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República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda

Vicerrectorado Académico Facultad de Ciencias Administrativas

Administración Mención Gerencia y Mercadeo

UNIDAD I

FUNDAMENTOS BÁSICOS

Ing. Ronny Altuve

Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015

Universidad Alonso de Ojeda Vicerrectorado Académico

Facultad de Ciencias Administrativas Unidad Curricular: Matemática I

Conjuntos Numéricos

a) Los Números Naturales (N): Con los números naturales contamos los elementos

de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un

elemento en un conjunto (ordinal). El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Observaciones: La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el

minuendo es mayor que sustraendo.

7 − 1 = 6 є N

3 − 5 = - 2 N

El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la

división es exacta.

6 : 2 = 3 є N

2 : 6 N

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por

varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es

exacta.

b) Los números enteros (Z): Los números enteros son del tipo:

Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Observaciones:

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.

http://www.ditutor.com/n/a_1.html

http://www.vitutor.net/1/a_c.html

http://www.vitutor.net/1/a_0.html



El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la

división es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.

La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es

exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.

c) Los Números Racionales (Q): Se llama número racional a todo número que puede

representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Observaciones:

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números

racionales; pero los números decimales ilimitados no.

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es otro número

racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es

exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.



d) Los Números Irracionales (I): Un número es irracional si posee infinitas cifras

decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número

irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la

circunferencia y su diámetro.

π= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula

de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

e) Los Números Reales (R): El conjunto formado por los números racionales e

irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice

par y radicando negativo y la división por cero.



Operaciones Básicas con Fracciones

Número mixto

Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el

numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del

número mixto.

𝑎𝑏

𝑐=

𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏

𝑐

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de

medios.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 𝑠𝑖 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐

Reducción de fracciones a común denominador

1) Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los

denominadores.

2) Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores,

multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

Suma y resta de fracciones

1) Con el mismo denominador: Se suman o se restan los numeradores y se mantiene

el denominador.

𝑎

𝑏+

𝑐

b=

𝑎 + 𝑐

𝑏 ó

𝑎

𝑏−

𝑐

𝑏=

𝑎 − 𝑐

𝑏

2) Con distinto denominador: En primer lugar se reducen los denominadores a

común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes

obtenidas.

𝑎

𝑏+

𝑐

d=

𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐

𝑏 ∙ 𝑑 ó

𝑎

𝑏−

𝑐

d=

𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐

𝑏 ∙ 𝑑

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:

a) Por numerador el producto de los numeradores



b) Por denominador el producto de los denominadores

𝑎

𝑏∙

𝑐

d=

𝑎 ∙ 𝑐

𝑏 ∙ 𝑑

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:

a) Por numerador el producto de los extremos

b) Por denominador el producto de los medios

𝑎

𝑏:

𝑐

d=

𝑎 ∙ 𝑑

𝑏 ∙ 𝑐

POTENCIACIÓN

Potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como

factor dos o más veces.

La primera potencia de una expresión es la misma expresión. Así (2𝑎)1 = 2𝑎.

La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor dos

veces. Así, (2𝑎)2 = 2𝑎 ∙ 2𝑎 = 4𝑎2.

El cubo de una expresión es el resultado de tomarla como factor tres veces.

Así, (2𝑎)3 = 2𝑎 ∙ 2𝑎 ∙ 2𝑎 = 8𝑎3

Signo de las Potencias

Cualquier potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva, porque equivale a un

producto en que todos los factores son positivos. En cuanto a las potencias de una cantidad

negativa, se debe tomar en cuenta que:

1) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva.

2) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.

Operaciones con Potencias

Producto de potencias con igual base

El producto de potencias con igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y cuyo

exponente es la suma de los exponentes de los factores.

𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛



División de potencias con igual base

El cociente de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y

cuyo exponente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y el divisor.

𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

Potencia de una Potencia

La potencia de una potencia de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y

cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛

Potencia de un Producto

La potencia de un producto es el producto de las potencias.

(𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = (𝑎)𝑛 ∙ (𝑏)𝑛

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.

(𝑎: 𝑏)𝑛 = (𝑎)𝑛: (𝑏)𝑛

Exponente Cero

Todo número diferente de cero que sea elevado a la cero es igual a 1.

(𝑎)0 = 1

Exponente Uno

Todo número que sea elevado a la 1 es igual a sí mismo.

(𝑎)1 = 𝑎

Cuadrado de un Binomio

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Cubo de un Binomio

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3



FACTORIZACIÓN

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces, se deben seguir los siguientes pasos, cuando

sean posibles:

1) Factor común de un polinomio: Extraer factor común a un polinomio, consiste en

aplicar la propiedad distributiva.

𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

2) Igualdad notable

a. Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a suma por

diferencia.

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏)

b. Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un

binomio al cuadrado.

𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 ± 𝑏)2

c. Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el trinomio de

segundo grado𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las

soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2)

Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Se utiliza el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Procedimiento:

Se define como valor numérico de p(x) para x = a al valor que resulta de sustituir x por

el valor a y realizar las operaciones indicadas. Se representa por p(a).

Cuando p(a) = 0 se dice que el valor a, que se ha sustituido, es una raíz del polinomio.

Teorema del resto: cuando se divide un polinomio p(x) por (x –a), el resto que se

obtiene en dicha división coincide con p(a), valor numérico del polinomio para x = a.



Polinomios

Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes,

vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios.

Operaciones Básicas con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3. Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto

de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2



Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo

polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se

multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los

lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del

polinomio dividendo:



Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el

resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8



10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede

continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para

hacer la división, llamado regla de Ruffini.

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4 −3x2 +2) : (x −3)

1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con

ceros.

2. Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4. Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5. Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.



6. Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8. El último número obtenido, 56, es el resto.

9. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos

coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

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