UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO
ANEXO DE KUSAPÍN
FACULTAD DE EDUCACIÓN
MÓDULO AUTO INSTRUCCIONAL
CURSO: GEOMETRÍA
PRIMER SEMESTRE
PREPARADO POR: MAGÍSTER ARQUIMEDES GIRÓN CHÁVEZ
ABRIL DE 2020
CONTENIDO
Justificación
Introducción
Carta al estudiante
Objetivos
Instrucciones
Módulo #1
Pre prueba
Post prueba
Referencias bibliográficas
JUSTIFICACIÓN
Este módulo esta dirigido a la comunidad de estudiantes del anexo
de Kusapín en el curso de Geometría.
Los nuevos estándares y expectativas de la Universidad de Panamá
desean obtener de los estudiantes los más altos niveles
cognoscitivos.
Este módulo está diseñado con el propósito de facilitar el
aprendizaje de la destreza en las matemáticas: la geometría
INTRODUCCIÓN
Hay disciplinas que toman mas tiempo para asimilarlas bien. Las
matemáticas para muchos es una de estas.
Este módulo de geometría ofrece a los estudiantes una magnifica
oportunidad de acceder a los aspectos necesarios para el estudio de
una de las ramas fundamentales de las matemáticas y comprender
su lógica. Para facilitar al máximo su comprensión se ha realizado
este módulo el cual utiliza un lenguaje sencillo y claro.
Se utilizará referencias bibliográficas que complementarán y
fortalecerán el aprendizaje.
CARTA AL ESTUDIANTE
Estimados Estudiantes:
Recibe una cordial bienvenida al estudio del Módulo de Geometría.
El estudio de este módulo te permitirá de manera interactiva
adquirir destrezas con los conceptos esenciales de la geometría
como son las figuras.
Así mismo, te ayudará a reconocer la importancia de estos conceptos
y sus aplicaciones. A través del módulo, encontrarás actividades
relacionadas al tema, el cual podrás contestar con facilidad. Cuando
requieras la ayuda formativa del profesor debes solicitarla a través
del grupo de WhatsApp que tenemos.
Te deseo éxito en el desempeño de tus tareas.
OBJETIVOS
Al finalizar todas las tareas relacionadas con este módulo
instruccional, el estudiante demostrará habilidad para:
• Identificar figuras geométricas
• Identificar las clases de ángulos y relaciones entre estos
• Reconocer rectas paralelas y no paralelas
• Establecer conjeturas sobre los ángulos que se forman al
construir dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
• Identificar ángulos complementarios, suplementarios,
adyacentes, alternos internos, alternos externos y
correspondientes.
• Clasificar triángulos según la medida de sus ángulos
• Clasificar figuras geométricas en polígonos o no polígonos
• Identificar polígonos por su nombre.
INSTRUCCIONES
Hola, vamos a comenzar con un módulo interactivo el cual te
ayudará reforzar aquellas destrezas básicas de geometría necesarias
para un mejor aprovechamiento. Es importante que leas bien cada
parte que se esta presentado de manera que puedas completar cada
tarea.
Todas las destrezas tienen una prueba la cual contestarás para saber
lo aprendido.
Antecedentes históricos de la geometría
La palabra geometría se deriva de los vocablos griegos geos (tierra) y metrón (medida). Los
antiguos egipcios, chinos, babilonios, romanos, griegos utilizaron la geometría en la
agrimensura, navegación, astronomía y otras labores prácticas. Los griegos trataron de
sistematizar los datos geométricos que conocían estableciendo razones lógicas y
relaciones entre ellos. El trabajo para sistematizar los hechos y principios geométricos por
hombres como Thales de Mileto (600 a. de J.), Pitágoras (540 a. de J.) y Aristóteles (350.
A. de J.) culmino con el texto sobre geometría intitulado: Elementos escrito por Euclides
alrededor de 325 a. de. J. este texto tan extraordinario se ha utilizado por más de 2000
años.
Términos definidos de la geometría: Punto, Línea y Plano
Punto, línea y plano son términos indefinidos
En estos términos se basa la definición de todos los términos geométricos. Se le puede dar
un significado por medio de descripciones. Sin embargo, las descripciones que aparecen
en seguida no deben considerarse como definiciones.
• Punto: Un punto sólo tiene posición. No tiene longitud anchura y grosor. Se
representa el punto por medio de un “punto dibujado”. No debe olvidarse que el
“punto dibujado” representa el concepto de punto, pero no es punto
conceptualmente, al igual que un “puno dibujado” dibujado en un mapa representa
una localidad pero no es la localidad misma. Un “punto dibujado”, a diferencia de un
punto conceptual tiene tamaño.
• Línea: Una línea tiene longitud, pero no anchura o grosor. Una línea puede
representarse por medio de una gis en una pizarra o por una banda de caucho
estirada. Una línea se designa con letras mayúsculas en dos puntos cualquiera
sobre ella o con una letra minúscula.
Por Ejemplo:
Una línea puede ser: recta, curva, una
combinación de ambas.
Una línea recta puede extenderse en
forma ilimitada; en cualquier dirección indefinidamente. Un rayo es la parte de una
línea recta que comienza en un punto dado y se extiende en forma ilimitada en una
dirección 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y designan rayos.
• Planos: Un plano tiene longitud y anchura, pero no espesor. Puede
representarse por medio de una pizarra o tablero; sin embargo,
recuerde que éstas son representaciones del plano, pero no plano
realmente. Una superficie plana (o plano) es una superficie tal que, si una línea recta
conecta dos puntos cualesquiera, ésta queda contenida en ella en forma total.
La geometría plana es a geometría de las figuras planas aquéllas que pueden
trazarse sobre un plano. A menos que se indique otra cosa.
Ejemplo de Punto, Línea y Plano según las definiciones presentadas anteriormente:
LÍNEA RECTA
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
¿LA RECTA ES INFINITA?
Claro las rectas son infinitas por eso en geometría se trabaja con "pedazos" o "trozos" de recta
denominados: segmentos de recta.
¿CÓMO UNIR DOS PUNTOS?
Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más
corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.
LÍNEA CURVA
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma
ilimitada.
EL PLANO
Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura, pero no espesor.
El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están
en tres dimensiones.
La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo...
En otras palabras la geometría plana estudia a las figuras planas (polígonos).
DIAGRAMAS CARTESIANOS
Estos diagramas fueron creados por Rene Descartes, también conocido como Cartesio, de ahí
que estos diagramas se llamen denominen diagramas cartesianos.
Un diagrama cartesiano consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes
mediante dos rectas perpendiculares entre sí (horizontal y vertical respectivamente). Dichas
rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.
Estas rectas reciben los nombres de: la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las
x") y la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y").
¿Qué es un par ordenado?
Veamos un ejemplo, en la figura de arriba: el punto de coordenadas (2,3) se localiza situándonos
en el punto marcado con el 2 en el eje de las "x"; una vez aquí, subimos hacia arriba
verticalmente de forma paralela al eje de las "y", hasta el lugar marcado en este eje con el 3, ese
es el punto buscado.
¿Qué es un producto cartesiano?
Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles formados por un
elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el producto cartesiano de
los dos conjuntos. Se escribe:
Podemos representarlo de diferentes formas: diagramas de flechas, diagramas arbolados, tablas y
gráficos cartesianos. Cada par que formemos con un elemento de A y uno de B, en ese orden, recibe
el nombre de par ordenado.
Segmentos de líneas
Líneas, segmentos, y rayas
Aunque intuitivamente sabemos que es una línea, actualmente es difícil dar una buena definición
matemática. Aproximadamente, podemos decir que una línea es una colección de puntos
infinitamente delgada, infinitamente larga extendiéndose en dos direcciones opuestas. Cuando
dibujamos líneas en geometría, usamos una flecha en cada extremo para mostrar que se extiende
infinitamente.
Una línea puede ser nombrada ya sea usando dos puntos en la línea (por ejemplo, ) o
simplemente por una letra, usualmente minúscula (por ejemplo, línea m ).
Un segmento de línea tiene dos puntos finales. Contiene esos puntos finales y todos los puntos de
línea entre ellos. Usted puede medir la longitud de un segmento, pero no la de una línea.
Un segmento es nombrado por sus dos puntos finales, por ejemplo, .
Una raya es una parte de una línea que tiene un punto final y va infinitamente en una sola
dirección. Usted no puede medir la longitud de una raya.
Una raya es nombrada usando su punto final primero, y luego cualquier otro punto en la raya (por
ejemplo, )
El círculo
El círculo es una región del plano delimitada por una circunferencia y, por tanto, tiene asociada
un área.
Un círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo,
llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio.
Elementos relevantes del círculo compartidos con la circunferencia:
• El centro es el centro de su circunferencia y, por tanto, equidistante a todos los
puntos esta. Señalado con el nombre en la figura.
• Un radio es cualquier segmento que une el centro con un punto de su circunferencia.
El radio también es la longitud de los segmentos del mismo nombre. Señalado con
el nombre en la figura. Su longitud es la mitad que la del diámetro.
• Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de su circunferencia
pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmentos del
mismo nombre. Señalado con el nombre en la figura. Su longitud es el doble que la
del radio.
• El perímetro es el contorno del círculo y su longitud. Señalado con el nombre en la
figura.
• Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de su circunferencia. El
diámetro es una cuerda de máxima longitud. Segmento verde en la figura es una
cuerda. Si pasara por el centro sería la cuerda de mayor tamaño, es decir el
diámetro.
• Un arco es cualquier porción de su circunferencia delimitada por dos puntos sobre
esta. Se dice también que una cuerda subtiende cada arco que determinan sus
extremos. Línea curva azul en la figura.
• Una flecha o sagita respecto una cuerda es el segmento de su mediatriz que hay
entre esta cuerda y el arco que determina esta, sin pasar por el centro. Segmento
rojo en la figura.
Perímetro
Artículo principal: Circunferencia
El perímetro de un círculo es el de su circunferencia y en función del radio o del
diámetro tiene el valor:
donde es la constante pi.
Área
El área de un círculo de radio o diámetro , tendrá un valor:
mostrar
Propiedades
• Solo las rectas que contenga el centro del círculo puede ser un eje de simetría de
este.
• Los círculos son invariantes a cualquier rotación con el eje en el centro de este
círculo.
Posiciones de las rectas respecto del círculo:
• Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con el círculo.
Señalada con el nombre en la figura.
• Una recta tangente es cualquier recta que toca al círculo en un único punto.
Señalada con el nombre en la figura.
• Una recta secante es cualquier recta que corta divide al círculo en dos partes.
Señalada con el nombre y los puntos de intersección y en la figura.
Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte el círculo con los
diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo
punto de su circunferencia se pueden hacer tangencias.
Propiedades
• Toda recta tangente a un círculo es perpendicular al radio que contiene el punto de
tangencia.
Entre círculos
Posiciones entre círculos:
• Un círculo es disjunto a otro, si no tienen puntos comunes con el otro.
• Un círculo es tangente exterior a otro, si tienen un único punto común en sus bordes
y, por tanto, todos los demás puntos del uno son exteriores al otro.
• Un círculo es interior a otro sí, todos sus puntos son comunes al otro, es decir, los
conjuntos de sus puntos están contenidos en el otro.
• Un círculo es tangente interior a otro, si es interior y tiene un único punto común en
sus bordes.
• Son excéntricos los círculos que no tienen el mismo centro.
• Son concéntricos los círculos que tienen el mismo centro, es decir, los que no son
excéntricos.
• Son coincidentes los círculos que tienen el mismo centro y el mismo radio, es decir,
que todos los puntos de uno son los del otro y viceversa, y por tanto indistinguibles.
Propiedades
• Los centros de los círculos tangentes están alineados con el punto de tangencia.
Ángulos en un círculo
Artículo principal: Circunferencia#Ángulos en una circunferencia
Posición de los ángulos respecto de un círculo, puede ser:
• Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro del círculo
• Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre el borde del círculo y cada lado
determina una cuerda sobre este
• Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre el borde del círculo y uno
de sus lados secantes determina una cuerda y el otro determina una recta tangente
al círculo, es decir, que el vértice es un punto de tangencia.
Regiones circulares
Elementos relacionados con partes de las regiones del círculo, figura 1:
• El semicírculo es cualquier parte del círculo delimitada por un diámetro y el arco o
semicircunferencia que determina este diámetro sobre su circunferencia. Véase la
figura 2.
• El segmento circular es cualquier parte del círculo delimitada por una cuerda y uno
de los arcos que determina esta cuerda sobre su circunferencia. Véase la figura 3.
• El segmento circular de dos bases es cualquier parte del círculo delimitada entre
dos cuerdas paralelas y los arcos que determinan estos sobre su circunferencia
Véase figura 4.
• El sector circular es cualquier parte del círculo delimitada por dos radios y el arco
que determinan estos lados sobre su circunferencia, por tanto, queda unívocamente
determinada por un ángulo central. Véase figura 5.
• La corona circular es la región del plano delimitada entre dos circunferencias
concéntricas, exterior a la de radio menor e interior a la de radio mayor. Véase figura
6.
• El trapecio circular es cualquier parte de la corona circular delimitada por un ángulo
central. Véase figura 7.
• La lúnula es cualquier región del plano delimitada por dos circunferencias secantes,
interior a una y exterior a la otra. Véase figura 8.
ASIGNACIÓN #1
FECHA DE ENTREGA: por confirmar
Indicaciones: resuelva los problemas del 1 al 9 del material impreso.
Criterios por evaluar
Análisis y aplicación del concepto teórico 5 puntos cada uno
Procedimiento 5 puntos en cada uno
Respuesta 2 punto cada uno
Puntualidad en la entrega 5 puntos
Orden y aseo 3 puntos
Nitidez en los dibujos 5 puntos
Presentación 5 puntos
Total 125 puntos
OBSERVACIÓN
Se les envía los problemas de aplicación escaneado del libro Geometría de
Barnett Rich segunda edición – MC Graw Hill