unitat 1 el moviment - ies la patacona:...

Física i Química 4t ESO IES LA PATACONA

UNITAT 1 EL MOVIMENT

El primer problema físic que anem a estudiar és el moviment. Comencem per ací ja que es tracta d'un fenomen quotidià i que històricament fou un dels primers en ser abordat de manera sistemàtica. La part de la Física que estudia el moviment en els seus aspectes més simples -només a nivell descriptiu- sense buscar-ne les causes, s'anomena cinemàtica. La cinemàtica només pretén explicar com és el moviment d'un determinat objecte, però no es qüestiona per què aquest cos té un tipus de moviment o altre, d'això s'ocuparà la dinàmica, que estudiarem al tema següent. Aquestes dues branques de les ciències físiques formen conjuntament la MECÀNICA, que conté les primeres teories elaborades pels científics en l'estudi del comportament de la matèria amb l'aplicació de les regles presentades al tema anterior. En aquest primer contacte amb els problemes físics tractarem aquests punts:

1 Relativitat del moviment ......................................... 1 2 Magnituds per a descriure un moviment. ................. 2 3 La velocitat .............................................................. 5 4 Moviment rectilini uniforme. ................................... 7 5 L’acceleració. ........................................................ 10 6 Moviment uniformement accelerat. ....................... 12 7 La caiguda lliure .................................................... 13 8 El moviment circular uniforme .............................. 14 9 Activitats complementàries .................................... 16

1 Relativitat del moviment

1.1 Concepte de moviment¿Què és el moviment? La primera cosa que se'ns planteja quan estudiem aquest fenomen és

com podem saber si un cos determinat està en moviment o en repòs.

El moviment és un canvi de posició amb el temps.

Però dit això, cal definir ara què entenem per POSICIÓ d'un cos. No obstant abans de definir de una manera clara que s'entén per POSICIÓ serà necessari tindre clar alguns conceptes previs.A1. El canvi de posició es fa al llarg d'una trajectòria: Defineix trajectòria.A2. Descriu la trajectòria dels moviments següents:

a) Una pilota que cau.b) Una pedra que es fa girar lligada a una corda.c) Una pilota de bàsquet llançada a la canastra. d) L’extrem de la maneta del rellotge.e) Un atleta que competeix en la carrera de cent metres llisos.f) El tornillo de la roda d'un cotxe movent-se

A3. Indiqueu la manera d'establir si un cos està en moviment o en repòs, com ara la pissarra de la classe, una taula o un llibre.

Podem posar molts altres exemples on apareix la necessitat de buscar un punt de referència que suposem quiet. Si observem des de la platja a l'horitzó un vaixell que està en alta mar ¿com podem saber si es mou o està quiet? Si de nit mirem la Lluna, ¿per què no podem detectar a simple vista el seu moviment?A4. Defineix sistema de referència. Podries trobar un punt de referència absolut?A5. Dibuixeu de forma aproximada la trajectòria del moviment de la Lluna, si prenem com a

sistema de referència: a) la Terra; b) el Sol; c) un satèl·lit artificial situat en la mateixa òrbita que la Lluna i amb la mateixa velocitat que ella duu al voltant de la Terra.

A6. Maria va dins d'un tren en moviment i dos seients més enrere està asseguda Edurne. Maria tira les claus cap amunt i les empoma de nou. Dibuixa de manera aproximada i descriu la

Unitat 1. El moviment. Pàg.1


trajectòria de les claus: a) Des del punt de vista de Edurne. b) Des del punt de vista de un home que veu passar el tren assegut en un banc de l'estació. c) Des del punt de vista d'un automobilista que circula paral·lel a la via i a la mateixa velocitat que el tren.

A7. Completa la frase: La descripció d'un moviment pot variar segons el ______________________ que utilitzem.

Una primera conclusió a què podem arribar és que sense un sistema de referència no hi ha descripció possible d' un moviment, ja que qualsevol objecte el podem considerar EN REPÒS RESPECTE A ELL MATEIX. Però ¿hi ha un sistema de referència absolut, és a dir, un objecte que estiga en repòs absolut respecte a tot 1'Univers?

La Física moderna no pot assignar a cap cos o sistema el privilegi d'estar en repòs absolut, per tant podem concloure que:

TOT MOVIMENT ÉS RELATIU

I per tant per a especificar si un cos es troba en moviment o en repòs cal dir respecte a quin sistema de referència.

2 Magnituds per a descriure un moviment.A8. Defineix origenA9. Què és necessari per a poder descriure el moviment de qualsevol cos?

Per a descriure qualsevol moviment a més de l'origen necessitem un sistema de coordenades per situar els cossos a l'espai. L'estudi del moviment també comporta la necessitat de considerar el temps durant el qual es produeixen els canvis de lloc. El temps es mesura fent servir cronòmetres que comencen a comptar a partir de cert instant en què els posem a zero i els engeguem. Aquest instant, que vindrà donat per algun succés, és 1'origen de temps, que, juntament amb el sistema de referència espacial, constitueix el sistema de referència espacio-temporal (S.R.E.T.).

Una volta triat el sistema de referència espacio-temporal, anem a detallar com es determina la posició d'un cos en aquest sistema, igual com la forma en què aquesta posició varia amb el temps.

2.1 Mesures en el temps: Instant de temps i interval de temps. A10. En el llenguatge col·loquial s’utilitzen les expressions següents:

a) Fa tres mesos que no he vist a Arantxa, però hui he quedat a les cinc i mitja amb ella.b) Pepe m’ha donat un plantó d’una hora. Havia quedat amb ell a l’una i ha arribat a les

dos.c) Quan a Canàries són les onze hores a València són la dotze hores.

En cursiva apareixen diferents quantitats de temps, indica les que són instants de temps i les que són intervals de temps.

A11. Explica la diferencia entre instant de temps i interval de temps.A12. Escriu el nom de tres instruments que es puguen usar per a mesurar temps i digues si

dona instants de temps o variacions de temps. A13. Escriu el nom i el símbol de la unitat de temps en el sistema internacional. Busca la

definició en alguna font externa (llibres o internet).

2.2 Mesura en el espai: posició i desplaçament.



A14. En el llenguatge col·loquial s’utilitzen les expressions següents:

a) Se m’ha parat el cotxe en el quilòmetre 10,5 de la carretera CV-21 (Una persona està telefonant al servei d’assistència en carretera).

b) Hem fet una marxa de 20 quilòmetres per la serra Calderona. L’autovia A3 es troba tallada des del quilòmetre 38 fins al quilòmetre 47 per obres de manteniment del paviment. El tràfic es desvia per l’antiga carretera nacional NIII amb un trajecte provisional de dotze quilòmetres. (Comunicat de la Direcció General de Trànsit).

En cursiva apareixen diferents quantitats de longitud mesures en quilòmetres. Indica les que es corresponen a posicions i les que són desplaçaments.

A15. Quina és la unitat fonamental del sistema internacional per a mesurar l’espai?

En l'activitat 14 hem exposat de una manera molt simplificada els conceptes de posició i desplaçaments ja que els hem mesurat sobre la trajectòria. Però, des del punt de vista físic la posició d'un cos realment es considera un vector i per tant el desplaçament que es deriva d'ella també ho es.A16. Repàs dels conceptes de magnitud vectorial i escalar.

a) Vectors: Mòdul, direcció i sentit.b) Nomenclatura, representació gràfica.c) Components d'un vector.

La posició d'un cos ve donada pel vector que va des del origen de coordenades al punt on es situa el cos considerat. Per tant el seu mòdul és la distancia entre estos dos punts.A17. Dibuixeu el vector de posició dels cossos A i B de la figura, doneu les seues components i

digues el valor dels seus mòduls. És important que uses la nomenclatura adequada.

Ara que hem definit físicament i matemàticament la posició cal definir de la mateixa manera els canvis que tenen lloc en les posicions del objecte al llarg del seu moviment.

Per a representar estes variacions definim el VECTOR DESPLAÇAMENT ( r∆ ) de la següent manera: 0rr=rΔ − on:

0r

: Posició inicial ⇒ És la posició en el inici de d'interval de temps que considerem. (

r : Posició final ⇒ És la posició quan acaba el interval de temps que considerem.

r∆ : VECTOR DESPLAÇAMENT ⇒ Vector que va des del punt inicial al final i per tant el seu mòdul és la distància en línia recta entre els punt inicial i el final.A18. Un objecte es mou tot al llarg de la trajectòria

dibuixada i passa pels punts A i B. Es demana: a) Expresseu gràfica i analíticament els vectors de posició Ar i Br

. b) Dibuixeu el vector desplaçament

rΔ c) Calculeu les seues components. d) Obtingueu el seu mòdul.

Moltes voltes resultarà pràctic determinar la posició sobre la trajectòria, que representarem per e, i la definirem com la distància a 1'origen, però mesurada sobre la mateixa trajectòria. Cal


2

4

6

x(m)

y(m)

A

B

2 6 8 4 10 12

O


tindre el compte que e és soles una distància i per tant no és un vector. Vegem-ho en aquesta activitat:

A19. En la gràfica de l'activitat anterior hem mesurat les distàncies sobre la trajectòria al punt O assenyalat i hem obtingut eA =1m i eB =10m. Determineu ∆e. Compareu el valor de ∆e obtingut amb el mòdul del desplaçament obtingut en l'activitat anterior.

Si la trajectòria és una línia recta el desplaçament coincideix amb l’espai recorregut i es poden simplificar el càlculs treballant sobre un eix. A20. Una alumna es mou tot seguint la trajectòria rectilínia indicada a la figura següent, de

manera que va de A a B i després torna a C.

a) Dibuixeu els vectors de posició Ar

, Br

, Cr

.b) Si prenem com a origen sobre la trajectòria el

punt de coordenades (0,5) m, doneu els valors de la posició sobre la trajectòria eA, eB i eC.

c) Dibuixeu el vector desplaçament entre A i B i trobeu el seu mòdul. Calculeu també el desplaçament sobre la trajectòria.

d) Repetiu els càlculs de l'apartat anterior, però ara considereu el desplaçament de B fins a C, és a dir, quan torna.

e) Calculeu el valor del desplaçament sobre la trajectòria í el valor de la distància total recorreguda des que el cos ix del punt A fins que passa de nou per C quan torna

A21. Quan comencem a contar el temps una persona es troba parada davant d'una tenda de roba a un metre del portal de sa casa. Al cap de 4s camina cap un altra escaparata que es troba a 4m del primer i arriba quan el cronòmetre marca 10 segons. Si prenem com a origen el portal de sa casa:

a) Fes un dibuix on es mostre l'origen de coordenades, les posicions i els instants de temps.

b) Fes dues taules una posició-temps i un altra amb desplaçament-interval de temps–desplaçaments.

c) Fes una gràfica amb les dades.

t(s) x(m) ∆t (s) ∆x (m)

A22. A la vista del següent moviment:

0 m 1 m 3 m

t = 0 s ; t = 3 s t = 6 s

2 m

t = 10 s

d) Fes una descripció verbal del moviment. (Utilitza els conceptes de instant i interval de temps, posició i desplaçament.

e) Escriu les taules de posició-temps i de intervals

f) Fes un gràfic del moviment.A23. Per al moviment de la gràfica.


0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10t(s)

x(m)


a) Fes una taula de posicions-temps i un altra de desplaçaments - intervals de temps. b) Imagineu una situació que puga correspondre al moviment i descriviu-la.c) Fes un esquema del moviment

A24. Expliqueu perquè les dos gràfiques següents no representen moviments reals.

A25. Un cotxe es troba en el quilòmetre 147 de l’autopista A-7 a les 12:30. A les 16:20 esta en el quilòmetre 530 i a les 18:00 arriba al quilòmetre 320. (a) Realitzeu la descripció del moviment utilitzant els conceptes interval de temps i desplaçament. (b) Determineu quin ha sigut el desplaçament entre les 12:30 i les 18:00. (c) Calculeu la longitud recorreguda entre les 12:30 i els 18:00. (d) En quina situació considereu que el desplaçament ens informa de la longitud recorreguda? Justifica la resposta.

A26. Ens diuen que la posició d’un objecte és x= -3 m. Podem determinar quin ha sigut el seu desplaçament?. Justifiqueu la resposta.

A27. El contaquilometres de L’autobús Alboraia-Patacona mesura 3,1 quilometres d’anada i 2,3 de tornada. Calcula la distància recorreguda i el desplaçament realitzat.

A28. En les activitats realitzades anteriorment, hem pogut observar tres tipus de situacions que es corresponen amb les següents representacions gràfiques espai en funció del temps.

a) b) c) x(m)

t(s)

x(m)

t(s)

x(m)

t(s)

a) Indica a quina situació es correspon cada un d’elles.b) Com és el desplaçament en cada una?

3 La velocitat

3.1 Velocitat mitjana



La descripció d'un moviment requereix introduir una magnitud per a conèixer la major o menor rapidesa amb què canvia la posició d'un mòbil. Es tracta d'allò que genèricament anomenem la velocitat.

Si els canvis de posició els havíem definit amb el vector desplaçament (∆r), una manera de mesurar la velocitat és fent el quocient entre el desplaçament experimentat i l’interval de temps en què ocorre. Aquesta magnitud vectorial l'anomenarem velocitat mitjana o VECTOR VELOCITAT MITJANA ( Vm).

trvm ∆

∆=

Treballar en vectors és útil quan descrivim moviment de mòbils que es mouen per l’espai. Però alguns casos com alguns moviments rectilinis, o els moviments d’un vehicle per una carretera és més senzill mesurar només els canvis de posició sobre la trajectòria. Ací podem definir la magnitud RAPIDESA MITJANA, com el quocient entre el espai recorregut sobre la trajectòria (∆e) i l'interval de temps en què ocorre. A diferència de la velocitat mitjana, la rapidesa mitjana (vm) no és una magnitud vectorial sinó escalar.

tevm ∆

∆=

A29. Proposeu amb quines unitats podríem mesurar aquestes dues noves magnituds i doneu una definició correcta de la unitat internacional de velocitat.

Per a comprendre millor les diferències entre aquestes dues magnituds i en quins casos podem considerar que la rapidesa és igual al mòdul de la velocitat, farem 1es dues activitats següents:

A30. Un mòbil es desplaça per la trajectòria dibuixada i passa pels punts A i B en els instants que assenyalen els cronòmetres. Cada ralleta sobre la trajectòria correspon a un metre. Es demana:

a) calculeu el valor de la rapidesa mitjana; b) calculeu el mòdul del vector velocitat mitjana; c) ¿per què ambdós valors són diferents? ¿en

quins casos particulars haurien de coincidir?

A31. Un ciclista va recórrer 35 km en una hora. Una moto va tardar 5 hores i mitja en fer 350 km, un avió va volar 513 km en 35 minuts í l’home més ràpid del mon, Usain Bolt, va fer els 100m en 9,76s a Berlín en 2008. Calcula la rapidesa mitjana en cada cas i ordena-les de menor a major.

A32. Quan un avió ultrapassa la velocitat del so es produeix un estampit molt fort. A quina velocitat en quilometres per hora es dona l’estampit si el so viatja a 340m/s en l’aire?

A33. Un punt sobre la superfície de la terra en l’equador gira respecte a l’eix d’aquesta a una velocitat 0,463 km/segon. Calcula aquesta velocitat en m/s i km/h. Podries calcular amb aquestes dades la circumferència de la terra.

A34. Una persona viatja en automòbil de Madrid a Sevilla (500 km) en 5 h.

a) ¿Quina velocitat mitjana a dut?b) Tenint en compte que e les autopistes el límit de velocitat es de 120 km/h, ¿pots

assegurar que ha complert totes les normes de trànsit?

3.2 Velocitat instantània

A35. Si ens diuen que un atleta corre els 100 m llisos en 10 s, ¿amb quina rapidesa ha corregut durant la prova?


2

4

6

x(m)

y(m)

A

B

2 6 8 4 10 12

O

1s

3s


És evident que amb la informació que ens donen només podem calcular una rapidesa mitjana durant tota la cursa, però tot al llarg de la prova la rapidesa haurà anat canviant. Cal plantejar-se la manera com determinar la rapidesa en cada instant, és a dir la RAPIDESA INSTANTÀNIA. El mateix podem dir sobre el vector velocitat, cal trobar el VECTOR VELOCITAT INSTANTÀNIA. Ara veurem com es pot fer això.

A36. ¿De quina manera podem descriure millor el moviment de l'atleta? Suposem que hem mesurat els diferents temps de pas per diferents posicions i hem obtingut aquesta taula.

Posicions (m) 0 20 40 60 80 100Instants (s) 0 2,5 4,5 6,2 9,5 10

Aclariu què hauríem de determinar i feu els càlculs corresponents

Com hem vist la rapidesa mitjana s’acostarà a la rapidesa en un instant de temps conforme reduïm els intervals de temps en que es fan les mesures de les posicions. El problema és com acurtem al màxim l’interval de mesura. El càlcul de la rapidesa instantània i de la velocitat instantània és resol mitjançant una eina matemàtica que s'anomena càlcul de límits, ja que les definicions operatives serien:

La rapidesa instantània és el límit cap on tendeix la rapidesa mitjana quan l'interval de temps que considerem tendeix a zero. Simbòlicament:

tev

ti ∆∆=

→∆ 0lim

El vector velocitat instantània és el límit cap on tendeix el vector velocitat mitjana quan l'interval de temps que considerem tendeix a zero. Simbòlicament:

trv

ti ∆∆=

→∆

0lim

Ara que els intervals de temps són tan xicotets que tendeixen a zero podem ben assegurar que: la rapidesa instantània sense signe és el mòdul del vector velocitat instantània.

ii vv =

Per aquest motiu i per simplificar anomenarem velocitat a la rapidesa instantània i vector velocitat al vector velocitat instantània.A37. Com creus que hauríem de dibuixar el vector velocitat en una trajectòria rectilínia? Com

creus que hauríem de dibuixar el vector velocitat en una trajectòria curvilínia? Explica-ho i es un dibuix en cada cas

A38. Dibuixa el vector velocitat en els instants indicats per els punts en cada una de les trajectòries corresponents al moviment de dos mòbils. (Les fletxes indiquen el sentit)

X

Y

X

Y

A39. La rapidesa no es un vector però si pot canviar de signe. Raona en quines circumstàncies tindrà signe positiu i en quines negatiu

4 Moviment rectilini uniforme.



En l’estudi de les ciències es tendeix a estudiar casos senzills i a partir d’ells generalitzar a altes més complicats. Com estem estudiant com es mouen els cossos estudiarem primer el tipus de moviment més senzill que existeix, és a dir aquell que es dona en línia recta i a més la velocitat no varia. Aquest tipus de moviment l’anomenarem moviment rectilini uniforme, o abreujadament MRU.

4.1 Equació del MRU.Com el moviment és rectilini i podem establir el sistema de coordenades que vulguem, per

simplificar farem coincidir la trajectòria amb l’eix x i els desplaçaments seran:

0xxx −=∆

Doneu-se compte que com estem treballant sobre la trajectòria, que coincideix amb el eix, no usarem notació vectorial.

Ara obtindrem una equació, es a dir una “formula” general que valga per a qualsevol MRU. Per la definició de velocitat que em fet en l’anterior apartat:

0

0

ttxxv

txv

−−=⇒

∆∆=

Aïllem de l’anterior expressió la x (posició) final:

tvxx ·0 =− ⇒ )·( 00 ttvxx −+=

Si el temps inicial és 0s l’equació anterior queda: tvxx ·0 +=

A40. Un automòbil circula amb una velocitat constant de 108 km/h passa per un pal indicador de l’autopista que indica “5 km 400 m” en el moment en què es posa en marxa el cronòmetre. a) Escriu la equació del moviment. b)Quina serà la seua posició en l’instant en què el cronòmetre assenyala 20 s? R: a) x=5400+30t (USI) ; b) x=6000m

A41. Un lleopard que persegueix a una presa en un tram recte va a 100 km/h. Si prenim t=0 per a x=0, escriu la equació del moviment i indica, raonadament, quina classe de moviment es. Compara la velocitat del lleopard amb la de l’àguila que vola a 44 m/s.

A42. Un cotxe es mou a una velocitat de 20 m/s. Sabent que la seua posició inicial respecte al sistema de referència és de 20 m. Quina és la seua posició en l’instant 1 minut?. Quant temps tarda a aconseguir la posició 1250 m?

A43. Un mòbil es troba inicialment a 2 m del sistema de referència. Al cap de 2 segons comença a moure’s amb una velocitat de 5 m/s. Quant temps ha tardat a aconseguir la posició 75 m? En quin instant l’aconseguirà?

A44. Sabem que un objecte en l’instant 10 segons es troba en la posició 100 m i en l’instant 25 segons en la posició 400 metres: a) Calcula la seua velocitat. b) Quina era la seua posició en l’instant inicial? I en l’instant t = 15 segons?.

A45. Un mòbil amb moviment uniforme ocupa sobre una recta les posicions 8 m’i 14 m en els instants 2 s’i 4 s, respectivament. Calcular la velocitat, així com les posicions en els instants inicial i 3 segons.

4.2 Gràfiques del MRUL’equació del moviment rectilini uniforme (x=f(t)) correspon a una recta amb ordenada en

l’origen x0 i pendent v. Vegem-ho en la següent activitat.



A46. Un mòbil, que es desplaça amb moviment rectilini uniforme, ocupa les posicions x1 = 4 m i x2 = 7 m en els instants t1 = 4 i t2 = 10 s, respectivament. Determina:

a) La velocitat del mòbil.b) La posició inicial.c) Dibuixa la gráfica corresponent i comprova que la

posició inicial coincideix amb l’ordenada en l’origen. d) Escriu l’equació de la posició.e) La posició en l’instant t = 21 s.

A47. La gràfica x=f(t) d’un moviment és la que es mostra a continuació.

a) A partir d’ella obtén les posicions en t0=0, t1=1s i t2=5s

b) Calcula la velocitat.c) Escriu l’equació del moviment.d) Si el mòbil no para, calcula la posició en t = 10s

A48. Un cotxe es troba inicialment en la posició 5 m, respecte a l’origen del sistema de referència que es troba en la posició 0 m; i es mou rectilíniament amb una velocitat constant de 2 m/s’al llarg de l’eix de coordenades d’abcisses (x).

a) Completa la següent taula de les velocitats del cotxe en diferents instants de temps.t(s) 0 1,3 2,6 3,4 4,6 5,8 6,7 8,9 9,5x(m)

b) Representa gràficament en paper mil·limetrat la posició en funció del temps x=f(t).c) Com és la gràfica x=f(t)? Què representa l’ordenada en l’origen? I el pendent de la

recta?d) Representa gràficament la velocitat en funció del temps v=f(t)? Com és la gràfica?

A49. Donades les següents gràfiques corresponents al moviment de dos mòbils, en cadascuna d’elles determina les respectives velocitats i equacions del moviment.

a) b)

x(m) x(m)

A50. En la gràfica velocitat temps de la figura:

a) Calcula l’àrea ombrejada de la gràfica.b) Quines unitats té l’àrea?c) A quina conclusió podem arribar?


-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

x (m)

v(m/s)

t (s) to t

v


A51. A partir de la següent gràfica corresponent al moviment d’un mòbil, determina:

d) Dibuixa la gràfica v=f(t)e) A partir d’esta gràfica calcula l’espai total

recorregut.

Les tres activitats següents es poden resoldre gràfica i analíticament: A52. Dos automòbils es troben separats una distància de 5 km. Els dos es mouen en sentits

contrari amb velocitats de 80 km/h i 20 m/s. Calcular l’instant i la posició en què es trobaran.

A53. Un mòbil A es troba una posició avançada de 200 m respecte a un altre B i comencen a moure’s en el mateix sentit amb velocitats de 108 km/h i 40 m/s. Indicar la posició i l’instant en què el mòbil B troba al A, suposant que el moviment és rectilini.

A54. Dos trens ixen de la mateixa estació amb una diferència de 30 minuts i amb velocitats de 120 km/h i 45 m/s. Suposant que realitzen un MRU, indica la posició i l’instant en què el primer passarà al segon, suposant que van per vies paral·leles.

5 L’acceleració.

5.1 Concepte d’acceleracióEs molt difícil trobar en la natura un moviment que siga constant. El més normal és que la

velocitat varie al llarg del temps. Per exemple un automòbil que es troba parat davant d’un semàfor arranca des de v=0 i la seua velocitat va variant per adaptar-se a la carretera, a la resta dels vehicles o els vianants. A final sempre acaba parant i la velocitat torna a ser 0. Es per això que es fa necessari de disposar d'una magnitud que determine com varia la velocitat. El moviments en els quals la velocitat varia s’anomenen Moviments Variats.

La magnitud a què ens referim és 1'ACCELERACIÓ, que podem definir com el quocient entre la variació que experimenta la velocitat i l'interval de temps en què aquesta variació ocorre. De forma semblant amb el que fèiem amb la definició de velocitat. Ací podem parlar de:

ACCELERACIÓ MITJANA SOBRE LA TRAJECTÒRIA tvam ∆

∆=

VECTOR ACCELERACIÓ MITJANA tvam ∆

∆=

VECTOR L’ACCELERACIÓ INSTANTÀNIA t

va m

ti ∆∆=

→∆

0lim

A55. Proposeu les unitats per a mesurar l'acceleració i definiu de forma correcta la seua unitat internacional.

A56. Assigneu de forma raonada el signe que correspondrà a l'acceleració sobre la trajectòria en els casos indicats a la figura següent, sí en tots els casos el valor absolut de l’acceleració del mòbil en l'instant considerat és de 5 m/s2.


O → v

← a

O → v

→ a

O ← v

→ a

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 t (s)

x(m)

a) b) c)


Per tant resumim que respecte al signe de l'acceleració mesurada sobre la trajectòria hem de tenir clar que:

• Quan els signes de v i a coincidesquen, sabrem que tenen el mateix sentit vectorial, per tant AUGMENTARÀ LA RAPIDESA.

• Quan els signes de v i a siguen contraris, els sentits vectorials respectius també ho seran, per tant DISMINUIRÀ LA RAPIDESA.

• En general tenint en compte el sistema de referència cartesià que hem pres, tot el vaja cap amunt és positiu i si va cap avall és negatiu. Tot el vaja cap a la dreta és positiu i el que vaja cap a l’esquerra és negatiu.

A57. Fes un esquema on s’indique els sentits dels vectors velocitat i acceleració en estos casos:

a) Un mòbil es mou en el sentit positiu del eix x i està accelerant (augmenta el mòdul de la velocitat).

b) Un mòbil que es mou en el sentit positiu del eix x i està frenant (es redueix el mòdul de la velocitat).

c) Un mòbil que es mou en el sentit negatiu de l’eix x i està accelerant (augmenta el mòdul de la velocitat)

d) Un mòbil que es mou en el sentit negatiu del eix x i està frenant (es redueix el mòdul de la velocitat).

5.2 Components intrínseques de l'acceleració.

Com ja hem dit la velocitat és una magnitud vectorial i per tant només pot variar de mòdul sinó que també de direcció i de sentit. En estudiar les variacions del vector velocitat cal tenir en compte les variacions que experimenta el seu mòdul i també les que experimenta la seua direcció.

A58. Com dibuixarem el vector acceleració en un mòbil que es mou en un cercle de radi constant i a velocitat constant? Fes el dibuix corresponent.

En el cas que la velocitat no canvie en direcció, sinó només en mòdul, 1'acceleració associada a la variació del mòdul tindrà direcció paral·lela a la velocitat, i per tant TANGENT A LA TRAJECTÒRIA i el seu mòdul valdrà:

0

0

ttvvat −

−=

En el cas que la velocitat només experimente variacions de direcció, tal com hem suggerit a l'activitat A.58 l'acceleració és un vector perpendicular al vector velocitat i, per tant, normal a la tangent a la trajectòria , és a dir dirigida cap al centre de curvatura de la trajectòria.

Ara direm que existeix una ACCELERACIÓ NORMAL o CENTRÍPETA (= que va cap al centre). Encara que enguany no podem demostrar-ho, aprendrem que el valor del mòdul de 1'acceleració normal es pot calcular amb la fórmula:

Rvat

2

=

On R representa el radi de curvatura de la trajectòria, en el cas de un moviment circular el radi de la circumferència descrita.



A59. Dibuixar el vector acceleració tangencial i el vector acceleració normal per a un mòbil que es mou en un cercle de radi constant i el mòdul de la velocitat augmenta. Com obtindries ara el vector acceleració?

L'acceleració tangencial i 1'acceleracíó normal, sempre són perpendiculars i sumades vectorialment ens donen 1'acceleració total del mòbil, s'anomenen sovint COMPONENTS INTRÍNSEQUES DEL VECTOR ACCELERACIÓ, ja que són útils com a sistema de referència propi per a descriure moviments més complicats.

6 Moviment uniformement accelerat.

6.1 MRU i MRUACom diguérem abans en les ciències és interessant estudiar els casos simples per poder

abordar desprès altres mes complicats. D’entre tots els moviments variats el més simple es aquell que te acceleració constant. Així definirem El Moviment Uniformement Accelerat (MUA) com aquell que té una acceleració sobre la trajectòria CONSTANT, per tant la component tangencial de l'acceleració també serà constant. Un cas del MRU és el Moviment Rectilini Uniformement Accelerat (MRUA) on la trajectòria és una línia recta. Pel que respecta a nosaltres les equacions del MRUA i del MRU son iguals només es diferencien en la lletra que usarem per a la posició (x o e).

A60. La gràfica de la figura correspon a un moviment rectilini uniformement accelerat.

a) Completa la tabla:

∆t(s) (intervals) 0s-1s 1s-2s 2s-3s 3s-4s

∆x (m)

b) Es recorre el mateix espai en cada segon?

Com hem vist en l’activitat A60 al contrari del moviment uniforme on es recorre espais iguals en temps iguals, en el moviment accelerat cada segon el espai recorregut és diferent per que hi ha acceleració i la velocitat varia.

6.2 Equacions del MRUHem de fer un parell de consideracions:

• Com treballem sobre la trajectòria no prendrem la notació vectorial.

• Considerarem moviment rectilini i usarem x per a la posició però les equacions valen per a les components tangencials de qualsevol moviment uniformement accelerat.

• La acceleració mitjana es constant i per tant l’anomenarem simplement a .

6.2.1 Equació v=f(t)Si recordem la definició de acceleració podem obtenir una primera equació per al MUA.

tva

∆∆= ⇒

0

0

ttvva

−−=

Aïllant de l’anterior expressió la velocitat final queda: )( 00 ttavv −+=


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 t(s)

x(m)


A61. La gràfica adjunta correspon a un MUA per que la velocitat varia uniformement. Calculeu la rapidesa mitjana durant el interval assenyalat. Feu la mitjana aritmètica de les velocitats i compareu els resultats.

A62. Un mòbil posseeix una rapidesa inicial de 10 m/s i una acceleració de -2 m/s2. Calculeu els valors de la rapidesa als instants t= 0, 2, 4, 6 í 8 s. Representeu la gràfica que correspon a l’equació v= f(t) i comenteu el gràfic.

A63. Un mòbil posseeix una acceleració constant de -3 m/s2. Calculeu la seua rapidesa a l’instant 5 s, si a l’instant 1s val 20 m/s.

6.2.2 Equació x=f(t).L’equació del moviment que ens dona la posició en funció del temps és la següent:

20000 )(

21)·( ttattvxx −+−+=

A64. Demostreu l’expressió anterior tenint en compte el resultat de l’activitat A60. Considera t0=0 per simplificar la demostració.

A65. Un mòbil que duu una velocitat inicial de 20 m/s i una acceleració de 4 m/s2 passa per l’origen de coordenades. Calculeu la velocitat i la posició al cap de 20s.

A66. Un mòbil que duu una velocitat inicial de 20 m/s i una acceleració de -4 m/s2 passa per l’origen de coordenades. Calculeu el temps que tardarà en parar-se i la distància que haurà recorregut.

A67. A partir de les dades de la taula adjunta, indíqueu si el moviment representat és uniformement accelerat:

e(m) 0 7,5 30 67,5 120t(s) 0 5 10 15 20

A68. Descriu els moviments que mostren les següents gràfiques

A69. Un automòbil que viatja per una carretera a 80 km/h frena uniformement de manera

que als 10 s la seua velocitat ha disminuït a 30 km/h. ¿Quin espai recorre el mòbil durant el temps de frenada?

A70. ¿Quina acceleració hauria de tenir un mòbil per tal que arribe a 100 km/h en un espaí de 200 m, sí ha eixit del repòs?

A71. Un automobilista que va a 72 km/h passa per davant d'un policia que controla el trànsit. Quatre segons després, ix el policia darrere seu per a multar-lo per haver comès una infracció. El policia ix del repòs amb una acceleració constant, alcançant l'automobilista després d'haver recorregut 400 m. a) Quant de temps ha durat la persecució? b) Quina velocitat tenia el policia en el moment d'alcançar l'automobilista?

7 La caiguda lliureEl moviment de caiguda dels cossos fou investigat pel físic italià Galileo GALILEI (1564-

1642) amb els quals inicià per primera vegada en la història de la ciència- 1'aplicació sistemàtica del mètode hipotètico-deductiu.


v(m/s)

0

v0=2

v=6

5 t(s)

ab


El model tradicional es basa en evidències del sentit comú. Segons aquest sembla que els cossos cauen més de pressa com més pesen. Es evident que una ploma cau més lentament que una pedra, però es tracta d'una observació superficial on l’aire juga un paper important que pot canviar radicalment en absència d'aire.

Galileo va demostrar experimentalment que, en absència de fregament, tots el cossos cauen amb la mateixa acceleració independentment de la massa i per tant del seu pes.

Així el moviment de caiguda lliure dels cossos és un MRUA on la acceleració val aproximadament 9,81m/s2. Este valor varia en funció de la posició en la terra per que la terra no és exactament redona i també depèn de la distància el centre de la terra. L’acceleració de la gravetat es representa per la lletra g i com augmenta la velocitat en el sentit negatiu del eix y el valor que prendrem sempre serà:

2·8,9 −−= smg

Per tant per a resoldre els problemes de caiguda lliure cal aplicar les equacions del MRUA en l’eix y. Com normalment fem t0 = 0 les equacions queden així:

tavv ·0 += 200 ·

21· tatvyy ++=

A72. Deixem caure una pedra des d'una altura de 30 m. Calculeu: a) la velocitat i posició quan ha passat 1s; b) el temps que tardará en arribar a terra i la seua velocitat en aqueix instant.

Si es fa un llançament cap amunt l’objecte llançat arribarà al punt mes alt i després baixarà. Conforme puja la velocitat positiva es redueix fins que en el punt més alt val v = 0. Quan cau el sentit de la velocitat s’inverteix i la velocitat negativa va augmentat en mòdul. No obstant el sentit de la acceleració de la gravetat sempre és el mateix.A73. Llancem un cos cap amunt amb una velocitat inicial de 40 m/s. Calculeu: a) la velocitat i

la posició als 2 s; b) l'altura máxima a què arriba; c) el temps que tarda en tornar a terra i la velocitat final.

A74. Llancem una pedra cap amunt amb una velocitat de 15 m/s i un segon després en llancem una altra amb una velocitat de 25 m/s. Calculeu: a) l'instant i l'altura en què ambdues pedres es troben; b) !a velocitat de les pedres en aqueix instant; c) digueu si la primera pedra encara está pujant o si ja está baixant.

A75. Des del sostre d'una habitació cau una bombeta de la llum, si l'alçària de l'habitació és de 2,5 m ¿quant de temps tardarà en arribar a terra?

A76. Una pedra llançada cap amunt verticalment está en l'aire 10 s. Calculeu la velocitat amb què va ser llançada i l'altura màxima atesa.

A77. Des d'un globus deixem caure un cos que tarda 20 s en arribar a terra. Calculeu a quina altura es trobava el globus en el moment de soltar el cos: a) si el globus estava en repòs en l'aire; b) si estava ascendint amb una velocitat constant de 50 m/s.

8 El moviment circular uniformeEls moviments amb trajectòria circular són una miqueta més complicats que els rectilinis,

però també apareixen sovint al nostre voltant.

En molts casos, la velocitat del mòbil és constant, per això s'anomenen moviments circulars uniformes.

Els moviments descrits per un disc, les busques d'un rellotge, el plat d'un microones, etc., són bons exemples de moviments circulars uniformes.

8.1 Graus i radiantsSegurament ja saps que els angles es poden mesurar en graus i que una circumferència (una

volta) te 360º. Però la unitat de angle del sistema internacional és el radià (rad).



Un radià és l’angle que delimita una distancia sobre la vora de la circumferència (un arc) de 1 radi.

És a dir si en el dibuix l’angle ϕ és un radià la distancia (el arc) AB és igual al radi.

Esta definició presenta un parell de efectes pràctics,

1) Si el radi cap 2π vegades en la circumferència una volta són 2π rad.

2) Per la definició se ha de complir que el arc = angle (rad) Radi => s = ϕ ·R

A més podem obtenir els factors de conversió:

360° = 2π rad ⇒ grausradπ

1801 = ⇒ rad180

º1 π=

A78. Calcula quants radiants són: a) dos voltes i mitja b) 720º c) 450ºA79. Una roda de bicicleta te un radi de 30 cm. Quina distancia recorre si gira

150º?

8.2 Velocitat angularPer a estudiar els moviments circulars, és molt útil introduir el concepte de

velocitat angular (ω ). Si un mòbil passa del punt A al punt B, girant un angle ϕ(fi) en un temps t, s'anomena velocitat angular, ω (omega), la relació entre 1'angle girat i el temps que tarda a recórrer-lo.

La velocitat angular representa 1'angle girat en cada unitat de temps:

La unitat en el SI és el radiant/segon (rad/s), però també s'empren el °/s, la volta/min i r.p.m., revolucions o voltes per minut.

A80. calcula la velocitat angular en radiants per segon de un antic plat de tocadiscs que girava a 33rpm.

A81. Què vol dir que un mòbil gira a raó de 10 rad/s? i a 30 voltes/min?A82. Calcula la velocitat angular (rad/s) de les tres busques d'un rellotge (secundària,

minutera i horari).A83. Un cos gira a una velocitat angular de 120 voltes/min.

c) Quants radiants gira en 2 s?d) Quant de temps tarda a recórrer 37,68 rad (6 voltes)?

8.3 Relació entre la velocitat tangencial i la velocitat angularTenint en compte la relació que hem vist abans: s = ϕ ·R podem deduir la

relació entre la velocitat tangencial i la velocitat angular: SI dividim aquesta expressió per el temps:

⇒=⇒=tR

tsRs ·· ϕϕ Rv ·ω=

A84. Una pedra lligada a una corda de 0,5 m de Ilarg gira a raó de 60 voltes/minut. Calculeu: a) La seua velocitat angular en rad/s b) L'angle girat en 5 s. d) La velocitat lineal de la pedra.

A85. Un cos gira a raó de 60 voltes/min. Calcula la velocitat lineal de dos punts situats a 10 cm i 20 cm de I'eix de gir.

A86. Imagina que fas girar el braç estés. a) Quina part tindrà més velocitat angular, el colze o la mà? b) I major velocitat lineal? Raona la resposta.

A87. Un cos gira a una velocitat angular de 120 voltes/min. a) Quants radiants gira en 2 s? b) Quant de temps tarda a recórrer 37,68 rad (6 voltes)?


t∆∆= ϕω

º150=ϕ


8.4 Moviments periòdicsEl moviment circular uniforme és un exemple de moviment periòdic. S'anomenen així els

moviments que repeteixen cada cert temps. Hi ha molts moviments periòdics: un pèndol, una barreta que vibra, un moll amb una massa penjant... etc.

El temps de repetició s’anomena període i es representa mitjançant la lletra T i com es mesura en unitats de temps (s, min, h...)

Un altre paràmetre important en els moviments periòdics és la freqüència ν (lletra grega “nu”) que és el numero de vegades que es repeteix el moviment cada unitat de temps. La seua unitat és el Herz (Hz) o cicles per segon. Es està relaciona amb el període de la següent manera:

T1=ν

A88. L’engranatge d’eixida del motor d’un cotxe gira a una velocitat angular de 2500 rpm. Calcula el període i la freqüència d’aquest moviment.

A89. Un timbre esta fet amb una roda que gira i colpeja una campana cada volta. Amb un frequèncímetre es mesura la freqüència del timbre i la lectura diu que son 440hz. Calcula la velocitat angular de la roda que gira.

9 Activitats complementàriesA90. El moviment de la Lluna al voltant de la Terra el podem considerar com un moviment

uniforme de trajectòria circular centrat a la Terra. Es demana: a) Feu un esquema gràfic i dibuixeu per a tres posicions distintes de la Lluna sengles vectors representatius de la velocitat i de l'acceleració. b) Poseu exemples d'altres moviments que podem considerar uniformes i de trajectòria circular.

A91. Dos automòbils es troben a la mateixa posició i circulen en el mateix sentit en una recta d'autopista. Les rapideses són 72 km/h i 90 km/h i es mantenen constants: a) ¿quina distància els separará als 5 minuts?; b) representeu en una mateixa gráfica els espais recorreguts per tots dos en funció del temps; c) mesureu a la gráfica l'espai que els separa als 5 minuts i compareu-ho amb el càlcul realitzat abans.

A92. Dos automòbils ixen de dos punts separats 200 m, en la mateixa direcció í sentits oposats: el primer va a 10 m/s í el segon a 20 m/s. Sabem que el segon mòbil ix 2 s després que el primer. Demanem: a) escriviu les equacions del moviment per a cada mòbil; b) calculeu on i quan es creuen.

A93. Un mòbil que duu una rapidesa de 6 m/s i una acceleració de -2 m/s2. Determineu: a) l'instant en qué el mòbil es deté; b) la distància recorreguda en aquest temps.

A94. Un mòbil arranca amb un moviment uniformement accelerat i als 10 s va a 20 mls. Calculeu: a) l'acceleració; b) I'espaí recorregut en els 10 s; c) representeu gràficament el moviment en els eixos e-t, v-t i a-t.

A95. Des de dalt d'una torre de 30 m d'alçària es llança cap amunt verticalment un objecte amb una rapidesa de 20 m/s. Calculeu: a) la posició i la rapidesa del mòbil als 5 s del llançament; b) el temps que tardará en arribar a terra

A96. Un cos A es deixa caure des d'una altura de 10 m. Simultàniament un altre cos B es llançat cap amunt amb una rapidesa de 20 m/s. Calcula el punt on es creuen i en quin instant.

A97. Dos vehicles viatgen per la mateixa carretera, en sentits oposats, fins que es creuen. Les seues rapideses són 72 km/h i 108 km/h, respectivament. Quan la distància entre ells és de 300 m frenen ambdós amb la mateixa acceleració de 2 m/s2. Calculeu: a) la rapidesa de cada mòbil en aqueix instant; b) el lloc on es creuen.

A98. Representeu qualitatívament en els diagrames e-t í v-t el moviment d'una pilota que cau des de certa altura i rebota després del xoc fins a la mateixa altura.

A99. Llancem verticalment un objecte cap amunt. A quina altura màxima arribarà?A100. Un cotxe en persegueix un altre. ¿Quant de temps tardarà en agafar-lo?A101. Un gos persegueix un conill. ¿L'agafarà abans que arribe al seu amagatall?



A102. En el sistema de rampes representat a la figura següent, deixem caure acuradament una boleta en el punt A. Si considerem que no hi ha pràcticament fregament, representeu de forma qualitativa, en els diagrames a=f(t), v=f(t) i e=f(t), del moviment de la boleta des que abandona A fins que passa pel punt D.

A103. Hem estudiat experímentalment el moviment d'un cos i hem obtíngut els resultats següents:

x(m) 0 7,5 30 76.5 120t(s) 0 5 10 15 20

Indiqueu de forma raonada, mitjançant el tractament adequat dels resultats, de quin típus de moviment es tracta.

A104. Un objecte es desplaça per una línia recta segons l’equació: x = 25 + 40t - 5t2 en m (sí t en s), ¿quina distància recorre en 5 s?

A105. Aneu recollint en forma de retalls les notícies que apareguen ala premsa (diaris, revistes,...) sobre aspectes relacionats amb la cinemática i feu un cartell amb tots els que considereu més interessants.

A106. Busqueu informació í elaborareu un petit dossier sobre els treballs que va fer Galileo, les obres que va escriure ï les implicacions que tingueren en la societat en el seu temps les investigacions que va fer.


unitat 1 el moviment - ies la patacona:...

Documents