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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES IIUNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS

Características operativas para el modelo M/M/1.

=Tasa media de llegadas.

=Tasa media de servicio.

Cantidad promedio de unidades en la fila.

Tiempo promedio de espera en la fila.

Tiempo promedio de espera en el sistema.

Cantidad promedio de unidades en el sistema.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema.

Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar.

Probabilidad de que haya “n” clientes en el sistema.

Probabilidad de “x” llegadas en un periodo especifico.

Probabilidad de que el tiempo de servicio sea o > que el tiempo de duración “t” ó

1 M.C. Emiliano Ferreira Díaz


Características operativas para el modelo M/M/K.

= Número de canales. =Tasa media de llegadas.


Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.

Cantidad promedio de unidades en la línea de espera.


Tiempo que pasa una unidad en la línea de espera.

Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema.

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio.

Probabilidad de “n” unidades en el sistema.

Para “n” k Para “n”> k



Características operativas para el modelo M/G/1.



=Tiempo promedio de servicio.

= Desviación estándar del tiempo de servicio.

Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.

Cantidad promedio de unidades en la línea de espera M/G/1.

Cantidad promedio de unidades en la línea de espera M/D/1.


Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera.





Características operativas para el modelo M/G/K.


=Tasa media de servicio para cada canal.= La cantidad de canales.= La probabilidad de que de los canales estarán ocupados para

Probabilidad de que de los canales estén

ocupados.

Cantidad de unidades promedio en el sistema.

Otros Cálculos.


Probabilidad de que el tiempo de servicio sea o > que el tiempo de duración “t” ó

Análisis económico de las líneas de espera.

= El costo de esperar por periodo para cada unidad. = La cantidad promedio de unidades en el sistema. = El costo de servicio por periodo para cada canal.

= La cantidad de canales. = Costo total por periodo.



EJERCICIO #1.M/M/1 Investigación de Operaciones. Richard Bronson. McGraw Hill. Pág. 276.

Un vendedor atiende el mostrador en una tienda de helados. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso Poissoniano, con una tasa media de llegadas de 30 por hora. Se les atiende siguiendo un tipo FIFO, y debido a la calidad del helado, aceptan esperar si es necesario. Aparentemente el tiempo de servicio por cliente se distribuye exponencialmente, con una media de 1 ½ minutos. Determínese.

a) El número promedio de clientes en espera del servicio.b) La cantidad de tiempo de espera por el servicio que un cliente debería estimar.c) La probabilidad de que un cliente tenga que permanecer más de 15 minutos en la línea de

espera.d) La probabilidad de que el dependiente este ocioso.

DATOS:λ = 30 clientes /hr. =0.5 clientes/minuto.µ = 1.5minutos/cliente = 1/1.5=0.6667clientes/minuto.ρ = 0.5/0.6667=0.75.

SOLUCIÓN:

a)

b)

c)

d)



EJERCICIO #2.M/M/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. Anderson/Sweeney/Williams. Pag. 629

En el sistema de línea de espera de Willow Brook National Bank, suponga que los tiempos de servicio para la ventanilla de atención en el automóvil siguen una distribución de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora o 0.6 clientes por minuto. Use la distribución de probabilidad exponencial para responder las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto o menos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos o menos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de más de dos minuto?

O Probabilidad de que el tiempo de servicio sea o > que el tiempo de duración “t”

SOLUCION:

a)

b)

c)




Determinar las características operativas que se piden a continuación, del cajero para atención a automovilistas que se citan en los problemas anteriores.

a) Probabilidad de que no haya clientes en el sistema.b) Cantidad promedio de clientes que esperan.c) Cantidad promedio de clientes en el sistema.d) Tiempo promedio que pasa un cliente esperando.e) Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema.f) Probabilidad de que los clientes que llegan tengan que esperar por el servicio.

Clientes por hora 0.6 clientes por minuto.Clientes por hora 0.4 clientes por minuto.

a)

b) clientes.

c) clientes.

d) min.

e) min.

f)




El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Suponga que puede utilizarse una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 12 solicitudes por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el servicio?b) ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio?c) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio?d) ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en minutos (tiempo de espera más

tiempo de servicio)?e) ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar por el servicio?

Solicitudes por hora. Solicitudes por hora.

a)

b) solicitudes.

c) = 0.41667 * 60 min. = 25.0002 min.

d) 0.51667 * 60 min. = 31.0002 min.

e)




Movies Tonight es un establecimiento típico de renta de videos y DVD para clientes que ven películas en su casa. Durante las noches entre semana, los clientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1.25 clientes por minuto. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de 2 clientes por minuto. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?b) ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio?c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio?d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio?

= 1.25 clientes por minuto.= 2 clientes por minuto.

a) 0.37500

b) 1.04167 clientes.

c) = 0.8333 * 60 min. = 50 min.

d) 0.6250




La administración de Burger Dome decide emplear un encargado de surtir pedidos que asistirá al tomador de pedidos que se encuentra en la caja registradora. El cliente comienza el proceso de servicio colocando el pedido con el tomador de pedidos; conforme se coloca el pedido, el tomador de pedidos anuncia la orden a través de un sistema de intercomunicación y el encargado del surtido comienza a llenar el pedido. Cuando se completa la orden, el tomador de pedidos maneja el dinero, mientras el encargado del surtido continúa llenando el pedido. Con este diseño la administración de Burger Dome estima que la tasa media de servicio puede aumentarse de la tasa de servicio actual de 60 a 75 clientes por hora. Por tanto, la tasa media de servicio para el sistema revisado es = 75 clientes/60 minutos = 1.25 clientes por minuto. Para = 0.75 clientes por minuto y = 1.25 clientes por minuto, determine las características operativas del sistema.

= 1.25 clientes por minuto.= 0.75 clientes por minuto.

Cantidad promedio de unidades en la fila. = 0.9 clientes.

Tiempo promedio de espera en la fila. 1.2 min.

Tiempo promedio de espera en el sistema. 2 min.

Cantidad promedio de unidades en el sistema. 1.5 clientes.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema. 0.4 =40%

Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar. 0.6 =60%




Para la línea de espera con un solo canal de Burger Dome, suponga que la tasa de llegada se incremento a 1 cliente por minuto y que la tasa media de servicio aumentó a 1.25 clientes por minuto. Calcule las siguientes características operativas para el nuevo sistema:

.¿Este sistema proporciona un servicio mejor o más deficiente que el sistema original?

= 1.25 clientes por minuto.= 1 cliente por minuto.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema. 0.2 =20%

Cantidad promedio de unidades en la fila. 3.2 clientes.

Cantidad promedio de unidades en el sistema. 4 clientes.

Tiempo promedio de espera en la fila. 3.2 min.

Tiempo promedio de espera en el sistema. 4 min.

Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar. = 0.8 =80%

Respondiendo a la pregunta de este problema: el servicio seria deficiente.

Wq0.75 = 1.2 min < Wq1= 3.2 por lo tanto es mejor el ejemplo anterior a este.



EJERCICIO #8.M/M/K Modelos Cuantitativos para los Negocios. Anderson/Sweeney/Williams. Pag. 632

Considere una línea de espera con 2 canales con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora, y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?b) ¿Cual es la cantidad de unidades promedio en el sistema?c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio?d) ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad esta en el sistema?e) ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar por el servicio?

= 10 unidades por hora.= 14 unidades por hora.= 2 canales.

a) 0.17647

b) 1.34509 unidades.

c) 0.09608 * 60 min. = 5.76467 min.

d) = 0.19608 * 60 min. = 11.7648 min.

e) 0.57647



EJERCICIO #9.M/M/K Modelos Cuantitativos para los Negocios. Anderson/Sweeney/Williams. Pag. 632

Remítase al problema anterior. Suponga que el sistema se expande a una operación de 3 canales.

a) Calcule las características operativas para este sistema de línea de espera.b) ¿Es preferible el sistema de 2 canales o el de 3 canales?

= 10 unidades por hora.= 14 unidades por hora.= 3 canales.

a) 0.23599

b) 0.17706 unidades.

c) 0.01264 * 60 min. = 0.75882 min.

d) = 0.11264 *60 min. = 6.7584 min.

e) 0.20236



EJERCICIO #10.M/G/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. Anderson/Sweeney/Williams. Pag. 634

Gubser Welding opera un servicio de soldadura para trabajos de construcción y reparaciones automotrices. Suponga que la llegada de trabajos a la oficina de la compañía puede describirse con una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa media de llegada de 2 trabajos por día de 8 hrs. El tiempo requerido para completar los trabajos sigue una distribución de probabilidad normal con un tiempo medio de 3.2 horas y una desviación estándar de 2 horas. Responda las siguientes preguntas, asumiendo que Gubser usa un soldador para completar todos los trabajos.

a) ¿Cuál es la tasa media de llegada en trabajos por hora?b) ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora?c) ¿Cuál es la cantidad promedio de trabajos esperando por servicio?d) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un trabajo antes de que el soldador pueda

comenzar a trabajar en el?e) ¿Cuál es la cantidad promedio de horas entre el momento en que se recibe un trabajo y

el momento en que se completa?f) ¿Qué porcentaje del tiempo esta ocupado el soldador de Gubser?

= 2 trabajos por día. 2/8 = 0.25 trabajos por hora.= 3.2 horas por trabajos. 1/3.2 = 0.31250 trabajos por hora.= 2 horas por trabajo.

a)2/8 = 0.25 trabajos por hora.

b)1/3.2 = 0.31250 trabajos por hora.

c) = 2.22500 trabajos

d) 8.9 horas.

e) 12.100 horas.

f) 0.8

Significa que el soldador está ocupado el 80%.

EJERCICIO #11.M/G/1 Modelos Cuantitativos para los Negocios. Anderson/Sweeney/Williams. Pag. 634



Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta de ensamblado; suponga que la tasa media de llegada es de 5 trabajos por hora. Los tiempos de servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribución de probabilidad exponencial. A continuación se muestran dos diseños propuestos para la operación de ensamblado de la planta.

Tiempo de servicio.Diseño. Media. Desviación estándar.

A 6.0 3.0B 6.25 0.6

a) Calcule las características operativas del sistema.b) ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora para cada diseño?c) Para las tasas medias de servicio en el inciso a), ¿Qué diseño parece proporcionar la

tasa de servicio mejor o más rápida?d) ¿Cuáles son las desviaciones estándar de los tiempos de servicio en horas?e) ¿Cuál diseño proporciona las mejores características operativas? ¿porque?

= 5 trabajos por hora. 5/60 = 0.08333 trabajos por minuto.1= 6 min por trabajo. 1/6 = 0.16667 trabajos por minuto.2= 6.25 min por trabajo. 1/6.25 = 0.16 trabajos por minuto.

a)Diseño “A”. Diseño “B”.

Características operativas. 1= 0.16667 =3.0 min/trab. 2= 0.16 = 0.6 min/trab.

0.50003 0.47919

0.31245 0.28563

0.81242 0.80643

3.74955 min. 3.42770 min.

9.74943 min. 9.67790 min.

0.49997 0.52081

b) 0.16667 * 60 min. = 10 trabajos por hora. 0.16 * 60 min. = 9.6 trabajos por hora.c) El diseño “A” con = 10 trabajos por hora.d) /60 min = 3.0/6.0 = 0.05 horas. /60 min. = 0.6/60 = 0.01 horas.e) El diseño “B”

EJERCICIO #12.M/M/K Métodos Cuantitativos para Administración. Davis/McKeown. Pag 612

El centro de reparación de computadoras TV shak de McLeod, Montana, maneja la reparación de las microcomputadoras que vende TV shak. Un problema común de reparación es la alineación de unidades de disco. Al llegar las microcomputadoras al centro de reparación se asigna en forma rotatoria a uno de los tres técnicos para que haga la alineación. Por razones de control de calidad, una vez que se asigne una microcomputadora a un técnico, no se asigna a



otro. Suponiendo que las tasas de llegadas y de servicio son aleatorias y de 30 por mes y 2 por día por cada técnico (20 días hábiles por mes), responda las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál será el tiempo promedio de una microcomputadora permanece en el centro de servicio?

b. En promedio, ¿en cualquier momento, cuantas micros estarán esperando a cada técnico para que les de servicio?

c. ¿Cómo respondería usted las preguntas anteriores si una microcomputadora que llega pasara al primer técnico disponible para que le diera servicio, en vez de que se asignara en forma rotatoria?

a)

b)

= 0.4705

c)

EJERCICIO #13.M/G/1 Métodos Cuantitativos para Administración. Davis/McKeown. Pag 612

El jefe de la oficina de admisión de una escuela de negocios bien conocidas, maneja solicitudes de ingreso a la maestría de administración de empresas sobre la base de que el primero que llega es el primero que se atiende. Estas solicitudes llegan aleatoriamente a razón de 5 por día. La distribución de probabilidad en los tiempos de servicio es tal que la desviación estándar es 1/10 de día y la media 1/9 de día. ¿Cuál es el tiempo promedio que una solicitud espera para ser procesada? En promedio, ¿Cuántas solicitudes están en espera de ser procesadas en cualquier momento?

Por día.



De día.

Estudiantes que esperan

Tiempo que una solicitud espera (días).

EJERCICIO #14.M/D/1 Métodos Cuantitativos para Administración. Davis/McKeown. Pag 612

El First Nacional Bank esta planeando instalar una variedad especial de cajeros automáticos en la librería de una universidad local. Este cajero automático será especial porque permitirá solo hacer retiros (necesidad común en una universidad). Puesto que el cajero solo permitirá retiros, tendrá un tiempo deterministico de servicio de 60 segundos. Si las llegadas son aleatorias y a razón de 30 por hora, ¿Cuál será el tiempo promedio que un estudiante pasara en la fila y haciendo su retiro? En promedio, ¿Cuántos estudiantes estarán en espera de hacer retiros?

80 llegadas por hora.Servicio de 60 segundos.

Llegadas por minuto.



Cliente por minuto.

EJERCICIO #15.M/G/K Métodos Cuantitativos para Administración. Davis/McKeown. Pag 612

Un hospital local esta planeando ofrecer un servicio a la población general. Este servicio considera en dar información médica sobre los diversos temas a las personas que marquen el número de información del hospital que es el público. El hospital pronostica que habar aproximadamente 10 llamadas por hora y que serán de duración aleatoria. Una operadora contestara a las personas que llamen e intentara contestar sus preguntas. La experiencia a mostrado que la llamada promedio dura 5 min. El hospital desea reducir la probabilidad de que las personas a que llamen encuentren ocupada la línea al menos de 0.05 aumentando las líneas telefónicas. Habrá solo una línea telefónica por operador. Utilice la formula de la llamada perdida de Erlang para calcular el numero de líneas telefónicas necesarias para alcanzar el nivel deseado de probabilidad del hospital.

Llamadas por hora. Minutos por llamada = 0.2 llamadas por minuto = 12 llamadas por hora.



Con una cuatro líneas se está dando un servicio del 99.13 % y cumple con lo pedido que era menos del 0.05 de fallas.




Willow Brook Nacional Bank opera una ventanilla para atención de automovilistas que permite a los clientes completar sus transacciones bancarias desde sus autos. En las mañanas de los días hábiles, las llegadas a la ventanilla ocurren al azar, con una tasa media de llegadas de 24 clientes por hora o 0.4 clientes por minuto.

a) ¿Cuál es la cantidad media esperada de clientes que llegara en un periodo de cinco minutos?

b) Suponga que puede usarse la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada. Use la tasa media de llegada del inciso a) y calcule las probabilidades de que llegara exactamente 0, 1, 2, y 3 clientes durante un periodo de cinco minutos.

c) Se esperan demoras si llegan más de tres clientes durante cualquier periodo de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran esas demoras?


a)



= 0.13534

=0.03365

b)

=0.96691


Un peluquero atiende él solo un negocio. No acepta citas, pero atiende a los clientes conforme llegan. Debido al prestigio del peluquero, los clientes estan dispuestos a esperar por el servicio una vez que llegan, las llegadas sigue un patrón poissoniano, con una tasa de llegadas de 2 por hora. Aparentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente, con una media de 20 minutos. Determínese:

a) El número esperado de clientes en la peluquería.b) El número esperado de clientes que esperan el servicio;c) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquería, d) La probabilidad de que un cliente permanezca más del tiempo promedio en la

peluquería.

DATOS:Λ = 2 clientes /hr. =0.0333 clientes/minuto.µ = 120minutos/cliente 1/20=0.05clientes/minuto.ρ = 0.666

SOLUCIÓN:

a)

b)



c)

d)


Aparentemente el patrón de llegada de automóviles a la fila única de una ventanilla bancaria de atención a automovilistas es un proceso poissoniano, con una tasa media de 1 por minuto. Aparentemente los tiempos de servicio del cajero se distribuyen exponencialmente, con una media de 45 segundos. Considerando que un auto que llega esperara tanto como sea necesario. Determínese:

a) El numero estimado de autos en espera de servicio;b) El tiempo promedio que un automóvil espera por el servicio;c) El tiempo promedio que un automóvil permanece en el sistema.

DATOS:Λ =1 clientes /min. = 0.0167clientes/segundo.µ = 45seg/cliente = 1/45=0.0222clientes/segundo.ρ = 0.723

SOLUCIÓN:

a)

b)

c)




En un aeropuerto de una sola pista, un promedio de un avión cada 5 minutos solicita permiso para aterrizar; aparentemente la distribución real es Poissoniana. Los aeroplanos reciben permiso para aterrizar de acuerdo al orden de llegada, quedando en espera aquellos a los que no se les puede dar permiso de inmediato debido al tráfico. El tiempo que toma al controlador de tráfico ayudar a que un aeroplano aterrice varia de acuerdo con la experiencia del piloto, se distribuye exponencialmente, con una media de 3 minutos. Determínese:

a) El numero promedio de aeroplanos en espera;b) El numero promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterrizar, pero que

aun s encuentran en movimiento;c) La probabilidad de que un aeroplano que llega este en tierra menos de 10 minutos,

después de pedir por primera vez permiso para aterrizar.

DATOS:Λ = 5 min. /avión. = 1/5 avión / minutosµ = 3 min. /avión = 1/3 avión / minutos.

ρ =

Probabilidad de que se atienda en menos tiempo =

SOLUCIÓN:

a)

b)

c)



d)


Una mecanógrafa recibe trabajo de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa promedio d3 4 trabajos por hora. Los trabajos se mecanografían de acuerdo a la orden de llegada, y el trabajo promedio requiere de 12 minutos de tiempo de la mecanógrafa; aparentemente el tiempo real del trabajo se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. Determínese:

a) La probabilidad de que un trabajo quede concluido en menos de 45 minutos después de su llegada.

b) La probabilidad de que la mecanógrafa concluya todos los trabajos al final del día.

DATOS:Λ = 4 trabajos / hr. = 0.0667trabajos / min.µ = 12 min. /trabajo = 0.0833 trabajos / minutos.

w =

SOLUCION:a)

b)




Conforme los mecánicos necesitan partes para los autos que están reparando en un taller, se dirigen al departamento de refacciones del taller y solicitan el material necesario. El dependiente único de l departamento de refacciones atiende a los mecánicos de acuerdo al orden de llegadas. Los mecánicos llegan siguiendo un proceso poissoniano con una tasa media de 35 por hora y esperan su turno siempre que el dependiente este ocupado con alguien mas. En promedio, el dependiente de refacciones tarda 1 minuto para a tender a un mecánico, con el tiempo real de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media, ¿Cuál es el costo esperado por hora para el taller por hacer que los mecánicos obtengan las refacciones, si a un mecanicote le pagan $12 por hora?

DATOS:Λ = 35 mecánicos / hr = 0.5833 mec. / min.µ = 1 min. /mecánico = 1 mec. / Minutos.

SOLUCIÓN:

a)

b)

Costo por hora.



EJERCICIO #22.M/M/1 Métodos Cuantitativos para los Negocios. Anderson, Sweeny, Williams. Pág.630

Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricación de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de2.5 automóviles por hora. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad exponencial.

a) ¿Cuál es la cantidad promedio de automóviles en el sistema?b) ¿Cuál es ele tiempo promedio que será un automóvil para que comience el servicio de

aceite y lubricación?c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema?d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio?

DATOS:Λ = 2.5 autos / hr. µ = 5 autos / hora.ρ = 2.5/5=0.5

SOLUCIÓN:

a) unidades sen línea.

b) horas de espera en la fila.

c) horas de espera en el sistema.

d) factor de utilización.

EJERCICIO #23.



M/M/1 Métodos Cuantitativos para los Negocios. Anderson, Sweeny, Williams. Pág.630

Marty’s Barber Shop tienen ulnae peluquería. Los clientes llegan a la tasa de 2.2 clientes por hora, y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de 5 por hora. Use el modelo de llegadas de poisson y tiempos de servicio exponenciales para responder las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?b) ¿cual es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y nadie este

esperando?c) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y un cliente

este esperando?d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y dos

clientes esperando?e) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 clientes estén esperando?f) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente espera por el servicio?

DATOS:Λ = 2.2 clientes / hr. µ = 5 clientes / hora.ρ = 2.2/5=0.44

SOLUCIÓN:

a)

b)

c)

d)

Horas de espera en la fila.

Horas de espera en el sistema.

Factor de utilización.

EJERCICIO #24.M/D/1 Modelos Cuantitativos para Administración. Davis/Mckeown. Grupo Editorial Iberoamérica. Pág. 606.

Cierta empresa ha decidido instalar un cajero automatizado de atención a automovilistas, para las personas que desean hacer un solo retiro a depósito. El banco ha entablado pláticas con respecto a esta unidad automatizada con un fabricante y se le ha informado que en estos casos



el tiempo de servicio es constante con 7 ½ minutos (8 por hora). La desviación estándar es cero, puesto que no existe varianza en los tiempos de servicio y la tasa de llegada es 4.

DATOS:Λ = 4 clientes / hr. µ = 8 clientes / hora.

a)

b)

c)

EJERCICIO #25.M/G/1 Modelos Cuantitativos para Administración. Davis/Mckeown. Grupo Editorial Iberoamérica. Pág. 606.

En la empresa anterior los tiempos de servicio para los cajeros que atienden automovilistas siguen una distribución normal con media ó 1/µ de 1/8 de hra y desviación estándar de 1/12 de hora. Utilizando estos valores junto con una tasa de llegada de 4 por hora y la media de 8 clientes por hora. Determinase las características de operación:

DATOS:1/µ= 1/8 de hora.



= 1/12 de hora = 4 clientes / hr.

µ = 8 clientes / hora.

a) personas en la línea de espera.

b) personas en el sistema.

c) de hora en la línea de espera.

De hora en el sistema.

EJERCICIO #26.M/G/1 Métodos Cuantitativos para los Negocios. Anderson, Sweeny, Williams. Pág.634.

Robotics Manufacturing Company opera un negocio de reparación de quipo donde los trabajos de emergencia llegan en forma aleatoria a la tasa de 3 trabajos por día de 8 horas. La instalación de reparación de la compañía es un sistema de un solo canal operado por un técnico en reparación. El tiempo de servicio varia con un tiempo medio de reparación de 2 horas y una desviación estándar de 1.5 horas. El costo para la compañía de operación y reparación es de $28 por hora. En el análisis económico del sistema de línea de espera, Robotics usa un costo de $35 por hora para los clientes que esperan durante el proceso de reparación.

a) ¿Cuál es la tasa de llegada y la tasa de servicio en trabajos por hora?b) Muestra las características operativas incluyendo el costo total por hora.



c) La compañía esta considerando comprar un sistema computarizado de reparación de equipo que permitiría un tiempo de reparación constante de 2 horas. Para propósitos prácticos, la desviación estándar es 0. debido al sistema computarizado, el costo para la nueva compañía de la nueva operación seria $32 por hora. El director de operaciones de la firma dijo que no se pidiera el nuevo sistema porque el costo por hora es $4 más alto y el tiempo de reparación medio es el mismo. ¿Esta de acuerdo? ¿Qué efecto tendrá el nuevo sistema en las características de la línea de espera del servicio de reparación?

d) ¿Comprar el sistema computarizado para reducir la variación en el tiempo de servicio tienen sentido económico? ¿Cuánto le ahorrara el nuevo sistema a la compañía durante una semana de trabajo de 40 horas?

1 día de 8 horas.= 1 canal.= 3 trabajos por día. 3/8 = 0.375 trabajos por hora.= 2 horas/trabajador. 1/2 = 0.5 trabajos por hora.= 1.5 horas/trabajador.

a) = 0.375 trabajos por hora. = 0.5 trabajos por hora

b) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.

Cantidad promedio de unidades en la línea de espera







Análisis económico.

Cw = $35 por hora. = $ 133 por hora.Cs = $28 por hora. = $ 133 * 40 horas = $ 5,320 por semana. 1 día de 8 horas.

= 1 canal.= 3 trabajos por día. 3/8 = 0.375 trabajos por hora.= 2 horas/trabajador. 1/2 = 0.5 trabajos por hora.= 0

c) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.

Cantidad promedio de unidades en la línea de espera





Análisis económico.

Cw = $35 por hora. = $ 97.625 por hora.Cs = $32 por hora. = $ 97.625 * 40 horas = $ 3,905 por semana.



El director de esta empresa esta equivocado. Debido a que el sistema es más barato aún con el incremento en el costo de la nueva operación que es de $32 por hora.

d) De hecho si se debe comprar el sistema computarizado para reducir la variación en el tiempo de servicio puesto que es más barato. Ahora $ 5,320 - $ 3,905 = $ 1,415 de ahorro semanal.

EJERCICIO #27.M/G/K Métodos Cuantitativos para los Negocios. Anderson, Sweeny, Williams. Pág.635.

Una aseguradora mantiene un sistema de cómputo central que contiene una variedad de información sobre las cuentas de los clientes. Los agentes de seguros en un área de 6 estados usan líneas telefónicas para tener acceso ala base de datos de información de los clientes. En la actualidad, el sistema de cómputo central de la empresa permite que 3 usuarios tengan acceso simultáneo a la computadora central. Alos agentes que intentan usar el sistema cuando esta saturado se le niega el acceso; no se permite la espera. La administración se da cuenta de que con la expansión de su negocio se harán más solicitudes al sistema de información central. El hecho de que se les niegue el acceso al sistema es ineficiente al igual que molesto para los agentes. Las solicitudes de acceso siguen una distribución de probabilidad de poisson, con una media de 42 llamadas por hora. La tasa media de servicio por línea es de 20 llamadas por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 0, 1, 2 y 3 líneas de acceso estén en uso?b) ¿Cuál es la probabilidad de que a un agente se le niegue el acceso?c) ¿Cuál es la cantidad promedio de líneas de acceso en uso?d) En la planeación para el futuro, la administración debe ser capaz de manejar Λ= 50

llamadas por hora, además la probabilidad de que un agente se le niegue el acceso al sistema no deberá ser mayor que el valor calculado en el inciso (b). ¿Cuántas líneas de acceso debe tener el sistema?

DATOS:



= 42 llamadas / hora. µ = 20 llamadas / hora.K= 0, 1, 2, 3 líneas de acceso

a) i

0

1

2

3

=6.8485

b)

c) personas en el sistema.

d) = 50 llamadas / hora. µ = 20 llamadas / hora. K= 0, 1, 2, 3, 4 líneas de acceso.

Personas en el sistema.


j

0 1/6.8485=0.14601 2.1/6.8485=0.30662 2.205/6.8485=0.32203 1.5435/6.8485=0.2254

=1.0000


EJERCICIO #28.M/G/K Métodos Cuantitativos para los Negocios. Anderson, Sweeny, Williams. Pág.635.

Mid-West Publishing Company publica libros de texto universitarios. La compañía opera un numero telefónico 800 mediante el cual los libreros y los maestros interesados en las preguntas pueden hacer preguntas respecto a los próximos textos, solicitar ejemplares de los mismos para examinarlos y hacer pedidos. En la actualidad se hacen 2 extensiones con 2 representantes manejando las preguntas telefónicas. Las llamadas que ocurren cuando 2 líneas se están usando reciben una señal de ocupado; nos e permite la espera. Cada representante puede atender un promedio de 12 llamadas por hora. La tasa media de llegadas es de 20 llamadas por hora.

a) ¿Cuántas extensiones deben usarse si la compañía desea manejar el 90% de las llamadas de inmediato?

b) ¿Cuál es la cantidad promedio de extensiones que estarán ocupadas si se usa su recomendación del inciso (a)?

c) ¿Qué porcentaje de llamadas recibe una señal de ocupado en el sistema telefónico actual con 2 líneas?

= 20 llamadas / hora. µ = 12 llamadas / hora. K= 2 líneas de acceso.

a) De que los 2

Canales estén ocupados. Por lo tanto:



65.75 menor que 90% no cumple con la política, agregando otras 2 líneas.

K=4

93.76 mayor que 90% ya cumple con la condición.

b) Con k=4 extensiones ocupadas.

c) Con k=2 34.25% de las llamadas sonaran como ocupadas.EJERCICIO #29.M/M/1 VS M/M/K Métodos Cuantitativos para los Negocios. Anderson, Sweeny, Williams. Pág.635.

Una franquicia de comida rápida esta considerando manejar una operación de servicio de comidas con ventanillas de servicio en el automóvil. Suponga que las llegadas de los clientes siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegada de 24 automóviles por hora y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. Los clientes que llegan colocan pedidos en una estación de intercomunicador en la parte posterior del estacionamiento y luego conducen hasta la ventanilla de servicio para pagar y recibir sus pedidos. Se están considerando las siguientes alternativas.

A) Una operación con un solo canal en el que un empleado toma el pedido y cobra al cliente. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de dos minutos.

B) Una operación con un solo canal en la que un empleado toma el pedido mientras un segundo empleado cobra al cliente. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de 1.25 minutos.

C) Una operación con dos canales con dos ventanillas de servicio y dos empleados. El empleado ubicado en cada ventanilla toma el pedido y cobra a los clientes que llegan a la ventanilla. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de dos minutos para cada canal.

Responda las siguientes preguntas y recomiende un diseño alternativo para la franquicia de comida rápida.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya automóviles en el sistema?b) ¿Cuál es la cantidad promedio de automóviles que esperan por servicio?c) ¿Cual es la cantidad promedio de automóviles en el sistema?d) ¿Cual es el tiempo promedio que un automóvil espera por servicio?e) ¿Cual es el tiempo promedio en el sistema?f) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llega tenga que esperar por servicio?



= 24 autos/hora = 0.4 autos / min. A) µ = 2 min. /auto=0.5 autos / min. B) µ =1.25 min. /auto=0.8 autos/min. C) µ = 2 min. /auto=0.5 autos/min. K= 2 líneas de acceso. N=0,1

SOLUCIÓN:

Parámetros. CPo

Lq

L

Wq

W

Pw

De acuerdo a los resultados obtenidos, la opción C es la más conveniente puesto que los valores de sus parámetros son menores que A y B.


Parámetros. A BPo

Lq

L

Wq

W

Pw


EJERCICIO #30.M/M/1 Investigación de operaciones. Sexta edición. Hamdy A. Taha. 634

Las instalaciones de lavado de autos Autómata operan con solo una rampa. Los autos llegan de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 4 vehículos por hora, y esperan en el establecimiento de las instalaciones si la rampa esta ocupada. El tiempo de lavado y limpieza de un auto es exponencial, con una media de 10 minutos. Los autos que no se pueden estacionar dentro esperan en la calle que bordea las instalaciones de lavado. Esto significa que para todo propósito práctico, no hay límite en el tamaño del sistema. El gerente de las instalaciones quiere determinar el tamaño del estacionamiento.


En las instalaciones de lavado de autos autómata del ejemplo anterior, supongamos que se instala un nuevo sistema que permite que el tiempo de servicio para todos los autos sea



constante e igual a 10 minutos. ¿Cómo afecta el nuevo sistema la operación de las instalaciones?

Los resultados tienen sentido ya que un tiempo de servicio constante indica mas certidumbre en la operación de las instalaciones. (Se compararon los resultados del problema anterior con los obtenidos en este. Con los valores de Ws y Wq).


Dos compañías de taxis atienden a una comunidad. Cada empresa posee dos taxis y se sabe que ambas compañías comparten el mercado casi igualmente. Esto es evidente por el hecho de que las llamadas llegan a las oficinas despachadoras de cada compañía a una tasa de ocho por hora. El tiempo promedio por viaje es 12 minutos. Las llamadas llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial. Recientemente las dos compañías fueron compradas por un inversionista que esta interesado en consolidarlas en una sola oficina



despachadora para proporcionar un servicio más rápido a los clientes. Analice la propuesta del nuevo propietario.

La combinación de servicios es un modo más eficiente de operación. Este resultado es cierto aunque las instalaciones separadas están muy ocupadas.


Los clientes llegan a un banco de una ventanilla de atención en el auto de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 5 minutos. Hay tres espacios frente a la ventanilla, incluyendo el del auto al que se le esta dando servicio. Otros vehículos que llegan se forman afuera de ese espacio para tres autos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega pueda entrar en uno de los tres espacios?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega espere fuera del espacio designado de tres espacios?

c) Un cliente que llega, ¿Cuánto tiempo supone que esperara antes de iniciar el servicio?



a)

b)

c)

El tiempo que tendrá que esperar el cliente en la cola en espera de servicio es de 0.582 horas.


unidad ii. teoria de colas.doc

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