universidad de castilla-la mancha, campus de ciudad real

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de

Caminos, Canales y PuertosUniversidad de Castilla-La Mancha, Campus de Ciudad Real

Curso Cero-Matemáticas

4. Funciones Trigonometricas

4.1 IntroduccionLa trigonometrıa es la parte de la geometrıa que se dedica al estudio de las razones entre los

lados de un triangulo y sus generalizaciones angulares a cuerpos mas complejos. Se aplica directao indirectamente en aquellos problemas donde se requieren medidas de angulos de gran precision.En este tema revisaremos las funciones trigonometricas y sus propiedades mas relevantes, ası comodiversas ecuaciones y situaciones practicas en las que aparecen.

Un problema muy sencillo que surge habitualmente es el calculo de la longitud de uno de loslados de un triangulo dado a partir de otro de los lados y angulos de ese triangulo. El concepto derazon trigonometrica nos relaciona los angulos de un triangulo con sus lados.

Consideremos la figura adjunta en la que se muestra una circunferencia de radio r y un triangulorectangulo de hipotenusa r y catetos horizontal x y vertical y junto con el angulo a del vertice quepasa por el centro de la circunferencia.

Se tienen las siguientes razones trigonometricas:

sena =cateto opuesto

hipotenusa=

y

r.

cosa =cateto adyacente

hipotenusa=

x

r.

tga =cateto opuesto

cateto adyacente=

y

x.

cotga =cateto adyacentecateto opuesto

=x

y.

x

<latexit sha1_base64="T+BYKRS5kf0v/caa64evFyevYVs=">AAAB6HicbVA9SwNBEJ2LXzF+RS1tFoNgFe4koHYRG8sEzAckR9jbzCVr9j7Y3RPDEbC3sVDE1p9k579xc2ehiQ+Gebw3y848LxZcadv+sgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+graJEMmyxSESy61GFgofY0lwL7MYSaeAJ7HiT67nfuUepeBTe6mmMbkBHIfc5o9pIzYdBuWJX7QxkmTg/pFKvQYbGoPzZH0YsCTDUTFCleo4dazelUnMmcFbqJwpjyiZ0hD1DQxqgctNs0Rk5McqQ+JE0FWqSqb9fpDRQahp4ZjKgeqwWvbn4n9dLtH/hpjyME40hyz/yE0F0ROZXkyGXyLSYGkKZ5GZXwsZUUqZNNiUTgrN48jJpn1WdWvWyWavUrx7zOIpwBMdwCg6cQx1uoAEtYIDwBC/wat1Zz9ab9Z6PFqy8wyH8gfXxDa1Xjfs=</latexit>

y

<latexit sha1_base64="T3SSuwtgv1k4SG59w3KpBw2z/p4=">AAAB6HicbVA9SwNBEJ3zM8avqKXNYhCswp0E1C5iY5mA+YDkCHubuWTN3ge7e8JxBOxtLBSx9SfZ+W/c3Flo4oNhHu/NsjPPiwVX2ra/rJXVtfWNzdJWeXtnd2+/cnDYUVEiGbZZJCLZ86hCwUNsa64F9mKJNPAEdr3pzdzvPqBUPArvdBqjG9BxyH3OqDZSKx1WqnbNzkGWifNDqo065GgOK5+DUcSSAEPNBFWq79ixdjMqNWcCZ+VBojCmbErH2Dc0pAEqN8sXnZFTo4yIH0lToSa5+vtFRgOl0sAzkwHVE7XozcX/vH6i/Us342GcaAxZ8ZGfCKIjMr+ajLhEpkVqCGWSm10Jm1BJmTbZlE0IzuLJy6RzXnPqtatWvdq4fiziKMExnMAZOHABDbiFJrSBAcITvMCrdW89W2/WezG6YhUdjuAPrI9vrtuN/A==</latexit>

r

<latexit sha1_base64="5+r0QSI47EDEM1GvgH9pRsjqx9Y=">AAAB6HicbVA9SwNBEJ3zM8avqKXNYhCswp0E1C5iY5mA+YDkCHubSbJmb+/Y3RPCEbC3sVDE1p9k579xc2ehiQ+Gebw3y868IBZcG9f9clZW19Y3Ngtbxe2d3b390sFhS0eJYthkkYhUJ6AaBZfYNNwI7MQKaRgIbAeTm7nffkCleSTvzDRGP6QjyYecUWOlhuqXym7FzUCWifdDyrUqZKj3S5+9QcSSEKVhgmrd9dzY+ClVhjOBs2Iv0RhTNqEj7FoqaYjaT7NFZ+TUKgMyjJQtaUim/n6R0lDraRjYyZCasV705uJ/Xjcxw0s/5TJODEqWfzRMBDERmV9NBlwhM2JqCWWK210JG1NFmbHZFG0I3uLJy6R1XvGqlatGtVy7fszjKMAxnMAZeHABNbiFOjSBAcITvMCrc+88O2/Oez664uQdjuAPnI9vpD+N9Q==</latexit>

�

<latexit sha1_base64="PPVjbn0tfV/bJN+rqZyr05bnu+4=">AAAB7XicbVBNSwMxEJ2tX7V+VT16CRbBU9mVgnqrePFYwX5Au5TZNG1js9klyQplKfgTvHhQxKv/x5v/xnTXg7Y+GObx3oTMvCAWXBvX/XIKK6tr6xvFzdLW9s7uXnn/oKWjRFHWpJGIVCdAzQSXrGm4EawTK4ZhIFg7mFzP/fYDU5pH8s5MY+aHOJJ8yCkaK7V6KOIx9ssVt+pmIMvE+yGVeg0yNPrlz94goknIpKECte56bmz8FJXhVLBZqZdoFiOd4Ih1LZUYMu2n2bYzcmKVARlGypY0JFN/v0gx1HoaBnYyRDPWi95c/M/rJmZ44adcxolhkuYfDRNBTETmp5MBV4waMbUEqeJ2V0LHqJAaG1DJhuAtnrxMWmdVr1a9vK1V6lePeRxFOIJjOAUPzqEON9CAJlC4hyd4gVcncp6dN+c9Hy04eYdD+APn4xtSn5AX</latexit>

Eje de los senos

Eje de los cosenos

Línea de las tangentes

Línea de las cotangentes

36 Capıtulo 4. Funciones Trigonometricas

Las razones trigonometricas seno (sen), coseno (cos), tangente (tg) y cotangente (cotg) se definencomo funciones del angulo a , el cual puede tomar cualquier valor real.

Funcion seno: El seno es una funcion trigonometrica definida para cualquier numero real de lavariable angular a y todos sus valores estan comprendidos en el intervalo [�1,1].

Propiedades de la funcion seno: para todo a 2 R�1 sena 1.sen(a +2p) = sena: periodica con periodo 2p.sen(�a) = �sena . Es decir, es una funcion impar (cambia de signo si el argumento lo hace).sen(a +p) = �sena.senak = 0 si ak = kp, 8k 2 Z. Esto es, los ak son los ceros de la funcion seno.

Funcion coseno: El coseno es una funcion trigonometrica definida para cualquier numero real de lavariable angular a y todos sus valores estan comprendidos en el intervalo [�1,1].

Propiedades de la funcion coseno: para todo a 2 R�1 cosa 1.cos(a +2p) = cosa: periodica con periodo 2p.cos(�a) = cosa . Es decir, es una funcion par (no cambia de signo si el argumento lo hace).cos(a +p/2) = �sena .cosak = 0 si ak = p

2 + kp, 8k 2 Z. Esto es, los ak son los ceros de la funcion coseno.

Funcion tangente: La tangente es una funcion trigonometrica definida solo para numeros reales atales que a 6= p

2 + kp, para cualquier k 2 Z. La imagen de la tangente es todo el conjunto R.

Propiedades de la funcion tangente: para todo a 2 dominio(tg)

tga =senacosa

.

tg(a +p) = tga: periodica con periodo p.tg(�a) = � tga . Es decir, es una funcion impar (cambia de signo si el argumento lo hace).tgak = 0 si ak = kp, 8k 2 Z. Esto es, los ak son los ceros de la funcion tangente.

Funcion cotangente. La cotangente es una funcion trigonometrica definida solo para numeros realesa tales que a 6= kp, para cualquier k 2 Z. La imagen de la tangente es todo el conjunto R.

Propiedades de la funcion cotangente: para todo a 2 dominio(cotg)

cotga =cosasena

.

cotg(a +p) = cotga: periodica con periodo p.cotg(�a) = �cotga . Es decir, es una funcion impar (cambia de signo si el argumento lohace).cotgak = 0 si ak = p

2 + kp, 8k 2 Z. Esto es, los ak son los ceros de la funcion cotangente.

En la figura 4.1 de la pagina siguiente se representan las graficas de las cuatro funcionestrigonometricas anteriores. El angulo a que aparece en esas graficas esta medido en radianes.Recuerdese que un radian es aquel angulo subtendido desde el centro de una circunferencia deradio r por un arco cuya longitud es igual a r. La relacion entre radian y grados es: 1 radian= 180�/p ' 57.29577951�. La equivalencia entre algunos angulos importantes expresados en gradosy en radianes: 180� = p radianes, 90� ⌘ p

2 radianes 45� ⌘ p2 radianes y 30� ⌘ p

6 radianes.

4.1 Introduccion 37

-2 p - 3 p2-p - p2 0 p

2p 3 p

22 p

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-2 p - 3 p2-p - p2 0 p

2p 3 p

22 p

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-2 p - 3 p2-p - p2 0 p

2p 3 p

22 p

-4

-2

0

2

4

-2 p - 3 p2-p - p2 0 p

2p 3 p

22 p

-4

-2

0

2

4

(a) (b)

(d)(c)

sen

�

<latexit sha1_base64="ODW23+KMa3UrU7yuV1deUGTvPlE=">AAACFXicbVBNixNBEK2J6xqju0Y97mXYIIgsYSYEv06BvXjMgvmATAg1nUrSpKdn7K4Rw5Df4cW/4mUREVzYs//Gzsdhk2xBw+O911S9F2dKWg6Cf17pwdHD40flx5UnT09On1Wfv+jaNDeCOiJVqenHaElJTR2WrKifGcIkVtSL55crvfeVjJWp/syLjIYJTrWcSIHsqFH1bRTTVOqCvmg0BhdvlpWI6RubpLCkl9FFhCqbYSUiPb5jGlVrQT1Yj38Iwi2otZqwnvao+icapyJPSLNQaO0gDDIeFmhYCkVuaW4pQzHHKRXrVEv/laPG/iQ17mn21+yODxNrF0nsnAnyzO5rK/I+bZDz5P2wkDrLmbTYLJrkyufUX1Xkj6UhwWrhAAoj3YW+mKFBwa7Iiose7gc9BN1GPWzWP1w1aq2Pmw6gDGdwDq8hhHfQgk/Qhg4I+AHX8BduvO/eT++X93tjLXnbPy9hZ7zb/3rFoCI=</latexit>

cos�

<latexit sha1_base64="7uosrMAHdejDgHibBcPPIFMKn68=">AAACC3icbVDLSgNBEOz1GddX1KOXxSCISNgNAR+ngBePEUwiuCH0TjrJ4OzsOjMrLCGf4MVf8SLiRUHwF/wbJ4kHXw0DRVUN3VVRKrg2vv/hzMzOzS8sFpbc5ZXVtfXixmZTJ5li1GCJSNRlhJoEl9Qw3Ai6TBVhHAlqRdenY711S0rzRF6YPKV2jH3Je5yhsVSneBBG1OdySDcSlcJ8f+SGLNEhinSAbkiy+03qFEt+2Z+M9xcEX6BUq8Jk6p3ie9hNWBaTNEyg1leBn5r2EJXhTJBdlWlKkV1jn4aTLCNv11Jdr5co+6TxJuwPH8Za53FknTGagf6tjcn/tKvM9I7aQy7TzJBk00W9THgm8cbFeF2uiBmRW4BMcXuhxwaokBlbn2ujB7+D/gXNSjmolo/PK6XaybQDKMA27MAeBHAINTiDOjSAwT08wgu8OnfOg/PkPE+tM87Xny34Mc7bJyDfm5k=</latexit>

cotg

�

<latexit sha1_base64="CyVmUop32vvyLfLEqL0X2imnaUM=">AAACFnicbVBNSyNBEK2Ju+rGXY163MuwQRBZwkwQ/DgFvHhU2KjghFDTqSRNenrG7hoxDPkfXvwrXkT0oODVf7OdxMOabEHD473XVL0XZ0paDoJ3r7Tw5evi0vK38sr3H6trlfWNM5vmRlBTpCo1FzFaUlJTkyUrusgMYRIrOo8HR2P9/JqMlan+w8OMWgn2tOxKgeyodmUviqkndUFXGo3B4c6oHDHdsEkKkXJvFP2OUGV9LEekO/+42pVqUAsm48+D8ANUG7swmZN25TnqpCJPSLNQaO1lGGTcKtCwFIrc1txShmKAPSomsUb+lqM6fjc17mn2J+wnHybWDpPYORPkvp3VxuT/tMucu/utQuosZ9JiuqibK59Tf9yR35GGBKuhAyiMdBf6oo8GBbsmyy56OBt0HpzVa+Fu7eC0Xm0cTjuAZfgJv2AbQtiDBhzDCTRBwB08wAu8erfevffoPU2tJe/jzyZ8Gu/tL033oJM=</latexit>

tg�

<latexit sha1_base64="A1r3m2dmv8O2jLZc1yfdxRaR3Yg=">AAACFHicbVBNixNBEK2J6xqju0Y97mXYIIgsYSZE/DgF9uIxC+YDMiHUdCpJk56esbtGDEP+hhf/ipdFBHFh7/4bOx+HTbIFDY/3XlP1XpwpaTkI/nmlB0cPjx+VH1eePD05fVZ9/qJr09wI6ohUpaYfoyUlNXVYsqJ+ZgiTWFEvnl+u9N5XMlam+jMvMhomONVyIgWyo0bVt1FMU6kL+qLRGFy8WVYipm9skoKny+giQpXNsBKRHt/xjKq1oB6sxz8E4RbUWk1YT3tU/RONU5EnpFkotHYQBhkPCzQshSK3M7eUoZjjlIp1qKX/ylFjf5Ia9zT7a3bHh4m1iyR2zgR5Zve1FXmfNsh58n5YSJ3lTFpsFk1y5XPqrxryx9KQYLVwAIWR7kJfzNCgYNdjxUUP94Megm6jHjbrH64atdbHTQdQhjM4h9cQwjtowSdoQwcE/IBr+As33nfvp/fL+72xlrztn5ewM97tf6Gin60=</latexit>

�

<latexit sha1_base64="K6OhEHCa8JrDMAmtxDkIfhLdaVg=">AAAB43icbVDLSgMxFL1TX7W+qi7dRIvgqsxIwceq4kI3QgX7gLaUO2mmjc3MhCQjlNKVSzcibhT6P/6Cf2P62LT1wIXDOeeSe+JLwbVx3V8ntbK6tr6R3sxsbe/s7mX3Dyo6ThRlZRqLWNV81EzwiJUNN4LVpGIY+oJV/d7t2K++MKV5HD2ZvmTNEDsRDzhFY6VKA4XsYiubc/PuBGSZeDOSKxaO70YPrzelVvan0Y5pErLIUIFa1z1XmuYAleFUsGGmkWgmkfawwwaTG4fk1EptEsTKTmTIRJ3LYah1P/RtMkTT1YveWPzPqycmuGwOeCQTwyI6fShIBDExGRcmba4YNaJvCVLF7YWEdlEhNfZbMra6t1h0mVTO814hf/Xo5YrXMEUajuAEzsCDCyjCPZSgDBSe4R2+4Nthzpvz4XxOoylntnMIc3BGf74GjU4=</latexit>

�


�


�


Figura 4.1: Graficas de las funciones trigonometricas (a) seno; (b) coseno; (c) tangente y (d)cotangente en el intervalo [�2p,2p].

Formulas trigonometricas: Las funciones trigonometricas satisfacen un conjunto de identidadesy relaciones, para cualquier valor a 2 R, que simplifica mucho su manejo. Algunas de las masimportantes se recogen a continuacion:

sen2 a + cos2 a = 1.sen(2a) = 2sena cosa.cos(2a) = cos2 a � sen2 a .

tg(2a) =2tga

1� tg2a.

sen2⇣a

2

⌘=

1� cosa2

.

cos2⇣a

2

⌘=

1+ cosa2

.sen(a ±b ) = sena cosb ± cosa senb .cos(a ±b ) = cosa cosb ⌥ sena senb .asena +bcosb =

pa2 +b2 sen(a +b ), con a,b 2 R.

Ejemplo: Mediante las formulas anteriores podemos demostrar muchas otras identidades trigo-nometricas, como la siguiente:

sen6 a + cos6 a = 1�3sen2 a cos2 a, para todo a 2 R.

Para ello, recurrimos a la identidad sen2 a + cos2 a = 1, de donde se deduce que si la elevamos alcubo y recordando el desarrollo (a+b)3 = a

3 +3a2b+3ab

2 +b3, se obtiene

�sen2 a + cos2 a

�3= 13 ) sen6 a +3sen4 a cos2 a +3sen2 a cos4 a + cos6 a = 1 )

sen6 a +3sen2 a cos2 a�sen2 a + cos2 a

�| {z }

=1

+cos6 a = 1 ) sen6 a + cos6 a = 1�3sen2 a cos2 a.


Funciones trigonometricas inversas: Las funciones trigonometricas anteriores poseen funcionesinversas definidas sobre ciertos intervalos. Si, por ejemplo, x = seny, entonces y = arc senx representael angulo cuyo seno es x. Como la funcion seno es periodica, existen infinitos valores para y quesatisfacen x = seny, por lo que hay que seleccionar un intervalo adecuado para y, son los llamadosvalores principales. De manera analoga, se pueden definir funciones trigonometricas inversaspara cosy, tgy y cotgy, denotadas por arccosx, arc tgx y arc cotgx, respectivamente. Indicamos acontinuacion algunas de las propiedades mas importantes que cumplen los valores principales de lasfunciones trigonometricas inversas:

sen(arcsenx) = x para �1 x 1.cos(arccosx) = x para �1 x 1.tg(arc tgx) = x para �• < x < •.cotg(arc cotgx) = x para �• < x < •.�p

2 arcsenx p2 para �1 x 1.

0 arccosx p para �1 x 1.�p

2 < arc tgx < p2 para �• < x < •.

0 < arc cotgx < p para �• < x < •.arcsenx+ arccosx = p

2 para �1 x 1.arc tgx+ arc cotgx = p

2 para �1 x 1.arcsen(�x) = �arc senx para �1 x 1.arccos(�x) = p � arccosx para �1 x 1.arc tg(�x) = �arc tgx para �• < x < •.arc cotg(�x) = p � arc cotgx para �• < x < •.arcsenx = arccos

p1� x2 para 0 x 1 y arcsenx = �arccos

p1� x2 para �1 x 0.

arcsenx = arc tg⇣

xp1�x2

⌘para �1 < x < 1.

Las funciones trigonometricas inversas aparecen muy frecuentemente en la resolucion de ecua-ciones trigonometricas como veremos a continuacion.

Ecuaciones trigonometricas. La resolucion de ecuaciones que involucran funciones trigonometricasse basa, principalmente, en la aplicacion de alguna de las propiedades y formulas presentadas.

Ejemplo: Resolver la ecuacion 2 tga �3cotga = 1.

Procedemos del siguiente modo

2tga �3cotga = 1 , 2tga � 3tga

�1 = 0 ) 2tg2 a � tga �3 = 0.

Si definimos la variable z = tga , entonces la ecuacion se reduce a una ecuacion de segundo grado2z

2 � z�3 = 0. Aplicando la formula cuadratica, las dos posibles soluciones son

z =32

y z = �1.

Entonces, deshaciendo el cambio de variable, concluimos que

tga =32

y tga = �1 , a = arc tg✓

32

◆+ kp y a = arc tg(�1)+ kp, 8k 2 Z.

La ecuacion 2 tga �3cotga = 1 tiene una infinidad de soluciones que pertenecen al conjunto:⇢

a 2 R tal que a = arc tg✓

32

◆+ kp y a = arc tg(�1)+ kp, 8k 2 Z

�.

4.2 Problemas Resueltos 39

4.2 Problemas Resueltos1. A partir de las formulas de adicion de senos y cosenos, deduce la formula:

tg(x+ y) =tgx+ tgy

1� tgx tgy.

Solucion: Utilizando el hecho de que

tg(x+ y) =sen(x+ y)

cos(x+ y)=

senxcosy+ senycosx

cosxcosy� senxseny,

donde en el ultimo paso hemos empleado las formulas de adicion de angulos del seno y elcoseno, si dividimos numerador y denominador por el factor cosxcosy, llegamos finalmentea la expresion buscada. Es importante senalar que para que dicha expresion sea valida esnecesario que cosxcosy 6= 0.

2. Encuentra una formula para expresar sen(3a) que dependa unicamente de sena .

Solucion: Comenzamos utilizando la siguiente identidad trigonometrica

sen(a +b ) = sena cosb + cosa senb ,

con b = 2a , de modo que se tendra

sen(3a) = sena cos(2a)+ cosa sen(2a) . (4.1)

Si ahora empleamos las formulas para el angulo doble

sen(2a) = 2sena cosa , cos(2a) = cos2 a � sen2 a ,

y las sustituimos en (4.1), obtendremos

sen(3a) = sena�cos2 a � sen2 a

�+ cosa (2sena cosa)

= sena�1�2sen2 a

�+2sena cos2 a


�+2sena

�1� sen2 a

�


�,

donde hemos hecho uso de la identidad cos2 a = 1� sen2 a para que unicamente aparecierala funcion sena . Observemos que la ultima expresion encontrada solo depende de sena .

3. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonometricas:

a) cos2 a �3sen2 a = 0. b) sen2 a � cos2 a =12. c) sen(2a)cosa = 6sen3 a.

Soluciones: a) Para resolver la primera ecuacion trigonometrica podemos hacer uso de laidentidad cos2 a = 1� sen2 a con objeto de que solo aparezca la funcion sena . Al hacerlo, laecuacion resultante es 1�4sen2 a = 0. Esta ecuacion se puede escribir en la forma

sen2 a =14

) sena = ±12

.


Por tanto, las posibles soluciones corresponderan a aquellos angulos a+ y a� para los cualesla funcion seno sea igual o bien a 1

2 o � 12 , respectivamente. Esto ocurre para los siguientes

conjuntos de valores

a+ =p6

+2kp, a� =5p6

+2kp,

donde k 2 Z es un numero entero cualquiera (positivo, negativo o cero). Observamos pues quela ecuacion cos2 a �3sen2 a = 0 posee dos conjuntos infinitos de soluciones.

b) La ecuacion sen2 a � cos2 a = 12 se puede escribir de una manera mas conveniente em-

pleando la identidad sen2 a � cos2 a = �cos(2a). Por tanto, debemos hallar lo valores de apara los que se cumple que

cos(2a) = �12

.

Esto sucede cuando 2a = 4p3 radianes, ası como para todos aquellos angulos dobles que

difieran de 4p3 radianes en un multiplo entero de 2p radianes. Es decir, todas las soluciones de

la ecuacion de partida vendran dadas por el conjunto infinito de valores

ak =2p3

+ kp ,

donde k 2 Z es un numero entero cualquiera (positivo, negativo o cero).

c) Comenzamos haciendo uso de la identidad trigonometrica sen(2a) = 2sena cosa , demodo que la ecuacion de partida se convierte en

sen(2a)cosa = 6sen3 a ) 2sena cos2 a = 6sen3 a .

A continuacion, utilizamos la identidad cos2 a = 1� sen2 a con objeto de que solo aparezcala funcion sena en la ecuacion. Simplificando, obtenemos

2sena�1� sen2 a

�= 6sen3 a ) 4sen3 a � sena = 0 .

La ultima ecuacion se puede factorizar como�4sen2 a �1

�sena = 0 ) sena = 0, o bien, 4sen2 a �1 = 0.

El primero de los casos, sena = 0, se cumple si ak = kp , siendo k 2 Z un numero enterocualquiera (positivo, negativo o cero). El segundo de los casos, sena = ± 1

2 , se satisface siak = ±p

6 + kp , con k 2 Z un numero entero cualquiera (positivo, negativo o cero).

4. Sea t = tg�a

2�, con a 2 R. Deduce entonces las siguientes identidades:

tga =2t

1� t2 , sena =2t

1+ t2 , cosa =1� t

2

1+ t2 .

Solucion: Estas tres identidades son de gran utilidad cuando sea necesario realizar cambios devariable para las funciones trigonometricas, por ejemplo, al calcular integrales. Comenzamosdeduciendo la primera de ellas. Para ello, utilizamos la identidad para el angulo doble

tg(x+ y) =tgx+ tgy

1� tgx tgy.


Si elegimos x = y = a2 , entonces

tg⇣a

2+

a2

⌘=

tg�a

2�+ tg

�a2�

1� tg�a

2�

tg�a

2� ) tga =

2tg�a

2�

1� tg2�a

2� .

Como t = tg�a

2�, se encuentra facilmente de la ultima relacion que

tga =2t

1� t2 .

Para deducir la segunda identidad, partimos de la formula para el angulo doble

sena = 2sen⇣a

2

⌘cos

⇣a2

⌘,

que, por conveniencia, podemos rescribir de la siguiente manera

sena =2sen

�a2�

cos�a

2� cos2

⇣a2

⌘) sena = 2tg

⇣a2

⌘cos2

⇣a2

⌘,

donde hemos supuesto que cos�a

2�

6= 0. Dado que

tg2⇣a

2

⌘=

1� cos2 �a2�

cos2�a

2� ,

y t = tg�a

2�, despejando cos2 �a

2�, encontramos que

cos2⇣a

2

⌘=

11+ t2 .

Por tanto, desena = 2tg

⇣a2

⌘cos2

⇣a2

⌘) sena =

2t

1+ t2 ,

que es la segunda identidad que querıamos deducir.

Finalmente, la ultima identidad se sigue de la formula para el angulo doble

cosa = cos2⇣a

2

⌘� sen2

⇣a2

⌘) cosa = 2cos2

⇣a2

⌘�1.

Puesto que cos2 �a2�

= 11+t2 , entonces se concluye que

cosa =2

1+ t2 �1 =1� t

2

1+ t2 .

5. Sean a,b,c y d numeros reales que satisfacen las siguientes condiciones:

a2 +b

2 = 1, c2 +d

2 = 1 y ac+bd = 0.

Hallar el valor de ab+ cd.

Solucion: Este problema no parece involucrar funciones trigonometricas, sin embargo sepuede resolver haciendo uso de las mismas. Para ello introducimos las cantidades

a = sena, b = cosa, c = senb y d = cosb .


Es claro que dichas definiciones cumplen automaticamente las condiciones a2 + b

2 = 1 yc

2 +d2 = 1. Por otro lado, de la tercera condicion, tenemos

ac+bd = sena senb + cosa cosb = 0.

Utilizando la identidad trigonometrica cos(a �b ) = cosa cosb + sena senb , se sigue quecos(a �b ) = 0. De modo similar, la expresion cuyo valor se pide, es igual a

ab+ cd = sena cosa + senb cosb ) ab+ cd =12

[sen(2a)+ sen(2b )]

donde hemos utilizado la formula del angulo doble para cada termino sena cosa y senb cosb .A continuacion, vamos a emplear mas identidades trigonometricas para transformar la ultimaexpresion en otra que nos permita encontrar el resultado buscado. Consideremos

sen(2a)+ sen(2b ) = sen [(a +b )+(a �b )]+ sen [(b +a)+(b �a)]

= sen(a +b )cos(a �b )+ sen(a �b )cos(a +b )

+ sen(a +b )cos(b �a)+ sen(b �a)cos(a +b )

= 2sen(a +b )cos(b �a) ,

donde hemos usado que sen(a �b ) = �sen(b �a) para simplificar. Concluimos que

ab+ cd =12

[sen(2a)+ sen(2b )] = sen(a +b )cos(a �b ) = 0 .

6. Dos carreteras de anchura L se cruzan entre sı subtendiendo un angulo a entre ellas (figurainferior). Se desea cubrir la zona de interseccion entre ambas carreteras con una capa dehormigon asfaltico (u hormigon bituminoso) de espesor constante h. Si la densidad (ma-sa/volumen) del asfalto la denotamos por r , encuentra una expresion para la masa total M dehormigon asfaltico que se necesita para cubrir toda la interseccion en funcion de r,h,L y a .

L

<latexit sha1_base64="wz9ORUDFI4CMwO5wKbF3kZUkZW8=">AAAB6HicjVA9SwNBEJ2LXzF+RS1tFoNgFe4koHaBNBYWCZgPSI6wt5lL1uztHbt7QjjyC2wsFLH1J9n5b9xcLFQUfDDweG+GmXlBIrg2rvvuFFZW19Y3ipulre2d3b3y/kFHx6li2GaxiFUvoBoFl9g23AjsJQppFAjsBtPGwu/eodI8ljdmlqAf0bHkIWfUWKl1PSxXvKqbg/xNKvUa5GgOy2+DUczSCKVhgmrd99zE+BlVhjOB89Ig1ZhQNqVj7FsqaYTaz/JD5+TEKiMSxsqWNCRXv05kNNJ6FgW2M6Jmon96C/E3r5+a8MLPuExSg5ItF4WpICYmi6/JiCtkRswsoUxxeythE6ooMzab0v9C6JxVvVr1slWr1BvLNKAIR3AMp+DBOdThCprQBgYI9/AIT86t8+A8Oy/L1oLzOXMI3+C8fgBJpo1U</latexit>

L

<latexit sha1_base64="wz9ORUDFI4CMwO5wKbF3kZUkZW8=">AAAB6HicjVA9SwNBEJ2LXzF+RS1tFoNgFe4koHaBNBYWCZgPSI6wt5lL1uztHbt7QjjyC2wsFLH1J9n5b9xcLFQUfDDweG+GmXlBIrg2rvvuFFZW19Y3ipulre2d3b3y/kFHx6li2GaxiFUvoBoFl9g23AjsJQppFAjsBtPGwu/eodI8ljdmlqAf0bHkIWfUWKl1PSxXvKqbg/xNKvUa5GgOy2+DUczSCKVhgmrd99zE+BlVhjOB89Ig1ZhQNqVj7FsqaYTaz/JD5+TEKiMSxsqWNCRXv05kNNJ6FgW2M6Jmon96C/E3r5+a8MLPuExSg5ItF4WpICYmi6/JiCtkRswsoUxxeythE6ooMzab0v9C6JxVvVr1slWr1BvLNKAIR3AMp+DBOdThCprQBgYI9/AIT86t8+A8Oy/L1oLzOXMI3+C8fgBJpo1U</latexit>

�

<latexit sha1_base64="MkfOkHkmfdmM7hc88RWA6Mq0erI=">AAAB7XicjVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKexKQL0FcvEYwTwgWULvZDYZMzuzzMwKIeQfvHhQxKv/482/cbLxoKJgQUNR1U13V5QKbqzvv3uFldW19Y3iZmlre2d3r7x/0DYq05S1qBJKdyM0THDJWpZbwbqpZphEgnWiSWPhd+6YNlzJGztNWZjgSPKYU7ROavdRpGMclCtB1c9B/iaVeg1yNAflt/5Q0Sxh0lKBxvQCP7XhDLXlVLB5qZ8ZliKd4Ij1HJWYMBPO8mvn5MQpQxIr7UpakqtfJ2aYGDNNIteZoB2bn95C/M3rZTa+CGdcppllki4XxZkgVpHF62TINaNWTB1Bqrm7ldAxaqTWBVT6Xwjts2pQq15e1yr1xjINKMIRHMMpBHAOdbiCJrSAwi3cwyM8ecp78J69l2VrwfucOYRv8F4/ADGej5w=</latexit>

Solucion: La masa total M de hormigon asfaltico que nos piden es igual al producto de sudensidad, r , por el volumen V que ocupa la zona de interseccion entre ambas carreteras. Elvolumen sera V = hA, donde A es el area de la zona de interseccion. Dicha interseccion tieneforma de rombo, tal y como muestra la figura superior. El area A de un rombo es igual a sualtura por la base. La altura del rombo es L mientras que la base tiene una longitud igual a

L/sena . Ası pues, A =L

2

senay el volumen correspondiente V =

hL2

sena. Concluimos entonces

que la expresion buscada para la masa total de hormigon asfaltico es M =rhL

2

sena. Notese que

cuanto menor sea a , mayor sera la masa M.


7. Como consecuencia de las altas temperaturas registradas durante el verano, uno de los raılesde un tramo de vıa ferroviaria, que tenıa inicialmente una longitud L (en llano), se alargadL. Supongamos que los extremos del tramo que se dilata permanecen fijos y que dichotramo se deforma dando lugar a un arco de circunferencia (ver figura inferior). Se deseaencontrar una relacion que permita determinar la altura maxima h que se elevara el centrodel raıl con respecto a la horizontal. Para ello, hay que deducir primeramente una ecuaciontrigonometrica correspondiente al angulo f que subtiende el arco de circunferencia que formael raıl flexionado y despues relacionar f con h.

a) Demuestra que la ecuacion trigonometrica que proporciona el angulo f que subtiende elarco de circunferencia que forma el raıl flexionado es:

2(L+dL)

Lsen

✓f2

◆�f = 0 .

b) No es necesario que resuelvas la ecuacion trigonometrica anterior. Deduce entonces quela relacion que guarda la altura maxima h con el angulo f viene dada por:

h =L

2tg✓

f4

◆.

Solucion: a) Consideremos primeramente el radio R del arco circular que describe el abomba-miento del raıl. Sea f el angulo que subtiende dicho arco. Se cumplen las siguientes relacionesgeometricas:

fR = L+dL , L = 2Rsen✓

f2

◆, R = h+Rcos

✓f2

◆.

Ignoramos cuales son los valores de R y f . Despejamos R en la segunda ecuacion anterior y lasustituimos en la primera, de donde hallamos una de las ecuaciones que pide el enunciado

f =2(L+dL)

Lsen

✓f2

◆.

b) La segunda de las ecuaciones que necesitamos la podemos deducir combinando dos de lasecuaciones anteriores. Por un lado, tenemos que

R = h+Rcos✓

f2

◆) R

1� cos

✓f2

◆�= h ) R =

h

2sen2⇣

f4

⌘ ,


donde hemos usado la identidad sen2⇣

f4

⌘=

1�cos( f2 )

2 . Por otro lado,

L = 2Rsen✓

f2

◆) L = 4Rsen

✓f4

◆cos

✓f4

◆) 2Rsen

✓f4

◆=

L

2cos⇣

f4

⌘ .

Reemplazando esta ultima expresion en la que proporciona R, encontramos finalmente lasegunda de las ecuaciones que buscabamos, h = L

2 tg⇣

f4

⌘.

4.3 Problemas Propuestos1. Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) sen(x + y) = senx + seny para todox,y 2 R.

b) |acosa| a para cualquier a > 0.c) |sena + cosa|

p2 para todo a 2 R.

Respuestas:

a) Falsa. Por ejemplo, si tomamos x =

y =p6

, entonces sen(x + y) =

p3

2y

senx + seny = 1, lo cual no puede sa-tisfacer sen(x+ y) = senx+ seny.

b) Verdadera. Como |cosa| 1, se tieneque |acosa| |a| = a, donde la ultimaigualdad es cierta puesto que a > 0.

c) Verdadera. Elevando al cuadrado elmiembros izquierdo obtenemos

|sena + cosa|2 = sen2 a + cos2 a+ 2|sena cosa|= 1+ |sen(2a) | .

Como sen(2a) 1, se concluye el re-sultado al extraer la raız cuadrada.

2. Expresa las siguientes funciones:

a) cos✓

a +3p2

◆. b) tg

⇣a +

p4

⌘.

en terminos de las funciones sena y tga , respectivamente:

Respuestas: a) cos✓

a +3p2

◆= sena. b) tg

⇣a +

p4

⌘=

cosa + senacosa � sena

=1+ tga1� tga

.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonometricas:

a) sena +p

3cosa = 2. b) 2cosa = 3tga. c) 4sen⇣a

2

⌘+2cosa = 3.

Respuestas: a) ak = p6 +2kp , para todo k 2 Z. b) Hay dos conjuntos, ak = ±p

6 +2kp , paratodo k 2 Z. c) Hay dos conjuntos, a(1)

k= p

3 +4kp y a(2)k

= 5p3 +4kp , para todo k 2 Z.

4. Sean x,y,z 2 R. Usando las formulas de adicion de angulos para el seno y el coseno, pruebaque:

sen(x� y)+ sen(y� z)+ sen(z� x) = �4sen✓

x� y

2

◆sen

✓y� z

2

◆sen

✓z� x

2

◆.

4.3 Problemas Propuestos 45

5. Sean x, y y z los respectivos angulos de un triangulo. Utilizando las formulas de adicion deangulos para el seno y el coseno, demuestra en cada caso las identidades correspondientes:

a) sen(2x)+ sen(2y)+ sen(2z) = 4senxsenysenz.b) cos(2x)+ cos(2y)+ cos(2z) = �1�4cosxcosycosz.c) sen2

x+ sen2y+ sen2

z = 2+2cosxcosycosz.

6. Empleando las formulas sen2 q + cos2 q = 1, de adicion de angulos para el seno junto consen(arcsenx) = x y tg(arc tgx) = x, demuestra en cada caso las identidades correspondientes:

a) sen(arc tgx) = xp1+x2 para �• < x < •.

b) sen(x+ arcsenx) = xcosx+p

1� x2 senx para �1 x 1.

universidad de castilla-la mancha, campus de ciudad real

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