UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO

ANEXO DE KUSAPÍN

FACULTAD DE EDUCACIÓN

MÓDULO AUTO INSTRUCCIONAL

CURSO: GEOMETRÍA

PRIMER SEMESTRE

PREPARADO POR: MAGÍSTER ARQUIMEDES GIRÓN CHÁVEZ

ABRIL DE 2020

CONTENIDO

Justificación

Introducción

Carta al estudiante

Objetivos

Instrucciones

Módulo #1

Pre prueba

Post prueba

Referencias bibliográficas

JUSTIFICACIÓN

Este módulo esta dirigido a la comunidad de estudiantes del anexo

de Kusapín en el curso de Geometría.

Los nuevos estándares y expectativas de la Universidad de Panamá

desean obtener de los estudiantes los más altos niveles

cognoscitivos.

Este módulo está diseñado con el propósito de facilitar el

aprendizaje de la destreza en las matemáticas: la geometría

INTRODUCCIÓN

Hay disciplinas que toman mas tiempo para asimilarlas bien. Las

matemáticas para muchos es una de estas.

Este módulo de geometría ofrece a los estudiantes una magnifica

oportunidad de acceder a los aspectos necesarios para el estudio de

una de las ramas fundamentales de las matemáticas y comprender

su lógica. Para facilitar al máximo su comprensión se ha realizado

este módulo el cual utiliza un lenguaje sencillo y claro.

Se utilizará referencias bibliográficas que complementarán y

fortalecerán el aprendizaje.

CARTA AL ESTUDIANTE

Estimados Estudiantes:

Recibe una cordial bienvenida al estudio del Módulo de Geometría.

El estudio de este módulo te permitirá de manera interactiva

adquirir destrezas con los conceptos esenciales de la geometría

como son las figuras.

Así mismo, te ayudará a reconocer la importancia de estos conceptos

y sus aplicaciones. A través del módulo, encontrarás actividades

relacionadas al tema, el cual podrás contestar con facilidad. Cuando

requieras la ayuda formativa del profesor debes solicitarla a través

del grupo de WhatsApp que tenemos.

Te deseo éxito en el desempeño de tus tareas.

OBJETIVOS

Al finalizar todas las tareas relacionadas con este módulo

instruccional, el estudiante demostrará habilidad para:

• Identificar figuras geométricas

• Identificar las clases de ángulos y relaciones entre estos

• Reconocer rectas paralelas y no paralelas

• Establecer conjeturas sobre los ángulos que se forman al

construir dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

• Identificar ángulos complementarios, suplementarios,

adyacentes, alternos internos, alternos externos y

correspondientes.

• Clasificar triángulos según la medida de sus ángulos

• Clasificar figuras geométricas en polígonos o no polígonos

• Identificar polígonos por su nombre.

INSTRUCCIONES

Hola, vamos a comenzar con un módulo interactivo el cual te

ayudará reforzar aquellas destrezas básicas de geometría necesarias

para un mejor aprovechamiento. Es importante que leas bien cada

parte que se esta presentado de manera que puedas completar cada

tarea.

Todas las destrezas tienen una prueba la cual contestarás para saber

lo aprendido.

Antecedentes históricos de la geometría

La palabra geometría se deriva de los vocablos griegos geos (tierra) y metrón (medida). Los

antiguos egipcios, chinos, babilonios, romanos, griegos utilizaron la geometría en la

agrimensura, navegación, astronomía y otras labores prácticas. Los griegos trataron de

sistematizar los datos geométricos que conocían estableciendo razones lógicas y

relaciones entre ellos. El trabajo para sistematizar los hechos y principios geométricos por

hombres como Thales de Mileto (600 a. de J.), Pitágoras (540 a. de J.) y Aristóteles (350.

A. de J.) culmino con el texto sobre geometría intitulado: Elementos escrito por Euclides

alrededor de 325 a. de. J. este texto tan extraordinario se ha utilizado por más de 2000

años.

Términos definidos de la geometría: Punto, Línea y Plano

Punto, línea y plano son términos indefinidos

En estos términos se basa la definición de todos los términos geométricos. Se le puede dar

un significado por medio de descripciones. Sin embargo, las descripciones que aparecen

en seguida no deben considerarse como definiciones.

• Punto: Un punto sólo tiene posición. No tiene longitud anchura y grosor. Se

representa el punto por medio de un “punto dibujado”. No debe olvidarse que el

“punto dibujado” representa el concepto de punto, pero no es punto

conceptualmente, al igual que un “puno dibujado” dibujado en un mapa representa

una localidad pero no es la localidad misma. Un “punto dibujado”, a diferencia de un

punto conceptual tiene tamaño.

• Línea: Una línea tiene longitud, pero no anchura o grosor. Una línea puede

representarse por medio de una gis en una pizarra o por una banda de caucho

estirada. Una línea se designa con letras mayúsculas en dos puntos cualquiera

sobre ella o con una letra minúscula.

Por Ejemplo:

Una línea puede ser: recta, curva, una

combinación de ambas.

Una línea recta puede extenderse en

forma ilimitada; en cualquier dirección indefinidamente. Un rayo es la parte de una

línea recta que comienza en un punto dado y se extiende en forma ilimitada en una

dirección 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y designan rayos.

• Planos: Un plano tiene longitud y anchura, pero no espesor. Puede

representarse por medio de una pizarra o tablero; sin embargo,

recuerde que éstas son representaciones del plano, pero no plano

realmente. Una superficie plana (o plano) es una superficie tal que, si una línea recta

conecta dos puntos cualesquiera, ésta queda contenida en ella en forma total.

La geometría plana es a geometría de las figuras planas aquéllas que pueden

trazarse sobre un plano. A menos que se indique otra cosa.

Ejemplo de Punto, Línea y Plano según las definiciones presentadas anteriormente:

LÍNEA RECTA

Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.

¿LA RECTA ES INFINITA?

Claro las rectas son infinitas por eso en geometría se trabaja con "pedazos" o "trozos" de recta

denominados: segmentos de recta.

¿CÓMO UNIR DOS PUNTOS?

Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más

corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.

LÍNEA CURVA

Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.

Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma

ilimitada.

EL PLANO

Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura, pero no espesor.

El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están

en tres dimensiones.

La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo...

En otras palabras la geometría plana estudia a las figuras planas (polígonos).

DIAGRAMAS CARTESIANOS

Estos diagramas fueron creados por Rene Descartes, también conocido como Cartesio, de ahí

que estos diagramas se llamen denominen diagramas cartesianos.

Un diagrama cartesiano consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes

mediante dos rectas perpendiculares entre sí (horizontal y vertical respectivamente). Dichas

rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.

Estas rectas reciben los nombres de: la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las

x") y la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y").

¿Qué es un par ordenado?

Veamos un ejemplo, en la figura de arriba: el punto de coordenadas (2,3) se localiza situándonos

en el punto marcado con el 2 en el eje de las "x"; una vez aquí, subimos hacia arriba

verticalmente de forma paralela al eje de las "y", hasta el lugar marcado en este eje con el 3, ese

es el punto buscado.

¿Qué es un producto cartesiano?

Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles formados por un

elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el producto cartesiano de

los dos conjuntos. Se escribe:

Podemos representarlo de diferentes formas: diagramas de flechas, diagramas arbolados, tablas y

gráficos cartesianos. Cada par que formemos con un elemento de A y uno de B, en ese orden, recibe

el nombre de par ordenado.

Segmentos de líneas

Líneas, segmentos, y rayas

Aunque intuitivamente sabemos que es una línea, actualmente es difícil dar una buena definición

matemática. Aproximadamente, podemos decir que una línea es una colección de puntos

infinitamente delgada, infinitamente larga extendiéndose en dos direcciones opuestas. Cuando

dibujamos líneas en geometría, usamos una flecha en cada extremo para mostrar que se extiende

infinitamente.

Una línea puede ser nombrada ya sea usando dos puntos en la línea (por ejemplo, ) o

simplemente por una letra, usualmente minúscula (por ejemplo, línea m ).

Un segmento de línea tiene dos puntos finales. Contiene esos puntos finales y todos los puntos de

línea entre ellos. Usted puede medir la longitud de un segmento, pero no la de una línea.

Un segmento es nombrado por sus dos puntos finales, por ejemplo, .

Una raya es una parte de una línea que tiene un punto final y va infinitamente en una sola

dirección. Usted no puede medir la longitud de una raya.

Una raya es nombrada usando su punto final primero, y luego cualquier otro punto en la raya (por

ejemplo, )

El círculo

El círculo es una región del plano delimitada por una circunferencia y, por tanto, tiene asociada

un área.

Un círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo,

llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio.

Elementos relevantes del círculo compartidos con la circunferencia:

• El centro es el centro de su circunferencia y, por tanto, equidistante a todos los

puntos esta. Señalado con el nombre en la figura.

• Un radio es cualquier segmento que une el centro con un punto de su circunferencia.

El radio también es la longitud de los segmentos del mismo nombre. Señalado con

el nombre en la figura. Su longitud es la mitad que la del diámetro.

• Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de su circunferencia

pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmentos del

mismo nombre. Señalado con el nombre en la figura. Su longitud es el doble que la

del radio.

• El perímetro es el contorno del círculo y su longitud. Señalado con el nombre en la

figura.

• Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de su circunferencia. El

diámetro es una cuerda de máxima longitud. Segmento verde en la figura es una

cuerda. Si pasara por el centro sería la cuerda de mayor tamaño, es decir el

diámetro.

• Un arco es cualquier porción de su circunferencia delimitada por dos puntos sobre

esta. Se dice también que una cuerda subtiende cada arco que determinan sus

extremos. Línea curva azul en la figura.

• Una flecha o sagita respecto una cuerda es el segmento de su mediatriz que hay

entre esta cuerda y el arco que determina esta, sin pasar por el centro. Segmento

rojo en la figura.

Perímetro

Artículo principal: Circunferencia

El perímetro de un círculo es el de su circunferencia y en función del radio o del

diámetro tiene el valor:

donde es la constante pi.

Área

El área de un círculo de radio o diámetro , tendrá un valor:

mostrar

Propiedades

• Solo las rectas que contenga el centro del círculo puede ser un eje de simetría de

este.

• Los círculos son invariantes a cualquier rotación con el eje en el centro de este

círculo.

Posiciones de las rectas respecto del círculo:

• Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con el círculo.

Señalada con el nombre en la figura.

• Una recta tangente es cualquier recta que toca al círculo en un único punto.

Señalada con el nombre en la figura.

• Una recta secante es cualquier recta que corta divide al círculo en dos partes.

Señalada con el nombre y los puntos de intersección y en la figura.

Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte el círculo con los

diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo

punto de su circunferencia se pueden hacer tangencias.

Propiedades

• Toda recta tangente a un círculo es perpendicular al radio que contiene el punto de

tangencia.

Entre círculos

Posiciones entre círculos:

• Un círculo es disjunto a otro, si no tienen puntos comunes con el otro.

• Un círculo es tangente exterior a otro, si tienen un único punto común en sus bordes

y, por tanto, todos los demás puntos del uno son exteriores al otro.

• Un círculo es interior a otro sí, todos sus puntos son comunes al otro, es decir, los

conjuntos de sus puntos están contenidos en el otro.

• Un círculo es tangente interior a otro, si es interior y tiene un único punto común en

sus bordes.

• Son excéntricos los círculos que no tienen el mismo centro.

• Son concéntricos los círculos que tienen el mismo centro, es decir, los que no son

excéntricos.

• Son coincidentes los círculos que tienen el mismo centro y el mismo radio, es decir,

que todos los puntos de uno son los del otro y viceversa, y por tanto indistinguibles.

Propiedades

• Los centros de los círculos tangentes están alineados con el punto de tangencia.

Ángulos en un círculo

Artículo principal: Circunferencia#Ángulos en una circunferencia

Posición de los ángulos respecto de un círculo, puede ser:

• Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro del círculo

• Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre el borde del círculo y cada lado

determina una cuerda sobre este

• Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre el borde del círculo y uno

de sus lados secantes determina una cuerda y el otro determina una recta tangente

al círculo, es decir, que el vértice es un punto de tangencia.

Regiones circulares

Elementos relacionados con partes de las regiones del círculo, figura 1:

• El semicírculo es cualquier parte del círculo delimitada por un diámetro y el arco o

semicircunferencia que determina este diámetro sobre su circunferencia. Véase la

figura 2.

• El segmento circular es cualquier parte del círculo delimitada por una cuerda y uno

de los arcos que determina esta cuerda sobre su circunferencia. Véase la figura 3.

• El segmento circular de dos bases es cualquier parte del círculo delimitada entre

dos cuerdas paralelas y los arcos que determinan estos sobre su circunferencia

Véase figura 4.

• El sector circular es cualquier parte del círculo delimitada por dos radios y el arco

que determinan estos lados sobre su circunferencia, por tanto, queda unívocamente

determinada por un ángulo central. Véase figura 5.

• La corona circular es la región del plano delimitada entre dos circunferencias

concéntricas, exterior a la de radio menor e interior a la de radio mayor. Véase figura

6.

• El trapecio circular es cualquier parte de la corona circular delimitada por un ángulo

central. Véase figura 7.

• La lúnula es cualquier región del plano delimitada por dos circunferencias secantes,

interior a una y exterior a la otra. Véase figura 8.

ASIGNACIÓN #1

FECHA DE ENTREGA: por confirmar

Indicaciones: resuelva los problemas del 1 al 9 del material impreso.

Criterios por evaluar

Análisis y aplicación del concepto teórico 5 puntos cada uno

Procedimiento 5 puntos en cada uno

Respuesta 2 punto cada uno

Puntualidad en la entrega 5 puntos

Orden y aseo 3 puntos

Nitidez en los dibujos 5 puntos

Presentación 5 puntos

Total 125 puntos

OBSERVACIÓN

Se les envía los problemas de aplicación escaneado del libro Geometría de

Barnett Rich segunda edición – MC Graw Hill