unidad nº 8...
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Electrostática
Unidad Nº 8
8.1.‐Carga eléctrica. Conductores y aisladores. Ley de Coulomb. Campoeléctrico. Líneas de fuerza. Cálculo del campo eléctrico para cargaspuntuales. Cálculo del campo eléctrico para distribuciones discretas ycontinuas. Movimiento de una partícula en un campo eléctricouniforme. Flujo de campo eléctrico. Ley de Gauss. Aplicaciones.Conductores en equilibrio electrostático.
8.2.‐ Potencial eléctrico. Diferencia de potencial en un campo eléctricouniforme. Potencial eléctrico y energía potencial debido a cargaspuntuales. Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga.
8.3.‐ Capacitancia. Definición y cálculo de capacitancia. Combinaciónde capacitares. Almacenamiento de energía en un capacitor.Capacitancia y dieléctricos
¿Que es una carga?
¿Qué fenómenos eléctricos he visto?
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Carga Eléctrica
Como sabemos, los cuerpos materiales se atraen unos a otros con una fuerza denominada ''fuerza gravitatoria''. Sin embargo, las fuerzas no son las únicas que actúan a distancia entre los cuerpos. Existen otras Fuerzas, que a veces son enormemente mayores. Estos son ejemplos de fuerzas eléctricas magnéticas respectivamente. El dominio de las fuerzas eléctricas y el desarrollo de las comunicaciones han cambiado nuestra forma de vivir.
Atracción y repulsión entre objetos electrificados
Comencemos con un simple experimento eléctrico. Si frotamos una barra de vidrio con un paño de seda y la situamos horizontalmente sobre un soporte colgado de un hilo, y luego frotamos otra barra de vidrio, observaremos que al acercarla a la primera, se repelen.
Vidrio ++++
++++ Vidrio
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Atracción y repulsión entre objetos electrificados
Si repetimos el experimento con dos barras de plástico frotadas con un pañode lana observaremos que sucede lo mismo.
Plástico ‐‐‐‐‐‐
‐‐‐‐‐ Plástico
Atracción y repulsión entre objetos electrificados
Finalmente, si frotamos una barra de vidrio con seda y otra de plástico conlana y, situamos una de ellas sobre el soporte, acercando la otra veremosque se atraen.
Vidrio +++++
‐‐‐‐‐ Plástico
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Carga Eléctrica
Siguiendo la notación común, creada porBenjamín Franklin (1706‐1790), diremos que labarra de vidrio y todos los objetos que secomportan de igual manera, están cargadospositivamente. Del mismo modo, diremos que labarra de plástico y los restantes objetos que secomportan del mismo modo están cargadosnegativamente
El Primer principio de la Electrostática nosdice que: las cargas de igual signo se repeleny las de distinto signo se atraen
En la actualidad se acepta que lamateria en estado normal o neutro contienecantidades iguales cargas positivas y negativas.Cuando se frotan dos cuerpos pasan cargas deuno al otro, cargándose positivamente uno ynegativamente el otro
Estructura de la materia (Iones)
Cuando un cuerpo está cargado negativamente entoncestiene un exceso de electrones y cuando esta cargadopositivamente tiene un déficit de los mismos
2º Principio de la electrostática: Conservación de la carga:La suma algebraica de todas las cargas eléctricas encualquier sistema cerrado es constante.
La magnitud de la carga del electrón o del protón es launidad natural de carga. e = -1.602177 x 10-19 C
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Conductores y aisladores
Se denominan:Conductores a lo materiales que permiten la circulación de lascargas. Generalmente tienen una estructura similar a la de losmetales, donde los electrones de los últimos niveles atómicos no seencuentran aferrados al núcleo y con el estímulo adecuado puedencircular de un punto a otro del material. En otros conductores, comolos electrolitos, se mueven las cargas (+) cationes y (‐) Aniones
Aislantes a lo materiales que NO permiten la circulación de lascargas. Generalmente tienen una estructura similar a la de losCristales, donde los electrones de los últimos niveles atómicos seencuentran fuertemente aferrados al núcleo y no pueden circular deun punto a otro del material. Ejemplo: Vidrio, ebonita, plástico, etc.
Semiconductores a lo materiales que permiten medianamente lacirculación de las cargas. Son muy utilizados en los aparatoselectrónicos. Ejemplo: Silicio y Germanio.
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Existen dos formas de cargar un cuerpo:
Por Contacto: A través del contacto directo de un cuerpo con exceso de cargas positivas o negativas, con otro descargado, con carga distinta o con menor carga. Los dos Cuerpos quedan cargados con la misma carga
Por Inducción: Sin contacto directo el cuerpo con exceso de cargas positivas o negativas, con otro descargado Los dos Cuerpos quedan cargados con distinta carga
LeydeCoulombLa magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargaspuntuales es directamente proporcional al producto de lascargas, e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia que las separa. La fuerza es repulsiva si lascargas son del mismo signo y atractiva en caso contrario.
𝑭𝟏,2 Fuerza ejercida por q1
sobre q2
k Constante de Coulomb: 9x109 N. m2/C2
𝒓𝟏,2 Vector unitario que apunta desde q1
hacia q2
𝑭𝟏,2] = N
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Fuerza eléctrica ejercida en una distribución discreta de cargas, Principio de superposición de fuerzas
Dos cargas puntuales iguales y positivas, q1 = q2 = 2.0 mC se localizanen x = 0, y = 0.30 m y x = 0, y = ‐0.30 m, respectivamente.¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza eléctrica total (neta)que ejercen estas cargas sobre una tercera carga, también puntual,Q = 4.0 mC en x = 0.40 m, y = 0?
PROBLEMA N°2En los vértices de un triángulo equilátero de 50 cm de lado existen tres cargas de: q1 = ‐2,5 μC; q2 = ‐ 1,5 μC y q3 = 3∙10
‐8 C. Determinar la fuerza resultante que se ejerce sobre cada carga.PROBLEMA N°3Una partícula a (“alfa”) es el núcleo de un átomo de helio. Tiene una masa de m= 6,64∙10‐27 kg y una carga de q= 3,2∙10‐19 C. Compare la fuerza de la repulsión eléctrica entre dos partículas a con la fuerza de la atracción gravitatoria (FG=G∙m
2/r2) que hay entre ellas. (G = 6,67∙10‐11 N m2/kg2)PROBLEMA N°4Para la configuración de cargas que se ilustra en la figura: Dibuje y encuentre la fuerza eléctrica que actúa sobre cada carga;
PROBLEMA N°5Dos cargas, de 4μC y 8μC, están a 30 cm de distancia una de otra. ¿En qué lugar de la línea que une a las cargas colocaría un electrón (qe=1,6∙10
‐6C) para que la fuerza resultante en el fuera nula?
y
x8 (m)
5nC -5nC
O
3nC
6 (m)
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Campo Eléctrico
Cuando dos partículas cargadas eléctricamente interactúan en el espacio vacío, ¿cómo sabe cada una que la otra está ahí? ¿Qué ocurre en el espacio entre ellas que comunica el efecto de una sobre la otra?
Concepto de Campo Eléctrico 𝐸:Una Carga genera un Campo
Eléctrico 𝐸 en todo el espacioque la rodea. El que, a su vezgenera una Fuerza sobrecualquier carga que se ponga eneste espacio.
[E]=N/C o también [V/m]
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Campoeléctricoparaunacargapuntual
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏
𝐹 𝑘𝑞 𝑞
𝑟
𝐸𝐹𝑞
𝑘𝑞𝑟
𝐸 𝑘𝑞𝑟
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PROBLEMA N°6
Indica cuál es la magnitud, la dirección y el sentido de un campo eléctrico en el que una carga de ‐2 μC experimenta una fuerza eléctrica de 0,02 N dirigida verticalmente hacia arriba.
Campo eléctrico para un sistema de cargas
Campo eléctrico en un Punto debido a una distribución discreta de cargas. Principio de superposición de fuerzas =>
�⃗� �⃗� ⇒ 𝐸 𝐸 ,
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PROBLEMA N°6
Indica cuál es la magnitud, la dirección y el sentido de un campo eléctrico en el que una carga de ‐2 μC experimenta una fuerza eléctrica de 0,02 N dirigida verticalmente hacia arriba.
PROBLEMA N°7 Para la configuración de cargas que se ilustra en la figura: a) Dibuje y encuentre el campo eléctrico resultante en el punto P(3, 0) y Q (3, 4); b) Con el campo Eléctrico calculado, estime la fuerza eléctrica que actuaría sobre una carga de 1 µC colocada en el punto P
PROBLEMA N°8Al colocar una partícula de masa m=1,5∙10‐9Kg y carga q= 2∙10‐9C a 1,5m de otra Q de carga y signo desconocido, se observa que aquella experimenta una aceleración inicial de 60m/s, dirigida hacia Q. Calcular: a) La fuerza Eléctrica F con que la carga Q atrae a la partículab) El campo Eléctrico que Q genera sobre la partículac) La carga Q
y
x6(m)
5nC ‐5nC
OP
Q
Líneas del campo eléctrico (líneas de fuerza)
Son línea imaginarias que permiten representar la forma de los E. Comienzan en una carga positiva y terminan en una negativa. El vector campo E es tangente a la línea de campo.
La densidad de líneas en cualquier punto (número de líneas por unidad de área perpendicular a las líneas) es proporcional a la magnitud del campo en dicho punto.
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Las cargas eléctricas en el mundo macroscópico se describen habitualmente como distribuciones continuas de carga.
dVdqdV
dq
V
QS
Ql
Q
ꞏ
Densidad lineal de carga
Densidad superficial de carga
Densidad Volumétrica de carga
Carga Uniformemente distribuida en:
rr
dqkE
Vˆ
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Aplicando la ley de Coulomb y el principio de superposición
Campo eléctrico en un Punto debido a una distribución continua de cargas.
Campo eléctrico en un Punto debido a una distribución continua de cargas.
Si R >> x
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Movimiento de una partícula en un campo eléctrico uniforme.
Cuando una Partícula con una carga q y una masa m se coloca en un campo
eléctrico 𝑬 , experimenta una Fuerza 𝑭 𝒒𝑬. SI esta fuerza es la única que actúa, esta adquiere una aceleración dada por:
𝒂 ∑ 𝑭
𝒎
𝒒
𝒎𝑬
PROBLEMA N°9Dos placas horizontales separadas por 1 cm y se conectan a una batería de 100 volts, produciendo un campo Eléctrico uniforme entre ellas de 1ꞏ104N/C. Suponga que la dirección de es vertical hacia arriba, como se ilustra. a) Si un electrón en reposo se libera de la placa superior, ¿cuál es su aceleración? b) ¿Qué rapidez y qué energía cinética adquiere el electrón cuando viaja 1.0 cm hacia la placa inferior? c) ¿Cuánto tiempo se requiere para que recorra esa distancia? Un electrón tiene una carga qe=1,6ꞏ10-19C y masa m e= 9,11ꞏ10-31 kg.
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FlujodeCampoeléctrico
Se define el flujo eléctrico 𝚽𝐄 a través de un área como el producto de lamagnitud del campo eléctrico por el Área (abierta o cerrada). Es una magnitudescalar, que estima el número de líneas que atraviesan la superficie
Φ 𝐸 𝐴 cos 𝜙Φ 𝐸 𝐴
LeydeGaussLa ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, que describen todos losfenómenos electromagnéticos. Para cargas estáticas, la ley de Coulomb y la leyde Gauss son equivalentes, pero la ley de Gauss es más general.
La ley de Gauss puede usarse para calcular el campo eléctrico de creado por distribuciones de carga de alta simetría.
LEY DE GAUSS: El flujo neto del campo eléctrico estático a través de cualquier superficie cerrada (gaussiana) es proporcional a la carga neta (qnet) encerrada por dicha superficie.
0net
S
E
qSdE
Flujo neto Carga neta
Campo Eléctrico Dif. de Superficie
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CalculandoEapartirdelaLeydeGauss. El poder de la simetría
Campo eléctrico de una carga puntual
220
0
2
0
4
1
4
R
qk
R
qE
qRE
qdAE
net
net
AE
El flujo es independiente de la esfera seleccionada
2
2121085.84
1mN
Ck
xo
Campo eléctrico para una corteza delgada de carga
0
0
00
00
E
dAE
qdAE
A
net
AE
Para cualquier esfera gaussiana dentro de la corteza cargada:
220
0
2
0
4
1
4
R
qk
R
qE
qRE
qdAE
net
net
AE
Para cualquier esfera gaussiana fuera de la corteza cargada:
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Campo eléctrico sobre una lámina infinita cargada
𝑬𝝈
𝟐𝝐𝟎
𝑬𝝈𝝐𝟎
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PROBLEMA N°10a)¿Qué es el Flujo eléctrico? b) Enuncie la Ley de Gauss, escriba su expresión matemática e indique que representa cada uno de sus términos. c) Aplicando esta última determine el campo eléctrico un punto P a una distancia r del centro de una esfera conductora con una carga Q. d) Aplique la Ley de gauss para determinar el campo eléctrico en un punto P a una distancia r del centro de una lámina delgada de área A, cargada con una carga Q.
PROBLEMA N°11Un electrón en un monitor entra a medio camino entre dos placas paralelas con cargas opuestas, como se ilustra. La rapidez inicial del electrón es de 6,15∙107m/s y su deviación vertical es de 4,7mm, luego de recorrer 10cm a lo largo de las placas. a) ¿Cuál es la aceleración vertical con la que es desviado el electrón?. b) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico entre las placas? c) Determine la magnitud de la densidad de carga superficial en las placas en C/m2
Campo eléctrico sobre una esfera macisa con carga uniformemente distribuida en ella
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Conductores en equilibrio electrostático.
Potencialeléctrico
Potencial eléctrico. Diferencia de potencial en un campo eléctricouniforme. Potencial eléctrico y energía potencial debido a cargaspuntuales. Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga.
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Como vimos la fuerza eléctrica entre dos cargas depende del valor de las cargas y de la distancia entre ellas (ley de Coulomb). Lo mismo que la fuerza gravitatoria que se ejercen dos masas, la Fuerza eléctrica es conservativa. Existe por lo tanto una energía potencial U asociada con esta fuerza.
𝑼𝒂→𝒃 𝒒𝟎 𝑬 𝒅𝒍𝒃
𝒂
𝑾𝒂→𝒃 𝑭 𝒅𝒍𝒃
𝒂∆𝑼
𝑼𝒂→𝒃 𝑭 𝒅𝒍𝒃
𝒂
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Potencial eléctrico: Elpotencialeléctrico(V)esunamagnitudescalarquetalcomoEnos
permitedescribirelespacioquerodeauncuerpocargado.
LadiferenciadeΔVentredospuntosayb(Vab)ubicadosenunEuniforme,eslaenergíapotencialporunidaddecarganecesariaparallevarlacargadesdea‐>b.
Vab=Vb – Va=Ua→b
Diferencia de Potencial eléctrico en un campo Eléctrico Uniforme:
𝑈 → 𝑞 𝐸 𝑑𝑙
𝑉 → 𝐸 𝑑𝑙
[V]= V (Voltio)= 𝑱
𝑪
Si tomamos a en el infinito (Va = 0) tenemos el potencial en un punto P :
𝑉 𝐸 𝑑𝑙
Entoncesladiferenciadepotencialentredospuntos(ayb)dentrodeuncampoeléctricoEestadadapor:
𝑉 → 𝐸 𝑑𝑙
Potencial eléctrico en un punto P:
q P
r
𝑑𝑙 𝐸 ∞
𝑉 𝐸 𝑑𝑙 𝐸 𝑑𝑙 cos 180 𝐸 𝑑𝑙𝑘 𝑞
𝑟𝑑𝑙
𝑉 𝑘 𝑞𝑑𝑙𝑟
; como 𝑑𝑙 𝑑𝑟 ⇒ 𝑉 𝑘 𝑞𝑑𝑟𝑟
⇒ 𝑉𝑘 𝑞
𝑟
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Potencial eléctrico debido a una distribución discreta de Cargas:
𝑉𝑘 𝑞
𝑟𝒊
PROBLEMA N°13Una partícula de polvo, cuya masa es m= 5ꞏ10-9 kg y con carga q0 = 2.0 nC, parte del reposo en un punto a y se mueve en línea recta hasta un punto b. Calcule: 1) la diferencia de potencial entre b y a (Va-Vb) 2) la Energía potencial eléctrica que pierde q0 al viajar desde a hasta b. 3) La velocidad v de q0 en el punto b?
PROBLEMA N°14Para la configuración de cargas que se ilustra en la figura: a) Dibuje y encuentre el campo eléctrico resultante en el punto Q (3, 4); b) Encuentre el potencial eléctrico en este punto y responda: si el potencial eléctrico en cierto punto es igual a cero, el campo eléctrico en ese punto, ¿tiene que valer cero? y
x6 (m)
25nC -25nC
O
Q
Se llama superficieequipotencialal lugar geométrico que tiene el mismo potencial eléctrico. Luego el trabajo necesario para mover una carga sobre esta superficie es nulo.
Vab = Vb – Va = Ua→b
Retomando la ecuación anterior donde definíamos a la diferencia de potencial entre dos puntos como la energía potencial por unidad de carga:
de la misma se desprenden dos ecuaciones más:
1º es decir la energía potencial necesaria para llevar una carga de prueba desde a -> b es igual al producto de esa carga por la diferencia de potencial entre los puntos
Uab = Vab ∙ 𝑞
Wab = ‐Vab ∙ 𝑞
2º Como la fuerza eléctrica es conservativa se cumple que Uab = ‐ Wabentonces
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Energía Potencial eléctrica :
La energía potencial Eléctrica de un sistema de cargas U es el trabajoque un agente exterior debe realizar para colocar las cargas en su posición,moviéndolas desde el infinito, donde se supone que se encuentran en reposo
Sitomamosaenelinfinito(Va= 0) tenemoselpotencialenunpuntoP:
𝑊 → �⃗� 𝑑𝑙 𝑈
𝑈 𝑞 𝐸 𝑑𝑙 𝑞 𝐸 𝑑𝑙 𝑞 𝑉
𝑈 𝑞 𝑉
𝑈 𝑈 𝑘𝑞 𝑞
𝑟
Energía Potencial eléctrica debido a una distribución discreta de Cargas:
Donde la sumatoria comienza en i=2, ya que no se realiza trabajo para traer la primer carga
PROBLEMA N°16Calcule la energía potencial acumulada (o necesaria para juntarlas desde una distancia muy grande) en los siguientes sistemas de cargas:
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Capacitores
𝑄+ ‐+ ‐+ ‐+ ‐
Capacitor:
Un capacitor o condensador es un conjunto de dos conductorescercanos, de cualquier forma, cargados con cargas de igual valor y signocontrario. Los conductores que forman el capacitor se llaman armaduras.
Capacitancia:
𝐶𝑄𝑉
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑄= carga de una de las armaduras𝑉= diferencia de potencial entre las armadurasSu símbolo más usado es:
𝑉
𝐶 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝐹𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝐶
𝑉𝑜𝑙𝑡 𝑉
1𝐹1𝐶1𝑉
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Los capacitores se utilizan entre otros fines para:• Obtener determinadas configuraciones de campo eléctrico.• Almacenar energía (cargas)• Disminuir fluctuaciones de voltaje
𝑬𝝈𝝐𝟎
𝑸
𝝐𝟎𝑨
𝑽 𝑬𝒅𝑸𝒅𝝐𝟎𝑨
𝑪𝑸𝑽
𝝐𝟎𝑨𝒅
𝑪𝝐𝟎𝑨
𝒅
Capacitancia con dieléctrico:
Experimentalmente se observa que si aplicamos la misma diferencia de potencial a ambos capacitores, C0 y CD , los mismos se cargan con cargas distintas Q0 y QD, tal que:
QD = kD∙Q0 ; donde:kD: es la constante dieléctrica del dieléctricoLuego:CD = kD∙C0 ;
𝑪𝑫𝒌𝑫 𝝐𝟎 𝑨
𝒅
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Energía Potencial Almacenada:
Si consideramos el trabajo a realizar para darle una carga adicional a un capacitor:dW= V∙dqComo V=q/C; resulta que
𝒅𝑾𝒒𝑪
𝒅𝒒
Si ahora evaluamos el trabajo para cargar totalmente el capacitor será:
𝑾𝒒𝑪
𝒅𝒒 𝑸
𝟎
𝒒𝟐
𝑪Luego la energía U almacenada en el capacitor será:
𝑼𝒒𝟐
𝟐𝑪𝑪 𝑽𝟐
𝟐𝒒 𝑽
𝟐