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Unidad de aprendizaje:Matemáti cas

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BACHILLERATO GENERAL POR COMPETENCIAS

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PROGRAMA DE UNIDAD DE APRENDIZAJE

I. Identi fi cación del curso

Nombre de la Unidad de Aprendizaje Matemáticas IMódulo IIFecha de elaboración Julio 2011Clave 201Horas de teoría 24 Horas de prácti ca 24Total de horas 48Tipo de curso PresencialConocimientos previos NingunoÁrea de formación Básica en campos de conocimiento en: Matemáticas.

II. Presentación

En el programa de BAM se integran los elementos de los acuerdos secretariales números 444 y 447 que conforman el Sistema Nacional del Bachillerato (SNB) con el propósito de establecer la correspondencia entre el Bachillerato General por Competencias y el Marco Curricular Común (MCC).

En esta unidad de aprendizaje, tiene similitud con el campo disciplinar de matemáticas del Marco Cu-rricular Común del Sistema Nacional de Bachillerato.

En la asignatura de Matemáticas I, se pretende que el educando organice y pueda comunicar sus ideas empleando un lenguaje matemático al razonar, conceptualizar y emitir juicios críticos utilizando herra-mientas matemáticas y también al poder resolver problemas de situaciones reales que le impliquen utilizar el procedimiento para analizar críticamente la realidad.

A la vez esto favorece a su perfi l de egreso ya que los rasgos de razonamiento lógico-matemático, crí-tico y científi co, entre otras son empleados en los ejercicios realizados.

III. Competencia genérica IV. Marco Curricular Común del Sistema Nacional Bachillerato

Pensamiento matemáti coEn el contexto del MCC del SNB esta unidad de aprendizaje contribuye al desarrollo de las siguientes competencias genéricas.1

Se expresa y comunica4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de me-

dios, códigos y herramientas apropiados.La competencia tiene los siguientes atributos:▪ Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráfi cas.

1 Secretaria de Educación Pública (2009). ACUERDO Número 444 por el que se establecen las competencias que constituyen el marco curricular común del Sistema Nacional del Bachillerato. Diario Ofi cial. Primera sección, Cap. II, art. 4

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Piensa críti ca y refl exivamente5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.La competencia tiene los siguientes atributos:▪ Sigue instrucciones y procedimientos de manera refl exiva, comprendiendo como cada uno de sus pa-

sos contribuye al alcance de un objetivo.▪ Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.▪ Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Aprende de forma autónoma7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Atributo de la competencia:▪ Defi ne metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.▪ Identifi ca las actividades que le resultan de menor y mayor interés y difi cultad, reconociendo y contro-

lando sus reacciones frente a retos y obstáculos.▪ Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Trabaja en forma colaborati vaAtributos de la competencia:

▪ Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera crítica.

V. Objeti vo generalEl alumno será capaz de asumir de forma habitual el uso de la matemática para resolver situaciones de su contexto inmediato, empleando elementos básicos de números y fi guras.

VI. Competencias específi cas▪ Organiza sus ideas a través del lenguaje de la matemática.▪ Comunica sus ideas a través del lenguaje de la matemática.▪ Razona, conceptualiza y emite juicios críticos utilizando las herramientas matemáticas. Resuelve problemas de los cuales sea necesaria la utilización de procedimientos para analizar crítica-

mente la realidad.

Correspondencia con las competencias disciplinares del Marco Curricular ComúnMatemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.3. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráfi cos, analíticos o va-

riacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

4. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

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VII. Atributos de la competenciaConocimientos (saberes teóricos y procedimentales)Matemáticas de los tres ejes temáticos:▪ Sentido numérico y pensamiento algebraico.▪ Forma, espacio y medida.▪ Organización y análisis de la información.

Habilidades (Saberes prácti cos)Plantea matemáticamente situaciones o problemas, diseña estrategias de resolución. Toma decisiones a partir de analizar diversas situaciones.

Acti tudes (Disposición)Explora, discrimina y organiza información de situaciones o problemas que interesan personal o comuni-tariamente, analiza y propone alternativas variables.

Valores (Saberes formati vos)Busca el bienestar y el éxito de sus compañeros como de él mismo, respeta las normas y critica los abusos o trasgresiones.

VIII. Desglose de módulos▪ Sistema decimal▪ Divisibilidad▪ Fracciones y reales▪ Conteo y probabilidad▪ Estadística▪ Lenguaje algebraico▪ Ecuaciones de primer grado

IX. Metodología de trabajoEl enfoque constructivista esta centrado en el alumno. A partir de la realización de las actividades del do-cente se promueve la estructuración de los aprendizajes, en donde se cuestionan los resultados obtenidos y se valora el desempeño de los educandos, todo esto con el propósito de estimularlos para que continúen trabajando a lo largo del desarrollo de al unidad de aprendizaje. Con ello todas las difi cultades que los alumnos encuentre, el docente propiciara una evaluación junto con otras herramientas, que le permitan ir generando la aplicación de los conocimientos adquiridos. Los alumnos deben tener previamente al desa-rrollo de la unidad de aprendizaje las actividades realizadas, con los argumentos que justifi quen cada uno de sus procedimientos, lo cual los obligara a refl exionar sobre su calidad de aprendizaje.

Los docentes por su parte, deben diseñar y utilizar diversos materiales didácticos como lo son impre-sos, audiovisuales, digitales, multimedia, etc. Con el propósito de estimular al estudiante en su aprendizaje, introducirlos a los temas, ordenas y organizar la información, captar la atención de los alumnos, que le sirvan para reforzar los conocimientos adquiridos.

Para el cierre de la unidad de aprendizaje, será necesario que el docente tome en cuenta la evaluación diagnóstico, formativa y sumativa, para con ello dar cuenta de los logros de las competencias adquiridas, así como la elaboración de rúbricas para los educandos, así como la utilización de la autoevaluación del alumno y la coevaluación de su desempeño entre sus compañeros.

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X. Perfi l académico del docente y su funciónPerfi l del Docente BGCI. Competencias técnico pedagógicas Se relacionan con su quehacer docente, abarcan varios procesos: planeación didáctica, diseño y eva-

luación de estrategias y actividades de aprendizaje, gestión de la información, uso de tecnologías de la información y la comunicación, orientados al desarrollo de competencias.

Competencias:▪ Planifi ca procesos de enseñanza y de aprendizaje para desarrollar competencias en los campos discipli-

nares de este nivel de estudios.▪ Diseña estrategias de aprendizaje y evaluación, orientadas al desarrollo de competencias con enfoque

constructivista-cognoscitivista.▪ Desarrolla criterios e indicadores de evaluación para competencias, por campo disciplinar.

Perfi l del Docente MCCSon las competencias que defi nen el perfi l docente del SNB:1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional.2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje signifi cativo.3. Planifi ca los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los

ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios.4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a

su contexto institucional.5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. ▪ Gestiona información para actualizar los recursos informativos de sus UA y, con ello, enriquecer el

desarrollo de las actividades, para lograr aprendizajes signifi cativos y actualizados.▪ Utiliza las TIC para diversifi car y fortalecer las estrategias de aprendizaje por competencias.▪ Desarrolla estrategias de comunicación, para propiciar el trabajo colaborativo en los procesos de apren-

dizaje.

El docente de educación media superior, además de las competencias antes señaladas, debe caracteri-zarse por su sentido de responsabilidad, ética y respeto hacia los adolescentes. Conoce la etapa de desarro-llo del bachiller, y aplica las estrategias idóneas para fortalecer sus aprendizajes e integración.

II. Experiencia en un campo disciplinar afí n a la unidad de aprendizajeMatemática1. Experiencia académica: en el desarrollo de estrategias de aprendizaje y evaluación, para el manejo de

contenidos de sentido numérico y pensamiento algebraico.2. Formación profesional: en ciencias afi nes a la unidad de aprendizaje, preferentemente en Matemáticas,

Física, Ingeniería, Economía, Estadística.6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes.8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional.

XII. AcreditaciónLas requeridas por la normatividad.

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“El resultado fi nal de las evaluaciones será expresado conforme a la escala de califi caciones decimal de 5 a 10, en números enteros, considerando como mínima aprobatoria la califi cación de 6”.

“Para que el alumno tenga derecho al registro del resultado fi nal de la evaluación en el módulo, requiere:1. Estar inscrito en el programa.2. No tener adeudos administrativos.3. Tener el 100% e asistencia a clases y las actividades registradas durante el desarrollo de la materia.

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INTRODUCCIÓN

Las matemáticas constituyen una línea de formación del individuo, que está presente a lo largo de todos los niveles educativos y con una estrecha vinculación entre grados sucesivos, los contenidos se presentan a partir de situaciones y actividades que tienen sentido para los estudiantes y les permite generar conjeturas, analizarlas con sus compañeros y poner en juego, de manera consciente, los conocimientos adquiridos con anterioridad.

Siendo esto muy complejo, aunque a medida que se desarrollan las habilidades, es más sencillo orientar a los alumnos y así podrán preguntar o sugerir los temas de los problemas que le sean más interesantes.

Contribuye ésta, además, a crear el marco teórico de la física y es una herramienta fundamental para el desarrollo de esta ciencia, así como de otras disciplinas científi cas y técnicas, como la química, la biología y, actualmente, la economía, asignaturas que se incluyen en el plan de estudios del Bachillerato. La enseñanza de las matemáticas en el nivel bachillerato tiene como propósitos importantes:▪ Desarrollar en los estudiantes nociones y conceptos que les sean útiles para comprender su entorno y

acceder a otras áreas del conocimiento y la actividad humana.▪ Proporcionar un conjunto de procedimientos y formas de pensamiento propias del razonamiento

lógico; en particular del inductivo-deductivo, indispensable en la comprensión y aplicación de los dife-rentes métodos y conceptos matemáticos.

▪ Que el estudiante adquiera habilidades de abstracción, de análisis y de síntesis, al igual que capacidades para desglosar y sistematizar ideas y métodos.

▪ Desarrollar la capacidad del estudiante para explorar y buscar soluciones a problemas, a través del do-minio del lenguaje de la matemática y de los modelos que esta disciplina desarrolla.

▪ Que el estudiante desarrolle aptitudes para comunicar y justifi car sus afi rmaciones.

Las actividades sugeridas que aparecen en cada Unidad son propuestas para que el profesor y su acade-mia elaboren secuencias de problemas y ejercicios a seguir en clase, bajo la dinámica de solución de pro-blemas, con las adaptaciones necesarias, según el número de alumnos, el tiempo disponible o la evaluación que haga el profesor en cuanto al avance de los estudiantes.

También se recomienda el uso de la calculadora por diversas razones: puede utilizarse como un recurso para la ejecución de cálculos en la resolución de problemas, permitiendo que el estudiante se centre en el método de solución y asimile mejor los conceptos y operaciones involucrados; además, puede proponerse como un medio de aprendizaje para practicar conocimientos, por ejemplo, la jerarquía de las operaciones y el uso de los paréntesis, notación exponencial, así como el de aproximación y redondeo.

Ningún método aislado resuelve el problema de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en su to-talidad. Las clases magistrales tienen su importancia, lo mismo que los ejercicios de mecanización y demás actividades por siempre realizadas.

Lo más importante es elegir el mejor método en el momento y con el tema adecuado. Los programas son una línea para el desarrollo de la enseñanza-aprendizaje, pero en cada salón de clase se tienen que resolver un sinnúmero de detalles sobre la didáctica, los contenidos y las formas que deberá tomar la eva-luación, la operación de los programas que tienen que ser planteadas en la Academia.

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BLOQUE I

1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES▪ Identifi car las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas

numéricos, posicionales y no posicionales.▪ Plantear y resolver problemas a partir de una situación de su vida cotidiana.▪ Operar con el sistema de numeración sexagesimal.▪ Comparar diferentes sistemas de numeración.▪ Reconocer que la base de los sistemas les da las características a estos.

INTENCIONES DIDÁCTICASQue los alumnos utilicen y amplíen sus conocimientos sobre la lectura, la escritura, el orden y la compa-ración de números naturales.

INTRODUCCIÓN

A lo largo de la historia de la Humanidad el ser humano ha necesitado contar, medir, pesar, intercambiar. Para ello tuvo que buscar y encontrar signos que le permitiesen realizar esas medidas e intercambios.

Cada pueblo compuso los suyos. Pero no bastaba sólo con disponer de un cierto número de signos. Era conveniente encontrar sistemas que permitiesen responder a las necesidades que surgían en lo rela-tivo a los intercambios, las medidas,... y posteriormente para ciertos estudios. Existen muchos sistemas de numeración. Aquí se va a intentar saber qué es un sistema y cómo funciona. Igualmente se intentarán descubrir ciertos sistemas originales de algunos pueblos y otros de suma importancia en la actualidad.

El sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, y es de origen hindú.

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

2 1 0347=3 100+4 10+7 1=3 10 4 10 7 10⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

Al escribir números de más de cuatro cifras, se agruparán estas de tres en tres, empezando por la derecha, y separando los grupos por espacios en blanco: 8 327 451 (y no por puntos o comas, como, de-pendiendo de las zonas, se hacía hasta ahora: 8.327.451; 8,327, 451). Los números de cuatro cifras se escriben sin espacios de separación:

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Módulo 2. Matemáticas 1

2458 (no 2 458). En ningún caso deben repartirse en líneas diferentes las cifras que componen un número: 8 327 / 451.

Los sistemas de numeración pueden clasifi carse en dos grandes grupos:

1.1. POSICIONALES Y NO POSICIONALES

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del sím-bolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cua-tro tienen nombres basados en numerales más pequeños.

Entre los sistemas de numeración posicionales de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b signifi ca que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que unidades forman una unidad de orden superior.

ACTIVIDAD PREVIAACTIVIDAD PREVIAAdemás de los números que actualmente utilizamos, ¿Qué otras formas utilizarías para expresar canti-

dades? Por ejemplo, una manera de representar el numero tres, coméntalo al grupo.

PIENSA… PIENSA… Menciona otras culturas que hayan escrito sus números de manera diferente a como actualmente los es-cribimos y ejemplifi ca como lo hacían.

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Bloque I. Sistema decimal

NUMERACIÓN EGIPCIA

La escritura egipcia tuvo su origen alrededor del año 3.000 antes de Cristo. Los "jeroglífi cos" o símbolos con los que los representaban egipcios han sido sacados de la fl ora y fauna del Nilo. Está basada en el sis-tema de base diez y los reproducen grabándolos o esculpiéndolos por medio del cincel y el martillo sobre piedras o bien con un junco con la punta aplastada y mojado en un colorante sobre cerámica u hojas de

papiro.

Uno de los más antiguos sistemas de numeración que se conocen es el egipcio.Los egipcios escribían así el tres III, el cuatro IIII, cada una de estas marcas llamadas varas, represen-

taba el uno.

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▪ Escribe con números egipcios las siguientes cantidades.

a) Ocho

b) seis

c) dos

d) cinco

▪ Escribe con números egipcios las siguientes cantidades.

a) quince

b) dieciocho

c) trece

d) diecisiete

▪ Escriba estas representaciones en número decimal.

▪ Escribe dos semejanzas y dos diferencias entre el sistema de numeración egipcia y el que nosotros

ACTIVIDAD ACTIVIDAD Nombre: ___________________________________________________ Grupo: _______________

Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

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usamos.

El sistema de numeración egipcio utilizaba el principio aditivo.

Un signo no se repetía más de nueve veces seguidas, ya que a la décima vez se utilizaba el número si-guiente. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario.

El sistema de numeración egipcio es no posicional, es decir, los símbolos se pueden colocar en cualquier posición sin que cambie su valor. Es decir de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo o cambiando la orientación de las fi guras según el caso.

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NUMERACIÓN ROMANA

El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para re-presentar los números.

La Numeración Romana utiliza siete letras mayúsculas, a las que corresponden los siguientes valores:

Letras I V X L C D MValores 1 5 10 50 100 500 1000

Para escribir los Números Romanos, se deben cumplir las siguientes reglas:

1ª Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67

2ª La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez

unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.

Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900

3ª En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.

Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34

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Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Completa escribiendo en el paréntesis, el valor numérico que representa cada uno de los siguientes números romanos. I V X L C M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

▪ Convierte los siguientes números romanos a nuestro sistema de numeración.

a) XIV

b) LVIII

c) MMVI

d) CLV

e) MDCLVI

Para números con valores iguales o superiores a 4 000, se coloca una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1.000:

▪ Organizados en equipos, observa los siguientes números romanos y su equivalencia en el sistema usual de numeración. Completa los valores faltantes.

a) 5 1000 5000V = × =

b) VIII =

c) XIII =

d) C =

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e) MC =

f) XLVI =

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NUMERACIÓN MAYA

Los mayas, antigua civilización de la zona de América central usaban un sistema de numeración de base 20 (llamada también vigesimal) y de base 5. Además los mayas preclásicos y sus predecesores olmecas defi -nieron el concepto del cero o “nada” sobre el año 36 AC, lo que constituye el primer hecho documentado del cero como hoy lo conocemos.

La escritura maya, llamada jeroglífi ca por su parecido a la escritura egipcia, era una combinación de símbolos fonéticos e ideogramas. Su descifrado fue un complicado proceso, ya que los sacerdotes españo-les ordenaron la quema de todos los libros mayas tras la conquista.

Los números mayas se usaban para medir el tiempo y no las matemáticas. Por ese motivo tienen relación con los días, meses y años y en defi nitiva con el calendario. La numeración maya posee solo tres símbolos para representar los números, como podemos ver en el siguiente gráfi co que representa en numeración maya los números del 0 al 19.

Los tres símbolos básicos son:El punto. Su valor es uno. La unidad (1) se representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para los números 2, 3 y 4.

La raya. Su valor es cinco. Se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Caracol. Su valor es cero.

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Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Observa y completa el equivalente de los siguientes números mayas.

a)

b)

c)

d)

e) ____

f)

g)

h)

i)

j)

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En el ejemplo B de la tabla, podemos ver el número 429 representado en tres niveles. El más bajo sim-boliza el número 9 (una raya más cuatro puntos). El segundo nivel suma en forma vigesimal, una “unidad” de 20. El tercer nivel, tan sólo con un punto representa el número 400. Así, en los tres niveles, sumamos 9 + 20 + 400 = 429

Nivel Multiplicador Ejemplo A Ejemplo B Ejemplo C3º × 400

2º × 20

1º × 1

32 429 5125

Cómo podemos observar, para representar cada número, debemos prestar atención y realizar opera-ciones matemáticas para interpretarlos. Las reglas para escribir números mayas sería: el punto no se repite más de 4 veces y al necesitar un 5, se sustituye por una raya. Al mismo tiempo, la raya no se repite más de 3 veces, si necesitamos 4 rayas entonces necesitamos saltar al otro nivel.

El sistema de Números Mayas era por decirlo poco práctico para representar grandes cantidades. Así, para un número demasiado grande, la representación era bastante complicada y tomaba un gran espacio para poder representarlo y agilidad mental para calcularlo. Sin embargo, hay que reconocer, que es un modo práctico para emplear un sistema de números con tan sólo tres símbolos, algo ingenioso y difícil de superar, que además resultó muy útil para organizar el famoso calendario Maya.

CERO

Símbolo maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero en América.La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para su numeración

porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema de numeración en el que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que ocupa. El símbolo del cero es representado por un cara-col (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano.

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Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Escriba el equivalente en el sistema de numeración decimal, de cada uno de los siguientes números mayas.

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SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIA

Nosotros estamos acostumbrados a representar cualquier cantidad valiéndonos de 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. A este sistema de representar cantidades le llamamos sistema numérico decimal o base 10. Sin embargo, el ordenador trabaja utilizando solamente 2 dígitos: 0 y 1, es decir, con el sistema binario o base 2. Cualquier cantidad se puede representar como una combinación de ceros y unos.

APLICACIONES DEL SISTEMA BINARIO

El sistema binario se aplica para todos microprocesadores. El sistema binario es lo q utiliza el computa-dor para almacenar todo tipo de información como: Imágenes, textos, juegos, programas, etc.

Las telecomunicaciones también son aplicaciones del sistema binario, ya que estas manejan demasiada información y es mucho más fácil almacenarla.

Las redes también son aplicaciones del sistema binario por que al igual q las telecomunicaciones ma-nejan demasiada información a nivel mundial y es más fácil y organizado hacerlo atreves de "0" (cero) y "1" (uno).

Tal vez nos preguntaremos como se convierte la información a sistema binario? pues esto lo hace au-tomáticamente el computador, pues está programado para almacenar la información así, para economizar memoria....

PASO DEL SISTEMA DECIMAL AL SISTEMA BINARIO

Para pasar del sistema decimal al sistema binario se realizan divisiones sucesivas entre dos, sin aproximar. Paramos cuando el resultado del último cociente es cero o uno. El número binario se forma, comenzando por la izquierda, por el último cociente, seguido en orden ascendente de los restos de las divisiones.

En el ejemplo de la Figura 1.1, 75 en base 10 equivale a 1001011 en base 2.

75

Cociente

Restos en color gris

Fig. 1.1. Ejemplo: número 75 pasado a binario

22

22

222

49

15 37181

11

0

00 1

38


Otra forma diferente y sencilla:

No. decimal Residuo75 ÷ 2 137 ÷ 2 118 ÷ 2 09 ÷ 2 14 ÷ 2 02 ÷ 2 0

1

Para representar el sistema binario se toman todos los residuos y el ultimo cociente, de abajo hacia arriba ejemplo: 1001011, signifi ca que el numero decimal 75 = 10010112

PASO DEL SISTEMA BINARIO AL SISTEMA DECIMAL

Una de las características del sistema binario, es que es posicional, esta característica consiste en que de acuerdo a la posición de la cifra, es el valor de ella.

Los números representados con el sistema binario, que contienen ceros y unos, pueden transformarse al sistema decimal de forma muy sencilla: en lugar de realizar divisiones sucesivas entre dos, como hemos hecho anteriormente, realizamos la operación inversa, es decir, multiplicamos de forma sucesiva por las potencias de 2. En el ejemplo anterior (Fig. 1.1), para llegar al último cociente 1 hemos tenido que dividir entre 2 seis veces. Por tanto, ahora multiplicaremos 1 por 26. Pero se debe continuar mientras queden res-tos completando el desarrollo polinomio en función de las potencias de 2, de forma que el resultado es:

1 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20

¿Qué valor decimal representa el numero 1001011?

El número tiene 7 cifras, por lo tanto, tendremos que utilizar potencias de base dos del cero al seis, las potencias se asignan de derecha a izquierda:

1 0 0 1 0 1 1 1 × 26 0 × 25 0 × 24 1 × 23 0 × 22 1 × 21 1 × 20

1 × 64 0 × 32 0 × 16 1 × 8 0 × 4 1 × 2 1 × 1 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 75

Como observas los ceros dan productos cero, por tanto solo se suman las potencias donde hay uno.

CONVERSIÓN ENTRE NÚMEROS DECIMALES Y BINARIOS

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.

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Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710

haremos una serie de divisiones que arro-jarán los restos siguientes:

77 ÷ 2 = 38 Residuo: 138 ÷ 2 = 19 Residuo: 019 ÷ 2 = 9 Residuo: 19 ÷ 2 = 4 Residuo: 14 ÷ 2 = 2 Residuo: 02 ÷ 2 = 1 Residuo: 01 ÷ 2 = 0 Residuo: 1

Y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710 = 10011012

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Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

a) Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191

25

67

99

135

276

b) Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:

110111

111000

010101

101010

1111110

c) Dados dos números binarios:

01001000 y 01000100

¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

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d) Escribe tu edad, expresándola en el sistema binario.

▪ En equipo, contestar las siguientes preguntas, argumenten ante el grupo sus respuestas.a) ¿Cuál es la base del sistema de numeración decimal?

b) Si la base es decimal, ¿Cuántos símbolos distintos utiliza?

c) ¿Cuáles son esos símbolos?

d) ¿Por qué se dice que el sistema decimal de numeración es posicional?

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1.2. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

El sistema de numeración que todos conocemos y usamos en la vida diaria es un sistema decimal, pues cuanta las cantidades de diez en diez. Esto se debe primordialmente a que los dedos de ambas manos son diez. Así, contar los objetos es relativamente fácil al asignar un dedo por objeto y llevar la cuenta de cuan-tas veces llenamos las manos (juntamos un diez o una decena). Al llenar diez veces ambas manos hemos contado una centena (diez dieces).

Este fue el origen de nuestro sistema de numeración decimal tan utilizado y conocido en todo el mun-do y por todas las culturas. Este sistema lo dieron a conocer los árabes al ejercer el comercio en todo el mundo, pero se tienen registros de que se inventó en la India. Así pues, nuestro sistema de numeración decimal y posicional recibe también el nombre de "Sistema de numeración Indo-Arábigo".

Lo que lo hace tan usado y poderoso es precisamente que es un sistema posicional. Es decir, las cifras o dígitos adquieren diferentes valores de acuerdo a la posición en la que se presenten dentro de un número. Así, en el número 12, el dígito 1 vale más que el dígito 2 porque representa 1 decena, es decir, representa 10 unidades.

Se llama decimal o de base diez porque se utilizan diez símbolos para representar todos los números. Los diez símbolos, cifras son:

0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La relación decimal que hay entre las diversas unidades es:1 decena = l0 unidades1 centena = l0 decenas1 millar = 10 centenas1 cent. de mil = 10 dec. de mil1 millón = 10 centenas de millar.

Cada diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior.

NOTACIÓN DESARROLLADA Y CIENTÍFICALa posición que ocupa cada dígito en una cifra indica su valor.

Los números naturales forman parte del sistema de numeración decimal, por lo que se ordenan en pe-riodos, clases y órdenes; cada periodo (unidades y millones) tiene dos clases, y cada clase, tres órdenes, como se establece en la siguiente tabla:

Periodo de los millones Periodo de las unidadesClase de los millares de millón (millardos)

Clase de los millones Clase de los millares (mil)

Clase de las unidades

C D U C D U C D U C D U

Órdenes:▪ U representa las unidades.▪ D representa las decenas.▪ C representa las centenas.

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Tomemos como ejemplo el periodo de gestación de un ser humano que, medido en segundos, es de veintitrés millones, quinientos ochenta y siete mil segundos.

Si ordenamos esta cantidad en una tabla como la anterior, el resultado sería de 23 millones, 587 millares y 200 unidades. Esto es:

millares de millón (millardos)

millones millares (mil) unidades

C D U C D U C D U C D U2 3 5 8 7 2 0 0

Si consideramos cada dígito, la cifra se compone así:

2 3 5 8 7 2 0 020 000 000 3 000 000 500 000 80 000 7 000 200

Podemos expresar esta cantidad en notación desarrollada, la cual se inicia de izquierda a derecha:

2 decenas de millón = 2 × 10 000 000 = 20 000 0003 unidades de millón = 3 × 1 000 000 = 3 000 0005 centenas de millar = 5 × 100 000 = 500 0008 decenas de millar = 8 × 10 000 = 80 0007 unidades de millar = 7 × 1 000 = 7 0002 centenas = 2 × 100 = 2000 decenas = 0 × 0 = 00 unidades = 0 × 0 = 0

Para practicar el valor posicional, resolvamos los siguientes ejercicios:El área de la superfi cie de la Tierra tiene una extensión aproximada de quinientos diez millones sesenta

y ocho mil kilómetros cuadrados. Escribamos este número usando el siguiente cuadro.Comencemos de izquierda a derecha, es decir, por el periodo de los millones.

510 068 000

Como podrás observar, las centenas y decenas de este periodo si tienen valores asignados, en tanto que la casilla de las unidades aparentemente no tiene (el número es cero), sin embargo, eso no signifi ca que dicha casilla no adquiera valor en este ejemplo, sino que el cero de la decena de millón ocupa la casilla de las unidades:

Periodo de los millonesClase de los millares de

millón (millardos)Clase de los millones

C D U C D U100 000 000 10 000 000 1 000 000

5 1

45


Por notación desarrollada, la clase de los millones se representaría así:0 unidades de millón × 1 000 000 = 0 × 1 000 000 = 01 decena de millón × 1 000 000 = 10 × 10 000 000 = 10 000 0005 centenas de millón × 100 000 000 = 500 × 100 000 000 = 500 000 000

Enseguida, anota los dígitos de las unidades, decenas y centenas que corresponden a la clase de los millares: 510 068 000 Periodo de las unidades

Clase de los millares (mil) Clase de las unidadesC D U C D U

100 000 10 000 1 0000 6 8

En notación desarrollada, esta clase se representaría de la siguiente forma:

8 unidades de millar × 1 000 = 8 × 1 000 = 8 0006 decenas de millar × 10 000 = 60 × 10 000 = 60 0000 centenas de millar × 100 000 = 0 × 100 000 = 0

En este caso, aunque la casilla de las centenas de millar no tiene valor, el número puede leerse sin mayor problema: 510 068 000 (510 millones 68 mil…). Como podrás observar, el hecho de que no haya centenas de millar no afecta la lectura; por ejemplo: si en lugar de este número se tuviera 510 268 000 se leería: 510 millones 268 mil… o 510 003 000, que se leería 510 millones 3 mil…

A continuación, escribe los dígitos que corresponden a las unidades, decenas y centenas de la clase de las unidades de la siguiente forma:

Periodo de las unidadesClase de los millares (mil) Clase de las unidades

C D U C D U100 10 10 0 0

0 unidades × 0 = 0 × 0 = 00 decenas × 10 = 0 × 10 = 00 centenas × 100 = 0 × 100 = 0

Uniendo los dos periodos y la notación desarrollada, el resultado sería:

Periodo de los millones Periodo de las unidadesClase de los millares de millón (millardos)

Clase de los millones Clase de los millares (mil)

Clase de las unidades

C D U C D U C D U C D U5 1 0 0 6 8 0 0 0

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5 centenas de millón × 100 000 000 = 500 000 0001 decenas de millón × 10 000 000 = 10 000 0000 unidades de millón × 1 000 000 = 00 centenas de millar × 100 000 = 06 decenas de millar × 10 000 = 60 0008 unidades de millar × 1 000 = 8 0000 unidades × 0 = 00 decenas × 10 = 00 centenas × 100 = 0

Sumando los resultados de cada periodo, se obtiene lo siguiente:500 000 000 centenas de millón10 000 000 decenas de millón0 unidades de millón0 centenas de millar60 000 decenas de millar8 000 unidades de millar0 centenas0 decenas0 unidades510 068 000

La distancia que existe entre la Tierra y el Sol es, aproximadamente, de 149 565 929 km. ¿Qué valor posicional tiene cada número 9?

Para saberlo, escribe la cantidad en el periodo y clase que corresponda:

Periodo de los millones Periodo de las unidadesClase de los

millares de millónClase de los millones Clase de los

millares (mil)Clase de las

unidades (millardos)C D U C D U C D U C D U

1 4 9 5 6 5 9 2 9

Al completar el cuadro, observarás que:El lugar que ocupa el primer nueve (de izquierda a derecha) es el de las unidades (en la clase de los

millones), lo que signifi ca que multiplicarás:9 × 1 000 000 = 9 000 000

El siguiente 9 que observarás es el de las centenas (correspondientes a la clase de las unidades), así que multiplica de la siguiente forma:

9 × 100 = 900

El último 9 es el que observas en la casilla de las unidades:9 × 1 = 9

De esta forma, el valor posicional del número 9 es el siguiente: nueve millones, novecientos, nueve.

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Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ En equipo, expresen en notación desarrollada las siguientes cantidades, observen el ejemplo para re-cordar como se hace.

a) Si 364932 = 300 000 + 60 000 + 4 000 + 900 + 30 + 2 = 3 × 100 000 + 6 × 0 000 + 4 × 1 000 + 9 × 100+ 3 × 10 + 2 × 1 = 3 × 105 + 6 × 104 + 4 × 103 + 9 × 102 + 3 × 101 + 2 × 100

7 825 =

65 320 =

2 105 =

20 355 =

48


345.2589 =

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CONVERTIR NÚMEROS DECIMALES A NOTACIÓN CIENTÍFICA

NOTACIÓN CIENTÍFICACualquier número se puede escribir en potencias de base diez como producto de sus factores, siéndole primer factor un numero comprendido entre 1 y 9 y el segundo la potencia de base diez. Este proceso recibe el nombre de notación científi ca.

La notación científi ca es muy útil para expresar números muy grandes o muy pequeños. Tiene tres partes:▪ Una parte entera de una sola cifra.▪ Las otras cifras signifi cativas como la parte decimal.▪ Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra.

Ejemplo: Cada cero en los números de arriba representa un múltiplo de 10. Por ejemplo, el número 100 representa 2 múltiplos de 10 (10 × 10 = 100). En la notación científi ca, 100 puede ser escrito como 1 por 2 múltiplos de 10:

100 =1 × 10 × 10= 1 × 102 (en la notación científi ca)

Por ejemplo Esta abreviación también puede ser usada con números muy pequeños. Cuando la nota-ción científi ca se usa con números menores a uno, el exponente sobre el 10 es negativo, y el decimal se mueve hacia la izquierda, en vez de hacia la derecha. Por ejemplo:

Por consiguiente, usando la notación científi ca, el diámetro de un glóbulo rojo es: 6.5. × 10–3 cm. La distancia de la tierra al sol es 1.5 × 108 Km. El número de moléculas en 1g de agua es 3.34 × 1022

Nota fi nal: En la notación científi ca, la base numeral es siempre representada como un digito simple seguido por decimales si es necesario. Por consiguiente, el número 0.0065 siempre se representa como 6.5 × 10–3

Nunca como:.65 × 10–2 o 65 × 10–4

Un número decimal menor a 1 se puede convertir a notación científi ca disminuyendo la potencia de diez en uno por cada lugar en que el punto decimal se corrió hacia la derecha.

Los números en notación científi ca se pueden escribir en diferentes formas. El número 6.5 × 10–7

En ocasiones, incluyendo algunos temas de este propio sitio web, las cifras de números enteros muy grandes, o los decimales extremadamente pequeñas, se representan en forma más simplifi cada. Veamos algunos ejemplos:

Podemos decir que la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo, o también de 300 000 000 m/seg. Si hablamos de grandes cantidades de bytes, se puede decir que la capacidad de almacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad equivalente a 500 000 000 000 000 bytes. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cósmicos, se podría decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros.

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Sin embargo, en los textos científi cos o técnicos las cifras no aparecen escritas de forma tan grandes, sino más bien simplifi cadas, utilizando un procedimiento matemático denominado “notación científi ca”. Por tanto, las cifras del párrafo anterior seguramente aparecerían escritas en textos de ciencia y técnica de la forma siguiente:

“La velocidad de la luz es de 3 × 108 m/seg. “La capacidad de almacenamiento de datos de la gran computadora es de 5 × 1014 bytes.” y “la longitud de onda de los rayos cósmicos es inferior a 1 × 10–14 metros.” Se nota la diferencia ¿verdad?

Ejemplo:Si el número es menor que 1, el punto decimal se mueve a la derecha, y la potencia de 10 será negati-

va:

Ejemplo: 0.0055 se escribe 5.5 × 10–3, porque 0.0055 = 5.5 × 0.001 = 5.5 × 10–3

Si 48.7263 = 3 × 101 + 8 × 100 + 7 × 10–1 + 2 × 10–2 + 6 × 10–3 + 3 × 10–4

Nota: El exponente negativo indica que la cifra es menor que uno y esta a la derecha del punto deci-mal, de acuerdo a ese exponente es el lugar que ocupa a la derecha del punto.

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Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

a) ¿Representar en notación científi ca la longitud de onda de los rayos cósmicos se podría decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros?

b) ¿Representar en notación científi ca la capacidad de almacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad equivalente a 500 000 000 000 000 bytes?

▪ Expresa en forma decimal:

c) 3,23.10-7

d) 1,75.108

e) La masa de un electrón: 1,67.10-27kg

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1.3. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Y USO DEL PARÉNTESIS

Cuando se agrupan varios números u operaciones, es importante conocer el orden o jerarquía en que deben resolverse para obtener un resultado correcto.

Ejemplo:Para resolver 3 × 6 + 4.Podría interpretarse como: 3 × (6 + 4) = 3 × 10 = 30.O bien, como: (3 × 6) + 4 = 18 + 4 = 22.De igual manera, 8 × 3 + 5 se podría interpretar como:8 × (3 + 5) = 8 × 8 = 64 o también como (8 × 3) + 5 = 24 + 5 = 29.

¿Cuáles serían los resultados correctos?Para evitar confusiones y errores se ha convenido en que cuando no hay paréntesis, dado que los signos

+ y – separan cantidades, se efectúan las operaciones en el siguiente orden:1. Potencias2. Multiplicaciones3. Divisiones4. Adiciones5. Sustracciones

Por tanto, retomando los ejemplos del principio:3 × 6 + 4 = 18 + 4 = 228 × 3 + 5 = 24 + 5 = 29

Esto es importante, sobre todo cuando se manejan fórmulas de geometría o de cualquier otra ciencia.Por ejemplo:Calcular el área del trapecio.La fórmula correcta es la primera, porque el factor por el cual se multiplicará h no está despejado. No

es válido multiplicar el número de la suma, porque pertenece a esa operación.Ejemplos:

6 × 22 + 3 = 6 × 4 + 3 = 24 + 3 = 27

En este caso, siguiendo el orden, se comienza por resolver las potencias (22), después la multiplicación y fi nalmente la suma.

5 + 42 × 2 – 32 × 4 =

Primero se resuelven las potencias: 42 = 16 y 32 = 9La operación queda así: 5 + 16 × 2 – 9 × 4 =Después se resuelven las multiplicaciones: 16 × 2 = 32 y 9 × 4 = 36 5 + 32 – 36 =El siguiente paso es resolver la suma: 5 + 32 = 37Y fi nalmente la resta: 37 – 36 = 1

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En la siguiente expresión se pretende hacer dos operaciones con tres números.

2 + 3 * 5

Si primero sumamos 2 + 3 el resultado es 5, que multiplicado por 5 nos da 25.Pero si primero multiplicamos 3 × 5, obtenemos 15, que sumado con 2 nos da 17.

Me imagino que te has de preguntar ¿Qué operación debo de realizar primero, la suma de 2 y 3 para luego multiplicarlo por 5, o la multiplicación de por 5 y luego sumarle 2? Como ya vimos la respuesta es distinta en cada caso.

Para evitar confusiones, se han establecido reglas para realizar las operaciones en un orden determina-do. Este orden se llama jerarquía de las operaciones.1. Al realizar una serie de sumas y restas, estas se deben realizar de izquierda a derecha. a) Por ejemplo, en esta serie de sumas y restas 65 + 21 – 68 + 31 – 27 vamos haciendo las siguientes ope-

raciones: primero sumamos 65 + 21, que da como resultado 86, luego hacemos la resta de 86 – 68, que da 18, a lo cual le sumamos 31, para obtener 49 y fi nalmente restamos 27, de modo que el resultado fi nal es 22.

1. El mismo orden (de izquierda a derecha) se utiliza para las expresiones que solo tienen multiplicaciones y divisiones.

a). Por ejemplo, 7 × 8 ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14

El problema surge cuando combinamos sumas y restas con multiplicaciones y divisiones. Como ya vimos antes el resultado de 2 + 3 × 5 depende de la operación que se realice primero.

2. Las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las sumas y restas. Así en la expresión 2 + 3 x 5, primero realizamos la multiplicación y luego la suma, por lo que el re-

sultado es 2 + 15 = 17. La escritura de las operaciones se puede aclarar mucho más con el uso de paréntesis. En algunos casos,

podemos utilizar los paréntesis solo para reafi rmar la jerarquía, como cuando escribimos 2 + (3 × 5), que es lo mismo que 2 + 3 × 5.

Pero también podemos utilizar los paréntesis para modifi car la jerarquía. Así, si en la expresión anterior queremos sumar primero y luego multiplicar (2 + 3) × 5.

USO DE PARÉNTESIS

En ocasiones se requiere usar paréntesis para indicar que algunas operaciones se deben efectuar antes que otras, o bien, que deben considerarse como un solo número.

Los paréntesis como [ ], { }, se utilizan para situaciones en las que intervienen varias operaciones se-cuenciadas.

Ejemplos:Para sumar (3 + 9) –4, se debe efectuar primero (3 + 9) y después restar 4 al resultado.

(3 + 9) – 4 = 12 – 4 = 8

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Para sumar 3 + (9 – 4), se efectúa primero (9 – 4) y al sumando 3 se le añade el resultado del paréntesis.

3 + (9 – 4) = 3 + 5 = 8

Siempre que aparezcan paréntesis en una expresión aritmética, las operaciones dentro de ellos se realizan en primer lugar.

Por ejemplo en la expresión (3 × 4) + (5 – 2), como tenemos paréntesis primero realizamos las opera-ciones dentro de ellos, siguiendo un orden de izquierda a derecha. Así (3 × 4) = 12 y (5 – 2) = 3. Después sumamos 12 + 3 = 15.

Otro ejemplo 7 × (5 + (8 ÷ 2)), como aquí tenemos dos pares de paréntesis, realizamos primero la operación 8 ÷ 2 (es decir, la de los paréntesis internos). Esto da como resultado 4; luego sumamos 5 + 4, que da 9. Final mente multiplicamos por 7. Entonces 7 × (5 + (8 ÷ 2)) = 7 × (5 + 4) = 7 × 9 = 63.

Para terminar, recuerda que un aspecto importante de las expresiones aritméticas es su claridad. Si tiene alguna duda de la jerarquía de las operaciones, puedes utilizar los paréntesis para evitar confusiones.

Ejemplo: 6 + (4 + 23)

Primero se resuelve la potencia: 2 × 2 × 2 = 8Después se realiza la suma que está entre paréntesis: (4 + 8 = 12)Finalmente se resuelve la operación completa: 6 + 12 = 18Un paréntesis precedido del signo + puede eliminarse sin afectar el signo de los sumandos que con-

tiene.Si el signo que precede al paréntesis es negativo esto afecta al resultado de la operación contenida en

dicho paréntesis. (7 – 2) + 3 = 5 + 3 = 8

No es lo mismo que: 7 – (2 + 3) = 7 – 5 = 2 - 5 - (32 – 23)

En este ejemplo, primero se resuelven las potencias que se ubican dentro del paréntesis:

3 × 3 = 9 y 2 × 2 × 2 = 8

De esta manera se resuelve la resta del paréntesis: 9 – 8 = 1Posteriormente se realiza la operación completa: -5 – 1 = -6

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Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Ejemplo modelo:

4(15 – 4) + 3 – (12 – 5 × 2) + (5 + 16 4) -5 + (10 – 23) =

▪ Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.(15 – 4) + 3 – (12 – 5 × 2) + (5 + 16 4) -5 + (10 – 23)=(15 – 4) + 3 – (12 – 10) + (5 + 4) -5 + (10 – 8)=

▪ Quitamos paréntesis realizando las operaciones.(15 – 4) + 3 – (12 – 10) + (5 + 4) -5 + (10 – 8)=11 + 3 – 2 + 9 – 5 + 2 =185[15 – (23 – 10 2)] · [5 + (3 × 2 – 4)] -3 + (8 – 2 × 3) =

▪ Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.[15 – (8 – 5)] · [5 + (6 – 4)] - 3 + (8 – 6) =

▪ Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.[15 -3] · [5 + 2] – 3 + 2=

▪ Operamos en los corchetes.12 × 7 – 3 + 2

▪ Multiplicamos.84 – 3 + 2=

▪ Restamos y sumamos = 83▪ Realiza las siguientes operaciones teniendo en cuenta su prioridad:

6 + 8 ÷ 7 + 5 × 5 + 2 =

8 ÷ 2 × 4 – 15 ÷ 5 × 3 =

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(-12) ÷ 3 + 3.5 – 6 × 8 – 3 =

15÷ [(-12) ÷ 4]+5 =

–3 + 5 – 3.7 + (3)2 =

2-{5 + 3-[3+7 – (3 × 4 – 3) + 5 – 6]-3 + 4} =

18 ÷ 3 × 6 – (7 – 35) ÷ 14=

72 ÷ (-18) × 4 – (3 – 12) ÷ (-9)=

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127 + 3 × 5 – 16 =2 27 + 3 – 45 5 + 16 =

3 (2 × 4 + 12) (6 − 4) =

3 × 9 + (6 + 5 – 3) – 12 4 =

2 + 5 × (2 × 3)³ =

440 − [30 + 6 (19 − 12)] =

2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =

(3 − 8) + {5 − (−2)} =

5 − {6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6} + 5 =

9 {6 (− 2)} =

[(− 2)5 − (−3)3]2 =

(5 + 3 × 2 6 − 4) × (4 2 − 3 + 6) (7 − 8 2 − 2)2 =

[(17 − 15)3 + (7 − 12)2] [(6 − 7) × (12 − 23)] =

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1.4. OPERACIONES ARITMÉTICAS, PROBLEMAS

▪ En equipo resuelvan los siguientes problemas:

1. En el mercado un puesto vende el kilo de manzanas a 18.25 pesos y el de naranja a 12.7 pesos, Martha compro 2 kilogramos de manzanas y 1 ½ de naranjas ¿Cuánto gasto en su compra?

2. Jorge, Luís, Ana y Laura juntan sus ahorros para comprar un regalo a su mama, Jorge pone 125.25 pesos, Luís 83.2 pesos, Ana pone 97.23 pesos y el resto lo pone Laura, si el regalo costo 412.55 pesos en total ¿Cuánto puso Laura?

3. Ernesto trabaja en una carpintería, por cada silla de madera que hace le pagan 55.25 pesos, el realiza un promedio de 3 sillas por día, si el trabaja 5 días a la semana ¿Cuánto dinero recibirá Ernesto al fi nal de la semana?

4. En una empresa se empacan botellas en paquetes de 8 a un ritmo de 3.24 minutos por cada paquete ¿En cuánto tiempo se empacaran 128 botellas?


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

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5. Un auto recorre 7.82 kilómetros por cada litro de gasolina ¿Cuántos kilómetros recorrerá con 12.75 litros de gasolina?

6. El precio de la gasolina es de 6.23 pesos por cada litro ¿Cuántos litros de gasolina podrán comprarse con 123.58 pesos?

7. Susana trabaja vendiendo dulces fuera de una tienda, el lunes obtuvo 36.80 pesos de ganancia, el martes 45.35 pesos, el miércoles 50.05 pesos, el jueves 65.75 pesos y el viernes olvido contar sus ganancias, ¿Cuánto obtuvo el viernes si al fi nal de la semana logro juntar 256.35 pesos en total?

8. Susana Gasta 2/5 partes de su sueldo en el mandado de cada semana, si ella gana 820 pesos ¿Cuánto gasta en el mandado?

9. Alma recibirá un aumento del 2/9 de su sueldo actual a partir de la siguiente semana, su sueldo en este momento es de 900 pesos ¿De cuánto será su aumento? ¿Cuánto ganara en total?

10. Mi hermano tiene 2/5 partes de mi edad, si yo tengo 30 años ¿Qué edad tiene mi hermano?

11. Roberto gasta 300 pesos mensualmente para asistir a un gimnasio, el gana 3600 pesos mensuales ¿Qué fracción de su sueldo gasta en el gimnasio?

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1.5. SISTEMAS DE MEDICIÓN

Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Defi nen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades:▪ Sistema Internacional de Unidades o SI: es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: el me-

tro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol. Las demás unidades son derivadas del Sistema Internacional.

▪ Sistema métrico decimal: primer sistema unifi cado de medidas.▪ Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo

y el segundo.

El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le Système International d'Unités), también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de uni-dades que se usa en todos los países y es la forma actual del sistema métrico decimal. El SI también es conocido como «sistema métrico», especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso cotidiano.

El sistema métrico decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de cada unidad de medida están relacionados entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10.

El sistema cegesimal de unidades, también llamado sistema CGS, es un sistema de unidades basado en el centímetro, el gramo y el segundo. Su nombre es el acrónimo de estas tres unidades.

El sistema CGS ha sido casi totalmente reemplazado por el Sistema Internacional de Unidades. Sin embargo aún perdura su utilización en algunos campos científi cos y técnicos muy concretos, con resulta-dos ventajosos en algunos contextos.

Así, muchas de las fórmulas del electromagnetismo presentan una forma más sencillas cuando se las expresa en unidades CGS, resultando más simple la expansión de los términos en v/c.

UNIDADES BÁSICAS

El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas. Son las unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas defi nidas como básicas, a partir de las cuales se defi nen las demás1:

Las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que se expresan mediante prefi jos. Así, por ejem-plo, la expresión "kilo" indica ‘mil’ y, por lo tanto, 1 km son 1000 m, del mismo modo que "mili" indica ‘milésima’, por ejemplo, 1 mA es 0,001 A.

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TABLA DE EQUIVALENCIAS

1 kilómetro = 1 000 metros1 hectómetro = 100 metros1 decámetro = 10 metros1 milla =1 609 00 metros1 pie =30.48 centímetros1 Milla = 5 280 Pies1 Kilometro = 1 000 Metros1 Kilogramo = 1000 gramos1 centigramo = O.O1 gramos365 Días = 1 Año1 Hora = 60 Minutos1 Microsegundo = 10-6 Segundo

1 decímetro = 0.1 metro1 centímetro = 0.01 metro1 milímetro = 0.001 metro1 yarda = 91.44 centímetros o 0.9144 m1 pulgada = 2.54 centímetros1 Milla = 1.609347 Kilómetros o 1609 m1 Pie = 0.3048 m o 30.48 cm.1 miligramo = 0.001 Gramos1 libra = 0.4535924 kilogramo1 Día = 24 Horas1 Minuto = 60 Segundo

Ejemplo Modelo:a. Expresar 3.78 Kilómetros a millas.

1 millamillas 3.78kms 2.34878 millas 2.35 millas1.609 kms

X⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

b. 8.563 Millas a Pulgadas.

5280 pies 12 pulgpulg 8.563 millas 542551.68 pulg1 milla 1 pie

X⎛ ⎞⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

c. 1.5 libra a centigramos.

0.45359 Kg 1000 g 1 cgcgs 1.5 libra 68038.86 cg1 libra 1 Kg 0.001 g

X⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

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Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ En equipo resuelvan las siguientes conversiones.

a) 4876598.24 centímetros a Millas

i) 3Km. A Pulgadas.

b) 23 Millas a kilómetros

j) 8 pies a pulgadas

c) 5 decámetros a metros

k) 25 kilómetros a metros

d) 8 hectómetros a metros

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l) h15 yardas a centímetros

e) 3.5 kilogramos a libras

m) 845.2 miligramos a hectogramos

f) 49874.57 centigramos a libras

n) 2.5 kilogramos a miligramos

g) Expresar 256 Días a horas

o) Expresar 5 millones de segundos a días.

h) 67 × 108 Minutos a mes

p) 860 horas a semanas

67

BLOQUE 2

2. DIVISIBILIDAD

Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Conocimiento y habilidades▪ Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo de un número natural en la resolución

de problemas.▪ Identifi car números primos y compuestos.▪ Representar productos con factores iguales como potencia y viceversa.▪ Calcular potencias cuya base y exponente sean números naturales no iguales a cero simultáneamente.

Intenciones didácti cas▪ Se le pueden proponer problemas tipo adivinanzas donde deben aplicarse estos conceptos para encon-

trar la cantidad, como por ejemplo:▪ Halle un número que sea divisible por 2, 3 y 11.▪ Es importante la aplicación de estos conceptos a la hora de abarcar los procesos de amplifi cación y

simplifi cación de fracciones.▪ Se solicita a cada estudiante que encuentre todos los factores o divisores de una serie de números pri-

mos y compuestos (sin mencionar estos conceptos). Luego, se clasifi can según la cantidad de divisores. Después se formaliza los conceptos de números primos y compuestos.

▪ Se sugiere utilizar la Criba de Eratóstenes (276 - 194 a.C.) para reforzar el tema y valorar su contexto histórico.

▪ A este nivel aumenta la complejidad de los cálculos, por ello se debe estar atento a motivar para resol-ver problemas enfrentándolos; no debe ocurrir que se copie simplemente la respuesta sin comprender-se el razonamiento utilizado.

2.1. PRIMOS Y DIVISORES

Un número se puede hacer multiplicando dos o más números. Los números que se multiplican se llaman divisores o factores del número fi nal. Todos los números tienen un divisor uno ya que uno multiplicado por cualquier número es igual a ese número. Todos los números se pueden dividir por si mismos para ob-tener ese número. Por lo tanto, habitualmente ignoramos el uno y el número en si mismo como divisores útiles.

El número quince se puede dividir por dos divisores que son el tres y el cinco.El número doce se podría dividir por dos divisores que son 6 y 2. El seis todavía se podría dividir por

otros dos divisores 2 y 3. Por lo tanto los divisores de doce son 2, 2 y 3.Si en primer lugar dividimos doce en los divisores 3 y 4, el cuatro se podría dividir en 2 y 2. Por lo tanto

los divisores de doces siguen siendo 2, 2, y 3.Hay varios consejos para ayudarte a determinar los divisores.

▪ Cualquier número par tiene un divisor dos.

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▪ Cualquier número que termina en 5 tiene un divisor cinco.▪ Cualquier número mayor que 0 que termine con 0 (tal como

10, 30, 1200) tiene los divisores 2 y 5.▪ Para determinar los divisores fíjate si puedes aplicar alguna

de las reglas antes mencionadas (terminación 5, 0 o núme-ro par). Si ninguna de estas reglas se puede aplicar, todavía podrás encontrar divisores 3, 7 o algún otro número.

EXPLICACIÓNLos divisores de un número son aquellos valores que dividen al número en partes exactas. Así, dado un número a, si la divi-sión a/b es exacta (el resto es cero), entonces se dice que b es divisor de a. También se puede decir que a es divisible por b o que a es un múltiplo de b. Esto nos resulta útil, por ejemplo, a la hora de agrupar una cantidad de objetos en partes iguales sin que nos sobre ninguno.

Por ejemplo, tenemos 36 bolígrafos y queremos hacer paquetes de modo que no sobre ninguno. Como los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, podemos hacer paquetes de esas cantidades. Con cualquier otro valor nos quedarían bolígrafos sueltos (si hacemos paquetes de 5 en 5, nos sobraría un bolígrafo).

Lógicamente, el 1 siempre es divisor de cualquier número, porque siempre podemos hacer paquetes individuales y no nos sobrará ninguno. De igual forma, todo número es divisible por sí mismo, lo que equivaldría a hacer un único paquete.

A los números que tienen más de dos divisores como el 36, se les llama números compuestos, a los números como el 2, 3, 5, 7, 11, 13…. Etc. Que únicamente tienen dos divisores, que son ellos mismos y la unidad (1) se les llama números primos.

Por ejemplo, los únicos divisores de 5 son el mismo 5 y el 1.Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte

de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

La criba de Eratóstenes. Vamos a realizar un ejercicio para calcular todos los números primos comprendidos entre 1 y 100. Sigue los siguientes pasos en un folio y escribe el resultado en la viñeta:

Escribe los números del 1 al 100, dejando el mismo espacio entre ellos (puedes hacer 10 fi las de 10).Empieza por el 2 y vas tachando de dos en dos.; a continuación de 3 en 3, luego de 5 en 5 y al fi nal de

11 en 11. Los números que no se han tachado son todos los números primos.

Investiga: ¿Quién era Eratóstenes? ¿Cómo se llaman los números que no son primos? A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy

utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor. Así,Otras propiedades▪ En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En

general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número fi nito acaban en una cifra que es coprima con la base.

▪ De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n – 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n – 1.

69

Bloque II. Divisibilidad

▪ Escriba los divisores de la siguiente cantidad, en equipos:

a) 72

b) 84

c) 25

d) 44

e) 17

f) 215

g) 336

h) 53

i) 93

▪ ¿Cómo se puede estar seguro de haber incluido todos los divisores de un número? Coméntenlo entre los miembros del equipo y coméntenlo al grupo?

▪ Localicen los primos entre: el uno y el diez; el uno y el veinte; el uno y el treinta.

▪ Construir el modelo de la criba de Eratóstenes para localizar los primos entre el uno y el cien.


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

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2.2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Son criterios que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

Divisible signifi ca que al dividirlo por ese número el resultado es una división exacta con resto cero. Por ejemplo, 30 es divisible por 5 porque al dividirlo por 5 el resto es cero 30:5=6.

Divisibilidad por 2Un número entero es divisible por 2 SI su última cifra es 0, 2, 4, 6, o 8.

Divisibilidad por 3Un número entero es divisible por 3 SI la SUMA de sus cifras es divisible por 3.

Por ejemplo, ¿es 394 divisible por 3? Sumamos sus cifras: 3 + 9 + 4 = 16. Ya que 16 NO es divisible por 3, 394 tampoco es.

También se puede usar este método para hallar el resto o residuo: se suma las cifras y se prueba dividir por 3. El resto de esta división también es el resto de división del número original.

Por ejemplo, ya hallamos que la suma de las cifras de 394 es 16. El resto de dividir 16 por 3 es 1; en-tonces dividiendo 394 por 3, el resto es 1 también.

Se puede aplicar este criterio múltiple veces. ¿Es 907730485 divisible por 3? La suma de sus cifras es 9 + 7 + 7 + 3 + 4 + 8 + 5 = 43. Si no sabes si 43 es divisible por 3, puedes sumar las cifras de 43 y obtener 4 + 3 = 7. Entonces, ya que 7 no es divisible por 3, tampoco son 43 y 907730485.

Divisibilidad por 4Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por 4.

Por ejemplo, 45,253. Toma las dos últimas cifras: 53. 53 no es divisible por 4, y tampoco es 45,253.Otro ejemplo: ya que 80 es divisible por 4, entonces 3280, 32480, 293180 etcétera todos son divisibles

por 4.

Divisibilidad por 5Es muy fácil: si la última cifra de un número es 0 o 5, es divisible por 5.

Divisibilidad por 10Es muy fácil: si la última cifra de un número es 0, es divisible por 10.

Divisibilidad por 6Si un número es divisible tanto por 2 como por 3, es divisible por 6.

Divisibilidad por 11Toma las cifras de tu número por la derecha, y alterna sumando y restando. Si la respuesta es divisible por 11, también es tu número.

Por ejemplo, estudiamos 294,398. Alterna sumando y restando sus cifras comenzando por la derecha: 8 - 9 + 3 - 4 + 9 - 2 = 5. Ya que 5 no es divisible por 11, tampoco es 294,398; y también sabemos que el resto de dividir 294,398 por 11 es 5.

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▪ Conteste en equipos lo que a continuación se pide.

a) De los números siguientes subraye:

Los divisibles entre 3.873 1 857 1 472 1 429

12 423 24 216 32 821 52 534

Los divisores entre 5.375 2 530 9 101 74 552

218 250 471 935 20 000 35 570

Los divisores entre 7.119 1 472 5 589 12 423

53 361 70 141 22 578 101 361

▪ Multiplique su edad por su peso, y del número obtenido determine que números lo dividen exactamente.


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▪ En el negocio de Andrea y Manuel, han recibido varias cajas de CD de diferentes marcas que contiene cada una:

Caja A: 125 caja B: 350 caja C: 230

Quieren saber si pueden distribuir los CDs de cada marca en paquetes de 2, 3, ó 5 unidades.

¿Cómo podrán saberlo sin necesidad de efectuar la división?En caso afi rmativo ¿Cuántos paquetes de cada marca resultan?

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FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO

La factorización (o descomposición factorial) de un número consiste en expresarlo como un producto de factores primos Ejemplo: 30 = 2 × 3 × 5 Para factorizar un número dividimos por cada uno de los números primos (2, 3, 5,..) y nos quedamos con el cociente, el cual lo volvemos a dividir por el mismo primo mientras podamos (cuando no sea divisible, pasamos al siguiente primo). Veamos un ejemplo: Fac-torización del número 120.

12060301551

22235

El resultado es 120 = 23 ∙ 3 ∙ 5

Nota: Es posible concluir la prueba de divisibilidad de un numero dado cuando se llega a uno primo tal, que al multiplicarse por si mismo, da como resultado un producto mayor que el numero dado.

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Escriba los números siguientes en términos de sus factores primos.

12 18 30 36 45 112 504 819 468 360

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2.3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo (m.c.m. o mcm) de varios números es el menor de sus Múltiplos comunes. Para calcularlo:▪ Factorizamos los números.▪ Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores Exponentes.▪ El m.c.m. es el producto de los factores anteriores.

QUÉ ES UN "MÚLTIPLO COMÚN"?Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

QUÉ ES EL "MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO"?Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44,...Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,50,...

¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

2412631

2223

3618931

2233

40201051

2225

m. c. m. (24, 36, 40)

Por tanto:24 = 23 × 336 = 22 × 3240 = 23 × 5

Los factores son: 2, 3 y 5 elevados a los mayores exponentes (dentro de un recuadro) serían: 23, 32 y 5.Multiplicando los factores anteriores se obtiene el m. c. m. de (24, 36, 40) = 23 × 32 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360.

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▪ Calcula el mínimo común múltiplo.

a) 4, 6 y 8

b) 16, 24 y 35

c) 165, 236 y 485


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▪ Tres aviones salen del aeropuerto de la cuidad de México en las siguientes frecuencias, el primero cada doce horas, el segundo cada 18 horas y el tercero cada 30 horas. Si los tres salen el mismo día en cuan-to tiempo volverán a partir juntos y cuantas veces habrán despegado cada uno antes de que vuelva a coincidir.

▪ Marta tiene una pastilla roja cada 3 horas y una verde cada 4 horas. Si a las 0 horas tomó ambas ¿Cuan-do volverá tomar las dos pastillas juntas?

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.▪ Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del

otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)

▪ Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 10: 1, 2, 5 y 10

Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.

Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo núme-ros primos.

Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

40201051

2225

60301551

2235

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

MCD = 2 × 2 × 5= 20M.C.D. 40 = M.C.D. 60 =2 × 2 × 2 × 5 2 × 2 × 3 × 5

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ACTIVIDAD DE APLICACIÓNACTIVIDAD DE APLICACIÓNYa quedan pocos días para la inauguración del negocio de Andrea y Manuel. Quieren que la apertura sea la semana próxima. Como hay muchos artículos que no les ha dado tiempo ordenar e inventariar, sobre todo los CDs, quieren al menos tenerlos clasifi cados. Para comenzar desean guardar dos cajas de CDs: marca A de 20 unidades y marca B de 12 unidades, en cajas de igual cantidad, pero que contengan los máximos CDs posibles.

Andrea esta vez procede del siguiente modo: calcula todos los divisores de 12 y 20:▪ Divisores de 20 = (1, 2, 4, 5, 10, 20)▪ Divisores de 12 = (1, 2, 3, 4, 6, 12)

Por tanto, tendrán que guardar los CDs en cajas de 4. Es decir, de todos los divisores comunes, se elige el más grande. Por tanto al mayor de los divisores comunes entre dos o más números se denomina: máximo común divisor (m.c.d.)

Al igual que en el caso de m.c.m., existe un procedimiento más rápido, sobre todo si se trata de canti-dades elevadas. Imagina que en vez de 20 y 12 CDs, se tratará de 234 y 657, entonces resultaría poco ope-rativo comenzar a calcular todos los divisores uno a uno, para después calcular el menor. A continuación se detallan los pasos a seguir para el cálculo del m.c.d.

Para el cálculo del m.c.d. vamos a continuar con el ejemplo anterior.Para ello seguimos los siguientes pasos:

Factorizamos cada números, es decir vamos dividiéndolos por 2, 3 ó 5 siempre que la división sea exacta. Para ello aplicamos los criterios de divisibilidad. El resultado lo vamos colocando a la izquierda y los divisores a la derecha.

201051

225

12631

223

A continuación expresamos cada número en producto de factores.20 = 2 × 2 × 5 = 22 × 512 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3

Multiplicamos los productos comunes elevados al menor exponente.22 = 2 × 2 = 4

Por último se expresa del siguiente modo:m.c.d (12, 20) = 22 = 2 × 2 = 4

81



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Calcular el máximo común divisor de las siguientes cantidades.a) 60 y 35

b) 82, 94 y 102

c) 345 y 482

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▪ En equipo resuelvan los siguientes problemas de aplicación del mcm y mcd.a) Un trozo de cartulina mide 1 m. por 45 cm. Y quiero dibujar en ella una cuadricula del mayor Tamayo

posible cada cuadrado. ¿Cuál será el lado del mayor cuadrado posible?

b) Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Den-tro de cuantos días volverán a estar las dos a la vez en Barcelona?

c) Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de una tarde las 3 coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los 5 minutos siguientes.

d) Se requiere embaldosar una cocina de 1620 cm. De largo por 980 cm. De ancho con baldosas cuadra-das l0 mas grande posible y enteras. ¿Cuál será la longitud del lado de cada baldosa?

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e) ¿Cuanta pesa como mínimo, un paquete que puede ser pesado exactamente utilizando solo pesas de uno de estos tres tipos: pesa de 20 kg. De 125 kg., es decir utilizando solo pesas de 20 o solo de 125 Kg. O solo de 1 kg.?

f) María tiene tres cortes de tela de 35, 49 y 42 metros, respectivamente. Si desea hacer cortinas de igual tamaño y sin desperdiciar nada. ¿De qué longitud debe cortar cada cortina?

g) Como promoción en sus ventas, una fábrica de refrescos pone un cupón para un refresco gratis cada 80o refresco y otro cupón para dos refrescos gratis cada 120o refresco. ¿Con qué frecuencia pone am-bos cupones en un solo refresco?

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BLOQUE 3

3. REALES Y FRACCIONES

Conocimiento y habilidades▪ Que los alumnos amplíen su conocimiento sobre los distintos conjuntos numéricos hasta llegar a los

números reales con el fi n de mejorar el conocimiento de la realidad y sus posibilidades de comunica-ción a partir de expresiones numéricas y representaciones gráfi cas.

Intenciones didácti cas▪ Conocer y manejar el concepto de fracción.▪ Conocer cuándo dos fracciones son equivalentes.▪ Calcular la fracción irreducible a una dada.▪ Distinguir si las fracciones son propias o impropias.▪ Representar gráfi camente las fracciones propias.▪ Saber expresar las fracciones impropias como números mixtos.▪ Saber expresar las fracciones como números decimales y por-

centajes, y viceversa.▪ Calcular la suma de fracciones.▪ Calcular la resta de fracciones.▪ Hallar el producto de fracciones.▪ Hallar la división de fracciones.

Los números surgen de la necesidad de contar. Pero el hombre no se limitó sólo a contar, sino que acumulaba o intercambiaba o repartía bienes… Estas actividades tan cotidianas tuvieron respuesta en operaciones tan sencillas como la suma, la resta, la multiplicación o la división. A medida que estos cál-culos se complicaron fueron apareciendo distintas clases de números. El conjunto más amplio con el que vamos a trabajar durante esta etapa es el de los números reales.

Los números reales son sólo números como; 1, 12.38, -0.8520, ¾, 1995.De hecho: Casi todos los números que se te ocurran son números realesLos números reales incluyen:

▪ Los números enteros (Como 1, 2, 3, 4,-1, etc.)▪ Los números racionales (como 3/4, -0.125, 0.333..., 1.1, etc.)▪ Los números irracionales (como π, 3 , etc.)

Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.Entonces... ¿qué números NO son reales?

▪ 1− (la raíz cuadrada de menos 1) no es un número real, es un número imaginario.▪ Infi nito no es un número real.

Y también hay otros números especiales que los matemáticos usan y que no son números reales.¿Por qué se llaman números "reales"?Porque no son números imaginarios.¡Esa es la respuesta verdadera!

86


Real no quiere decir que aparezcan en el mundo real.No se llaman "reales" porque muestren valores de cosas reales.En matemáticas nos gusta que los números sean puros y exactos, si escribimos 0.5 queremos decir

exactamente una mitad, pero en el mundo real una mitad puede no ser exacta (prueba a cortar una man-zana exactamente por la mitad).

Los números racionales, cuyo conjunto se representa por Q, son los números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros.

-5, - 4/3, 3, -2, -1, 0, 16/2, 0.125,El cociente de dos números enteros a y b, con b ≠ 0, se puede expresar de la forma: b/a.

3.1 UNIDAD Y PARTICIÓN

Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3 tercios. Eso se expresa como 1 =. En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes

1 1 = 2/2 1 = 4/4 1 = 6/6 UNIDAD MEDIOS CUARTOS SEXTOS

En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en cuán-tas partes iguales se fraccionaron la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado.

En las fi guras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes que forman la unidad.

Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notación. Por ejemplo, en la fi gura siguiente tenemos las mismas particiones que antes pero hemos marcado en un medio, en un tercio, en dos sextos, y en dos cuartos. Al pie de cada dibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada.

En este caso se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso signifi ca que expresan la misma cantidad.

½ = 2/4 Y 2/6 = 1/3

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Bloque III. Fracciones y reales

▪ Construir en una cuadrícula de 5 × 5 o en un geoplano, una unidad que, dependiendo de la posibilidad de colocar ligas sobre el geoplano o dibujar sobre las intersecciones de la cuadrícula, pueda partirse en:a) Mitades.b) Tercios.c) Mitades, pero no en tercios.d) Sextos, ¿pueden partirse en tercios y medios?

▪ Construcción del geoplano: en una tabla de madera delgada o triplay (15 × 15 cm), se colocan clavos despuntados para atorar ligas de colores. Los clavos defi nirán la cuadrícula, colocándolos en los vérti-ces o centros de los cuadrados.

▪ Dada una fi gura, que es 1/2; 1/3; 1/4; 2/3, de cierta unidad, ahora el ejercicio consiste en elaborar la posible unidad.

▪ Construir unidades en el geoplano o cuadrícula, que acepten diferentes particiones; tomar una parte y llegar a establecer diferentes clases de equivalencias.

Ejemplos: ½ = 2/4 1/3 = 2/6 ¾ = 6/8, etcétera.

Deducir que la generación de fracciones equivalentes a una dada, se produce multiplicando numerador y denominador por un mismo número diferente de cero.

En equipos representen otras maneras de representar una misma cantidad, mediante rectángulos o círculos.

▪ De las siguientes fracciones ¿cuáles son equivalentes?a) 1

3

b) 14

c) 34

d) 26


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

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e) 28

f) 68

g) 39

h) 520

i) 912

j) 618

89


FRACCIONES EQUIVALENTES

▪ ¿Qué fracción del recipiente ha llenado cada niño?▪ ¿Qué recipiente tiene mayor cantidad?

OBSERVA

Ana ha llenado 23

del vaso. Patricia ha llenado 46

del vaso.

Las dos han llenado igual cantidad

Las fracciones 23

y 46

son equivalentes → 2 43 6

=

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.

No siempre podemos trabajar con unidades divididas decimalmente; con frecuencia nos conviene par-tir de otra manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces necesitamos saber cuánto tenemos en total. En esta lección vamos a trabajar sobre estos conceptos.

Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.Estas fracciones son en realidad lo mismo:

1 2 42 4 8

= =¿Por qué es lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo por el mismo número, la fracción mantiene

su valor. La regla a recordar es:

90


= =

12

24

48

¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:

1 2 42 4 8

= =

× 2

× 2

× 2

× 2

Y en un dibujo se ve así:

Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:

÷ 3

÷ 3

÷ 6

÷ 6

18 6 136 12 2

= =

Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplifi cado la fracción (la hemos he-cho la más simple posible).

SIMPLIFICANDO FRACCIONES

Para simplifi car una fracción, divide los números de arriba y abajo por el mayor número que divida a los dos exactamente.

91


SIMPLIFICANDO FRACCIONESSimplifi car (o reducir) fracciones signifi ca hacer la fracción lo más simple posible. ¿Por qué decir cuatro octavos (4/8) cuando en realidad quieres decir la mitad (1/2)?

¿Cómo simplifi co una fracción?Hay dos maneras de simplifi car una fracción:

Método 1Intenta dividir los números de arriba y abajo de la fracción a la vez hasta que no puedas seguir más (prueba a dividirlos por 2, 3, 5,7,... etcétera).

Ejemplo: Simplifi ca la fracción 24108

:

24 12 6 2108 54 27 9

= = =

÷ 2 ÷ 2 ÷ 3

÷ 2 ÷ 2 ÷ 3

Método 2Divide las dos partes de la fracción por el Máximo Factor Común (¡tienes que calcularlo primero!).

Ejemplo: Simplifi ca la fracción 812

:

1. El mayor número que divide exactamente 8 y 12 es 4 (¿por qué?), así que el Máximo Factor Común es 4.2. Divide arriba y abajo por 4:

48

(Cuatro octavos)

24

(Dos cuartos)

12

(Un medio)

92


8 212 3

=

÷4

÷4

Y la respuesta es: 23

93


a) Simplifi que las siguientes fracciones hasta tener una fracción irreductible:

1. 36

2. 1545

3. 49

4. 28

5. 612


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

94


6. 1248

b) Indique cuál fracción es mayor. (Utiliza el signo de >, <)

7. 6 211 9

8. 4 611 7

9. 4 129 17

10. 4 93 2

95


3.2. SISTEMA DE NUMERACIÓN

No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo.

En esta lección veremos una manera de expresar partes de una unidad a través del sistema de numera-ción decimal, que ya hemos empezado a estudiar.

Recuerde que nuestro sistema de numeración es decimal porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice de qué tamaño son los grupos que estamos contando.

DECIMOS

Para contar cuántos grupos de cada tamaño tenemos, este sistema utiliza diez símbolos, que son los dígi-tos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes igua-les; cada una de esas partes se llama décima.

Veamos un ejemploQueremos expresar la cantidad de área que tenemos sombreada en la siguiente fi gura, utilizando como unidad el cuadrado. El área sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qué parte de la unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectángulo, partimos el rectángulo en diez partes. Cada una de esas “rebanadas” es un décimo del área. Tenemos 3 décimos sombreados y hay un pedazo sombreado que sobra, que es más chico que un décimo.

Para saber de qué tamaño es el pedazo que nos falta medir, partimos los décimos en diez partes cada uno. El rectángulo nos queda partido en 10 × 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos pedacitos es un centésimo. Con siete de ellos, ahora sí abarcamos exactamente el área sombreada. Sabemos entonces que toda esa área es: 1 unidad, 3 décimos y 7 centésimos.

96


Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar posi-ciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de cada tamaño empezando con los pedazos más grandes, los décimos, y luego los centésimos.

En nuestro ejemplo tenemos cero enteros dos décimos y siete centésimos: entonces escribimos 0.27 Este número lo podemos leer también como cero entero veinte y siete centésimos.

3.3. EXPANSIÓN DECIMAL FINITA

Con cualquier cantidad de cifras.Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto deci-mal de un número se llama la expansión decimal d e l número.

Hay números que tienen una expansión decimal que no se termina; se dice que tienen expansión decimal infi nita.

Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este número signifi can que sigue 3 un número in-fi nito de veces.

Cuando la expansión decimal de un número se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene expan-sión decimal fi nita.

Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 888.9393939222929399932221929292475751.

Esto último no incluye a los ceros que se pueden agregar a la derecha de la última cifra;Por ejemplo, 6.7705000000… es un número con expansión decimal fi nita, porque es igual a 6.7705.

97


1. Escriba con notación decimal los números que le damos en forma escrital:a) Doce unidades doce centésimos

b) cuarenta y siete décimos

c) doscientos treinta y cinco milésimos

d) dos unidades quince milésimos

e) ciento seis milésimos

f) diecinueve milésimo

g) cinco centésimos

h) cinco décimos


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

98


i) dos diezmilésimos

j) ciento treinta centésimos

k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece millonésimos

l) seis millones setecientas unidades, un millón veintisiete mil once diezmillonésimos

99


3.4. CONVERSIONES DE EXPRESIONES DECIMALES A FRACCIONES

Para expresar partes de una unidad hemos trabajado con números fraccionarios en el sistema de numera-ción decimal posicional y también con quebrados con cualquier denominador. Es conveniente ver la rela-ción entre estas dos maneras de escritura. Observe que podemos escribir las fracciones decimales como quebrados o como números decimales, por ejemplo:

Un décimo 1/10 = 0.1 Un centésimo 1/100 = 0.01 Un milésimo 1/1000 = 0.001 Un diezmilésimo 1/10 000 = 0.0001 Un cienmilésimo 1/100 000 = 0.00001 Un millonésimo 1/1000 000 = 0.000001 Un diezmillonésimo 1/ 10 000 000 = 0.0000001 Un cienmillonésimo 1/100 000 000 = 0.00000001

En general, si tenemos cualquier número decimal, con leerlo basta para saber cómo se puede escribir como un quebrado. Por ejemplo, el número 0.23 se lee veintitrés centésimos. Sabemos entonces que se pue-de escribir como 23 partes de un entero partido en cien pedazos iguales. Es decir: 0.23 = 23/100. Observe que el denominador de la fracción que construimos tiene dos ceros y 0.23 tiene dos cifras decimales.

DECIMALESLos decimales son un tipo de número fraccionario. El decimal 0.5 representa la fracción 5/10. El decimal 0.25 representa la fracción 25/100. Las fracciones decimales siempre tienen un denominador basado en una potencia de 10.

Un número decimal (en base 10) contiene un punto decimal.

VALOR POSICIONALPara entender los números decimales primero tienes que conocer la notación posicional.

Cuando escribimos números, la posición (o "lugar") de cada número es importante.En el número 327: el "7" está en la posición de las unidades, así que vale 7 (o 7 "1"s), el "2" está en la

posición de las decenas, así que son 2 dieces (o veinte), y el "3" está en la posición de las centenas, así que vale 3 cientos.

unidades (1s)decenas (10s)cientos (100s)

100s

10x más grande

10s 1s

100


← Cuando vamos a la izquierda, cada posición vale ¡10 veces más!

De unidades, a decenas, a centenas ... y...Cuando vamos a la derecha, cada posición es 10 veces más pequeña. →

De centenas, a decenas, a unidades

100s

10x más pequeño

10s 1s

¿Pero qué pasa si seguimos después de las unidades?¿Qué es 10 veces más pequeño que las unidades?¡1/10 (décimos)!

Pero tenemos que poner un punto decimal (o coma decimal, depende de dónde vivas), para que se-pamos exactamente dónde está la posición de las unidades:

100s

10x más pequeño

punto decimal

10s 1s 1/10s

"Trescientos veintisiete y cuatro décimos"

¡Y eso es un número decimal!

CONVERTIR UNA FRACCIÓN A UN DECIMAL Sigue los siguientes pasos:Para convertir una fracción a un decimal:•

Por ejemplo: Convierte 4/9 a un decimal.Divide el numerador de la fracción por el denominador (ej. 4 ÷ 9 = 0.44444) Redondea el resultado a • la precisión deseada.

101


Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por

ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etcétera).Paso 3: Simplifi ca (reduce) la fracción.

Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracciónPaso 1: Escribe:

0.751

Pasó 2: Multiplica el número de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

0.75 751 100

=

× 100

× 100

¡Ves, cómo arriba se convierte en un entero!

Pasó 3: Simplifi ca la fracción:

÷ 25

÷ 25

75 3100 4

=

Respuesta = 34

Nota: ¡ 75100

se llama una fracción decimal y 34

es llamada una fracción común!

102


Ejemplo 2: Expresa 0.625 como una fracción.Paso 1: escribe:

0.6251

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1.000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10 × 10 × 10 = 1.000).

6251, 000

Pasó 3: simplifi ca la fracción (me llevó dos pasos aquí):

625 25 51, 000 40 8

= =

÷ 25

÷ 25

÷ 5

÷ 5

Respuesta = 58

Ejemplo 3: Expresa 0.333 como fracciónPaso 1: Escribe abajo:

0.3331

Paso 2: Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había tres dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1000).

3331, 000

Pasó 3: Simplifi ca la Fracción:

¡No se puede simplifi car!

Respuesta = 3331000

Pero una Nota Especial:

103


Si en realidad quieres expresar 0.333... (En otras palabras los 3 repitiéndose para siempre lo que se llama 3 periódico) entonces necesitas seguir un argumento especial. En este caso escribimos:

0.333...1

Y entonces MULTIPLICAMOS ambos lados por 3:

0.333... 0.999...1 3

=

× 3

× 3

Y 0.999... = 1 (¿Es así? - ver la discusión sobre 9 Periódico si estás más interesado), así que:

Respuesta = 13

105


▪ Encuentre el número decimal equivalente a cada uno de los siguientes quebrados:

a) 13

b) 12

c) 14

d) 15

e) 16

f) 17

g) 18

h) 19

i) 110

j) 111

k) 1

12 l) 3

4


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

106


▪ Encuentre un quebrado equivalente a cada uno de los siguientes números decimales:a) 0.12

b) 1.34

c) 9.75

d) 71.1

e) 82.7

f) 38.44

g) 0.75

h) 0.25

i) 1.20

j) 5.5

k) 21.83

l) 8.90

▪ José y Fermín tienen que pintar dos paredes del mismo tamaño y decidieron que cada uno pintara una pared. En 3 horas José pintó de la pared que le correspondía y Fermín.a) Represente gráfi camente las paredes y la parte de cada una que ya está pintada.b) Exprese las porciones de pared pintadas por cada uno con fracciones de igual denominador.c) ¿Quién pintó más, José o Fermín?d) ¿Terminarán de pintar en 2 horas más de trabajo al mismo ritmo? ¿Por qué?

▪ Se extrajeron 7/11 del contenido de un depósito de agua que estaba lleno.a) Represente gráfi camente el depósito y la parte de agua que se extrajo.b) Exprese con un quebrado la parte del contenido que quedó en el depósito.c) ¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa más o menos de la mitad de su capacidad?

107



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

ORDEN EN LOS NÚMEROS DECIMALES

Para saber si un número decimal es mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte entera es mayor, el número es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que 67.987 porque 134 es mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque 56 es menor que 108; escribimos 56.87954 < 108.13. Si las partes enteras de dos decimales son iguales, nos fi jamos en los déci-mos, que son las fracciones decimales más grandes.

El número que tiene más décimos es más grande.

Por ejemplo: 43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69.▪ En cada par de números indique cuál es el mayor:

a) 14.27 y 12.98 g) 126.44 y 126.4491

b) 364.846 y 325.787 h) 8.66 y 8.656

c) 90.13 y 90.95 i) 7.02 y 7.002

d) 6.328 y 6.32 j) 0.00637 y 0.0063

e) 51.1 y 51.01 k) 4.49 y 4.5

f) 0.014 y 0.14 l) 87.3 y 87.03

▪ En cada par de números indique cuál es el menor:

a) 50.4 y 30.43 g) 71.9 y 71.900

108


b) 46.793 y 46.79326 h) 0.0016 y 0.001

c) 518.628 y 192.475 i) 55.55 y 55.555

d) 6.57 y 4.75 j) 6.14 y 6.104

e) 59 y 59.9 k) 3.87 y 3.087

f) 28.2 y 28.02 l) 9.34 y 9.3040

▪ Entre cada par de números coloque el símbolo =, el símbolo > o el símbolo < según corresponda:

a) 2.21 2.214 i) 27.430000 27.43

b) 6.12 6.1200 j) 0.001 0.0001

c) 12.9 12.09 k) 2.71013 2.72

109


3.5. OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

1. Cuando tienen el mismo denominador se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Después si podemos se simplifi ca.

2. Cuando tienen distinto denominador.

Hay que reducir a común denominador.▪ Se calcula el m. c. m. de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y coge-

mos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.▪ Dividimos el m. c. m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos

por el número que haya en el numerador.▪ Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y

dejamos el mismo denominador.▪ Si podemos simplifi camos.

* Para comparar fracciones de distinto denominador, primero debemos reducirlas a común denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar.

Ejemplos

Suma y resta con fracción1. Con el mismo denominador

a) 1 2 35 5 5

+ = b) 3 4 7 1

14 14 14 2+ = = c)

5 2 3 19 9 9 3

− = = d) 7 5 213 13 13

− =

2. Con distinto denominador

a) 3 2 3 2 21 10 31m.c.m(5,7) 355 7 5 7 35 35 35

+ = = + = + = b) 2 1 8 3 53 4 12 12 12

− = − =

201051

225

20 = 22 ∙ 5 ∙ 1 15 = 3 ∙ 5 ∙ 1 5 = 5 ∙ 1

35

1551

551

111


▪ Calcula las operaciones que se indican, recuerda simplifi car tu resultado:

a) 9 15 5

+ = b) 2 53 3

+ = c) 1 22 3

+ = d) 5 16 5

+ =

e) 3 17 2

+ = f) 11 218 4

+ = g) 9 511 7

+ = h) 3 42 3

+ =

i) 6 17 7

− = j) 6 111 2

− = k) 4 53 2

− = l) 5 18 8

− =

m) 9 111 5

− = n) 21 115 4

− = o) 3 14 2

− = p) 7 19 3

− =

q) 1 1 23 5 3

+ + = r) 2 3 34 5 6

+ + = s) 3 5 26 4 3

− − =


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

112


▪ Resolver en equipos los siguientes problemas:

La maestra le pide a uno de sus alumnos que obtenga la mitad de 1/6 y a una alumna que obtenga lo doble de 1/6 ¿Qué fracción obtuvo cada uno?

En una granja se destinan 2/5 partes de la tierra a la siembra del maíz, 2/8 partes a la siembra del fríjol y el resto se destina para vegetales ¿Qué parte de la granja se destina sembrar vegetales?

Un aljibe está conectado a 3 mangueras, la primera arroja 1 ¼ litro de agua por minuto, la segunda arroja 1 ¾ litros de agua por minuto y la tercera arroja 2 litros de agua por minuto, si el aljibe se llena con 50 litros de agua ¿Cuánto tiempo pasara para que se llene cuando se abren al mismo tiempo las tres mangueras? (de su resultado en fracciones y decimales)

En un terremoto ocurrido en la India, el 4/25 del total de edifi cios no sufrió daños, el 4/5 fueron re-parados y el resto fue demolido ¿Qué parte del total de edifi cios fue demolido?

¿Qué cantidad de pólvora se obtiene al mezclar 16 2/3 gramos de salitre, 2 7/9 gramos de carbón y 2 2/9 de azufre?

Un padre de familia decide heredar en vida un terreno entre su esposa e hijos y lo hace de la siguiente manera: 1/8 para Juan, 2/9 para Ana, ½ para Raúl y el resto para su esposa ¿Qué parte del terreno le toco a su esposa?

113


MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.3º Después se simplifi ca.

Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador uno.

Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el nuevo

denominador. Una fracción x su inversa da la unidad.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIÓN POR FRACCIÓN

Observe como se puede simplifi car el calculo de 8 510 6

×

Forma “A” 8 5 5 8 40 20 10 210 6 10 6 60 30 15 3

× =× = + = =×

Forma “B” 8 510 6

simplifi cando cruzado nos queda 4 1 42 3 6

× =

Simplifi co 4 26 3

=

Se puede simplifi car las fracciones antes de resolverlas “cual te parece mas fácil”

Ahora observa como se puede calcular

4 22 y 36 4

× × → 2 4 8 4 111 6 6 3 3

× = = =

2 3 6 3 114 1 4 2 2

× = = =

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES MIXTAS

1 1 3 7 211 22 3 2 3 6

× = × = simplifi cando 7 132 2

=

114


DIVISIÓN DE FRACCIONES1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el nuevo

numerador.2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo

denominador.3º Después si podemos se simplifi ca.

Ejemplos de multiplicación y división de fracciones

Multiplicación

a) 3 1 3 1 34 5 4 5 20

⋅⋅ = =⋅

b) 5 4 20 14 5 20

⋅ = = * Son fracciones inversas dan uno.

Fracción de un número y fracción de una fracción

a) 3 3 60 180de 60 454 4 1 4

= ⋅ = = b) 4 1 4 1 4de5 3 5 3 15

= ⋅ =

División

a) 3 2 3 5 154 5 4 4 8

⋅⋅ = =⋅

b) 2 7 2 4 85 4 5 7 35

⋅⋅ = =⋅

También × por la inversa de la 2a 2 7 2 4 85 4 5 7 35

⋅ = ⋅ =

115



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

a) 3 45 6

× = b) 6 37 2

× = c) 8 126 5

× = d) 10 127 6

× =

e) 15 33 8

× = f) 2 124 3

× = g) 3 85 2

× = h) 13 16 2

× =

i) 4 122 3

× = j) 5 65 6

× = k) 1 12 4

÷ = l) 3 14 5

÷ =

m) 3 18 8

÷ = n) 12 13 4

÷ = o) 8 15 6

÷ = p) 132

× =

q) 3 18 8

÷ = r) 376

× = s) 5 98

× = t) 12 66

× =

116


▪ Resolver en equipos los siguientes problemas

Del total de mis ahorros, destino el 7/8 del mismo para construir una casa, de estos 7/8 del total desti-no 6/7 en la compra del terreno y el resto para la compra de materiales ¿Qué parte del total de mis ahorros lo destine en la compra del terreno?

Un barril con capacidad de 50 ½ litros contiene gasolina en sus tres cuartas partes (3/4) ¿Cuántos litros de gasolina hay en el barril?

Después de repartir el pastel en una fi esta de cumpleaños, sobro 3/5 del mismo, decidimos repartir en partes iguales el sobrante entre mis dos hermanas y yo ¿Que parte del pastel sobrante nos corresponde a cada uno de nosotros?

Lupita compro 4 ½ metros de tela para hacer manteles de mesa, si cada mantel requiere ¾ de metro de tela ¿Cuántos manteles podrá hacer?

Con 1 kilogramo de silicón solidó se pueden llenar 48 tubos aplicadores ¿Cuántos tubos se podrán llenar con 5 ¾ kilogramos de silicón?

Se necesita empastar una superfi cie que mide 20 ¼ de metros cuadrados (mts2) si una cubeta de pasta cubre 6 ¾ metros cuadrados ¿Cuántas cubetas se necesitan para cubrir totalmente la superfi cie de pasta?

Un rectángulo mide 6/7 metros cuadrados de área, si su base es de 4/6 metros ¿Cuál será su altura?

117


PROBLEMAS DE PRÁCTICA1. Susana Gasta 2/5 partes de su sueldo en el mandado de cada semana, si ella gana 820 pesos ¿Cuánto

gasta en el mandado?

2. Alma recibirá un aumento del 2/9 de su sueldo actual a partir de la siguiente semana, su sueldo en este momento es de 900 pesos ¿De cuánto será su aumento? ¿Cuánto ganara en total?

3. Mi hermano tiene 2/5 partes de mi edad, si yo tengo 30 años ¿Qué edad tiene mi hermano?

4. Arturo gano 2/3 de un premio y Gerardo 2/6, si el premio fue de $54 000, ¿Cuánto le correspondió a Arturo?

5. Para hacer un convivio, varias personas llevaron lo necesario para hacer tortas de jamón; se reunieron 2 paquetes de jamón que pesaban ½ kilogramo y 1/8 de kilo, ¿Cuánto jamón se reunió?

6. Julián corrió ¼ de kilometro el primer día de entrenamiento, el segundo día corrió ¼ de kilometro y el tercer día corrió ¾ de kilometro en total, ¿Cuántos kilómetros corrió?

118


DEFINICIÓNUna potencia esta formada por dos números, la base y el exponente.La base se multiplica por si misma tantas veces como diga el exponente: Potencia Base Exponente Solución 23 2 3 2 × 2 × 2 = 8 (-3)2 -3 2 (-3)(-3) = 9

23

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

35 2

2

2

3 95 25

=

31

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

12

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 3

3

( 1) 12 8− = −

SIGNO DE LAS POTENCIASEs siempre positivo, excepto cuando la base es negativa y el exponente impar.Debemos aplicar la regla de los signos para multiplicar las bases.

52 = 5 × 5 = 25 53 = 5 × 5 × 5 = 125 (-5)2 = (-5)(-5) = 25 (-5)3 = (-5)(-5)(-5) = -125

74 = +2401 (-7)3 = -343 21 1

3 9⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

31 1

3 9⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 112 = 121

(-17)3 = -4913

Importante: cuando hay un signo negativo delante de la potencia, se hace la potencia aplicando la regla de los signos y después se aplica el signo menos que lleva adelante.

-(3)2 = -(3)(3) = -9 -(-2)3 = -(-2)(-2)(-2) = -(-8) = 8 -52 = -(5 × 5) = -25

OPERACIONES CON POTENCIASProducto de potencias de la misma base: Se deja la misma base y se suman los exponentes.

ab × ac = ab+c (-3)2 × (-3)3 = (-3)2+3

2 5 7 7

7

2 2 2 23 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Cociente de potencias de la misma base: Se deja la misma base y se rentan los exponentes.

ab ÷ ac = ab-c 53 ÷ 52 = 53-2 = 5 5 2 5 2 31 1 1 1 1

2 2 2 2 8

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ÷ − = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Potencia de una potencia: Se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

(ab)c = ab×c (53)2 = 56

52 10 10

10

3 3 35 5 5

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠PRODUCTO Y COCIENTE DE POTENCIAS DE DISTINTA BASE.

Debemos resolver cada potencia por separado y después multiplicar o dividir.

23 × 32 = 8 × 9 = 72 1 2 3

2

1 3 9 18 9 3 2722 2 4 4 2 5 25

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞× = × = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

119



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Elevar las siguientes fracciones al exponente indicado:

a) 21

2⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 33

4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 28

3⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 42

3⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 2 31 3

4 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= f) 3 35 2

8 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

g) 2 41 1

3 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= h) 6 43 1

4 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= i) 8 54 1

5 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

120


j) 10 83 1

6 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= k) 3 42 34 2

5 3⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

PROBLEMAS DE APLICACIÓNEjemplo Modelo

▪ Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que después de 1 hora queda la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento hay 320 gramos de la sustancia, ¿cuánto quedará después de 8 horas? ¿Cuánto después de n horas?Como la cantidad que queda después de cada hora es 1 de los gramos al fi nal de la hora anterior, la

cantidad restante se calcula multiplicando el número de gramos anterior por 1.

0 1 2 31 1 1 1320 320 320 360 320 80 320 402 2 2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Cero horas después de una hora de dos horas de tres horas

▪ Supón que una sustancia decae de tal modo que ½ de ella queda después de 1 hora. Si había 640 gra-mos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? ¿Cuánto queda después de n horas? R: 5 gramos; 640(½)n gramos.

▪ Si una cuerda tiene 243 pies de longitud y se cortan sucesivamente 2/3 de su longitud, ¿cuánto queda después de 5 cortes? ¿Cuánto después de n cortes? R:

▪ Para la cuerda del ejercicio anterior, ¿cuánto queda después de 5 cortes si cada vez se corta la tercera parte? ¿Cuánto queda después de n cortes? R: 32 pies; 243(2/3)n pies.

▪ Una empresa tiene un plan de 4 años para aumentar su personal a la cuarta parte cada uno de esos años. Si el personal actual es de 2560, ¿cuántos habrá al fi nal del plan cuatrienal? Formula una expresión exponencial que represente la fuerza laboral después de n años.

121


3.6. PORCENTAJES

Pero ¿Cuál es el concepto de porcentaje? El porcentaje se da, de tomar una cantidad de cada cien, es decir, determinar la cantidad que le corresponde proporcionalmente. Entonces, el porcentaje trata de buscar números proporcionales derivados de cien.

“En la vida cotidiana aparecen con frecuencia porcentajes, por ejemplo, en todo tipo de comercios, en los cuales los precios se rebajan un 10%, un 25% o cualquier otro porcentaje” (Océano; 2002:142) Es por esto que el signifi cado debe quedar completamente claro para cualquier persona, pues el uso de éste, es indispensable en la vida diaria. Lo encontramos en descuentos, aumentos y en el IVA de tiendas y supermercados.

ENCONTRAR EL PORCENTAJE DE UN NÚMEROPara determinar el porcentaje de un número sigue los siguientes pasos:▪ Multiplica el número por el porcentaje (ej. 87 * 68 = 5916).▪ Divide el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda) (ej. 5916 59.16

100= ).

▪ Redondea a la precisión deseada (ej. 59.16 redondeado al número entero más próximo = 59).

DETERMINAR UN PORCENTAJEEjemplo: ¿68 que porcentaje es de 87?

▪ Divide el primer número por el Segundo (ej. 68 ÷ 87 = 0.7816).▪ Multiplica el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) (ej. 0.7816 * 100

= 78.16).▪ Redondea con la precisión deseada (ej. 78.16 redondeado al número entero más próximo = 78).▪ Termina tu respuesta con el signo % ej. 68 es el 78% de 87).

CONVERTIR UNA FRACCIÓN A UN PORCENTAJESigue los siguientes pasos para convertir una fracción a un porcentaje.

Por ejemplo: Convierte 45

a un porcentaje.

▪ Divide el numerador de la fracción por el denominador ( ej. 4 ÷ 5 = 0.80).▪ Multiplica por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) (ej. 0.80 * 100 = 80).▪ Redondea el resultado a la precisión deseada.▪ Termina tu respuesta con el signo % (ej. 80%)

CONVERTIR UN PORCENTAJE A UNA FRACCIÓNSigue los siguientes pasos para convertir un porcentaje a una fracción:

Por ejemplo: Convierte 83% a una fracción.▪ Elimina el signo porcentual.▪ Haz una fracción con el porcentaje como el numerador y 100 como el denominador (ej. 83

100).

▪ De ser necesario reduce la fracción.

CONVERTIR UN DECIMAL A UN PORCENTAJE

122


Sigue los siguientes pasos para convertir un decimal a un porcentaje:Por ejemplo: Convierte 0.83 a un porcentaje.

▪ Multiplica el decimal por 100 (ej. 0.83 * 100 = 83).▪ Agrega el signo porcentual a tu respuesta (ej. 83%)

CONVERTIR UN PORCENTAJE A UN DECIMALComo convertir un porcentaje a un decimal:

Por ejemplo: Convierte 83% a un decimal.▪ Divide el porcentaje por 100 (ej. 83 ÷ 100 = 0.83)

USOS DE PORCENTAJES

DESCUENTO DE PRECIOS▪ A menudo los negocios venden productos a un precio de descuento. El negocio hará un descuento en

un producto utilizando un porcentaje del precio original. Por ejemplo, un producto que originalmente cuesta $20 podría tener un 25% de descuento.

▪ Para averiguar la cantidad del descuento calcula el 25% de $20. ($20.00 * 25/100 = $5.00)▪ Resta el descuento del precio original para averiguar el precio de venta. (precio de venta $20.00-$5.00

= $15.00).▪ Estos son algunos términos que puedes ver para productos descontados: 50% menos Ahorre 50%

Descontado en 50%

AUMENTOUn negocio puede tener una regla que el precio de determinado tipo de producto necesita un incremen-to de un determinado porcentaje para establecer a cuanto venderlo. Este porcentaje se llama margen de ganancia.▪ Si se conoce el costo y el porcentaje de del margen de ganancia, el precio de venta es el costo original

más la cantidad del margen de ganancia. Por ejemplo, si el costo original es $4.00 y el margen de ga-nancia es 25%, el precio de venta debería ser $4.00 + $4.00 * 25/100 = $5.00.

▪ Una forma más rápida de calcular el precio de venta es igualar el costo original a 100%. El margen de ganancia es 25% entonces el precio de venta es 125% del costo original. En el ejemplo, $4.00 * 125/100 = $5.00.

MONTO DEL IMPUESTO A LAS VENTA▪ Muchos estados y ciudades recaudan un impuesto a las ventas sobre precios al consumidor. El im-

puesto a las ventas se determina averiguando un porcentaje del precio de compra. El porcentaje del impuesto llamado tasa impositiva varía entre las diferentes ciudades y estados.

▪ Si el impuesto a las venta es 5% y se hace una compra de $10.00, el impuesto a las venta es $10.00*6/100 o $0.60.

123



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Hallar el:a. 7% de $41.50.

b. 10% de 90

c. 78% de 905

d. 10% de 250

e. 20% de 52.

▪ Convertir a porcentaje las siguientes fracciones:a. 3

4 =

b. 12

=

c. 15

=

d. 110

=

e. 2

100 =

f. 58

=

124


▪ Convertir los siguientes porcentajes a fracción:a. 25%

b. 35%

c. 125%

d. 85%

e. 12%

f. 10%

▪ Convertir los siguientes decimales a porcentajes.a. 0.36

b. 0.45

c. 0.25

d. 0.12

e. 0.75

▪ Convertir los siguientes porcentajes a decimales:a. 36%

b. 125%

c. 45%

d. 8%

e. 20%

f. 6%

125


▪ En equipo resuelvan los siguientes problemas:a. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

b. Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de au-mento?

c. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

d. Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pa-gar?

e. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

f. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

126


g. ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?

h. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

i. Había ahorrado el dinero sufi ciente para comprarme un abrigo que costaba $90.000. Cuando llegué a la tienda, este tenía una rebaja del 20%. ¿Cuánto tuve que pagar por él?

j. Una calculadora costaba $25000, y la rebajan un 35%. ¿Cuál será su precio rebajado?

127


3.7. VARIACIÓN PROPORCIONAL

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.

RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICARazón entre dos númerosSiempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refi riendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.

Entonces: Razón entre dos números a y b es el cociente entre:

ab

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que: 10 52

=

Y la razón entre los números 0.15 y 0.3 es: 0,15 10, 3 2

=

PROPORCIÓN NUMÉRICAAhora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.

Entonces: Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Es decir a cb d

=

Se lee “a es a b como c es a d”Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón

entre 8 y 20.

Es decir 2 85 20

=

En la proporción a cb d

=

Hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos

es igual al de los medios.

Así, en la proporción anterior 2 85 20

=

128


Se cumple que el producto de los extremos nos da 2 × 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 × 8 = 40.

En general a c a d b cb d

= → ⋅ = ⋅

Magnitud 1 Magnitud 2

a b

c x

b ca x b c xa⋅⋅ = ⋅ ⇒ =

Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora vere-mos que esa relación puede darse en dos sentidos:

Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.

Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALESSi dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Ejemplo:Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

a) Completa la tabla

Número de sacos

1 2 6 26

Peso en kg 20 40 60 520 200

Para pasar de la 1ª fi la a la 2ª basta multiplicar por 20Para pasar de la 2ª fi la a la 1ª dividimos por 20

Observa que 1 2 3 ...20 40 60

= = =

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla

de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad de problemas matemáticos.

129


REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTAEjemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitu-des cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:

Litros de agua 50 x Gramos de sal 1.300 5.200

Se verifi ca la proporción: 501.300 5.200

x=

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:

50 por 5.200 = 1.300 por x

Es decir 50 5.200 2001.300

x ⋅= =

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

50.5.200 2001300

x = =En 50 l hay 1300 g de sal 50 l ― 1300 gEn x habra 1200 g de sal xl ― 5200 g

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

131



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:

1. 410 60

x=

2. 9 1212 x

=

3. 8 232 x

=

4. 3

12x

x=

5. 246x

x=

132


▪ Resolver los siguientes problemas en equipo

1. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado $60 ¿Cuánto cobrará por 8 horas?

2. Un granjero tiene 4 vacas que comen 50 kilos de pastura al día. Si tuviese 56 vacas, ¿cuánta pastura consumirían en un día?

3. Por 5 días de trabajo he ganado $390. ¿Cuánto ganaré por 18 días?

4. Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y me-dia?

5. Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si

6. Mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?

7. Un padre les da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una cantidad propor-cional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad?

8. Trescientos gramos de queso cuestan $6 ¿Cuánto podré comprar con $4.50?

133


MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

EjemploSi 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar

el mismo trabajo?En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajado-

res, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).

Formamos la tabla: complete los espacios vacios.

Hombres 3 6 12 18 Días 24 12 8

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72Por tanto 18 por x = 72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo.

Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.

Importante: Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes in-versamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA O INDIRECTA

Ejemplo 1Un ganadero tiene forraje sufi ciente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimen-tar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas 220 450 Nº de días 45 X

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde 220 45 22

450x ⋅= =

134


En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

220 vacas tienen para 45 días 220 vacas ― 45 días450 vacas tienen para x días 450 vacas ― x días

220.45 22450

x = =

Luego 450 vacas podrán comer 22 díasEsta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de

tres simples inversas.

Ejemplo 2Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

8 toneles ― 200 litros32 toneles ― x litros

8.200 5032

x = =

Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x.Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES

Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad

Ejemplo 1: Proporcionalidad directa.Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las mismas

condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento?

▪ Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego las magnitu-des número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales.

▪ El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble. Luego las mag-nitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad descono-cida, gasto.

135


Sabemos que 4 chicos ―en→ 10 días ―gastan→ 25000 pesos

Reducción a la unidad1 chico ―en→ 10 días ―gasta→ 25000 6250

4=

pesos

1 chico ―en→ un día ―gasta→ 6250 62510

=pesos

6 chicos ―en→ 1 día ―gastan→ 625.6 = 3750 pesosBúsqueda del

resultado6 chicos ―en→ 15 días ―gastan→ 3750.15 = 56250 pesos

Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en ha-cer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

▪ Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

▪ Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son in-versamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.

Sabemos que 15 obreros ―trabajando→ 6 hrs diarias ―tardan→ 30 díasReducción a la unidad 1 obrero ―trabajando→ 6 hrs diarias ―tarda→ 30.15 = 450 días

1 obrero ―trabajando→ 1 hr diaria ―tarda→ 450.6 = 2700 días

10 obreros ―trabajando→ 1 hr diaria ―tardan→ 2700 27010

= días

Búsqueda del resultado 10 obreros ―trabajando→ 8 hrs diarias ―tardan→ 270 33.75

8= días

Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.

137



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

1. Se ha conseguido un bus de 40 asientos para los alumnos de la prepa. El bus tiene un costo total para el curso. Si van los 30 alumnos de prepa, cada uno deberá cancelar $1 800. Si participan 25 alumnos, ¿cuánto debe pagar cada uno?

2. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

3. Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento?

4. Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo?

5. Una cuadrilla formada por 4 obreros alicata un muro de una nave industrial en 12 días. ¿Cuántos obre-ros deben tener la cuadrilla para hacer el mismo trabajo en 4 días?

138


6. Para una misma pieza de cinta. Si se cortan 5 trozos de igual longitud, cada trozo mide 24 cm ¿cuál será la longitud de cada trozo si se cortan 10? Y si se cortan 12 ¿Y si cada trozo mide 6 cm?, ¿cuántos trozos se podrán cortar?

7. Para resolverlo, ¿cuál es la condición (constante) que permite el cálculo? Que indique que es para la misma pieza de cinta., es decir la longitud es iguala a 120 cm. Luego si se cortan 10 trozos, cada uno medirá 12 cm. Calcule Usted los restantes. Para preparar el decorado para la feria de ciencias de la escuela, se ha designado a 6 alumnos. Se estima que tardarán 4 días en terminarla. Pero, por distintos cambios en las actividades escolares, se necesita que esté lista en 4 días. ¿Cuántos alumnos más se nece-sitarán? Es indudable que se necesitarán más, pero resolverlo como un problema de proporcionalidad inversa, habrá que suponer que todos los alumnos trabajan de la misma forma y al mismo tiempo, de lo contrario no habrá condición que permita el cálculo. ¿Tiene sentido este tipo de problema?

8. La empresa elaboradora de alimentos para animales acostumbra a envasar su producción en bolsas de 3kg, 5kg, 10kg, 15 kg y 20 kg. En esta oportunidad dispone de 15 toneladas a granel y envasarán la misma cantidad de alimento por cada tipo de bolsa. La persona responsable de esta operación hizo la siguiente tabla:

Kg. por bolsa 3 5 10 15 20Núm. De bolsas 1000

Completar la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre el número de bolsas y la cantidad de kg por bolsa?

139


3.8. NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es:

3.1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 227

= 3.1428571428571... Se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción), ¡no porque esté loco!

RACIONAL O IRRACIONALPero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

Ejemplo: 9.5 se puede escribir en forma de fracción así

192

= 9.5

Así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos: completa la tabla

Números En fracción ¿Racional o irracional?

5 51

1.75.001 1

1000

2 (raíz cuadrada de 2)

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1.4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefi nidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.Así que la raíz de 2 es un número irracional.La raíz cuadrada de 2, también conocida como constante pitagórica, se denota a menudo como:

140


2

La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer número irracional conocido. Geométricamente es la longitud de la diagonal de un cuadrado de longitud unidad; el valor de la lon-

gitud de esta diagonal se puede averiguar mediante el Teorema de Pitágoras.

La razón plateada se defi ne como: 1 2+ .

2

1

1

NÚMEROS IRRACIONALES FAMOSOS

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:1.61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

3 1.7320508075688772935274463415059 (etc.)

9 9.9498743710661995473447982100121 (etc.)

141


1.618...a a bb a

+= = =

a + b

a b

Pero 4 2= , y 9 3= , así que no todas las raíces son irracionales.

(Pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

3,14159265358979323846...π ≈

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo. Como e es un número trascendental, y por lo tanto es irracional, su valor no puede ser dado exactamente como un número fi nito o con decimales periódicos. Su valor aproximado es:

e = 2.7182818284590452354

RAZÓN DE OROLa razón de oro (el símbolo es la letra griega "phi" de la izquierda) es un número especial que vale aproximadamente 1.618

Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras áreas.

LA IDEASi divides una línea en dos partes de manera que:

la parte larga dividida entre la corta

es igual que

el total dividido entre la parte larga

Entonces tienes la razón de oro.▪ Resuelve en equipo los siguientes

problemas.

143



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

1. Supón que te encargan pintar las 2/3 partes centrales de una mesa circular de 0.9 metros de diámetro. ¿Que área tendrías que pintar?

2. Un hilo de cobre esta rodeando una plataforma circular de 60 cm de radio. Se quiere emplear este mismo hilo para rodear 3 plataformas circulares de 20 cm de radio cada una de ellas. .Cual debe ser la longitud de los trozos de hilo que cortemos?

144


3. El patio de un Instituto tiene la forma de un cuadrado de 22 metros de lado. Se quiere trazar una franja de color blanco que divida el patio en dos triángulos iguales, con la idea de dar distintas utilidades al patio. Sabiendo que para pintar 1 metro de franja se necesitan 30 gramos de pintura, ¿que cantidad de pintura se necesitara para pintar la franja entera?

4. En un reloj circular de 1 cm de radio, .que arco debe recorrer la aguja grande en treinta y cinco minu-tos?

5. Una piscina de forma circular de 6 metros de radio se quiere cubrir en invierno con una malla metálica de modo que quede totalmente cubierta. ¿Que cantidad de malla se necesitara?

6. Calcula la distancia mínima que hay que recorrer para atravesar un patio de forma cuadrada de 10 me-tros de lado desde una esquina hasta la esquina opuesta.

7. Una fi nca rectangular de 50 Hectáreas se quiere dividir en dos partes de forma que una de las partes sea de tamaño el cuadrado de la otra parte. Si el largo de cada una de las partes es de 100 metros, calcula el ancho de la parcela mayor.

145


A

B

a

b

c

C

3.9. INTRODUCCIÓN DE SENO, COSENO Y TANGENTE

Un triángulo rectángulo consta de un ángulo de 90oy dos ángulos agudos. Cada ángulo agudo de un trián-gulo rectángulo tiene las funciones de seno, coseno y tangente. El seno, el coseno y la tangente de un án-gulo agudo de un triángulo rectángulo son rezones de dos de los tres catetos de un triángulo rectángulo.

El seno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo de la hipotenusa.

El coseno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto adyacente al ángulo dividido por el largo de la hipotenusa.

La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo del lado adyacente del ángulo.

sen coseccateto opuesto a hipotenusa cA Ahipotenusa c cateto opuesto a

= = = =

cos seccateto contiguo b hipotenusa cA Ahipotenusa c cateto contiguo b

= = = =

tg cotgcateto opuesto cateto contiguoa bA Acateto contiguo b cateto opuesto a

= = = =

146


147



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

a) En el triángulo ABC, b = 42 cm, c = 25 cm. y B + C=94º. Calcular los lados B y C, el lado a y el área del triángulo.

b) En el triángulo ABC se tiene A = 94º, B = 36º y a + b = 30. Calcular a, b, c y el ángulo C.

c) En el triángulo ABC se tiene b = 52 cm; c= 49 cm y B C = 12º. Calcular A, B, C, a, el área y el perímetro del triángulo.

d) Resolver el triángulo de lados a = 36cm. b = 26 cm y c = 24 cm. Calcular su área.

148


e) En un triángulo se conoce A = 94º, B =36º y a + b = 30. Calcular C, a, b, c, y el área del triángulo.

f) En un triángulo ABC se conoce a = 37, b = 42 y c = 68. Calcular A.B.C y el área del triángulo.

g) En un rombo de lado 4 el área es 10. ¿Cuáles son los ángulos del rombo?

h) Resolver el triángulo en el que se conoce A + B = 60º, a = 7, b = 5

149


i) Una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m, que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60º, supongamos que el hilo esta tirante, hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa.

j) Un faro de 50 mts. situado sobre un promontorio a 85 mts se ve un barco desde el extremo superior y 65 mts. Desde el extremo inferior mide. Calcular la altura del promontorio.

k) Cual es la altura de un puente que cruza un rio de 35 m. de ancho si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo pero del lado opuesto con un ángulo de 15º.

l) Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?

150


m) Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edifi cio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal

n) Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a dichos botes.

o) Un terreno triangular está demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de 205 m. hacia la carretera y una cerca de 147 m. ¿Qué ángulo forma la cerca con la carretera?

151

BLOQUE 4

PROBABILIDAD Y CONTEO

CONOCIMIENTO Y HABILIDADES▪ Que el alumno incorpore a su acervo herramientas tanto para contar como para otras aplicaciones:

la función generadora, en la solución de problemas de probabilidad, su uso es limitado en cursos de Probabilidad y Estadística.

INTENCIONES DIDÁCTICASSe considera que el estudiante conoce las reglas de conteo:▪ Aditiva.▪ Multiplicativa.▪ Permutaciones.▪ Combinaciones.

La probabilidad mide el elemento de aleatoriedad que se encuentra asociado a la ocurrencia de determinados eventos. El objetivo aquí es contar los distintos arreglos de los puntos en un espacio muestral sin que se tenga que anotar cada uno de ellos.

Por ejemplo, miremos qué pasa cuando se lanza una moneda. Qué puedo obtener al lanzarla, solamente cara o sello, no hay más opciones en esa mone-da. Cuando se trata de contar las posibilidades en una moneda....fácil, pero y si es algo más complicado que una moneda..... ?

Supongamos que la señora que nos hace el favor de vendernos el almuercito solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas (sopa con verduras, de pasta, de arroz y de plátano), además sólo sabe hacer 3 tipos de platos fuertes (con frijoles, con lentejas y con verduras), sabe hacer además postre de natas, de guayaba y miel y sólo da agua con el almuerzo.

QUÉ POSIBILIDADES DE ALMUERZO TENEMOS PARA HOY?Entonces las posibilidades son:1. Sopa de verduras con frijoles, postre de natas y agua. 2. Sopa de verduras con lentejas, postre de natas y agua. 3. Sopa de verduras con verduras, postre de natas y agua. 4. Sopa de pasta con frijoles, postre de natas y agua. 5. Sopa de pasta con lentejas, postre de natas y agua.

Alguno dirá: ¡Cambie de restaurante! (tiene razón)... y otros observarán todas las posibles variaciones que se pueden generar aún siendo tan pequeño el menú, sólo enunciamos 5 de 36 posibilidades para el almuerzo de hoy. Por lo tanto, no es fácil hacer el conteo para todas esas variaciones y más si se hace una por una. Por ello existen técnicas que sin duda facilitan notablemente los conteos de todas las posibilida-des existentes.

152


4.1. DIAGRAMA DE ARBOL

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posi-bilidades, acompañada de su probabilidad.

En el fi nal de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible fi nal del experimento (nudo fi nal).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.Ejemplos:Una universidad tiene de tres facultades:La 1ª con el 50% de estudiantes.La 2ª con el 25% de estudiantes.La 3ª con el 25% de estudiantes.Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

0,5

0,6

0,6

0,6

0,4

0,4

0,4

0,25

0,25

1a Facultad Mujer

Hombre

2a Facultad

3a Facultad

Mujer

Hombre

Mujer

Hombre

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

0,5

0,6

0,6

0,4

0,4

0,25

0,25

1a Facultad Mujer → 0.5 * 0,6 = 0,3

Mujer

Hombre

Hombre

2a Facultad

3a Facultad

0,6

0,4

Mujer

Hombre

P (alumna de la 1a facultad) = 0,5 ∙ 0,6 = 0,3

153

Bloque IV. Conteo y probabilidad

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

0,5

0,6

0,6

0,6

0,4

0,4

0,4

0,25

0,25

1a Facultad

Mujer

Mujer

Mujer

Hombre → 0,5 * 0,4 = 0,2

Hombre → 0,25 * 0,4 = 0.1

Hombre → 0,25 * 0,4 = 0,1

2a Facultad

3a Facultad

155



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Representa en un diagrama de árbol los siguientes problemas.

1. Diana se viste para ir al trabajo, se va a poner una falda negra, No sabe si combinarla con una blusa rosada, blanca o azul.También podría usar zapatos negros, blancos o rosados.¿Cuántos trajes posibles puede formar?

156


2. Felipe desea empezar un programa de ejercicios con dos actividades. Durante la semana puede correr o montar en bicicleta.En los fi nes de semana, puede jugar béisbol, fútbol o voleibol. ¿Cuántos programas de ejercicios puede

planear Felipe?

157


TÉCNICAS DE CONTEO

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.

Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

4.2. LA TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓN

La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m × n formas da hacer ambas cosas.

En términos de fórmula, número total de arreglos = m × nEsto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:Número total de arreglos = m × n × o

Ejemplo 1:Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 × 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m × n = 8 × 6 = 48

Ejemplo 2:Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien más como vicepresidente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?

Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: ¿Cuántas listas de dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no esté repetida)?

Hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posición, n = 15) y para cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m = 14) para el segundo elemento de la lista (el vicepresidente). Según el principio de la multiplicación, hay 15 × 14 (n m) posibilidades.

158


4.3. PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la prime-ra de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas…. y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N +………+ W maneras o formas

Ejemplos:1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de

entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga (8 u 11 kilogramos), en cuatro colores dife-rentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiau-tomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirlpool.N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy.W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric.M = 2 × 4 × 2 = 16 maneras.N = 3 × 2 × 2 = 12 maneras.W = 1 × 2 × 1 = 2 maneras.M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora.

2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes me-dios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.

Solución:a) V = maneras de ir a las Vegas. D = maneras de ir a Disneylandia. V = 3 × 2 = 6 maneras. D = 3 × 4 = 12 maneras. V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia.

b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas. D = maneras de ir y regresar a Disneylandia. V = 3 × 2 × 1 × 2 = 12 maneras. D = 3 × 4 × 3 × 2 = 72 maneras.

159


V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo.

¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una

serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

4.4. LA TÉCNICA DE LA PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN

QUÉ DIFERENCIA HAY?Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:▪ Si el orden no importa, es una combinación.▪ Si el orden sí importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!

Con otras palabras:Una permutación es una combinación ordenada.Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"

PERMUTACIONESHay dos tipos de permutaciones:▪ Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".▪ Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a

la vez.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓNSon las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: n × n ×... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 ×... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

160


Así que la fórmula es simplemente:nr

Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa).

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓNEn este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu si-

guiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13... = 20, 922, 789, 888, 000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

La función factorial (símbolo: !) signifi ca que se multiplican números descendentes. Ejemplos:4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 247! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 50401! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar nin-gún número dé 1, pero ayuda a simplifi car muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:16! = 20, 922, 789, 888, 000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 15 14 13 12... 16 15 14 336013 12...

× × × × = × × =×

¿Lo ves? 16 16 15 1413!

= × ×

La fórmula se escribe:!

( )!n

n r−

Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa).

161


Ejemplos:Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16! 16! 20,922,789,888, 000 3360(16 3)! 13! 6, 227, 020,800

= = =−

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10! 10! 3,628,800 90(10 2)! 8 ! 40, 320

= = =−

(Que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)NotaciónEn lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

!( , )( )!

nr n r

nP n r P Pn r

= = =−

COMBINACIONESTambién hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):▪ Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5, 5, 5, 10, 10).▪ Sin repetición: como números de lotería (2, 14, 15, 27, 30, 33).

COMBINACIONES CON REPETICIÓNEn realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

COMBINACIONES SIN REPETICIÓNAsí funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:Imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no

importe.Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa El orden no importa123 1 2 3 132 213 231312 321

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

162


De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

! 1 !( )! ! !( )!

n nn r r r n r

× =− −

a

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

!!( )!

nnrr n r

⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coefi ciente binomial".

NotaciónAdemás de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo !( , )

!( )!n

r n r

n nC n r C Cr r n r

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16! 16! 20,922,789,888, 000 5603!(16 3)! 3! 13! 6 6, 227, 020,800

= = =− × ×

O lo puedes hacer así:

16 15 14 3360 5603 2 1 6

× × = =× ×

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"... o mejor todavía...¡Recuerda la fórmula!

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

!!( )!

n nnr n rr n r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

163


Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.

16! 16! 16! 5603!(16 3)! 3!(16 3)! 3! 13!

= = =− − ×

COMBINACIONES CON REPETICIÓNOK, ahora vamos con este...

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?

Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son:{c, c, c} (3 de chocolate).{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla).{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla).(Y para dejarlo claro: hay n = 5 cosas para elegir, y eliges r = 3 de ellas. El orden no importa, ¡y sí pue-

des repetir!)

Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.

b c l s v

Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, des-pués sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!

Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.

Ahora puedes escribirlo como →○○○→→→ (la fl echa es saltar, el círculo es tomar)Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:{c, c, c} (3 de chocolate): →○○○→→→{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla): ○ →→○→→○{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla): ○→→→→○○

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar fl echas y círculos"

Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 fl echas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).

164


Así que (en general) hay r + (n – 1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.Esto es como decir "tenemos r + (n – 1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como

el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:

1 ( 1)!!( 1)!

n r n rr r n

+ −⎛ ⎞ + −=⎜ ⎟ −⎝ ⎠Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden no im-

porta).Es interesante pensar que podríamos habernos fi jado en fl echas en vez de círculos, y entonces habría-

mos dicho "tenemos r + (n – 1) posiciones y queremos que (n – 1) tengan fl echas", y la respuesta sería la misma...

1 1 ( 1)!1 !( 1)!

n r n r n rr n r n

+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + −= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?

(5 3 1)! 7! 5040 353!(5 1)! 3! 4 ! 6 24

+ − = = =− × ×

En conclusión es un montón de cosas que absorber, quizás tendrías que leerlo otra vez para entenderlo todo bien!

Pero saber cómo funcionan estas fórmulas es sólo la mitad del trabajo. Averiguar cómo se interpreta una situación real puede ser bastante complicado.

Por lo menos ahora sabes cómo se calculan las 4 variantes de "el orden sí/no importa" y "sí/no se puede repetir".

165



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Resuelve en equipo los siguientes problemas.

1. Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero sólo tiene 6 lugares en la mesa.

a. ¿De cuántas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.b. ¿De cuántas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados.c. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuántas

maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.d. ¿De cuántas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.e. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuántas maneras los

puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.f. ¿De cuántas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.g. Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la

mesa. ¿De cuántas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.h. ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros hombres?i. ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares al azar también,

quede sentados intercalados hombres y mujeres?

166


167


FENÓMENOS ALEATORIOS Y DETERMINISTASA los resultados que pueden ocurrir en un experimento o fenómeno se les llama eventos.

A los fenómenos que de antemano se conoce su resultado se les llama deterministas.

Ejemplo:▪ Si se lanza una pelota hacia arriba, sabemos que tendrá que caer.▪ Si se deja un trozo de hielo en el agua, sabemos que se derretirá.▪ Si el agua se calienta a 100° C sabemos que se evaporará.▪ Si se deja sin agua a una planta sabemos que se secará en poco tiempo.

Otros ejemplos de fenómenos deterministas son:▪ La fecha en que será tu cumpleaños.

Se les llama aleatorios a los fenómenos que tienen varios resultados posibles y no se puede asegurar cuál de ellos ocurrirá.

Ejemplo:▪ Al lanzar al aire una moneda puede caer águila o sol.▪ Al lanzar un dado puede caer 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.▪ El último dígito del número que saldrá premiado en la lotería puede ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.

Otros ejemplos de fenómenos aleatorios son:▪ Los ganadores de los próximos juegos olímpicos.▪ El marcador del próximo juego de la selección mexicana de futbol.

Señala si los fenómenos son aleatorios o determinista.1) Numero de años que vive un habitante de este país.

2) Poner agua en una olla y ponerla al fuego.

3) El numero de personas que entrara a comprar al negocio de la esquina.

4) Mezclar agua y azúcar.

5) Ganar una rifa comprando solo un boleto


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

168


6) Una piedra cae, si nada la soporta.

7) Si un líquido se calienta sufi cientemente, se evapora.

8) Si se suman los ángulos de un triángulo, el resultado es de 180º.

9) Extraer una carta de una baraja.

10) Lanzar un dado y anotar el símbolo que aparece en la cara superior.

11) Lanzar una moneda y anotar el símbolo que aparece en la cara superior.

12) Extraer una bola de la lotería.

13) Abrir un libro al azar y anotar el último número de la página de la derecha.

169

BLOQUE 5

ESTADÍSTICA

CONOCIMIENTO Y HABILIDADES

▪ Que el alumno aprenda a registrar, clasifi car, redactar y describir a través de los números los hechos relevantes, denotando los propios datos o números derivados de ellos, tales como los promedios.

▪ Que el alumno analice también los datos obtenidos, enunciando las propiedades comunes a todas las observaciones.

INTENCIONES DIDÁCTICAS

Que el alumno reconozca que a través de la estadística se estudian los medios científi co para;▪ Recoger,▪ Organizar,▪ Resumir▪ Analizar datos sobre fenómenos ocurridos y, posterior mente del estudio de los datos obtenidos sacar

conclusiones validas y tomar decisiones razonables basadas en tales análisis.

ESTADÍSTICA

Puede defi nirse como aquellos métodos que incluyen la recolección, presentación y caracterización de un conjunto de datos con el fi n de describir apropiadamente las diversas características de ese conjunto.

ESTADÍSTICA ¿CÓMO?

▪ Realización de un Proyecto de Investigación:

MuestraTest

Estadístico

Conclusiones

Población

170


5.1. TASAS E ÍNDICES

Una tasa es una razón entre 2 magnitudes con distintas unidades, y una razon es una forma de comparar 2 cantidades y se expresa como una fraccion reducida. a una tasa cuyo denominador es 1 se le llama tasa unitaria

EJERCICIO

▪ ¿Cuántos km de sal se pueden comprar con $5 pesos? razon 10kg5

pesos 10 25

= tasa unitaria 2kg1

peso

▪ Una manguera de agua expulsa 20 galones en 40 segundos razon: 20 galones/ 40 segundos tasa unita-ria: .05 galones/ 1 segundo Por otro lado 1 índice es una referencia matemática que mide cuantitativa-mente el resultado de una actividad, por lo tanto es una relación entre 2 o más números.

Un índice es una medida que informa acerca de los cambios de valor que experimenta una variable en 2 situaciones, 1 de los cuales se toma como referencia. La comparación generalmente se hace por medio de una división. A la situación inicial se le llama periodo base y a la situaciones que queremos comparar, periodo actual o corriente:

xtixo

=

i = índice.xt = periodo base.xo = periodo de estudiar.

ESTADÍSTICAS

En su defi nición más general, es la rama de las matemáticas que se ocupan en reunir, organizar y analizar uno o más conjuntos de datos en forma ordenada para resolver problemas.

La densidad de población (también denominada formalmente población relativa, para diferenciarla de la absoluta) se refi ere a la distribución del número de habitantes a través del territorio de una unidad funcional o administrativa (continente, país, estado, provincia, departamento, distrito, condado, etc.).

▪ Su sencilla fórmula es la siguiente:

PoblaciónDensidadSuperficie

=

▪ Como a nivel mundial las superfi cies usualmente se expresan en kilómetros cuadrados, la densidad obtenida comúnmente corresponde a habitantes por km². No obstante, en los países angloparlantes se suele utilizar la milla cuadrada como unidad de superfi cie, por lo que en ellos la población relativa es normalmente expresada por medio de habitantes/mi²

171

Bloque V. Estadística

EjemploSe denomina densidad de población a la cantidad de habitantes que viven por kilómetro cuadrado.

Por ejemplo, si en una isla la superfi cie es de 200 km2 y su población asciende a 54.000 habitantes, la densidad de población será:

254.000 270 habitantes por km200

=

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Completa la siguiente tabla, compara los resultados y contesta las preguntas

País Población absoluta 2002

Superfi cie Densidad

Hungría 9 900 000 hab. 93 033 km2

España 41 000 000 hab. 504 783 km2

Estados unidos 288 500 000 9 529 063 km2

Singapur 4 200 000 618 km2

China 1 294 400 000 9 572 900 km2

TASA DE CRECIMIENTO POBLACIONAL

En demografía y ecología, la tasa del crecimiento poblacional (PGR de las siglas en inglés: Population growth rate) es la tarifa fraccionaria en la cual el número de individuos en una población aumenta. Espe-cífi camente, el PGR, se refi ere ordinariamente al cambio en la población durante un período de tiempo de unidad, expresado a menudo como un porcentaje del número de individuos en la población al principio de ese período. Esto se puede escribir como la fórmula:

(población al final del periodo población al principio del periodo)Tasa de crecimientopoblación al principio del periodo

−=

La manera más común de expresar el crecimiento demográfi co es mostrarlo como una razón aritmé-tica, y no como porcentaje. El cambio en la población durante un período de unidad se expresa como porcentaje de la población al principio del período. Eso es:

Razón de crecimiento = Tasa de crecimiento × 10%

Una positiva razón aritmética o (tasa) del crecimiento indica que la población está aumentando, mien-tras que un cociente del crecimiento negativo indica la declinación de la población. Un cociente del creci-miento de cero indica que había el mismo número de gente en los dos tiempos - la diferencia neta entre los nacimientos, las muertes y la migración es cero. Sin embargo, una tasa de crecimiento puede ser cero incluso cuando hay cambios signifi cativos en los índices de natalidad, los índices de mortalidad, las tasas

172


de inmigración, y la distribución de edad entre los dos tiempos. Equivalentemente, el porcentaje del índice de mortalidad = el número medio de muertes en un año para cada 100 personas en la población total.

Una medida relacionada es la tasa neta de reproducción. En la ausencia de migración, un índice de reproducción neta de más de uno indica que la población de mujeres está aumentando, mientras que una tasa neta de reproducción menor a uno (fertilidad del reemplazo secundario) indica que la población de mujeres está disminuyendo.

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Calcula la tasa anual de crecimiento de la población de los países A, B y C utilizando los datos del cua-

dro y la fórmula siguientes: *

Aumento de la ÷ Población al × 100 = Tasa anual de población comienzo del crecimiento de la población (%)en un año año

Población al comienzo del año

Población al fi nal del año

Aumento de la población

durante el año

Tasa anual de crecimiento de la

población (%)País A 22.000.000 22.400.000País B 8.500.000 8.800.000País C 400.000.000 410.000.000

*(Las tasas medias de crecimiento anual de la población a lo largo de varios años dan una idea más exacta que las tasas anuales. Por esta razón, se utilizan en el Cuadro de datos. Para calcular una tasa de crecimiento durante un período más largo que un año es necesario utilizar fórmulas matemáticas más complicadas que la utilizada para calcular una tasa anual.)

Las tasas de crecimiento de la población son cifras pequeñas, pero producen grandes efectos en la población. Para ver lo que esto signifi ca, haz los siguientes ejercicios.

a. Supongamos que la población mundial a comienzos de 2000 era de aproximadamente 6.000 millones. Si la tasa media anual proyectada de crecimiento de la población mundial en 2000 era de 1,1%, ¿cuántas personas más se habrán agregado a la población mundial en 2001?

b. Si en 2000 la población mundial creciera a una tasa del 0,2%, es decir, a la misma tasa proyectada del Reino Unido, ¿cuántas personas más se habrían agregado a la población mundial en 2001?

c. Si en 2000 la población mundial creciera a una tasa de 1,7%, es decir, a la misma tasa proyectada de Kenia, ¿cuántas personas más se habrían agregado a la población mundial en 2001?

Utiliza los cálculos y los datos del cuadro que sigue para calcular las tasas de natalidad, las tasas de mor-talidad y las tasas de crecimiento de la población de tres países y agrega la información que falta.

173


Número denacimientos

(%)

÷ Población × 100 = Tasa de natalidad

Número demuertes (%)

÷ Población × 100 = Tasa de mortalidad

Tasa de natalidad (%)

– Tasa de mortalidad

(%)

= Tasa de crecimiento

de la población (%)

Nacimientos Muertes Población Tasa de natalidad

Tasa de mortalidad

Tasa de crecimiento

de la población

País A 662.000 297.000 33.100.000 [2%] [0,9%] [1,1%] País B 411.000 191.800 27.400.000 [1,5%] [0,7%] [0,8%] País C 211.200 96.800 4.400.000 [4,8%] [2,2%] [2,6%]

ESTADÍSTICA

La estadística es una rama de las matemáticas que conjunta herramientas para recolectar, organizar, pre-sentar y analizar datos numéricos u observacionales. Presenta números que describen una característica de una muestra. Resulta de la manipulación de datos de la muestra según ciertos procedimientos especi-fi cados.

PROCEDIMIENTO1. Obtención de datos. 2. Clasifi cación. 3. Presentación. 4. Interpretación. 5. Descripción. 6. Generalizaciones. 7. Comprobación de hipótesis por su aplicación. 8. Toma de decisiones

TÉRMINOS COMUNES

Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de dicha ciudad. Muestra: Subconjunto de la población se-leccionado de acuerdo con un criterio, y que sea representativo de la población. Por ejemplo, elegir 30 personas por cada colonia de la ciudad para saber sus edades, y este será representativo para la ciudad. Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estu-diamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos la edad de cada habitante, cada habitante es un individuo.

174


Variable: Fenómeno que puede tomar diversos valores. Las variables pueden ser de dos tipos:Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, co-

lor de la piel, sexo).Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales). Por su

parte, las variables cuantitativas se pueden clasifi car en discretas y continuas:Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede

ser 1, 2, 3...., etc., pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un

vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc. Las variables también se pueden clasifi car en:Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de

los alumnos de una clase).Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo:

edad y altura de los alumnos de una clase).Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad,

altura y peso de los alumnos de una clase).

175


▪ Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:1. Comida Favorita.2. Profesión que te gusta.3. Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.4. Número de alumnos de tu Instituto.5. El color de los ojos de tus compañeros de clase.6. Coefi ciente intelectual de tus compañeros de clase.

▪ De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continúas.1. Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.2. Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.3. Período de duración de un automóvil.4. El diámetro de las ruedas de varios coches.5. Número de hijos de 50 familias.6. Censo anual de los españoles.

▪ Clasifi car las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.1. La nacionalidad de una persona.2. Número de litros de agua contenidos en un depósito.3. Número de libros en un estante de librería.


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

176


177

5.2. ELABORACIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRAFICAS DE FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

TIPOS DE FRECUENCIAS

Frecuencia absolutaLa frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fi.La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

f1 + f2 + f3 + ... + fn = N

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

i n

ii l

f N−

−

=∑

Frecuencia relativaLa frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

ii

fnN

=

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumuladaLa frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumuladaLa frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

EjemploDurante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33,

33, 29, 29.

178


En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xi Recuento fi Fi ni Ni

27 I 1 1 0.032 0.03228 II 2 3 0.065 0.09729 6 9 0.194 0.29030 7 16 0.226 0.51631 8 24 0.258 0.77432 III 3 27 0.097 0.87133 III 3 30 0.097 0.96834 I 1 31 0.032 1

31 1

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases.A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Límites de la claseCada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la claseLa amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de claseLa marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el nú-

mero de intervalos queramos establecer.Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50: 5 = 10 intervalos.Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo,

pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

179


ci fi Fi ni Ni

[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

40 1

DIAGRAMA DE BARRAS

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

EjemploUn estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguíneo fiA 6B 4

AB 10 9

20

POLÍGONOS DE FRECUENCIA

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos median-

te segmentos.

A B AB 00

2

4

6

8

10fi

180


EjemploLas temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Hora Temperatura6 7º9 12°12 14°15 11°18 12°21 10°24 8°

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

360ºifN

α = ⋅

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.EjemploEn una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

1 2

3 4

360º 360º12 144º 3 36º30 30

360º 360º9 108º 6 72º30 30

α α

α α

= ⋅ = = ⋅ =

= ⋅ = = ⋅ =

Alumnos ÁnguloBaloncesto 12 144°Natación 3 36°Fútbol 9 108°Sin deporte 6 72°Total 30 360°

1514131211109876543210

6 9 12 15 18 21

Baloncesto

FútbolNatación

Sin

depo

rte

181


▪ Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

▪ Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

182


▪ El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.

▪ Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

▪ Las califi caciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9,

6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

▪ Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

183


5.3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de centralización son:▪ Media aritmética. La media es el valor promedio de la distribución.▪ Mediana. La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución

y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.▪ Moda. La moda es el valor que más se repite en una distribución.▪ Medidas de dispersión. Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro

los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:▪ Rango o recorrido. El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribu-

ción estadística.▪ Desviación media. La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desvia-

ciones respecto a la media.▪ Varianza. La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.▪ Desviación típica. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

CÁLCULO DE LA MEDIA MEDIANA Y MODA

Medidas de tendencia central. La tendencia central se refi ere al punto medio de una distribución. Las medidas de tendencia central se conocen como medidas de posición.

Media. La media es el punto en una distribución de medidas, alrededor del cual las desviaciones suma-das son iguales a cero. Es el valor promedio de una muestra o población. La media es muy sensible a mediciones extremas que no estén balanceadas en ambos lados. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:

Media aritmética. Se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:

fxXn

∑=

MEDIANA

Observación u observación potencial en un conjunto que divide el conjunto, de modo que el mismo nú-mero de observaciones estén en cada uno de sus lados. Para un número impar de valores, es el valor de en medio; para un número par es el promedio de los dos medios. Para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios.

Ejemplo:Calcule la mediana para los siguientes datos.La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22.Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25.La mediana es 21.

184


La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula median-te la siguiente fórmula:

Mediana = 2n FALRI c

f⎡ ⎤⎛ ⎞

+ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.

MODA

La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.Ejemplo: Las califi caciones de un examen de diez estudiantes son:81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87.

Como la califi cación 81 es la que más ocurre, la califi cación modal es 81La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia

de clase mayor.Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en

dicho ejemplo.

CÁLCULO DE LA MEDIANA

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me = 53. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones

centrales.7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9.5

CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre 2N

.

12 i

i ii

N FMe L a

f

−−= + ⋅

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

2N es la semisuma de las frecuencias absolutas.

185


Fi–1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.ai es la amplitud de la clase.La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.Ejemplo: Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

fi Fi

[60, 63) 5 5[63, 66) 18 23[66, 69) 42 65[69, 72) 27 92[72, 75) 8 100

100

100 502

=

Clase de la mediana: [66, 69)

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

x Es el símbolo de la media aritmética.Ejemplo: Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

84 91 72 68 87 78 806

x Kg+ + + + += =

Media aritmética para datos agrupadosSi los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

1 1 2 2 3 3 n nx f x f x f x fxN

+ + + += … 1

n

i ii

x fx

N−=∑

Ejercicio de media aritméticaEn un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

xi fi xi · fi[10, 20) 15 1 15[20, 30) 25 8 200[30,40) 35 10 350[40, 50) 45 9 405[50, 60 55 8 440[60,70) 65 4 260[70, 80) 75 2 150

42 1 820

186


1820 43.3342

x = =

La varianza se representa por σ2.2

2 2 22 21 2 1

( )( ) ( ) ( )

n

in i

x xx x x x x x

N Nσ σ =

−− + − + + −= =

∑…

Varianza para datos agrupados:2

2 2 22 21 2 2 1

( )( ) ( ) ( )

n

i in n i

x x fx x x x f x x f

N Nσ σ =

−− + − + + −= =

∑…

Para simplifi car el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equiva-lentes a las anteriores.

2 2 2 22 2 2 21 2

1

nn i

i

x x x xx xN N

σ σ=

+ + += − = −∑…

Varianza para datos agrupados

2 2 2 22 2 2 21 1 2 2

1

nn n i i

i

x f x f x f x fx xN N

σ σ=

+ + += − = −∑…

Ejercicios de varianzaCalcular la varianza de la distribución:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

2 2 2 2 2 2 2 22

9 3 8 8 9 8 9 18 98

(9 9) (3 9) (8 9) (8 9) (9 9) (8 9) (9 9) (18 9) 158

x

σ

+ + + + + + += =

− + − + − + − − + − + − + −= =

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225[20, 30) 25 8 200 5000[30,40) 35 10 350 12 250[40, 50) 45 9 405 18 225[50, 60 55 8 440 24 200[60,70) 65 4 260 16 900[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

2 288050 182043.33 218.94 43.3342 42

xσ = − = = =

187



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)fi 8 10 16 14 10 5 2

1. Construir la tabla de frecuencias.2. Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

188


▪ Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1. Construir la tabla de frecuencias.2. Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

189


▪ Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

xi 61 64 67 70 73fi 5 18 42 27 8

Calcular:1. La moda, mediana y media.2. El rango, desviación media, varianza.

▪ Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.Dadas las series estadísticas:3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

Calcular:La moda, la mediana y la media.El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

40

60

5

18

42

27

8

63 66 69 72 75

20

0

1. Formar la tabla de la distribución.2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?3. Calcular la moda.4. Hallar la mediana.5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

Ejemplo: Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números si-guientes:

a) 2, 3, 6, 8, 11.b) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.c) 2, 3, 6, 8, 11.

Media2 3 6 8 11 6

5x + + + += =

190


Desviación típica

2 2 2 2 222 3 6 8 11 6 10.8

5σ + + + += − =

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Media

12 6 7 3 15 10 18 5 76 9.58 8

x + + + + + + += = =

Desviación típica

2 2 2 2 2 2 2 2212 6 7 3 15 10 18 5 9.5 23.75

8σ + + + + + += − =

EjemploUn pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses Niños9 110 411 912 1613 1114 815 1

Calcular la desviación típica.

xi fi Ni xi · fi x²i · fi9 1 1 9 8110 4 5 40 40011 9 14 99 108912 16 30 192 230413 11 41 143 185914 8 49 112 156815 1 50 15 225

50 610 7526

27526 12.2 1.6850

σ = − =

191

▪ Sea la población de elementos: {22,24, 26}.1. Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediante muestreo aleatorio simple.2. Calcule la varianza de la población.3. Calcule la varianza de las medias muéstrales.

El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

192


Calcular la desviación típica.▪ Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)fi 3 5 7 4 2

▪ Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

193

BLOQUE 6

EL LENGUAJE ALGEBRAICO Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO

CONOCIMIENTO Y HABILIDADES

▪ Que el alumno aplique el lenguaje algebraico como el primer paso en la conquista del álgebra.

INTENCIONES DIDÁCTICAS

Se planteara modelos matemáticos relacionados con: ▪ Problemas verbales. ▪ Resolver ecuaciones de primer grado. ▪ Así como sistemas de ecuaciones y mucho más.

En lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si quere-mos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a signifi ca un número cualquiera de la numeración.

También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

6.1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y po-tencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, - , x, ÷; en un número fi nito.▪ El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de multiplicación y división de

letras y números, tanto el numero como la letra puede estar elevado a una potencia.▪ El término independiente solo consta de un valor numérico.▪ Términos semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras (parte literal) y varían

solo su coefi ciente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los términos no son semejantes ya no es posible, lo que si es posible es dividir o multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto, lo cual es la suma de los exponentes de cada letra, o puede ser un término de grado relativo en lo cual se toma en cuenta la letra y su exponente.

▪ Notación: Si a es una constante o una variable y b una variable entonces ab indica el producto de a y b o sea: ab = a * b

194


Ejemplos (De expresiones algebraicas):

2 43 2

2

3 352

x y a bx y xyZ x a c

++ −−

Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresión algebraica, en la cual las potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados únicamente por la multiplicación y además no contiene letras en el denominador.

Ejemplo (De monomios):

a) 7 26x y z− b) 7 23

abc− + c) 5

Ejemplo (De expresiones algebraicas que no son monomios):

a) 6 + x c) 9x–3y2 b) 3

4xy+ d)

123z

En un monomio se puede distinguir el factor numérico (coefi ciente) y el factor literal.

EjemploEn 4x2y3z, 4 es el factor numérico (coefi ciente) y x2y3z es el factor literal.

En 2 53 3,

4 4x z− − es el factor numérico (coefi ciente) y x2z5 es el factor literal.

En 2 41 8( 2) ,5 5

x z− es el factor numérico (coefi ciente) y es el factor literal.

Notación: Si x es una variable o una constante entonces: 1 * x = x y -1 * x = -x

Tomando en cuenta esta notación tenemos que:Si el coefi ciente de un monomio o de una expresión algebraica es 1 o -1, no escribimos el 1.

Ejemploa) En x2y el coefi ciente es 1. b) En -a3b5c2 el coefi ciente es -1.

Si dos o más monomios tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre sí.

Ejemplo

a.) Los monomios 6x5 y2, 5 2

5 21 2,3 9

x yx y − , son semejantes entre sí. 9 b.) Los monomios, 2 3 5 3 5 327 , 4 ,

3a x a x a x− no son semejantes entre sí.

195

Bloque VI. Lenguaje algrbraico y ecuaciones de primer grado

OPERACIONES CON LENGUAJE ALGEBRAICO

Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas defi niciones:

Un número cualquieraSe puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:

La suma de dos números cualesquieraa + b = la suma de dos números cualesquiera.x + y = la suma de dos números cualesquiera.

La diferencia de dos números cualesquieraa – b = la diferencia de dos números cualesquiera.m – n = la diferencia de dos números cualesquiera.

La suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquieraa + b – c = la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera.

El producto de dos números cualesquieraa * b = el producto de dos números cualesquiera.

El cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera)ab

= el cociente de dos números cualesquiera.

La semisuma de dos números cualesquiera( )

2a b+ = la semisuma de dos números cualesquiera.

El semiproducto de dos números cualesquiera( * )

2a b = el semiproducto de dos números cualesquiera.

El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia

( )( )a ba b

+−

El doble de un número 2X

El doble de la suma de dos números 2(a + b)

El triple de la diferencia de dos números 3(x – y)

196


La mitad de un número

2X

La mitad de la diferencia de dos números

( 4)2

x −

El cuadrado de un número x2

El cuadrado de la suma de dos números (x + 4)2

El triple del cuadrado de la suma de dos números.3(x + 4)2

197


▪ Indica las expresiones algebraicas de las siguientes frases:a) El doble de un número.

b) El cuadrado de un número menos tres.

c) La suma de dos números.

d) La diferencia de los cuadrados de dos números.

e) La mitad de un número.

f) El cuádruplo de un número.

g) La suma de un número y su cuadrado.

h) El doble de un número menos cinco.

i) La tercera parte de un número.

j) El cuadrado de la suma de dos números.

k) El doble de la suma de tres números.


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

198


l) El triple de la raíz cuadrada de un número.

m) La suma de tres números consecutivos.

n) Una cuarta parte de la suma de dos números.

o) Un número aumentado en cinco unidades.

p) El doble de un número menos el triple de otro.

q) Las tres cuartas partes de un número.

r) El cubo de la diferencia de dos números.

s) El producto de dos números.

t) La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.

▪ A continuación te sugerimos realices el ejercicio, donde tienes que expresar en forma verbal o escrita los diferentes términos según sea el caso.

a) 2x

b) El cociente de la suma de dos números sobre tres.

c) El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el primer sumando.

d) (x – 4)c

e) La diferencia de los números es mayor que su cociente.

199


f) (3x)2

g) El triple del cuadrado de la diferencia de un binomio.

h) 32( )

3a b

ab−

i) La suma del doble de un número con otro número.

j) El cubo de la raíz cuadrada de la suma de dos números.

▪ Las siguientes expresiones algebraicas pasarlas del lenguaje escrito a lenguaje algebraico.Evaristo tiene 14 años, ¿Cuántos tendrá durante x años?

Paca tiene 12 años, ¿Cuántos tendrá en “y” años?

▪ Completar la siguiente tabla

Expresión Algebraica valores Valor numérico3n + 10 n = 33x2 – 12 X = 24a– 8b a =-1 y b = 0

3x2 – 5x + 6 X=3a + 3 5

35

a + a = 12

201


6.2. OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

Resolver los siguientes problemas algebraicos▪ Si a la cuarta parte de un número le quitamos 4, el resultado es 20. Halle el número.▪ Encuentre dos números consecutivos cuya suma sea 43.▪ Pedro tiene 28 años y su hijo 4. ¿Dentro de cuántos años, Pedro tendrá cuatro veces la edad de su hijo?

¿Es única la solución?▪ Hallar dos números enteros pares consecutivos, cuya suma sea 14.▪ La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 años.▪ Hallar ambas edades.

MONOMIOS

Para sumar o restar dos monomios, es necesario que sean monomios semejantes. Observa cómo suma-mos los siguientes monomios:

7x + 4x = (7 + 4) x = 11x3xy2 − 5xy2 = (3 − 5) xy2 = −2xy2

La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coefi ciente es la suma o diferencia de los coefi cientes de los monomios dados.

Si queremos reducir dos o más monomios no semejantes, no nos será posible. Por ejemplo, los mo-nomios 3x2z y 7yx2 no se pueden reducir. Por tanto: ▪ La suma de ambos monomios es: 3x2z + 7yx2

▪ La diferencia de ambos monomios es: 3x2z – 7yx2

La suma o diferencia de varios monomios no semejantes es el polinomio formado por la suma o diferencia indicada de dichos monomios

Algunos ejemplos de sumas y diferencias de monomios son:

3x − 7x + 4x2 = −4x + 4x2

8xy2 + 2xy2 = 10xy2

6x2z − 3zx2 + x y = 3x2z + x y

8x4 − 3x4 + 5x4 = 10x4

202


ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Realiza las sumas y restas de monomios.

2x2y3z + 3x2y3z =

22x3 − 5x3 =

33x4 − 2x4 + 7x4 =

42a2bc3 − 5a2bc3 + 3a2bc3 − 2a2bc3 =

203


SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Para sumar dos o más polinomios, agrupamos los términos semejantes y los reducimos. A continuación, añadimos los términos no semejantes.

Si queremos sumar los polinomios x3 + 8z + y + 4y 2x3 + 5z − 12 agrupamos términos y sumamos del siguiente modo:

(x3 + 8z + y + 4) + (2x3 + 5z − 12) = (x3 + 2x3) + (8z + 5z) + y + (4 − 12) = 3x3 + 13z + y − 8

Cuando los polinomios que queremos sumar tienen muchos términos, conviene colocarlos de modo que los términos semejantes queden unos encima de otros.

3

3

3

5 3 7 4 3

8 2 1013 7 3 7

x x y z

x x zx x y z

+ − + −

+ − ++ + + +

Cuando queremos restar dos polinomios, cambiamos el signo de todos los términos del sustraendo y sumamos directamente.

3

3

3

5 3 7 4 3

8 2 103 5 7 5 13

x x y z

x x zx x y z

+ − + −

+ + −+ + + −

La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado: ▪ Por la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos polinomios.▪ Por los términos no semejantes de ambos.▪ Realizar las siguientes operaciones de polinomios.

205


a) (3x3 + 2x2 + x + 2) + (5x2 + 4x +10)

b) (6x3 – 3x2 – 2x – 8) + (8x3 + 5x2 + x + 10)

c) (2x + 12) + (6x2 + 6x + 3)

d) (9x3 + 12x2 + 15x +20) – (5x3 + 6x2 – 4x – 10)


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

206


e) (12x2 + 8x – 15) – (3x2 – 3x + 2)

f) (4x2 – 1) + (x3 − 3x2 + 6x – 2)

g) (6x2 + x + 1) – ( 12

x2 + 4)

h) (2x2 + 5) + (x2 + 2)

207


MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Para multiplicar monomios debes tener en cuenta cómo se multiplicaban potencias de la misma base. Recuerda que:

a2 · a5 = a2 + 5 = a7

En general:am * an = am + n

Por ejemplo, si quieres multiplicar los monomios 4ab y 6a2b, no tienes más que multiplicar por un lado los coefi cientes, y por el otro las letras:

4ab * 6a2 b = (4 · 6) (a · a2) (b · b) = 24 · a1 + 2 · b1 + 1 = 24 a3 b2

El producto de monomios es otro monomio que tiene:▪ Como coefi ciente, el producto de los coefi cientes de los monomios dados.▪ Como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las multiplicaciones de potencias de igual base.

Observa que para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes (como ocurría en el caso de la suma).

Otros ejemplos de multiplicación de monomios son:

3xz · 4x2z = (3 · 4) (x · x2) (z · z) = 12x3z2

−5x2y3 · 6xy2 · 2x3 = (−5 · 6 · 2) (x2 · x · x3) (y3 · y2) = −60x6y5

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Efectúa los productos de monomios.

1. (2x3) · (5x3) =

2. (12x3) · (4x) =

3. 5 · (2x2y3z) =

4. (5x2y3z) · (2y2z2) =

5. (18x3y2z5) · (6x3yz2) =

6. (−2x3) · (−5x) · (−3x2) =

Cuando quieras multiplicar dos polinomios que tengan muchos términos, puede serte útil que los multipliques como te muestra el siguiente ejemplo:

3 2

2

3 2

0 6 3

2 5 66 0 36 18

x x x

x xx x x

+ + +

− ++ + +

4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

5 0 30 15

2 0 12 62 5 18 24 21 18

x x x x

x x x xx x x x x

− + − −

+ + +− + − + +

Fíjate que debes colocar los términos ordenados según el grado de cada uno, y después multiplicar término a término.

Cuando te falte el monomio de algún grado, llena el hueco con el monomio de ese grado y coefi ciente 0.El producto de un monomio por un polinomio es igual a otro polinomio cuyos términos se obtie-

nen multiplicando el monomio por cada término del polinomio.▪ El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando

cada término del primero por cada término del segundo, y sumando luego los términos semejantes.

ACTIVIDADACTIVIDADMultiplicar:

1. (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

2. (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

3. (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =

209


DIVISIÓN DE MONOMIOS

Para dividir dos monomios debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base. En gene-ral, am ÷ an = am-n

Por ejemplo, si quieres dividir los monomios 24x4y2z3 y 8xy, no tienes más que dividir por un lado los coefi cientes, y por el otro las letras:

4 2 34 1 2 1 3 0 3 324 24 3

8 8x y z x y z x yz

xy− − −= ⋅ ⋅ =

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Realiza las divisiones de monomios.

1. (12x3) ÷ (4x) =

2. (18x6y2z5) ÷ (6x3yz2) =

3. (36x3y7z4) ÷ (12x2y2) =

4. 3 4 2

2 2 2

63x y zx y z

=

5. 5 4 4 5 10 3

2 3

24 18 486

x y x y x yx y

+ − =

6. 3 5 5 7 12 6

2 2

12 18 483

x y x y x yx y

+ − =

210


El cociente de dos monomios (cuando es posible) es igual a otro monomio que tiene:▪ Como coefi ciente, el cociente de los coefi cientes de los monomios dados.▪ Como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las divisiones de potencias de igual

base.

En general, la división de un polinomio entre un monomio no es posible. Solo podrá realizarse cuando todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio.

Por ejemplo:

2 2 2 212 8 12 8 6 42 2 2

x yz xy x yz xy xz yxy xy xy

− = − = − Si se puede realizar la división.

25 2 1x y xxy− +

No se puede realizar la división, ya que el segundo término y el tercero no se pueden dividir por xy.

211



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▪ En equipos dividan las siguientes expresiones algebraicas1. (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) ÷ (x2 + 3x − 2)=

2. (x6 + 5x4 + 3x2 − 2x) ÷(x2 − x + 3)=

3. (x5 − 2x2 − 3) ÷(x −1)=

4. (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) ÷ (x + 2)=

212


5. (x4 − 3x2 + 2) ÷ (x − 3)=

6. (x3 + 2x + 70) ÷ (x + 4)=

7. (x5 − 32) ÷ (x − 2)=

8. (x4 − 3x2 + 2) ÷ (x − 3)=

213


6.3. SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se indica dentro de estos cual de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a. El lenguaje algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras letras por lo general son las que determinan valores conocidos o datos del problema, (aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos vocablos griegos. En general las letras X; Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la expresión algebraica.

En las matemáticas se emplean numerosas reglas que se simplifi can usando letras; tal es el caso de las fórmulas de perímetros, de áreas, y de volúmenes.

Las fórmulas: son reglas expresadas por medio de símbolos, que resuelven problemas como en aritmé-tica, sólo que los números son sustituidos por letras.

Como ya lo hemos mencionado en las fórmulas, cada letra representa un número, por ejemplo:

Considera que quieres saber qué número sumado a 3 te da 10 o que número multiplicado por 5 te da 30; lo que se hace es plantear una fórmula que nos ayude. En este caso serían las siguientes fórmulas:

Primer caso 3 + x = 10, x será igual a 7Segundo caso (5) (x) = 30, x será igual a 6

Como puedes ver en los dos casos anteriores "x" toma diferentes valores.Existen igualdades que admiten cualquier valor que se pueda dar a las letras que los forman, a este tipo

de igualdad, se le llama identidad.

Las igualdades que admiten sólo algún valor dado a las letras que las forman, son las que conocemos como ecuaciones.

Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera:1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que estaban agrupados

por él no cambian de signo.2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que estaban agrupados

por él cambian de signo.3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los términos semejantes.

Ejemplo{2 * 2[2 + 2(4 + 2)]} Primeramente realizaremos la operación entre paréntesis, en este caso sería 4 + 2 = 6 {2 * 2[2 + 2 (6)]} posteriormente la que se encuentra entre los corchetes en este caso es una suma con multiplicación 2 + 2 = 4 * 6 {2 * 2[24]} como ves el paréntesis ha desaparecido ahora vamos con la que se encuentra entre llaves2 * 2 = 4 * 24 {96} han desaparecido los corchetes por tanto el resultado es 96.

Así de sencillo sólo hay que seguir la jerarquía de los signos.

214


Ejemplo:3a + (4 - b) - (a + c - 5) - (2b + 5b - 2ab)3a + (4 - b) - (a + c - 5) - 2b - 5b + 2ab 3a + (4 - b) - a - c + 5 - 2b - 5b + 2ab 3a + 4 - b - a - c + 5 - 2b - 5b + 2ab 3a - a - b - 2b -5b - c + 2ab + 4 + 5 2a - 8b - c + 2ab +9

215



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▪ Simplifi car, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:1. x – (x – y)

2. x2 + (-3x – x2 + 5)

3. a + b – (-2ª+3)

4. 4m – (-2m – n)

5. a + (a – b) + (-a + b)

216


6. 2ª – [-x + a – 1] – [a + x + 3]

7. (-5m + 6) + (-m + 5)-6

8. 4a + {2a + (3a – 5b)}

9. 4a – {2a + (3a – 5b)}

10. 4a – {2a – (3a – 5b)}

11. 4a + {2a – (3a – 5b)}

217


6.4. VALOR NUMÉRICO Y DESPEJE DE FORMULAS

Se llama valor numérico de una expresión algebraica al número que se obtienes al sustituir cada una de sus variables por el valor que se les halla asignado de antemano, y de efectuar la operación indicada.

Ejemplo: a) Determine el valor numérico de -x2 + 3x – 4, si x = 2 b) Determine el valor numérico de -6ax3y2 si a = 5, x = 1, y = 2

Solución: a) Sustituyendo la “x” por el valor asignado a -x2 + 3x – 4 se obtiene que:-(2)2 + 3(2) – 4= -4 + 6 – 4= -2

Por lo que si x = 2, el valor numérico de, -x2 + 3x – 4 es -2. b.) Sustituyendo las variables a, x, y por los valores asignados, en -6ax3y2 se obtiene que:-6(5) (1)2(-2)2A(x) + B(x)= -120 Por lo que: si a = 5, x = 1, y = 2, el valor numérico de -6ax3y2 es -120.

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Determine el valor numérico correspondiente, en cada una de las siguientes expresiones:

1. -2x2 + ax – b si x = -3, a = -2, b = -7

2. 33 3axxc

+ si x = -1, a = 49, c = 7

3. 3 235

x y z si 1 3 5, ,2 4 3

x y z− −= = =

4. 23 x y z−⋅ ⋅ si 18, 2,4

x y z= − = =

218


FÓRMULAS

Una fórmula es una igualdad matemática que tiene como objetivo casi siempre el calcular alguna cantidad.Ejemplos de fórmulas son:La fórmula del área a de un cuadrado de lados l es a = l * l.La fórmula del área a de un triángulo rectángulo de base b y altura h, es

*2

b ha =

La fórmula de la velocidad media v es v = dt

donde d es la distancia y t el tiempo.

PROBLEMAS DE DESPEJEDada una fórmula, entonces nuestro problema es despejar una de las cantidades participantes dentro de la fórmula.

Lo más importantes del despeje es poder aplicar las reglas de los números reales a la igualdad que nos defi ne la fórmula para “despejar” la cantidad que queremos.Nota 1. De la ecuación a + b = c, sumar el inverso aditivo −b de b, ó restar −b a ambos lados de la ecua-

ción, se suele decir como: b pasa restando al lado contrario de la igualdad, a = c – bNota 2. De la ecuación a · b = c, multiplicar por el inverso multiplicativo 1/b de b, ó dividir entre b a

ambos lados de la ecuación, se suele decir como: b pasa dividiendo al lado contrario de la igualdad, a = c/b.

EjemploProblemas de despeje

De la fórmula dvt

= , despejar la distancia d.

Como dvt

= , entonces d = v * t, multiplicando ambos lados de la igualdad por t.

De la fórmula de aceleración 0v vat

−=

Despejar la velocidad v.Primero multiplicar ambos lados de la igualdad por t, obteniendo at = v − vo.

Sumar ambos lados de la igualdad vo, entonces v = at + vo.

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ De las siguientes formulas despejar la letra que se le indique según sea el caso:

A = b * h despeje b

219


A = *2

b h despeje h

A = *2

D d despeja d

A = (B + b) 2h despeja h

V = Ab * h despeja b

C = Pi * d despeja d

220


6.5. FUNCIONES

CONCEPTOS BÁSICOS

Las funciones matemáticas, en términos simples, corresponden al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Este proceso lógico se aplica a todo lo que tiene relación a un resultado o efecto sea este medible o no en forma cuantitativa.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el valor del consumo mensual de agua potable que depende del número de metros cúbicos consumidos en el mes; el valor de un departamento que depende del número de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edifi cio que depende de la hora del día; el costo de una llamada telefónica que depende de su duración; el costo de enviar una encomienda que depende de su peso; la estatura de un niño que depende de su edad; Las entradas del cine: Función que relaciona el coste de las entradas con el número de personas que van a ver la película.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 → 12 → 43 → 94 → 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.La regla es entonces "elevar al cuadrado":

x → x2

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x → x2 ó f(x) = x2

Así, f (3) signifi ca aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.Entonces f (3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.Consideremos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.a) Correspondencia entre las personas que trabajan en una ofi cina y su peso expresado en kilos

X YMarcela 55Pablo 88Sergio 62Jorge 88René 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X) constituye lo que se llama la entrada o variable indepen-diente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y) constituye lo que se llama la salida o variable dependien-

221


te. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

B) Correspondencia entre el conjunto de los numero reales (variable independiente) y el mismo con-junto (variable dependiente), defi nida por la regla "doble del número más 3".

x → 2x + 3Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

X Y-1 → 10 → 31 → 52 → 7

Estos ejemplos van introduciendo la noción de función: se pretende que todos y cada uno de los ele-mentos del primer conjunto están asociados a un y sólo a un elemento del segundo conjunto. Todos y cada uno signifi ca que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. Un y sólo a un signifi ca que a un mismo elemento en X no le puede corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar la siguiente defi nición formal:Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X exactamente un elemento,

llamado f(x) de un conjunto Y.

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓNHay varias formas de expresar una función:▪ Mediante un enunciado.▪ Mediante una expresión algebraica.▪ Mediante una gráfi ca.

La variable independiente puede ser:▪ Discreta. Si los valores que toma van dando saltos. Su gráfi ca está formada por puntos separados. Por

ejemplo, la variable "número de bolígrafos que compramos en una papelería".▪ Continua. Si los valores que toma no dan saltos. Su gráfi ca está formada por trazos. Por ejemplo, la

variable "peso de una persona".

FUNCIONES Y GRÁFICAS

1. La siguiente gráfi ca describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

222


a) ¿Cuáles son las variables relacionadas? b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje? c) ¿A qué altura se encuentra el nido? d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa? e) ¿Qué altura máxima alcanza el águila en su vuelo? ¿Y la mínima? f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

2. Poner un anuncio por palabras cuesta una cantidad fi ja de $0.50 y $0.05 por cada palabra. a) Haz una tabla de la función "número de palabras-precio".b) Representa gráfi camente los resultados del apartado a). c) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta? d) Encuentra una fórmula que exprese esta función.

Solución a) Tabla de valores:

x 0 1 2 3 4 5 6 y 50 55 60 65 70 75 80

b) Representación gráfi ca:

c) Discreta. d) y = 5x + 50 (céntimos de $)

223


Si dos variables, x y y, están relacionadas de tal forma que, para cada valor asignado a x, queda deter-minado un valor de y, se dice entonces que y esta en función de x. A la variable que se le asignan valores (x) se le denomina variable independiente, pues esta puede tomar cualquier valor; por lo tanto, a la otra se le conoce como variable dependiente, ya que el valor que esta adquiera dependerá del valor que se le asigne a la variable independiente.

Una función responde a una regla en la que se establece la relación existente entre las variables x y y, de tal manera que, conociendo los valores asignados a x, es posible obtener valores para y, y representar estos gráfi camente.

Por ejemplo:

y = 2x +31 = x – 1

En este apartado se representarán, en forma grafi ca, las funciones lineales o de primer grado y las fun-ciones cuadráticas o de segundo grado.

Una función lineal o de primer grado se caracteriza porque el termino x no tiene exponente 1.Ejemplos de este tipo de función son:y = 3x – 1; y = -x + 2; y = -2x - 4; y = 4x + 1, etcétera.

Para obtener la grafi ca de la función y = -2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a continuación.

Función: y = -2x + 5, completa la tabla

X -3 -2 -1 0 1 2 3y 11 9

Si la x vale -3, cuanto vale la y.Y = -2(-3) + 5 Y = 6 + 5 Y = 11Y = -2(-2) + 5 Y = 4 + 5 Y = 9

Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos gráfi camente.

A

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

10-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

B

C

D

E

224


La grafi ca de una función de primer grado se llama también función lineal porque su grafi ca es siempre una línea recta.

Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b, donde m y b pueden tener valores positivos o negativos

Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, ésta se caracteriza por tener el término x con exponente; ejemplos de esta función son:

y = X2 + 5; y = -3x2 + 1; y = 4x2 – 1; y = (x2 – 3), etcétera.

Para obtener la grafi ca de la función y = (x2 – 3), se procede a tabular. Se dan valores a la variable independiente x y, resolviendo las operaciones indicadas, se van obteniendo los valores de la variable dependiente y. Así, se tiene que:

Función y = (x2 – 3), despejamos la x y queda 3x y= + completar la grafi ca.

y 1 2 3 4 5x 2 2.23

Cuando y vale -3, cuanto vale x

1 3 2 2 3 2.23X x= + = = + =

Una vez tabulados los valores, estos se representan gráfi camente de la siguiente manera:

10

1

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6 2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

225


▪ Tabular y grafi car las siguientes funciones:y = 2x + 3 y = 3x – 2 y = 5x + 1 y =

2x

y = 2x

+ 2 x2 = 2y + 4

x2 = y – 5 x2 = y + 6


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

226


227


228


229


EL PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como fi nalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respecti-vamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

-1

10

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

y

x

origen

Eje de las abscisas8 9-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7-8-9 Dos ejes perpendiculares entre sí.

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son

positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son posi-

tivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas. Ejemplos: Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se

requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.

230


-1

10

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

y

x

origen

4 unidades hacia la izquierda

5 unidades hacia la arriba

Eje de las abscisas

Eje de las ordenadas

8 9-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7-8-9

Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5). De lo anterior se concluye que: Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuen-tran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad. Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano. Lo anterior lo podemos expresar en un plano carte-siano de la siguiente manera: Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ En un plano cartesiano encuentra cuatro puntos importantes de la ciudad de Guadalajara.

Encuentra en el plano cartesiano las siguientes coordenadas:(3,2) (-5,7) (0,-4) (-3.6) (6,-3) (10, 6)

231


6.7. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fi jo llamado diferencia que se representa por d.

Diferencia:d = an – an-1

Término general de una progresión aritmética:an = a1 + (n – 1) · dan = ak + (n – k) · d

Interpolación de términosSean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

1b adm

−=−

Suma de n términos consecutivos:

1( )2

nn

a a nS +=

PROGRESIONES GEOMÉTRICASUna progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fi ja r, llamada razón.

Término general de una progresión geométrica:an = a1 · r

n-1

an = ak · rn-k

Interpolación de términos:

1mbra

+=

Suma de n términos consecutivos:

1

1n

na r aS

r⋅ −=−

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente:

1

1aS

r=

−Producto de n términos equidistantes:

1( )nnP a a= ± ⋅

Norte

Sur

EsteOeste-1-1 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

Punto departida

Farmacia(5, 6)

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

232


▪ El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.a4 = 10; a6 = 16

an = ak + (n – k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d; d = 3

a1= a4 – 3d;

a1 = 10 – 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13,...

▪ Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

12 8 20 53 1 4

d − − −= = = −+

8, 3, -2, -7, -12.

▪ El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.a1 = − 1; a15 = 27;

an = a1 + (n – 1) · d

27= -1 + (15 – 1) d; 28 = 14d; d = 2

S = (-1 + 27) 15/2 = 195

▪ Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d = 25º.La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.360 = (a1 + a4) · 4/2

a4 = a1 + 3 · 25

360 = (a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2

a1 = 105/2 = 52º 30' a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30' a4 = 127º 30'

▪ El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

233


(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64d = 8

8, 16, 24.

▪ Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.Término central → x1º → x – d3º → x + dx − d + x + x + d = 27

x = 9

(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511 / 2

d = ± 5 / 2

13 / 2, 9, 23/2

23 / 2, 9, 13/2

▪ El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.a2= 6; a5= 48;

an = ak · rn-k

48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3

3, 6, 12, 24, 48,...

▪ El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el pro-ducto de los 8 primeros términos.a1 = 3; a8 = 384;

11

1

( )1

nn nn n

n

a a r ar S P a aa r−

⋅ −= = = ± ⋅−

384 = 3 · r8-1; r7 = 128; r7 = 27; r = 2.

S8 = (384 · 2 – 3) / (2 − 1) = 765

88 (3 384) 1761 205 026 816P = ⋅ =

▪ Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

234


a = 3; b = 48;

1mbra

+=

4 443 148 16 2 23

r += = = =

3, 6, 12, 24, 48

▪ Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y así su-cesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.

a1= 1 r = 2; n = 20; 1

1n

na r aS

r⋅ −=−

S = (1 · 220-1 – 1) / (2 – 1) = 1048575 €.

235



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.

▪ El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el produc-to de los 8 primeros términos.


▪ Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

▪ Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:1 1 1 11, , , , , ...2 4 8 16

▪ Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

236


▪ Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y así su-cesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.

▪ Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.

▪ Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

▪ Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

▪ Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.


237


6.8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuación es una igualdad literal que sólo es cierta para algunos valores de las letras.La letra o letras desconocidas de una ecuación se llaman incógnitas. En la ecuación x + 2 = 9 la incógnita

es x. La incógnita de una ecuación se puede designar con cualquier letra, pero en general se utiliza la letra x.

Soluciones de una ecuación son los números que la verifi can, es decir, los números que convierten la ecuación en una igualdad de números cierta.

Resolver una ecuación es hallar sus solucionesAsí la ecuación x + 4 = 12 sólo se verifi ca si x = 8. Se dice que 8 es la solución de la ecuaciónTérminos de una ecuación son los sumandos que tienen cada miembro de la ecuación, pueden ser tér-

minos en x, y términos independientes.

Por ejemploLa ecuación: 3x – 1 = x + 3Primer miembro: 3x – 1Segundo miembro: x + 3Términos en x: 3x, xTérminos independientes: -1, 3

Transposición de términos: Pasar términos de un miembro a otro de una igualdad según las siguientes reglas:El término que está sumando en un miembro, pasa al otro restando, y viceversa. Si está multiplicando,

pasa al otro miembro dividiendo, o viceversa

ECUACIONES DE LA FORMA A X + B = C, CON A # 0

Para resolver la ecuación: 2x + 7 = 131) Se deja el término en x en el primer miembro y los términos independientes se pasan al segundo

miembro: 2x = 13 – 72) Se reducen los términos semejantes: 2x = 63) Se despeja la incógnita: x = 6/2 x = 3

238


239



Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

▪ Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno de trabajo y comprueba cómo lo hacen tus compa-ñeros:a) 2x + 8 = 18

b) 3x – 7 = 13

c) 4x – 12 = 8

d) -5x – 20 = 10

240


e) 8x – 40 = 0

f) -4x + 30 = 18

g) 3x – 6 = 0

h) -3x – 2 = 4

241


ECUACIONES DE LA FORMA AX + B = CX + D

Para resolver esta ecuación 6x – 4 = 3x + 2.1) Se pasan todos los términos en x a uno de los miembros de la ecuación, por ejemplo al primero y se

pasan los términos independientes al segundo miembro: 6x – 3x = 2 + 4.2) Se reducen los términos semejantes: 3x = 6.3) Se despeja la incógnita.

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Resolver las ecuaciones siguientes:

a) 2x – 3 = 4x – 7

b) 5x + 4 = 6x + 3

c) 6x – 1 = 8x – 5

d) 3x + 10 = 5x – 6

e) 4x + 1 = 9x – 64

f) 7x + 6 = 9x – 2


Profesor: ___________________________________________________ Calif.: ________________

242


ECUACIONES CON PARÉNTESIS

Para resolver esta ecuación2(7 – x) + 7x = 8 – 5(x – 1) + 8x + 4

1) Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

14 – 2x + 7x = 8 – 5x + 5 + 8x + 42) Se trasponen los términos (los términos en x al primer miembro y los términos independientes al se-

gundo):-2x + 7x + 5x – 8x = 8 + 5 + 4 – 14

3) Se reducen los términos semejantes:2x = 3

4) Se despeja la incógnita:

3 1,52

x = =

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Resuelve las ecuaciones:

3 (x + 6) = 2 (x – 5);

- 3(2x + 5) = -4 (-x + 2);

9 (x – 1) = 6 (x + 3)

5 (-2x + 6) = -3 (-x + 3);

-2 (x + 7) = 2(3x + 9);

-4(3x – 5) = -2 (x – 8)

243


ECUACIONES CON DENOMINADORES

Para resolver esta ecuación:

3 ( 2)1 74 6x x −+ = ⋅

1) Se reduce a común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores:

9 12 14( 2)12 12 12x x −+ =

9x + 12 = 14(x – 2)2) Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

9x + 12 = 14x – 28

3) Se trasponen términos (los términos en x a un miembro y los términos independientes al otro).

9x – 14x = -28 – 12

4) Se reducen términos semejantes:-5x = -40

5) Se despeja la incógnita:

40 85

x −= =−

ACTIVIDADACTIVIDAD▪ Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. 5 7 2 8

2x x− − − = +

2. 3 8 7 95

x x+ − = − +

3. 4 1 4 2 53

x x− + = −

4. 5 1 2 97

x x− + = +

244


5. 4 5 6 2 4

5x x− + + = − +

245

LINKS RECOMENDADOS PARA CONSULTA:http://www.disfrutalasmatematicas.comhttp://www.profesorenlinea.clhttp://algebrabaldor.webcindario.comhttp://math2me.comhttp://matematica.laguia2000.com

VIDEOShttp://www.metacafe.com/watch/3080349/sistemas_de_numeracion/

SISTEMAS DE NUMERACIÓNhttp://www.youtube.com/watch?v=KBv_Z01ge9I&feature=related

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE MEDIDAhttp://www.youtube.com/watch?v=RZ_i833AZ6w&feature=related

DIVISIBILIDADhttp://www.youtube.com/watch?v=jvjib50-gQY

MCM Y MCDhttp://www.youtube.com/watch?v=4zMaEK-2NIE&feature=related

SUMA Y RESTA DE FRACCIONEShttp://www.youtube.com/watch?v=xe8JIPhA1rk

CONTEO PRINCIPIO MULTIPLICATIVOhttp://www.youtube.com/watch?v=XSPWWIGjA4k&feature=related

DIAGRAMA DE ÁRBOLhttp://www.youtube.com/watch?v=yk2Qkn11xFM&feature=related

BIBLIOGRAFÍA

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unidad de aprendizaje: matemáti cas i · acuerdo número 444 por el que se establecen las...

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