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ECUACIONESTRIGONOMÉTRICAS

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

• En una ecuación trigonométrica la

incógnita aparece como argumento en

una o varias razones trigonométricas.

• Resolver la ecuación es hallar el

argumento.

TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Existen tres tipos de ecuaciones:• Tipo 1: Nos dan una razón trigonométrica y

hallamos el argumento.

Ejemplos:sen α = 1 cos α = - 1

TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Tipo 2: Nos dan una misma razón trigonométrica con distintos argumentos, las cuales hay que relacionar.

Ejemplos:

3 cos α = sec αtg α = tg 2.α

TIPOS DE ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Tipo 3: Nos dan dos o más razones trigonométrica con distintos argumentos, en cuyo caso hay que expresar todas en función de una de ellas para resolver la ecuación.

Ejemplo:• cos α = 2.sen α• sen2 α = cos α + 0,25

razón IC IIC IIIC IVCsen

cos

tancot

Al ángulo marcado como 180 – α le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:

,

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL SEGUNDO CUADRANTE

Al ángulo marcado como 180 + α que está ubicado en el III cuadrante le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL TERCER CUADRANTE

Al ángulo marcado como 360 - α que está ubicado en el IV cuadrante le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo α del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL CUARTO CUADRANTE

EJEMPLOS TIPO 1

• sen α = 1 α = arcsen 1 = π/2 +

2kπ

• cos α = - 1 α = arcos (-1) = π + 2kπ

• tg α = 1 α = arctg 1 = π/4 + kπ

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EJEMPLOS TIPO 2• 3 cos α = sec α

3 cos α = 1 / cos α cos2 α = 1/3 cos α = ±√3 / 3α = arcos √3 / 3 = 54’73º y - 54’73ºα = arcos (-√3 / 3) = 125’26º y 234’73º

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EJEMPLOS TIPO 2

tg α = tg 2.α tg α = 2.tg α / (1 – tg2 α) tg α – tg3 α = 2.tg α 0 = tg3 α – tg α0 = tg α.(tg2 α – 1) = tg α. (tg α + 1) (tg α – 1) g α = 0 α = arctg 0 = 0 + k.π radg α = 1 α = arctg 1 = π/4 + k.π radtg α = -1 α = arctg (-1) = 3π/4 + k.π rad

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EJEMPLOS TIPO 2• 4 sen α = cosec α 4 sen α = 1 / sen α sen2 α = 1/4 sen α = ± ½ α = arcsen ½ = π/6 + 2kπ rad y 7π/6 + 2kπ rad α = arcsen (- ½) = - π/6 +2kπ rad y 3π/2 + 2kπ rad

• EJEMPLOS TIPO 3

cos α = 2.sen α

½ = sen α / cos α

½ = tg α

α = arctg ½ = 26’56º + 180º.k

• EJEMPLOS TIPO 3

• sen2 α = cos α + 0,25 1 - cos2 α) = cos2 α + 0,5.cos α + 0,0620 = 2.cos2 α + 0,5.cos α – 0’9375Ecuación 2º grado x=cos αcos α = (- 0’5 ± √ [ 0,25 – 4.2.(– 0’9375) ] ) / 4 cos α = (- 0’5 ± 2,7838) / 4 cos α = 0,4460 α = arcos 0’4460 = ± 63’51º .kcos α = - 0,8210 α = arcos -0’8210 = 145’18º y 214’82º + 360º.k

• EJEMPLOS TIPO 3

sen α – 2.cos α = 0 sen α – 2.(±√(1 - sen2 α)) = 0sen α = ± 2.√(1 - sen2 α) Elevando todo al cuadradosen2 α = 4.(1 - sen2 α)sen2 α = 4 – 4.sen2 α 5.sen2 α = 4 sen2 α = 4/5sen α = ± 2/√5 = ± 2.√5 / 5 = ± 0’4.√5 α = arcsen 0’4.√5 = ± 63’43º + 180º.k

Ejercicio 1

Halla el conjunto solución de la siguiente ecuación:

4 + 5sen x = 2cos2 x

4 + 5sen x = 2(1–sen2x)

4 + 5senx = 2(1–sen2x) 4 + 5senx = 2 – 2sen2x

2sen2x + 5senx + 4 – 2 = 0 2sen2x + 5 senx + 2 = 0

(2senx+1)

2senx + 1=0 ó senx + 2=0

(senx+2)=0

2senx+1=0 ó senx+2=0

senx = 12

senx= –2imposible

III C

IV C 360o –

180o + sen= 1

2 =30o

180o+30o =210o

360o–30o =330o

S=210o + k360o

330o + k360okZó

Ejercicio 2Ejercicio 2

Resuelve la ecuación:Resuelve la ecuación:

3 tan + cot = 3 tan + cot = 55sensen

( 0 < < )( 0 < < )

3 tan + cot = 5

sen

3 sencos sen

cos+ sen

5= · sen cos· sen cos

3 sen2 + cos2 = 5 cos

3(1 – cos2) + cos2 = 5 cos

3 – 3 cos2 + cos2 = 5 cos

3 – 2 cos2 = 5 cos

2 cos2 + 5 cos – 3 = 0

2 cos2 + 5 cos – 3 = 0

(2 cos – 1)(cos + 3) = 0

cos = 12

ó cos = – 3

ImposibleImposible = 3

( 0 < < )( 0 < < )