universidad de guadalajara escuela preparatoria no. 2 lÍnea recta mtro. josÉ salvador beltrÁn...

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

LÍNEA RECTA

MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA

ESCUELA PREPARATORIA No. 2MTRO. J. S. BELTRÁN L.

LÍNEAS RECTAS.

1. Pendiente de una recta.2. Ángulo de inclinación.3. Ecuación de la recta para punto y pendiente.4. Ecuación general de la recta.5. Ecuación de la recta para pendiente y ordenada

en el origen.6. Condición de paralelismo.7. Condición de perpendicularidad.8. Distancia de un punto a una recta.



1. PENDIENTE DE UNA RECTA.

Pendiente: Es una inclinación.

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos es:

m = tan

12

12

xxyy

m

P 2 (x 2

, y 2)

P 1 (x 1

, y 1)




Ejemplo 1: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es:

66.032

64

1715

12

12

m

m

xxyy

m

P2 (x2, y2)

P1 (x1, y1)




Ejemplo 2: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es:

initoinfm

m

xxyy

m

03

)5(52512

12

P2 (x2, y2)

P1 (x1, y1)




Ejemplo 3: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es:

0304133

12

12

m

m

xxyy

m

P2 (x2, y2)

P1 (x1, y1)



2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN.

Si la pendiente de una recta es:

m = tan Entonces, el ángulo de inclinación de la recta es:

= tan-1 m

P2 (x2, y2)

P1 (x1, y1)




Así, para el Ejemplo 1, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es: = tan-1 m

= tan-1(2/3) = 33.69º = 33º 41’ 24”

P2 (x2, y2)

P1 (x1, y1)




Para el Ejemplo 2, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es:

= tan-1 m = tan-1

= 90º Ya que la recta es vertical.

P2 (x2, y2)

P1 (x1, y1)




Para el Ejemplo 3, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es:

= tan-1 m = tan-1 0

= 0º

Ya que la recta es horizontal.

P2 (x2, y2)

P1 (x1, y1)



3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE.

La ecuación de la pendiente de una recta, para un punto genérico P(x, y) y otro punto cualquiera que sea P1 (x1, y1) es:

Eliminando el denominador, despejando de la misma tenemos:

1

1

y ym

x x

)( 11 xxmyy



3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE.

La ecuación

Se conoce como “ecuación de la recta para punto y pendiente”.

Donde: m: pendiente de la recta (x1, y1): es un punto cualquiera

)( 11 xxmyy



4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.

Si en la ecuación

se sustituye la pendiente “m” y un punto P(x1, y1), se obtiene una ecuación de la forma

Ax + By + C = 0, la cuál se conoce como Ecuación General de la Recta.

Donde:A: coeficiente de “x”B: coeficiente de “y”C: término independiente

)( 11 xxmyy




Ejemplo 4:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(3, 7) y B(-2, 1).

La pendiente es:

Sustituyendo el punto (3, 7) y la pendiente 6/5 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:

56

56

3271

12

12

xxyy

m




m=6/5, P(3, 7)

Igualando

a “cero”:Luego, la ecuación general de la recta es:

6x – 5y + 17 = 0A=6, B=-5, C=17

017560

3518560

186355

)3(6)7(5

)3(56

7

)( 11

yx

yx

xy

xy

xy

xxmyy




Ejemplo 5:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto C(-2, 7) y D(4, -3).

La pendiente es:

Sustituyendo el punto (4, -3) y la pendiente -5/3 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:

35

610

)2(473

12

12

xxyy

m




m=-5/3, P(4, -3)

Igualando


5x + 3y - 11 = 0A=5, B=3, C=-11

01135

092035

20593

)4(5)3(3

)4(35

)3(

)( 11

yx

yx

xy

xy

xy

xxmyy




Ejemplo 6:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto E(1, 6) y F(-3, -4).

La pendiente es:

Sustituyendo el punto (1, 6) y la pendiente 5/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:

25

410

1364

12

12

xxyy

m




m=5/2, P(1, 6)

Igualando


5x – 2y + 7 = 0A=5, B=-2, C=7

07250

125250

55122

)1(5)6(2

)1(25

6

)( 11

yx

yx

xy

xy

xy

xxmyy




Ejemplo 7:Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto G(-5, 4) y H(3, 0).

La pendiente es:

Sustituyendo el punto (3, 0) y la pendiente -1/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:

21

84

)5(340

12

12

xxyy

m




m=-1/2, P(3, 0)

Igualando a “cero”:

Luego, la ecuación general de la recta es:

x + 2y - 3 = 0A=1, B=2, C=-3

032

32

)3(1)0(2

)3(21

0

)( 11

yx

xy

xy

xy

xxmyy




Si ya se conoce la pendiente “m” y el punto, se sustituyen directamente en la ecuación de la recta para “punto y pendiente”.

)( 11 xxmyy



5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b.

Si de la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 despejamos “y”:

Obtenemos: )(BC

xBA

y

BCAx

y

CAxBy

(0, b)




Que tiene la formay = m x + b

Donde:

)(BC

xBA

y

(0, b)

BC

b

BA

m




Por lo tanto, si conocemos la ecuación general de la recta

A x + By + C = 0, podemos calcular su pendiente “m” y su ordenada en el origen. Esto es, que el punto P(x1 , y1) es P(0,b) donde x1 = 0 y y1 = b.

(0, b)




Ejemplo 8: De la recta 6x-5y+17=0 A=6, B=-5 y C=17.

Luego:

517

517

56

56

BC

b

BA

m

(0, 17/5)




Ejemplo 9:De la recta

5x + 3y -11 = 0, A=5, B=3 y C=-11.

Luego:

311

3)11(

35

BC

b

BA

m

(0,11/3)



6. CONDICIÓN DE PARALELISMO.

Sean L1 y L2 dos rectas paralelas y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura.

L2 L1

12

Luego:

2 = 1

Tan 2 = Tan 1

m2 = m1




Ejemplo 10: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el

punto (3, -2) y es paralela a la recta 5x - 2y + 7 = 0.

L1: 5x – 2y + 7 = 0

L2: pasa por (3, -2) y es

paralela a L1.

L2L1



2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO.

De la ecuación de la recta 5x - 2y + 7 = 0, podemos calcular “m” como sigue:

Pero:

m2 = m1=5/2 y P(3, -2)

25

25

BA

m

L2L1




m2 = m1=5/2 y P(3, -2)

Luego, sustituyendo en

Obtenemos L2: 5x – 2y – 19 = 0

L2L1

01925,041525

15542),3(5)2(2

)3(2

5)2(),( 11

yxyx

xyxy

xyxxmyy





punto (-2, 1) y es paralela a la recta x + 2y - 3 = 0.

L1: x + 2y - 3 = 0

L2: pasa por (-2, 1) y es

paralela a L1.

L1L2




De la ecuación de la recta

x + 2y - 3 = 0, podemos calcular “m” como sigue:

Pero:

m2 = m1=-1/2

y P(-2, 1)

21

BA

m

L2 L1




m2 = m1=-1/2 y P(-2, 1)


Obtenemos L2: x + 2y = 0

02,0222

222),2(1)1(2

))2((21

)1(),( 11

yxyx

xyxy

xyxxmyy

L2 L1



7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.

Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura.

L2

L1

1

2

Luego:

2 = 1+90º

Tan 2 = Tan (1+90º)

m2 = -1/m1





punto (2, 1) y es perpendicular a la recta 3x–2y+5=0.

L1: 3x-2y+5=0

L2: pasa por (2, 1) y es

perpendicular a L1




De la ecuación de la recta 3x-2y+5=0, podemos calcular “m” como sigue:

Pero: P(2, 1) y

23

23

BA

m

32

2/31

m1

m1

2




m2 = -2/3 y P(2,1)


Obtenemos: L2: 2x+3y-7=0

043y3x2

4x23y3

)2x(2)1y(3

)2x(32

)1(y

)xx(myy 11





punto (2,-3) y es perpendicular a la recta 3x+5y-1=0.

L1: 3x+5y-1=0

L2: pasa por (2,-3) y es

perpendicular a L1




De la ecuación de la recta 3x+5y-1=0, podemos calcular “m” como sigue:

Pero: P(2,-3) y

53

53

BA

m

35

5/31

m1

m1

2




m2 = 5/3 y P(2,-3)


Obtenemos: L2: 5x-3y-19=0

0109y3x5

10x59y3

)2x(5)3y(3

)2x(35

)3(y

)xx(myy 11




Ejemplo 14: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los

puntos (2, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por el punto (3, 4) y (-2,-1).

L1: pasa por (3, 4) y (-2,-1)

L2: pasa por (2, 1) y es

perpendicular a L1




La pendiente de la recta que pasa por (3, 4) y (-2,-1) es:

Pero:

Luego, sustituyendo m2 = -1 y P(2, 1):

Obtenemos la ecuación: x+y-3=0

155

3241

xxyy

m12

12

1

11

m1

m1

2

01y2x

2x1y

)2x(1)1(y

)xx(myy 11



8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Para encontrar la distancia d de un punto (x1, y1) a una recta L, se traza la recta L1 paralela a L y que pase por el punto (x1, y1).

La ecuación es:

El signo del radical debe ser opuesto al de C.

Y

X

L1

L

d

22 BA

CByAxd

(x1, y1)




Ejemplo 15:Encontrar la distancia d desde la recta 8x+15y-24=0 al punto (-2,-3).

Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación:

Enseguida la coordenada del punto:

Como d es negativo, el origen y el punto están al mismo lado de la recta.

2222 158

24y15x8

BA

CByAxd

51785

1724)3(15)2(8

d




Ejemplo 16:Encontrar la distancia d desde la recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7).

Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación:

Enseguida la coordenada del punto:

Como d es positivo, el origen y el punto están en distinto lado de la recta.

2222 )8(6

5y8x6

BA

CByAxd

7.51057

105)7(8)1(6

d



FIN

universidad de guadalajara escuela preparatoria no. 2 lÍnea recta mtro. josÉ salvador beltrÁn...

Documents