unidades3-4 desarrollo de habilidades matematicas

7/22/2019 UNIDADES3-4 DESARROLLO DE HABILIDADES MATEMATICAS

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Nezahualcyotl. C. P. 57000. Estado de Mxico.ca, Circuito Universidad Tecnolgica s/n. Col. Benito Jurez. Cd.

Universidad Tecnolgica de Nezahualcyotl. Divisin de Telemti-


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ndice general

1. Introduccin 12. Acerca de la unidad 13. Objetivo de la unidad 14. Aprendizajes a lograr 1

Captulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas 31. Introduccin 32. Planteamiento de Sistemas de ecuaciones Lineales con dosvariables 3

Captulo 2. Mtodos basicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales condos incgnitas 5

1. Mtodo: por reduccin (suma y resta) 52. Mtodo: por igualacin 93. Mtodo: por sustitucin 11

Captulo 3. Mtodo grco 131. Ejercicios a resolver por el alumno 152. Autoevaluacin 15

Captulo 4. Introduccin al estudio y aplicacin de matrices 171. Introduccin 172. Denicin 173. Representacin en forma de matriz de un sistema de ecuaciones lineales 194. Solucin de un sistema de ecuaciones por el mtodo de Gauss-Jordan 22

Captulo 5. Introduccin al estudio y aplicacin de matrices. Parte 2 311. Mtodo de Gauss-Jordan aplicado a sistemas de ecuaciones con 3

incgnitas 312. Concepto de matriz de orden mxn 333. Suma de matrices 34

4. Multiplicacin de matrices 365. Representacin de un sistema de ecuaciones en forma matricial 376. Multiplicacin de una matriz por un escalar 39

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4. APRENDIZAJES A LOGRAR 1

1. Introduccin

Este es un curso para el Tcnico Superior Universitario en Tecnologas de la

Informacin y Comunicacin. An cuando el programa abarca una gran cantidadde tpicos y ejercicios relacionados a las ecuaciones lineales es conveniente aclararque se busca ms la comprensin sobre la aplicacin prctica del concepto que eldesarrollo terico de los mismos.

2. Acerca de la unidad

Horas prcticas: 20Horas Tericas: 4Horas Totales: 24

3. Objetivo de la unidad

El alumno resolver sistemas de ecuaciones para la representacin del problema

y su solucin4. Aprendizajes a lograr

Una vez realizados los ejercicios por parte del estudiante, al nalizar la unidad,el alumno sera capaz de:

Identicar el concepto de ecuacin linealResolver problemas mediante ecuaciones linealesIdenticar el proceso de solucin de ecuaciones lineales con dos o msincgnitas por los mtodos de: suma, resta, sustitucin y grcosResolver problemas mediante sistemas de ecuaciones linealesIdenticar el proceso de solucin de ecuaciones de segundo grado (frmulageneral y productos notables)Resolver problemas mediante ecuaciones de segundo grado.


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CAPTULO 1

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas

1. Introduccin

Hemos estudiado como representar una ecuacin lineal de la forma ax + by= c,e incluso hemos escrito una variable en funcin de la otra, las hemos gracado ytambin aprendimos en que casos se presentan este tipo de ecuaciones.

Ahora estudiaremos y aprenderemos como construir un sistema de ecuaciones

con dos, tres ms variables y los mtodos para obtener sus raices (obtener el valorde las variables o resolver el sistema de ecuaciones).

2. Planteamiento de Sistemas de ecuaciones Lineales con dos variables

Si leemos detenidamente el ttulo de este apartado, dice ecuaciones con dosvariables, por lo tanto deberemos trabajar con dos ecuaciones de la forma ax +by=c:

Ejemplo 1Encuentre dos nmeros tal que su suma sea uno (1) y su resta sea menos uno

(1).Solucin:Primero. Nos piden dos nmeros, as que a un nmero le llamamos x y al otro

nmero le llamamos y .Segundo. Escribimos el enuenciado: tal que su suma sea uno:

x+y = 1

Tercero. Escribimos el enunciado: y que su resta sea menos uno

x y= 1Cuarto. Escribimos las dos ecuaciones, una despus de la otra para saber cual

es elsistema de ecuaciones que vamos a resolver.

x+y = 1 Ec. 1x y= 1 Ec. 2

Que es elsistema de ecuaciones que debemos resolver. A continuacin ver-emos cuales son los mtodos para resolver sistemas de cuaciones lineales con dos

incgnitas.Ejemplo 2. El costo total de 5 libros de texto y 4 plumas es de $32.00; el costototal de otros 6 libros de texto iguales y 3 plumas es de $ 33.00. Hallar el costo decada artculo.

Solucin:sea x= el costo de un libro en pesos, y y = el costo de una plumaen pesos. Segn el problema obtenemos dos ecuaciones:

5x+ 4y= 326x+ 3y= 33

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4 1 . S IS TE MA S D E E CU AC IO NE S L IN EA LE S C ON D OS IN C G NITA S

Que es el sistema que debemos resolver para saber el costo de cada artculo.Ejemplo 3. Hallar dos nmeros tales que las sumas de sus recprocos sea 5, y

que la diferencia de sus recprocos sea 1.Solucin: Sea x = un nmero y el otro nmero sea y .

El recproco de x es: 1x

El recproco de y es: 1y

Por lo tanto, la suma y la diferencia de sus recprocos son, respectivamente:1x

+ 1y

= 51x 1

y = 1

Este no es un sistema del tipo ax+ by = c como tal, pero podemos llama a1y

=z y 1x

=w, donde z , w son las nuevas variables. Es decir:w+z = 5w

z= 1

Una vez resuelto este sistema, podemos calcular el valor de x y el valor de y :

Ejercicios a resolver por el alumno. Plantee los siguientes enunciados en formade sistemas de ecuaciones

1. Un hacendado compr 4 vacas y 7 caballos por $ 514.00 y ms tarde, a losmismos precios compr 8 vacas y 9 caballos por $ 818.00. Hallar el costode una vaca y un caballo.

2. En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de nio cuestan $ 5.12, y 17 entradasde nio y 15 de adulto cuestan $ 8.31. Hallar el precio de una entrada denio y una de adulto.

3. Si a 5 veces el mayor de dos nmeros se aade 7 veces el menor, la sumaes 316, y si a 9 veces el menor se resta el cudruplo del mayo, la diferenciaes 83. Hallar los nmeros.


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CAPTULO 2

Mtodos basicos para resolver sistemas deecuaciones lineales con dos incgnitas

1. Mtodo: por reduccin (suma y resta)

En ste mtodo lo que se busca es eliminar una de las variables usando lasoperaciones elementales aritmticas de multiplicacin suma, resta y divisin.

Ejemplo 4. Como primer ejemplo resolveremos el sistema de ecuaciones que

obtuvimos en el ejemplo 1: x+y = 1 Ec. 1x y= 1 Ec. 2

Primero. Sumamos la ecuacin 1 con la ecuacin 2:

x+y = 1x y= 12x+ 0 = 0

Segundo. Del resultado obtenido 2x+ 0 = 0, despejamos x para obtener suvalor:

2x= 0x= 02

x= 0Tercero. De las ecuaciones 1 y 2, elegimos la ecuacin que ms te agrade para

sustituir el valor de xque hemos obtenido, en este caso, tomaremos la ecuacin 1para calcular el valor de y .

x+y = 10 +y = 1

y= 1

Cuarto. Escribimos los resultados obtenidos, que viene siendo la solucin anuestro sistema de ecuaciones.

La solucin para el sistema de ecuaciones

x+y = 1 Ec;1x y= 1 Ec;2 esx= 0.

y= 1Quinto.Comprobamosel resultado obtenido sustituyendo los valores de x =

0. y= 1, primero en la ecuacin 1 y despus en la ecuacin 2.A. Comprobando los resultados sustituyendo los valores x = 0. y = 1 en el

primer miembro la ecuacin 1.

x+y0 + 1 = 1

Y el resultado que obtenenmos es igual al del segundo miembro de la ecuacin1.

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62. MTODOS BASICOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS

B.Comprobandolos resultados sustituyendo los valores x= 0. y = 1en elprimer miembro de la ecuacin 2.

x y0 y= 1Y el resultado que obtenenmos es igual al del segundo miembro de la ecuacin

2.En ambos casos la igualdad se cumple, por lo que los resultados x = 0. y = 1,

es solucin al sistema de ecuaciones:x+y = 1 Ec. 1x y= 1 Ec. 2

Por lo que los dos nmeros tal que su suma sea uno (1)y su resta sea menosuno (1) son: x = 0. y= 1

Ejemplo 5.Resolver el sistema de ecuaciones:

2x+ 3y = 2 Ec. 13x+ 4y= 5 Ec. 2 Conjunto original

En este caso observamos que los coecientes de la ecuacin 1 son diferentes delos coecientes de la ecuacin 2, por lo que no podemos restar y sumar directa-mente, as que buscamos una estrategia para igualr los coecientes de la variableque querramos eliminar.

Primero. En este caso deseamos eliminar la variable y, as que tomamos elcoeciente de la variable y de la ecuacin 2 (el coeciente es 4) y multiplicamostoda la ecuacin 1 por cuatro 4.

(4) (2x+ 3y= 2 )

Despus de multiplicar se obtiene para la ecuacin 1 una nueva ecuacin quellamremos 3:

8x+ 12y= 8 Ec.3Segundo. Multiplicamos el coeciente de la variable y en la ecuacin 1 que es 3

y lo multiplicamos por toda la ecuacin 1.(3) (3x+ 4y= 5)

Despus de multiplicar se obtiene para la ecuacin 2 una nueva ecuacin quellamremos 4

9x+ 12y= 15 Ec. 4Tercero. Escribimos nuestro nuevo sistema de ecuaciones que vamos a resolver:

8x+ 12y= 8 Ec.39x+ 12y = 15 Ec. 4

Cuarto. Para eliminar la variable y, cambiamos de signo a toda la ecuacin 4y la ecuacin 3 la dejamos sin cambios (se puedo haber hecho lo contrario), por loque el sistema nos queda:

8x+ 12y= 8 Ec.39x 12y= 15 Ec. 4

Quinto. Sumamos las ecuaciones 3 y 4:8x+ 12y= 8

9x 12y= 15x+ 0 = 23


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1. MTODO: POR REDUCCIN (SUMA Y RESTA) 7

Sexto. Del resultado obtenido (x+ 0 = 23) despejamos la variable x.x= 23

x= 23Sptimo. Para calcular el valor de y sustituimos el valor que se obtuvo para x

(x= 23), en la ecuacin 38(23) + 12y= 8184 + 12y= 8

Octavo. De la ltima ecuacin (184 + 12y = 8), despejamos x para obtenersu valor.

12y= 8 + 18412y= 192

y= 19212y= 16

Noveno. Conrmamos nuestros resultados (x =

23; y = 16), sustituyendodichos valores en el conjunto original de ecuaciones

2x+ 3y = 2 Ec. 13x+ 4y= 5 Ec. 2 Conjunto original

Dcimo.Comprobamosnuestros resultadosA.Sustituimos los valoresx = 23; y = 16en el primer miembro de la ecuacin

1

2x+ 3y

Despus de sustituir se obtiene:

2(23) + 3(16) = 2Cuyo resultado concuerda con el segundo miembro de la igualdad de la ecuacin

1

B. Sustituimos los valoresx = 23; y= 16en el primer miembro de la ecuacin2

3x+ 4y

Despus de sustituir y desarrollar las operaciones se obtiene:

3(23) + 4(16) = 5Cuyo resultado concuerda con el segundo miembro de la ecuacin 2.Onceavo.Escribimos nuestro resultado de la siguiente manera.La solucin del sistema de ecuaciones lineales:

2x+ 3y= 2 Ec. 13x+ 4y = 5 Ec. 2

Es: x = 23; y= 16

Ejemplo 6. Resolver el sistema de ecuaciones lineales:5x+ 3y= 42x+y = 3

Ejercicio. Escribe a la derecha las operaciones realizadas:

Descripcin del procedimiento

Paso 1

10x+ 6y= 810x+ 5y= 15


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Paso 2

8>>>>>>>>>>:

10x+ 6(23) = 810x 138 = 810x= 8 + 138

10x= 130x= 13010x= 13

Paso 4

x= 13y= 23

Paso 5. Comprobacin8


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y = 1 1 +yy y= 2

2y=

2

y= 22y= 1

Quinto: Sustituimos el valor de yenx = 1yo bien enx = 1+ y, en cualquiercaso obtenemos:

x= 1 1x= 0

Sexto: Escribimos nuestros resultados. La solucin del sistema de ecuaciones x+y = 1x y = 1 es:

x= 0, y = 1Sptimo: Comprobamos nuestros resultados: Sustituyendo los valores x = 0,

y= 1en x+y:x+y

0 + 1 = 1

El resultado concuerda con la igualdad del lado derecho de la ecuacin 1.Octavo. comprobamos con la ecuacin 2 sustituyendo los valores x= 0, y = 1

en x y:x y

0 1 = 1El resultado concuerda con la igualdad del lado derecho de la ecuacin 2.Ejemplo 8. Resolver el sistema de ecuaciones por el mtodo de igualacin

5x+ 3y= 4 Ec. 12x+y = 3 Ec. 2

Solucin.Primero. Despejamos x de Ec. 15x= 4 3y

x= 43y5Segundo. Despejamos x de Ec. 2

2x= 3 yx= 3y2

Tercero. Igualamos x = 43y5 con x = 3y

243y

5 = 3y

28 6y= 15 5y6y+ 5y= 15 + 8

y= 23

y= 23Cuarto. Calculamos el valor de x sustituyendo el valor de y en x = 3y2

(Tambin se puede sustituir en x= 43y5 yel resultado que se obtenga debe ser elmismo para x)

x= 3y2x= 3(23)2

x= 3+232


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3. MTODO: POR SUSTITUCIN 11

x= 262x= 13

2.1. Ejercicios. I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el mto-do de igualacin. comprueba tus resultados y sbelos a tu portafolio de aprendizaje:

1.

3x y= 22x+ 3y= 5

2.

x+ 4y= 72x+ 3y= 4

3.

2x 3y= 93x+ 4y= 5

4.

3x+ 2y= 02x+ 5y= 11

5.

9x+ 7y= 05x 9y= 0 6.

2x 11y= 4

4x+ 7y= 8

7. 1

x+ 2

y = 1

2x 1

y = 7

4

8. 2

x 32y =

32

43x

3y

= 13

9.

3x+y = 56x+ 2y= 7

10.

4x 2y= 42x y= 2 11.

2x 6y = 2

x 3y= 3 12.

7x+ 2y= 121x+ 6y= 3

II. Graca los sistemas de ecuaciones 1, 2, y 4. Usa un sistema de coordenadaspara cada sistema y encuentra en que punto se intersetan o cruzan las rectas del

sistema de ecuaciones 1, las rectas del sistema de ecuaciones 2 y las rectas del sitemade ecuaciones3.

3. Mtodo: por sustitucin

En este mtodo despejamos una de las variables de una de las ecuaciones y lasustituimos en la otra, pero vamos a los ejemplos para prcticar la tcnica.

Ejemplo 9. Resolver por el mtodo de sustitucin el siguiente sistema de ecua-ciones:

3x+ 2y= 1 Ec.14x y= 3 Ec.2

Solucin:

Primero.Despejemos la variable y de la Ec. 1.3x+ 2y = 12y= 1 3x

y= 13x2Segundo. Sustituyamos la expresin que encontramos para y

es decir 13x2

en

la Ec. 2

4x 13x2

= 3

8x 1 + 3x= 68x+ 3x= 6 + 1

11x= 7x= 711

Tercero. sustituyamos el valor de x es decir 711 en la ecuacin y =

13x2

y= 13( 711 )

2

y= 1 21

11

2

y= 1121(11)(2)

y= 1022


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y= 511Cuarto. Nuestro resultado es: x = 711 , y =

511

Quinto. Comprobamos nuestro resultadoSustituimos primeros los valores en el lado derecho de la igualdad de la Ec. 1.3x+ 2y

3

711

+ 2

511

=

211011

= 1111

= 1

Para la Ec. 1, los valores obtenidos se cumplen.Sustituimos los valores x = 711 , y =

511 en el lado derecho de la igualdad de

la Ec. 2.4x y

4 711

5

11 =

28+511 =

3311 = 3

Por lo que vemos que nuestros resultados

x= 711 , y = 511

son correctos ya

que se cumplen para las dos ecuaciones.

3.1. Ejercicios. Resuelve por el mtodo de sustitucin los siguientes ejerci-cios y sbelos a tu portafolio de aprendizaje. Comprueba en cada caso el resultadoobtenido.

1.

3x y= 22x+ 3y= 5

2.

x+ 4y= 72x+ 3y= 4

3.

2x 3y= 93x+ 4y= 5

4. 3x+ 2y= 02x+ 5y= 11

5. 9x+ 7y= 05x

9y= 0

6. 2x 11y= 4

4x+ 7y= 8

7. 1

x+ 2

y = 1

2x 1

y = 74

8. 2

x 3

2y = 3

243x

3y

= 139.

3x+y = 56x+ 2y= 7

10.

4x 2y= 42x y= 2 11.

2x 6y = 2

x 3y= 3 12.

7x+ 2y= 121x+ 6y= 3


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CAPTULO 3

Mtodo grco

El mtodo consiste en dibujar las dos rectas y en punto donde se cruzan es lasolucin. por ejemplo, la solucin de las dos rectas de la gura 1 es x = 3, y = 2,ya que es el punto donde se cruzan.

Para comprender el mtodo, detallamos un ejemplo.

Ejemplo 1. Utilizando el mtodo grco encuentre la solucin del siguiente

sistema de ecuaciones

x+ 2y= 42x+y = 5

Solucin.

Primero. Nombramos nuestras ecuaciones:

x+ 2y = 4ec. 12x+y = 5ec 2

Segundo. Despejamos y de ec. 1: y = 4x2Tercero. Damos dos valores a x para obtener dos valores de y ;sean los valores

x= 0y x = 8(usted puede dar los valores que quiera) y elaboramos una tabla quecon una columna que considere los puntos (x; y)

Figura 1. Fig. 1. La solucin de estas dos rectas es el punto (3,2) ya que es el punto donde se cruzan

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14 3. MTODO GRFICO

Figura 2. Fig. 2. Recta que une los puntos (0, 2) y (8, -2)

Valor de x Valor de y

y= 4x2(x; y)

0 y= 2 (0; 2)8 y= 482 =

42 = 2 (8; 2)

Cuarto. Marcamos esos puntos en un sistema de coordenadas y trazamos unarecta como se muestra en la gura 2.

Quinto. Despejamos y de la ecuacin 2, de donde se obtiene:

y= 5

2x

Asignamos dos valores a x para obtener las parejas ordenadas.

Valor de x Valor de y

y = 5 2x (x; y)

2 y= 1 (2; 1)3 y= 1 (3; 1)

Marcamos esos puntos en la gura 2 unidos por una recta como se muestra enla gura 3, donde podemos ver que las rectas se cruzan en el punto (2, 1)

Por lo tanto, la solucin al sistema de ecuaciones x+ 2y= 42x+y = 5

es: x= 2, y = 1Comprobacin.Al sustituir los valores x = 2, y = 1, observamos que la igualdad se cumple, es

decir:Al sustituir en ecuacin 1: 2 + 2 (1) = 2 + 2 = 4

Al sustituir en ecuacin 2: 2 (2) + 1 = 4 + 1 = 5Por lo tanto, la solucin x= 2, y = 1 es correcta.


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2. AUTOEVALUACIN 15

Figura 3. Fig. 3. El punto donde se cruzan las rectas es el punto(2, 1).

Nota. Cuando las rectas son paralelas, no hay solucinn ya que NO SE CRUZAN.

1. Ejercicios a resolver por el alumno

Utilizando el mtodo grco resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lin-eales.

1) 2x+y = 7x+y = 3

2) x 2y = 1

x y= 3 3) 3x+y = 5

x+y = 3

4)

2x+ 3y= 6x+y = 1

5)

2x+ 3y= 13y= 3

6)

x+ 2y= 63x 3y= 9

7)

2x+y = 62x+y = 6

8)

2x 3y = 54x 6y= 10 9)

4x y= 44x y= 8

2. Autoevaluacin

Intrucciones: Resuelve utilizando cualquiera de los mtodos estudiados lossiguientes sistemas de ecuaciones lineales:

1. 2

x+ 1

y = 1

1x 2

y= 54

2. 4

x 64y =

52

86x

62y =

13

3.

6x+ 2y= 1012x+ 4y= 14

4. 8x 4y= 8

4x 2y= 4 5.

6x 18y= 6

3x 9y = 9 6.

14x+ 4y= 2

42x+ 12y= 6


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CAPTULO 4

Introduccin al estudio y aplicacin de matrices

Es importante aclarar que el estudio de las matricies aqu presentado solo cor-responde a una pequea fraccin de lo que abarca el tema de las matricies e inclusoexisten lneas de investigacin en matemticas relacionadas a las propiedades y apli-caciones de las matrices.. Realmente estudiar todas las propiedades y aplicacionesconlleva una gran cantidad de tiempo y esfuerzo, por lo que aqu se presenta unpequeo esbozo, si el estudiante o lector desea profundizar se le recomienda que

estudie y resuelva los ejercicios de los libros que se proponen en la bibliografa.

1. Introduccin

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incgnitas tales como:8>>>>:

a b+c= 120c g= 110

a+b+c+d+e f+ g = 110a+d+e= 100

b d+f

= 0

12.

8>>>>>>>>>>>>>>>:

x1+x2+x3+ +xn= 0x1+x2+x3+ +xn= 0x1+x2+x3+ +xn= 0

x1+x2+x3+ +xn= 0x1+x2+x3+ +xn= 0x1+x2+x3+ +xn= 0


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2 2 4 . I NT RO DU CC I N A L E ST UD IO Y A PL IC AC I N D E M AT RIC ES

4. Solucin de un sistema de ecuaciones por el mtodo deGauss-Jordan

Este mtodo est basado en ciertas operaciones llamadas operaciones elemen-tales, pero que son las operaciones elementales? cmo se aplican las operacioneselementales? A continuacin daremos la denicin de operaciones elementales y pos-teriormente algunos ejemplos bsicos para comprender el mtodo de Gauss-Jordan.

4.1. Denicin. Se llamanoperaciones elementales, de ecuaciones o -las, a las operaciones consistentes en:

(i): Intercambiar dos ecuaciones (operacin elemental de tipo I)(ii): Multiplicar una ecuacin por un nmero diferente de cero (operacin

elemental de tipo II)(iii): Sumar a una ecuacin otra ecuacin diferente la cual ha sido mul-

tiplicada por un nmero diferente de cero (operacin elemental de tipoIII)

Lo que se busca con las operaciones elementales, es que en la matriz solo quedennmeros uno (1) en la diagonal principal y en la ltima columna quede cualquiernmero incluyendo el cero. Por ejemplo para un sistema de cuaciones con tresincgnitas, despus de aplicar el mtodo de Gauss Jordan, la matriz debe quedarde la siguiente forma. 0

@ 1 0 0 a0 1 0 b0 0 1 c

1A

Donde a;b;c son nmeros caulesquiera; as, el resultado sera x = a, y = b,c= d

Ejemplo 1.Resolver aplicando el mtodo de gauss-jordan el siguiente sistemade ecuaciones lineales:

x+y = 2x y= 1

Solucin:

(1): Escribimos la ecuacin en forma matricial:0

@

1 1 2

1

1

1

1

A(2): A la la 1 le sumamos la la 2

0@ 2 0 1

1 1 1

1A


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4. SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL M TODO DE GAUSS-JORDAN23

(3): Multiplicamos la la 2 por 2:

0@2 0 1

2 2 21A

(4): Sumamos a la la 2 la la -1

0@ 2 0 1

0 2 3

1A

(5): Dividimos entre 2 a las las 1 y 2

0@ 1 0 1

2

0 1 32

1A

(6): Multiplicamos la la 2 por1

0@ 1 0

12

0 1 32

1A

(7): Escribimos el resultado obtenido: El resultado para el sistema de ecua-ciones lineales es:

x= 12

y= 32(8): Hacemos la prueba correspondiente sustituyendo en la parte izquierda

de cada una de las ecuaciones del sistema:

x+y = 2x y= 1

(a): Sustituyendo en x +y

x+y =

12

+32

=42 = 2

Por lo tanto, los valores

x= 12 , y= 32

, se cumplen para x +y = 2:

(b): Sustituyendo en x y


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x y=

12

32 =

22 = 1

Por lo tanto, los valores

x= 12 , y= 32

, se cumplen para x y= 1:

Ejemplo 2. Resuelva usando el mtodo de Gauss-Jordan el siguiente sistemade ecuaciones lineales:

x+y = 20x y = 10

(1): Escribimos el sistema de ecuaciones en forma de matriz

0@ 1 1 201 1 10

1A

(2): A la la 1 ( o renglon 1) le sumamos la la 2 (F1+F2!)0@ 2 0 30

1 1 10

1A

(3): Multiplicamos a la la 2 por el nmero 2 (F2x2!)

0@2 0 30

2 2 201A

(4): A la la 2 le restamos la la 1 (F2 F1!)0@ 2 0 30

0 2 10

1A

(5): Dividmos a la la 1 entre el nmero 2 y a la la 2 entre el nmero 2(F12 y

F22!

)0@

1 0 15

0 1 5

1A

(6): A la la 2 la multiplicamos por el nmero1(F2x(1)!)0

@ 1 0 150 1 5

1A


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Como en nuestra diagonal ya tenemos el nmero 1, decimos que la solucin alsistema de ecuacines es:

x= 15, y = 5

(7): Hacemos la prueba correspondiente sustituyendo x = 15, y= 5 en ellado izquierdo del sistema de ecuaciones:

x+y = 20x y = 10

(A): Sustituyendo x = 15, y= 5 en x +y :

x+y =15 + 5 = 20

Vemos que la igualdad x +y = 20se cumple para los valores x = 15, y= 5

(B): Sustituyendo x = 15, y= 5 en x y:

x y=15 5 = 10

Vemos que la igualdad x y= 10se cumple para los valores x = 15, y= 5

As que la solucin al sistema de ecuaciones

x+y = 20x y= 10 es: x = 15, y= 5

4.2. Ejercicios: Resuelve usando el mtodo de Gauss-Jordan los siguientessistemas de ecuaciones lineales:

(1):

x+y = 4x y= 2

(2):

x+y = 6x y= 1

(3):

x+y = 3x y= 1

(4): x+y = 24x y= 18

Ejemplo 3. Resolver usando el mtodo de Gauss-Jordan el siguiente sistemade ecuaciones lineales:

2x+y = 13x+ 2y= 2


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Ahora vamos a resolver el sistema sin explicar con palabras las opera-ciones elementalesrealizadas, solo usaremos notacin matemtica, as que debestener cuidado para entender lo que se hace.

Ejercicio. Describe con palabras en la columna de la derecha las operacionesque representan los smbolos

2 1 13 2 2

F1x(2) !

4 2 23 2 2

4 2 23 2 2

F1 F2!

1 0 03 2 2

1 0 03 2 2

F1x(3) !

3 0 03 2 2

3 0 03 2 2

F2 F1!

3 0 00 2 2

3 0 00 2 2

F13 y

F22 !

1 0 00 1 1

x= 0; y= 1

La solucin al sistema de ecuaciones

2x+y = 13x+ 2y= 2

es: x = 0; y= 1

Prueba:

2x+y =2(0) + 1 = 1

La igualdad2x+y = 1se cumple para x = 0; y= 1:

3x+ 2y=3(0) + 2(1) = 2

La igualdad3x+ 2y= 2se cumple para x = 0; y= 1:

Ejemplo 4: Resolver usando el mtodo de Gauss-Jordan el siguiente sistemade ecuaciones

Solucin: 3 2 32 5 1

F1x(5)y F2x(2) !

15 10 15

4 10 2

F1 F2!

11 0 13

4 10 2

F1x(4)y F2x(11) !

!

44 0 5244 110 22

F2 F1!

44 0 52

0 110 -30

F14 y

F210

!

11 0 130 11 -3

F111 y

F211

!

1 0 13110 1 311


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La solucin al sistema de ecuaciones

3x+ 2y= 32x+ 5y= 1

es: x = 1311 ; y= 311

Prueba:Comprobando para la igualdad 3x+ 2y= 3

3x+ 2y=

3(1311) + 2 311

=

39611 =

3311 = 3

La igualdad3x+ 2y= 3se cumple para x = 1311 ; y= 311

Comprobando para la igualdad 2x+ 5y= 12x+ 5y=

21311

+ 2

3

11

=

251511 =

1111 = 1

La igualdad2x+ 5y= 1se cumple para x = 1311 ; y= 311 :

Por lo tanto la solucin del sistema de ecuaciones

3x+ 2y= 32x+ 5y= 1

es: x = 1311 ;

y= 311

Ejemplo 5. Resolver por el mtodo de Gauss-Jordan el sistema de ecuaciones 2x 3

2y = 3

243x

3y

= 13

Solucin. Sabemos que este sistema debemos tranformalo de la siguiente forma:a= 1

x; b= 1

y, as que nuestro sistema de ecuaciones se transforma en:

2a 32b=

32

43a 3b=

13

Resolviendo este ltimo sistema de ecuaciones, tenemos: 2 32

32

43

3 1

3

F1x(3)y F2x

32

!

6 92 92126

92

36

s

6 92 922 9

236

F1 F2!

!

4 0 42 92 1

F2x(2) !

4 0 44 9 3

F14 y

F23!

1 0 10 3 1

F23 !

1 0 10 1 13


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El resultado obtenido para el sistema

2a 32b= 32

43a 3b=

13

es: a = 1 y b= 13

Comprobando se obtiene para2a

3

2b= 3

22a 32b=

2(1) 3213

=

2 36 = 2 12 =

412 =

32

Por lo tanto, la igualdad se cumple.Ahora comprobamos la igualdad para 43a 3b=

13

43a 3b=

43

(1) 313

=

43 3

3=

43 1 =433 =

13

As que la igualdad se cumple tambin para la segunda ecuacin, por lo tanto

la solucin al sistema

2a 32

b= 32

43a 3b=

13

es: a = 1 y b= 13Ahora nos falta encontrar los valores de x, y :Como:

a= 1x

hemos encontrado que a= 1, por lo tanto al sustituir el valor de a en a = 1x

;

tenemos que:1 = 1

xde donde al despejar x obtenemos: x = 1

Y como b = 1y , y adems hemos encontrado que b = 13 ;al sustituir tenemos que:13 =

1y

De donde tenemos que al despejar yy

3 = 1

y= 3

As que la solucin al sistema de ecuaciones 2

x 32y =

32

43x

3y

= 13es: x = 1; y = 3


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4.3. Ejercicios. Resuelve usando el mtodo de Gauss-Jordan los siguientessistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas:

1.

3x y= 22x+ 3y= 5

2.

x+ 4y= 72x+ 3y= 4

3.

2x 3y= 93x+ 4y= 5

4.

3x+ 2y= 02x+ 5y= 11

5.

9x+ 7y= 05x 9y= 0 6.

2x 11y= 4

4x+ 7y= 8

7. 1

x+ 2

y = 1

2x 1

y= 74

8.

3x+ 2y= 42x y= 2 9.

3x+y = 56x+ 2y= 7

10.

4x 2y = 42x y= 2 11.

2x 6y = 2

x 3y= 3 12.

7x+ 2y= 121x+ 6y = 3

13.

4x+ 5y= 23x 2y= 1 14.

2x+ 3y= 3

x y= 1 15.

2x+ 3y= 64x 3y= 1


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CAPTULO 5

Introduccin al estudio y aplicacin de matrices.Parte 2

1. Mtodo de Gauss-Jordan aplicado a sistemas de ecuaciones con 3

incgnitas

Al igual que con sistemas de ecuaciones con dos incgnitas, el mtodo de Gauss-

Jordan se aplica a ecuaciones con tres o ms incgnitas tales como:8

unidades3-4 desarrollo de habilidades matematicas

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