unidad 1 - lógica proposicional
TRANSCRIPT
LÓGICA PROPOSICIONAL
QUE ES LA LÓGICA?
El sentido ordinario de la palabra “lógica”se refiere a lo que es congruente,ordenado, bien estructurado.
Lo ilógico es lo mismo que incongruente,desordenado, incoherente. Esto se aplicatanto a las personas como a las situacionesy a los pensamientos.
QUE ES LA LÓGICA?
La palabra lógica nos indica ya en su origen etimológico(logos = conocimiento, sabiduría) el sentido básico deesta ciencia, que se eleva hasta el espíritu y elpensamiento, la razón y la inteligencia.
De esta manera definimos nominalmente la lógicacomo: La ciencia del pensamiento y la razón.
PARA QUE SIRVE LA
LÓGICA?
La lógica estudia la forma del razonamiento, es unadisciplina que por medio de reglas y técnicasdetermina si un argumento es válido. La lógica esampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas,computación, física. En la filosofía para determinar siun razonamiento es válido o no, ya que una frasepuede tener diferentes interpretaciones, sin embargola lógica permite saber el significado correcto. En lasmatemáticas para demostrar teoremas e inferirresultados que puedan ser aplicados eninvestigaciones. En la computación para revisión ycreación de programas (software).
PARA QUE SIRVE LA
LÓGICA?
En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya quecualquier trabajo que se realiza tiene unprocedimiento lógico, por el ejemplo; para ir decompras al supermercado una ama de casa tiene querealizar cierto procedimiento lógico que permitarealizar dicha tarea. Si una persona desea pintar unapared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, yaque no puede pintar si antes no prepara la pintura, ono debe pintar la parte baja de la pared si antes nopintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tienepintado.
PARA QUE SIRVE LA
LÓGICA?
La lógica es pues muy importante; ya quepermite resolver incluso problemas a los quenunca se ha enfrentado el ser humanoutilizando solamente su inteligencia yapoyándose de algunos conocimientosacumulados, se pueden obtener nuevosinventos, innovaciones a los ya existentes osimplemente utilización de los mismos.
LÓGICA PROPOSICIONAL
La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudiala formación de proposiciones complejas a partir deproposiciones simples, es la más antigua y simple de lasformas de lógica. Utilizando una representación primitivadel lenguaje, permite representar y manipular asercionessobre el mundo que nos rodea. También recibe el nombrede Cálculo Proposicional.
La lógica proposicional permite el razonamiento, a través deun mecanismo que primero evalúa sentencias simples yluego sentencias complejas, formadas mediante el uso deconectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR).Este mecanismo determina la veracidad de una sentenciacompleja, analizando los valores de veracidad asignados alas sentencias simples que la conforman.
PROPOSICIONES
Una proposición es una afirmación que comunica una idea verdadera o falsa.
Ejemplos:
Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones:
El murciélago es un animal mamífero.
Es una proposición porque se puede afirmar si el murciélago es o no es un animal mamífero.
¿Cuál es tu nombre?
No es una proposición ya que no se puede afirmar si la pregunta es verdadera o falsa.
PROPOSICIONES
Una proposición es una afirmación que comunica una idea verdadera o falsa.
Ejemplos: (continuación…)
Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones:
Hola!
No es una proposición, es una exclamación que indica saludo, por lo tanto, no se puede determinar su valor de verdad.
Colombia
No es una proposición, es un nombre y no tiene valor de verdad.
PROPOSICIONES
CONSIDERACIONES:
Las preguntas, ordenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones porque no se puede afirmar que son verdaderas o falsas.
Para nombrar proposiciones, habitualmente, se utilizan letras minúsculas. Las más empleadas son p, q, r, s y t, aunque no son las únicas.
Cuando se establece si una proposición es verdadera o falsa se está determinando su valor de verdad.
PROPOSICIONES
Ejemplos:
Escribir la expresión como una proposición. Luego, determinar su valor de verdad:
1. Michael Phelps fue el campeón de natación en los Juegos Olímpicos de Beijíng 2008.
Para escribir la expresión como una proposición, se le asigna una letra que la represente:r: Michael Phelps fu el campeón de natación en los Juegos Olímpicos de Beijing 2008. (Utilizamos en este caso la letra “r”)
El valor de verdad es decir si la proposición es verdadera o falsa:Es una proposición verdadera ya que, en efecto, Phelps fue quien ganó más medallas en este deporte.
PROPOSICIONES
Ejemplos:
Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
q: España es el campeón mundial de fútbol del año 2010.
Esta proposición es verdadera, pues España ganó la final de fútbol en el año 2010.
t: Junio es el quinto mes del año.
La proposición es falsa. Al enumerar los meses se puede apreciar que junio es el sexto mes del año y no el quinto.
r: 2 elevado a la 3 es 8.
23= 8, la proposición es verdadera porque 2 X 2 X 2 = 8.
PROPOSICIONES
SIMPLES.
Una proposición simple es una afirmación conformada por una sola oración gramatical.
Ejemplo:
Es una proposición simple, puesto que está conformada por una sola oración.
La proposición, q: Cinco es un número impar y también es un número primo.
No es una proposición simple porque está formada por dos oraciones.
La proposición, r: Un triángulo equilátero es aquel cuyos lados tienen la misma medida
NEGACIÓN DE
PROPOSICIONES SIMPLES.
Para negar una proposición simple se le antepone laexpresión “no es verdad que” o se le incluye un “no”para que cambie su significado a exactamente locontrario.
El símbolo que indica la negación de una proposiciónes “”, se usa así: p, y se lee «no p».
Ejemplo:
q: Bogotá está 2600 metros más cerca de las estrellas
Se niega la proposición q como q y se lee «no q» es decir, “no es verdad que Bogotá está 2.600 metros más cerca de las estrellas”, o, Bogotá no está 2.600 metros más cerca de las estrellas
Cuando se niega una proposición simple se cambia su valor de verdad. Es decir, algo que era verdadero se vuelve falso y algo quo era falso se convierte en verdadero.
PROPOSICIONES
COMPUESTAS
Una proposición compuesta es una afirmación conformadapor dos o más proposiciones simples que se conectanusando las palabras “y”, “o”, “si... entonces”, “si y solo si”.
Es importante tener en cuenta que en una proposicióncompuesta se combinan las ideas de las proposicionessimples que la forman para dar origen a una nueva ideamás elaborada.
Ejemplo: Así que si se tienen dos proposiciones simples como:p: Simón es un hombre trabajador. q: Es una persona amigable.
Se puede generar una proposición compuesta que integre las dos ideas que diga: Simón es un hombre trabajador y es una persona amigable. La palabra que se emplea para conectar las dos proposiciones simples es “y”.
CONECTIVOS LÓGICOS
Los conectivos lógicos o conectores son palabras quevinculan las ideas expresadas en dos o másproposiciones simples, para comunicar algo máscomplejo. Los conectivos lógicos están identificadoscon un símbolo especial y un nombre que representanla función que cumplen.
CONECTIVOS LÓGICOS
Ejemplos:Escribir las siguientes proposiciones compuestas usando los símbolos lógicos:
Si la figura es un cuadrilátero entonces tiene cuatro lados.
Asignando p: La figura es un cuadriláteroq: Tiene cuatro lados
La representación sería:
p → q
Irás al paseo si y sólo si te portas bien en clase.
Asignando r: Irás al paseo s: Te portas bien en clase.
La representación sería:
r ↔ s
CONJUNCIÓN.
La conjunción es una operación lógica que usa el conectivo “y”para relacionar dos proposiciones simples y construir unaproposición compuesta.
Para simbolizar la conjunción de dos proposiciones ”r ” y ”s” seescribe «r ʌ s» y se lee «r y s».
Cuando se establece la conjunción entre dos proposiciones p y q,se da a entender que tanto la idea que expresa p como la queexpresa q deben cumplirse (inclusión).
Ejemplo: si p, q son las proposiciones:p: Cinco es un número primo. q: Es impar.
Se escribe p ʌ q y se lee: Cinco es un número primo y es impar.
En la conjunción p ʌ q es importante tener en cuenta que la proposición compuesta es verdadera solo si p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa.
DISYUNCIÓN.
La disyunción de dos proposiciones simples se obtieneusando el conectivo lógico “o”.
Por ejemplo, si r y s son las proposiciones: r: Seis es un número mayor que cinco. s: Seis es un número menor que tres.
Se escribe r V s, y se lee: Seis es un número mayor que cinco o seis es un número menor que tres.
Es importante tener en cuenta que la proposición r V s es falsa, únicamente cuando las dos proposiciones r y s, son falsas.
IMPLICACIÓN.
La implicación de dos proposiciones simples se obtieneutilizando el conectivo lógico “si…entonces”. Laimplicación entre dos proposiciones simples t y k seescribe t → k y se lee si t entonces k.
Por ejemplo, si t y k son las proposiciones: t: Francisco estudia. k: Aprobará el año.
Se escribe t → k , y se lee: Si Francisco estudia entonces aprobará el año
Es importante tener en cuenta que entre dos proposición t y k es falsa, solo cuando t es verdadero y k es falsa.
EQUIVALENCIA.
La equivalencia entre dos proposiciones simples seestablece utilizando el conectivo lógico “si y solo sí”. Pararepresentar la equivalencia entre dos proposiciones m y vse escribe m ↔ v y se lee m si y solo si v.
Por ejemplo, si m y v son las proposiciones: m: Van de paseo por el eje cafetero. v: Ahorran todo el año.
Se escribe t ↔ k , y se lee: Van de paseo por el eje cafetero si y solo si ahorran todo el año.
La equivalencia entre dos proposiciones simples es verdadera cuando ambas son verdaderas o cuando ambas son falsas.
PARA FINALIZAR
Para identificar el valor de verdad de proposicionescompuestas, deben tener en cuenta las indicacionesdadas:
Negación: Cuando se niega una proposición simple se cambia su valor de verdad.
Conjunción entre p ʌ q es importante tener en cuenta que la proposición compuesta es verdadera solo si p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa.
Disyunción: Es importante tener en cuenta que la proposición r V s es falsa, únicamente cuando las dos proposiciones r y s, son falsas.
Implicación: Es importante tener en cuenta que entre dos proposición t y k es falsa, solo cuando t es verdadero y k es falsa.
Equivalencia entre dos proposiciones simples es verdadera cuando ambas son verdaderas o cuando ambas son falsas.
TAUTOLOGÍA
CONTRADICCIÓN Y
CONTINGENCIA
Dada la estructura lógica de una forma proposicional:
• Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGÍA.
• Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTRADICCIÓN.
• Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA.
