Matemática II Stephanie Perdomo

Contenido Unidad 1

1- INTEGRAL DEFINIDA:

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor

que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por

separado. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la

integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Teorema del Valor Medio para Integrales

Dada una función "f" continúa en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.

Teorema Fundamental del Calculo

A grandes rasgos, el Teorema fundamental del Cálculo establece que el Diferencial y la Integral son inversos, el uno del otro.

Información sobre teorema fundamental del calculo

Sustitución y cambio de Variable

No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los teoremas de la integración. Existen expresiones (funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su antiderivada.

Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos.

2- INTEGRALES DE FUNCIONES TRANSCENDENTALES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Aplicación de Integrales en Funciones Logaritmo Natural

Integrales que generan logaritmos naturales

Propiedades y Graficas

Propiedades del Logaritmo

a. ln(ax)=ln a + ln ê x êb. ln ê a/x ê =ln a - ln ê x êc. ln ê xn ê =n ln ê x êd. ln e =1

En estas propiedades, tanto a como x son positivas, ya que el dominio de la función son todos los números positivos.

Una característica muy notable en la gráfica, es que el ln x< 0 si 0< x< 1, ln x=0 si x=1, también lnx>0 si x > 1, para valores de x menores o iguales a cero, no está definida la función. Su contradominio está definido en todo los reales.

2.1-Derivadas e Integrales Relacionadas con la Función Logaritmo Natural

En este tema encontrarás ejemplos de derivadas e integrales relacionadas con la función logaritmo natural.

Es aquí donde las propiedades de esta función nos ayudan a simplificar los cálculos, es decir, se pueden transformar en expresiones más sencillas en particular para aplicar derivadas a expresiones complejas y para simplificar resultados de las soluciones de integrales. Esas propiedades ya son conocidas por el estudiante de este nivel y aquí procederá a aplicarlas y ver su utilidad.

2.2-La función exponencial. Definición

Se define como la inversa de la función logaritmo natural. Se puede expresar así:

exp.(x) = y sí y solo sí x = ln y ó e x = y sí y solo sí x = ln y. De aquí se deduce que e ln x = x ó ax = exln a

Propiedades

Las propiedades de esta función son las mismas que las de la potenciación:

a) ea eb = e a+b, b) ea / eb = ea-b, c) (ea)b = ea b. Si y = et, entonces y, = et dt

La ∫ etdt = et + C

2.3 - Función Exponencial en Base "a"Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver t36), por cuanto se cumple que:

2.4-Función Logarítmo con Base "a"

Definición.

Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,

denotada por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a.

3- Integrales en Funciones Trigonométricas y sus Inversas

Muchas veces requerimos expresar el argumento de una función trigonométrica como resultado de un problema, para ello lo hacemos mediante la función inversa.

Recordemos que una función tiene inversa si al trazar una recta horizontal sobre ella, la corta una y sólo una vez, de lo contrario no tiene dicha inversa, a menos que se restrinja su dominio. Si recordamos la gráfica del seno, una recta horizontal la cortaría en más de un punto, pero si restringimos su dominio, logramos que la corte en un solo punto.

.- ∫ dx

a2+x2 = 1/a arctan x/a + C, con a 0

.- ∫ dx

x √x2−a2 = 1/a arcsec x/a +C, con a > 0

4-Funciones Hiperbólicas y sus Inversas: Dominio, Rango y Gráficas

Definición Existen muchas gráficas que no las podemos modelar mediante funciones trigonométricas o curvas de segundo grado debido a que no se ajustan a ninguna de ellas. Una combinación de la función exponencial, nos representa más esas curvas.

A esta combinación de gráficas de la función exponencial, se le llama funciones hiperbólicas y tienen ciertas similitudes con las funciones trigonométricas por lo que reciben el nombre de seno hiperbólico (senhx), coseno hiperbólico (coshx), tangente hiperbólica (tanghx), secante hiperbólica (sechx) y cosecante hiperbólica (cosechx).

5-Integrales que Incluyen Potencias de las Funciones Trigonométricas

Por lo general las integrales de funciones trigonométricas con exponente 1 ó 2, se resuelven en forma directa o mediante la aplicación de las respectivas identidades.

Cuando se tienen exponentes mayores a los citados, se han desarrollado técnicas que permiten convertir estas integrales, en otras más sencillas. A continuación se desarrollan esas técnicas, según sea el caso que se presente. También se estudia el caso en el cual el integrando contiene funciones trigonométricas con diferentes argumentos.

a. Integración de Potencias del Seno y Coseno.

Integración de Potencias de las Funciones: Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

Integrales con diferentes argumentos.

Integración de Potencias del Seno y Coseno:

1er caso: ∫ senm x cosnxdxdonde al menos “m” y/o “n” es impar: en este caso se hace que el

exponente impar sea par, para poder expresar la función resultante, mediante identidades trigonométricas, en una función que contenga la derivada de la función original. En este caso la identidad que se aplica es sen2 x + cos2 x =1.

Ejemplo:

∫ sen2x . sen x .dxluego sustituimos por:

∫ (1−cos2x ). sen x .dx=∫sen x .dx−∫cos2 x . sen x .dx

2do Caso: ∫ senm x .cosn x dx, donde “m” y “n” son pares y positivos.

En este caso se utilizan las identidades trigonométricas:

Sen2 nx =

1−cos2nx2 y cos2 nx =

1+cos2nx2 donde “n” es un entero.

Las funciones trigonométricas se expresan en una potencia que sea múltiplo de 2.

Integración de Potencias de las Funciones Tangentes, Cotangente, Secante y Cosecante.

Para resolver este tipo de integrales se requieren además de las respectivas fórmulas de integrales, algunas identidades trigonométricas de dichas funciones. Estas identidades son:

1 + tan2 x = sec2 x; 1 + cot2 x = csc2 x.

1er caso: ∫ tannx dx o ∫cotn x dx, donde “n” es un entero mayor que cero.

Para resolver este tipo de integral, se convierte

tann x = tann-2 x tan2 x = tann-2 x (sec2 x – 1)

cotn x = cotn-2 x cot2 x = cotn-2 x (csc2 x – 1).

2do caso: ∫ secnx dx ó ∫cscnx dx

, con “n” positivo entero y par, podemos escribirla como: secn

x = secn-2 x sec2 x = (tan2 x + 1)(n-2)/2. sec2 x.

cscn x = cscn-2 x csc2x = (cot2 x +1)(n-2)/2 csc2 x.

Integrales de Funciones Trigonométricas con Diferente Argumento

Para resolver este tipo de integral, se requiere el uso de las siguientes identidades trigonométricas:

sen mx sen nx = 1/2 cos (m - n) x – 1/2 cos (m + n) x

cos mx cos nx = 1/2 cos (m - n) x + 1/2 cos (m + n) x

sen mx cos nx = 1/2 sen (m - n) x + 1/2 sen (m + n) x

Ejemplo III-6:

a) Resolver: =∫ sen 3x cos 5x dx=∫ [ 1/2 sen(3−5 ) x+1/2 (sen 3+5 ) x ] dx

∫ [1/2 sen(−2x )+1/2 sen 8x ] dx=−1/2∫ sen 2x dx+1/2∫ sen 8x dx recordemos que la

función seno es impar por lo tanto sen(-x) = - sen x

= 1/4 cos2x –1/16 cos 8x + C