1

Universidad �acional de La Plata

Facultad de Ciencias �aturales y Museo

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática

Asignatura: Matemática

Contenidos de la Unidad Temática nº 1 �ociones de Geometría. Breve reseña del Campo �umérico. Progresiones Aritméticas y Geométricas. Logaritmos. Coordenadas Cartesianas en el plano y en el espacio tridimensional. Sistema de Coordenadas Polares.

Ing. Carlos Alfredo López

Profesor Titular

2

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática Asignatura: Matemática

Unidad Temática nº 1

Ing. Carlos Alfredo López

I�TRODUCCIÒ� A LA GEOMETRÍA:

Existe una estrecha relación entre los conceptos geométricos y el mundo que nos rodea.

La geometría surge a partir de la observación de cosas

simples y es por ello que el estudio de la geometría no debe aislarse del mundo ni de las otras áreas de la Matemática.

Es la naturaleza misma quien ha proporcionado al hombre las primeras lecciones de geometría ya que existen en ella innumerables ejemplos de formas geométricas.

A lo largo de la historia de la humanidad el hombre ha utilizado las formas geométricas que provee la naturaleza para la creación de objetos útiles para el desarrollo de sus actividades.

La geometría, como descriptor gráfico de los problemas del hombre proporciona innumerables técnicas útiles para la resolución de problemas. Ejemplo 1 :

Hacia qué punto de la cancha debe lanzarse la bola nº5 para que rebote y golpee la bola nº1. La bola nº5 debe lanzarse hacia el punto P. (se utiliza la idea de reflexión)

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

P

3

Problema:

Indicar hacia qué punto debe lanzarse en realidad la bola nº3 para que rebote y golpee la nº1. El punto P que indica el diagrama no es el adecuado. Corregir el dibujo.

Ejemplo 2: Si sólo se dispone de una cuerda y una cinta de medir puede construirse un ángulo recto haciendo nudos a 30, 40 y 50 cm. (Esta idea es utilizada por los albañiles para formar un ángulo recto en la construcción).

Vale el Teorema de Pitágoras: 30 40 502 2 2+ =

1

2 3

P

50

40

30

4

El rompecabezas chino TANGRAM tiene unos 4000 años de antigüedad. Dibujar este cuadrado y cortarlo en las siete piezas indicadas.

Pueden construirse figuras como las siguientes: (dibujo aproximado)

1

2

5

6

7

4

3

7 6

1

2

4

3 5

5

Problema: Hacer una figura con las 7 piezas del Tangram y pasarle a algún compañero para que la resuelva.

PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO: Punto: * la marca más pequeña que se puede dibujar.

* ubicación sin longitud, ancho o altura. * es una idea o abstracción.

Recta: * la línea más fina que se puede dibujar. * longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos.

* es una idea o abstracción.

Plano: * el corte más delgado posible. * ilimitado, continuo en todas las direcciones pero sin grosor. * es una idea o abstracción.

Espacio: * todos los puntos que están afuera, sobre y dentro de un

ilimitado, sin longitud, ancho ni altura. * El conjunto de todos los puntos. * Es una idea o abstracción.

Las siguientes figuras dan la idea de punto, recta y plano.

RELACIONES ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS. Para representar puntos sobre un papel, se dibujan marcas lo más pequeñas posibles.

A

B

C

6

Una recta se puede considerar como un conjunto de puntos. Al dar nombre a un par de ellos, se define una y sólo una recta.

Un plano puede definirse si se conocen tres puntos no alineados. Los puntos A, B y C definen el plano Π. También definen un plano, una recta y un punto que no le pertenece. Algunas definiciones importantes:

• Puntos colineales: son los que están sobre una misma recta. • Puntos coplanares: son los que pertenecen a un mismo plano. • Rectas que se cortan o “intersecan”: son aquellas que tienen

un único punto común. • Rectas paralelas: son las que no se intersecan, estando sobre

un mismo plano.

A

B

r

Recta

AB

A

B

C

Π

A

r

Π

r y A definen

el plano Π

7

• Rectas concurrentes: son tres o más rectas que se cortan en un

punto. • Rectas alabeadas: no son paralelas ni coincidentes, ni se

intersecan (son rectas ubicadas en el espacio tridimensional ). Ejercicio 1 : En la siguiente figura:

a) Nombrar todos los conjuntos de tres puntos colineales. b) Nombrar conjuntos de puntos no colineales. c) Nombrar cuatro puntos entre los cuales no haya tres que sean

colineales.

A

B C

D

E

F

G

H

.

A B C

D

E

F

8

Ejercicio 2:

a) Encontrar tres pares de rectas intersecantes. b) Encontrar tres rectas concurrentes. c) Enumerar todos los pares de rectas paralelas.

Algunas figuras geométricas básicas. Teniendo en cuenta que las rectas, los planos y los espacios han sido definidos como conjuntos de puntos, se definirán del mismo modo las figuras geométricas.

• una figura plana es aquella que tiene todos sus puntos en un plano, pero no sobre la misma recta.

Ejemplo: un triángulo.

• una figura espacial no tiene todos sus puntos en un mismo plano.

Ejemplo: un paralelepípedo .

A B C

E

D

r1

F

r2

A

B

C Π

9

Idea de elementos geométricos como conjuntos.

• la recta es un subconjunto del plano Π. • la unión de r1 y r2 contiene todos los puntos de las rectas. • la intersección de las rectas r1 y r2 es el punto A. • un segmento AB es el conjunto formado por A ,B y por los puntos alineados que están entre A y B.

Π

r

Π

r1

r2

r1

r2

A

A

B

10

• semi recta: es un subconjunto de una recta formado por un punto

A y todos los puntos que están a un lado de A.

• ángulo : está formado por la unión de dos semi rectas no

colineales que tienen el mismo extremo. A es el vértice y las semirectas son los lados. • triángulo: es una figura formada por la unión de tres segmentos

que determinan tres puntos no alineados y todos los puntos interiores a ellos.

A; B y C se llaman vértices.

AB BC CA, , son los lados. • cuadrilátero: es la unión de cuatro segmentos, determinados por

cuatro puntos y sus puntos interiores; tres cualesquiera de los puntos no deben ser colineales y los segmentos solo deben cruzarse en sus extremos.

A

A

A C

B

B C

A D

11

• circunferencia : conjunto de los puntos del plano que equidistan

de un punto C llamado centro.

La medición de su longitud asigna un número real a cada segmento.

• si dos segmentos tienen la misma longitud se los llama

congruentes.

• De igual manera: dos ángulos se dicen congruentes si tienen la

misma medida.

Los diseñadores utilizan gran variedad de instrumentos y técnicas de dibujo para elaborar planos exactos referidos a proyectos.

En geometría es necesario conocer el uso de los instrumentos (la regla sin graduar y el compás).

P

C

A

B

C

D

AB CD≅

45

º

90º

12

Puede construirse:

a) un segmento congruente con uno dado.

Segmento deseado b) Un ángulo congruente con uno dado. 1 2

Ángulo dado 4

1 Trazar un arco que interseque ambas semirrectas del ángulo dado.

2 Trazar una semirrecta y un arco con la misma abertura de ( 1 ).

3 Abrir el compás tanto como la abertura del ángulo dado (midiendo sobre el arco dibujado)

4 Con el compás a esa abertura con centro en A, trazar el arco y luego el segmento punteado OB.

α

O A

B 3

13

Existen tres tipos de ángulos:

a) agudo. ( menor de 90º ) b) recto . ( igual a 90º ) c) obtuso. (mayor de 90º ) Dividir un ángulo en dos iguales: Con centro en B trazar un arco que interseque ambos lados del ángulo en D y E. Con centro en D trazar un arco interior al ángulo. Con centro en E trazar un arco en la misma abertura definiendo el punto F. Unir B con F.

30º 90º 135

A

B

C

A

B

C

D

E

B

D

E

C

B

D

E

A

14

Encontrar el punto medio de un segmento: 1) con centro en A y abertura mayor que ½ AB, trazar un arco. 2) con centro y la misma abertura, trazar un arco que intersecte al

primero, definiendo los puntos C y D. 3) la intersección del segmento C D con A B es el punto medio

trazado. Ejercicio: Dado:

a) construir un ángulo de 45º. b) construir un ángulo de 22º 30´. c) construir un ángulo de 135º. d) construir un ángulo de 67º 30´.

POLÍGONOS. Un polígono es la unión de segmentos que se juntan en sus

extremos de manera tal que: a ) dos segmentos se encuentran como máximo en un punto. b) cada segmento toca exactamente a otros dos.

A B

A B

D

A B

C

15

Los polígonos reciben su nombre particular según el número de lados

que posean; el de menor número de lados es el triángulo; le sigue el cuadrilátero, el pentágono, el hexágono, el heptágono, el octógono, etc.

* A, B, C, D y E son los vértices.

* AB BC CD DE y EA, , , son los lados. * Si unimos dos vértices no consecutivos; por ej. AC es una diagonal

• Si todas las diagonales están en el interior del polígono, se lo llama polígono convexo.

• Si una diagonal es exterior al polígono, por ejemplo CE , el polígono es cóncavo.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo. Si se cortan los ángulos y se disponen como en la figura siguiente, se

observa que :

A

E D

C

B

B

C A D

E

A

B

C

A C

B

16

$ $ $ ºA B C+ + = 180

La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º

Se observa además que: la suma de dos lados es mayor que la longitud del tercero.

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto.

Rectas y planos.

En el plano ( Espacio de dos dimensiones ) dos rectas pueden: • A) ser paralelas. • B) intersecarse.

En el espacio tridimensional dos rectas pueden : *a) ser paralelas. (definen un plano ) *b) intersecarse.

*c) ser alabeadas. ( no se intersecan y no están en el mismo plano)

23 23

27

A

17

• una recta y un plano son paralelos si no tienen puntos en común.

• los planos paralelos no tienen puntos en común.

• una transversal es una recta que interseca a dos rectas coplanares en dos puntos distintos.

• la transversal r corta a r1 y r2 en dos puntos, formando los ángulos

interiores α β γ δ, , , .

• y los ángulos externos η ε θ ϕ, , , . • Los ángulos α δ, y β γ, se denominan alternos internos. • Los ángulos ε θ, y ϕ η, son alternos externos. • Los ángulos α ε β η ϕ γ θ δ, ; , ; , ,y son correspondientes (siempre del mismo lado de la transversal, uno interno y otro

externo)

r

π

π2

π 1

r

r1

r2

α β

γ

εr

δ

η

θϕ

r

18

Ejercicios:

1) En el cubo de la figura: a) Dar cuatro rectas que sean alabeadas con AB. b) Dar seis rectas paralelas al plano ABCD. c) Dar tres pares de planos paralelos.

1) En el esquema de la figura: a) Dar dos pares de ángulos alternos internos. b) Dar dos pares de ángulos alternos externos. c) Dar dos pares de ángulos correspondientes.

2) Cuántos puntos de intersección pueden formarse con tres rectas?

D

A B

E

C

F

G H

4

1 2

3

5 6

7 8

19

Rectas paralelas cortadas por una transversal.

• Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los

ángulos alternos internos son iguales. α β= • Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los

ángulos alternos externos son iguales. γ δ= • Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los

ángulos correspondientes son iguales. θ ϕ= • Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los

ángulos interiores del mismo lado son suplementarios. (sumados dan 180º ) α ϕ+ = 180º

Triángulos : clasificación.

• triángulo equilátero : tiene los tres lados congruentes. • triángulo isósceles: tiene “ al menos “dos lados congruentes.

• triángulo escaleno : no tiene lados congruentes.

• triángulo acutángulo : tiene los tres ángulos agudos. • triángulo rectángulo : tiene un ángulo recto. • triángulo obtusángulo : tiene un ángulo obtuso. • triángulo equiángulo : tiene los tres ángulos congruentes.

• La altura de un triángulo es el segmento que va desde el vértice

hasta la recta sostén del lado opuesto y es perpendicular a ese lado opuesto.

αG

β

θ

δ

γ

G

ϕ

G

20

Ejercicio:

1) Dibujar en cada casilla un triángulo que responda a:

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

ACUTÁNGULO

RECTÁNGULO

OBTUSÁNGULO

a) completar los ángulos faltantes. b) Identificar los triángulos:

ABC; ADE; BDC; ABD; ACE; DCE Como acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

Si la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, puede demostrarse fácilmente que la medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no contiguos.

E

29º

D C

B

A

67º 39º

45

44º 34º

56º

βδ

γ

α

21

δ α β= +

TEOREMA DE PITÁGORAS: Si ABC es un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

( )22

2

1.4 cbbca −+=

a bc b bc c2 2 22 2= + − + a b c2 2 2= +

Problemas: 1 ) Un anuncio de venta de un televisor dice que la pantalla es de 29

pulgadas; si la altura es de 0,8 del ancho de pantalla y el aviso refiere a la diagonal de la misma. Cuál es (expresado en centímetros) la medida del ancho y de la altura. (1” = 2,54 cm)

a

a

a

b-c

b

b

a

b-c

c

c

c

22

2 ) (fuera de escala) Hallar las longitudes AB AC AD, , . 3) Una caja tiene 24 cm. de largo, 8. cm. de ancho y 10 cm. de alto. Cuál es la longitud de la diagonal AB ?

Triángulos especiales: La siguiente tabla representa las dimensiones y especificaciones de

dos tipos distintos de tuercas.

1

1

1

1 A

B

C D

10

24

8 A

B

F

G G

F

23

Tuercas cuadradas y hexagonales.

Tamaño nominal

F G

Ancho entre caras

Ancho entre esquinas

Cuadradas Hexagonal

Básica Máx. Máx.

0 5/32 0.221 0.180

1 5/32 0.221 0.180

2 3/16 0.265 0.217

3 3/16 0.265 0.217 4 ¼ 0.354 0.289

La dimensión F indica el tamaño de la llave que se necesita para la

tuerca. ¿ Cómo pueden calcularse las dimensiones G ? Para la tuerca cuadrada.

AB x

AB x

2 2 2 2

2

0 25 0 25 2 0 25

2 0 25 0 354

= + =

= =

, , ,

, ,

G

F

45º 45º A B

C

A B 45º

¼”

24

Para la tuerca hexagonal: AC x

AB x

=

=1

2

conocemos CB =1

8"

entonces en el ABC ⇒ + =CB AB AC2 2 2

2

22

28

1x

x=

+

que resuelto da x = •2

3

1

8

siendo G= 24

3

1

80289x = • = .

Problemas.

1) En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide el doble que el otro. Si la longitud del cateto más largo es 5, cuál es la longitud de la hipotenusa.

2) El hueco de una ventana mide 100 cm. de ancho y 70 cm. de altura. ¿Puede introducirse por la ventana una mesa de ping pong de 125 cm. de ancho ?

3) Una escalera colocada contra una pared forma un ángulo de 60º con el suelo. Si la base de la escalera está a 3 metros de la

F=1/4

G G

A B

C

60º

25

pared. ¿A qué altura del suelo está la parte superior de la escalera?

4) Si la longitud del lado de un hexágono regular es de 1 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento que une a los puntos medios de dos lados opuestos?

5) Si un triángulo equilátero tiene lados de longitud 1 m., calcular el radio de la circunferencia que contiene los tres vértices.

6) Un diseñador está calculando las dimensiones de un hexágono regular; si la altura (distancia entre las aristas paralelas) es de 120 cm.; calcular la distancia entre los vértices opuestos y la superficie.

7) Si una pirámide cuadrada tiene todas sus aristas de longitud =2 a) encontrar las longitudes AB y AC b)encontrar la longitud de la altura de la pirámide.

c)es ABC equilátero?

Acerca de la concurrencia de ciertas rectas en los triángulos. 1) Las perpendiculares trazadas a los lados de un triángulo en sus

puntos medios, se cortan en un punto equidistante de los tres vértices del triángulo.

A

B C

D

2 2

2

2

A

B

C

P

A

B

C

P

A

B

C

P

26

Si queremos localizar un punto equidistante de tres ciudades.

2) Las bisectrices de los ángulos de un triángulo concurren a un punto P que equidista de los tres lados del triángulo.

P PD PE PF= =

3) Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se cortan en un punto.

Ciudad A Ciudad B

Ciudad C

P

A

B

C

D

E

F

A

B

C

P

27

4) Las medianas de un triángulo se cortan en un punto situado a dos tercios de la distancia de cada vértice al lado opuesto. ( Mediana: segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto )

AP AE

BP BF

CP CD

=

=

=

2

3

2

3

2

3

Problemas : 1) El dibujo muestra el frente y la vista lateral de un cuadro colgado en una pared. El cuadro está apoyado en la pared a lo largo de su base y separado 3 cm. en la parte superior. Está colgado mediante una cuerda AOB. Encontrar la longitud AOB. 2)

E D

A

B

C

P

F

24

A B 3 4

3 m 3 m

3 m A

B

C

D

28

ABCD (figura de la página anterior) es un cable flexible. A es un punto fijo y C es una polea fija. B es un peso que se desliza por el cable de modo que AB y CB siempre tienen la misma inclinación respecto a la vertical. Encontrar cuánto se eleva B si se tira de D 2 metros hacia abajo.

CUADRILÁTEROS:

• Un cuadrilátero es la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos, tres de los cuales no deben ser colineales. Los segmentos sólo deben intersecarse en sus extremos.

A B D C • Los lados AB y CD que no tienen vértices comunes, se denominan lados

opuestos. • Los lados AB y BC que tienen un vértice común, se denominan por tal razón,

lados adyacentes. • Los ángulos A y C son opuestos. • Los ángulos A y B tienen el lado AB común; por ello se denominan ángulos

adyacentes. Descripción de los tipos básicos de cuadriláteros. • Trapecio: es un cuadrilátero con exactamente dos lados paralelos. A B AB //////// DC DC = base mayor D C AB = base menor

29

• Paralelogramo: es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos

paralelos. B C

AB //////// DC AD //////// BC A D • Rectángulo: es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. (Si además, los

lados son de igual longitud, se trata de un cuadrado). B C A D • Rombo: es un paralelogramo con sus cuatro lados congruentes (de igual

longitud). De acuerdo con las definiciones antedichas, puede construirse el siguiente cuadro: trapecio Cuadrilátero rombo paralelogramo cuadrado rectángulo Ejercicio 1: Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. Un cuadrado es un rectángulo. 2. Un rectángulo es un paralelogramo. 3. Un paralelogramo es un rombo. 4. Un trapecio es un paralelogramo. 5. Algunos paralelogramos son rectángulos. 6. Un rombo es un cuadrado. 7. Algunos rombos son rectángulos.

30

8. Un paralelogramo es un trapecio. 9. Un trapecio puede tener sólo dos ángulos rectos. 10. Un rombo puede tener los cuatro ángulos rectos. Ejercicio 2: En el esquema de la figura HGIJ es un cuadrilátero; A B C D E F G H I J Identificar los vértices correspondientes a los siguientes polígonos que corresponden al dibujo anterior.: a) b) c) d) Dibujar e identificar otros tres cuadriláteros.

31

Algunas propiedades de los paralelogramos:

• Los ángulos opuestos son congruentes. • Los lados opuestos son congruentes. • Los pares de ángulos adyacentes son ángulos suplementarios.

D C 135º 45º 45º 135º A B Ejercicios: 1) El paralelogramo de la figura anterior tiene como lados AB = x+5 y CD = 2x-7

Hallar la longitud del lado AB.

2) Sea un paralelogramo ABCD en la cual AB = 2x ; CD = 3y+4 ; BC = x+7 y AD = 2y. Calcular las longitudes de los lados del paralelogramo.

Problema 1: (Segmento medio: el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud). A B D E C Se necesita conocer la distancia AB entre puntos opuestos de una laguna. Para ello se toma un punto C y se localizan los puntos medios de AC y BC. Se mide CD y, entonces: AB = 2 CD.

32

Problema 2:

H G En la figura se ve un cubo de arista

igual a la unidad. E I F Si I y J son los puntos medios de EF

y DC, respectivamente: D J C a) demostrar que AIGJ es un rombo b) calcular la longitud de los lados del A B c) calcular la longitud de las diagonales

del rombo, AG ; IJ Problema 3: Se necesita replantear en el terreno para una construcción un rectángulo de 10 m por 5 m. Las estacas se colocan como se indica en la figura, siendo las esquinas exteriores los puntos en que se cruzan las cuerdas. Después de tensar las cuerdas, se miden las diagonales, resultando: F G E B C H A D I L J K AC = 11,10m y BD = 11,25 m. Cómo deben moverse las estacas ubicadas en F y en G para que ABCD sea un rectángulo?.

Trapecios: El segmento que une los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las dos bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las mismas. B C E F A D

E = punto medio de AB. F = punto medio de CD.

EF = ½ (BC + AD)

33

Superficie del Trapecio: B C h A D

Área ABCD = Área ABC + Área ACD = ½ h (BC + AD) Ángulos de un polígono: cuadrilátero pentágono hexágono

Para todos los casos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma de los ángulos interiores de todos los triángulos que componen el polígono. Puede construirse la siguiente tabla:

Polígono Número

De Lados

Número De

Triángulos

Suma de las Medidas de los ángulos

Cuadrilátero 4 2 2•180º= 360º Pentágono 5 3 3•180º= 540º Hexágono 6 4 4•180º= 720º ------------ n-gono N n-2 (n-2)•180º

• La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a

dos rectos por (n-2) : 180º (n-2).

• La medida de un ángulo de un polígono regular de n lados es n

)2n(º180 −.

34

El rectángulo áureo: En la antigua Grecia, el llamado rectángulo áureo fue considerado como una de las figuras geométricas estéticamente mejor proporcionadas. Se trata de un rectángulo de altura unitaria tal que, si le quitamos un cuadrado de lado unitario en uno de sus extremos, los lados del rectángulo remanente están en la misma proporción que los lados del rectángulo original.

(Si la altura no es igual a la unidad, deben mantenerse las proporciones). 1

1 a

Resulta, de acuerdo con lo dicho: a1

1a1

=+

Problema: Calcular la longitud de la base del rectángulo áureo de altura unitaria.

Longitud de la base: 1+a; de la proporción a1

1a1

=+

se obtiene: a(1+a) = 1

618,1a1

618,02

512

11411a

01aa

2

2

=+

=+−

=⋅⋅+±−

=

=−+

Construcción del rectángulo áureo:

1º Construir un cuadrado de lado unidad. B C F A M D E 1 a

35

2º) Con centro en M (punto medio de la base) y radio MC se traza un arco de circunferencia que interseque la prolongación de AD en el punto E.

3º) El rectángulo ABFE es áureo. Proporciones; Semejanza.

Si dos polígonos tiene la misma forma, es decir si los ángulos correspondientes son congruentes, pero no el mismo tamaño, se dice que son semejantes. La ampliación de una fotografía sirve para darnos una idea de semejanza.

4 8

6 12

Los rectángulos de la figura son semejantes; en ellos puede establecerse la proporción:

cm 12cm 8

cm 6cm 4

=

que se denomina así por ser ambos miembros razones iguales. Una proporción es, entonces una igualdad entre dos razones.

En general dc

yba

son proporcionales si:

0 d y 0b con db

ba

≠≠=

Si se cumple la proporción anterior, también se verifican:

ddc

bba

yd

dcb

ba

−=

−

+=

+

36

Ejercicios: 1. Las medidas de dos ángulos complementarios están en una razón 2/3.

Encontrar las medidas de los ángulos. 2. Las medidas de dos ángulos suplementarios están en una razón 3/5. Encontrar

las medidas de los ángulos. 3. Un segmento de 112 cm se divide en una razón 3 a 5. Encontrar la longitud de

los segmentos. 4. Las áreas de dos triángulos están en una razón de 4 a 9. El triángulo más

pequeño tiene un área de 100 cm². Encontrar el área del triángulo grande.

Áreas y perímetros: • Área de un rectángulo: h A = b•h b • Área del triángulo:

h A = ½ b•h b

Problema 1: Encontrar el área del cuadrilátero EIJA si E es el centro del cuadrado ABCD y HGFE es un cuadrado de lado 4 m, siendo BI = 1m ; IA = 2m C B H I E D J A G F

37

Problema 2: Si ABCD es un trapecio y E es el punto medio de AB, demostrar que las áreas de AECD y EBCD son iguales. D C A E B Problema 3: Probar que las Areas A1 y A 2 son iguales. (Observación: las áreas de los triángulos que genera la diagonal del rectángulo mayor son iguales).

A1

A2

Problema 4: La longitud de las aristas del cubo de la figura es 1. Hallar: a) Longitud BE. b) Longitud BH. c) Área del triángulo BEG. d) Área del rectángulo BCHE. e) Área del triángulo BIC. H G

E F •••• I D C A B

38

Perímetro de un polígono: Es la suma de las longitudes de sus lados. D E C A B Apotema: Es la distancia entre el centro de un polígono regular y un lado. Área de un polígono regular:

Área Del

Triángulo

Perímetro

Área del

Polígono

Pentágono

½a••••l

p= 5l

ap21

l5a21

al21

5 =⋅=⋅

Hexágono

½ a••••l

p = 6l

ap21

l6a21

al21

6 =⋅=

Decágono

½ a••••l

p =10l

ap21

l10a21

al21

10 =⋅=⋅

n-gono

½ a••••l

p = nl

ap21

nla21

al21

n =⋅=⋅

En general: Área de un polígono: 2

apotema x perímetro

a

39

Ejercicio 1: La longitud de cada lado de un hexágono regular es 4 unidades. Encontrar el valor de la apotema y el área del hexágono. Problema 1: Si un edificio cuadrado y otro con forma de hexágono regular tienen el mismo perímetro, encontrar la relación entre las correspondientes áreas. El círculo: Conjunto de los puntos del plano que están a una distancia menor o igual que r (radio) a un punto fijo llamado centro.

El perímetro del círculo recibe el nombre de circunferencia. Área del círculo: ππππ••••r² Longitud de la circunferencia: 2ππππr Problema1: Se desea saber cuantas veces mayor es la cantidad de agua que puede conducir una cañería de 6 pulgadas de diámetro, respecto de una de cuatro pulgadas. (una pulgada = 1” = 2,54 cm).

Para 6” = 15,24 cm A6 = 222

cm4,1824

cm24,15=

⋅π

Para 4” = 10,16 cm A4 = cm1,814

cm16,10 22=

⋅π

25,2cm1,81

cm4,182AA

2

2

4

6 ==

La cañería de 6” de diámetro tiene una sección 2,25 veces que la de 4”, razón por la cual puede deducirse que permitirá conducir una cantidad de agua 2,25 veces mayor.

40

Problema 1: Calcular el área que corresponde a los sectores circulares de 100 cm de radio, para ángulos de 60º y 170º. Problema 2: Si el área de un sector circular es un décimo del área del círculo; ¿cuál es el ángulo central del sector? Problema 3: Calcular el área de las regiones rayadas. Ambos cuadrados tienen lados de longitud igual a 4 m. Problema 4: Si AB = ½ BC, ¿qué fracción del círculo mayor está rayada? A B C Problema 5: Si ABC es un triángulo rectángulo, demostrar que el área del semicírculo que tiene como diámetro la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los semicírculos que tienen como diámetros los catetos. C A B B

41

POLIEDROS. Un poliedro es un objeto tridimensional formado por regiones poligonales que se denominan caras. Los lados de las caras son las aristas del poliedro y los vértices de las caras coinciden con los vértices del poliedro.

La Pirámide:

Es un caso particular de poliedro en el cual todas las caras, excepto una, tienen un vértice en común. La cara que no contiene al vértice de la pirámide se denomina base de la misma. El prisma: Es un poliedro que tiene:

a) Un par de caras congruentes sobre planos paralelos. Dichas caras se llaman bases.

b) Todas las demás caras son paralelogramos. c) Las aristas laterales son paralelas y congruentes.

vértice

base

42

Si las bases del prisma son paralelogramos, el prisma recibe el nombre de paralelepípedo. Un caso particular de prisma es el cubo. Tanto en los prismas como en las pirámides, las caras que no son bases se denominan caras laterales y las aristas que no pertenecen a la base se llaman aristas laterales. Alturas:

• Un segmento perpendicular a las bases de un prisma y que esté entre ellas es su altura.

• Un segmento entre el vértice de la pirámide y su base y que sea perpendicular a la base es la altura de la misma.

• Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y sus aristas laterales son congruentes.

• Una prisma es recto si sus aristas laterales son perpendiculares a la base.

Ejercicios: 1) a) Dar el nombre del poliedro con vértices ABCDP. b) En cuántas pirámides dividen al cubo los segmentos que van de P a cada uno de los vértices.

F E

C D

P

B A

G H

43

2) El cubo de la figura está cortado por el plano que pasa por A, C y F. Este corte forma la pirámide ABCF. Justificar que la pirámide es regular. Areas de prismas y pirámides: Las áreas de prismas y pirámides se obtienen sumando las áreas de las caras laterales más las áreas de las bases. Área lateral : l h l h l h l h l h1 2 3 4 5+ + + + ( )54321 lllllh ++++= = •h p donde p = perímetro de la base. Área de la base = B Área total =h p B• + 2 Sea ahora una pirámide regular con base pentagonal. L = altura inclinada en una cara.

Área lateral :1

2

1

2

1

2

1

2

1

21 2 3 4 5l h l h l h l h l h+ + + +

( )543212

1llllll ++++=

= •1

2l p

Área total = 1

2l p B• +

A B

C

F

L2

L1

L5 L4

L3

h

L1

l1

l2

l3

l5 l4

l

44

Problema: Una plomada (elemento utilizado en la construcción para determinar la vertical), está construida con la forma de un prisma hexagonal con la base inferior unida a una pirámide hexagonal. Calcular el área de la plomada. (Cuidado!: la base inferior del prisma y la base de la pirámide no corresponden al área ) Problema : Un recipiente con forma de pirámide regular tiene la parte superior abierta. La base es un hexágono regular con las dimensiones de la figura. Si se van a pintar 1000 de estos recipientes Por dentro y por fuera con pintura que rinde 10m2 por litro a un costo de $ 8/ litro. Cuánto deberá invertirse en pintura?

Altura inclinada = 5

cm

8 cm.

2

cm.

10

cm.

20

cm.

45

Volumen de prismas. El volumen de un prisma es el producto de la longitud de una altura por el área de la base. Volumen de una pirámide. Si una pirámide tiene como área a la base B y su altura es h.

V B h= •1

3

Problema: Calcular el volumen de un tronco de pirámide si la base tiene como área 128 cm2. Área y volumen de cilindro. Área = 2 2 2π π• • + •r h r Volumen = π • •r h2

h

h

5

8

r

h

46

Problema: Si el radio y la altura de un cilindro se duplican, cuánto se modifican su área y su volumen ? Área y volumen de conos. Un cono puede ser considerado como una pirámide con un número infinito de caras laterales. La superficie lateral de un cono corresponde, entonces a las caras laterales de una pirámide. La altura inclinada de un cono, corresponde a la altura de la cara inclinada de una pirámide y la longitud de la circunferencia de la base de un cono corresponde al perímetro de la base de una pirámide. Resulta, entonces:

Área total = 1

2

1

22 2 2lC B l r r r l r+ = • • + • = • • + •π π π π

El volumen de un cono circular recto de altura h y área de la base B es:

V B h r h= • = • •1

3

1

3

2π

Problema:

El sólido de la figura se forma cortando un cono con un plano paralelo a la base y luego perforando la parte superior en forma de cono. Calcular su volumen.

vértic

e

eje

base

37

16

10

8 13

47

Área y volumen de la esfera: A r

V r

= •

= •

4

4

3

2

3

π

π

-----o0o-----

r

48

EL ESPACIO UNIDIMENSIONAL: la recta numérica Breve repaso sobre los distintos conjuntos numéricos: del número natural al número real.

EL NÚMERO NATURAL:

Un conjunto de elementos que comenzamos a utilizar desde la infancia es el de los Números Naturales (1,2,3, etc...), que se simboliza con la letra N, y el conjunto de los Números Naturales ampliado, que incluye al cero y que simbolizamos con No = N U {0}

Ambos conjuntos cuentan con infinitos elementos, por lo

cual no resulta posible expresarlos por extensión; sin embargo, haciendo abuso de notación, podemos escribir:

N = {1,2,3,...} N0 = {0,1,2,3...}

Estos conjuntos pueden representarse utilizando una recta

que denominamos recta numérica, sobre la cual se fija un origen O, un sentido positivo (hacia la derecha), y una unidad de medida U.

En el caso del conjunto de los números naturales ampliado,

al efectuar la representación gráfica hacemos coincidir el cero con el origen del sistema de referencia. El número que corresponde a cada punto (marcado sobre la recta a intervalos de longitud U) se denomina abscisa del mismo

En el conjunto de los números naturales pueden definirse para todo par de elementos cualesquiera que pertenezcan al mismo las operaciones de suma y producto; ambas dan como resultado elementos del mismo conjunto en que se opera, razón por la cual se dice que dichas operaciones son cerradas en el conjunto que tratamos, o bien que son operaciones internas o que se trata de una ley interna de dicho conjunto.

O

N 4 3 2 1

U

O

N0 0 4 3 2 1

49

PROGRESIONES ARITMÉTICAS:

Recibe este nombre una sucesión numérica tal que, cada uno de los términos de la misma se obtiene sumando al anterior un número que se denomina razón o diferencia de la progresión.

Si a1 es el primer término y r la razón o diferencia, los siguientes

términos se obtienen así: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r ..............................

an = a(n-1) + r = a1 + (n-1)r resultando entonces la expresión de recurrencia:

an = a(n-1) + r = a1 + (n-1)r

La validez de la expresión anterior para todo n, deberá demostrarse por aplicación del principio de inducción completa.

Resulta también de particular interés obtener una expresión que nos

permita, sin hacer la suma en forma tradicional, encontrar el valor de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Para ello escribimos:

S = a1 + a2 + a3 +...................................+ a(n-2) + a(n-1) + an

y S = an + a(n-1) + a(n-2) +................................+ a3 + a2 + a1

sumando miembro a miembro: 2S = (a1 + an) + (a2 +a(n-1)) + (a3 + a(n-2)) + .......+ (a(n-2) + a3) + (a(n-1) + a2) +(an + a1) como puede verificarse con facilidad, los n paréntesis del segundo miembro de la expresión anterior tienen el mismo valor: (a2 + an-1) = (a1 + r + an - r) = (a1 +an) (a2 +a(n-1)) = (a3 + a(n-2)) y, como los n paréntesis tiene igual valor:

2

)( 1 naanS

+⋅=

50

Ejemplo: Dada la progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 1 y cuya razón es r = 1 calcular la suma de los n primeros términos.

2

)1( nnS

+=

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS:

Recibe este nombre una sucesión numérica tal que, cada uno de sus términos se obtiene multiplicando el que le antecede por un número llamado razón de la progresión.

Si a1 es el primer término y r la razón, los siguientes términos se

obtienen de la siguiente manera: a2 = a1....r a3 = a2....r = a1....r2 ....................... an = a(n-1)....r = a1....r(n-1)

Al igual que la fórmula de recurrencia que nos permite calcular el

término n-simo de una progresión aritmética, la fórmula precedente deberá ser demostrada por aplicación del Principio de Inducción Completa.

Análogamente a lo realizado para las Progresiones Aritméticas,

hallaremos una expresión de recurrencia que nos permita calcular el valor de la suma de los n primeros términos de una Progresión Geométrica.

Sea S = a1 + a2 + a3 +........................... + a(n-1) + an

y r.S = r....a1 + r....a2 +..........................+ r....a(n-2) + r....a(n-1) + r....an

como se verifica a2 = r....a1 ; a3 = r....a2 ; ..................... a(n-1) = r....a(n-2) ; etc... por la definición de Progresión Geométrica, obtenemos restando S - r....S:

S - r....S = a1 -r....an

O bien, reemplazando an por su equivalente: S(1 - r) = a1 - r....a1....r(n-1) = a1....(1 - rn)

y finalmente

( )( )r

raS

n

−

−⋅=

1

11

51

EL NÚMERO ENTERO:

En el conjunto N0 no pueden resolverse las operaciones de resta o diferencia en el caso en que el minuendo de la operación sea menor que el sustraendo. Por ello que resulta imprescindible, (a los efectos de dar solución a una operación como (3 - 5)), definir un nuevo conjunto numérico; el de los números enteros que simbolizamos con la letra Z. Este conjunto tiene la particularidad de no poseer ni primer ni último elemento y se define de tal manera que: 1) Al conjunto Z pertenecen todos los elementos de N0. 2) Las operaciones de resta con minuendo menor que el sustraendo, siempre

tienen solución en Z. 3) Las operaciones en Z conservan las propiedades establecidas para el

conjunto N0, con excepción de las propiedades de la radicación en el caso de radicando negativo y exponente par, operación para la cual no existe solución en este conjunto.

Para conformar el conjunto Z debemos definir para cada

número n ∈N, un nuevo número (-n) que se denomina "opuesto de n"

El conjunto Z podrá definirse entonces, haciendo abuso de notación como:

Z = {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...} y se representa en la recta numérica como indica el siguiente gráfico, en el cual observamos que a cada número entero le corresponde un único punto sobre la recta numérica, existiendo, en consecuencia, infinitos puntos de la misma que no corresponden a ningún número entero.

A los efectos de precisar posteriores conceptos,

convenimos en designar: Z+ = N (conjunto de los números naturales, también llamado de los enteros positivos) Z0

+ = N0 (enteros positivos ,incluido el cero, o enteros no negativos). Z- = Conjunto de los enteros negativos. resultando:

Z+ U {0} U Z- = Z o bien:

Z0+ U Z- = Z.

O

U

-3 -1 0 1 2 3 -2

52

Operaciones en Z.

Para el conjunto Z se definen las mismas operaciones vistas para N0, debiendo cumplirse las siguientes reglas: 1) El producto o el cociente de dos números enteros positivos o de dos números

enteros negativos da como resultado un número entero positivo. 2) Si se multiplican o dividen un número entero positivo y uno negativo, obtenemos

como resultado un número entero negativo. Se verifica entonces, la siguiente "regla de los signos":

+ • + = + - • - = + + : + = + - : - = +

+ • - = - - • + = - + : - = - - : + = -

NÚMEROS RACIONALES. Definición, representación gráfica, expresión decimal periódica. Operaciones y propiedades.

La operación de división entre números enteros se define como hemos visto, a partir de la operación de producto:

a

bc a b c= ⇔ = • (1)

Para que esta operación arroje resultados en el conjunto Z, es necesario que a sea múltiplo de b. Si en (1) tenemos por ejemplo:

a = 5 y b = 3, el cociente será 5 / 3 = c ⇔⇔⇔⇔ 5 = 3 • c y no existe ningún número entero que satisfaga la última igualdad.

Esta circunstancia genera la necesidad de ampliar nuestro

campo numérico, introduciendo el concepto de número fraccionario, definido como el cociente entre dos números enteros.

Conformamos de esta manera, un nuevo conjunto numérico:

el de los Números Racionales; sus elementos son tales que, al simplificar los factores comunes de numerador y denominador, nos queda un número entero, o bien una fracción irreducible.

20

4

2 2 5

45

33

6

3 11

3 2

11

2=

• •= =

•

•=;

53

El conjunto de los números racionales se nomencla Q y puede expresarse simbólicamente:

{ }( )Qa

ba Z b Z= ∈ ∧ ∈ −

/ 0

En consecuencia: 5/3 es racional ya que 5 ∈ Z ∧ 3 ∈ Z. -5/3 es racional ya que - 5 ∈ Z ∧ 3 ∈ Z 2 es racional ya que 2 = 4/2 y (4 ∧ 2) ∈ Z. 0,2 es racional ya que 0,2 = 2/10 y (2 ∧ 10) ∈ Z. 0,55...es racional ya que 0,55 = 5/9 y (5 ∧ 9) ∈ Z.

Densidad de los números Racionales.

Los números racionales tienen la propiedad de constituir un conjunto DENSO; en efecto, se puede demostrar fácilmente que entre dos números racionales existen infinitos números racionales; por ejemplo entre 1/3 y ½ se puede colocar el racional 5/12, que se obtiene efectuando el promedio

verificándose 1

3

5

12

1

2< < es decir que entre 1/3 y 1/2 colocamos el promedio, y

así sucesivamente 5/12 0 1/3 1/2 1

El hecho de que el conjunto de los números racionales Q sea “denso”, puede llevarnos a pensar que por sucesiva inserción de números racionales obtenidos efectuando el promedio entre dos números racionales conocidos habremos agotado todos los puntos de la recta; ello no es así pues, como veremos, existen números que no pueden ser expresados como razón o cociente de dos enteros. El número irracional:

Si construimos un cuadrado de lado igual a la unidad y pretendemos medir su diagonal, la misma resulta ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Como sabemos, para los triángulos rectángulos vale el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

d² = 1² + 1² 2=d

2 no es un número racional ya que no es posible expresarlo como cociente entre dos números enteros, y por ello se lo llama IRRACIONAL.

54

Resulta también irracional (como puede demostrarse

fácilmente) 3 , (razón de la longitud de la diagonal de un cubo a la longitud de su lado).

Geométricamente pueden obtenerse con facilidad los irracionales y efectuar su representación sobre la recta numérica; la figura siguiente ilustra el procedimiento: 45º

0 1 2

En general se demuestra que si la raíz n-sima (se lee raíz enésima o de orden n) de un número entero no es otro número entero, tampoco es fraccionario (es decir, no es racional), resultando, en consecuencia un irracional; esto nos indica que la radicación nos provee infinitos números irracionales. Son también irracionales : la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro:

l/d = π = 3,141592653589... y el número e = 2,718281828459045... que aparece en muchos modelos matemáticos de procesos naturales: desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones celulares, espiral de los caracoles, etc., y es utilizado como base de los logaritmos Nepperianos, también llamados logaritmos naturales.

Los logaritmos y las funciones trigonométricas nos proveen

asimismo de infinitos números irracionales. Los números irracionales se caracterizan por presentar

infinitas cifras no periódicas, lo que justifica que no puedan expresarse mediante una fracción.

NÚMEROS REALES. Definición, representación gráfica, operaciones y propiedades.

Los números racionales ya definidos y los irracionales que

terminamos de ver, conforman un nuevo conjunto, llamado de los números REALES, que se simboliza con la letra R. De este conjunto podemos decir que "cubre" la recta numérica; es decir, para el conjunto "R" puede establecerse una correspondencia biunívoca con los puntos de la recta numérica; esta correspondencia se expresa: "A cada punto de la recta le corresponde un único número real y recíprocamente".

Hemos ampliado de esta manera el campo numérico, desde los números más elementales (los números naturales) hasta el conjunto recién definido; esta ampliación puede esquematizarse en el siguiente cuadro:

55

Naturales (N) N0 Cero ENTEROS (Z) RACIONALES (Q) Enteros negat.(Z-) FRACCIONARIOS REALES (R) IRRACIONALES (I)

56

Logaritmos: Definición: Llamamos logaritmo en base b de un número x a un número y, si y es el exponente al que hay que elevar b para obtener x logb x = y ⇔⇔⇔⇔ by = x ; b ∈∈∈∈R+ ∧∧∧∧ b ≠≠≠≠ 1 Ejemplos: log2 8 = 3 porque 23 = 8

log2 =16

1 -4 porque 2-4 =

16

1

Debe tenerse en cuenta que: • Se verifica que el logaritmo de 1, cualquiera sea la base es igual a 0. (Se

comprueba porque cualquier número elevado a la potencia cero da 1). • Cualquiera sea la base en que se opera, el logaritmo de la base es igual a 1.

(Efectuar la comprobación). • Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números

reales. (Verificarlo). • El logaritmo de cero no existe (Verificarlo). • La operación de logaritmación no es distributiva respecto de ninguna

operación: • El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los

factores: ( ) yxyx aaa logloglog +=⋅ .

• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre los logaritmos del

numerador y del denominador: yxyx

aaa logloglog −= .

• El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el

logaritmo de la base: xnx an

a loglog ⋅= .

• El logaritmo de la raíz n-sima (se lee enésima) de un número es igual a la inversa del índice multiplicado por el logaritmo de la cantidad sub-radical:

xn

x an

a log1

log =

Los logaritmos más usuales en matemática son los que se expresan en las bases 10 (logaritmos decimales) y en base e (logaritmos naturales o Neperianos). Cuando se trata de trabajar con logaritmos decimales se omite

escribir la base: log 100, debe entenderse logaritmo en base 10; los logaritmos naturales se expresan, por ejemplo: ln 10.

Si bien en todas las calculadoras científicas pueden

obtenerse los logaritmos decimales y los naturales, puede presentarse la necesidad de calcular el logaritmo de un número en otra base cualquiera.

57

Sea el caso de tener que calcular xy blog= para lo cual

contamos con la calculadora que nos provee los logaritmos en base 10 o en base e. Generalizando, sea a la base en la cual podemos calcular los logaritmos. Teniendo en cuenta la equivalencia:

xbxy yb =⇔= log

aplicando logaritmos en la base a conocida a la expresión xb y = obtenemos:

blogxlog

y

n bie o ; xblog y

:resulta ,logaritmos los para potencia la de spropiedade las con acuerdo de que

xb

a

a

aa

ay

a

=

=⋅

=

log

loglog

lo que significa que el logaritmo de un número x en una base cualquiera b puede obtenerse cuando se conocen los logaritmos respecto de una base a, dividiendo el logaritmo del número x calculado en base a por el logaritmo en base a de la base b.

58

EL ESPACIO BIDIMENSIONAL. Sistema de representación Cartesiano. Par ordenado. Producto Cartesiano. Distancia entre dos puntos. Punto que divide un segmento en una razón dada. Sistema de coordenadas polares. Equivalencia entre los sistemas cartesiano y polar. PAR ORDENADO.

Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos y un cierto criterio de ordenación que permite decidir cual es el primer elemento y cual es el segundo.

Si el primer elemento es a y el segundo es b, el par ordenado se notará entre paréntesis (a, b).

Igualdad de Pares Ordenados: decimos que:

(a,b) = (c,d) ⇔⇔⇔⇔ (a = c y b = d)

En general se verifica (a,b) ≠≠≠≠(b,a), pero {a,b} = {b.a}, se verifica siempre. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ORTOGONALES.

Del mismo modo que se establece una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y los puntos de la recta numérica, que denominamos espacio unidimensional, extendiendo la idea al espacio de dos dimensiones o bidimensional (el plano), podemos establecer una correspondencia entre sus puntos y un conjunto formado por pares ordenados de números reales (x,y). Para ello utilizamos el llamado Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonales (Descartes, siglo XVI) constituido por un par de ejes (rectas orientadas) perpendiculares entre sí, que dividen al plano en cuatro cuadrantes, debiendo definirse para cada uno de los �ejes la correspondiente unidad de medida: salvo en casos especiales, en general se adopta para ambos ejes la misma unidad.- El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el vertical (eje y), eje de las ordena- das. El punto O, intersección de los ejes es el ori- gen del sistema y las componentes de los pares ordenados (x,y) son las coordenadas del punto P considerado (abscisa y ordenada respectiva- mente). Actividad: Un triángulo equilátero OAB cuyo lado tiene una longitud a está colocado de manera tal que el vértice O está en el origen de coordenadas, el

III

IIIIV

P(x,y)

59

vértice A sobre el eje de las abscisas y sobre el semieje positivo y el vértice B está ubicado en el primer cuadrante (o sea, encima del eje x). Escribir las coordenadas de los vértices A y B y el área del triángulo. Distancia entre dos puntos en el plano.

Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos cualesquiera del plano

La distancia entre los puntos P1 y P2

se obtiene por aplicación del Teorema de Pitágoras al triángulo de la figura.

( ) ( )2122

12 yyxxd −+−= Actividad: Demostrar que los puntos P1 (3,3) ; P2 (-3, -3) y P3 (-3 3 ,3 3 ) son vértices de un triángulo equilátero. Graficar en escala. División de un segmento en una razón dada.

.

y

P2(x2y2)

P1(x1y1)

x

y2

y1

x1 x2

y

P2(x2y2)

P1(x1y1)

x

B2

B1

A1 A2

P(x,y)

A

B

60

Sea el problema de dividir el segmento establecido entre P1 y

P2 en una razón dada 2

1

PP

PPr = . Si establecemos una relación de proporcionalidad

entre los triángulos de la figura, podemos escribir:2

1

2

1

AA

AA

PP

PP= ; siendo A1A = x – x1

y AA2 = x2 - x de lo que resulta:

xx

xx

AA

AA

PP

PPr

−

−===

2

1

2

1

2

1 ;

( ) ( )

r

xr

rxxrxxrxxxrxxxrxrxxxxr

+

⋅+=

+=⋅+⋅+=+⋅−=⋅−⋅−=−

1

x x

1;;;

21

21121212

debiendo ser r ≠-1 a efectos de que no se anule el denominador.

Actividad: demostrar la validez de r

yryy

+

⋅+=

1

21

Observación: cuando P es el punto medio del segmento considerado, la razón que corresponde es r = 1; en estas condiciones los valores de los resultados anteriores se reducen a:

2;

2

2121 yyy

xxx

+=

+=

expresiones que nos dicen: las coordenadas del punto medio de un segmento resultan iguales a las semisumas de cada una de ellas. Ejercicios: 1) Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1) ; (0,3) ; (3,4) ; (4, -1) 2) Demostrar que los puntos (-2,-1) ; (2,2) ; (5, -2) son los vértices de un triángulo

isósceles. 3) Demostrar que los puntos (2, -2) ; (-8,4) ; (5,3) son los vértices de un triángulo

rectángulo y hallar su área. 4) Demostrar que los puntos (12,1) ; (-3, -2) ; (2, -1) son están ubicados sobre una

misma recta. 5) Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos

son los puntos (-2,3) y (6, -3). 6) Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio

es (3,4). Hallar el otro extremo. 7) Los extremos de un segmento son los puntos (7,4) ; (-1, -4) ; hallar la razón en

que el punto (1, -2) divide al segmento.

61

8) Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5) ; (4,2) y (1,1). Hallar las coordenadas de los vértices.

9) En un sistema coordenado lineal (espacio unidimensional) hallar la distancia entre los puntos (-5) y (3) ; (6) y (-7) ; (-7) y (-11).La distancia entre dos puntos es 7. Si uno de los puntos es (-3) hallar las dos soluciones posibles.

10) En un sistema coordenado unidimensional P1(x1) y P2(x2) son los puntos extremos de un segmento. Demostrar que la coordenada x de un punto P que

divide al segmento P1P2 en una razón dada: 2

1

PP

PPr = es:

-1rcon 1

21 ≠+

+=

r

rxxx

11) Haciendo r=1 en la fórmula obtenida en el ejercicio anterior, demostrar que

la coordenada del punto medio de un segmento rectilíneo es la media aritmética de las coordenadas de sus puntos extremos.

12) Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son (-7) y (-19). 13) Un extremo de un segmento es el punto (-8) y su punto medio es (3). Hallar

las coordenadas del otro extremo. 14) Un cuadrado de lado 2 a tiene su centro en el origen de coordenadas y sus

lados paralelos a los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vértices.

15) Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2,-1) ; (7, -1) y (7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.

Sistema de coordenadas polares: P = ( ρ ,ϕ) ρ ϕ O x

Una manera distinta de referenciar puntos del plano es conformar un sistema de coordenadas constituido por un polo O y un eje polar x. En este sistema llamado sistema polar, la posición de un punto queda determinada trazando un segmento que una dicho punto con el polo O. Las coordenadas que permiten identificar al punto son el ángulo ϕ que forman la dirección positiva del eje polar con el segmento trazado desde P hasta O que recibe el nombre de argumento y la longitud del segmento OP que recibe el nombre de radio vector ρ

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Equivalencia entre los sistemas cartesiano y polar:

Definido el sistema de coordenadas polares, puede establecerse una equivalencia con el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales dibujando los sistemas superpuestos (orígenes coincidentes y eje x como eje polar) mediante la utilización de las siguientes fórmulas de transfomación: y a P(a,b) ρ b ϕ O x a) Si se conocen las coordenadas cartesianas a y b

22 ba +=ρ , siendo su valor la longitud del segmento OP.

El ángulo ϕ , que forma el semieje positivo de x con la

dirección del segmento OP se obtiene de la relación trigonométrica:

tgϕ = a

b

que puede escribirse

a

barctg=ϕ

NOTA IMPORTANTE: Si bien para las coordenadas polares hemos tomado una única solución es necesario destacar que, desde un punto de vista estrictamente matemático tienen la misma posición sobre el plano todos los pares ordenados de la forma (ρρρρ ; ϕϕϕϕ +2kππππ), siendo k un número entero (que puede tomar valores positivos o negativos) y ππππ = 3,14...

b) Si se conocen las coordenadas polares ρρρρ,ϕϕϕϕ, estableciendo las correspondientes relaciones trigonométricas:

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De ρ

ϕρ

ϕba

== sen;cos ;

obtenemos: ϕρϕρ sen;cos •=•= ba

Ejemplo 1: Hallar las coordenadas polares del punto P, si sus coordenadas cartesianas ortogonales son a= 3 ; b = -5

22 ba +=ρ = 34)5(3 22 ±=−+

a

barctg=ϕ =

−3

5arctg (por ser a positivo y b negativo, el punto estará ubicado en

el cuarto cuadrante, resultando ϕ = 300º 58´ Ejemplo 2: Hallar las coordenadas cartesianas ortogonales del punto P cuyas coordenadas polares son ρ=4; ϕ=120º a = ρ cosϕ = 4 cos 120º = 4 (-1/2) = -2

b = ρ senϕ = 4 sen 120º = 4 322

3=

en consecuencia las coordenadas cartesianas de P son ( )32;2− Ejemplo3: Hallar la forma polar del lugar geométrico cuya ecuación cartesiana es:

012422 =+−−+ yxyx Solución: Podemos reemplazar x² +y² por r² , x por r.cosϕ ; y por r.senϕ, resultando la ecuación polar buscada:

01sen2cos42 =+⋅−⋅− ϕϕ rrr

Ejemplo 4: Hallar la ecuación cartesiana del lugar geométrico cuya ecuación polar es:

ϕcos1

2

−=r

Solución: es conveniente, antes de sustituir, eliminar denominadores: 2cos =⋅− ϕrr

que puede reemplazarse por:

222 =−+± xyx

222 +=+± xyx

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elevando al cuadrado ambos miembros, se llega a:

42 += xy Ejercicios: 1) En un sistema de coordenadas polares, dibujar los siguientes puntos:

P1 (1,135º) ; P2 (-3, π/3) ; P3 = (-3,2π/3) 2) Construir un triángulo cuyos vértices son:

P1 (5, 60º) ; P2 (-2, 7π/4) ; P3 (-4,150) 3) Un cuadrado de lado 2....a tiene su centro en el polo y dos de sus lados son

paralelos al eje polar. Hallar las coordenadas polares de cada uno de sus cuatro vértices.

4) Un punto se mueve de tal manera que para todos los valores de su argumento, su radio vector permanece constante e igual a 2. Identificar y dibujar el lugar geométrico.

5) Un punto se mueve de tal manera que para todos los valores de sus radios vectores su argumento permanece constante e igual a π/4. Identificar y dibujar.

6) Hallar las coordenadas polares de (-2.4) y (4, -2). 7) En cada uno de los casos siguientes, pasar la ecuación dada a la forma polar:

x2 + y2 = 4 ; 5x –4y +3 = 0 ; 2x2 + 2y2 + 2x – 6y +3 = 0 ; x.y = 2 8) En cada uno de los casos siguientes, pasar la ecuación polar a la forma

rectangular: r.cosϕ -2 = 0 ; r = 2 senϕ ; r = 6cosϕ = 0 ; r - r.cosϕ = 2