Unidad I. Lógica. Proposiciones.

Para empezar, consideremos las proposiciones en la lengua castellana. Según el diccionario El Pequeño Larousse Ilustrado 2009, una proposición se define como:

“Acción o efecto de proponer.”

“Conjunto de palabras con las que se propone algo”.

“En Lógica: enunciado (expresión oral o escrita) susceptible de ser verdadero o falso”.

Según Armando Rojo, 1992:

Proposición es toda oración respecto de la cual se puede decirse si es verdadera o falsa.

La proposición es una oración declarativa y toda proposición está asociada a un valor de verdad, verdadero (V) o bien falso (F). La palabra proposición tiene como sinónimos las palabras: oración, frase, idea, enunciado entre otras.

Según Manuel Seco (de la Real Academia Española):

La oración es una unidad de comunicación mínima, es la forma más pequeña de mensaje.

Sabemos que con una oración se expone una “tesis” sobre un ”tema”; pero, normalmente, el comunicarnos con otras personas no consiste en decir una sola cosa de un determinado ”tema”, sino en manifestar diversas cosas de este o de varios otros. Con ello,

nuestra comunicación, en cada caso, no estará hecha de una sola oración, sino de varias, enunciadas en cadena.

Cada proposición tiene una forma lógica a la que se le dará un nombre. En primer lugar, se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones; unas se denominan proposiciones atómicas y otras proposiciones moleculares.

Las proposiciones atómicas son proposiciones completas sin términos de enlaces.

Por su parte, las proposiciones moleculares son proposiciones completas con términos de enlaces.

Nota: Los tipos de enlaces gramaticales en la lengua castellana conocidos son: y, o, no, si, pero, sino, así, como, tanto ....como, luego, conque, así que, pues, que, ya que, puesto que, porque, si...,entonces.

En Lógica los términos se enlaces son: y, o, no, si..., entonces.

Vamos a ver si entendieron lo anterior, ¡Vamos con los ejercicios!

EJERCICIO 1

1. Señale cada proposición atómica con una A y cada proposición molecular con una M. Escribir junto a cada expresión molecular el término de enlace utilizado.

a) La comida será hoy a las tres en punto.

b) El gran oso negro andaba perezosamente por el camino de abajo.

c) La música es suave o la puerta está cerrada.

d) A este perro grande le gusta cazar gatos.

e) El pregunta por su pipa y pregunta por su escudilla.

f ) Luis es un buen jugador o es muy afortunado.

g) Si Luis es un buen jugador, entonces participará en el partido del colegio.

h) Muchos estudiantes estudian Lógica en el primer año de carrera.

i) puedes encontrar a Juana en casa de Susana.

j) A las focas no les crece el pelo.

k) Si María canta, entonces es feliz.

l) Los alumnos mayores no están en la lista antes que los jóvenes.

m) La asignatura preferida de Jaime es la Matemática.

n) Esta proposición es atómica o molecular.

ñ) Si x = 0 entonces x + y = 1

o) x + y > 2.

p) x = 1 o x + y = 2.

q) y = 2 y z = 10.

2. Decir cuáles son los términos de enlace en las proposiciones siguientes. Decir cuántas proposiciones atómicas se encuentran en cada proposición molecular. Recuerde que << Si ...., entonces >> es un solo término de enlace.

a) Este no es mi día feliz.

b) Ha llegado el invierno y los días son más cortos.

c) Muchos gérmenes no son bacterias.

d) Los anfibios se encuentran en el agua fresca o se encuentran en la tierra cerca de sitios humedos.

e) Si hay fallas en las grandes masas rocosas, entonces es posible que ocurran terremotos.

f ) El número es mayor que dos o igual a dos.

g) Si un número es positivo entonces es mayor que cero.

h) Este chico es mi hermano y yo soy su hermana.

i) Mi puntuación es alta o recibiré una calificación baja.

j) Si usted se da prisa entonces llegará a tiempo.

k) Si x > 0 entonces y = 2.

l) Si x + y = 2 entonces z > 0.

m) Si x = 1 o z = 2 entonces y > 1.

n) Si z > 10 entonces x + y > 10y y + z > 10

ñ) x + y = y + x

3. Formar cuatro proposiciones moleculares utilizando dos de las proposiciones escritas a continuación. Utilice los términos (y, o, no , si...., entonces) de enlace una sola vez.

a) El viento sopla muy fuerte.

b) Pablo podría ganar muy fácilmente.

c) La lluvia puede ser la causa de que abandones la carrera.

d) Veremos qué planes hay para mañana.

e) Todavía tendríamos tiempo de llagar a las siete.

f ) El amigo de Juan tiene razón.

g) estábamos confundidos respecto a la hora de la Junta.

¿Ya hicieron los ejercicios? ¿No? ¿Sí? Recuerden que es parte de su aprendizaje… ¡Continuemos!

Notaciones y conectivos

Operaciones proposicionales

Dadas una o dos proposiciones, cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad.

NegaciónLa negación de la proposición p es la proposición ∼ p cuya tabla de valores de verdad es

p ∼ p

V

F

F

V

Conjunción

La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición p ^ q (p y q) cuya tabla de valores de verdad es

p p p ∧ q

V V VV F FF V FF F F

La conjunción sólo es verdadera si son verdaderas las proposiciones componentes. En otro caso es falsa.

Disyunción (incluyente)

La disyunción incluyente de las proposiciones p y q es la proposición p ∨q (p o q) cuya tabla de valores de verdad es

p p p ∨ q

V V VV F FF V VF F F

La disyunción o es utilizada en el sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea V.

Disyunción (excluyente)

La disyunción excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p ⊻ q (p o q) cuya tabla de valores de verdad es

p p p ⊻ q

V V FV F VF V VF F F

La disyunción o es utilizada en el sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea V, pero no ambas.

Implicación o condicional

La implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ⟹ q (p o q) cuya tabla de valores de verdad es

p p p ⟹ q

V V VV F FF V VF F F

La implicación tiene como equivalencia lógica

p ⟹ q ≡ ∼p ∨ q

Implicaciones asociadas

Sea el condicional p⟹q, que llamaremos directo; en conexión con ´el, se presentan otros tres, obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedente y consecuente.

Doble implicación o bicondicional

La doble implicación o bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p ⟺ q (p o q) cuya tabla de valores de verdad es

p p p ⟺ q

V V VV F FF V FF F V

La doble implicación tiene como equivalencia lógica

p ⟺q≡ p ⇒ q ^ q ⇒ p

p ⇒ q directo

q ⇒ p reciproco ∼ p ⇒∼ q contrario ∼ q ⇒∼ p

contrarrecíproco

La doble implicación o bicondicional es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Es decir, p ⟺ q es V y q ⟺ p es V.

Si p ⟺q es V, entonces p ⇒ q es V y q ⇒ p es V.

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del algebra de proposiciones son las siguientes:

1. EQUIVALENCIA : P ≡ P

2. INDEPOTENCIA :

P∧P ≡ PP ∨ P ≡ P

3. ASOCIATIVA:

(P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

(P ∧ Q) ∧ R ≡ P∧(Q ∧ R)

*NOTA: Acá, los conectivos, los operadores que unen a las proposiciones (letras) son iguales. Si en tal caso, fuesen distintos, es decir, afuera hay un conectivo “O” (∨) y afuera un conectivo “y” (∧), la ley a aplicar es la ley distributiva … que está más abajo.

4. CONMUTATIVA:

-P∧Q ≡ Q∧P

-P ∨ Q ≡ Q ∨ P5. DISTRIBUTIVAS:

-P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P∧Q) ∨ (P∧R)

- P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

Aquí la distribución se hace de la siguiente forma: Letra (proposición exterior (letra de afuera), conectivo exterior (de afuera), proposición interior (letra dentro del paréntesis)

6. IDENTIDAD :

P ∧ F ≡ FP ∧ V ≡ P

P ∨ F ≡ P

P ∨ V ≡ V

7. COMPLEMENTO

P ∧ ¬P ≡ FP ∨ ¬P ≡ V¬ (¬P) ≡ P¬ F ≡ V¬ V ≡ F

*NOTA: El conectivo ¬ es también conocido como negación. Así que es válido en este tema.

8. DE MORGAN

¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q

¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q

9. ABSORCION

P∧(P∨Q)⇔PP∨(P∧Q)⇔P