solucionario de trigonométrica de gran ville
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1
1 RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45 .....................................................................................2
2 PROBLEMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pag:112 ...........................................18
3 ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Pagina:123 ...............................................................27
4 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Página: 146 ....................................................38
5. LEY DE SENOS Pág: 137………………………………………………………………………………………………………….42
6 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Paguina:276 .....................................................................47
7 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Página : 284 ........................................................................81
2
RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45 1
DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IGUALDADES
a) Cos x tan x = Sen x
b) Sen x Sec x = Tan x
c) Sen y cot y = cos y
d) (1+tan ² y) Cos ²y = 0
3
e) Sen ²A+Sen ² A . tan ²A = tan ²A
f) Cot ²A – Cos ²A = Cot ²A Cos ²A
–
g) Tan A + Cot A = Sec A Csc A
4
h) Cos A Csc A= Cot A
Cot A
i) Cos ²A – Sen ² = 1 – 2 Sen ² A
j) Cos ² A – Sen ²A = 2 Cos ² A – 1
k) (1+ Cot ² B) Sen ² B = 1
(
)
5
(
)
l)
(
)
(
)
m) Sec² A+ Csc² A = Sec² A Csc²A
n)
6
o)
p)
q)
r)
7
s) Cos B tan B + Sen B Cot B = Sen B +Cos B
t) –
u)
v)
8
Usando las relaciones fundamentales( 13) a (20), Calcular los valores de todas las funciones a
partir de los siguientes datos:
4. Cos A ⁄ ,cuando A está en el segundo cuadrante
(
)
(
)
⁄
⁄ ;
⁄
⁄ ;
9
(
)
5. ⁄
√
√
√
√
√
√
√
10
√
√
6. Csc A = -3, cuando A está en el cuarto cuadrante
⁄
⁄
√
⁄
( √ ⁄ )
√
√
11
√
√
√
√
√
7.
(√ ⁄ )
4 ⁄
√ ⁄
⁄
√
√ ⁄
√
√
√
√
√
√
8.
12
9.
⁄
√
⁄ √
√
√
√
√
Calcular Algebraicamente el valor de cada una de las siguientes expresiones a partir de los datos
dados. Considerar en cada caso el ángulo como agudo
Calcular
10.
13
* (
) +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
11. (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
) (
) (
)
12. ⁄
( )
√
√
√
√
√
√
(
)
14
13.
⁄
√(
)
√
√
√
√
√
√
√
14. √
Ordenando se tiene
15
15.
(
)
2
16
16. Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan mas que senos y cosenos
a)
√
b)
√
c)
17. Transformar las siguientes expresiones en otras equivalentes que contengan solamente tg A
a)
(
)
(
)
b)
17
c)
Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan mas que senos y cosenos
18.
19.
20.
21.
18
35°
a c
b=5m A
a
c
b=5m A
35°
B
C
PROBLEMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pag:112 2
TRIGONOMETRÍA
b=? A C
55°
c=10m
B
19
a=2 millas A
A
15°
b=?
√ √ √ √
navio
b=?
A
C
a=30m
5°
c=10m
observador
smastil
b=?
A
C
?
c=12m
b=?
a=6m
B
20
√ √
√ √
35° 35°
c=? c=?
B
393,18m
35°
c=?
B
b=1965
a=
C A
B
a=150m
300m
35°
c=?
D
d=150m
a=150m
C A
B
21
√ √
a
b=24cm
?
c
D
d=12m
a=
C A
B
? ? A
A
48 24
b=50m
a =35,01
b=100m
c
D
a=35,01m
C A
B
C
35°
45°
12m
12,60
24m
45°
c=
b=6,3m
22
X
r
B
A C
R
b= l=24cm
D
23
24
(
)
𝛽
/2
l=21,78cm
25
r R
B
b
l=24cm
26
(
)
27
B
a=24m
C A b=?
60°
60
B
a=120m
C A b=?
27°43´
27°43´
c=?
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Pagina:123 3
B
a=?
C A
l=250m
40°
B
a=?
C A b=200m
60°
B
a=10m
C b=8,391
?
28
A
b=350m
C B
a=?
50°12´
B
a=?
C A b=300m
21°16´
21°16´
X
r R
B
√ √ √
√ √ (√ ) √ √
√
√
B
a=1m
C A b=40m
l
l
l
l
A
b
l=12cm
29
41,36m
48 145°37´
41,36m
R
x
b=
B
B
R x
b
c=1027m
R x
b=
45
N=10millas/h
N
E
30
√ √
7h 10h
a=10,32millas Φ
Φ
α
18°13´
7h 7h30´
α
18°13´
a=10,32millas
10h37 12h
a
37
37
α
N
N
31
70°
b
x
a
B
b
√ √
√ √
√
√
b b
a=10m a=6
60 30
c=12m
c=12m
α
b b
a1 a2
60 30
32
27°15´ 46°18´
27°15´ 46°18´
b2
b1
33
25
35 25
35
A
B
a1
α
a2
45° 45°
a
b
10° 15°
y
1 milla
200 x
34
𝛽
l-x x
𝛽
l
l
l x
35
l=6m
60 45
30 45
c a
√
√
√
√
(√ )
√
√
a
x
36
√ √
(
)
37
R2
R1
d=36dm
Ѳ α
F
A
B
C
D
E
38
D
50
30
𝑐 ⬚`
𝐶 𝑎 𝑏 𝑐
𝑎𝑏
𝑐
𝑐𝑜𝑠𝑐
𝑐 𝑐𝑜𝑠 (
)
(
)
(
)
(
) (
)
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 4
1
2 3
M
Q
W B 50
A 50
C 50
F 50
S T
W
P
E
R
M
15
0
50
B
b=7
C
A
C=10
a=4
8
39
B C
A
𝐴 𝑓
𝑎 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐
´𝑐 𝑐𝑜𝑠
𝑐
𝑐 √
𝑐
C
A B
50°
b=11 a=10
C=?
a=3
C=8 b=9 h
49° 18´θ₁
θ₂
X=5
X=5
49° 18´ θ₁
θ₂=130°42´b
X=5
X=5
a
b
C
B
A
b= 426 m
A
B
C
a=322,4m
68°42´
1
2
1
1
1
0
9
40
B
b=8 m
a=7 m
c=5 m
B
A
C
?
c=?
b=11,5Km a=9,4 Km
B C
59°30´
C
b= 5 m
A
B
C
a=4,60m
C=2m
1
5
1
4
1
41
𝛽 +A
=18°20´+24°3´
´ 𝑁 ´𝐸
𝑎
𝑆𝑒𝑛𝐴
SenA 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝐶
SenA ´
SenA=0,40766
A=24°3´
𝑐 𝐵
𝑑 𝑣 𝑡
𝑎 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑏 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐
´𝑐 º
𝑐 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑐 √ 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑐 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑛 È
𝑐 ´ ´
𝑐 ´
a=
c=? b=
18°20´
𝛽
𝛽
62°15´
C
A
B
1
6
42
5. LEY DE SENOS Pág: 137
Datos
AC=283m
∡𝐶𝐴𝐵 38°
∡ACB=66°18´
AB=?
AC=14,55m
BC=25,2m
∡BAC=21°30´
BC=270m
∡BCA=55°
∡CBA=65°
c=?
𝐴 𝐵 𝐶
𝐵 𝐴 𝐶
𝐵 º ´
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑐 𝑏𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑠𝑒𝑛𝐵 𝐶
𝑚 𝑠𝑒𝑛 º
𝑠𝑒𝑛 º ´𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 º ´
𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐
𝑠𝑒𝑚 𝐶
𝑐 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑐 º ´ 𝐴
𝐴 𝐵 𝐶 º
𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 º º º 𝐴 º
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝐶
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝐶
𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 º
𝑐 𝑚
𝐵 º ´
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵 º ´
𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 º ´ º ´ 𝐶 º ´
a=270
m
A
C B
c = ?
65° 55°
A C
B
a=25,2m
c = ?
b=14,55m
b=283 m
A
C
B
c = ?
66°18´
38°
1
0
9
8
43
𝐵𝐶 𝑚
∡𝐴𝐵𝐶
∡𝐵𝐶𝐴
AB=?
𝐴 𝐵 𝐶 º
𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 º º º 𝐴 º
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑟
𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 º
𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑏 𝑠𝑒𝑛
𝐵
𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 º
𝐶
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑐 𝑚
𝑙 𝑎 𝑏 𝑐
𝑙 𝑚 𝑚 𝑚
𝑙 𝑚
1
2
1
1
70°
A
C B
c = ?
a=1006 m
44°
b
40° A
C
B
a=140,5
m
b=170,6
m
44
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑏𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑚𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛𝐵
𝐵 𝑆𝑒𝑛
𝑏 º ´
𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 º º ´ º ´ º
𝐴 ´
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
𝐶
𝑠𝑒𝑛𝑐 𝑎
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑎
𝑚 𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛 ´
𝑎 𝑚
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑅
𝑎 𝑏 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑅
𝑎 𝑏 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑅
𝑠
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑅
𝑅 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑆
1
4
Aplicando propiedades de las proporciones se tiene:
La razón de cualquiera de los lados de un triángulo al
seno de ángulo opuesto es numéricamente igual al
diámetro del círculo circunscrito.
C
A B
b=74,1m
c=64,2
m
27°18´
1
3
45
Demostración
𝑐 𝑎 𝑏 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐴
∆𝐴𝐶𝐷 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑚
𝑏 𝑚 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝐷𝐵𝐶𝐷 𝐵 𝑛
𝑎 𝑛 𝑎 𝐵
𝑚𝑒 𝑚 𝑛
𝑐
𝑏 √𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑐
𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
√ 𝑘
√ 𝑏 𝑐
𝑏 𝑐
𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑜𝑠𝐵 𝑚
𝑐 𝑚 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵
∆𝐴𝐷𝐶 𝐶𝑜𝑠𝐶 𝑛
𝑏 𝑛 𝑏 𝐶
𝑎 𝑚 𝑛
𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑦
Demostrar
a) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝐵
Demostración
1
a
A
C B
D
b c
m n
b
B
C A
D
a c
m n
c
C
B A D
a b
m
𝑏 𝐶 𝑐 𝐵
∆𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝑚
𝑅 𝑚 𝑐 𝐴
∆𝑏𝑑𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑛
𝑎 𝑎 𝑐
𝑏 𝑚 𝑛
𝑏 𝑐 𝐴 𝑎 𝐶
Demostración
Remplazando 1 y 2 en 3
46
Demostración
√𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑐
𝑏 𝑐
√𝑏𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏𝑐 𝑒𝑛 𝑐
𝑏 𝑐
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑏
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐶
√𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑏 𝑐
√𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏 𝑐
𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑏
𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑛𝐵
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑚𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑚𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑅
𝑎 𝑚𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 𝑚𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐
√ 𝑏 𝑐
𝑏 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑏 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶
DEMOSTRACION
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑎
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑚𝑏
𝑚𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑐
Remplazando 4 y 5 en 3
C
h
A
B
a
b c
47
6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Paguina:276
Demostrar las siguientes identidades:
1)
2) –
3)
(
)
(
)
48
4)
5) √
√(
) (
)
√(
) (
)
√
√
6)
49
7)
(
)
(
)
8)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
9)
10)
( )
50
11)
12)
13)
14)
51
15)
16)
17)
18)
19)
[ ]
[ ]
52
20)
{
[ ]}
[ ( )]
[ ( )]
[ ]
[ ]
21)
22)
23) ⁄
[ ] ⁄
[ ] ⁄
⁄
⁄
⁄
24)
[ ]
[ ]
53
25)
(
)
54
(
)
(
)
55
56
57
(
)
58
59
√
√
√
√(
)
60
61
[ ]
[(√
)
(
)
]
[
]
[ ]
[ ]
62
(
)
[ (
)]
63
(
)
( )
( )
[ ] [ ]
(
)
(
)
(
)
64
( )
[ ]
[ ]
65
66
(
)
(
)
(√
)
(
)
67
(
)(
)
( ) (
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
68
(√
)
(√
)
69
(
)
(√
)
(
)
70
(
)
(
)
(
)
(
)
71
[ ]
(
) (
)
(
) (
)
(
) [ (
)]
(
) (
)
72
[ ]
(
) (
)
(
) (
)
(
) [ (
)]
(
) (
)
(
) (
)
73
º º
(√
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y
0 1 1 – Sen 0 = 1 – 0 = 1
74
30
45
60
90
0.5
0.293
0.234
0
1 – Sen 30 = 1 – 0.5 = 0.5
1 – Sen 45 = 1 – 0.707 = 0.293
1 – Sen 60 = 1 – 0.866 = 0.234
1 – Sen 90 = 1 – 1 = 0
(
)
y = 2 Csc 2
0
10
20
30
45
60
80
90
∞
5.84
3.11
2.31
2
2.30
5.84
∞
75
∞
(
)
(
)
(
)
(
)
76
(
)
[ ]
[ ]
77
[ ]
[ ]
[ ]
{
[ ]
[ ]}
(
) (
)
78
(
)
[– (
)]
(
)
[
(
)
(
)]
79
[ ]
[(√
)
]
(√
)
80
[ ]
[(√
)
]
(√
)
81
30 30 150
210°
30
330°
30
45 45 135
225
45
315
45
7. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x comprendidos entre0 y 360°
1. ⁄
√ ⁄
⁄
a) ⁄
⁄
,
b) ⁄
( ⁄ )
,
{
2.
√
√
√
a) √
√
,
b) √
,
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
82
60 240°
60
60 120 300
60
300
60 60
240°
60 60 120
3.
√ √
√
a) √
√
,
b) √
√
,
Solución total
{
4.
√ √
a)
⁄
,
b) ⁄ (
⁄ )
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
83
45 225
30 150 210
30
5.
{
}
Solución
{
⁄
⁄
⁄
⁄
6. √
√
√ ⁄
( √ ⁄ )
{
{
y
X
y
X
y
X
y
X
84
60 300
60
60 120 240°
60
7.
√ √
a)
,
,
b)
,
,
{
8.
√ √
a)
⁄
{
{
b) ⁄ (
⁄ )
{
{
}
y
X
y
X
y
X
y
X
85
30
330
30
315
45
210
30
30 30 150
45
45 135 225
45
9.
√
√
√
a)
√
√
,
√
√
b)
√
( √ )
,
,
,
10.
√
√
√
a)
√
√
,
,
b)
√
( √ )
,
,
,
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
86
45 135 315
30 45
60 240
60
60 120 240
60
11. (√ )
a)
{
⁄
⁄
b) √
√
√ √
√
√
√
⁄
{
⁄
⁄
{
⁄
⁄
⁄
⁄
12.
a)
⁄
( ⁄ )
{
⁄
⁄
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
87
30 300
30
30 150 210
30
210
30
330
30
b)
{
⁄
⁄
⁄
13.
a)
√
a1) √
√
{
⁄
⁄
a2) √
(
√
)
{
⁄
⁄
b)
( ⁄ )
{
⁄
⁄
{
⁄
⁄
⁄
⁄
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
88
210
30
330
30
60 240
60
45 225
45
14.
a)
⁄
b)
(
)
{ ⁄
⁄
{ ⁄
⁄
⁄
15. ( √ ) √
( √ )
a) √
√
√
{ ⁄
⁄
b)
{ ⁄
⁄
{
⁄
⁄
⁄
⁄
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
89
60 60 120
60 120 240
60
16. ( √ ) √
( √
)
√
( √
)
a)
⁄
b) √
√
,
{ ⁄
⁄
{ ⁄
⁄
⁄
Resolver las siguientes ecuaciones para valores de ángulos comprendidos entre 0 y 360°
17.
a)
⁄
(
)
b)
,
18. ⁄
⁄
⁄
y
X
y
X
y
X
y
X
90
30 300
30
30 150 210
30
60 60 120
√ √
√
a) √
⁄
√ ⁄
,
b) √
⁄
√
⁄
,
19. √
√
√ √
√ √
√
√
(
√ ) (
√
)
a)
√
√
b) √
√
√
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
91
60 300
60
30 210
60
30 150 300
30
20.
a)
⁄
b)
(
)
}
21.
√ √
√
a) √
√
⁄
,
b) ( √
)
( √
)
,
}
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
92
60 225
45
45 135 315
45
22.
}
23.
}
24.
a)
,
b)
}
y
X
y
X
y
X
y
X
93
60 120 240
60
25.
a)
b)
(
)
}
26.
a)
b)
𝒙 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎
a) 𝑺𝒆𝒄𝒙 𝟐 𝟎 𝟏
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟐
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏
𝟐
𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟏 ( 𝟏
𝟐)
b) 𝟐𝑺𝒆𝒏𝒙 𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
𝑪𝒐𝒔𝑿 𝟏
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝑭𝒂𝒍𝒔𝒐
y
X
y
X
94
30 30 150
45 225
45
315
45 45 135
27.
a)
,
b)
{
28.
√
a)
,
b)
,
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
95
60 300
60
210
30
330
30
29. √
√
√
√
√ √ √
√ √
√
√
(
√ ) (
√
)
a)
√
√
b) √
√
(√
)
30.
(
)
{
{
31.
a)
⁄
⁄
,
1. 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏
𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟏 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏
𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟏 𝟎
a) 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎
𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟎
𝒙 𝟗𝟎 𝟐𝟕𝟎
b) 𝟐𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝟎
𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟏
𝟐
𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟏
𝟐
𝒙 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎
y
X
y
X
y
X
y
X
96
60 120 240
60
60 120 240
60
b)
32.
a)
b)
33.
a)
,
b)
( ⁄ )
,
34.
a)
,
y
X
y
X
y
X
y
X
97
b)
}
35.
a)
,
b)
,
98
30
240
60
300
60
210
30
330
30
30 210
30
36. √
(
) *
+
√
*
+
√
√
(
)
√
( √
)
}
37. √ ⁄
√ ⁄
√
(
√
) √ ⁄
√
√
√ ⁄
(√
) √ ⁄
⁄
⁄
,
38.
(
) (
)
(
) (
)
(
)
√
√
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
99
330
30 30 150
a) √
(√
)
,
b) √
( √
⁄ )
,
}
39.
√
* √
+
[ ]
[ ]
a)
,
b)
{
}
y
X
y
X
100
39. 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
*𝑆𝑒𝑛𝑥 √ 𝐶𝑜𝑠𝑥
+
[ 𝐶𝑜𝑠𝑥]
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
a) 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑥 𝐶𝑜𝑠
𝑥 ,
b) 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝟎
𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟏 𝟎
𝒙
{𝟗𝟎 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝟏 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅𝟐𝟕𝟎 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝟏 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊 𝒏 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒙 𝟎 𝟑𝟔𝟎 }
101
41,41° 41,41°
318,59°
40.
√
(√
)
a)
,
b)
(
)
,
}
41. √
√
(√ )
a)
y
X
y
X
102
60 60 300°
60 60 300°
60 120
30
240
60
b)
⁄
( ⁄ )
,
42.
(
)
a)
√ √
√
a1) √
√
,
a2) √
( √
)
,
b)
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
103
71,56° 71,56° 108,44°
285,44° 254,56
74,56 74,56
68,53 111,47 248,53
68,53
√ √
43.
√ √
√
a)
{
b)
{
}
´ ´ }
44.
√
√
√
a)
b)
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
104
199,47°
19,47°
340,53°
19,47°
}
45.
a)
}
b)
√
}
46.
a)
b)
⁄
( ⁄ )
}
47.
y
X
y
X
105
70,53 70,53 109,47
a)
b)
⁄
( ⁄ )
}
y
X
y
X