palomá, Castro & Guilombo, 2015) y en el 16º

Encuentro Nacional de Matemática Educativa (León, Jiménez, González, Palomá & Guilombo,

2015). Además, fue presentado y aprobado un taller y una comunicación breve en el evento

internacional 14º Conferencia Internacional de Educación Matemática CIAEM, 2015 en Chiapas,

México (Jiménez, 2015a; 2015b) y para V Congreso Internacional de Pedagogía e Infancia 2014

de la Universidad de la Sabana se enviaron y se obtuvo la aprobación de una comunicación breve

y un curso corto.

4

1. Planteamiento del problema

El Ministerio de Educación Nacional (MEN) y La Secretaría de Educación de Bogotá

(SED), desde hace una década han estado apostando y aportando con mayor claridad y

preocupación a la educación para la primera infancia, como un proceso continuo y permanente

de interacciones y relaciones sociales de calidad, oportunas y pertinentes, que posibilitan a los

niños potenciar sus capacidades y adquirir competencias para la vida, en función de un desarrollo

integral a través de procesos de acompañamiento de los niños menores de 5 años.

Para la SED Bogotá de acuerdo a la Resolución 188 del 24 de Enero de 2007, el primer

ciclo comprende los grados de Pre jardín, Jardín y Transición llamados de primera infancia y los

de Primero y Segundo de primaria, busca llenar de sentido el proceso de desarrollo de niños,

garantizar que el paso entre el preescolar y la primaria se dé como una transición armónica y que

exista la continuidad de los procesos pedagógicos.

En el año 2010 la SED publicó el documento “Lineamiento pedagógico y curricular para

la Educación Inicial en el Distrito” como insumo para la estructuración de una propuesta

pedagógica para la educación de la primera infancia, que busca atender a los niños de 3 y 4 años

que ingresan a los jardines infantiles y a algunos colegios y mega- colegios de Bogotá. El

documento establece que el eje de las relaciones lógico matemáticas tiene que ver con “la

representación del mundo a través de sistemas y procedimientos por medio de un código propio,

integrado por los diversos símbolos matemáticos” (SED, 2010, p. 57), y sugiere a los docentes

de las API, que se trabajen los elementos que permitan una práctica del conteo y de la resolución

de problemas, para fortalecer la consolidación y la apropiación de los sistemas de representación

y de formación del signo numérico en particular y del sentido numérico en general. El contenido

de esta directriz, parece requerir de una exploración analítica de lo que se enuncia como

“representación”, “sistemas”, “símbolos” y “procedimientos” para las etapas de vida de los niños

a los que se refiere.

De manera general en el presente trabajo se pretende profundizar en el análisis de los

procesos del sentido numérico y en el diseño de secuencias didácticas para estimular en los niños

5

de las API, mediante el estudio de los fundamentos teóricos, el reconocimiento de las trayectorias

de aprendizaje que los niños construyen en su entorno cotidiano, rescatando la importancia que

merece el contexto de aprendizaje de las matemáticas, como el lugar “desde donde se establecen

conexiones con la vida cotidiana de los niños sus familias, con las demás actividades de la

institución educativa y, en particular, con las demás ciencias y con otros ámbitos de las

matemáticas mismas” (MEN, 2006).

De manera particular con respecto al desarrollo del sentido numérico se profundizará en

el proceso de subitización, en el que los niños avanzan en el contexto cotidiano y lo hacen desde

el momento del nacimiento. Como preguntas introductorias del tema se plantearon preguntas

tales como: ¿Qué es subitizar? ¿Se puede estimular el desarrollo de la subitización? ¿Qué relación

hay entre la subitización y el desarrollo de los demás procesos del sentido numérico? ¿Por qué

los niños deben avanzar en la subitización?, que sirvieron para orientar la indagación sobre las

relaciones entre los referentes teóricos y los referentes prácticos.

Para fortalecer la propuesta del desarrollo del sentido numérico, luego de profundizar en

la trayectoria de aprendizaje de subitización, se busca: establecer las posibles metas que pueden

alcanzar los niños en el proceso de subitización, formular y explorar el nivel de subitización que

tienen, diseñar e implementar una secuencia de actividades que pueda favorecer el avance del

proceso de la subitización y hacer un análisis de los datos y un análisis del diseño, que permita

hacer una relación de la teoría y la práctica para el desarrollo del sentido numérico.

El interés de la temática del trabajo tiene que ver, en primer lugar, con la descripción de

los procesos de subitización que evidencian los niños como consecuencia de las experiencias en

contextos familiares y extra escolares, en segundo lugar, tiene que ver con los procesos de

planeación y toma de decisiones que se requieren para el diseño de modelos teóricos y prácticos

que se deben coordinar en las instituciones educativas que tienen API en todo el país, y en tercer

lugar, con los procesos de formación de docentes en el campo de la estimulación de la dimensión

cognitiva de los niños de 3 y 4 años en los ambientes escolarizados. De manera personal, el

interés del trabajo de profundización, es el de continuar con la indagación acerca de los procesos

cognitivos de las matemáticas y la representación que se desarrolla en niños en edades tempranas.

Teniendo en cuenta que, según Clements & Sarama (2004), la trayectoria de aprendizaje de

subitización hace parte del desarrollo el sentido numérico de los niños, se plantea la siguiente

6

pregunta de profundización:

¿Cómo recorren los niños menores de cuatro años, de un Aula de Primeria Infancia (API) la

Trayectoria Real de Aprendizaje de Subitización, al usar el diseño de la Trayectoria Hipotética

propuesta por Clements & Sarama (2009)?

La pregunta se responde a través de la elaboración de la caracterización de la Trayectoria

Real de Aprendizaje de Subitización (TRAS) que emerge en los niños de las API, al seguir la

Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de Subitización (THAS). Respuesta que a su vez se

construye a través de 1) la descripción de las metas, niveles y actividades de la THAS propuesta

por Clements y Sarama, para niños menores de 4 años; 2) la puesta en práctica de la secuencia de

actividades de la THAS propuesta por Clements y Sarama en los niños de un API; y 3) el análisis

de los niveles de las TRAS, que alcanzan los niños de un API.

1.1. Objetivos

1.1.1. Objetivo General.

Caracterizar las Trayectorias Reales de Aprendizaje de subitización que se potencian en los

niños de las Aulas de primera Infancia, al seguir una Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de

subitización.

1.1.2. Objetivos específicos.

1. Describir las metas, niveles y actividades de la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de

Subitización propuesta por Clements y Sarama, para niños menores de 4 años.

2. Poner en práctica la secuencia de actividades de la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje

de Subitización propuesta por Clements y Sarama en los niños menores de cuatro años de un Aula

de Primera Infancia.

3. Analizar los niveles de las Trayectorias Reales de Aprendizaje de Subitización, que

alcanzan los niños menores de cuatro años, de un Aula de Primera Infancia.

7

2. Marco de referencia conceptual

Como referentes conceptuales se abordaron cinco caminos de exploración: el primero tiene

que ver con la caracterización del sentido numérico como elemento esencial en el desarrollo

cognitivo de los niños de las API, el segundo, las THA como elemento metodológico en el que

convergen los componentes cognitivo y curricular para las API, el tercero, la subitización como

capacidad presente en los niños pequeños, el cuarto, la THAS en la que se relaciona el componente

psicológico con el metodológico, y el quinto, los Lineamientos Curriculares como componente

institucional.

2.1. El sentido numérico En este apartado se presentan algunos referentes sobre el sentido numérico, en los que se

describe su relevancia, los elementos que lo componen y sus relaciones.

Los estudios de investigación sobre el desarrollo del sentido numérico de los niños pequeños

han sido una sorpresa para la mayoría de los educadores de preescolar y primaria, porque muestran

que los niños han avanzado en su aprendizaje como consecuencia de sus experiencias de vida (Van

den Heuvel-Panhuizen, 1996). Autores como Baroody (2004), Castaño & Forero (2006), Castaño

(2008) y León & Calderón (2009) han presentado resultados de diferentes países que evidencian

que los niños que ingresan o que están en los primeros grados de escolaridad manifiestan avances

en aspectos del sentido numérico relativos al reconocimiento de la cantidad y a la comparación

entre cantidades. Desde los primeros años de la vida, los niños tienen la capacidad de aprender

matemáticas y desarrollar su interés por ellas (Acosta & Vasco, 2013).

El sentido numérico es difícil de definir pero fácil de reconocer. Los estudiantes que

desarrollan desde pequeños el sentido numérico, según Case (1998), son identificados por los

profesores como aquellos que pueden inventar sus propios procedimientos para la realización de

las operaciones numéricas, pueden representar el mismo número de múltiples maneras según el

contexto y el propósito de esta representación, pueden reconocer los números de referencia y

patrones numéricos y además tienen un buen sentido de la magnitud numérica.

8

Dantzig (1954) introdujo el término "sentido numérico" en 1954, describiéndolo como la

capacidad de una persona para reconocer que algo ha cambiado en una pequeña colección, que un

objeto se ha añadido o eliminado de la colección, a partir de entonces, los investigadores definen

el sentido numérico de distintas maneras como lo señalan Gersten & Chard (1999), en particular

los científicos cognitivos y los educadores matemáticos lo definen de muy diferentes formas. En la

siguiente lista, se presenta una síntesis de las acepciones que tiene el término en los dominios de la

matemática, la cognición, el desarrollo cognitivo y la educación matemática.

Lista de acepciones que tiene el término Sentido Numérico

1. Una facultad que permite el reconocimiento de que algo ha cambiado en una pequeña colección

que, sin conocimiento directo, un objeto se ha eliminado o añadido a la colección (Dantzig, 1954).

2. Habilidades elementales o intuiciones acerca de los números y la aritmética.

3. Capacidad para aproximar o estimar.

4. Capacidad para hacer comparaciones entre magnitud numéricas.

5. Capacidad para descomponer números de forma natural.

6. Capacidad para desarrollar estrategias útiles para resolver problemas complejos.

7. Capacidad para utilizar las relaciones entre las operaciones aritméticas para entender el sistema

decimal de numeración.

8. Capacidad para utilizar los números y los métodos cuantitativos para comunicar, procesar e

interpretar la información.

9. El conocimiento de los distintos niveles de precisión y sensibilidad del razonamiento sobre las

operaciones.

10. Deseo de dar sentido a situaciones numéricas mediante la búsqueda de vínculos entre la nueva

información y el conocimiento previamente adquirido.

11. Poseer conocimiento de los efectos de las operaciones con números.

12. La posesión de la fluidez y la flexibilidad con números.

13. Capacidad para entender los significados de números.

14. Capacidad para entender múltiples relaciones entre números.

9

15. Capacidad para reconocer los números de referencia y patrones numéricos.

16. Capacidad para reconocer errores numéricos.

17. Capacidad para entender y utilizar las formas y representaciones de números equivalentes, así

como expresiones equivalentes.

18. Capacidad para entender los números como referentes para medir las cosas en el mundo real.

19. Capacidad para moverse sin problemas entre el mundo real de las cantidades y el mundo

matemático de números y expresiones numéricas.

20. Capacidad para inventar procedimientos para realizar operaciones numéricas.

21. Capacidad para representar el mismo número de múltiples maneras según el contexto y el

propósito de la representación.

22. Capacidad para pensar o hablar de una manera sensata acerca de las propiedades generales de

un problema numérico o expresión sin hacer ningún cálculo preciso.

23. Desarrollar una expectativa sobre la utilidad de los números y que la matemática tiene una

cierta regularidad.

24. Una sensación no algorítmica para los números.

25. Una red conceptual bien organizada que permite a una persona relacionar número y operación.

26. Una estructura conceptual que se basa en muchos vínculos entre las relaciones, principios y

procedimientos matemáticos.

27. Una recta numérica mental, en la que las representaciones analógicas de cantidades numéricas

pueden ser manipuladas.

28. Una capacidad innata, no verbal y evolutiva, para procesar la numerosidad de forma

aproximada.

29. Una habilidad o tipo de conocimiento acerca de los números, más que un proceso intrínseco.

30. Un proceso que se desarrolla y madura con experiencia y conocimiento.

La lista anterior revela que el sentido numérico puede ser visto como una toma de

conciencia, una intuición, un reconocimiento, un conocimiento, una habilidad, una capacidad, un

10

deseo, un sentir, una expectativa, un proceso, una estructura conceptual, o una recta numérica

mental. Lo cual sugiere que poseer el sentido numérico permite tener, desde la comprensión el

significado de los números hasta el desarrollo de estrategias para la resolución de problemas de

matemáticas; desde hacer comparaciones de magnitud simples hasta inventar procedimientos para

realizar operaciones; y desde reconocer errores numéricos hasta la utilización de métodos

cuantitativos para la comunicación, el procesamiento y la interpretación de la información.

Con respecto a sus orígenes, algunos consideran que el sentido numérico forma parte de

nuestra dotación genética, el sentido numérico se convirtió en una habilidad innata en los seres

humanos y otros animales muy probablemente, porque contribuyó a su supervivencia; mientras

que otros lo consideran como un conjunto de habilidades adquiridas que se desarrolla con la

experiencia.

La mayor controversia entre las dos perspectivas, se genera porque en la primera (Dehaene,

1997) se vincula el origen del sentido numérico a un "orden inferior" de base biológica asociado

a la percepción de cantidad, mientras que en la segunda se vinculan a una representación adquirida

de "orden superior" asociada a la toma de conciencia conceptual de las matemáticas. El primer

punto de vista limita las características del sentido numérico a las intuiciones elementales acerca

de la cantidad, incluyendo la percepción rápida y precisa de pequeños cantidades y la capacidad de

comparar magnitudes numéricas, para contar, y para comprender las operaciones aritméticas

simples (Geary, 1995). Aunque estos componentes se incorporan en la perspectiva de orden

superior, la toma de conciencia se considera mucho más compleja y multifacética; comprende un

profundo conocimiento de los principios y relaciones matemáticas, un alto grado de fluidez y

flexibilidad en las operaciones y procedimientos, un reconocimiento y aprecio por la consistencia

y la regularidad de las matemáticas, (Greeno, 1991; Verschaffel & De Corte, 1996).

En una perspectiva integradora, Dehaene (1997), propone que en el curso de la evolución

biológica, la selección ha dado forma a nuestras representaciones cerebrales para asegurarse de que

se adaptan al mundo exterior. A nuestra escala, dice él, el mundo se compone sobre todo de objetos

separables que se combinan en conjuntos de acuerdo con las relaciones de la aritmética. Las

presiones de la selección, por tanto, conducen a la aparición de un sistema interno para la aritmética

elemental en el cerebro de muchas especies animales, incluidos los humanos. Los fundamentos del

sentido numérico se encuentran en estos sistemas de representación básicos en gran medida innatos.

11

Adicional y de forma específica para la especie humana, hay un segundo nivel de evolución en el

plano cultural, a través del lenguaje y el desarrollo de nuevos sistemas de símbolos, tenemos la

capacidad de construir extensiones de estos sistemas fundamentales y elaborar diversos vínculos

entre ellos.

Dehaene (2001) y Berch (2005) proponen la hipótesis según la cual, todos los niños nacen

con una representación sobre cantidad que proporciona el significado central de la cantidad

numérica. La exposición a un determinado idioma, a la cultura y a la educación matemática,

conduce a los niños a la adquisición de dominios adicionales de competencia, como el

conocimiento de las palabras-número, los símbolos para la notación escrita, los procedimientos

para las operaciones, etc. Estas habilidades no solo se internalizan; también se coordinan con las

representaciones conceptuales existentes de la aritmética. El diálogo constante, dentro de la propia

mente del niño, entre los códigos simbólicos y analógicos para los números conduce al desarrollo

del sentido numérico.

La importancia del desarrollo del sentido numérico para los niños de las API está vinculada,

según León & Calderón (2009), a una mutua valoración entre la sociedad y educación formal,

constituye una de las metas más importantes que las instancias sociales asignan a la escuela,

La percepción de la cantidad fundamento del conocimiento general de las cantidades en el mundo y del desarrollo de un sentido numérico para modelar problemas cuantitativos y tomar decisiones, es una etapa que la escuela debe considerar en los campos de formación que propone a la sociedad.

La mutua valoración (sociedad escuela), del aspecto cuantitativo, incluye la consideración de lo que se ha llamado el sentido numérico y que en su génesis cuantitativa compromete: acciones, desde, con y sobre cantidades presentes en situaciones de relación del niño con su entorno; condiciones semióticas para describir, interpretar y operar empleando representaciones simbólicas, verbales y gráficas (p. 10).

De forma similar, para Castaño, Forero, Díaz, Oicatá & Castro (2007), potenciar el

desarrollo del sentido numérico, tiene que ver con:

ayudar a construir en sus pensamientos verdaderas herramientas intelectuales que permitan comprender y actuar en gran variedad de situaciones que involucren los diferentes tipos de números, para realizar complejas operaciones intelectuales, tales como: dar cuenta de la cantidad; coordinar las diferentes operaciones y relaciones posibles en un sistema con el fin de calcular nuevas cantidades y establecer nuevas relaciones a partir de unas conocidas; manejar diferentes formas de representar los números y transformar unas en otras; hacer estimaciones de la medida de una magnitud y del valor de un cálculo… En síntesis se trata de lograr construcciones mentales que

12

permiten comprender y resolver problemas que involucran los sistemas numéricos… Entre mayor sea la capacidad de los estudiantes para utilizar, en variados contextos, los números en la resolución de problemas novedosos y complejos, mayor será el nivel de pensamiento numérico alcanzado (p. 56).

El sentido numérico se concibe, en este trabajo de profundización, como una parte del sub

campo del pensamiento numérico y, siguiendo a Castaño et al. (2007, p. 56), se toma la condición

de “no asumir los números, sus relaciones y operaciones como contenidos que hay que presentar a

los estudiantes, sino como referencias para potenciar el pensamiento numérico.”

El sentido numérico, se constituye en un requerimiento didáctico (León y Calderón, 2001)

porque asume las siguientes condiciones:

1) Es un factor de obligada reflexión para el docente y para el investigador educativo; 2) Su existencia, como sus relaciones, son inherentes a las relaciones didácticas y dan razón del contexto escolar; 3) En contextos particulares del proceso enseñanza-aprendizaje, necesariamente adquiere una especificidad que se explicita en el diseño didáctico y que, a la vez, lo sustenta, para el desarrollo de los propósitos de aprendizaje (p. 23).

La importancia del desarrollo del sentido numérico para los niños puede evidenciarse

mediante diversos estudios, tales como “Number Worlds” (Griffin & Case, 1997), programa

implementado, durante varios años, con poblaciones de niños kindergarten. Las poblaciones

vulnerables de estudiantes de familias con bajos recurso, que recibieron este programa en su año

de kindergarten demostraron:

Avances significativos en el número de conocimientos, lo que les permitió alcanzar

niveles similares a los niños de familias con ingresos medios;

Avances significativos en una variedad de pruebas de transferencia del

conocimiento a situaciones sobre el conocimiento del tiempo, los conocimientos dinero, y

el razonamiento científico, demostrando que podían transferir sus conocimientos a una

amplia gama de tareas cuantitativas; y

Promedio de rendimiento superior a la media de una serie de medidas en un estudio

de seguimiento del aprendizaje del grado primero (Griffin, Case & Siegler, 1994).

Por el contrario, los grupos de control de los estudiantes en riesgo a quien siguieron en estos

estudios, que participaron en una variedad de otros programas, continuaron rindiendo menos en

todas las medidas. Aunque hicieron algunos progresos en el kindergarten y primer grado, el retraso

13

del desarrollo que había estado presente en el comienzo del jardín de infantes era aún evidente en

las medidas de aprendizaje de las matemáticas y el logro administrados al final de primer grado.

Este tipo de estudios parece mostrar que la enseñanza de sentido numérico es posible y que

ciertos principios de instrucción extraídas de la reciente teoría y la investigación sobre cómo

aprenden los niños (Bransford, Brown & Cocking, 1999) proporciona un potente conjunto de

herramientas para enseñarlo.

Para Godino, Batanero, & Font (2007), el sentido numérico está relacionado con la

comprensión sobre los números y el uso de esa comprensión. Estos autores plantean que en los

primeros grados escolares, el sentido numérico se usa para orientar curricularmente y actuar

favorablemente hacia la matemática en contexto, y de acuerdo a sus investigaciones considera que

la noción de significado sistémico, complementa la noción de sentido numérico y a planificar su

desarrollo a lo largo de la escolaridad.

Las investigaciones y la teoría de Piaget (1937) plantean que ni la concepción de número,

ni el valor posicional, ni las operaciones pueden enseñarse a través de la transmisión directa por

parte de un adulto, para él, los niños tienen que construir su conocimiento lógico matemático a

través de la acción reflexiva. Esto implica, que los niños en los ambientes de aprendizaje, se sientan

libres para crear relaciones, piensen de manera crítica por sí mismos en lugar de seguir reglas o

algoritmos que limiten su activad mental (Kamii & Joseph, 1990).

La posibilidad de priorizar los aspectos necesarios para el desarrollo, desde una postura

constructivista en la que el niño es el principal elaborador de los fundamentos y la elección de los

descriptores que permiten el desarrollo del sentido numérico, están expuestos, a través de la

descripción de las actividades que desarrollan el sentido numérico en niños de primera infancia por

la discípula de Piaget, C. Kamii (1986).

Vergnaud (1991) hace un análisis desde el punto de vista psicológico sobre el desarrollo y

la construcción de conocimientos matemáticos relacionados con las operaciones que el niño es

capaz de hacer sobre la realidad y se detiene en la necesidad de optimizar el conocimiento claro de

las nociones pertinentes al sentido numérico, que el maestro va enseñar, para poder entender las

dificultades de los estudiantes.

14

Entre los autores que han trabajado aspectos relacionados con el desarrollo del sentido

numérico y sus implicaciones en los primeros años de vida, relacionados con la simbolización y de

la formación de la operación, se encuentran: Alsina (2011), quien reporta algunos niveles de

conceptualización del código simbólico en niños de tres a seis años, Douglass (1925), con sus

estudios sobre el desarrollo del concepto de número en niños de edad preescolar y jardín de infantes

y las implicaciones teóricas que se requieren para su enseñanza y Freeman (1912), quien parte de

la idea de la estrategia de agrupar objetos para crear la idea de número.

Gelman & Gallistel (1978) analizan los aspectos relacionados con la comprensión del

número en el niño y sus implicaciones en los procesos de adquisición, Klein & Starkey (1988),

investigan sobre los elementos que intervienen para lograr un desarrollo cognitivo de la aritmética

temprana, Steffe & Cobb (1988) elaboran una secuencia de cómo los niños construyen significados

aritméticos y presentan estrategias para desarrollar estas capacidades y Wang, Resnick & Boozer

(1971) refieren sus estudios a la manera cómo se construyen secuencias de desarrollo de algunos

comportamientos de matemática en los niños en edades anteriores a la escolaridad.

González (1998) hace una revisión bibliográfica para identificar el estado del conocimiento

psicopedagógico de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, en niños de cero a 4 y 5 años del

desarrollo operatorio. Considera nuevos hallazgos en la construcción del número en el niño y

sustenta los principios piagetanos a partir de las etapas pre conservantes, revisa los aportes de

Thordnike, Gagné, Resnick, Bruner, Dienes y de la psicología de la Gestalt, para dar como insumo

un positivo avance en conocimientos y procedimientos sobre psicopedagogía de las matemáticas.

Teniendo en cuenta la perspectiva socio-cultural, Bishop (1999) menciona que el desarrollo

del sentido numérico se enmarca dentro de las matemáticas como “una actividad cultural social e

históricamente influenciada por criterios prácticos de utilidad e intencionalidad y basada en

prácticas cotidianas como contar, medir, localizar, diseñar, jugar o explicar”. (Baroody, 1988, p.

28), en este mismo sentido, Alsina (2012), presenta una visión de la enseñanza de las matemáticas

en las primeras edades que prioriza que los niños aprendan a usar las matemáticas en su vida

cotidiana, desde dos tipos de conocimientos: los contenidos matemáticos y los procesos

matemáticos

Griffin, Case & Siegler (1994) sugieren que el sentido numérico es a menudo informalmente

adquirido con anterioridad a la escolaridad y es una condición necesaria para el aprendizaje de la

15

aritmética formal en los primeros grados de primaria. Argumentan que se facilita por las

circunstancias ambientales y que al igual que con la conciencia fonológica, las condiciones

ambientales que favorecen el sentido numérico son, en cierta medida, mediadas por la enseñanza

informal por los padres, hermanos y otros adultos.

Por ejemplo, Griffin et al. (1994) encontraron que los niños que entran a kinder diferían en

las respuestas a cuestiones tales como "¿Qué número es más grande, 5 o 4?". Los niños de nivel

socioeconómico alto (SES por sus siglas en inglés) respondieron correctamente a la pregunta 96%

de las veces, en comparación con los niños de SES bajos que respondieron correctamente sólo el

18% de las veces. Griffin & Case (1997) establecieron que las actividades en el hogar relacionadas

con el desarrollo del sentido numérico generalmente son actividades cotidianas comunes en los

hogares de las familias de clase media y mucho menos probabilidades de ser una parte cotidiana

en las familias de clase baja. En promedio, en los hogares de clase media bien educada, hay una

buena cantidad de instrucción informal acerca de los números y conceptos relacionados con los

números.

Algunos niños que no han adquirido el desarrollo antes del kínder requieren instrucción

formal para hacerlo (Bruer, 1997). Por ejemplo, un niño puede ingresar al grado primero sabiendo

que 8 es 3 más grande que 5, mientras que un compañero con poco desarrollo de sentido numérico

puede saber solamente que el 8 es mayor que 5. Otros niños pueden tener muy bien desarrollado el

sentido numérico y pueden haber desarrollado estrategias para encontrar la manera expresar que 8

es más grande que 5 utilizando los dedos o bloques.

En cuanto a la importancia que tiene el sentido numérico para la formación de docentes,

Menino & Tavares (2011), presentan una caracterización del sentido del número en los futuros

docentes de preescolar y de cómo planifican y llevan a cabo tareas en este aspecto, en el contexto

de la práctica pedagógica.

La investigación sobre las ideas de los profesores sobre la matemática (Griffin & Case,

1997) revela que muchos profesores definen el aprendizaje de la matemática como la adquisición

de conocimiento sobre la escritura de los números y su manipulación a través de reglas y algoritmos

(Jackson, 1986). A causa de sus propias experiencias de aprendizaje, algunos profesores creen que

las matemáticas son acerca de los símbolos numéricos. Al tratar a los números como entidades sin

16

relación con su significado, estos profesores enfocan su instrucción en asegurar que los niños

memoricen varias reglas matemáticas y las apliquen.

Experimentos de imagen del cerebro y estudios de casos clínicos han mostrado que los

símbolos numéricos están vinculados al desarrollo del lóbulo parietal izquierdo (Butterworth,

1999). Las palabras-número, de otro lado, se almacenan en el área de Broca, que se encuentra en

el lóbulo frontal izquierdo y lugar en donde se procesa nuestro lenguaje. Los estudios clínicos

describen personas que no pueden leer las palabras debido a daños en el área de Broca, pero que

puede leer en voz alta los números de uno o varios dígitos que se les presentan utilizando

numerales. Otros pacientes con alteraciones del lenguaje severas apenas pueden leer o escribir,

pero lo hacen muy bien en una prueba de aritmética estándar si las preguntas se presentan en una

forma puramente numérica (Butterworth, 1999). Devlin (2000) sugiere que esta separación de

símbolos numéricos de las palabras-número es debida a que los símbolos numéricos fueron

derivados de la utilización de los dedos (un proceso lóbulo parietal) y las palabras de números del

lenguaje ordinario (un proceso lóbulo frontal).

Desde esta perspectiva, los profesores de matemáticas de niños con edades muy tempranas

pueden ver las matemáticas como un conjunto de relaciones conceptuales entre las cantidades y los

símbolos numéricos (NCTM, 2000). Los profesores de los niños pequeños que ven el desarrollo

del sentido numérico como estas relaciones, y no como los símbolos exclusivamente, hacen

preguntas diferentes en sus aulas: ¿Cuántos hay? en lugar de ¿Cómo se escriben los números? Los

estudiantes no sólo tratar de encontrar la respuesta correcta; en cambio, construyen y descubre las

relaciones entre cantidades y números y luego examinan formas alternativas de describir y registrar

estas relaciones.

En el aprendizaje del sentido numérico, según Clements & Sarama (2009), los niños siguen

procesos naturales de desarrollo, adquiriendo ideas y habilidades a su manera. Cuando los

profesores comprenden estos procesos de desarrollo, elaboran y siguen secuencias de actividades

basadas en tales procesos, construyen ambientes de aprendizaje que son apropiados y efectivos en

términos de desarrollo (Jiménez & Díaz, 2013). Estas rutas de desarrollo son la base para las

Trayectorias hipotéticas de Aprendizaje (THA).

A partir de los estudios referenciados, coincidimos con Castaño (2010) en

17

dar cuenta del número —además del aprendizaje de aspectos convencionales que esta noción conlleva (la sucesión numérica verbal, la lectura y la escritura de los signos numéricos), así como del aprendizaje de los resultados de las sumas y restas entre dígitos, supone, ante todo, aspectos lógicos vinculados con las relaciones de “mayor que.”, “menor que.” e “igual a .”, y con las relaciones de complemento entre partes y todo: si a + b = c, entonces c – b = a y c – a = b. Aún más, el verdadero significado de los aspectos convencionales involucrados en el número no es alcanzado por los niños en sus reales dimensiones sin la presencia de la capacidad de operar con las relaciones arriba señaladas (p. 99).

Para este autor, la noción de número surge, no tanto del aprendizaje de los signos y de la

memorización de la secuencia de sus nombres, sino de las múltiples y variadas experiencias que

exijan al niño comparar la cantidad de dos conjuntos, componer y descomponer totalidades. A

medida que el niño progrese en estas acciones, se desarrollará el conteo, la lectura y la escritura

como aspectos convencionales. Este sistema numérico en el presente trabajo de profundización,

hace referencia a la cantidad.

Según Castaño (2010), se cuantifica la cantidad de elementos de los conjuntos, cantidad

discreta y se cuantifica también la cantidad de una magnitud, cantidad continua. Para el sistema de

las cantidades discretas se propone el manejo de relaciones: hay más, hay menos y hay la misma

cantidad, que suponen además, el manejo de operaciones aditivas, como por ejemplo: de

composición (en el caso de las preguntas como “¿cuánto reúne?”), de descomposición (en el caso

de preguntas como “¿cuánto queda?”) y de complemento (en el caso de las preguntas como

“¿cuánto hace falta?”). Para el sistema de las cantidades continuas se propone el manejo de

relaciones tales como: hay más, hay menos, hay la misma cantidad y de operaciones aditivas2.

2.2. Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje La teoría constructivista, según Simón (1995), se destaca en la investigación por sus aportes

al aprendizaje de la matemática, ella abre posibilidades sobre los cambios en la enseñanza de las

matemáticas, pero en sus inicios, no ofreció ninguna visión particular sobre cómo se debe enseñar

2 Según Schwarts (1996) las palabras-número como dos, cinco y veintitrés, se puede utilizar como sustantivos

o como adjetivos. Los números en la frase “la suma de dos y tres es cinco” son sustantivos. En contraste, los números que se producen en las frases “cuatro libros y tres libros son siete libros” se refieren a cantidades adjetivadas. Formalmente, la cantidad adjetivada puede ser considerada con la siguiente estructura: {medida, atributo}. Para cantidades discretas, etiquetados por nombres contables, esta estructura adopta la forma {cardinalidad del conjunto, la definición del conjunto} como en el caso de {{4}, manzanas}. Para cantidades continuas, el componente de medida de esta estructura tiene estructura interna {(magnitud, unidad), atributo}.

18

matemáticas. Por lo anterior, se necesitó el diseño de modelos de enseñanza basados en el

constructivismo.

Simon (1995) centra su atención en la problemática de la planificación local y reflexiona

sobre cómo debería ser la enseñanza, si se asume una posición constructivista social del aprendizaje

de los escolares. Él resume su trabajo de la siguiente manera:

[…] partiendo de una perspectiva de constructivismo social sobre el desarrollo del conocimiento, el artículo continúa la discusión sobre las deliberaciones pedagógicas que llevan a la determinación de los contextos de problemas que promueven la participación de los estudiantes. En particular, el artículo extiende la noción de enseñanza como indagación, examina el papel de diferentes aspectos del conocimiento del profesor, y explora el reto intrínseco y actual para integrar los objetivos y la dirección del profesor para el aprendizaje con la trayectoria del pensamiento y el aprendizaje matemático de los estudiantes (p. 121).

Simon (1995) propone un modelo de enseñanza coherente con los principios

constructivistas del aprendizaje de las matemáticas, el ciclo de enseñanza de las matemáticas,

entendido como un “modelo esquemático de la interrelación de aspectos del conocimiento,

pensamiento, toma de decisiones y actuaciones del profesor” (p.135). Según este modelo (Ver

Figura 1), la enseñanza, desde la perspectiva del profesor, está guiada por la THA. La Trayectoria

Hipotética se construye con las predicciones que el profesor hace acerca del camino por el cual

puede proceder el aprendizaje.

Una trayectoria hipotética de aprendizaje le da al profesor criterios para seleccionar un diseño instruccional particular; por lo tanto, yo tomo mis decisiones de enseñanza basado en mi mejor conjetura acerca de cómo va a proceder el aprendizaje (Simon, 1995, p. 135).

La trayectoria hipotética de aprendizaje tiene tres componentes, relacionadas entre sí: la

visión que el profesor tiene del objetivo de aprendizaje, la planificación del profesor para las

actividades de aprendizaje y las hipótesis del profesor acerca del proceso de aprendizaje. El

objetivo de aprendizaje es la guía que le permite al profesor decidirse por unas actividades de

aprendizaje. Esa decisión la toma teniendo en cuenta también sus hipótesis acerca del proceso de

aprendizaje. Y estas actividades afectan, a su vez, dichas hipótesis.

19

Ilustración 1 Ciclo de enseñanza. (Simon, 1995, p. 136).

Carr & Alexeev (2011) y Clements & Sarama (2004) destacan en sus investigaciones sobre

Trayectorias de Aprendizaje, que existe un bajo desarrollo del sentido numérico en los niños a

quienes no se les estimulan sus procesos mediante secuencias de actividades. Para los niños, el

éxito a largo plazo en su aprendizaje y desarrollo, requiere experiencias de alta calidad en

matemáticas durante sus primeros años, dentro y fuera de la escuela, lo cual hace prioritario la

investigación e intervención durante estas edades.

Las THA (Simon, 1995) se fundamentan en los siguientes criterios:

• La construcción de una trayectoria de aprendizaje se basa en la comprensión del

conocimiento de los estudiantes que recibirán la instrucción.

• Una trayectoria de aprendizaje es el vehículo para planificar el aprendizaje de unos

conceptos matemáticos concretos.

• Las tareas matemáticas proporcionan las herramientas para promover el aprendizaje de

unos conceptos matemáticos concretos y, por lo tanto, son un elemento clave del proceso

de instrucción.

• Dada la naturaleza hipotética e inherentemente incierta de este proceso, el profesor se verá

obligado a modificar sistemáticamente cada aspecto de la trayectoria hipotética de

aprendizaje.

20

Las THA son parte del modelo del ciclo de enseñanza de las matemáticas (Simon, 1995),

en el que se trata de articular de forma creativa la tensión entre los propósitos del profesor con

respecto al aprendizaje de los alumnos y su responsabilidad de ser sensible y receptivo a la

pensamiento matemático de cada uno de los estudiantes. Tiene que ver las THA con la toma de

decisiones que hace el profesor sobre los propósitos de la instrucción, sobre las hipótesis de los

procesos de aprendizaje de los alumnos y sobre las posibles actividades que pueden movilizar

dichos procesos (Clements & Sarama, 2009). La expresión Trayectoria Hipotética de Aprendizaje

THA) se usa para referirse a las predicciones del profesor sobre el camino por el que el aprendizaje

puede continuar. Son hipotéticas debido a que las trayectorias reales de aprendizaje dependen de

la condición de existencia de cada individuo con ciertas regularidades. Las THA dan al profesor

un criterio racional para decidir cómo puede avanzar el aprendizaje. Las THA “describen las metas

del aprendizaje, los procesos de pensamiento y aprendizaje de los niños en los distintos niveles, y

las actividades de aprendizaje en las cuales ellos podrían participar” (Clements et al., 2009, p. 5).

Simon y Tzur (2004), citado por Gómez, P. y Lupiáñez (2007), definen las Trayectorias

Hipotéticas de aprendizaje (THA) como una terna conformada por las metas para el aprendizaje,

las tareas matemáticas que se usarán para promover el aprendizaje y las hipótesis acerca del proceso

de aprendizaje (Ilustración 2). Los autores Sarama & Clements (2009), se refieren a las metas de

las Trayectorias de Aprendizaje como grandes ideas de la matemática, grupos de conceptos y

habilidades centrales y coherentes, en consonancia con el pensamiento de los niños y generadores

de aprendizaje en el futuro. Según ellos, esas grandes ideas vienen de varios proyectos, entre ellos

los del National Council of Teachers of Mathematics y el National Mathematics Panel (NCTM,

2006).

Metas

Actividades Niveles

Ilustración 2 Componentes de las Trayectorias de Aprendizaje

21

La segunda parte de una trayectoria de aprendizaje consiste en niveles de pensamiento, cada

uno más complejo que el anterior, que conducen a la consecución de las metas de aprendizaje. Es

decir, la progresión en el desarrollo describe una trayectoria típica que siguen los niños en su

desarrollo. La progresión del desarrollo describe una ruta típica que los niños siguen durante su

desarrollo y las habilidades que son necesarias. El desarrollo de las habilidades matemáticas

empieza, según Clements & Sarama (2004), al inicio de la vida, desde su nacimiento, los niños

presentan ciertas capacidades asociadas al sentido numérico, el sentido espacial y los patrones. Lo

anterior no significa que los niños “ven” las situaciones, los problemas, o las soluciones como lo

hacen los adultos, ellos, los niños, hacen interpretaciones de las situaciones únicas y difieren de las

de los adultos. En particular, se propone (Clements & Sarama, 2004) que los profesores interpreten

lo que el niño está haciendo y pensando e intenten “ver” la situación desde el punto de vista del

niño, labor que en las API se tornará exigente y gratificante.

La tercera parte es un conjunto de actividades instruccionales3, relacionadas para cada uno

de los niveles de pensamiento, que fomentan el paso de un nivel a otro. Estas tareas fueron

organizadas para ayudar a los niños a aprender las ideas y habilidades necesarias para alcanzar cada

nivel de pensamiento, aunque son actividades “prototipo” los profesores, podemos utilizarlas para

promover el avance de los niños desde un nivel particular hasta el siguiente

Para Clements & Sarama (2004) la relación entre los tres componentes y sus cambios

pueden ser vistos como un sistema, en el que se parte de la idea constructivista de que los niños

siguen procesos naturales de desarrollo en su aprendizaje y crecimiento. Esta idea se puede

extender a las matemáticas y sugiere que los niños van adquiriendo ideas y habilidades matemáticas

a su manera. Los autores enfatizan en la idea de que los profesores construyen ambientes de

aprendizaje de las matemáticas que son apropiados y efectivos en términos de desarrollo cuando

comprenden estos procesos de desarrollo y logran elaborar secuencias de actividades basadas en

3 Según Montealegre (2005) la idea central de los estudios de L. S. Vygotski y de su escuela, la psicología

histórico-cultural (Leóntiev, Luria, Galperin, Davídov y otros), es que la actividad humana se origina y se construye en la actividad externa objetivada (material) y significativa. Lo objetivada se refiere a la acción práctica con los objetos. La actividad inicialmente es externa cuando hay un manejo real de los objetos materiales, y posteriormente es interna cuando se realizan acciones con los mismos objetos en un plano representativo. El lado significativo de la actividad consiste en dar sentido a las acciones prácticas y a las acciones mentales y extraer su significado. El sentido se relaciona con el proceso de apropiación cultural por parte del sujeto.

22

tales procesos. Los procesos de desarrollo determinados por los niños son la base para las

“trayectorias de aprendizaje” y permiten a los profesores orientar los objetivos, delimitan las

actividades y posibilitan la mirada observadora del paso de los niños por los niveles.

Sarama & Clements (2009) elaboran conjuntos de metas, niveles de desarrollo y secuencia

de actividades para cada una de las cinco THA para el desarrollo del sentido numérico y en

Clements & Sarama (2009) presentan sus componentes de manera más concreta para el trabajo de

aula. Las cinco THA para el desarrollo del sentido numérico son: 1) Cantidad, número y

subitización, 2) Conteo verbal y conteo de objetos, 3) Comparación, orden y estimación, 4)

Adición, sustracción y estrategias de conteo, y 5) Composición de números, valor posicional y

adición y sustracción multidígito.

Una THA no es un simple logro de una secuencia curricular, aunque están relacionadas con

ellas, tampoco es un listado de contenidos o temas, si se puede decir que son la base para atender

los niveles de desarrollo de los niños y los procesos de pensamiento matemático y ayudan a los

profesores a elaborar sus planeaciones de clase y dan al profesor un criterio para decidir cómo

puede avanzar el aprendizaje.

De las cinco trayectorias de aprendizaje para desarrollar el sentido numérico, en el presente

trabajo se aborda la de subitización.

2.3. Subitización La subitización se relaciona con los principios que utilizamos para sensibilizar la cantidad y

con la capacidad de reconocerla sin usar el conteo. La palabra tiene dos orígenes en el latín uno

como expresión, “veniam ad vos cito”, “llegar pronto", y otro como adjetivo, súbitus que significa

repentino

En un recorrido cronológico de algunas investigaciones referentes al tema, se inicia con los

trabajos de Potter & Levy (1968), quienes analizan la manera cómo los niños emplean la

enumeración de acuerdo a la manera cómo hacen los arreglos espaciales para “contar objetos sin

contar”, esa es una manera de hacer subitización.

Investigadores como Schaeffer, Eggleston & Scott (1974), Klahr & Wallace (1976);

trabajaron apoyados en la idea de que la subitización era una habilidad más "básica" que la acción

de contar, según ellos, los niños pueden subitizar directamente a través de las interacciones con el

23

medio ambiente, sin haber tenido un aprendizaje ni un aprendizaje social de esta habilidad. En

apoyo de esta posición, Fitzhugh (1978) encontró que algunos niños podrían subitizar grupos de

uno o dos, pero no eran capaces de contarlos y concluyó que la subitización es un precursor

necesario para contar, además analizó el rol de la subitización y del conteo en el desarrollo de la

concepción de los números en niños pequeños.

La subitización perceptual es la más cercana a la definición original de subitización, que se

refiere al reconocimiento de la numerosidad sin utilizar procedimientos matemáticos. Implica

mecanismos similares a los utilizados por los animales y los niños de dos años de edad, muestran

claramente esta capacidad (Gelman & Gallistel, 1978).

Las investigaciones de Silverman & Rose (1980), afirman que los niños desarrollan la

subitización como una forma de conteo rápido tal como lo habían precisado Gelman & Gallistel

(1978) y Beckwith & Restle (1966), además establecen la relación entre la subitización y el conteo

como habilidades desarrolladas en niños de 3 años de edad.

Prentice Starkey convenció a 72 madres para llevar a sus pequeños bebés a su laboratorio

en la Universidad de Pennsylvania para un nuevo experimento. Mientras está sentado en el regazo

de su madre, cada bebé, con edades comprendidas entre 16 y 30 semanas, observó diapositivas

proyectadas en una pantalla. Las diapositivas contenían dos o tres grandes puntos negros

extendidos horizontalmente. Starkey variaba la separación entre los puntos de modo que ni la

longitud total de la línea, ni la densidad de los puntos podría ser utilizado para discriminar su

número. Después de muchos ensayos, Starkey se dio cuenta de que el tiempo medio de fijación de

1,9 segundos para una diapositiva de dos puntos, saltó a un promedio de 2,5 segundos, para una

diapositiva de tres puntos. Esos resultados lo hicieron concluir que, los bebés detectan el cambio

de dos a tres puntos. (Starkey & Cooper, 1980). En un experimento de seguimiento, Strauss &

Curtis (1981) en la Universidad de Pittsburgh repitieron las condiciones propuestas por Starkey,

pero utilizaron fotografías en color de objetos comunes en lugar de puntos. Los objetos variaban

en tamaño y las alineaciones, de manera que la única constante era su número; los bebés notaron

la diferencia entre las diapositivas de dos y tres objetos. Los estudios de Antell & Keating (1983),

muestran que la percepción de los bebés les permiten distinguir un conjunto de dos objetos de un

conjunto de tres en los primeros días de vida,

La subitización, desde el punto de vista de los trabajos de investigación de Von Glasersfeld

24

(1982), se presenta como un proceso que permite crear patrones figurativos necesarios para el

desarrollo de los conceptos numéricos. En particular, los trabajos de Mandler & Shebo (1982),

hacen un análisis del proceso de subitización y de sus componentes.

Baroody (1987, p.115) afirma que la subitización es una “habilidad fundamental en el

desarrollo de la comprensión del número en los niños” en la que los ellos pueden utilizar el

reconocimiento de patrones para descubrir las propiedades esenciales del número, como la

conservación, y pueden desarrollar capacidades tales como la separación en unidades, el conteo y

la composición y descomposición de números, así como las relaciones sobre el valor posicional en

el sistema decimal de numeración. En la relación entre la subitización y el conocimiento

matemático en niños pequeños, Baroody (1988) considera que el conocimiento matemático es una

construcción que pertenece al orden de las idealizaciones que se usa para modelar y describir la

estructura del mundo real.

La subitización para Klein & Starkey (1988) es la capacidad de ver al instante el número o

la aprehensión perceptiva directa de la numerosidad de un grupo. Estos autores afirman que los

niños pequeños utilizan espontáneamente la capacidad de reconocer y discriminar pequeñas

cantidades de objetos.

Steffe & Cobb (1988) refieren sus trabajos hacia la subitización conceptual y agregan que

ella juega un papel avanzado de la organización de las estructuras mentales. Las personas que

conocen las fichas del juego del “domino” pueden reconocer los patrones de números compuestos

sin necesidad de contar los puntos de cada ficha. Ven cada lado del dominó como compuestos de

grupos de puntos, por ejemplo, “ven” la ficha de ocho como como compuesta de dos grupos de

cuatro, están viendo los patrones de números y el número como unidades de unidades.

Las respuestas a la pregunta sobre ¿cuál es la base de la capacidad de subitización?, (Davis

& Perusse, 1988), se abordó en la década de los ochenta desde las perspectivas investigativas

anteriores y, para los años noventa, estuvo presente en las investigaciones tanto con animales como

con bebes. Los trabajos con bebés, como los de Starkey, Spelke, & Gelman, (1990), centran sus

estudios en niños de seis meses de edad, en los que demuestran que los bebés hacen coincidir un

conjunto de tres sonidos con un conjunto de tres objetos.

Por esa misma línea de trabajo, a los cinco meses de edad, afirma Wynn, (1995), los bebés

pueden incluso anticipar los resultados de las transformaciones en pequeños conjuntos, por

25

ejemplo, registran sorpresa si dos marionetas se colocan detrás de una pantalla en la secuencia y

sólo una está presente cuando se eleva la pantalla, y luego muestran la misma respuesta de asombro

cuando un títere se retira, de los dos que se habían colocado detrás de una pantalla. Si uno acepta

la fuerte interpretación de estos hallazgos, es claro que hay una base sólida para afirmar que el

sentido numérico está presente desde los primeros meses de vida.

Griffin & Case, (1997) analizan cómo en los niños pequeños, sus competencias

cuantitativas naturales se expanden al adquirir el lenguaje. A la edad de cuatro años los niños han

construido dos esquemas: uno para hacer comparaciones globales de cantidad y otra para el conteo

Los investigadores explican que luego, a los cinco años de edad, los niños experimentan una

revolución en el pensamiento, ya que se funden estos dos esquemas en una sola estructura

conceptual de orden superior, llamada número. Este nuevo concepto se conecta estrechamente con

la cantidad y permite a los niños usar los números de contar sin necesidad de la presencia de los

objetos físicos. Según Griffin & Case (1997), esta nueva estructura conceptual es la base para todo

el aprendizaje de las matemáticas, los niños han adquirido la base conceptual para el sentido

numérico.

Sobre la relación entre subitización y sentido numérico, Dehaene (1997) examinó, a través

de experimentos, en qué consiste el propio sentido de los números y llegó a la conclusión de que

nacemos con un sentido numérico incorporado. Los trabajos de Dehaene & Cohen (1995), Dehaene

(1997), y Kunzig (1997), relacionados con la dimensión cognitiva de la sicología y la

neuropsicología infantil, comprueban que los bebés humanos nacen con estructuras cerebrales que

están en sintonía específicamente a cantidades numéricas. Estas estructuras tienen una larga

historia evolutiva y son al menos parcialmente independientes de las estructuras cerebrales que

apoyan el procesamiento verbal de la cantidad.

Clements (1999) y Steffe & Thompson (2000) establecen que hay un componente neural

especial presente en los primeros años de vida, que puede ser la base para el desarrollo de los

procesos de simbolización numérica. Se refieren a una capacidad independiente del lenguaje para

juzgar los valores numéricos. Afirman desde sus investigaciones que la subitización, vista como la

capacidad de los niños para ver pequeñas colecciones, crece con el trabajo y pasa de una

subitización perceptual atenta, hasta lograr una cuantitativa basada en una subitización conceptual.

26

De acuerdo a las investigaciones de Lakoff & Núñez (2000), los recién nacidos pueden

distinguir una cantidad de dos de tres, y quizás de cuatro objetos y pueden notar la diferencia entre

dos sonidos de tres, estas demostraciones de los bebés, que parecían poco probables, sugieren que

los niños han reunido suficiente información del entorno, para aprender los números 1, 2 y 3 o que

definitivamente esta característica es de orden genético. Lakoff & Núñez (2000) caracterizan el

sistema de procesamiento visual innato, y afirman que es él quien permite comprender la

numerosidad de una colección. Con el tiempo y la estimulación se va perfeccionando y funciona

al instante con precisión para cuantificar grupos de cuatro o menos objetos sin tener que contarlos.

Luego de más de cinco objetos se pierde precisión, y el proceso se hace lento a medida que

abandonamos la subitización y la reemplazamos por el conteo o la estimación, basada en patrones

visuales que encontramos en la colección. Los autores infieren, que es probable que la subitización

sea un proceso cerebral primitivo, mientras que el conteo implica operaciones más elaboradas.

Los estudios de Piazza, Mechelli, Butterworth, & Price, (2002), Sathian, Simon, Peterson,

Patel, Hoffman, & Grafton, (1999) formulan que las zonas de la corteza visual se activan con la

subitización, mientras que las áreas que involucran la atención permanecen tranquilas. En cambio

cuando se realiza el conteo, numerosas redes cerebrales, incluidas las que participan en la atención

visual en la zona superior del cerebro y el procesamiento cognitivo en las regiones frontales del

cerebro, se activaron significativamente. Estos resultados sugieren que subitizar es un proceso que

se ejecuta inconscientemente y es de bajo perfil.

Algunos investigaciones desarrolladas durante la primera década del 2000 (Crosby &

Sophian, 2003) se refieren a la importancia del procesamiento visual en la subitización y el conteo,

en ella se estudian los tiempos de visualización no lineales y se establece la importancia de los

procesos de atención, para lograr el proceso correcto de subitización.

En las investigaciones con bebés, Lipton & Spelke (2003), realizaron experimentos para

investigar la sensibilidad de los bebés hacia las grandes numerosidades, y aproximaciones de

secuencias auditivas en las que se evidencia la discriminación de la numerosidad, antes de la

aparición del lenguaje simbólico o del conteo. Experimentos sobre subitización en bebés lactantes

se siguen realizado por diversos investigadores, Berger, Tzur, & Posner (2006) concluyen en sus

trabajos que en los primeros meses de vida, los bebés notan la constancia de los objetos y detectan

la diferencia en sus cantidades numéricas aunque no tienen el concepto de contar, pero si

27

manifiestan tener una concepción de la cantidad, o lo que llaman los matemáticos, numerosidad,

que parece tener relación con un fuerte componente genético.

Revkin & Piazza (2008) describen la subitización como una enumeración rápida y precisa

de grupos pequeños, hasta de tres o cuatro objetos, y aclaran que a pesar de que la subitización ha

sido ampliamente estudiado desde su primera descripción hace unos 100 años, sus mecanismos

subyacentes siguen siendo objeto de estudio y debate. En este estudio, prueban la hipótesis de que

existe un sistema de estimación compartida para pequeñas y grandes cantidades en los adultos

humanos.

En cuanto a la relación entre subitización y sentido numérico, para la segunda década del

2000, Gallivan & Chapman (2011) analizan la subitización, desde la perspectiva de las

capacidades, como la oportunidad de percibir el número de objetos que se pueden procesar

simultáneamente y lo hacen desde los estudios de la memoria visual a corto plazo, la atención y la

cognición numérica.

En los aspectos relacionados con las competencias tempranas, Lago & Rodríguez (2012)

revisaron la subitización, centrándose en el cambio que se produce desde los patrones perceptivos

hacia los conceptuales y su incidencia en la habilidad de contar, haciendo hincapié en una línea de

investigación especialmente prometedora relacionada con la diferenciación entre los aspectos

esenciales (reglas lógicas) y no esenciales (reglas convencionales) del conteo.

Es importante observar en la anterior revisión conceptual, que el tema de subitización se

viene trabajando desde hace décadas desde la perspectiva psicológica, pero no ha logrado entrar

con la suficiente fuerza en los trabajos de investigación en Didáctica de la Matemática. Es posible

que no se reconozca claramente su potencial en el desarrollo de los aprendizajes de los objetos4

matemáticos. A continuación como parte de la revisión teórica se presenta el trabajo de la

4 El debate sobre la naturaleza de la subitización como un objeto matemático se aborda desde los planteamiento

de Chevallard (1991), quien define un objeto matemático como "un emergente de un sistema de prácticas donde son manipulados objetos materiales que se desglosan en diferentes registros semióticos: registro de lo oral, palabras o expresiones pronunciadas; registro de lo gestual; dominio de la inscripción, lo que se escribe o dibuja (grafismos, formulismos, cálculos, etc.), es decir, registro de lo escrito" (p. 8). En el marco teórico propuesto por Chevallard, citado por D´Amore (2012), “un objeto existe desde el momento en el que una persona X (o una institución I) reconoce este objeto como existente (para ella). Más exactamente, se dirá que el objeto O existe para X (respectivamente para I) si existe un objeto, representado por R (X, O) [respectivamente R (I, O)] llamado relación personal de X a O (respectivamente relación institucional de I a O) (Chevallard, 1992, p. 9).

28

Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de Subitización (THAS) propuesta por Douglas Clements y

Julie Sarama en los años 2004 y 2009.

2.4. THA subitización de Clements & Sarama (2004) La subitización es un proceso que está vinculado al reconocimiento de la cardinalidad, y

responde a las preguntas ¿cuántos hay?, ¿hay más o hay menos? y a la relación parte-todo, a la

representación semiótica del número, y, en general, a la idea de “cantidad”. Estas ideas, según

Clements & Sarama (2004), forman redes conectadas que posibilitan las estructuras básicas de

construcción de posteriores etapas de formación matemática.

Clements (1999, p. 9) explica que “Cuando usted “simplemente ve” cuantos objetos hay en

una colección muy pequeña, usted está usando la subitización perceptiva” La subitización

conceptual es la capacidad de las personas de ver las partes y ponerlas juntas, para hallar el total.

Cuando la cantidad total de objetos se sale de los límites de la subitización perceptiva, se requiere

ver la cantidad como una conformación de dos o más grupos. La subitización, perceptual y

conceptual, se manifiesta también con otros patrones kinestésicos, rítmicos y auditivo-espaciales.

Estos mismos conceptos los reiteran Sarama & Clements (2009) al afirmar que todo esto sucede,

rápidamente en los niños que desarrollan esta capacidad y con frecuencia se hace de forma

inconsciente. Según su teoría el número es algo que la mente impone sobre la realidad y en su

construcción, son importantes no sólo los procesos perceptivos, sino el uso de la voz en un rápido

recuento. Subitizar implica en el ambiente educativo de un aula, poner en juego elementos que

permitan desarrollar la percepción y la noción de cantidad que hacen parte del sentido numérico

Clements & Sarama (2004), establecen las trayectorias hipotéticas de aprendizaje para lo

numérico, entre las que incluyen la de subitización, como un conjunto de metas, niveles de

desarrollo y una secuencia de actividades, en las que se requiere tener en cuenta que las edades en

todas las trayectorias de aprendizaje son aproximaciones, debido a que la edad de adquisición por

lo general depende en gran medida de la experiencia que haya tenido el niño. La subitización podría

sintetizarse como la aprehensión perceptiva rápida y directa de la numerosidad de un grupo.

Teniendo en cuenta la naturaleza de la subitización, Clements & Sarama (2009), afirman

que esta trayectoria de aprendizaje es sencilla, y tiene como objetivo aumentar la capacidad de los

niños para subitizar cantidades cada vez mayores, como se describe y se solicita en el documento

“Curriculum focal points for Pre-kindergarten through grade 8 mathematics”. (NCTM, 2006)

29

A continuación se describen las metas, niveles y actividades de la THAS propuesta por

Clements & Sarama (2004), para niños menores de 4 años.

2.4.1. Metas de la THA de Subitización.

Clements & Sarama (2004) describen la metas de sus Trayectorias a partir de los

lineamientos formulados en el documento sobre los Puntos Focales de NCTM (2006). De estas

metas, se infieren las siguientes hipótesis relacionadas con los propósitos para el desarrollo de la

subitización.

Hipótesis de Metas.

Tabla 1 Hipótesis de Metas Clements & Sarama (2004)

Hipótesis de Metas. Clements & Sarama (2004)

Los niños desarrollan una comprensión de los significados de los números enteros y reconocen el número de objetos en grupos pequeños sin utilizar el conteo

Los niños escogen, combinan y aplican estrategias efectivas para responder a preguntas cuantitativas, incluyendo el reconocimiento rápido del número en un conjunto pequeño

Los niños pueden subitizar diferentes patrones tanto espaciales (tipo dominó), temporales cenestésicos, de dedos, rítmicos y auditivos.

Las ideas y habilidades de subitización empiezan a desarrollarse a muy temprana edad, pero, como cualquier otra área de las matemáticas, estas no son solamente “simples habilidades básicas

Crear y usar patrones a través de la subitización conceptual ayuda a los niños a desarrollar estrategias aritméticas y la abstracción de los números.

La subitización introduce ideas básicas de cardinalidad –“cuántos hay,” ideas de “más” y “menos,” ideas de partes y totales junto con sus relaciones, la aritmética inicial, y, en general, ideas de cantidad.

El desarrollo de la subitización está vinculado al desarrollo de otras trayectorias numéricas, genera en las personas diferencias en su aprendizaje, que inciden en sus desempeños posteriores (posible hipótesis para estudios longitudinales)

30

2.4.2. Niveles de la THA de Subitización de Clements & Sarama (2004).

Clements & Sarama (2004) describen las niveles de desarrollo para la THAS como aparecen

en la siguiente tabla 1. De estos niveles, se infieren las hipótesis de nivel relacionadas con la

progresión de desarrollo de la subitización (tabla 2).

Tabla 2. Descripción de las niveles de la THAS Clements & Sarama (2004)

Edad (años)

Nivel

Nombre del nivel

Descripción del Nivel

0 a 1 1 Numérico Pre-Explicito

No está habituado al número y no tiene conocimiento explicito e intencional de él. Está primero la colección de un objeto rígido.

1 a 2 2 Nominador de Pequeñas Colecciones

Nombra grupos de 1 a 2 objetos, algunas veces de 3 objetos.

3 3 Constructor de Pequeñas Colecciones

Construye una colección pequeña de 1 a 3 objetos no verbalmente con el mismo número de otra colección siguiendo un modelo mental, no necesariamente por emparamiento. En ocasiones puede ser verbal.

4 4 Subitizador Perceptual hasta 4

Reconoce instantáneamente colecciones hasta de 4, objetos, mostradas por un tiempo breve y verbaliza los números de los ítems.

5 5 Subitizador Perceptual hasta 5

Reconoce instantáneamente colecciones hasta de 5 objetos, mostradas por un tiempo breve y verbaliza los números de los ítems.

5 6 Subitizador Conceptual hasta 5

Verbaliza nombres para todos los arreglos de 5 objetos, cuando son mostrados por un tiempo breve.


Verbaliza nombres para todos los arreglos de 6 a 10 objetos, usando grupos más pequeños.


Verbaliza nombres estructurando arreglos hasta de 20 objetos, mostradas por un tiempo breve, usando grupos más pequeños.

7 9 Subitizador Conceptual con Conteo de pequeños grupos, y Valor Posicional

Cuenta verbalmente nombres de arreglos estructurados mostrados por corto tiempo, usando: grupos más pequeños y el valor posicional.

31

8 10 Subitizador Conceptual con multiplicación y Valor Posicional

Verbaliza nombres de arreglos estructurados mostrados por corto tiempo, usando: grupos más pequeños, multiplicación, y el valor posicional.

Hipótesis de Niveles.

Tabla 3 Hipótesis de nivel.

Hipótesis de Nivel inferidas de Clements & Sarama (2004)

El avance de los niños a través de los niveles de subitización está relacionado con el avance a través de niveles en otras trayectorias (conteo, comparación estimación y orden, adición).

En un grupo es posible encontrar niños con diferentes niveles de subitización que pueden ser relacionados con las experiencias previas que les ha ofrecido el contexto (familia).

En el avance de niveles se construyen conexiones entre las palabras, la cardinalidad y las representaciones de un número dado.

El tamaño de la colección es un factor importante, para determinar el nivel. Inician con subitización perceptual y van aumentando de uno en uno hasta tres.

A los 4 años de edad se subitiza perceptualmente hasta cuatro elementos, y luego la subitización y el conteo se conectan

2.4.3. Actividades de la THA de Subitización.

Clements & Sarama (2004) describen las actividades5 que llaman prototipo propuestas para

el desarrollo de la subitización a través de los niveles de la THAS. Para este trabajo de

profundización se realizó una adaptación de ellas teniendo en cuenta el nivel para el que se pueda

promover y los materiales que están al alcance de nuestro contexto y que serán incluidas a futuro

en la propuesta de desarrollo de la subitización para las API. Esta adaptación se presenta en la tabla

5 De estas actividades, se infieren las hipótesis de actividades relacionadas con aquellas

características que promueven el avance de la capacidad de los niños (tabla 4).

5 Davídov & Márkova (1981/1987) afirman que la estructura de la actividad de estudio incluye los siguientes

componentes: a) la comprensión por el estudiantes de las tareas de estudio, éstas deben llevar a dominar las relaciones

generalizadas en el área de los conocimientos estudiados, a dominar nuevos procedimientos de acción; b) la realización

de las acciones de estudio; y c) la realización de las acciones de control y evaluación.

32

Hipótesis de Actividades.

Tabla 4. Hipótesis de actividades de Clements & Sarama

Hipótesis de Actividades inferidas de Clements & Sarama (2004)

La variedad de experiencias en las que se requiera la subitización de colecciones y los diferentes puntos de vista de un mismo número, ayudan a los niños a construir conexiones entre la cantidad (número, cuántos hay) y las palabras-número.

Hay una progresión en la dificultad para subitizar colecciones de objetos que tiene que ver con la cantidad de ellos. Se inicia con uno dos o tres y luego va en aumento.

Hay una progresión en la dificultad perceptual para subitizar los arreglos espaciales de los objetos. Los que están puestos en una fila son los más fáciles, luego vienen los arreglos rectangulares (pares de objetos en filas) y los arreglos del tipo “dado” o “dominó”, seguidos por combinaciones de arreglos.

Tabla 5 Actividades propuestas para avanzar en la progresión de niveles.

Actividades de subitización de nivel 2

Poner una dos y tres fichas ocultas dentro de un vaso puesto boca abajo.

Destapar cada vaso por para que el niño observe la cantidad.

Tapar nuevamente las fichas con el vaso.

Preguntar ¿cuántas fichas hay?

Ocultar fichas de uno dos y tres puntos, tras una carpeta de cartón abierta a 90 grados colocada encima de una mesa.

Mostrar por segundos una ficha con dos puntos seguida de una de tres puntos Preguntar ¿cuántos puntos hay?


Mostrar sobre una mesa una colección de 3 objetos.

Pedir al niño que construya una colección con la misma cantidad de objetos que vio.

Mostrar sobre una mesa una colección de 4 objetos.

Ocultar los objetos tras una pequeña tela.


33

Mostrar por segundos una ficha con uno dos o tres puntos.



Ocultar fichas de puntos, tras una carpeta de cartón abierta a 90 grados colocada encima de una mesa.

Mostrar por segundos una ficha con uno dos o tres puntos.

Preguntar ¿Cuántos puntos hay?


Mostrar por segundos una ficha con tres o cuatro puntos.

Preguntar ¿cuántos puntos hay?

Pedir al niño que señale la carta que contiene la cantidad de puntos que verbaliza la docente ¿dónde hay tres?

Mostrar por segundos una ficha con tres puntos y otra con cuatro puntos.


Mostrar por segundos una ficha con hasta 7 puntos.



Mostrar por segundos una ficha con hasta 7 puntos.


Hacer sonar cuatro golpes.

Mostrar tarjetas de puntos.

Pedir al niño que elija la carta que tiene la misma cantidad de puntos que sonaron.

Ocultar un tambor detrás de una cortina.

Hacer sonar el tambor hasta 7 veces en grupos de cuatro, tres o dos sonidos.

Preguntar ¿cuántas veces sonó el tambor?


34

Poner sobre una mesa cubos de colores (12) en los que hay 5 del mismo color (negras).

Pedir al niño que tome los cubos de color negro y los ponga en un lado de la mesa.

Permitir que los mire por un momento y preguntar ¿cuántos cubos de color negro hay?

Poner una colección de 10 objetos sobre la mesa cinco de color negro y 5 de diferentes colores

Pedir que haga un grupo de negras.

Tapar las fichas negras con la mano o con una tela.

Preguntar ¿cuántas hay?

Ubicarse de pie, frente a frente ´profesora niño. Pedir al niño que salte las veces que sea necesario de acuerdo a la cantidad de dedos mostrados por dos segundos.

Antes de iniciar los saltos el niño dice la cantidad que percibió.

Ubicarse de pie, frente a frente profesora y niño. Pedir al niño que salte las veces que sea necesario de acuerdo a la cantidad de puntos que observará en la tarjeta que se le mostrará.

Mostrar una tarjeta de puntos una cantidad hasta de 5.

Antes de iniciar los saltos el niño dice la cantidad que percibió.

Poner sobre una mesa una hilera triángulos. Cada triangulo tiene una cantidad de círculos (1 a 5).

Frente a la hilera de triángulos se pone una hilera de tarjetas de puntos. Cada tarjeta tiene de 1 a 5 puntos.

Permitir al niño que vea los materiales y luego tapar los triángulos con una cartulina y dar vuelta a las tarjetas de puntos. Se cambian de lugar unos y otros para que queden desordenados.

Pedir al niño que destape y observe por unos segundos una de las tarjetas de puntos.

Pedir al niño que busque el triángulo que tiene la misma cantidad de círculos que tiene la tarjeta de puntos.



Mostrar por segundos una ficha con hasta 5 puntos agrupados de a dos y tres con la distribución que tienen los dados.


35


Mostrar por segundos una ficha con hasta 10 puntos agrupados de a tres con diferentes distribuciones similares a las que tienen los dados.


Mostrar por segundos una imagen de puntos distribuidos de la siguiente forma: Dos columnas de cinco casillas cada una en la que se dibujaron tres puntos en una columna y dos en la otra.

Mostrar varias tarjetas de puntos en la que se han distribuido los puntos en una sola fila.

Pedir al niño que elija la tarjeta que tiene la misma cantidad de puntos que contenía la primera tarjeta que se mostró.

Mostrar por segundos la imagen de dos manos. Cada mano señala una cantidad de dedos levantados (dos y uno).

Mostrar varias tarjetas de puntos Cada tarjeta tiene una columna de cinco casillas y en cada tarjeta se han marcado cinco, cuatro, tres, dos y un punto respectivamente.

Pedir al niño que elija la tarjeta que tiene la misma cantidad de puntos que corresponde a la cantidad de dedos que se mostró en la primera tarjeta.

Mostrar por segundos una tarjeta de puntos que tienen la siguiente distribución: dos columnas de cinco casillas cada una en la que se dibujaron tres puntos en una columna y una en la otra dos puntos.

Mostrar varias tarjetas de puntos Cada tarjeta tiene una columna de cinco casillas y en cada tarjeta se han marcado cinco, cuatro, tres, dos y un punto respectivamente.

Pedir al niño que elija la tarjeta que tiene la misma cantidad de puntos que contenía la primera tarjeta que se mostró.



Mostrar por segundos una ficha con hasta 9 puntos agrupados de a tres con la distribución que tienen los dados.



Mostrar por segundos una ficha con hasta 15 puntos agrupados de a cinco con la distribución que tienen los dados.


36

2.5. Lineamientos oficiales de apoyo que tienen que ver con la Subitización Las metas para la Primera Infancia, están relacionadas en el contexto nacional con las

competencias propuestas por MEN (2009), con el lineamiento para la educación inicial de la SED

Bogotá (2010) y con los Estándares Básicos de Competencias para los grados de primaria (MEN,

2006).

2.5.1. Estándares colombianos.

Reconocer significados del número en contextos de conteo, comparación y localización.

Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contextos y con diversas

representaciones.

Usar representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para realizar composición y

descomposición de un número en las diferentes unidades del sistema decimal.

A continuación aparecen las propuestas de la SED (2010) para organizar el trabajo

pedagógico de los docentes de las API:

Así, los ejes de trabajo pedagógico derivan en desarrollos por fortalecer, entendidos como formulaciones específicas que aportan a maestras y maestros un referente hacia donde conducir su trabajo pedagógico, teniendo claro que el desarrollo de los niños y las niñas es un proceso progresivo, no lineal, que presenta irregularidades, por lo cual no es una sucesión de etapas, sino que obedece a unas rutas que van y vienen a lo largo del ciclo vital. Los desarrollos por fortalecer son apuestas concretas y particulares que posibilitan la planeación de acciones en la cotidianidad del jardín infantil y el colegio, y pueden ser asumidos como referentes para el trabajo pedagógico, la observación y seguimiento al desarrollo de los niños y niñas en la Educación Inicial (p. 58). El desarrollo cognitivo, si bien es sucesivo, no se puede establecer como el acumulado de

etapas, puesto que el desarrollo del ser humano “no es un proceso lineal” (MEN, 2009, p. 18) y son

múltiples los factores que influyen en éste y determinan los ritmos de su continuidad. “Abordar el

proceso de desarrollo del pensamiento hace indispensable señalar que su progresividad está

estrechamente relacionada con las características particulares de los sujetos y de las experiencias

que les ofrece el entorno, haciendo evidente que cada persona tiene su propio ritmo de desarrollo”

(SED, 2010, p. 190).

En la sección sobre Desarrollos por fortalecer de 1 a 3 años de edad, del documento de la

SED (2010), se identifican las siguientes metas vinculadas a la subitización:

37

• Perciba visualmente los grupos de objetos en donde hay más o menos elementos, lo que le

permite hacer uso, en la cotidianidad, de cuantificadores como mucho, poco, más, menos,

mayor, menor.

• Organice en grupos objetos teniendo en cuenta las características de éstos, estableciendo

semejanzas o diferencias entre ellos, y posteriormente clasifique objetos creando categorías

de acuerdo a las cualidades y atributos de los elementos que en éstos identifica.

En la sección sobre Desarrollos por fortalecer de 3 a 5 años de edad, del documento de la

SED (2010), se identifican las siguientes metas vinculadas a la subitización:

• Plantee estrategias para contar los diversos elementos, correspondencia uno a uno,

agrupación por cantidades, uso de sus dedos para llevar las cuentas, etc.

• Haga uso del conteo para resolver problemas de la vida cotidiana, como saber cuántos

puntos ganó o cuántos lápices hay en el salón; lo que le permite iniciar la construcción del

concepto de número.

• Plantee estrategias para resolver problemas de la vida cotidiana, las comparta y contraste

con sus compañeros, y posteriormente explique la estrategia empleada de forma oral o

gráfica.

2.5.2. Puntos focales de la Comisión de profesores de matemáticas de Estados Unidos.

El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, 2006) formuló el Curriculum

focal points for Pre-kindergarten through grade 8 mathematics, en los que se establecieron las

siguientes metas para el desarrollo de la subitización en los grados Pre-kinder y Kínder. Estos

Puntos Focales son tomadas en cuenta como las metas institucionales (acuerdos nacionales de

USA) para las THAS propuestas por Clements & Sarama.

Para Pre-kinder.

Los niños desarrollan una comprensión de los significados de los números naturales y

reconocer el número de objetos en grupos pequeños sin utilizar el conteo.

Números y operaciones: Desarrollar un entendimiento de los números enteros, incluidos los

conceptos de la correspondencia, contar, cardinalidad, y la comparación.

38

Los niños desarrollan una comprensión de los significados de los números enteros y

reconocer el número de objetos en pequeños grupos sin contar (NCTM, 2006).

Para Kinder.

Números y Operaciones: Representar, comparar y ordenar números enteros y uniendo y

separando conjuntos.

Los niños eligen, se combinan y se aplican estrategias eficaces para responder a las

preguntas cuantitativas, incluyendo el reconocimiento rápidamente el número en un conjunto

pequeño. . Los niños eligen, combinan y aplican estrategias eficaces para responder a preguntas

cuantitativas, incluyendo el reconocimiento rápidamente el número en un conjunto pequeño

(NCTM, 2006).

39

3. Marco de referencia metodológico

La metodología utilizada para el desarrollo del trabajo pertenece al enfoque de tipo

interpretativo, de la investigación educativa: la investigación de diseño, en el que se propone la

comprobación de los supuestos de un modelo teórico, transformados en hipótesis, de acuerdo a la

validez que evidencian según el análisis de los datos obtenidos (Confrey, 2006; Steffe &

Thompson, 2000).

Shavelson, Phillips, Towne & Feuer (2003), según cita de Confrey (2006), definen la

investigación de diseño como “enfoques analíticos para examinar mecanismos que comienzan con

ideas teóricas que son testadas a lo largo del diseño, implementación y estudio sistemático de

herramientas educativas (currículo, métodos enseñanza…) que dan cuerpo al mecanismo

conjeturado inicialmente” (p.120). En el marco de referencia metodológico de este trabajo se

propone ampliar las descripciones de los procesos que emergen y se evidencian en los niños cuando

desarrollan las actividades de la THA de subitización a través de la implementación del

experimento de enseñanza.

Cobb, Confrey, Disessa, Lehrer & Schauble (2003) definen los estudios de investigación de

diseño como el estudio de prácticas educativas, cuidadosamente secuenciadas, que estudian el

aprendizaje de los estudiantes en lo referente a lo conceptual y a sus habilidades, teniendo en cuenta

la interacción con el docente, de allí son creadas anotaciones y registros, para analizar cómo

emergen y evolucionan las concepciones, qué recursos se usan, y cómo se lleva a cabo la enseñanza.

Para ello se utilizan trabajos de los alumnos, grabaciones de videos y evaluaciones de la clase

(Confrey, 2006).

El valor de esta metodología además de observar que en ella la investigación pura y la

aplicada se complementan, está vinculado a encontrar tanto las acciones que hacen los niños para

enfrentar las tareas que se les solicitan, como al tratar de dar cuenta de los procedimientos que usan

para alcanzar las tareas (Simon y Tzur, 1999).

3.1. Aspectos generales

40

Los experimentos de enseñanza se contemplan dentro del paradigma de la investigación de

diseño, y según Cobb & Gravemeijer (2008), citado por Simon & Tzur (2004), son los más

frecuentes. Siguiendo a Steffe & Thompson (2000), el experimento de enseñanza se hace, más que

para determinar la eficacia de algún diseño, para ampliar las teorías del aprendizaje y enseñanza a

situaciones diversas y permitir la fundamentación empírica del conocimiento, así como para

comprobar y generar hipótesis. Consiste, el experimento de enseñanza, en una secuencia de fases

o procedimientos de enseñanza en los que los participantes son generalmente un docente, uno o

más estudiantes y un investigador. La duración del experimento es variable, y en el ambiente

pueden participar pequeños grupos dentro de los salones de clase, aulas de entrevistas para uno o

dos estudiantes o grupos completos. Las intervenciones son realizadas por el investigador y no por

el docente habitual del aula.

La característica principal de estos estudios es la diferenciación entre el docente y el

investigador, motivada por el propósito de los investigadores de experimentar de primera mano el

aprendizaje y razonamiento de los alumnos (Lesh & Kelly, 2000; Steffe & Thompson, 2000). En

general, se espera que el alumnado construya conocimiento, que el investigador-docente construya

conocimiento sobre la construcción de conocimiento por parte de los alumnos, y que los demás

investigadores construyan conocimiento sobre ambos y sobre sus interacciones. Esta distinción de

diversos planos de acción ha conducido a que en ocasiones se denomine a estos estudios

experimentos multiniveles o multietapas (Confrey, 2006; Lesh & Kelly, 2000).

Los investigadores, según Lesh & Kelly (2000), se distancian de los contextos de laboratorio

y se introducen en las aulas. Ellos, formulan hipótesis, durante el experimento o durante cada uno

de los episodios, siendo en ocasiones necesario abandonar o reformular hipótesis a la luz de los

datos.

El objetivo último es elaborar un modelo del aprendizaje y/o desarrollo de los alumnos, en relación con un contenido específico, entendiendo este aprendizaje como resultado de la manera de operar y las situaciones puestas en juego por el investigador-docente (Molina et al., 2011, 79).

En el experimento de enseñanza, según Simon (2000), los investigadores se dedican a la

promoción del desarrollo (enseñanza) como parte de un ciclo de interacción y reflexión. Durante

la fase de interacción, los investigadores tratan de promover un mayor desarrollo sobre la base de

sus ideas de la situación actual de los estudiantes y en sus hipótesis actuales sobre cómo el

desarrollo puede continuar. Al mismo tiempo, provocan evidencia de entendimientos cambiantes

41

de los estudiantes. Durante la fase de reflexión, los investigadores analizar sus interacciones con

los alumnos y las actividades resultantes de los alumnos. Este análisis lleva a las hipótesis

modificadas sobre el desarrollo; estas hipótesis, a su vez guían a la siguiente fase de interacción.

En la ejecución de los experimentos de enseñanza, Cobb & Gravemeijer (2008), citados por

Molina et al. (2011), distinguen tres fases: 1) la preparación del experimento, 2) la experimentación

para promover el aprendizaje y 3) la ejecución del análisis retrospectivo de los datos. En la fase de

experimentación se desarrollan tres momentos: 2.1) diseño y formulación de hipótesis; 2.2)

intervención en el aula y recogida de datos; y 2.3) análisis de los datos y revisión y reformulación

de hipótesis (Ilustración2).

Para el desarrollo metodológico del ciclo de enseñanza del presente trabajo de

profundización se ajustaron las fases y momentos:

1. Preparación: Estudio de la THAS de Clements y Sarama.

2. Experimentación:

2.1. Planteamiento de las Hipótesis e identificación de metas, niveles y actividades.

2.2. Diseño instruccional de la secuencia didáctica.

2.3. Puesta en práctica de la THAS de Clements y Sarama y recolección de datos.

Ilustración 3 Estructura investigación de diseño (Molina et al, 2011, p.76).

42

3. Análisis de datos: Análisis de los datos de las TRAS de los niños del Aula de Primera

Infancia.

Cada una de las hipótesis de la segunda fase se clasificó como hipótesis de meta, de nivel o

de actividad y se elaboraron los indicadores para su comprobación, mediante la formulación de

cerca de 40 hipótesis, que fueron ajustadas de acuerdo a criterios de pertinencia y coherencia

respecto a lo que se esperaba como producto de la profundización. Se eligieron las hipótesis con

sus indicadores, más cercanos al logro del objetivo general del trabajo, que se refiere a la

caracterización de las trayectorias de aprendizaje.

A manera de pilotaje de las actividades que hacen parte del momento 2.2) (Diseño

instruccional de la secuencia didáctica), y como apoyo para continuar el proceso de caracterización

de la población, se realizó parte de lo que puede llamarse un diagnóstico de dos niños, que consistió

en el diseño y la aplicación de siete actividades de subitización, que seguían el esquema de

aprendizaje por adaptación. Para el registro de los resultados se utilizó y se construyó una rejilla

de observación.

La Rejilla es un instrumento que se deriva de la Teoría de los Constructos Personales de

Kelly (1955) y que ha sido extrapolada al desarrollo a otras áreas del saber. Es una herramienta de

configuración gráfica que facilita transformar la vista lineal y enumerada en forma de inventario

de relaciones, en una visión total, interrelacionada y clasificada de las mismas. La rejilla condensa

la información necesaria, heterogénea pero correlacionada para evaluar. En la elaboración de la

rejilla se hacen explícitos los criterios que se han definido a través de los cuales se evalúa.

Evidencia similitudes y diferencias entre los elementos seleccionados, haciendo una cuantificación

de las relaciones.

Para el momento 2.3., Puesta en práctica de la THAS), en el que se ponen a prueba las

hipótesis a través de la organización y elaboración de materiales necesarios para la implementación

de actividades de la trayectoria, se elaboraron las rejillas necesarias para registrar la información

obtenida de la aplicación de las actividades.

Otro medio utilizado para la caracterización de los niños que asisten a las aulas de primera

infancia, fue la lectura de los observadores del estudiante, en el que se registra el seguimiento al

desarrollo infantil a través de los eventos, que son relevantes en su desarrollo. Los observadores

son un insumo para la sistematización del proceso, facilitan el diálogo en torno al desarrollo del

43

niño o niña con las familias y brindan información valiosa para el diseño y la planeación del trabajo

en función de su desarrollo.

La comunicación permanente con las primeras educadoras de los niños y niñas, es decir con

las familias, para obtener información cada vez más objetiva del proceso, hicieron parte del proceso

de caracterización, para ello se aplicaron dos entrevistas a madres de niños de cuatro años, que

asisten a un aula de primera infancia, tendientes a indagar sobre “prácticas numéricas familiares”

También fueron relevantes en el proceso de caracterización los aportes de otros

profesionales que comparten con los niños y niñas, por eso se aplicaron dos entrevistas a docentes

de las aulas de primera infancia del colegio.

3.2. Instrumentos de indagación

3.2.1. Formulación de hipótesis.

3.2.1.1. Hipótesis de meta para la investigación de diseño.

Tabla 6. Hipótesis de investigación: Meta 1.

1. Desarrollo por fortalecer de 1 a 3 años de edad

Descriptor de la meta

Perciba visualmente los grupos de objetos en donde hay más o menos elementos, lo que le permite hacer uso, en la cotidianidad, de cuantificadores como mucho, poco, más, menos, mayor, menor.

Hipótesis

Los niños que ingresan a las aulas de primera infancia han desarrollado la subitización como producto de las interacciones del contexto (familia), en consecuencia, dichos desarrollos son heterogéneos.

La comprensión de los significados de los números naturales y el reconocimiento incluye no solamente los objetos materiales percibidos por la vista y el tacto, también incluye el reconocimiento de patrones kinestésicos (saltos, patrones con los dedos, …), auditivos (secuencias de sonidos,…), táctiles (cantidad de lados, puntas, …)

Procesos Percepción Representación Comparación

X X X

44

Tabla 7. Hipótesis de investigación: Meta2.

2. Desarrollo por fortalecer de 1 a 3 años de edad


Organice en grupos objetos teniendo en cuenta las características de éstos, estableciendo semejanzas o diferencias entre ellos, y posteriormente clasifique objetos creando categorías de acuerdo a las cualidades y atributos de los elementos que en éstos identifica.

Hipótesis El progreso de los niños a través de los niveles de desarrollo de la subitización está relacionado con el aumento de la cantidad de objetos de las colecciones.


X X X


1. Desarrollos por fortalecer de 3 a 5 años de edad


Plantee estrategias para contar los diversos elementos, correspondencia uno a uno, agrupación por cantidades, uso de sus dedos para llevar las cuentas, etc.

Hipótesis

Los niños manifiestan ideas básicas de cardinalidad e ideas de partes y todo, con grupos pequeños de objetos, sin usar el conteo.

La mayoría de los niños supera el nivel de subitización que se asocia al de los niños con dos años menos de edad y no supera el nivel de subitización que se asocia al de los niños con dos años más de edad.


X X X




Haga uso del conteo para resolver problemas de la vida cotidiana, como saber cuántos puntos ganó o cuántos lápices hay en el salón; lo que le permite iniciar la construcción del concepto de número.

Hipótesis

El inicio del desarrollo del sentido numérico incluye, además de la trayectoria del conteo, el desarrollo de otras trayectorias, como la subitización.

Una meta fundamental para la construcción del concepto de número es desarrollar la habilidad de los niños para subitizar números.

45


X X X




Interprete hechos y situaciones de la vida cotidiana y plantee estrategias para comprenderlas y solucionarlas haciendo uso del conocimiento matemático, lo que le posibilita el acercamiento a los procesos aditivos.

Hipótesis Los niños que subitizan perceptual y conceptualmente mejoran en tiempo, precisión y aplicación en otras trayectorias numéricas (conteo, comparación estimación y orden, adición)


X X X

3.2.1.2. Hipótesis por niveles.

Tabla 11. Hipótesis de investigación: Nivel 1.

Nivel 1: Numérico Pre-Explicito


No tiene conocimiento explicito e intencional del número. Para los niños, está primero las colecciones de un objeto rígido.

Hipótesis

1.1. Los niños manifiestan una reacción sensible como respuesta a un estímulo de cantidades de uno o dos.

1.2. Los niños manifiestan un sistema de almacenaje de información sobre la cantidad, que les permite diferenciar entre algunos y todos, dependiendo de la situación (con grupos de dos objetos).

1.3. Los niños manifiestan un estimador de tipo acumulador es decir, un mecanismo de almacenamiento análogo de información cuantitativa, que les permite comparar las cantidades de objetos de dos grupo (establecen en dónde hay más o menos al comparar grupos de 2 y 3 objetos).

Indicadores 1.1. Cuando se le muestran dos grupos de objetos de distinta cantidad (entre 1 y 2), logra "seleccionar" en dónde hay más.


X X X

46


Nivel 2: Nominador de Pequeñas Colecciones


Nombra grupos de 1 a 2 algunas veces de 3.

Hipótesis

2.1. Los niños establecen relación entre un esquema mental y un grupo de uno o dos, en algunas ocasiones de tres objetos. 2.2. Los niños hacen asociaciones entre las cantidades y las etiquetas verbal de los números (uno, dos o tres).

Indicadores 2.1. Cuando se le muestra brevemente una pareja de objetos, dice “dos”. 2.2. Cuando se le muestra brevemente una pareja de objetos, traza dos marcas. 2.3. Cuando se le muestra brevemente una pareja de objetos, hace dos movimientos (saltos)


X X X


Nivel 3: Constructor de Pequeñas Colecciones


Construye una colección pequeña no verbalmente (no más que 4, frecuentemente 1-3). Con el mismo número de otra colección (siguiendo modelo mental, es decir, no necesariamente por emparamiento)

Hipótesis

3.1. Los niños mantienen la representación mental de la cantidad de objetos de un grupo (2 o 3) durante cortos periodos de tiempo.

3.2. Los niños hacen corresponder la acción física sobre los objetos con la representación mental de la cantidad de objetos de un grupo (2 o 3)

Indicadores

3.1. Cuando se le muestra brevemente un trio de objetos, traza tres marcas. 3.2. Cuando se le muestra brevemente un trio de objetos, hace tres movimientos (saltos)

3. 3. Cuando se le muestra brevemente un trio de objetos, dice “tres”.

3. 4. Cuando se le muestra brevemente un trio de objetos, construye un grupo de “tres”.


X X X

47


Nivel 4: Subitizador Perceptual hasta 4


Reconoce instantáneamente colecciones hasta 4, mostradas por un tiempo breve, y verbaliza los números de los ítems.

Hipótesis

4.1. Los niños nominan la cantidad de objetos o sonidos (de 0 a 4) usando sus esquemas mentales sobre entradas perceptuales. 4.2. Algunos niños pueden usar esquemas mentales de 1 a 3 y combinarlos para reconocer el 4.

4.3. Algunos niños no relacionan el conteo de una colección de cinco o más objetos con la subitización de esos objetos en un arreglo.

4.4. Algunos niños logran captar la cantidad de un grupo de objetos colocados en fila (4), pero no pueden captar la cantidad de esa misma de cantidad de objetos colocados en ciertos arreglos denominados "domino".

4.5. La edad de los niños en un nivel no siempre se corresponde con la edad asociada para ese nivel por las THAS.

Indicadores

4.1. Cuando se le muestran brevemente cuatro objetos, dice “cuatro”. 4.2. Cuando se le muestran brevemente cuatro objetos, traza cuatro marcas. 4.3. Cuando se le muestran brevemente cuatro objetos, hace cuatro movimientos (saltos). 4.4. Cuando se le muestra brevemente cuatro objetos, construye un grupo de cuatro.


X X X


Nivel 5: Subitizador Perceptual hasta 5


Reconoce instantáneamente colecciones hasta 5, mostradas por un tiempo breve, y verbaliza los números de los ítems.

Hipótesis

5.1. Los niños nominan la cantidad de objetos o sonidos (de 0 a 5) usando sus esquemas mentales sobre entradas perceptuales.

5.2. Algunos niños usan el conteo como un procedimiento para validar la respuesta sobre la cantidad de objetos subitizados.

5.2. Algunos niños pueden usar esquemas mentales de 1 a 3 y combinarlos para reconocer el 5.

48

Indicadores

5.1. Cuando se le muestra brevemente cinco objetos, dice “cinco”. 5.2. Cuando se le muestran brevemente cinco objetos, traza cinco marcas. 5.3. Cuando se le muestran brevemente cinco objetos, hace cinco movimientos (saltos). 5.4. Cuando se le muestra brevemente cinco objetos, construye un grupo de cinco.


X X X


Nivel 6: Subitizador Conceptual hasta 5


Verbalizan nombres para todos los arreglos de 5, cuando son mostrados por un tiempo breve.

Hipótesis

6.1. Los niños usan un proceso ejecutivo para determinar cuándo un esquema existente puede cuantificar la entrada perceptual de grupos hasta 5 objetos. 6.2. Los niños usan los principios visuales de la Gestalt para partir el grupo de 5 objetos en dos o más grupos que se pueden cuantificar usando esquemas mentales. Los resultados se combinan con la coincidencia de patrones de composiciones conocidas.

Indicadores 6.1. Cuando se le muestran brevemente diferentes arreglos de cinco objetos, parte el grupo en subgrupos, cuantifica los subgrupos y los compone, luego dice “cinco”.


X X X




Verbalizan nombres para todos los arreglos de 6 a 10, usando grupos.

Hipótesis

7.1. Los niños usan un proceso ejecutivo para determinar cuándo un esquema existente puede cuantificar la entrada perceptual de grupos hasta 10 objetos. 7.2. Los niños usan los principios visuales de la Gestalt para partir el grupo de 10 objetos en dos o más grupos que se pueden cuantificar usando esquemas existentes. Los resultados se combinan con la coincidencia de patrones de composiciones conocidas.

49

Indicadores 7.1. Cuando se le muestran brevemente diferentes arreglos de seis a diez objetos, parte el grupo en subgrupos, cuantifica los subgrupos y los compone, luego expresa la cantidad.


X X X




Verbalizan nombres estructurando arreglos hasta 20, mostradas por un tiempo breve, y usando grupos.

Hipótesis

8.1. Los niños usan un proceso ejecutivo para determinar cuándo un esquema existente puede cuantificar la entrada perceptual de grupos hasta 20 objetos. 8.2. Los niños usan los principios visuales de la Gestalt para partir el grupo de 20 objetos en dos o más grupos que se pueden cuantificar usando esquemas existentes. Los resultados se combinan con la coincidencia de patrones de composiciones conocidas. 8.3. Los niños reconocen los números entre 10 y 20 usando el conocimiento explícito de ellos como diez y otro número.

Indicadores 8.1. Cuando se le muestran brevemente diferentes arreglos de diez a veinte objetos, parte el grupo en subgrupos, cuantifica los subgrupos y los compone, luego expresa la cantidad.


X X X


Nivel 9: Subitizador Conceptual con Conteo de Saltos, y Valor Posicional


Cuentan verbalmente nombres de arreglos estructurados mostrados por corto tiempo, usando grupos contando por saltos, y con valor posicional.

Hipótesis

9.1. Los niños cuentan por saltos para determinar la cantidad de objetos de un grupo. 9.2. Los niños reconocen cantidades de objetos usando el conocimiento explícito del valor posicional.

50

Indicadores 9.1. Cuando se le muestran brevemente diferentes arreglos de objetos, parte el grupo en subgrupos en grupos de 10, cuantifica los subgrupos y los compone, luego expresa la cantidad.


X X X


Nivel 10: Subitizador Conceptual con Valor Posicional y Multiplicación


Verbalizan nombres de arreglos estructurados mostrados por corto tiempo, usando grupos, multiplicación, y con valor posicional.

Hipótesis

10.1. Los niños reconocen cantidades de objetos contando por grupos de la misma cantidad de objetos.

10.2. Los niños reconocen cantidades de objetos usando el conocimiento de multiplicación.

Indicadores 10.1. Cuando se le muestran brevemente diferentes arreglos de objetos, parte el grupo en subgrupos de la misma cantidad, cuantifica los subgrupos y los compone, luego expresa la cantidad.


X X X

3.2.1.3. Hipótesis por actividades.

Tabla 21. Hipótesis de investigación: Actividades.

Actividades

Hipótesis

1. Una misma actividad (material y medio) prototipo puede generar diferentes tipos de tareas para diferentes niveles relacionados con la cantidad de objetos que se presentan.

2. El desempeño de los niños en las actividades permite inferir el nivel en que se encuentran.


51

X X X

3.2.2. Descripción de las actividades.

El trabajo de selección de actividades se inició con un pilotaje, en el que participaron los

niños asistentes, de un día normal de clases, se presentaron diferentes alternativas de tareas de

subitización, con el fin de elegir entre ellas cuáles eran las más adecuadas para esta población. Se

llevaron tareas y materiales similares a las propuestas en el referente conceptual de Clements &

Sarama (2004), para niños de cero a cinco años de edad. Algunos de ellos fueron las tarjetas de

números, las torres de armar, las fichas plásticas, la caja china, el tambor, las tarjetas de puntos y

las fotos instantáneas de puntos registrados en power point, usando el computador.

Finalmente se seleccionaron tres actividades, y para cada una de ellas se le asignaron tareas

que tenían que ver con el grado de complejidad, teniendo en cuenta las edades de los niños y las

que permitieran a la profesora investigadora, crear un ambiente tranquilo, sin distractores que

posibilitara la percepción, nominación y representación de la cardinalidad de pequeñas

colecciones. Además, las tareas que requerían instrumentos (materiales) que por su versatilidad y

facilidad de uso, permitían la observación de las acciones de los niños y su sistematización, por

ejemplo la tarea de visualizar cantidades de puntos en el computador, se omitió, ya que generaba

distractores que no fueron fáciles de superar en términos de concentración de los niños.

Para la ejecución del experimento, se presentan tres tipos de actividades generales de

subitización de acuerdo a los instrumentos utilizados (dedos, fichas de puntos y sonidos percutidos

en la caja china6): 1) Actividad de subitización de cantidades, a través de la percepción de la

cantidad de dedos levantados en la mano de la profesora investigadora. 2) Actividad de subitización

de cantidades, a través de la percepción de la cantidad de puntos negros puestos sobre una tarjeta

blanca. 3) Actividad de subitización de cantidades, a través de la percepción de la cantidad de

sonidos que se escuchan al golpear una caja china.

6 Caja china: Es un instrumento musical de percusión, construido de madera, que tiene en uno de los lados una

ranura que actúa como caja de resonancia. Se toca golpeando su costado con una baqueta, no puede hacer notas musicales y su sonido es indeterminado (siempre que se golpea produce el mismo tipo de sonido).

52

En el diseño de las tres actividades, se tuvo en cuenta para cada sesión 1) la interacción con

los instrumentos, de acuerdo a la instrucción básica, 2) la cantidad de objetos subitizada y 3) la

disposición espacial de los objetos del grupo (arreglos).

Los procesos que se observaron durante el desarrollo de las tareas pertenecientes a cada

actividad, hacen referencia a las acciones que se esperaban al realizar las tareas: El primer proceso

necesario y básico si estamos hablando de subitización fue la percepción, sin ella no hay

subitización, por esa razón no fue necesario que apareciera como un criterio en la rejilla de

observación. El segundo es la representación verbal (nominación) que para este trabajo, consiste

en utilizar las palabras-número para nombrar la cantidad de objetos que percibió. El tercero es la

unión entre representación7 gráfica (produce marcas o rayas en una hoja) y representación motriz

(produce saltos) de la cantidad de objetos que subitizó. Un cuarto proceso es la comparación, para

eso los niños debían encontrar o armar grupos de objetos con la misma cantidad de objetos de los

grupos que había subitizado, estableciendo semejanzas y diferencias.

Los tres procesos de nominación (representación verbal), representación gráfica y motriz, y

comparación se asumieron como criterios para la caracterización de las acciones de los niños

cuando desarrollaban las actividades y tareas diseñadas. Las sesiones de interacción con los niños

se grabaron en videos, la transcripción y lectura de las respuestas verbales de los niños y sus gestos

permitieron diligenciar las rejillas de registro para cada niño y para cada sesión.

Las actividades presentadas para la THAS de subitización, se tendrán en cuenta para la

elaboración de una propuesta de trabajo que haga parte del plan de estudios de las API y permitan

promover el avance en los niveles de subitización y pensamiento de los niños.

7 “una representación jamás puede ser considerada y analizada sin hacer referencia al sistema a través del cual

fue producida. Las especificidades del sistema (físico, orgánico o semiótico) que permitieron la producción de una representación, son las que determinan la relación entre el contenido y el objeto representado. El contenido de las representaciones de un mismo objeto cambia en función del sistema por el cual fueron producidas” (Duval, 2001, pp 18-19).

53

3.2.2.1. Actividad 1: Subitización de cantidades, a través de la percepción de la cantidad

de dedos levantados en la mano de la profesora investigadora.

Actividades Acciones Nivel

1 Nivel

2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5

Dedos

Nomina

Produce marcas

3.2.2.2. Actividad 2: Subitización de cantidades, a través de la percepción de la cantidad

de puntos negros puestos sobre una tarjeta blanca.


1 Nivel


Puntos

Nomina

Produce marcas

Compara

3.2.2.3. Actividad 3: Subitización de cantidades, a través de la percepción de los sonidos

que se escuchan al golpear una caja china.


1 Nivel


54

Caja China

Nomina

Produce saltos

3.3. Población

Para desarrollar el trabajo de profundización en la Trayectoria de Subitización se seleccionó

una de las 835 Aulas de Primera Infancia que se han abierto en Bogotá, ubicada en el Colegio

Tomás Carrasquilla IED, en la localidad 12 de Barrios Unidos. El colegio cuenta actualmente con

tres API, dos para los grupos de Jardín y una para el aula de Pre Jardín. La selección de la institución

y del aula se hizo teniendo en cuenta la facilidad que ofrecía la colaboración de las directivas y las

profesoras del colegio.

Las API, en la SED, han sido dotadas desde el año 2013, con materiales seguros y de calidad,

cuentan con puestos de trabajo para cada niño, maleteros, mesa de cátedra, canecas, carteleras,

tableros móviles, muebles y accesorios para artes y motricidad y estantes para bibliotecas infantiles.

Este tipo de proyectos en la SED, busca garantizar los derechos de protección, nutrición, salud y

educación inicial los niños. (SED, 2010)

El grupo elegido para desarrollar el trabajo en el colegio, fue el grado Pre Jardín, tener tres

años de edad antes de iniciar marzo de 2015, fue el único requisito para el ingreso al sistema de

matrícula en este año. En el colegio los niños permanecen ocho horas, inician su jornada a las siete

de la mañana y la finalizan a las tres de la tarde, la mayoría de sus familias pertenecen a estratos

socioeconómicos tres (medio bajo), según lo reportado en el Boletín No. 31 Población, viviendas

y hogares a junio 30 de 2011, en relación con la estratificación socioeconómica vigente en el 2011.

Inicialmente se realizó un acercamiento a la población, a través de un pilotaje sobre el tema

de subitización, en el que participaron 20 de los 30 niños matriculados en el aula de Pre Jardín.

Luego de esa experiencia inicial se procedió a seleccionar a seis niños, cuatro niñas y dos niños,

que manifestaran diferencias en sus características comunicativas y motrices. Un requisito que se

tuvo en cuenta para la selección fue, que asistieran regularmente al colegio, dado que en estos

55

grados es bastante alto el promedio de inasistencia. La docente titular del grupo ayudó en la

elección de los niños de acuerdo a sus características en los procesos comunicativos y motrices. Se

comunicó a los padres y se solicitó a ellos la firma de un consentimiento acordado para realizar las

observaciones. Con el paso del tiempo únicamente se siguió el registro de cuatro de ellos, ya que

los otros dos niños presentaron repetidas inasistencias y no vimos conveniente iniciar con otros

niños el proceso.

Los niños y la profesora investigadora serán identificados durante el proceso como:

A: Alejandra nacida en Febrero de 2012, edad 3años y 5 meses.

B: Gabriela, nacida en Enero de 2012, edad 3 años y 6 meses.

C: Camila, nacida en Diciembre de 2011, edad 3 años y 7 meses.

D: Sara, nacida en Enero de 2012, edad 3 años y 6 meses.

N: Nelssy Jiménez Díaz, Profesora investigadora.

3.4. Recolección de la información y de datos

Las sesiones de trabajo con los niños del aula de primera infancia de Pre jardín respondieron

a los tiempos en los que ellos se ocupan para hacer juegos libres después del almuerzo, este fue el

tiempo asignado por la profesora titular y con el que yo contaba como profesora investigadora.

El tiempo aproximado por sesión fue de 20 minutos por día, durante esos minutos en la

mayoría de los casos se realizaron las grabaciones, que luego fueron seleccionadas para conformas

los datos del trabajo.

El lugar de trabajo siempre fue el salón de clase de los niños y algunas de las sesiones se

realizaron de forma individual, para obtener datos más veraces respecto a los niveles de los niños.

Al finalizar las sesiones se hizo el registro en la rejilla la información, pero solamente hasta

el final se decidió tomar de la información, los datos relevantes para el trabajo de profundización

sobre la trayectoria de subitización y sobre ellos se realizaron las transcripciones para su análisis

posterior siguiendo los planteamientos de Goldin (2000, p. 519), citado por Rojas (2014, p. 79):

“Normalmente se prevé la observación y registro de lo que sucede durante la entrevista para su

posterior análisis: a través de grabaciones de audio y/o video, notas de los observadores, y trabajo

del sujeto”

56

4. Análisis de datos

El análisis de los datos corresponde a la identificación de las trayectorias reales de

aprendizaje de los niños, para lo cual fue importante relacionarlas con los aspectos descritos por

Clements & Sarama (2004). Un niño está en cierto nivel cuando la mayoría de sus comportamientos

reflejan el pensamiento y las acciones de dicho nivel, sin embargo pueden presentar características

de los niveles posteriores o anteriores. No se puede olvidar que los niños están aprendiendo

continuamente dentro de los niveles y se mueven entre ellos. Para el análisis de la trayectoria real

en el presente trabajo se tiene en cuenta que las trayectorias tienen que ver, no sólo con la respuesta

a una pregunta sobre la cantidad, sino con los niveles de pensamiento de los niños

4.1. Configuración de los datos Luego de recogida la información usando las entrevistas de los niños, se pasa a la

determinación de los datos, ellos son recogidos a través del instrumento denominado rejilla y luego

a la descomposición de la información observando las entrevistas grabadas y la selección de las

viñetas para utilizarlas en los análisis posteriores. Se usa la viñeta como instrumento para organizar

la configuración de los datos. Según Gavilán, García, & Llinares (2007), la viñeta es

un informe sobre aspectos de la práctica del profesor que integra información de diferentes fuentes, trascripciones de las sesiones de clase, los informes elaborados en el análisis descriptivo, la unidad didáctica, y la descripción e interpretación de lo que sucede en los segmentos de enseñanza. En las viñetas además se integran inferencias realizadas por los investigadores para mostrar qué interpretaciones se han realizado y su vinculación con la evidencia empírica (p. 161).

Los segmentos de transcripción de las entrevistas se presentan en cinco columnas, la primera

se refiere al nivel de la actividad propuesta, la segunda corresponde al logro identificado con el

número uno en caso positivo o cero en el caso en el que la niña no logre realizar la tarea propuesta,

la tercera columna se refiere al número del video grabado, la cuarta es el número del minuto que

capta la respuesta a la tarea y la quinta columna contiene la transcripción de la conversación entre

la niña y la profesora investigadora. El modelo seguido para la transcripción fue el propuesto por

Jefferson que aparece en el anexo.

4.2. Trayectorias Reales de Aprendizaje de Subitización

57

4.3.1. Sara.

4.3.1.1. Rejilla de niveles de la TRAS.

Tabla 20 Rejilla del desarrollo por niveles de Sara.

Actividades Acciones Nive

l 1 Nivel


Puntos

Nomina 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0

Produce marcas 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0

Compara 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0


l 1 Nivel


Dedos

Nomina 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

Produce marcas 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0


l 1 Nivel


Caja China

Nomina 1 1 1 1 0

Produce saltos 1 1 0 1 1

Para caracterizar la TRAS de Sara, estudiante de un API de un colegio distrital de la ciudad

de Bogotá, se establece la relación entre las hipótesis de nivel (Ver sección 3.2.1.2.) y las acciones

58

que se han sintetizado en la tabla 20, las cuales corresponden a aquellas acciones que Sara

manifiesta con mayor frecuencia cuando se enfrenta a actividades de subitización.

En relación con las hipótesis planteadas para el nivel 1, Sara manifiesta una reacción

sensible como respuesta a estímulos visuales y auditivos (puntos, dedos o sonidos) de cantidades

de uno o dos, en todas las ocasiones y con diferentes materiales. Ella manifiesta un sistema de

almacenaje de información sobre la cantidad, que les permite diferenciar entre algunos y todos.

Además, manifiesta, de manera permanente en todas las actividades en las que se requirió, un

mecanismo de almacenamiento análogo de información cuantitativa, que le permite comparar las

cantidades de objetos de dos grupos (dedos con rayas, sonidos con saltos, puntos con rayas).

Con respecto a las hipótesis de nivel 2, Sara manifiesta que puede relacionar un esquema

mental con la cantidad de objetos presentes en grupos de uno, dos y tres objetos. Ella conoce las

palabras-número, su orden y las usa para establecer las cantidades de objetos presentes en grupos

de uno, dos o tres.

Sobre las hipótesis de nivel 3, Sara mantiene la representación mental de la cantidad de

objetos de un grupo (2 o 3 puntos, dedos o sonidos) durante cortos periodos de tiempo, en algunas

ocasiones hasta 5 segundos. La mayoría de las veces, ella hace corresponder acciones físicas, como

saltar y rayar, con la representación mental de la cantidad de objetos de un grupo (2 o 3 sonidos o

dedos)

En relación con las hipótesis de nivel 4, Sara, la mayoría de las veces nomina la cantidad

de objetos o sonidos (de 0 a 4) usando sus esquemas mentales sobre entradas perceptuales visuales

o auditivas. Ella usa, para reconocer el cuatro, la combinación de esquemas mentales de 2 a 2, en

algunas actividades de puntos sobre tarjetas. Además, ella relaciona el conteo hasta cinco con la

subitización de esos objetos en un arreglo. Sara logra captar la cantidad de un grupo de objetos

colocados en fila (4 y 5 puntos o dedos en una sola mano), pero, con frecuencia, no puede captar

algunas combinaciones de 3 y 2 o 2 y 2. Con tres años y seis meses, Sara manifiesta en su TRAS

las características propuestas en las THAS para nivel 4.

Aunque Sara usa el conteo como un procedimiento para validar la respuesta sobre la

cantidad de objetos subitizados, de manera frecuente no puede combinar esquemas mentales de 1

a 3 para reconocer el 5. De forma similar, no manifiesta el uso de un proceso ejecutivo para escoger

cuándo subitizar perceptualmente y cuándo subitizar conceptualmente.

59

4.3.1.2. Análisis de la entrevista.

4.3.1.2.1. Actividades de subitización con tarjetas de puntos.

Nominar (subitización con tarjetas de puntos).

Nivel Video min:seg Voces de las niñas

1 1 6 2:27 N. ((Muestra una tarjeta con un punto))

D. ((muestra su mano con un dedo levantado))

2 1 6 1:50

N. Y mira esta ((muestra una tarjeta con dos puntos en

diagonal))

D. Dos ((Levanta dos dedos de su mano derecha))

3

1 6 1:19

N. Ahora voy a ponerte unos con las tarjeticas, atención

((muestra una tarjeta con tres puntos))

D. Tres

1 6 1:42

N. ¿Y esta? ((muestra una tarjeta con tres puntos en arreglo de

triángulo))

D. ((Muestra la mano con tres dedos levantados))

4

1 6 1:59

N. Y mira esta ((muestra una tarjeta con cuatro puntos en

línea))

D. ((Muestra la mano con tres dedos levantados))

N. Mírala ((le vuelve a mostrar la tarjeta))

D. ((Levanta un dedo más para completar los cuatro))

1 6 1:29

N. ¿Lista? ((muestra una tarjeta con cuatro puntos en arreglo

dominó))

D. Cinco

5 1 6 2:21 N. Mira esta ((muestra una tarjeta con cinco puntos en línea))

D. (muestra la mano con los cinco dedos levantados))

60


0 6 2:34

N. Mira esta ((muestra una tarjeta con cinco puntos en

pirámide))

D. ((muestra su mano con cinco dedos levantados))

N. ¿Cómo sabes que hay? ¿Cuántos hay? ¿Quieres contarlos?

D. ((mueve la cabeza en señal de afirmación))

N. Cuéntalos

D. Uno, dos, tres ((señala cada uno de los tres puntos

alineados en la parte inferior) cuatro, uno y dos ((va señalando

los dos puntos de la fila superior))

0 5 1:33

N. ¿y esta? ((Muestra una tarjeta con cinco puntos en arreglo

de dominó))

D. Tres

0 5 3:58

N. Quiero mostrarte esta otra vez ((Muestra una tarjeta con

cinco puntos en arreglo de dominó))

D. ((levanta cinco dedos))

N. ¿Cómo sabes que ahí hay? ¿Cuántas?

D. ((levanta cinco dedos))

N. Cuéntalas

D. Uno, dos, tres, cuatro, cinco ((va tocando los puntos con un

dedo a medida que pronuncia las palabras-número

correspondientes)) ((Muestra la mano con los cinco dedos

levantados))

6-10 0 7 0:29

N. ¿Cuántas habrá aquí? ((Muestra una tarjeta con diez puntos

distribuidos en dos filas de cinco cada una))

D. ((Muestra la mano con los cinco dedos extendidos))

N. ¿Cuántas serán? Mira estas ((Muestra una tarjeta con ocho

puntos distribuidos en una fila de cinco y otra de tres))


N. ¿Cuántas son muchas? ¿Cuál es el número más grande que

conoces?


61

Sara percibe tres puntos en la tarjeta de cuatro puntos en

línea, sin embargo su TRAS le permite ajustar su percepción.

En las ilustraciones se observa como ajusta su respuesta en

un corto tiempo. (Video 6 Tiempo 1:59)

Sara es capaz de percibir cinco puntos en línea y su TRAS le permite expresar

esa cantidad usando los cinco dedos de su mano, lo cual evidencia

características de un nivel cinco en su trayectoria de subitización.

En la ilustración se observa como usa su mano para representar la misma

cantidad subitizada de puntos. (Video 6 Tiempo 2:21)

Sara también es capaz de subitizar arreglos de cinco puntos.

Sara ha desarrollado sus trayectorias de subitización y conteo de tal manera

que parece que puede seleccionar entre las dos, para determinar la cantidad de

elementos presentes en un arreglo de dominó.

En la ilustración se observa como Sara usa sus dedos para contar los cinco

puntos en un arreglo de dominó después de haberlo subitizado (Video 6

Tiempo 3:58)

62

Es posible que el número que representa con sus dedos sea la cantidad más

grande que puede subitizar, es decir aquel que indica la cantidad

correspondiente a su TRAS.

En la ilustración se observa la mano de Sara representando la cantidad más

grande que dice conocer (Video 7 Tiempo 0:59)

Producir marcas (subitización con tarjetas de puntos).

Nivel Video Min:seg Voces de las niñas

Nivel 2 1 6 7 2:43

N. Ahora esta ((Levanta una tarjeta con dos puntos)).

D. ((Traza dos rayas verticales sobre la hoja)) Uno, dos

Nivel 3

1 7 1:03

N. Si te muestro estos ¿cuántos palitos vas a dibujar?

((Levanta una tarjeta con tres puntos))

D. Tres ((Dibuja tres rayas))

1 7 2:24

N. ¿y esta? ((Levanta una tarjeta con tres puntos en

triángulo))

D. ((Levanta tres dedos, luego traza tres rayas))

N. ¿Cuántas?

D. Una, dos, tres((cuenta con correspondencia las rayas que

trazó))

Nivel 4

1 7 2:50

N. Ahora esta. ((Levanta una tarjeta con cuatro puntos en

línea))

D. ((Dibuja cuatro rayas))

N. ¿Cuántas?

D. Uno, dos, tres, cuatro ((Cuenta las rayas que trazó))

0 7

1:39

N. Mira ((Levanta una tarjeta con cuatro puntos en arreglo

de dominó))

D. ((Dibuja cinco rayas))

N. ¿Cuántas?

63

D. Una, dos, tres, cuatro, cinco ((señala con el dedo cada

una de las rayas que trazó))

Nivel 5

1 7 3:37

N. Ahora estas, mira estas ¿cuántas hay? ((Levanta una

tarjeta con cinco puntos en línea))

D. ((Traza cinco rayas))

N. ¿Cuántas hay?

D. Uno, dos, tres, cuatro, cinco ((señala con el dedo las

rayas que trazó mientras las cuenta))

0 7 4:26

N. Estas ¿cuánta son? ¿Lista? ((Muestra una tarjeta con

cinco puntos en arreglo de dominó))

D. ((levanta su mano para indicar cuatro y traza cuatro

líneas)) Una, dos, tres, cuatro ((cuenta las rayas que trazó))

Sara, además de subitizar tres puntos en un arreglo de

triángulo, es capaz de representarlos con los dedos de su

mano y luego contarlos para validar su respuesta.

En las ilustraciones se observa como usa sus dedos para

expresar la cantidad de tres que subitizó y luego la forma

como cuenta las tres rayas que trazó como una forma de

responder a la pregunta ¿Cuántos hay? (Video 7 Tiempo

2:24)

64

Sara es capaz de subitizar una cantidad de cuatro puntos en línea mostrados

por un tiempo corto (menos de 1 segundo), además cuando se le solicita que

los represente, traza con exactitud la misma cantidad. El desarrollo de su

TRAS va acompañada de su desarrollo del conteo, lo cual le permite validar

sus respuestas.

En la ilustración se ve la mano de Sara contando con el dedo corazón de su

mano derecha, las cuatro rayas que acababa de trazar con esa mano (Video 7

Tiempo 2:50)

Sara en esta ocasión no alcanza a subitizar cuatro en un arreglo de dominó,

es posible que perciba el arreglo de dominó de cinco puntos y por esa razón

diga cinco en lugar de cuatro.

En la ilustración se observa la tarjeta con los cuatro puntos que se le mostró

a Sara durante menos de un segundo (Video 7 Tiempo 1:39)

Cuando se le presenta una tarjeta con cinco puntos en arreglo de dominó,

Sara no demuestra la misma seguridad que con las cantidades anteriores,

levanta su mano y duda en mostrar cuatro o cinco dedos. El desarrollo de

su TRAS de subitización no le permite en todos los caso percibir este tipo

de arreglos, lo cual parece indicar que con una edad de tres años y seis

meses está afianzando el nivel cinco de subitización.

En la ilustración se muestra la mano de Sara en la que se observa que no

logra estar segura sobre su respuesta (Video 7 Tiempo 4:26)

65

4.3.1.2.2. Actividades de subitización con dedos.

Nominar (subitización con dedos).

Nivel Video Min:seg Las voces de las niñas

1 1 6 0:17 N. ((Muestra la mano con un dedo levantado))

D. Uno

2 1 6 0:11

N. Me vas a mirar los deditos y me cuentas ¿cuántos deditos ves? Listo

((Muestra la mano con dos dedos levantados y los otros tres dedos

doblados)

D. Dos

3 1 6 0:13 N. ((Muestra la mano tres dedos levantados))

D. Tres

4

1 6 0:17 N. ((Muestra la mano cuatro dedos levantados ))

D. Cuatro

0 6 0:44

N. ((Muestra la mano izquierda dos dedos levantados y la mano

derecha con dos dedos levantado))

D. Dos y dos

5

1 6 0:15 N. ((Muestra la mano los cinco dedos levantados))

D. Cuatro, cinco

1 6 0:57

N. Y este ((Muestra la mano izquierda cuatro dedos levantados y en la

derecha un dedo))

D. Cuatro

0 6 0:32

N. ((Muestra la mano izquierda tres dedos levantados y la mano

derecha con dos dedos levantados))

D. Tres

66

El desarrollo de la TRAS de Sara le permite nominar la cantidad de

dedos de una mano, cuando se levantan todos los cinco. Es posible que

por el poco tiempo que se da para que los perciba (menos de un

segundo), no alcance a fijarse en el pulgar, sin embargo ella de forma

rápida ajusta su respuesta.

En la ilustración se observa la mano abierta con los dedos que percibió

Sara durante menos de un segundo (Video 6 Tiempo 0:15)

Cuando se le muestran algunos dedos de las dos manos, para que

Sara perciba la cantidad total (2 y 2, 3 y 2, 4 y 1, 4 y 2, o, 4 y 3) Sara

no compone las dos cantidades en una sola, en su lugar, dice “dos y

dos” o “tres y dos”. Lo anterior muestra que la TRAS de Sara no

alcanza el nivel seis, es decir, aún no logra hacer subitización

conceptual de forma permanente.

En la ilustración se observan las dos manos con la cantidad de dedos

que se le solicitó a Sara que subitizara (Video 6 Tiempo 0:44).

4.3.1.2.3. Actividades de subitización con caja china.

Nominar (subitización con caja china).

67


1 1 6 4:31 N. Aquí ((golpea la caja china una vez))

D. Uno

2 1 6 4:28

N. Cuando yo te haga así ((golpea la caja china, dos veces)).

¿Me dices cuantos golpecitos escuchaste?

D. Dos

3 1 6 4:36 N. ¿A ver si estas? ((golpea la caja china tres veces))

D. Tres

4 0 6 4:52 N. Ahora ((golpea la caja cuatro veces))

D. Cinco ((levanta su mano mostrando cinco dedos))

5 0 6 5:03 N. Ahora oye este((golpea la caja cinco veces))

D. Cuatro

La TRAS de Sara en la percepción auditiva alcanza a subitizar hasta

tres sonidos, cuando suenan cuatro sonidos producidos por la caja

china (la cual no es visible para Sara), ella dice cinco y levanta su mano

para mostrar los cinco dedos. El desarrollo de la TRAS no alcanza a

subitizar la misma cantidad de elementos que se perciben a través de

los diferentes canales de ingreso de información, mientras que

visualmente Sara ya subitiza una cantidad de cuatro puntos con

rapidez, en la parte auditiva no lo alcanza. La cantidad de cinco golpes

tampoco la alcanza a subitizar, lo cual parece evidenciar que las

experiencias auditivas de subitización no han sido tan “ricas” como las

visuales.

En la ilustración se observan la mano de Sara para representar los

cuatro sonidos, ella levantó sus cinco dedos aun cuando en la fotografía

el dedo pulgar queda oculto (Video 6 Tiempo 4:52)

68

Producir marcas (subitización con caja china).


1 1 7 4:49 N. Si sueno esto ((golpea la caja china, una vez)). ¿Cuántas veces saltas?

D. ((Salta una vez))

2 1 7 5:02 N. Lista. ((golpea la caja china, dos vez))

D. ((Salta dos veces))

3 1 7 5:04

N. ((golpea la caja china, tres veces))

D. ((Salta dos veces))

N. Otra vez esta ((golpea la caja china, tres veces))

D.((Salta dos veces))

4 1 7

5:20

N. ((golpea la caja china, cuatro veces))

D.((Salta cuatro veces))

5 0 7 5:24 N. Ahora esta, oye esta ((golpea la caja china, cinco veces))

D. ((Salta cinco veces))

Sara saltó cuatro y cinco veces para expresar la cantidad de sonidos que

percibió (cuatro y cinco), sin embargo saltó solamente dos veces cuando la

caja emitió tres sonidos. Aunque se le solicitó que lo volviera a hacer (haber

otras vez esta), Sara saltó dos veces en lugar de tres. Es muy probable que los

factores del contexto (atención, cansancio, …etc.) le disminuyan su atención

69

4.3.2. Camila.


Tabla 22 Rejilla del desarrollo por niveles de Camila


l 1 Nivel


Puntos

Nomina 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

Produce marcas 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

Compara 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0


l 1 Nivel


Dedos

Nomina 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0

Produce marcas 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0


l 1 Nivel


Caja China

Nomina 1 1 1 0 0


Para caracterizar la TRAS de Camila, estudiante de un API de un colegio distrital de la

ciudad de Bogotá, se establece la relación entre las hipótesis de nivel (Ver sección 3.2.1.2.) y las

70

acciones que se han sintetizado en la tabla 22, las cuales corresponden a aquellas acciones que

Camila manifiesta con mayor frecuencia cuando se enfrenta a actividades de subitización.

En relación con las hipótesis planteadas para el nivel 1, en la sección 3.2.1.2. del presente

escrito, Camila es, de manera similar a su compañera Sara, sensible a estímulos visuales y auditivos

(puntos, dedos o sonidos) de cantidades de uno o dos. Ella manifiesta un sistema de almacenaje de

información sobre la cantidad, que le permite diferenciar entre algunos y todos. Además, manifestó,

en todas las actividades en las que se requirió, un mecanismo de almacenamiento análogo de

información cuantitativa, que le permite comparar las cantidades de objetos de dos grupos (dedos

con rayas, sonidos con saltos, puntos con rayas).

Con respecto a las hipótesis de nivel 2, Camila, al igual que Sara, manifiesta que puede

relacionar su esquema mental con la cantidad de objetos presentes en grupos de uno, dos y tres

objetos. Ella conoce las palabras-número hasta cuatro en orden y las usa para contar las cantidades

de objetos presentes en grupos de uno, dos o tres.

Sobre las hipótesis de nivel 3, Camila conserva, al igual que Sara, la representación mental

de la cantidad de objetos de un grupo (2 o 3 puntos, dedos o sonidos) durante cortos periodos de

tiempo. La mayoría de las veces, ella hace corresponder acciones físicas, como saltar dos veces y

trazar dos rayar, con la representación mental de la cantidad de objetos de un grupo.

En relación con las hipótesis de nivel 4, Camila, algunas veces nomina la cantidad de

objetos o sonidos (de 1 a 4) usando sus esquemas mentales sobre percepciones visuales o auditivas.

Ella para reconocer el cuatro, en general no usa, la combinación de esquemas mentales de 2 y 2 o

de 3 y 1. Además, ella no relaciona el conteo hasta cinco con la subitización de esos objetos en un

arreglo. Camila, en algunas ocasiones logra captar la cantidad de un grupo de objetos colocados en

fila (4 puntos o dedos en una sola mano), pero no puede captar las combinaciones de 3 y 2 o 2 y 2.

Con tres años y siete meses, Camila manifiesta en su TRAS las características propuestas en las

THAS para nivel 3.




71


1 1 9 0:31 N. Muy bien, y ahora ((Muestra una tarjeta con un punto))

C. Uno

2 1 9 0:26 N. Tres ¿y ahora? ((muestra una tarjeta con dos puntos))

C. Dos

3

1 9 0:23

N. ¿Te acuerdas cómo es el juego de las fichas?

C. Si

N. ¿El que yo te muestro y tú dices cuántas hay? Te voy a mostrar ((Muestra

una tarjeta con tres puntos en línea diagonal)) ¿Cuántas hay?

C. Tres

1 9 1:21 N. Mira esta ((Muestra una tarjeta con tres puntos en línea vertical))

C. Tres

0 9 1:30 N. Mira esta ((Muestra una tarjeta con tres puntos en línea diagonal))

C. Cuatro

0 9 0:55

N. Y ¿ahora? ((muestra una tarjeta con tres puntos en arreglo de triángulo))

C. (0.5) ((levanta las manos y se coge la cabeza, con su mano izquierda hace

girar su cabello))

N. ¿quieres volverla a ver? (0,5) ¿Si? ((Vuelve a mostrar una tarjeta con tres

puntos en arreglo de triángulo))

C. Cinco

0 9 4:01

N. Y ¿estas? ((muestra una tarjeta con tres puntos en arreglo de triángulo))

C. Cuatro

N. Vamos a mirar ¿Cuántas hay aquí? ((le acerca la tarjeta a Camila))

C. Uno, dos, tres ((con el dedo va señalando los puntos del arreglo mientras

dice cada una de las palabras-número)

4

1 9 0:39 N. ¿Y ahora?((muestra una tarjeta con cuatro puntos en línea))

C. Cuatro

0 9 4:26

N. Ahora vamos a mirar este ((muestra una tarjeta con cuatro puntos en

línea))

C. Ehh, siete

72

La TRAS le permite a Camila subitizar la mayor cantidad de veces tres puntos en

línea, bien sea vertical o diagonal. Sin embargo, en algunas pocas ocasiones, Camila

no percibe la cantidad de tres puntos y en lugar de decir “tres”, dice “cuatro”. Esta

acciones evidencian que las TRAS de los niños son flexibles, es decir en algunas

ocasiones manifiestan características del nivel anterior o del siguiente, pero presentan

con mayor frecuencia las características del nivel en el que ellos se ubican.

En la ilustración se observa la ficha que se le presentó a Camila durante menos de un

segundo, para que subitizara la cantidad de puntos (Video 9 Tiempo 1:30)

0 9 3:14

N. Vamos a mirar esta que te voy a mostrar, mira ((Muestra una tarjeta con

cuatro puntos en arreglo tipo dominó))

C. (0,5) Dos

N. Sabes muchos números, ¿quieres contar estos?

C. Si, uno, dos, trece, catorce

5

0 9 2:38

N. Muy bien, eso es, ella sabe muchísimo, porque es muy inteligente

((Muestra una tarjeta con cinco puntos en diagonal))

C. Ehh, siete ((con su mano izquierda hace girar su cabello))

0 9 1:47 N. Mira esta ((Muestra una tarjeta con cinco puntos: tres y dos))

C. Ehh, siete

0 9 1:05 N. Mira este ((Muestra una tarjeta con cinco puntos en arreglo de dominó))

C. Siete ((con su mano izquierda hace girar su cabello))

73

Es posible que el proceso de conteo de Camila esté en un nivel que le permita

contar hasta tres, pero que su TRAS no le permita la subitización de este

arreglo de tres en triángulo. El desarrollo de la TRAS de Camila le permite

subitizar tres puntos colocados en línea, pero no alcanza a percibir la cantidad

cuando los puntos están en un arreglo de triángulo

En la ilustración se observa la mano de Camila señalando cada uno de los tres

puntos de la ficha en arreglo de triángulo (Video 9 Tiempo 4:01)

La TRAS le permite a Camila subitizar en algunas pocas ocasiones cuatro

puntos en línea horizontal. Sin embargo, en algunas pocas ocasiones, Camila

percibe la cantidad de cuatro puntos y dice “siete”.

En la ilustración se observa la tarjeta que se le presentó a Camila durante

menos de un segundo (Video 9 Tiempo 4:26)



2 1 10 0:40

N. Ahora si yo te muestro, mira ((Levanta una tarjeta con dos puntos))

C. Dos

N. Entonces ¿haces? ¿Entonces haces?

C. ((Traza dos rayas verticales sobre la hoja))

3 1 10 0:19

N. Tu vas a hacer los punticos que viste ((Levanta una tarjeta con tres

puntos)). Pero con las rayitas. Listo. Mira cuántos ves ((Levanta una tarjeta

con tres puntos))

C. Tres

74

N. Entonces ¿haces?

C. ((Dibuja tres rayas))

4

0 10 2:28 N. Ahora estas. ((Levanta una tarjeta con cuatro puntos en línea))

C. ((Dibuja cinco rayas))

0 10 0:47

N. Mira si yo te muestro estas ((Levanta una tarjeta con cuatro puntos en

arreglo de dominó)) ¿Lista?

C. Tres ((Dibuja tres rayas))

N. Te los voy a poner a contar, contemos estos. Cuéntalos

C. Uno, dos, tres, cuatro ((con el lápiz va señalando cada uno de los

puntos del arreglo de cuatro puntos en dominó a medida que va diciendo

las palabras-número))

0 10 1:49

N. Ahora te voy a mostrar otra vez estos y tu vas a dibujar los que son, listo

((Levanta una tarjeta con cuatro puntos en arreglo de dominó)) ¿Cuántos

viste?

C. Cuatro

N. Eso.

C. ((Le da la vuelta al lápiz))

N. ¿De qué color quieres?

C. ((Traza cuatro rayas))

0 10 2:02

N. Ahora vamos a mirar este, mira los que hay acá. ((Levanta una tarjeta

con cuatro puntos en arreglo de pirámide: tres y uno))

C. Siete

N. Listo, otra vez ¿los ves? ((Levanta otra vez la tarjeta con cuatro puntos

en arreglo de pirámide: tres y uno)) Listo, haber ¿cuántos vas a hacer?

C. Ummh. ((Levanta tres dedos de su mano izquierda))

N. ¿Qué ibas a hacer con tus deditos, ahí?

C. ((Vuelve y levanta tres dedos de su mano izquierda))

N. Y ¿qué más había?

C. Uhmm

75

N. ¿Te lo vuelvo a mostrar? ¿Lista? ((Levanta otra vez la tarjeta con cuatro

puntos en arreglo de pirámide: tres y uno))

C. Estos ((Muestra la mano izquierda con cuatro dedos levantados))

N. Haber. Hazlos

C. ((Traza cuatro rayas))

5 0 10 2:40 N. ¿Y estos? ((Levanta una tarjeta con cinco puntos en línea))

C. ((Dibuja cuatro rayas))

El desarrollo de la TRAS de Camila avanza de manera similar a como lo

hace su Trayectoria de conteo, ella cuenta los cuatro puntos del arreglo

dominó pero no alcanza a subitizarlos.

En la ilustración se observa el lápiz con el que Camila va siguiendo cada

uno de los cuatro puntos del arreglo dominó, mientras dice las palabras-

número (Video 10 Tiempo 0:47)

Camila, después de contar los cuatro puntos, ahora subitiza el arreglo de

cuatro en dominó y logra producir la misma cantidad de rayas. Esto

evidencia que, posiblemente, ella usa el conteo para avanzar en su TRAS.

En la ilustración se remarcaron las cuatro rayas que Camila trazó luego de

haber subitizado el grupo de cuatro puntos en arreglo de dominó (Video

10 Tiempo 2:02)

La TRAS de Camila le permite percibir solo tres puntos

en el arreglo en el que aparecen cuatro, cuando ella

vuelve a mirar la tarjeta, logra percibir el cuarto punto del

arreglo y lo dibuja.

76

En las ilustraciones se observa como Camila ajusta la

cantidad de dedos con los que expresa la cantidad de

puntos subitizada (Video 10 Tiempo 1:49)

Comparar (subitización con tarjetas de puntos).


2 1 10 7:20

N. Lista, busca esta ((Levanta una tarjeta con dos puntos)) Búscala, ¿dónde

está?

C. ((voltea una tarjeta con dos puntos y se la muestra a la profesora))

N. ¿No será está? ((indicando la segunda tarjeta))

C. ((La voltea y la mira))

N. ¿Y esa?

C. ((Voltea la tercera tarjeta))

N. Y ¿cuál era la que yo te había mostrado?

C. Dos

N. Entonces, ¿cuál es?

C. ((Levanta la primera tarjeta que tiene dos puntos))

3 1 10 8:29

N. Atención, vas a buscar esta ((Levanta una tarjeta con tres puntos en

arreglo de triángulo))

C. ((voltea la primera tarjeta, que tiene dos puntos))

N. Mírala ¿esa es?

C. ((Mira la tarjeta y mueve la cabeza hacia los lados)) ((Voltea la segunda

tarjeta que tiene tres puntos en arreglo de triángulo y la mira))

N. Mírala ¿esa es?

C. ((Mueve la cabeza indicando afirmación))

N. Y la otra ¿no será también?

C. ((Voltea la segunda tarjeta que tiene cuatro puntos en línea y la mira))

N. ¿Cuál era?

C. ((Coloca boca abajo la tercera tarjeta y vuelve a coger la segunda tarjeta

que tiene los tres puntos, la levanta))

77

La TRAS de Camila no solo le permite subitizar cantidades de dos objetos,

también es capaz de diferenciarlo (comparar) el grupo de dos con grupos de

tres y cuatro puntos.

En la ilustración se observa cuando Camila muestra la tarjeta que, según ella,

coincide con la tarjeta que le mostraron durante menos de un segundo,

porque las dos tienen la misma cantidad de puntos (Video 10 Tiempo 7:20)

El nivel que ha alcanzado Camila en el desarrollo

de su TRAS le permite diferenciar (por

comparación) el grupo de tres en arreglo de

triángulo con grupos de dos y cuatro.

En las ilustraciones se observa cuando Camila

voltea cada una de las tres tarjetas, para luego

seleccionar la que tiene tres puntos (Video 10

Tiempo 8:29)




1 1 9 6:22

N. ((Muestra la mano con el dedo índice levantado y los demás dedos

doblados))

C. Uno

78

2 1 9 6:16

N. Yo te muestro y tu me dices ¿cuántos hay? ((Muestra la mano con los

dedos índice y anular levantados y los otros tres dedos doblados)

C. Dos

3 1 9 6:20

N. ((Muestra la mano con los dedos índice, anular y corazón levantados y

el dedo pulgar y meñique doblado))

C. Tres

4

1 9 6:26

N. ((Muestra la mano con cuatro dedos levantados y el dedo pulgar

doblado))

C. Cuatro

0 9 7:01

N. ¿Y aquí? ((muestra la mano izquierda con dos dedos levantados y la

mano derecha con dos dedos levantado))

C. Dos

N. Mira ((muestra, otra vez, la mano izquierda con dos dedos levantados y

la mano derecha con dos dedos levantado))

C. Dos y dos

5

1 9 6:36 N. ((Muestra la mano con los cinco dedos levantados))

C. Cinco

0 9 7:37

N. ¿Cuántos hay aquí? ((Muestra la mano izquierda con tres dedos

levantados y la mano derecha con dos dedo levantado))

C. Tres y dos

El desarrollo de la TRAS de Camila le permite subitizar la cantidad de dedos

de una mano, cuando se levantan todos los cinco. Es posible que las

experiencias le permitan asociar las palabras-número a la cantidad.

En la ilustración se observa la mano abierta con los dedos que se le mostraron

a Camila durante un tiempo menor a un segundo (Video 9 Tiempo 6:36)

79

Cuando se le muestran algunos dedos de las dos manos, para que

perciba la cantidad total (2 y 2), Camila no combina las dos cantidades

en una sola, en su lugar, dice “dos y dos”. Lo anterior muestra que la

TRAS de Camila no alcanza el nivel cinco, es decir, aún no logra hacer

combinar dos cantidades subitizadas perceptualmente.

En la ilustración se observan las dos manos con la cantidad de dedos

levantados que Camila debía subitizar (Video 9 Tiempo 7:01)

Producir marcas (subitización con dedos).


2 1 3 4:54

N. Muy bien, ahora estos. Acá puedes dibujar los que te voy a mostrar,

atención, mírame mis deditos ((muestra la mano derecha con dos dedos

levantados))

C. ((Traza dos rayas))

3 1 3 4:31

N. Tu dibujas los palitos que ves ((muestra la mano derecha con tres dedos

levantados))

C. Tres ((Traza tres rayas))

4 1 3 5:12

N. Bien, ahora vas a hacer estos ((muestra la mano derecha con cuatro dedos

levantados))

C. Cuatro ((Traza cuatro rayas))

5 0 3 6:09

N. Un momentico, mira este ((muestra la mano derecha con cinco dedos

levantados))

C. Cinco ((Traza siete rayas))

80

El nivel alcanzado por Camila en el desarrollo de su TRAS le permite

no solo nominar, también es capaz de producir tres y cuatro marcas, lo

que indica que en su Trayectoria real de conteo también logra contar

hasta cuatro.

En la ilustración se observan las cuatro rayas trazadas por Camila en las

que representa la cantidad subitizada (Video 3 Tiempo 5:12)

Aun cuando Camila logra percibir los cinco dedos de la mano y decir la

palabra-número "cinco", es posible que su trayectoria de conteo no le permita

trazar la misma cantidad de rayas que la cantidad de dedos subitizada.

En la ilustración se observan las siete rayas trazadas por Camila con las que

representa “cinco” (Video 3 Tiempo 6:09).




1 1 2 10:26

N. Ven, levántate, escucha lo que va a sonar ((Hace sonar la

caja china una vez))

C. ((Salta una vez))

3 1 2 10:44

N. Las veces que necesitas saltar, óyelas bien ((dirigiéndose a

C)), despacito ((Hace sonar la caja china tres vez))

C. ((Salta tres veces))

4 0 2 10:53

N. Ahora este, escúchalo bien ((Hace sonar la caja china cuatro

veces))

C. ((Salta tres veces))

5 0 9 11:04 N. Y este ((Hace sonar la caja china cinco veces))

C. ((Salta dos veces))

81

El desarrollo de la TRAS de Camila le permite subitizar hasta tres sonidos,

para una cantidad mayor (cuatro o cinco) sucede algo similar a la

subitización de cantidad de puntos y dedos.

En la ilustración se observan los pies de Camila en el momento en que salta

tres veces (Video 2 Tiempo 10:44).

4.3.3. Gabriela.


Tabla 23 Rejilla del desarrollo por niveles de Gabriela.


l 1 Nivel


Puntos

Nomina 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0

Produce marcas 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0

Compara 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0


l 1 Nivel


Dedos

Nomina 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0

Produce marcas 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0


l 1 Nivel


82

Caja China

Nomina 1 1 1 0 0


Para caracterizar la TRAS de Gabriela, estudiante de un API de un colegio distrital de la



Gabriela manifiesta con mayor frecuencia cuando se enfrenta a actividades de subitización.


escrito, Gabriela es, de manera similar a sus compañeras Sara y Camila, sensible a estímulos

visuales y auditivos (puntos, dedos o sonidos) de cantidades de uno o dos. Ella manifiesta un

sistema de almacenaje de información sobre la cantidad, que le permite diferenciar entre algunos

y todos. Además, manifestó, en todas las actividades en las que se requirió, un mecanismo de

almacenamiento análogo de información cuantitativa, que le permite comparar las cantidades de

objetos de dos grupos (dedos con rayas, sonidos con saltos, puntos con rayas).

Con respecto a las hipótesis de nivel 2, Gabriela, al igual que Sara y Camila, manifiesta que

puede relacionar su esquema mental con la cantidad de objetos presentes en grupos de uno, dos y

tres objetos. Ella conoce las palabras-número hasta cuatro en orden y las usa para contar las

cantidades de objetos presentes en grupos de uno, dos o tres.

Sobre las hipótesis de nivel 3, Gabriela conserva, al igual que Sara y Camila, la

representación mental de la cantidad de objetos de un grupo (2 o 3 puntos, dedos o sonidos) durante

cortos periodos de tiempo. La mayoría de las veces, ella hace corresponder acciones físicas, como

saltar dos veces y trazar dos rayar, con la representación mental de la cantidad de objetos de un

grupo.

En relación con las hipótesis de nivel 4, Gabriela, algunas veces nomina la cantidad de



83


arreglo. Gabriela, en algunas ocasiones logra captar la cantidad de un grupo de objetos colocados

en fila (4 puntos o dedos en una sola mano), pero no puede captar las combinaciones de 3 y 2 o 2

y 2. Con tres años y seis meses, Gabriela manifiesta en su TRAS las características propuestas en

las THAS para nivel 3.





1 1 11 1:47 N. ¿Y ahorita vas a ver? ((Muestra una tarjeta con un punto))

B. Uno

2 1 11 1:54 N. ¿Y estas? ((muestra una tarjeta con dos puntos en diagonal))

B. Dos ((Levanta dos dedos de su mano derecha))

3

1 11 1:36 N. Mira ¿cuántos viste?

B. Tres

1 11 2:08

N. Y ahora esta ((muestra una tarjeta con tres puntos en arreglo

de triángulo))

B. ((Muestra la mano derecha con dos dedos levantados, luego

mira su mano con los dos dedos levantados y la apoya en la

mesa, allí levanta un tercer dedo))

N. Mírala. Muéstrame

B. ((Levanta tres dedos)) Tres

4 1 11 2:22

N. ¿Mira bien esta que te voy a mostrar? Lista ((muestra una

tarjeta con cuatro puntos en línea))

B. ((Muestra la mano derecha con cuatro dedos levantados))

84

0 11 2:44

N. ¿Y estas? Ponme atención ((muestra una tarjeta con cuatro

puntos en arreglo dominó))

B. Cinco. ((Muestra la mano derecha con cinco dedos

levantados)) Cinco.

N. Otra vez te la voy a mostrar. ((muestra, otra vez, la tarjeta

con cuatro puntos en arreglo dominó))

B. Cinco

N. ¿Si? Las contamos. Cuéntalas

B. Una, dos, tres, cuatro ((Con el dedo señala uno a uno los

puntos sobre la tarjeta))

N. ¿Cuántas?

B. Una, dos, tres, cuatro ((Con el dedo vuelve a señalar, uno a

uno los puntos sobre la tarjeta))

N. ¿Cuántas hay?

B. Una, dos, tres, cuatro ((Con el dedo vuelve a señalar, uno a

uno los puntos sobre la tarjeta))

0 11 2:56

N. ¿Y estos? ((muestra una tarjeta con cuatro puntos en

pirámide))

B. Tres y uno

5

1 11 3:30 N. Y estas ?((muestra una tarjeta con cinco puntos en línea))

B. Cinco

0 11 3:07

N. Vamos a ver estos ((muestra una tarjeta con cuatro puntos en

pirámide de tres y dos))

B. ((Muestra sus dos manos, en la derecha levanta dos dedos y en

la izquierda levanta cuatro dedos))

N. ¿No sabes?

B. ((mueve la cabeza hacia los lados))

0 11 3:17

N. ¿Y estas? ((muestra una tarjeta con cinco puntos en arreglo de

dominó))

B. Dos, una y dos

85

Una primera percepción del arreglo en forma de triángulo genera una

subitización de dos, que Gabriela representa con sus dos dedos, pero el

desarrollo de Gabriela de su TRAS le permite ajustar su percepción y

levantar los tres elementos.

Gabriela logra percibir la cantidad de tres puntos en arreglo de puntos en

varias ocasiones, en otras no lo logra. En este caso, como en otros, los niños

manifiestan acciones que evidencian un determinado nivel de la trayectoria

y posteriormente actúan como si no conservan las características de dicho

nivel.

En la ilustración se observan los dedos de la mano derecha de Gabriela, en

los que cambia la representación de dos a tres (Video 11 Tiempo 2:08)

Gabriela no alcanza a subitizar la cantidad de puntos del arreglo dominó de

cuatro, luego hace el conteo de los puntos hasta cuatro, haciendo

correspondencia. Aún no asocia la cantidad con la última palabra-número que

usó para contar, por lo que responde a la pregunta “¿cuántos?”, contando otra

vez, en lugar de decir la palabra-número final del conteo como representación

de la cantidad. El desarrollo de su TRAS de subitización no le permite

subitizar el arreglo dominó de cuatro y el desarrollo de su trayectoria de conteo

no le sirve, todavía, de validación a su respuesta.

En la ilustración se observan los dedos de Gabriela (son cinco aun cuando el

pulgar está oculto) y la manera como cuenta, indicando cada uno de los puntos

sobre la tarjeta.

(Video 11 Tiempo 2:44)

86

El desarrollo de la TRAS de Gabriela no le permite subitizar el

arreglo de cinco punto (pirámide de tres y dos) como una sola

cantidad, en lugar de ello percibe los dos grupos por separado: el

de dos y otro grupo de cuatro.

En la ilustración se observa los dedos de las dos manos de Gabriela,

con las que intenta subitizar la cantidad de cinco en un arreglo de

tres y dos. (Video 11 Tiempo 3:07)



1 1 11 4:32 N. Ahora mira ((Levanta una tarjeta con un punto)) ¿Cuántas??

B. Uno ((Traza una raya sobre el papel))

2 1 11 4:19

N. ((Levanta una tarjeta con dos puntos)) ¿Cuántos punticos

viste?

B. Dos ((Muestra la mano derecha con dos dedos levantados))

N. Dos, entonces pinta dos rayitas

B. ((Traza dos rayas verticales sobre la hoja))

3

0 11 5:42

N. Ahora ¿Cuántos punticos ves? ((Levanta una tarjeta con tres

puntos en línea))

B. ((Levanta tres dedos))

N. Píntalos

B. ((Traza tres rayas))

0 11 6:07

N. ahora mira estos. ¿Cuántos hay? ((Levanta una tarjeta con

tres puntos en triángulo))

B. Dos ((Traza dos rayitas juntas))

87

4 1 11 6:16

N. Ahora vas a hacer estas. ((Levanta una tarjeta con cuatro

puntos en línea))

B. ((Muestra la mano con tres dedos levantados))

N. Ahora las vas a pintar

B. ((Dibuja tres rayas))

El desarrollo de la TRAS de Gabriela le permite subitizar, en

varias ocasiones, tres puntos en línea. Además de expresarla con

los dedos, es capaz de mantenerla durante un periodo corto de

tiempo y reproducirla mediante trazos.

En las ilustraciones se observa la representación de Camila con

sus dedos y los tres trazos. (Gabriela tiene un agarre del lápiz

que no es similar al de la mayoría de sus compañeros del grupo).

(Video 11 Tiempo 5:42).

El desarrollo de la TRAS de Gabriela no le permite percibir los tres elementos

de un arreglo en triángulo, su respuesta, parece indicar, que percibe de forma

separada el dos y el uno. En estos casos los niños, con este desarrollo,

expresan “dos”, como si la subitización perceptual de “dos” se relacionara

con el esquema mental del niño.

En la ilustración se observan los dedos de Gabriela con los que representa la

cantidad subitizada cuando observó tres puntos en un arreglo de triángulo.


88

Comparar (subitización con tarjetas de puntos).


3

1 11 8:17

N. Mira, atención ((muestra la tarjeta con tres puntos en línea))

Búscala

B. ((Muestra la mano derecha con cuatro dedos levantados))

N. ¿A ver dónde esta? ¿Si está aquí, si está aquí o está aquí? Volteas

las tarjetas

B. ((Voltea una a una las tarjetas y señala la que tiene tres puntos))

1 11 10:28

N. Mira, atención ((muestra la tarjeta con tres puntos en arreglo de

triángulo))

B. ((Voltea la primera tarjeta que tiene tres puntos en arreglo de

triángulo y se la muestra a la profesora))

N. ¿Será que aquí también hay más de esas? ((Indicando la segunda

tarjeta))

B. ((Levanta la segunda tarjeta que tiene cuatro punto en línea))

N. ¿Si era o no?

B. ((Mueve la cabeza hacia los lados))

0 11 9:43

N. Lista, te la voy a mostrar, lista, ((Muestra la tarjeta con cuatro

puntos en arreglo de dominó)) ¿Dónde está?

B. ((Voltea una a una las tarjetas y levanta la que tiene el mismo

arreglo de cuatro dominó))

0 11 12:17

N. Lista vamos a buscar la que se parece a esta ((Muestra una tarjeta

con cinco puntos en arreglo dominó))

B. ((Voltea la primera tarjeta que corresponde a tres puntos en arreglo

de triángulo y la muestra, levantándola))

N. ¿Esa es?? Mírala bien

B. ((Mira la tarjeta y mueve la cabeza en señal de afirmación))

89

Aunque al inicio no expresa con los dedos la cantidad de puntos con

los dedos (levantó cuatro dedos y eran tres puntos), posteriormente

señala la tarjeta con la misma cantidad subitizada.

Gabriela muestra que logra no solamente encontrar tarjetas con la

misma cantidad, además logra diferenciarla (comparar) de otras

tarjetas que tienen más o menos puntos.

En la ilustración se observa el dedo de Gabriela, señalando la tarjeta

con tres puntos, la cual corresponde a la misma cantidad que subitizó.


El desarrollo de la TRAS de Gabriela no le permite nominar los cuatro

elementos del arreglo dominó, pero parece manifestar que posee un

mecanismo de conservación de la cantidad, que le permite mantener

por un corto tiempo la cantidad percibida y encontrar una arreglo

similar.

En la ilustración se observa la mano de Gabriela levantando la tarjeta

(una entre tres), que es similar a la tarjeta que la profesora le mostró

hace unos segundos. (Video 11 Tiempo 9:43).

El nivel de la TRAS de Gabriela no le permite percibir una cantidad de cinco

puntos en arreglo de dominó. Ella lo asocia con el arreglo de tres puntos en

arreglo triángulo. En este caso, parece que prevalece una asociación entre las

formas de los dos arreglos, dado que Gabriela no alcanza a subitizar la

cantidad de puntos. Lo anterior confirma que la TRAS no alcanza el nivel 5

propuesto en la THAS.

90

En la ilustración se observan la mano de Gabriela sosteniendo la tarjeta de

tres puntos, que ella asocia a la tarjeta que se le mostró (cinco puntos en

arreglo dominó) (Video 11 Tiempo 12:17)




1 1 11 0:08

N. Yo te muestro deditos y tú dices ¿cuántos deditos ves? Te acuerdas,

mira ((Muestra la mano izquierda el dedo índice levantado y los demás

dedos doblados))

B. Uno

2 1 11 0:18

N. ¿y si yo te muestro estos? ((Muestra la mano izquierda los dedos índice

y anular levantados y los otros tres dedos doblados)

B. Dos

3

1 11 0:12

N. ¿Y si yo te muestro estos? ((Muestra la mano izquierda con los dedos

índice, anular y corazón levantados y el dedo pulgar y meñique doblado))

B. Tres ((Levanta tres dedos de su mano derecha))

0 11 1:05

N. ¿Y estos? ((Muestra la mano izquierda con dos dedos levantados y la

mano derecha con un dedo levantado))

A. Dos y uno

4

1 11 0:24

N. ¿Y si yo te muestro estos? ((Muestra la mano izquierda con cuatro

dedos levantados y el dedo pulgar doblado))

B. Cuatro

0 11 0:57

N. ¿Y si yo te muestro estos? ((Muestra la mano derecha con cuatro dedos

levantados y el dedo pulgar doblado))

B. Cinco

91

0 11 0:30

N. ¿Y si yo te muestro estos ? ((Muestra la mano izquierda dos dedos

levantados y la mano derecha con dos dedos levantado))

B. ((levanta dos dedos de la mano izquierda y dos dedos de la mano

derecha)) Dos

5

1 11 0:20

N. ¿Y si yo te muestro estos? ((Muestra la mano izquierda los cinco dedos

levantados))

B. Cinco

0 11 1:23

N. ¿Y estos? ((Muestra la mano izquierda tres dedos levantados y la

mano derecha con dos dedos levantado))

B. Tres y dos

Gabriela subitiza perceptualmente cantidades de dos y tres,

pero parece no alcanzar a componer las dos cantidades

percibidas para formar el grupo de cuatro; por eso cuando se le

muestran dos grupos de dos, muestra dos dedos con una mano

y dos con la otra.

En la ilustración se observan las dos manos de Gabriela, cada

una con dos dedos levantados, para representar la misma

cantidad que le mostró la profesora (Video 11 Tiempo 0:30).

El desarrollo de la TRAS de Gabriela no le permite subitizar perceptualmente

la cantidad de cuatro dedos, en su lugar es posible que ella asocie la palabra-

número “cinco” a las cantidades que considera “grandes”. El nivel

desarrollado por Gabriela en su TRAS no alcanza el nivel 4 propuesto en las

THAS.

92

En la ilustración se observan los cuatro dedos levantados que se le mostraron

a Gabriela y a los que ella respondió “cinco”.





Nivel 2 1 11 4:09

N. Voy a hacer sonar esto ((golpea la caja china, dos veces)) ¿cuántas veces

escuchaste? ¿Cuántos golpecitos?

B. Dos ((muestra la mano con dos dedos levantados))

Nivel 3 0 11 5:43

N. Vamos a escucharlo ¿a ver cuántas veces suena??((golpea la caja china,

tres veces))

B. ((Muestra la mano con cuatro dedos levantados))

Gabriela es capaz de subitizar una cantidad de dos sonidos y representarla

usando la palabra-número correspondiente a los dedos de su mano.

En la ilustración se observan los dos dedos de Gabriela con los que representa

la cantidad subitizada de forma auditiva (dos sonidos) (Video 11 Tiempo

4:09).

93

En el caso de tres sonidos, es posible que el nivel de desarrollo de TRAS de

Gabriela en la entrada auditiva, no le permita captar los tres sonidos. Mientras

que en la entrada visual, Gabriela subitiza cantidades de tres puntos en línea y

de tres dedos, mostrados durante un tiempo breve, en la parte auditiva

Gabriela levanta cuatro dedos para representar una cantidad de tres sonidos.

El desarrollo de los niveles de la TRAS en ella, como en otros niños, no se

manifiesta de forma homogénea en los diferentes canales de entrada de

información, en cada caso depende de la riqueza de los estímulos del ambiente

y de sus experiencias.

En la ilustración se observan los cuatro dedos levantados de la mano de

Gabriela con los que representa los sonidos que subitizó (tres). (Video 11

Tiempo 5:43).



1 1 11 6:45

N. Si yo hago así. ((Golpea la caja china, una vez)). Tú saltas ¿cuántas

veces?

B. Una ((salta una vez))

2 1 11 6:52 N. ((golpea la caja china, dos veces))

B. ((Salta dos veces))

3 0 11 6:55 N. ((golpea la caja china, tres veces))

B.((Salta dos veces))

4 0 11 7:06 N. ¿Y esta? ((golpea la caja china, cuatro veces))

B. ((Salta tres veces))

94

En los casos de tres sonidos y cuatro sonidos, el desarrollo

de la TRAS de Gabriela no le permite subitizarlos, en este

caso, ella salta una cantidad de veces que le parece similar

a la cantidad de sonidos que escucho (más de uno y menos

de cinco).

En la ilustración se observan los pies de Gabriela, mientras

salta dos veces para expresar la misma cantidad de sonidos

que escucho (tres). (Video 11 Tiempo 6:55).

4.3.4. Alejandra.


Tabla 24 Rejilla del desarrollo por niveles de Alejandra.


l 1 Nivel


Puntos

Nomina 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Produce marcas 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Compara 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0


l 1 Nivel


Dedos

95

Nomina 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Produce marcas 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0


l 1 Nivel


Caja China

Nomina 1 1 1 0 0


Para caracterizar la TRAS de Alejandra, estudiante de un API de un colegio distrital de la



Alejandra manifiesta con mayor frecuencia cuando se enfrenta a actividades de subitización.


escrito, Alejandra es, de manera similar a sus compañeras Sara, Camila y Gabriela, sensible a

estímulos visuales y auditivos (puntos, dedos o sonidos) de cantidades de uno o dos. Ella manifiesta

un sistema de almacenaje de información sobre la cantidad, que les permite diferenciar entre

algunos y todos. Además, manifestó, en todas las actividades en las que se requirió, un mecanismo

de almacenamiento análogo de información cuantitativa, que le permite comparar las cantidades

de objetos de dos grupos (dedos con rayas, sonidos con saltos, puntos con rayas).

Con respecto a las hipótesis de nivel 2, Alejandra, al igual que Sara, Camila y Gabriela,

manifiesta que puede relacionar su esquema mental con la cantidad de objetos presentes en grupos

de uno, dos y tres objetos. Ella conoce las palabras-número hasta cuatro en orden y las usa para

contar las cantidades de objetos presentes en grupos de uno, dos o tres.

Sobre las hipótesis de nivel 3, Alejandra conserva, al igual que Sara, Camila y Gabriela, la

representación mental de la cantidad de objetos de un grupo (2 o 3 puntos, dedos o sonidos) durante

cortos periodos de tiempo. La mayoría de las veces, ella hace corresponder acciones físicas, como

96

saltar dos veces y trazar dos rayar, con la representación mental de la cantidad de objetos de un

grupo.

En relación con las hipótesis de nivel 4, Alejandra, algunas veces nomina la cantidad de




arreglo. Alejandra, en algunas ocasiones logra captar la cantidad de un grupo de objetos colocados

en fila (4 puntos o dedos en una sola mano), pero no puede captar las combinaciones de 3 y 2 o 2

y 2. Con tres años y cinco meses, Alejandra manifiesta en su TRAS las características propuestas

en las THAS para nivel 2.





1 1 18 1:14 N. ¿Y cuántos punticos ves aquí? ((Muestra una tarjeta con un punto))

A. Uno

2 1 14 1:00

N. Y tu me dices ¿cuántos punticos ves acá? ((muestra una tarjeta con

dos puntos en diagonal))

A. Dos ((Levanta dos dedos de su mano derecha))

3

1 14 1:18 N. Y acá ¿cuántos vas a ver?

A. Tres

0 14 1:37

N. Y ¿cuántos punticos ves acá? ((muestra una tarjeta con tres puntos

en arreglo de triángulo))

A. (1)

N. ¿Cuántos punticos viste?

A. Cinco

97

4

0 14 1:52

N. Y acá, ¿cuántos puntos vas a ver ?((muestra una tarjeta con cuatro

puntos en línea))

A. (1)

0 14 2:02

N. ¿Cuántas vas a ver? ((muestra una tarjeta con cuatro puntos en

arreglo dominó))

A. Dos

0 14 1:22

N. Y acá ¿cuántos vas a ver? ((muestra una tarjeta con cuatro puntos en

pirámide de tres y uno))

A. (1) ((levanta los dedos de la mano apoyada sobre la mesa))

5

0 14 1:42

N. Y acá, ¿cuántos viste? ((muestra una tarjeta con cinco puntos en

línea))

A. Tres

0 14 1:56

N. Y acá ¿cuántos vas a ver? ((muestra una tarjeta con cuatro puntos en

pirámide))

A. (1)

N. ¿No sabes?

A. ((mueve la cabeza hacia los lados))

0 17 4:06 N. Vas a decirme, ¿cuántas ves acá?

A. Dos, dos y una y dos ((mientras señala con el lápiz los puntos)

El desarrollo de la TRAS de Alejandra no le permite subitizar perceptualmente

la cantidad de tres puntos en arreglo de triángulo, en este caso como en casos

similares, ella guarda silencio y luego expresa una palabra-número que

representa una cantidad “grande”. De manera similar a como se manifiesta en

otros niños, Alejandra usa una palabra-número para expresar la cantidad de

objetos que percibe como “grande”.

En la ilustración se observa la tarjeta que se le presentó a Alejandra para subitizar

la cantidad de puntos y a la que ella respondió “cinco”. (Video 14 Tiempo 1:37)

98

Alejandra no alcanza a subitizar la cantidad representada por cuatro puntos, en

este caso ella guarda silencio por un segundo y luego hace un gesto ((levanta los

dedos de la mano derecha apoyada sobre la mesa)) con el que parece expresar

que ella reconoce que no conoce la respuesta.

A diferencia de Alejandra, otros niños nombran palabras-número cuando se les

pregunta “¿cuántos hay?”; en los casos en los que no conocen la palabra-número

que representa la cantidad sobre la que se les pregunta usan una que les parece

que representa “muchos”.

En la ilustración se observa la mano de Alejandra para expresar que no conoce

la respuesta a la pregunta sobre la cantidad de puntos que hay en un grupo de

cuatro. (Video 14 Tiempo 1:22).

El desarrollo de la TRAS de Alejandra le permite subitizar perceptualmente

grupos de dos objetos, pero no le alcanza para combinar estas cantidades en

una sola.

Alejandra como algunos otros niños, relaciona sus esquemas mentales con la

percepción de cantidades de uno o dos, pero no alcanza manifiesta tener un

dispositivo que le permita combinar esas cantidades para obtener cantidades de

cuatro o cinco. La TRA de Alejandra tiene características que la ubican en un

nivel dos de la THAS.

En la ilustración se observan la mano de Alejandra con un lápiz, señalando los

puntos del arreglo de dominó de cinco punto, a los que ella dijo “dos, dos y una

y dos”. (Video 17 Tiempo 4:06).


99


2 1 17 3:12

N. ¿Cuántos punticos ves? y haces la misma cantidad de rayitas. Listo. ((Levanta una tarjeta con dos puntos)). Entonces haces ¿cuántas rayitas? A. Dos ((Traza dos rayas verticales sobre la hoja))

3

0 18 3:49 N. ¿Cuántos punticos hay aquí? A. ((Dibuja tres rayas))

0 17 3:21 N. ahora mira estas. ¿Cuántas hay? ((Levanta una tarjeta con tres puntos en triángulo)) A. Dos y una ((Traza dos rayitas juntas y la otra separada))

0 17 3:55 N. Míralos ¿cuántos hay acá? Cuéntalos. Cuéntalos tú. A. Uno, dos, tres, cuatro ((el dedo no indica los puntos con el mismo ritmo que pronuncia la secuencia de palabras-número.

4

0 17 3:43

N. Ahora vas a hacer estas. ((Levanta una tarjeta con cuatro puntos en línea)) A. ((Dibuja cinco rayas)) N. ¿Cuántas había ahí? Cuéntalas A. Uno, dos, tres, cuatro y uno

0 17 5:04 N. Ahora vas a hacer estas. ((Levanta una tarjeta con cuatro puntos en arreglo de dominó)) A. ((Dibuja dos rayas))

5

0 17 5:12 N. ¿Y estos? ((Levanta una tarjeta con cinco puntos en línea)) A. ((Dibuja cuatro rayas))

0 17 4:08

N. Vas a decirme, ¿cuántas ves acá? A. Dos, dos y una y dos ((mientras señala con el lápiz los puntos) N. Dos y una y dos. ¿Haber cómo es que las vas a hacer? A. Uno ((traza una raya)), dos ((traza otra raya) y dos ((traza otra raya)) N. Dos, dos y dos. ¿Ahí cuántas hay? Muéstrame cómo era que estaban acá. Dijiste A. Dos N. Dos A. Dos, dos y una N. Dos, dos y una ¿Cómo las vas a dibujar ahí? A. ((Traza una raya)) Una, dos ((traza dos rayas)) y dos

100

Alejandra, además de nominar la cantidad de puntos que percibe (dos), es

capaz de producir la misma cantidad de rayas (marcas). En todos los casos

que se le preguntó Alejandra mostro que el desarrollo de su TRAS tenía las

características del nivel dos de la THAS.

En la ilustración se observan la mano de Alejandra cuando finaliza el trazo de

las dos rayas que representan la cantidad subitizada (dos). (Video 17 Tiempo

3:12).

Alejandra no compone el grupo de dos puntos con el tercer punto del arreglo

de tres en forma de triángulo. Ella traza primero dos líneas, y la tercera, que

parece representar el punto de la parte superior del arreglo, la traza separada.

El desarrollo de la TRAS de Alejandra no manifiesta un dispositivo que le

permita combinar las dos cantidades percibidas (dos y uno) en una sola

cantidad de tres.

En la ilustración se observa la mano de Alejandra finalizando el trazo de la

tercera raya separada de las dos primeras, con las que representa la cantidad

de puntos subitizada en el arreglo de triángulo de tres puntos. (Video 17

Tiempo 3:21).

El desarrollo de la Trayectoria de conteo de Alejandra no le permite contar

con correspondencia el grupo de tres objetos en arreglo de triángulo porque

no logra determinar el primer elemento y el último. Para ella, además de no

poder subitizar el tres en arreglo de triángulo, el conteo de puntos no le sirve

para validar sus respuestas.

En la ilustración se observa el dedo índice de Alejandra que señala los tres

puntos, sin establecer una relación con la secuencia de las palabras-número

que va pronunciando (Uno, dos, tres, cuatro). (Video 17 Tiempo 3:55).

101

Alejandra, parece que no alcanza a subitizar los cuatro puntos, en esta

ocasión no menciona la cantidad y traza cinco rayas, que parecen

representar la misma cantidad que percibió. El desarrollo de la TRAS

de Alejandra no manifiesta que haga una relación entre sus esquemas

mentales y la percepción visual de cuatro puntos.

La secuencia de palabras-número que recita Alejandra indica que las

recuerda hasta “cuatro”. En Alejandra, la TRAS manifiesta

características de nivel 2 de la THAS.

En la ilustración de la parte superior se observan las cinco rayas que

trazó Alejandra para representar la cantidad de cuatro puntos que se le

presentó durante menos de un segundo. En la ilustración de la parte

inferior se observa la forma como Alejandra indica con un lápiz cada

una de las rayas que trazó, mientras recita (Video 17 Tiempo 3:43).

En el arreglo tipo dominó de cinco puntos, Alejandra reconoce los

dos grupos de dos puntos y el punto del centro (dice dos, dos, uno y

dos), por eso los traza de forma separada. El nivel de su TRAS no le

permite componer los tres grupos en una sola cantidad de cinco.

En la ilustración se observa la mano de Alejandra finalizando el trazo

de las tres rayas con las que representa “dos, dos y una”.


102




1 1 14 0:09 N. ¿Cuántos hay? Aquí ((Muestra la mano izquierda el dedo índice levantado y los demás dedos doblados)) A. Uno

2 1 14 0:13 N. y aquí ((Muestra la mano izquierda los dedos índice y anular levantados y los otros tres dedos doblados) A. Dos ((Levanta dos dedos de su mano derecha))

3

0 14 0:05

N. ¿Cuántos ves?((Muestra la mano izquierda con los dedos índice, anular y corazón levantados y el dedo pulgar y meñique doblado)) A. (0,5) Tres

0 14 0:35 N. ¿Cuántos ves en total? ((Muestra la mano izquierda dos dedos levantados y la mano derecha con un dedo levantado)) A. (1) ((No responde))

4

0 14 0:31

N. ¿Y estos? ((Muestra la mano izquierda cuatro dedos levantados y el dedo pulgar doblado)) A. (1) N. ¿No sabes? A. ((Mueve la cabeza de lado a lado))

0 14 0:41 N. ¿Cuántos dedos ves aquí? ((Muestra la mano izquierda tres dedos levantados y la mano derecha con un dedo levantado)) A. Uno

0 14 0:46 N. ¿Y ahora, cuántos ves? ((Muestra la mano izquierda dos dedos levantados y la mano derecha con dos dedos levantado)) A. Dos

5 0 14 0:21 N. ¿Y estos? ((Muestra la mano izquierda los cinco dedos levantados)) A. Tres

103

Cuando se le pregunta sobre la cantidad de dedos levantados que ve, para el caso

de un dedo, Alejandra responde con seguridad. Su respuesta es consistente con

el desarrollo de su TRAS, dada la edad que tiene.

En la ilustración se observa la imagen de la cantidad de dedos (uno) que se le

mostraron a Alejandra durante menos de un segundo.


El desarrollo de la TRAS de Alejandra le permite percibir y nominar la

cantidad de dedos que se le muestran por menos de un segundo, para el caso

de dos dedos. Alejandra, además acompaña su voz levantando "dos dedos",

lo cual evidencia que usa simultáneamente dos representaciones de la

cantidad. Esta acción muestra que ella ha desarrollado su subitización hasta

el nivel 2 de las THAS.

En la ilustración se observa la mano de Alejandra con la que representa la

cantidad subtizada. (Video 14 Tiempo 0:13).

Alejandra espera un momento (0,5 segundos) antes de responder a la pregunta

sobre la cantidad de dedos que se le muestran, es posible que lo requiera para

acordarse de la palabra-número correspondiente. El nivel de la trayectoria de

conteo de algunos niños no les permite asociar la palabra-número a la cantidad

correspondiente con seguridad, cuando no han tenido suficientes experiencias.

En la ilustración se observa la imagen de la cantidad de dedos (tres) que se le

mostraron a Alejandra durante menos de un segundo. (Video 14 Tiempo 0:05)

104

La respuesta de Alejandra a la pregunta sobre ¿cuántos hay?, cuando se le

presentan cuatro dedos, parece evidenciar que no alcanza el nivel 4 en su

TRAS, lo cual es consistente con lo propuesto para su edad cronológica.

En la ilustración se observa la imagen de la cantidad de dedos (cuatro) que se

le mostraron a Alejandra durante menos de un segundo.


Cuando se le muestran cinco dedos, Alejandra contesta “tres”. Lo anterior

parece confirmar sus respuestas a las preguntas sobre cantidades mayores a

cuatro, en las que ella dice "tres", como si esta fuera la palabra-número que

usa para cantidades "grandes".

En la ilustración se observa la imagen de la cantidad de dedos (cinco) que

se le mostraron a Alejandra durante menos de un segundo.





2 1 15 0:09 N. Voy a tocarla y tu me dices ¿cuántas veces suena? Lista ((golpea la caja china, dos veces)). ¿Cuántas veces sonó? A. Dos

3 1 15 0:26 N. ¿Y si hago? ((golpea la caja china, tres veces)) A. Tres

4 0 15 0:15 N. Ahora este ((golpea la caja cuatro veces)) ¿Cuántas veces sonó? A. Cinco

105

Alejandra logra percibir dos y tres sonidos y decir las palabras-número

correspondientes. Para cuatro sonidos, no alcanza a percibir la cantidad. Es

posible, como en todas las preguntas que se les hacen a los niños, que algunas

de sus respuestas sean incorrectas, es decir que no correspondan a la cantidad

de objetos subitizados, esto nos permite formular explicaciones sobre el nivel

de la TRAS de los niños. Pero en otros casos, en los que el niño “adivina” la

respuesta “correcta” sin haber logrado la subitización de la cantidad, el profesor

y en este caso nosotros, no alcanzamos a darnos cuenta que el nivel de la TRAS

no es el que las palabras del niño parece mostrar.

En la ilustración se observa la imagen de la caja china con la que se produjeron

los sonidos percibidos por Alejandra. (Video 15 Tiempo 0:09).



1 1 15 0:48 N. Si yo hago así. Si yo toco esto ((golpea la caja china, una vez)). ¿Tu haces? A. ((Salta una vez))

2 0 15 1:08 N. Si yo toco esto. ((golpea la caja china, dos vez)) A. ((Salta tres veces))

3 0 15 0:57 N. ¿Y si hago? ((golpea la caja china, tres veces)) A. ((Salta cuatro veces))

4 0 15 1:16 N. Escucha ((golpea la caja china, cuatro veces)) A. ((Salta cuatro veces))

106

Aunque Alejandra percibe los dos sonidos y subitiza la cantidad, es posible que

salte sin tener presente el conteo de la cantidad de veces que lo hace, en su lugar,

salta una cantidad de veces que le puede parecer similar al número subitizado.

En la ilustración se observa la imagen del brazo de Alejandra cuando ella salta

tres veces para representar la cantidad de veces que sonó la caja china (dos).


4.4. Análisis por niveles Teniendo en cuenta los niveles propuestos por Clements & Sarama (2009), pudimos

identificar un nivel para cada una de las niñas que participaron en el experimento de enseñanza,

nivel aproximado por las acciones que ellas manifestaron con mayor frecuencia como respuesta a

las actividades propuestas.

Las siguientes preguntas surgen durante los procesos de análisis de esta trayectoria, de

manera similar a Clements & Sarama (2004) formulamos algunas respuestas aproximadas

¿Es posible que los niños trabajen en más de un nivel de la THAS al mismo tiempo?

Coincidimos con Clements & Sarama en una respuesta afirmativa. Aunque las cuatro niñas

“aciertan” en las respuestas a las tareas de un mismo nivel la mayoría de las veces, en varias

ocasiones parece que están en la transición entre dos niveles (naturalmente, si ellas están cansadas

o distraídas, pueden dar respuestas de un nivel mucho más bajo). En este sentido, analizamos que

los niveles no son “etapas absolutas”, son “puntos de referencia” para cada sujeto que representa

distintas formas de pensamiento. Las niñas mostraron que están aprendiendo continuamente, dentro

de los niveles y moviéndose entre ellos.

¿Los niños pueden saltar niveles de la THAS?

No lo observamos en las niñas. Las condiciones del experimento de enseñanza (tiempo de

intervención y edades similares de la población) no permitió en este grupo de cuatro niñas,

107

identificar saltos en los niveles, se observaron procesos de afianzamiento de las características de

un nivel o pasó de un nivel al siguiente.

¿Son todos los niveles de las THAS similares en su naturaleza?

Los primeros niveles de la THAS (1 y 2) parecen desarrollarse a partir de las capacidades de los

niños más que en relación con su aprendizaje socio cultural, por eso tal vez, todas los niñas del

experimento con edades superiores a los dos años alcanzan los niveles 1 y 2 (Tablas 25 y 26 ). Los

niveles siguientes (3, 4 y 5) parecen exigir una mayor cantidad de experiencias socio-culturales

vinculadas al conteo y a las otras trayectorias del sentido numérico. El niño avanza en su TRA del

conteo y con ella moviliza los niveles de la TRA de subitización. Así, algunos niveles de la TRAS

están más condicionados por las interacciones socio culturales que otros, los que generan

diferencias en los niveles manifestados por las niñas. (Tablas 27, 28 y 29).

Tabla 25 Registro general de acciones de Nivel 1.

Actividades Acciones Alejandra Gabriela Camila Sara Selene

Puntos

Nomina 1 1 1 1

Produce marcas 1 1 1 1

Compara 1 1 1 1

Dedos Nomina 1 1 1 1


Caja China Nomina 1 1 1 1

Produce saltos 1 1 1 1

108


Actividades Acciones Alejandra Gabriela Camila Sara

Puntos

Nomina 1 1 1 1


Compara 1 1 1 1

Dedos Nomina 1 1 1 1


Caja China

Nomina 1 1 1 1

Salta 0 1 1 1


Actividades Acciones Alejandra Gabriela Camila Sara

Puntos

Nomina 1 1 1 1


Compara 0 1 1 1

Nomina 0 0 1 1


Compara 0 1 1 1

Dedos

Nomina 1 1 1 1


Nomina 0 0 0 1

109


Caja China

Nomina 1 1 1 1

Salta 0 1 1 1


Actividades Acciones Alejandra Gabriela Camila Selene

Puntos

Nomina 0 1 0 1


Compara 0 0 0 1

Nomina 0 0 0 1


Compara 0 0 0 1

Nomina 0 0 0 0


Compara 0 0 0 0

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5. Conclusiones

Las conclusiones de la presente investigación se dividen en tres grupos. Primero, las que se

refieren a la pregunta de investigación a partir de los objetivos propuestos, enmarcados dentro de

la Trayectorias Reales e Hipotéticas de Aprendizaje caracterizadas. Segundo, las reflexiones sobre

los referentes conceptual y metodológico. Y finalmente, se presentan algunas caminos de

exploración que se sugieren pueden ser abordados, desde este trabajo de profundización, por

futuras investigaciones.

En relación con el primer grupo, para la pregunta de profundización ¿Cómo recorren los

niños de las Aulas de Primeria Infancia (API) sus Trayectorias Reales de Aprendizaje de

subitización, al usar el diseño de la Trayectoria Hipotética propuesta por Clements & Sarama?, se

planteó el objetivo general: “Caracterizar las Trayectorias Reales de Aprendizaje de subitización

que se potencian en los niños de las Aulas de primera Infancia, al seguir una Trayectoria Hipotética

de Aprendizaje de subitización”.

Las conclusiones relativas a los objetivos del trabajo de profundización son las siguientes:

1) la descripción de las Trayectorias Hipotéticas de aprendizaje mediante la inferencia de

hipótesis de metas relacionadas con los propósitos formulados en los documentos sobre Puntos

Focales del currículo para las matemáticas de NCTM (2006), hipótesis de niveles de desarrollo

relacionadas con la progresión de desarrollo de la THAS e hipótesis de actividades, llamadas

prototipo, relacionadas con aquellas características que promueven el avance de la capacidad de

subitización de los niños,

2) el diseño de una secuencia didáctica, mediante el pilotaje y selección de tres actividades

prototipo, con sus respectivas tareas que ofrecieron diferentes grados de complejidad a los niños,

de acuerdo a los criterios de interacción con los instrumentos, a las cantidades de objetos

subitizadas y a la disposición espacial (arreglos) de los objetos del grupo.

3) la identificación y selección de procesos vinculados a la subitización para los niños de

las API (comparación y representación) como criterios para caracterización las TRAS de los niños.

113

4) el diseño de rejillas para caracterizar las TRAS de los niños según los elementos

pertenecientes a la THAS propuesta por Clements y Sarama.

El análisis de los niveles de las TRAS de los niños en relación con las THAS propuestas

por Clements y Sarama permiten establecer las siguientes cuatro conclusiones: que todos los niños

han desarrollado la habilidad de subitizar; que todos los niños se ubican en uno de los niveles de la

THAS, la tercera que hay movilidad a través de los niveles de la TRAS de los niños y la cuarta que

el contexto y las experiencias previas a la escolaridad permiten a los niños avanzar entre los niveles.

En relación con el segundo grupo, sobre el referente conceptual, se sistematizaron las

investigaciones sobre subitización, como un componente fundamental para el desarrollo del sentido

numérico de los niños de las API. La profundización alcanzada permitió evidenciar que la

subitización no está contemplada en las orientaciones curriculares oficiales para la Educación

Inicial, constituyéndose este trabajo en un aporte para los procesos pedagógicos de los profesores.

De forma diferente a como lo sugieren las propuestas para otros países (NCTM, 2006), la propuesta

de Colombia para los niños de 0 a 5 años no menciona la subitización como proceso fundamental

para el desarrollo de la cardinalidad.

Sobre la metodología, el experimento de enseñanza permitió la comprobación de los

supuestos de la Trayectoria de Aprendizaje de Subitización, transformados en hipótesis, de acuerdo

a la validez que se evidenciaron en el análisis de los datos obtenidos.

El uso de grabaciones de video de niños de 3 y 4 años permitió encontrar tanto las acciones

que hacen los niños para enfrentar las actividades de subitización que se les solicitan, como los

posibles procedimientos que usan para alcanzar las tareas. Las transcripciones y anotaciones del

investigador, y la relación entre hipótesis y datos empíricos permitió analizar cómo emergen y

evolucionan las habilidades de los niños para subitizar, qué recursos usan, y cómo se puede llevar

a cabo su aprendizaje.

Las sugerencias que pueden ser abordados por futuras investigaciones en relación con el

presente trabajo de profundización sobre la trayectoria de subitización de los niños, se formulan a

continuación en forma de preguntas, las cuales pretenden abrir caminos de exploración:

¿Cómo se relaciona la trayectoria de subitización con las otras trayectorias del sentido

numérico propuestas por Clements y Sarama?

114

¿Cómo se caracterizan las otras trayectorias de aprendizaje del sentido numérico en los

niños de las Aulas de Primera Infancia?

¿Qué actividades desarrollan las trayectorias del sentido numérico en los niños de las aulas

de primera infancia?

¿Qué prácticas realizan los profesores de las Aulas de Primera Infancia sobre la trayectoria

de subitización de los niños?

¿Cuáles situaciones discursivas (orales y escritas), gestuales y procedimentales evidencian,

en los niños, avances en sus Trayectorias Reales de Aprendizaje de Subitización?

¿Cómo se relaciona el desarrollo de la THAS de los niños de API con el desarrollo de su

pensamiento algebraico?

Otros resultados vinculados a productos de la profundización incluyen:

1. Coautora del artículo “Ambientes de aprendizaje de la forma y el número: diseños

accesibles y Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje”.

2. Coautora de artículo “Geometría con todos: diseños accesibles y trayectorias hipotéticas

de aprendizaje de la geometría para preescolar y primaria”.

3. Autora del artículo “Caminos para desarrollar competencias matemáticas desde la

educación inicial”

4. Autora del artículo “Qué es la subitización y cómo desarrollarla en la infancia”

5. Comunicación breve y un curso corto, aprobados y presentados, en el Primer Encuentro

Distrital de Educación Matemáticas (EDEM 1, 2014)

6. Curso corto en el 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones en la Universidad

Pedagógica Nacional (2015)

7. Curso corto en el 16º Encuentro Nacional de Matemática Educativa, (Asocolme, 2015).

8. Taller y comunicación breve, presentado y aprobado, en el evento internacional 14º

Conferencia Internacional de Educación Matemática en Chiapas, México (CIAEM, 2015)

9. Taller y comunicación breve, presentado y aprobado, en el V Congreso Internacional de

Pedagogía e Infancia 2014 de la Universidad de la Sabana.

115

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Anexo 1

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