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UNIDAD VI: FUNCIONES
Clase n° 1: “Concepto de relación y función”
Para describir como una cantidad depende o es determinada por otra se usa el concepto de función.
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RELACIÓN
En la vida diaria existen diferentes tipos de correspondencia
(o dependencias)
o relaciones.
Juan tiene dos números telefónicos, el fijo y el celular.
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• En una tienda, a cada artículo le corresponde un precio.
• A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.
• A cada número le corresponde una segunda potencia. (su cuadrado)
• A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones
Ejemplos de Correspondencias (dependencias) o RELACIONES
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Variables
Independiente
• Articulo (Polera).
• Nombre del directorio telefónico.
• (un número)
• Camila
Dependiente
• Precio
• Número (s) telefónico(s).
• (el cuadrado del número)
• 6,2 (su promedio)
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Definición de Relación
• Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango o recorrido, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.
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DEFINICIÓN DE FUNCIÓNUna Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)
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FunciónUna función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.
El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia de la variable x.
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento “x” a uno y solo un elemento “y” de B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x).
Por tanto para ser función debe cumplir 2 condiciones:a. Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. b. Esta imagen debe ser única.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
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La misma función:
ff(1) = b
f(2) = c
f(3) = d
f(4) = b
f(x) = y
En un diagrama sagital (visual)
En forma algebraica
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“FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN. “
Verbal: como su mismo nombre lo dice es con palabras.Ejemplo:Un número (x) lo multiplicamos por dos y luego le sumamos uno (se obtiene Y)
Algebraica: A través de una formula.Ejemplo:Y = 2x + 1
Visual: Es decir a través de diagramas y graficas.
Numérica: Una herramienta para llevar a cabo esta es una tabla de valores.Ejemplo:
x 0 1 2 4 5 …
y 1 3 5 9 11…
Clase 2
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Toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función
Esta afirmación la podemos ilustrar mediante la siguiente animación
¿Por qué se produjo el error?
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La máquina anterior solo acepta funciones
0
𝑥2+𝑦2=16
X Y
0 4
0 -4
4-4
Por eso marca error
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Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones.
¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
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Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano
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CLASE 3Determinar si es FUNCIÓN
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EJERCICIOS ¿ Cuál es Función ?
A B A B
BA A BSI SI
NONO
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¿ Cuál es Función ?SI
SI
NO
NO
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¿ Cuál es Función ?Observa las distintas tablas en las cuales se consideran como conjunto de partida A y de llegada B, tal que
A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
x y1 22 43 6
x y1 42 43 4
x y1 12 23 3
x y1 42 43 23 1
x y1 11 2
Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5
¿Cuál de las siguientes tablas representan funciones? Justifica tu respuesta:
¿Cuáles no son funciones? Justifica tu respuesta:
T1, T2, T3
Todos los elementos de A se relacionan con uno solo de B
T4 y T5En T4, 3 tiene dos imágenesEn T5, 2 y 3 no tienen imagen, el 1 dos imágenes
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¿ Cuál es Función ?Si A = { 1, 2, 3, 4} y B = {a, e, i, o, u} . Identifica cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados determinan una función de A en B. (Justifica tu respuesta cuando NO lo sea)
a) P = { (1, a) ; (2, e) ; (3, i) ; (4 , o) ; (1 , u)}
b) Q={ (1, u) ; (2, o) ; (4, u) ; (3, e)}
c) C = {(4, a) ; (3, a) ; (2, a) ; (1, a)}
d) D= {(1, a) ; (1, e) ; (1, i) ; (1, o) ; (1, u)}
NO
NO
SI
SI
El 1 tiene dos imágenes
El 2, 3, 4 no tienen imagen.El 1 tiene más de una.
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¿ Cuál es Función ?Indica cuál (ó cuáles) de los siguientes gráficos representa(n) una función real, justifica tu respuesta.
x
y
E
B C
D
A
F
NO NO
NOSI SI
SI
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Función VerbalDada la regla , completa escribiendo en forma simbólica o en palabras , según corresponda:
a) El doble de, un número aumentado en cuatro. f(x) =
b) El cuadrado de un número x , disminuido en tres . f(x) =
c) ……………………………………………. f(x) =
d) …………………………………………….. g(x) = 3x – 1
52
x
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Máquinas funcionales
1x2
=
Calcular:
F(-2) =
F(0) =
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Otro ejercicio con máquina.
2x3x
=
Calcular:
F(6) =
F(2) =
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CLASE 4Ejercitando con funciones
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GráficosDada la función definida en el conjunto de los números reales, f: IR IR, tal que f(x) = x - 2 .
a) Completa la tabla según los valores dados a “x”: x y 0 1 -1 2 -2 3 5 6
b) grafica en el sistema cartesiano:
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ejerciciosSe definen dos funciones reales: f(x) = y g(x) = 3x – 5
3
12 x
Calcular
a)f(-2) = b) 2 g(-3) =
c)f(2) + g(-1) = d) f( 2a ) =
e) g( m-2) = f) g() + f(5) =
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CLASE 5Interpretando gráficos
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E JE X
E JE Y
SISTEMA DE EJES COORDENADOS
(1,-3)
(-1,-1)
(0,0)
(-2,3)
(2,2)
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Eje de ordenadas= Eje Y
Eje de abscisas=Eje X
PRIMER CUADRANTE(+,+)
SEGUNDO CUADRANTE(-,+)
TERCER CUADRANTE(-,-)
CUARTO CUADRANTE(+,-)
ORIGEN DE COORDENADAS=(0,0)
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EjercicioDado el gráfico de la función f(x), identifica las imágenes de cada valor de “x” :
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CLASE 6 Si conocemos la imagen y la función ¿Cómo descubrimos la preimagen?
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Dadas las funciones realesDeterminar
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Completa la tablaCompleta cada tabla con la función dada:
a) f(x) = 2x + 1x 1 5 10 12
f(x) 7 13 33 37
b) g(x) = x
4
x 0,5 -2 8 9
g(x) 1 2 3
3
1
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CLASE 7Dominio y recorrido de una función en forma gráfica
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Dominio de una FUNCIÓN gráficamenteCuando una función se presenta en forma gráfica su dominio corresponde al intervalo del eje x donde la función comienza (se lee de izquierda a derecha) hasta donde termina.Ejemplo:
En este caso el dominio de la función sería el intervalo comprendiendo entre -3 y 5 lo que se escribe así, Dom f=
Los corchetes van hacia adentro, ya que esto indica que los valores -3 y 5 son parte del dominio.
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Recorrido de una función gráficamente
El recorrido sería el intervalo comprendido entre-1 y 3, esto lo escribimos: Rec f=
Ejemplo:
Cuando una función se presenta en forma gráfica su RECORRIDO corresponde al intervalo del eje Y.
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Dominio y recorrido en un grafico
Recorrido
Dominio
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Ejercicios
Determinar
a) el dominio
b) El recorrido
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Ejercicios
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CLASE 8Ejercitación de determinar el dominio y recorrido en las distintas representaciones de función. (menos algebraica)
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EJERCICIOS ¿ Cuál es el dominio ?
BA A B1
4
3
2 2
6
4
a
b
c
d
p
q
r
¿ Cuál es el recorrido ?
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¿ Cuál es el dominio y recorrido ?Si A = { 1, 2, 3, 4} y B = {a, e, i, o, u} . Determina el dominio y recorrido de la función f y g de A en B
a) f={ (1, u) ; (2, o) ; (4, u) ; (3, e)}
b) g = {(4, a) ; (3, a) ; (2, a) ; (1, a)}
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¿ Cuál es el dominio y recorrido?Observa las distintas tablas en las cuales se consideran como conjunto de partida A y de llegada B, tal que
A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
x y1 22 43 6
x y1 42 43 4
x y1 12 23 3
Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3
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CLASE 9 Funciones continuas y discretas
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• Función Continua:
Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.
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• Función Discontinua:
Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.
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Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.
Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.
Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor
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x
yf
x
yf(x) = 3x-1
-5
yf
x
-1f
y=-16
x= 0