unidad politÉcnica de integraciÓn social curso de...

UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL

CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR

MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESORES: JLML/AGM

SESION # 12

“Integrales segunda parte”

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Método de sustitución trigonométrica

El método de sustitución trigonométrica sirve para resolver integrales en los que sus integrandos tienen ciertas

expresiones algebraicas tales como: 𝑎2 − 𝑏2𝑢2, 𝑎2 + 𝑏2𝑢2, 𝑏2𝑢2 − 𝑎2.

Para: Sustituir: Se obtiene: Triangulo asociado:

𝑎2 − 𝑏2𝑢2𝑢 =

𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑧

𝑑𝑢 =𝑎

𝑏𝑐𝑜𝑠 𝑧 𝑑𝑧

𝑎 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑧 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑧

𝑎2 + 𝑏2𝑢2𝑢 =

𝑎

𝑏𝑡𝑎𝑛 𝑧

𝑑𝑢 =𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧

𝑎 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 = 𝑎𝑠𝑒𝑐 𝑧

𝑏2𝑢2 − 𝑎2𝑢 =

𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑐 𝑧

𝑑𝑢 =𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧

𝑎 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑧

𝑎 𝑏𝑢

𝑎2 − 𝑏2𝑢2𝑧

𝑏𝑢

𝑎𝑧

𝑎

𝑏𝑢𝑏2𝑢2 − 𝑎2

𝑧

EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:

“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82

29. Identificar el triangulo correspondiente a la

sustitución trigonométrica que resuelve la

integral:

න𝑥2

𝑥2 − 25𝑑𝑥

Solución: Empleamos la 3ra forma de sustitución

trigonométrica.

𝑥2 − 25

5

𝑥

𝜃

30. En la 𝑑𝑥

𝑥2−16al sustituir 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐 𝑧

el radical es igual a:

Solución: Empleamos la 3ra forma de

sustitución trigonométrica.

4 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1 = 4𝑡𝑎𝑛 𝑧

La integral se puede escribir:

න𝑑𝑥

𝑥2 − 16= න

4𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧

4𝑡𝑎𝑛 𝑧

𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐 𝑧𝑑𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧

32.Al usar el método de sustitución

trigonométrica en 𝑑𝑥

4−𝑥2, el

cambio de variable que se aplica es:

4 − 𝑥2

𝑥4

𝜃

Solución: Empleamos la

1ra forma

𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑧



31. Determinar el resultado de la

integralන

𝑥3

𝑥2 − 4𝑑𝑥

Solución: aplicando

𝑥2 − 4

2

𝑥

𝑧

𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐 𝑧𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧

2 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1 = 2𝑡𝑎𝑛 𝑧

න𝑥3

𝑥2 − 4𝑑𝑥 = න

2𝑠𝑒𝑐 𝑧32𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧

2 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1

8න𝑠𝑒𝑐4 𝑧 𝑑𝑧 = 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧 = 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 1 𝑑𝑧

Empleamos la sustitución:

න2𝑠𝑒𝑐 𝑧

32𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧

2 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 − 1= න

2𝑠𝑒𝑐 𝑧32𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑑𝑧

2𝑡𝑎𝑛 𝑧

8න 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 1 𝑑𝑧 = 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 𝑑𝑧 + 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧

Para (1) hacemos el cambio de variable: 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑧

𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧

(1) (II)

න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶Para (1I) empleamos:

8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 𝑑𝑧 + 8න𝑠𝑒𝑐2 𝑧 𝑑𝑧 = 8න𝑢2𝑑𝑢 + 8 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶

8න𝑢2𝑑𝑢 + 8 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶 = 8𝑢

3

3

+ 8𝑡𝑎𝑛2 𝑧 =8𝑡𝑎𝑛3 𝑧

3+ 8𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶

Factorizando:

8𝑡𝑎𝑛3 𝑧

3+ 8𝑡𝑎𝑛2 𝑧 + 𝐶 = 8𝑡𝑎𝑛2 𝑧

3 + 𝑡𝑎𝑛(𝑧)

3+ 𝐶

𝑡𝑎𝑛 𝑧 =𝑥2 − 4

2

8𝑥2 − 4

2

23 +

𝑥2 − 42

3+ 𝐶 =

𝑥2 + 8 𝑥2 − 4

3+ 𝐶



34. Resolver mediante trigonométrica

න𝑑𝑥

𝑥 𝑥2 + 36

Solución: Empleando el 2do triangulo

𝑥 = 6𝑡𝑎𝑛 𝜃

𝑑𝑥 = 6𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃

න𝑑𝑥

𝑥 𝑥2 + 36= න

6𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃

6𝑡𝑎𝑛 𝜃 6𝑠𝑒𝑐 𝜃

න6𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃

6𝑡𝑎𝑛 𝜃 6𝑠𝑒𝑐 𝜃= 6න

𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃

𝑡𝑎𝑛 𝜃

1

6න𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃

𝑡𝑎𝑛 𝜃=1

6න

1𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑑𝜃 =1

6න

1

𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑𝜃 =

1

6න𝑐𝑠𝑐 𝜃 𝑑𝜃

1

6න𝑐𝑠𝑐 𝜃 𝑑𝜃 =

1

6𝑙𝑛 𝑐𝑠𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡 𝜃 + 𝐶

න𝑑𝑥

𝑥 𝑥2 + 36=1

6𝑙𝑛 𝑐𝑠𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡 𝜃 + 𝐶

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR

FRACCIONES PARCIALESEl método de fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones mas simples, lo que permite

descomponerse en fracciones parciales. Una función 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑥

𝑄 𝑥de forma racional se puede descomponer como:

Caso I. Factores lineales distintos

Caso II. Factores lineales iguales

Caso III. Factores cuadráticos distintos

Caso IV. Factores cuadráticos iguales

𝐴

𝑎𝑥 + 𝑏

𝐴1𝑎𝑥 + 𝑏

+𝐴2

𝑎𝑥 + 𝑏 2+⋯+

𝐴𝑛𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛

𝐴𝑥 + 𝐵

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

+𝐴2𝑥 + 𝐵2

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2+⋯+

𝐴𝑛𝑥 + 𝐵𝑛𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛

A cada factor lineal 𝑎𝑥 + 𝑏 del denominador

le corresponde un factor:

A cada factor lineal 𝑎𝑥 + 𝑏, repetido “n” veces en el

denominador le corresponde “n” factores de la forma:

A cada factor cuadratico 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 del denominador

le corresponde un factor:

A cada factor cuadratico 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, repetido “n” veces

del denominador “n” factores de la forma:



33. Al resolver la integral 5𝑥+30

𝑥2−3𝑥+2𝑑𝑥 por fracciones

parciales, ¿Cuáles son los valores de las constantes A

y B?

Solución:5𝑥 + 30

𝑥2 − 3𝑥 + 2=

5𝑥 + 30

𝑥 − 2 𝑥 − 1=

𝐵

𝑥 − 2+

𝐴

𝑥 − 1

5𝑥 + 30 = 𝐵 𝑥 − 1 + 𝐴 𝑥 − 2Se sustituyen las raíces de las fracciones:𝑥 = 1

5 1 + 30 = 𝐵 1 − 1 + 𝐴 1 − 20

35 = −𝐵 ⇒ 𝐵 = −35

𝑥 = 2

5 2 + 30 = 𝐵 2 − 1 + 𝐴 2 − 2

0

40 = 𝐵 ⇒ 𝐵 = 40 ∴ 𝐴 = −35, 𝐵 = 40

35. Al descomponer la integral 𝑥−1

𝑥2−3𝑥−4𝑑𝑥 en fracciones parciales, para

resolverla, estas quedan como:

𝑥 − 1

𝑥2 − 3𝑥 − 4=

𝑥 − 1

𝑥 − 4 𝑥 + 1=

𝐴

𝑥 − 4+

𝐵

𝑥 + 1

Solución:

37. Describir las integrales que son el resultado de descomponer en

fracciones parciales la siguiente integral indefinida:

න𝑘

𝑥 + 𝑑 2 𝑥 + 𝑓𝑑𝑥

𝑘

𝑥 + 𝑑 2 𝑥 + 𝑓=

𝐴

𝑥 + 𝑑 2 +𝐵

𝑥 + 𝑑+

𝐶

𝑥 + 𝑓

Solución: Son dos términos lineales y uno de ellos es repetido por lo que

se escriben dos términos del factor al cuadrado

න𝑘

𝑥 + 𝑑 2 𝑥 + 𝑓𝑑𝑥 = න

𝐴

𝑥 + 𝑑 2𝑑𝑥 + න

𝐵

𝑥 + 𝑑𝑑𝑥 + න

𝐶

𝑥 + 𝑓𝑑𝑥



39. La siguiente integral se puede resolver

usando el método de fracciones parciales.

Escribir los denominadores que completen

la expresión:

න8𝑥

𝑥 − 1 2 𝑑𝑥 = න8

_______𝑑𝑥 +න

8

_______𝑑𝑥

Solución:

8𝑥

𝑥 − 1 2 =8

𝑥 − 1 2 +8

𝑥 − 1

Es un termino lineal al cuadrado por lo que

se escriben dos términos, uno de ellos al

cuadrado

41. Descomponer en fracciones parciales

la integral:

න𝑑𝑥

𝑥 + 3 3

Solución:

Es un termino lineal al cubo por lo que

se escriben tres términos, el inicial al

cubo1

𝑥 + 3 3 =𝐴

𝑥 + 3 3 +𝐵

𝑥 + 3 2 +𝐶

𝑥 + 3

Por lo que la integral se puede expresar

como:

න𝐴

𝑥 + 3 3𝑑𝑥 +න

𝐵

𝑥 + 3 2𝑑𝑥 + න

𝐶

𝑥 + 3𝑑𝑥

38. Resolver la integral:

න𝑥

1 − 𝑥 2 𝑑𝑥

Solución:𝑥

1 − 𝑥 2 =𝐴

1 − 𝑥 2 +𝐵

1 − 𝑥

Se sustituyen la raíz 𝑥 = 1𝑥 = 𝐴 + 𝐵 1 − 𝑥

1 = 𝐴 + 𝐵 1 − 10 𝐴 = 1

𝐵 = −1

න𝑥

1 − 𝑥 2𝑑𝑥 = න

𝑑𝑥

1 − 𝑥 2−න

𝑑𝑥

1 − 𝑥

න𝑥

1 − 𝑥 2𝑑𝑥 =

1

1 − 𝑥− 𝑙𝑛 1 − 𝑥 + 𝐶



40. Resolver la integral definida:

න1

4 𝑥

𝑥 + 1 4 𝑑𝑥

Solución: resolvemos con fracciones parciales

𝑥

𝑥 + 1 4 =𝐴

𝑥 + 1 4 +𝐵

𝑥 + 1 3 +𝐶

𝑥 + 1 2 +𝐷

𝑥 + 1

𝑥 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑥 + 1 2 + 𝐷 𝑥 + 1 3 (∗)

𝑥 = −1Evaluando en:

−1 = 𝐴 + 𝐵 −1 + 1 + 𝐶 −1 + 1 2 + 𝐷 −1 + 1 30 0 0

∴ 𝐴 = −1

Derivando (*) y evaluando en: 𝑥 = −1

1 = 𝐵 + 2𝐶 𝑥 + 1 + 3𝐷 𝑥 + 1 2 (∗∗)

1 = 𝐵 + 2𝐶 −1 + 1 + 3𝐷 −1 + 1 2 (∗∗)00

∴ 𝐵 = 1

Derivando (**) y evaluando en:

0 = 2𝐶 + 6𝐷 𝑥 + 1 (∗∗∗) ∴ 𝐶 = 0Derivando (***) y evaluando en:

𝑥 = −1

𝑥 = −1

0 = 6𝐷 ∴ 𝐷 = 0La integral se escribe como:

න1

4 𝑥

𝑥 + 1 4𝑑𝑥 = −න

1

4 1

𝑥 + 1 4𝑑𝑥 +න

1

4 1

𝑥 + 1 3𝑑𝑥

න1

4 𝑥

𝑥 + 1 4𝑑𝑥 =

1

3 𝑥 + 1 3−

1

2 𝑥 + 1 2

4

11

3 4 + 1 3−

1

2 4 + 1 2−

1

3 1 + 1 3−

1

3 1 + 1 2=

1

3 ∙ 53−

1

2 ∙ 52−

1

3 ∙ 23−

1

2 ∙ 22

1

3 ∙ 53−

1

2 ∙ 52−

1

3 ∙ 23−

1

2 ∙ 22=

1

375−

1

50−

1

24−1

8= −

13

750− −

1

12=

33

500

න1

4 𝑥

𝑥 + 1 4 𝑑𝑥 =33

500



36. Resolver la integral 𝑥2−6𝑥−11

𝑥3+3𝑥−𝑥−3𝑑𝑥 por fracciones

parciales.

Solución: 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 = 𝑥 + 3 𝑥 + 1 𝑥 − 1

න𝑥2 − 6𝑥 − 11

𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥 − 3𝑑𝑥 = න

2𝑑𝑥

𝑥 + 3+න

𝑑𝑥

𝑥 + 1−න

2𝑑𝑥

𝑥 − 1

𝑥2 − 6𝑥 − 11

𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥 − 3=

𝐴

𝑥 + 3+

𝐵

𝑥 + 1+

𝐶

𝑥 − 1

𝑥2 − 6𝑥 − 11 = 𝐴 𝑥 + 1 𝑥 − 1 + 𝐵 𝑥 + 3 𝑥 − 1 + 𝐶 𝑥 + 3 𝑥 + 1

Evaluando en: 𝑥 = −3

−3 2 − 6 −3 − 11 = 𝐴 −3 + 1 −3 − 1 + 𝐵 −3 + 3 𝑥 − 1 + 𝐶 −3 + 3 𝑥 + 10 0

16 = 8𝐴 ⇒ 𝐴 = 2Evaluando en: 𝑥 = −1

−1 2 − 6 −1 − 11 = 𝐴 −1 + 1 −1 − 1 + 𝐵 −1 + 3 −1 − 1 + 𝐶 −1 + 3 −1 + 1

0 0

−4 = −4𝐵 ⇒ 𝐵 = 1Evaluando en: 𝑥 = 1

1 2 − 6 1 − 11 = 𝐴 1 + 1 1 − 1 + 𝐵 1 + 3 1 − 1 + 𝐶 1 + 3 1 + 1

0 0

−16 = 8𝐶 ⇒ 𝐶 = −2

න𝑥2 − 6𝑥 − 11

𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥 − 3𝑑𝑥 = 2𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 2𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 𝐶

Aplicando propiedades de los logaritmos

2𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 2𝑙𝑛 𝑥 − 1 = 𝑙𝑛 𝑥 + 3 2 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 𝑙𝑛 𝑥 − 1 2

𝑙𝑛 𝑥 + 3 2 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 𝑙𝑛 𝑥 − 1 2 = 𝑙𝑛𝑥 + 3 2 𝑥 + 1

𝑥 − 1 2

න𝑥2 − 6𝑥 − 11

𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥 − 3𝑑𝑥 = 𝑙𝑛

𝑥 + 3 2 𝑥 + 1

𝑥 − 1 2+ 𝐶

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Cálculo de áreas

El área bajo una curva es el principal argumento en el desarrollo del concepto de integral. El área bajo la

curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos

de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

lim𝑛→∞

𝑖=1

𝑛

𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥



42. Determinar el área bajo la curva:

3𝑥2 − 5𝑥 + 1 en el intervalo de [1,2]

Solución:

න1

2

3𝑥2 − 5𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥3 −5

2𝑥2 + 𝑥

2

1

2 3 −5

22 2 + 2 − 1 3 −

5

21 2 + 1

8 − 10 + 2 − 1 −5

2+ 1 = − −

1

2=1

2

න1

2

3𝑥2 − 5𝑥 + 1 𝑑𝑥 =1

2

43. Hallar el área descrita por:

න0

𝜋

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

Solución:

Debemos observar como es

la gráfica de la función cos(x)

La función cos(x) pasa de

positiva a negativa en𝜋

2por

lo que debemos separar en

dos intervalos para calcular el

área.

න0

𝜋

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = න0

𝜋2𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 − න

𝜋2

𝜋

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

𝜋

2

0 𝜋

න0

𝜋

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝜋

2− 𝑠𝑒𝑛 0 − 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛

𝜋

2

0 01 1

En esta parte el área tendrá signo negativo

por lo que se multiplica por menos para que

se sume

න0

𝜋

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 1 + 1 = 2



44. El valor de la integral definida: 0

𝜋

4 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥

es: Solución:

න0

𝜋4𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

0

𝜋

4

𝑡𝑎𝑛𝜋

4− 𝑡𝑎𝑛 0 = 1

න0

𝜋4𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = 1

47. Calcular el área de: 312

𝑥 − 3𝑑𝑥

Solución:න3

12

𝑥 − 3𝑑𝑥 = න3

12

𝑢12𝑑𝑢 =

𝑢32

32

𝑢 = 𝑥 − 3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

න3

12

𝑥 − 3𝑑𝑥 =2

3𝑥 − 3 3

3

12

න3

12

𝑥 − 3𝑑𝑥 =2

312 − 3 3 −

2

33 − 3 3 =

2

312 − 3 3 =

2 × 27

3= 18

0

න3

12

𝑥 − 3𝑑𝑥 = 18𝑢2



45. Calcular el área que se forma entre las curvas:

𝑥3 − 𝑦 − 1 = 0𝑥 − 𝑦 − 1 = 0

Solución: Podemos escribir :𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 1𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1

Resolviendo:

𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥1 = 0, 𝑥1 = 1, 𝑥1 = −1

Como se observa en la gráfica podemos expresar el área como la suma

de dos áreas a partir de la diferencia de dos funciones dependiendo cual

es la función que esta arriba:

𝐴 = න−1

0

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 +න0

1

𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝐴 = න−1

0

𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 +න0

1

𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥 =𝑥4

4−𝑥2

2+

𝑥2

2−𝑥4

4

−1,0 0,1

𝐴 = 0 −−1 4

4−

−1 2

2+

1 2

2−

1 4

4− 0 =

1

4+1

4=1

2

𝐴 =1

2𝑢2

1

41

4

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Longitudes de arco

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o

dimensión lineal. La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta

que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo

más pequeño posible.

𝐿 = න𝑎

𝑏

1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝑑𝑥



46. Seleccionar la integral que representa la longitud

de arco de la curva 𝑦 = 𝑥2 desde el punto 1,1 al

punto 2,4

Solución: 𝑦 = 𝑥2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

La longitud de la curva se puede representar como:

𝑠 = න1

2

1 + 2𝑥 2𝑑𝑥

𝑠 = න1

2

1 + 4𝑥2𝑑𝑥

𝑃𝑖 1,1

𝑃𝑓 2,4

49. Hallar la longitud de arco de la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 = 9Solución:

La forma mas sencilla de resolver el problema es calcular el perímetro

de la circunferencia empleando la expresión: 𝑃 = 2𝜋𝑟 Donde r=3.

𝑃 = 2𝜋 3 = 6𝜋

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDASolidos de revolución

Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana

alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie

exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma.

Método de discos: Método de arandelas:

Método de capas

cilíndricas:

𝑉 = 𝜋න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 2𝑑𝑥

𝑉 = 𝜋න𝑐

𝑑

𝑓 𝑦 2𝑑𝑦

El volumen del sólido de

revolución obtenido al girar, sobre

el eje "x", esta dado por:

El volumen del sólido de

revolución obtenido al girar, sobre

el eje “y", esta dado por:

Este método consiste en hallar el volumen

de un solido generado al girar una región

entre dos curvas.

𝑉 = 𝜋න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 2 − 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥

𝑉 = 𝜋න𝑐

𝑑

𝑓 𝑦 2 − 𝑔 𝑦 2 𝑑𝑦

El método implica considerar los

elementos rectangulares de área paralelos

al eje de revolución, después cuando un

elemento de área se gira alrededor del eje

de revolución se obtiene una capa

cilíndrica.

V = 2πන𝑎

𝑏

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥

V = 2πන𝑎

𝑏

𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥



48. Seleccionar la integral que representa el

volumen del solido que se genera al girar la

región plana:

𝑅: ൝𝑦 = 𝑥2

𝑦 = 27𝑥

Solución:

𝑥3 = 27𝑥 ⇒ 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = 3

𝑉 = 2𝜋න0

3

𝑥 27𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥

50. Calcular: 012𝑓 𝑥 − 3𝑔 𝑥 𝑑𝑥 si:

න0

1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 4 න0

1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −1

න0

1

2𝑓 𝑥 − 3𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 2 4 − 3 −1 = 11

Solución:

DUDAS

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