unidad ii problemas de relaciones con una variable

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO

Sistema Nacional de Nivelación y AdmisiónCurso de Nivelación Segundo Semestre 2013

DOCENTE: ING. RENÉ ENRÍQUEZ ÁREA:5 PARALELO:N__

UNIDAD II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE

LECCIÓN 3 PROBLEMAS DE RELACIÓN PARTE-TODO Y FAMILIARES

Reflexión.-

Esta lección como su nombre lo indica, presenta problemas acerca de relaciones entre variables y características de objetos o situaciones. Dichas relaciones pueden ser de diferentes clases. Para eso hacemos énfasis en la palabra relación, que quiere decir nexo entre dos o más características correspondientes a la misma variable, y es de estos nexos que surge el tipo de relación.Como ya sabemos las variables, sus valores y sus relaciones conforman los datos de los problemas. El objetivo de esta lección es lograr identificar los tipos especiales de relaciones y de estrategias particulares.

Contenido.-

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PROBLEMAS SOBRE RELACIONES PARTE-TODO

En este tipo de problemas unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios, entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada.

Ejercicio 1. Con una balanza de 2 platillos y sólo 3 pesas de 1, 3 y 9 kilos respectivamente, podrás pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo hasta 13 kilos. Se trata de identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que podrían colocarse en uno o los dos platillos para lograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B. Se puede combinar las pesas como se desee. ¿Cómo se combinarían las pesas para colocarlas todas o algunas de ellas en ambos platillos para pesar 2, 5, 7, 10 y 11 kilos?




1) Lee todo el enunciado. ¿De qué se trata el problema?

De una balanza de dos platillos que se sirve para pesar hasta 13 kg usando solamente una o una combinación de las tres pesas de 1, 3 y 9 Kg.

2) ¿Cuál es la pregunta?

La incógnita es determinar la pesa o grupos de pesas que deben colocarse en el platillo A o en ambos platillos para equilibrar la balanza.

3) ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del problema?

Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando ambos platillos tiene el mismo peso.

Segunda, que cuento con 3 pesas con los valores de 1Kg, 3 Kg y 9 Kg.

Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B.

Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro platillo para lograr el equilibrio con el objeto.

Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total del platillo.

4) ¿Cómo podemos pesar?

Si colocamos en el platillo B objetos de 1Kg, 3Kg y 9Kg podemos equilibrarlo colocando en el platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.

Si colocamos un objeto de 4Kg en el platillo A, ¿Cómo podemos equilibrarlo?

No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando en el platillo A las pesas de 1Kg y 3Kg juntas. De esta manera podemos pesar objetos cuyo peso sea igual a la suma de los pesos de dos pesas. De esta manera podemos pesar objetos de 4Kg, 10 Kg y 12 Kg. Y si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos de 13 Kg.

Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10, 12 y 13 Kg.

2




¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2 Kg?

Ahora recordamos la estrategia que nos dice que tenemos total libertad para colocar las pesas. Si el objeto pesa 2Kg, puedo equilibrar la balanza colocando el objeto y la pesa de 1Kg en el platillo B y la pesa de 3 Kg en el platillo A porque la suma de los pesos en ambos platillos será igual. Colocando el objeto y la pesa de 1 Kg en el platillo B podemos pesar 2 Kg y 8 Kg colocando en el platillo A las pesas de 3 Kg y 9Kg; y si colocamos el objeto y la pesa de 3Kg en el platillo B y la pesa de 9Kg en el platillo A, podemos pesar 6Kg.

Nos falta averiguar, ¿Cómo podemos pesar objetos de 5Kg, 78 Kg y 11 Kg?

En el último caso acompañamos el objeto con una pesa, y podíamos pesar objetos cuyo peso estaba por debajo del peso que teníamos en el platillo A. Eso lo podemos ampliar con otros pesos en el platillo A si colocamos en él dos pesas. Así, colocando en A las pesas de 9Kg y 3Kg, y en B el objeto y la pesa de 1Kg, podemos pesar un objeto de 11Kg; y colocando en A las pesas de 9Kg y 1Kg; y en B, el objeto y la pesa de 3Kg, podemos pesar un objeto de 7Kg.

Ahora nos falta solamente como pesar 5Kg. Dándonos cuenta que 9Kg es igual a 5Kg + 4Kg, entonces podemos pesar un objeto de 5Kg poniéndolo en el platillo B con las pesas de 3Kg y 1 Kg, que pesan combinadas los 4Kg, y el platillo A la pesa de 9Kg.

De esta manera podemos resumir todas las alternativas de pesado en una tabla indicando que muestre los Kilogramos que desean pesar, el contenido del platillo A y el contenido del platillo B.

Cantidad de Kg a pesar

Platillo B Platillo A

1 Objeto Pesa 1Kg2 Objeto + Pesa 1 Kg Pesa 3Kg3 Objeto Pesa 3Kg4 Objeto Pesas 3Kg y 1 Kg5 Objeto + Pesas 3Kg y 1Kg Pesa 9Kg6 Objeto + Pesa 3Kg Pesa 9Kg7 Objeto + Pesa 3Kg Pesa 9Kg y 1Kg8 Objeto + Pesa 1Kg Pesa 9Kg9 Objeto Pesa 9Kg

10 Objeto Pesas 9Kg y 1Kg11 Objeto + Pesa 1Kg Pesas 9Kg y 3Kg

3




12 Objeto Pesas 9Kg y 3Kg13 Objeto Pesas 9Kg, 3 Kg y 1 Kg

5) Para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las pesas para pesar 2, 5, 7, 10 y 11Kg, solamente tenemos que identificar en la tabla anterior la distribución de pesas en cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un objeto de 2Kg. Lo colocamos en el platillo B junto con la pesa de 1Kg, y en el platillo A colocamos la pesa de 3Kg. De la misma manera procedemos para las demás cantidades.

6) Por último verificamos cada paso y los resultados de las operaciones.

De esta manera terminamos la solución formal del ejercicio 1 que planteamos al inicio de esta clase. Seguimos paso a paso el procedimiento que aprendimos en la lección 2. En este caso las relaciones que planteamos utilizaban el principio que el equilibrio de la balanza se alcanza cuando el peso total del platillo A es igual al peso total del platillo B, y que esos pesos totales resultan de la suma de todos los pesos que hay en cada platillo.

2.- Contenido

Tema 1:

PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN PERTE-TODO

Definición

En este tipo de problemas unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada.

Ejercicios

1)¿Cómo se describe el lagarto?

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Práctica 1: La medida de las tres secciones de un lagarto – cabeza, tronco y cola – son las siguientes: la cabeza mide 9 cm, la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. ¿Cuántos centímetros mide en total el lagarto?




Tres secciones : cabeza – tronco – cola

2)¿Qué datos da el enunciado del problema?

La medida de la cabeza del lagarto es 9 cm ,la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del tronco , y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola.

3) ¿ Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del cuerpo?

Que mide 9 cm, más la mitad del tronco.

Escriba esto en palabras y símbolos

Medida de la cola =medida de la cabeza + la mitad del cuerpo

Medida de la cola = 9cm + ½ tronco.

4)Qué se dice del cuerpo?

Que mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola.

Vamos a escribir o representar estos datos en palabras y símbolos:

Medida del tronco = Medida cabeza + medida cola

Medida del tronco = 9cm + medida de la cola

Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:

Medida del tronco = 9cm + 9cm + mitad de la medida del cuerpo

Medida del tronco = 18cm + mitad de la medida del cuerpo

Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:

Medidas del tronco

Medida del medio tronco 18cm

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5)¿Qué observamos en el esquema?

En el esquema observamos que el tronco mide un total de 36cm.

6)Entonces, ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto complete el esquema que sigue.

Cola Tronco Cabeza

En total mide 72cm

Ejemplo:

1) ¿Qué debemos hacer para resolver el problema?

Leer cuidadosamente todo el problema.

2) ¿Qué se pregunta?

¿Cuánto pesa el hombre sin carga alguna?

3) ¿Qué observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?

Que nos dan un total y debemos calcular cada parte. El todo es la carga total de 120 kilos y las partes son: el hombre, niño, perro y los accesorios del perro.

4) ¿Cómo podemos representar estos datos?

6

Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que él; el niño al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que él, y el perrito lleva accesorios que pesan la mitad que él. Si el hombre con su carga pesa 120 kilos, ¿Cuánto pesa el hombre sin carga alguna?

Accesorios




4) ¿Cómo lo expresamos en palabras?Que en el problema se dice que cada parte pesa la mitad, por lo tanto pesa el doble de arriba hacia abajo (de accesorios al hombre), es por esto que en cada piso se aumentan 2 cuadros

5) ¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?Que el peso del hombre es menor que la carga total.

6) ¿Cómo calculamos el peso del hombre?Primero dividimos los 120 kilos con las 15 partes de la pirámide, obteniendo 8, que equivale al peso de los accesorios, y lo vamos multiplicando por 2, es decir: 120 ÷ 15= 8, accesorios8 x 2= 16, perro16 x 2= 32, niño32 x 2= 64, hombre.

7) ¿Cuánto pesa el hombre?Pesa 64 kilos.

8) ¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?Verificar el proceso y el producto.

Ejemplo:

7

Perro

Niño

Hombre

Carga Total 120kilos

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

Un tipo va al gym y levanta unas pesas igual al peso que él, la varilla pesa la ¼ parte que el. Si el tipo con la carga pesa 90 kg ¿Cuanto peso la varilla?




¿Qué hacemos en primer lugar?Extraer Datos

¿Qué datos se dan?

DatosTotal: 90 kgVarilla: ¼ del tipo¿De qué variable estamos hablando?Variables cuantitativasRepresentación grafica del problema

Hombre

Pesa 90 kg

Varilla

Respuesta del problemaLa varilla pesa 10 kg

Tema 2:

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PROBLEMAS SOBRE RELACIONES FAMILIARES

Definición

Relación referido a nexos de parentesco entre los diferentes componentes de la familia.

¿Qué se plantea en el problema?

Relación entre María y el señor del retrato.

¿Qué personajes figuran en el problema?

María, madre, señor, esposo y suegra.

¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes?

Suegra-yerno

Madre-Hija

Completa las relaciones en la representación. La de Suegra-Yerno ya está indicada.

¿Qué se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato? ¿Qué tienen en común?

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Ejercicio 1. María muestra el retrato de un señor dice:

“La madre de ese señor es la suegra de mi esposo.”

¿Qué parentesco existe entre María y el señor del retrato?




Comparten la misma madre por lo tanto son ‘’hermanos’’.

¿Qué relación existe entre ambas personas?

La relación de ‘’hermanos. ’’

Respuesta del problema:

El señor del retrato es hermano de María.

¿Qué hicimos en este ejercicio?

Establecimos relaciones familiares entre un parentesco desconocido.

¿Qué tipo de estrategia utilizamos?

Relación familiar

Ejercicios

1)¿Qué se plantea en el problema?

La búsqueda del parentesco entre la dama y el joven.

2)¿A qué personajes se refiere en el problema?

Dama – joven – hija – madre de la dama.

3)¿Qué afirma la dama?

Que la madre de ese joven es la hija única de mi madre.

4)¿Qué significa ser hija única?

No tener hermanos.

5)Representación

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Práctica 1: Un joven llego de visita a la casa de una dama, un vecino de la dama le preguntó quién era el visitante y ella le contestó:

¨La madre de ese joven es la hija única de mi madre¨

¿Qué relación existe entre la dama y el joven?




6)Respuesta

Son madre e hijo

Ejemplo:

*Luis dice: “Hoy visite a la suegra dela mujer de mi hermano” ¿A quien visito Luis?

¿Qué se plantea en el problema?

A quien visita Luis

Pregunta

¿A quien visita Luis?

Respuesta: es madre de Luis

1).¿Qué se plantea en el problema?

El parentesco del padre del sobrino y el tío de Antonio.

2). Pregunta: ¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?

3). Representación:

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Madre

Dama Joven

Antonio dice: “El padre del sobrino de mi tío es mi padre”

¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?

Relación Desconocida




4). Respuesta:

El padre del sobrino y el tío de Antonio son hermanos.

1) ¿Que se plantea en el Problema?El parentesco del padre del sobrino y el tío de Antonio

2) Pregunta ¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Juan?

3) Representación Grafica

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Sobrino: Antonio

Mi TíoPadre

Mi Padre

Juan Dice: “El padre del sobrino de mi tío es mi padre”




Relación Desconocida

Sobrino Juan Mi tío Padre

4) RespuestaEl padre del sobrino el tío de Juan son hermanos

3.- Conclusión

Estos problemas nos llevan a identificar que existen dos alternativas parte – todo y familiares ya que plantea operaciones de relación estratégica de solución para resolver estos problemas seguimos los seis pasos que garantiza un procedimiento seguro y preciso, esta estrategia es muy útil ya que de esta manera la solución es clara y precisa.

La relación establece el parentesco entre miembros de una familia, que debemos descifrar a cual corresponde

Una buena estrategia considero es la grafica mental del problema, y también escrita, la cual nos permite encontrar la solución correcta.

LECCIÓN 4

PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN

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Representación en una dimensión.-

La estrategia utilizada se denomina “REPRESENTACIÓN EN UNA DIMENSIÓN” y como se observa permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto.

Estrategia de postergación.-

Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parecen incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complemente la información y nos permita procesarlo.

Casos especiales de la representación en una dimensión.-

Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede hacer parecer confuso a un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a la redacción del mismo. En este caso es necesario prestar atención a la variable, los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el enunciado.

Variable: Distancia

Pregunta: ¿Quién vive más lejos y quien más cerca?

Representación:

Martha

EJEMPLO

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Ejercicio 1. En el trayecto que recorren, Martha, Juan, Paola y Luis al trabajo, Martha camina más que Juan. Paola camina más que Luis, pero menos que Juan. ¿Quién vive más lejos y quien más cerca?

Juan

Paola

Luis




Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está menos triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos triste?

VARIABLE: estado de ánimo.

REPRESENTACIÓN:

Menos Más

Triste. Triste.

RESPUESTA: Tomás.

Ejercicios

Variable

Cantidad de dinero.

Pregunta.

¿Quién gasto más y quién gastó menos?

Representación

Gasto + Gasto -

Rafaela Juana Carlota María

Respuesta

Quién gastó más = Rafaela Quién gastó menos = María

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Tomás Alfredo Alberto Roberto

Práctica 1: Juana, Rafaela, Carlota y María fueron de compras al mercado. Carlota gasto menos que Rafaela, pero más que María. Juana gastó más que Carlota pero menos que Rafaela. ¿Quién gastó más y quién gasto menos?




Tema 2:

ESTRATEGIA DE POSTERGACIÓN

Definición

Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complete la información y nos permita procesarlos.

Ejercicios

Variable

Idioma

Representación

+ Difícil - Difícil

Ruso Alemán Francés Italiano

Respuesta

El idioma menos difícil es =Italiano

El idioma más difícil es =Ruso

Tema 3:

CASOS ESPECIALES DE LA REPRESENTACIÓN EN UNA DIMENCIÓN

Definición

Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede hacer parecer confuso un problema debido al uso de ciertos vocablos. EN este caso se presta atención a la variable, a los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el enunciado.

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Práctica 1: Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más difícil que el alemán. Piensa además que el italiano es más fácil que el francés y que el alemán es más difícil que el francés. ¿Cuál es el idioma que es menos difícil para Mercedes y cuál considera el más difícil?




Ejercicios

Variable

Edad

Pregunta

¿Quién es el más joven y quién es el más viejo?

Representación

+ Joven + Viejo

Alberto Francisco Juan Pedro Raúl

-5 meses -6 años -2 años o +3años

Respuesta

El más joven es = Alberto

El más viejo es = Raúl

EJEMPLO:

1. Pedro y Ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para golear. La destreza como goleador de García puede deducirse del número acumulativo de goles que lleva durante el año, el cuál es inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo como Pedro que duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo Ramiro. ¿Quién tiene el peor desempeño como goleador? ¿Quién le sigue en tan pobre actuación?

¿A qué variable se refiere el problema?

Habilidad para golear.

Categoría como mejor goleador.

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Práctica 1: Juan nació 2 años después de Pedro. Raúl es 3 años mayor que Juan. Francisco es 6 años menor que Raúl. Alberto nació 5 meses después que Francisco. ¿Quién es el más joven y quién es el más viejo?




¿Qué se dice acerca de la variable?

Que pueden deducirse del número total de goles acumulados durante el año.

¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado?

Primero establece la variable como la “habilidad goleadora”; luego da como variable “número de goles” y nos lleva a inferir que a mayor número de goles se tiene una mayor habilidad goleadora; también, afirma que García supera a su compañero de equipo Ramiro, también forzándonos a inferir que es en la habilidad goleadora; por último, nos lleva a inferir que una pobre actuación está asociada a una mala habilidad goleadora. Todas estas son complicaciones que nos obligan a tener especial atención a la variable, a los signos de puntuación y al uso de las palabras en el enunciado.

¿Qué debemos hacer ahora que tenemos todo esto claro?

Representación:

Suárez Ramiro García Pedro

Respuesta:

Suárez tiene el peor desempeño como goleador y le sigue Ramiro en tan pobre actuación.

3.- Conclusión

Este tipo de problemas podemos identificar que es necesario presentar atención especial a los enunciados que presenta, ya que en estos puede estar implícita la respuesta a su solución.

Pude comprender que al representarlos en una dimensión nos facilita la solución y análisis que se requiere para asimilarlos.

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