unidad n° 1 ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales alga- prof. villagra – unsa sede orán

Unidad N° 1

Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Lineales

ALGA- PROF. VILLAGRA – UNSa Sede Orán

ALGA- PROF. VILLAGRA

Ecuación• Una ecuación es una función proposicional donde, al reemplazar sus

variables por números se transforma en una proposición que puede ser verdadera o falsa.

• Es un enunciado de la forma A= B donde A y B son expresiones algebraicas en x1, x2, x3, …, xn. Donde x1, x2, x3, …, xn. se denominan variables, también incógnitas o indeterminadas. Si a cada variable se la sustituye por un número determinado, el enunciado resultante puede ser Verdadero o Falso. Si el enunciado resulta verdadero, dichos números serán solución de la ecuación.

• La solución de una ecuación en n variables, es el subconjunto CS de un conjunto universal U, cuyos elementos verifican la ecuación dada.

• CS se denomina conjunto solución y es el conjunto cuyos elementos hacen verdadera la proposición abierta que define la ecuación dada.


Ejemplo• Por ejemplo• 3x+2y –z = x-1 es una ecuación con 3 incógnitas.• (1, 1, 5) es una solución de la ecuación ya que

hace verdadera la misma, por lo tanto será elemento del conjunto solución, si hubiera otra terna que verifique la ecuación también pertenecerá al conjunto solución.

• x2 +9 = 6x es una ecuación en una variable . 3 es la única solución de la ecuación, por lo tanto Cs = { 3}


Ecuaciones paramétricas: discusión, interpretación y representación .

• Si en una ecuación de dos variables, ambas variables x e y se expresan separadamente en términos de una nueva variable t , de manera que la relación original entre x e y aun se mantenga, entonces, a la nueva variable t se le llama parámetro y las ecuaciones que definen la relación de las variable x y y con t se llaman representaciones paramétricas de la ecuación.

• Una curva plana es un conjunto C de pares ordenados donde x e y son funciones de una variable t definidas en un intervalo I


• Sea C la curva determinada por todos los pares ordenados (x(t), y(t)),donde x e y están definidas en un intervalo I. Las ecuaciones : x= x(t), y= y(t) para , son las ecuaciones paramétricas de la curva C con parámetro t. La curva C se denomina curva parametrizada.

• A partir de las ecuaciones paramétricas, eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación cartesiana de la Curva C, o sea una ecuación conocida en x e y para dicha curva.

• Sean x: R→R e y: R→R, entonces son las ecuaciones paramétricas de la Curva C.

)(

)(

tyy

txx


EjemploConsidere las ecuaciones:

Completemos la tabla.

• Marque los puntos ( x, y) generados en la tabla, esbozar una grafica. Indicar la orientación.

• Halle la ecuación rectangular o cartesiana eliminando el parámetro. Graficar. Comparar con la anterior.

3/

22

ty

tx

t -3 -2 -1 0 1 2

x

y


Ecuación lineal

• Una ecuación lineal sobre el cuerpo de los reales( R) con n incógnitas

es una expresión de la forma

Donde los Los se denominan coeficientes de las

incógnitas y b se llama término constante. Se asume que los son valores conocidos

nxxxx ,...,, 321

bxaxaxa nn ...2211

niRbyai ,...,2,1, ia

ixbyai


Solución de una ecuación lineal

• Se dice que la n-upla es solución de la ecuación

Si la proposición es verdaderaEjemplos: En la ecuación 3x-y+4z-w=6La 4-upla=(-5,3,6,0) es una solución de la

ecuación porque cuando se reemplaza por la incógnita correspondiente, la proposición es V.

bxaxaxa nn ...2211

bkakaka nn ...2211k(

)...,,,( ,321 nkkkku


• Para obtener las soluciones de una ecuación lineal con n incógnitas vamos a considerar tres casos:

• 1)Uno de los coeficientes de los xi no es nulo. Es decir ai≠0 para algún i=1,2, …, n

• Supongamos que a1≠0

• Al asignar valores a obtenemos un valor para en este caso. La ecuación tiene infinitas soluciones

bxaxaxa nn ...2211

nn xa

ax

a

ax

a

a

a

bx

13

1

32

1

2

11 ...

nxxx ,...32 ,

1x


• 2) Todos los coeficientes en la ecuación son nulos y la constante b no es nula.

• Es decir que ai=0 para todo i: 1,2,…n y b≠0• Esto implica que si reemplazamos la ecuación

por una n-upla será siempre falsa.

• Es decir que la ecuación no tiene solución ya que no existe n-upla que satisfaga la ecuación

bkkok n 0...0 21

)...,,,( ,321 nkkkku


• 3) Todos los coeficientes de la ecuación son nulos y la constante b también es nula.

Entonces es siempre verdadera.Es decir que cualquier n-upla de escalares en R es

una solución de la ecuación. Ecuaciones equivalentesDadas dos o más ecuaciones, estas son

equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

0,...,2,10 bniiai

00...00 321 nkkkok


Sistema de ecuaciones Lineales

• Un sistema con m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene la forma.

• Donde los

• Los aij son los coeficientes de los xj y los bi son las constantes de cada ecuación.

nxxxx ,...,,, 321

.

...:

.

...:

...:

...:

2211

332321313

2212221212

112121111

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaE

bxaxaxaE

bxaxaxaE

bxaxaxaE

nj

miRbyRa iij

,...,2,1

,...,2,1


Solución sistema de ecuaciones lineales

• Se dice que la n-upla de números reales es una solución ( o también una solución particular del sistema si satisface cada una de las ecuaciones. Es decir al reemplazar los xj por ki, i = 1,2, …, n en cada ecuación, se verifica la igualdad.

• El conjunto de todas las soluciones se llama conjunto solución o Solución General del sistema de ecuaciones lineales (SEL)

knkku ,...,, 21


Sistemas de ecuaciones lineales Equivalentes

Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Esto es, cada solución del primer sistema es solución del segundo sistema y cada solución del 2do sistema es una solución del primero.


Sistema de ecuaciones lineales homogeneo

• Asociado al sistema de ecuaciones lineales que vimos anteriormente tenemos un sistema de ecuaciones donde las constantes son iguales a cero y se llama sistema homogéneo asociado.

.

0...:

.

0...:

0...:

0...:

2211

32321313

212221212

12121111

nmnmmm

nn

nn

nn

xaxaxaE

xaxaxaE

xaxaxaE

xaxaxaE


Solución del sistema lineal homogéneo

Siempre tiene solución ya que la n-upla (0,0,…,0) siempre será una solución, es decir verifica cada una de las ecuaciones. A esta solución se la denomina solución trivial o solución cero.

Cualquier otra solución si existe, se llama solución distinta de cero o no trivial.

En definitiva el sistema lineal homogéneo siempre tiene solución. Esas soluciones pueden única o infinitas soluciones.


Metodo de GaussLas operaciones que se llevan a cabo para obtener un sistema equivalente se llaman operaciones elementales.Existen tres tipos de operaciones elementales:1) Intercambio de ecuaciones del S. E.L.2) Reemplazar una ecuación del S. E.L. por un

múltiplo escalar de ésta (se multiplica a ambos miembros de la ecuación por un escalar ≠0).

3) Reemplazar una ecuación del SEL por la suma de un múltiplo escalar de esta y un múltiplo escalar de otra ecuación del SEL.


Método de Gauss: utilización operaciones elementales

1) Si es necesario intercambiamos las ecuaciones de tal manera que la primera incógnita tenga un coeficiente no nulo en la primera ecuación, es decir

2) Para i>1 aplicamos la operación que reemplaza Ei por E’i = aiiEi-ai1E1

De esta manera eliminamos mínimamente la variable de las ecuaciones restantes y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones equivalente:

1x

011 a

1x


mnmnjmjjmj

nnjjjj

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

''...''

''...''

...

121222

2212122222

11212111

Donde es el 1er coeficiente ≠0 de la segunda ecuación y acompaña a la variable

Si durante este procedimiento que consiste en eliminar el primer coeficiente de E2, Ej, … Em nos encontramos con:

22' ja

2jx


0''0...00)1 122 bybxxx njj

El sistema es inconsistente y no tiene solución.00...00)2 122 njj xxx

Se elimina esta ecuación del sistema equivalente .Continuamos con el procedimiento desde la 2da ecuación en adelante con cada subsistema, si no hay inconsistencia se reduce hasta la siguiente forma:

0'0'0

''...''

''...''

...

2211

11

2212122222

11212111

rjrj

rnrnjrrjrjrrjr

nnjjjj

nn

aaadonde

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa


• r será el número de ecuaciones del sistema equivalente y n es el nro de incógnitas

• Si r = n: igual numero de incógnitas que de ecuaciones, el SEL tiene solución única ( compatible determinado)

• Si r<n: Número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, existen n-r variables libres y el SEL tiene más de una solución y se plantea una solución general en función de las variables libres. ( compatible indeterminado)


Método de Gauss Jordan

• Es una variante del método de Gauss.• Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que

cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal así como de las que la siguen a continuación.

• No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución.


Método de Gauss-Jordan

200

100

1

zyx

zyx

ozoyx

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