Mtodos Numricos ndice de Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Introduccin ........................................................................................................................................ 1 6.1 Mtodos de un paso ..................................................................................................................... 2 6.1.1 Mtodo de Euler ..................................................................................................................... 2 6.1.1.1 Anlisis de Error para El mtodo de Euler ...................................................................... 5 6.1.1.2 Mtodo de Euler Mejorado............................................................................................ 6 6.1.2 Mtodo Para la Serie de Taylor de Orden Superior ............................................................... 7 6.1.3 Mtodo del punto medio (o del polgono mejorado) ............................................................ 8 6.1.4 Mtodo de Runge Kutta ...................................................................................................... 9 6.1.4.1 Mtodos Runge-Kutta de segundo orden ..................................................................... 11 6.2 Mtodos de Pasos Mltiples ...................................................................................................... 16 6.2.1 Mtodo de Heun de No Auto inici ..................................................................................... 17 6.2.2 Mtodos Multi paso de orden superior ............................................................................... 18 6.2.3 Mtodo de Milne .................................................................................................................. 19 6.2.4 Mtodo de Adams de cuarto orden ..................................................................................... 19 6.3 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ..................................................................... 20 6.3.1 Mtodo de Euler ................................................................................................................... 20 6.4 Aplicaciones ................................................................................................................................ 24 Apndices Apndice A Mtodos Investigados ............................................................................................ 32 Apndice B Ejemplos .................................................................................................................. 33 Conclusin ......................................................................................................................................... 46 Bibliografa ........................................................................................................................................ 47 Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 1 Introduccin Losmtodosnumricosnosvuelvenaptosparaentenderesquemas numricosafinderesolverproblemasmatemticos,deingenieray cientficosenunacomputadora,reduciresquemasnumricosbsicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos mtodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que tambin amplia la pericia matemtica y la comprensin de los principios cientficos bsicos.Peroenestavezaplicaremoslomtodosnumricosparaecuaciones diferencialesysusmtodosparalasolucindeproblemasmediantelos mtodosdeunpaso;ascomotambinmediantelosmtodosdePasos Mltiples. Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 2 6.1 Mtodos de un Paso Todoslosmtodosdeunpasosepuedenexpresarenestaformageneral, que slo va a diferir en la manera en la cual se estima la pendiente. Como en el problema del paracaidista en cada, el procedimiento ms simple es usar la ecuacindiferencialparaestimarlapendientederivadaen ix aliniciodel intervalo.Enotraspalabras,lapendientealiniciodelintervaloestomada comounaaproximacindelapendientepromediosobretodoelintervalo. Este procedimiento, llamado mtodo de Euler. 6.1.1 Mtodo de Euler Laprimeraderivadaproporcionaunaestimacindirectadelapendienteen ix ) , (i iy x f = | Donde) , (i iy x f eslaecuacindiferencialevaluadaen ix y iypodrsustituirseenlaecuacinh y yi i| + = +1 endondenosresultarala siguiente ecuacin:( )h y x f y yi i i i, 1 + = + EstafrmulaesconocidacomoelmtododeEuler(odeEuler-Cauchyode puntomedio).Seprediceunnuevovalordeypormediodelapendiente (igualalaprimeraderivadaenelvalororiginalde x )quehabrde extrapolarse en forma lineal sobre el tamao del pasoh Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 3 Enunciado del problema. (Ejemplo) Use el mtodo de Euler para integrar numricamente la ecuacin 5 . 8 20 12 22 3+ + = x x xdxdy Desde0 = x hasta4 = x conuntamaodepaso0.5.Lacondicininicialen 0 = x es1 = y . Recuerde que la solucin exacta la da la ecuacin 1 5 . 8 10 4 5 . 02 3 4+ + + = x x x x y Solucin. Sepuedeusarlaecuacin( )h y x f y yi i i i, 1 + = + paraimplementar el mtodo de Euler: ( ) ( ) ( ) 5 . 0 1 , 0 0 5 . 0 f y y + = Donde( ) 1 0 = y y la pendiente estimada en0 = x es ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 25 . 5 5 . 0 5 . 8 0 . 1 5 . 05 . 8 5 . 8 0 20 0 12 0 2 1 , 02 3= + =

= + + =yf La solucin real en5 . 0 = x es ( ) ( ) ( ) ( ) 21875 . 3 1 5 . 0 5 . 8 2 5 . 0 10 3 5 . 0 4 4 5 . 0 5 . 0 = + + + = y Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 4 Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 5 As, el error es: Et = verdadero - aproximado = 3.21875 - 5.25 = -2.03125 o Expresada como error relativo porcentual,% 1 . 63 . =tePara el segundo paso, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) | | 875 . 5 5 . 0 5 . 8 5 . 0 20 5 . 0 12 5 . 0 2 25 . 55 . 0 25 . 5 , 5 . 0 5 . 0 12 3= + + + =+ = f y y 6.1.1.1 Anlisis de error para el mtodo de Euler LasolucinnumricadelosEDOinvolucradostiposdeerror(recuerdelos captulos 3 y 4): 1.Erroresdetruncamiento,odesratizacin,causadosporlanaturalezadelas tcnicas empleadas para aproximar los valores de y. 2.Erroresderedondeo,quesonelresultadodelnmerolmitedecifras significativas que puede retener una computadora. Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de Truncamiento local que resulta de una aplicacin del mtodo en cuestin sobre un paso sencillo. La segunda es un error de truncamiento propagado que resulta de las aproximacionesproducidasdurantelospasosprevios.Lasumadelosdossel total, o error de truncamiento global. Sepuedeobtenerciertoconocimientoacercadelamagnitudypropiedadesdel error de truncamiento al derivar el mtodo de Euler directamente de la expansin delaseriedeTaylor.Paraello,observequelaecuacindiferencialsujetaa integracin ser de la forma General:) , ( y x f y = Dondey y x ydxdyy , = sonlasvariablesindependientesydependientes, respectivamente.Silasolucin(esdecir,lafuncinquedescribeel comportamientodey)tienederivadascontinuas,puederepresentarseporuna expansin de la serie de Taylor con respecto a los valores de inicio( )i iy x , como en nnni ii i iR hnyhyh y y y + + + + + = +! ! 2 1) (2

Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 6 Donde:= =+ n i iyR x x h1trmino remanente, definido como1) 1 ()! 1 () (++=nnnhnyR Donde est en algn lugar en el intervalo de1 +i ix a x

6.1.1.2 Mtodo de Euler Mejorado Este mtodo se basa en la misma idea del mtodo Euler simple, pero hace un refinamiento en la aproximacin, tomando un promedio entre las pendientes de las rectas tangentes halladas. As,enlagrficavemosquelapendientepromediomcorrespondeala pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de lacondicininicialylarectatangentealacurvaenelpunto ( )1 1, y x , donde 1yeslaaproximacinobtenidaconlaprimerafrmuladeEuler. Finalmente,estarectabisectrizsetrasladaparalelamentehastaelpuntode lacondicininicial,yseconsideraelvalordeestarectaenel punto 1x x =como la aproximacin de Euler mejorada. Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 7 La aproximacin en cada paso queda determinada entonces por la frmula: ( ) ( )hy x f y x fyi yii i i i21 , 1 ,10+ + ++ = + Siendo:( )n n n ny x f h y y , 1 - + = +

6.1.2 Mtodo para la serie de Taylor de orden superior UnamaneraparareducirelerrordelmtododeEulerpodraserlainclusinde trminos de orden superior en la expansin de la serie de Taylor para su solucin. Porejemplo,conlainclusindeltrminodesegundoordensegnlasiguiente ecuacin: ( )2! 2) , (, 1 hy x fh y x f y yi ii i i i+ + = + Un Error de truncamiento local 36) , (hy x fEai i= Aunquelaincorporacindetrminosdeordensuperioreslosuficientemente simple para implementarse en los polinomios, su inclusinno es tan trivial cuando laEDOesmscomplicada.Enparticular,las EDOquesonunafuncintantodela variabledependientecomodelaindependiente,requierendiferenciacinporla regla de la cadena. Por ejemplo, la primera derivada de) , ( y x f es ( )( ) ( )dxdyyy x fxy x fy x fi icc+cc=, ,, La segunda Derivada es: ( )dxdyydxdyyfxfxdxdyyfxffy x fi ic((

|.|

\|||.|

\|cc+ccc+c((

|.|

\|||.|

\|cc+ccc= , Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 8 Lasderivadasdeordensuperiorsehacenmuchomscomplicadas.En consecuencia,comosedescribeenlassiguientessecciones,sehandesarrollado mtodosalternativosdeunpaso,Esosesquemassoncomparablesendesempeo con los procedimientos de la serio de Taylor de orden superior, pero requieren slo del clculo de las primeras derivadas. 6.1.3 Mtodo del punto medio (o del polgono mejorado) OtramodificacinsimpledelmtododeEuler.Conocidocomomtododelpunto medio(odelpolgonomejoradooelmodificadodeEuler),estatcnicausael mtodo de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo (vase la figura siguiente) Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 9 2) , (21hy x f y yi i ii+ =+ Despus, este valor predicho se usa para calcular una pendiente en el punto medio: |.|

\|=+ + +212121,i i iy x f y elcualsetomapararepresentarunaaproximacinvlidadelapendiente promedio para todo el intervalo. Dicha pendiente es usada despus para extrapolar linealmente desde ix hasta1 + ix h y x f yi yii i|.|

\|+ = ++ +2121, 1 Como en la seccin anterior, esto procedimiento podr tambin conectarse con las frmulas de integracin de Newton-Cotes 6.1.4 Mtodo de Runge Kutta ElobjetivodelosmtodosnumricosdeRunge-Kutta,eselanlisisysolucinde losproblemasdevalorinicialdeecuacionesdiferencialesordinarias(EDO),estos sonunaextensindelmtododeEulerpararesolverlas(EDOS),peroconun orden de exactitud ms alto que este. LosmtodosdeRunge-Kutta(RK)logranlaexactituddelprocedimientodeuna Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 10 seriedeTaylorsinrequerirelclculodederivadassuperiores.Existenmuchas variaciones pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuacin ( )h h y x y yi i i i, ,1| + =+ Donde( ) h y xi i, , Aesconocidacomofuncinincremento,lacualpuede interpretarsecomounapendienterepresentativasobreelintervalo.Lafuncin incremento se escribe por lo general como: n nk a k a k a + + + = 2 2 1 1| Donde las a son constantes y las k son: Observequelasksonrelacionesderecurrencia.Estoes, 1kapareceenla ecuacin para 2k , la cual aparece en la ecuacinpara 3k , etc. Como cada k es una evaluacinfuncional,estarecurrenciahacequelosmtodos seaneficientes para clculos en computadora. EsposibleconcebirvariostiposdemtodosRunge-Kuttaalempleardiferentes nmerosdetrminosenlafuncinincrementocomolaespecificadaporn. Observe que el mtodo Rungue-Kutta (RK) de primer orden con1 = nes, de hecho, el mtodo de Euler. Unavezqueseeligen,seevalanlasa,pyqaligualarlaecuacin25.28alos trminosenlaseriedeexpansindeTaylor.As,almenosparalasversionesde Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 11 ordeninferior,elnmerodetrminosnconfrecuenciarepresentaelordendela aproximacin.Porejemplo,losmtodosRKdesegundoordenusanlafuncin incrementocondostrminos Esosmtodosdesegundoordensern exactossilasolucindelaecuacindiferencialescuadrtica.Adems,comolos trminoscon 3h ymayoressoneliminadosduranteladerivacin,elerrorde truncamientolocales yelglobales.Enseccionessubsecuentes desarrollaremos mtodos RK de tercer y cuarto orden Para esos casos, los errores de truncamiento global sony, respectivamente. 6.1.4.1 Mtodos Runge-Kutta de segundo orden. La versin de segundo orden de la ecuacin anterior es: ( )h k a k a y yi i 2 2 1 1 1+ + =+ Donde: ( )( ) h k q y h p x f ky x f ki ii i1 11 1 21+ + = = Al usar la ecuacin debemos determinar losvalores para las constantes a1, a2, p1 y p11. Para ello, recordamos que la serie de Taylor de segundo orden para1 + iy en trminos de ty y ) , (i iy x f esta escrita como: ( )21! 2) , (, hy x fh y x f y yi ii i i i+ + =+ecu. 1 Donde debe determinarse por diferencias usando las reglas de la cadena Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 12 ( )( ) ( )dxdyyy x fxy x fy x fi icc+cc=, ,, ecu. 2 Si sustituimos la ecuacin ecu. 2 en la ecuacin ecu. 1 se tiene1 ( )( ) ( )! 2, ,, 12hdxdyyy x fxy x fh y x f y yi i i i||.|

\|cc+cc+ + = + La estrategia bsica que habr de resaltarse en los mtodos Runge- Kutta es el uso demanipulacionesalgebraicas pararesolverlosvaloresde, locual provoca que las ecuaciones ( )h k a k a y yi i 2 2 1 1 1+ + =+ y la anterior sean equivalentes. Para ello, primero usamosuna serie de Taylor para expandirlaecuacin. ( ) h k q y h p x f ki i 1 11 1 2+ + = LaseriedeTaylorparauna funcin de dos variables se define como: ( ) ( ) +cc+cc+ = + +ygsxgr y x g s y r x e , Si se aplica este mtodo para expandir la ecuacin( )h k a k a y yi i 2 2 1 1 1+ + =+ tiene ( ) ( ) ( )21 11 1 1 11 1, h Oyfh k qxfh p y x f h k q y h p x fi i i i+cc+cc+ = + + Este resultado podr sustituirse junto con la ecuacin( )i iy x f k ,1 =y( )h k a k a y yi i 2 2 1 1 1+ + = para dar Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 13 ( ) ( ) ( ) ( )3 211 221 2 2 1 1, , , h Oyfy x f h q axfh p a y x hf a y x hf a y yi i i i i i i i+cc+cc+ + =+ O, al agrupar trminos, ( ) ( ) | | ( ) ( )3 211 2 1 2 2 1 1, , , h O hyfy x f q axfp a h y x f a y x f a y yi i i i i i i i+((

cc+cc+ + + =+ Ahorasicomparamostrminoscomunesenlasecuacionesanteriores determinamosqueparahacerequivalentesalasdosecuaciones,sedebecumplir lo siguiente: 2121111 12 12 1=== +q ap aa a Lasanteriorestresecuacionessimultaneascontienenlascuatroconstantes desconocidas. Como hay una incgnita ms que el nmero de ecuaciones, no existe unconjuntonicodeconstantesquesatisfaganlasecuaciones.Sinembargo,al suponer un valor para una de las constantes, podemos determinar las otras tres. En consecuencia,existeunafamiliademtodosdesegundoordenmsqueunasola versin. Como tenemos tres ecuaciones con cuatro incgnitas, debemos suponer el valor de una de estas incgnitas para determinar las otras tres. Suponga que especificamos un valor para a2. Entonces se puede resolver de manera simultnea las ecuaciones 25.31 a 25.33 para obtener: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 14 Debido a que podemos elegir un nmero finito de valores para a2, hay un nmero interminabledemtodosRKdesegundoorden.Cadaversinpodradar exactamente los mismos resultados si la solucin de la EDO fuera cuadrtica, lineal ounaconstante.Sinembargo,seobtienendiferentesresultadoscuandola solucin es ms complicada. A continuacin presentamos tres de las versiones ms comnmente y usadas y preferidas: MtododeHeunconsolocorrector(a2=).Sisuponemosquea2es1/2,las ecuaciones(25.34)y(25.35)podranresolverseparaa1=yp1=qI1=1.Estos parmetros, al ser sustituidos en la ecuacin (25.30), dan Donde Observequek1eslapendientealiniciodelintervaloyk2esladelfinal.En consecuencia,estemtodoRunge-Kuttadesegundoordenesdehecholatcnica de Heun sin iteracin. Elmtododepuntomedio(a2=1).Sisuponemosquea2es1, entonces, y la ecuacin es ahora Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 15 Donde Este es el mtodo del punto medio. Mtodo Ralston ( ). Ralston y Rabinowitz determinaron que al seleccionar se obtiene un lmite mnimo sobre el error de truncamiento para los algoritmos de RK de segundo orden. Para esta versin, Donde Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 16 6.2 Mtodos de Pasos Mltiples Losmtodosdeunpasodescritosenlasseccionesanterioresutilizaninformacin enunsolopuntoxiparapredecirunvalordelavariabledependienteyi+1enun puntofuturoxi+1.Procedimientosalternativos,llamadosmtodosmultipaso,se basanenelconocimientodequeunavezempezadoelclculo,setiene informacinvaliosadelospuntosanterioresyestaanuestradisposicin.La curvatura de las lneas que conectan esos valores previos proporciona informacin conrespectoalatrayectoriadelasolucin.Losmtodosmultipasoque exploraremosaprovechanestainformacinpararesolverlasEDO.Antesde describirlasversionesdeordensuperior,presentaremosunmtodosimplede segundoordenquesirveparademostrarlascaractersticasgeneralesdelos procedimientos multi paso. Ilustracin grfica de la diferencia fundamental entre los mtodos para resolver EDO a) de un paso y b) deMulti pasos. Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 17 6.2.1 Mtodo de Heun de No Auto inici Recordemos que el procedimiento de Heun usa el mtodo de Euler como un predictor: h yi xi f yi yyi) , ( 01 =+ Y la regla trapezoidal como un corrector: hy x f y x fy yi i i ii i2) ( ) (01 11+ ++ + + =ec.1 As,elpredictoryelcorrectortienenerroresdetruncamientolocal de y, respectivamente. Esto sugiere que el predictor es el enlace dbil en el mtodo, pues tiene el error ms grande. Esta debilidad es significativa debido aquelaeficienciadelpasocorrectoriterativodependedelaexactituddela prediccin inicial. En consecuencia, una forma para mejorar el mtodo de Heun es medianteeldesarrollodeunpredictorquetengaunerrorlocalde.Estose puedecumpliralusarelmtododeEulerylapendienteen,yunainformacin extra del punto anteriorcomo en: h y x f y yi i i i2 (101= + = +ec.2 Observelaecuacinec.2 alcanza)aexpensasdeemplearuntamaode pasomas grande,2h.Adems,observequelaecuacinec. 1noesdeautoinicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podra no estardisponibleenunproblemacomndevalorinicial.Acausadeello,las ecuaciones son llamadas mtodo deHeun de no auto inici. La derivada estimada delaecuacinselocalizaahoraenelpuntomediomsquealiniciodelintervalo sobreelcualsehacelaprediccin.Comosedemostraradespus,estaubicacin centradamejoraelerrordelpredictoraSinembargo,antesdeprocedera unadeduccinformaldelmtododeHeundenoautoinicio,resumiremosel mtodo y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada: Predictor:Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 18 Corrector: Dondelossuperndicesseagregaronparadenotarqueelcorrectorseaplica iterativamentede1 = j amparaobtenersolucionesrefinadas.Observe que1& i im my ysonlosresultadosfinalesdelasiteracionesdelcorrectoren lospasosdetiempoanteriores.Lasiteracionessonterminadasencualquierpaso de tiempo con base en el criterio de paro: % 100111 1iiii iyy yEa+ =ec. 3 CuandoEaes menor que una tolerancia de error Es prestablecida, se terminan las iteraciones. En este puntom j =6.2.2 Mtodos Multi paso de orden superior Ahoraqueyadesarrollamosdemaneraformallasfrmulasdeintegracinde Newton-.CotesyAdams,podemosusarlasparadeducirmtodosmultipasode ordensuperior.ComoocurriconelmtododeHeundenoautoinici,las frmulasdeintegracinseaplicanenseriecomomtodospredictor-corrector. Adems,silasfrmulasabiertasycerradastienenerroresdetruncamientolocal del mismo orden, es posible incorporar modificadores del tipo listado. Para mejorar laexactitudypermitirelcontroldeltamaodepaso.Proporcionaecuaciones generales para esos modificadores. En la siguiente seccin presentamos dos de los procedimientos multi paso de orden superior ms comunes: el mtodo de Milne y el mtodo de Adams de cuarto orden. Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 19 Mtodo de Milne. ElmtododeMilneeselmscomndelosmtodosmultipasobasadoenlas frmulas de integracin do Ncwton-Cotes. Usa la frmula de Newton-Cotes de tres puntos como un predictor: y la frmula cerrada de Newton-Cotes de tres puntos (regla de Simpson 1/3) como un corrector: Mtodo de Adams de cuarto orden: Un mtodo popular de multi paso basado en las frmulas de integracin de Adams usalafrmuladeAdams-Bashforthdecuartoorden(vaselatabla26.1)comoel predictor: y la frmula de Adams-Moulton de cuarto orden como el corrector: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 20 Los modificadores predictor y corrector para el mtodo de Adams de cuarto orden Podrn desarrollarse a partir de las frmulasy los coeficientes de error. 6.3 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Muchosproblemasprcticosdeingenieraycienciarequierenlasolucindeun sistemadeecuacionesdiferencialesordinariassimultneasmsqueunasola ecuacin. Tales sistemas pueden representarse por lo general como: n nnnny y y x fdxdyy y y x fdxdyy y y x fdxdy = = =2 12 1 222 1 11((( Lasolucindetalsistemarequierequeseconozcanlasncondiciones iniciales en el valor inicial de x. Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 21 Mtodo de Euler. Losmtodosanalizadosanteriormenteparasimplesecuacionespueden extendersealsistemaquesemostroantes.Aplicacionesenlaingenierapueden involucrarmilesdeecuacionessimultneas.Enestecaso,elprocedimientopara resolverunsistemadeecuacionessimplementeinvolucraaplicarlatcnicadeun pasoparacadaecuacinencadapasoantesdeproceder conelsiguiente. Estose ilustra mejor con el siguiente ejemplo para el mtodo de Euler simple. Ejemplo Resolucin de sistemas de EDO mediante el mtodo de Euler Enunciado: Resuelva el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales usando el mtodo de Euler, suponiendo que , y. Integre paracon un tamao de paso de 0.5.

Solucin: Se implemente el mtodo de Euler para cada variable. Observe que, se usa en la segunda ecuacin mas que la calculada con la primera ecuacin. Al proceder de manera similar se tiene: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 22

Nota.- Los metodos usados para la resoluciones de estos sistemas de ecuaciones son los utilizados en las secciones anteriores, por tanto pasaremos a ajustar el tamao del paso directamente, claro esta despues de haber resuelto el sistema mediante uno de los metodos vistos anteriormente Control de tamao de paso. Ahoraquedesarrollamosformasparaestimarelerrordetruncamientolocal,se puede usar para ajustar el tamao de paso. En general, la estrategia es incrementar el tamao de paso si el error es demasiado pequeo y disminuirlo si es muy grande. Press y Cols. (1992) han sugerido el siguiente criterio para cumplir con lo anterior: Dondeh-actualyh-nuevo=tamaodepasoactualynuevo,actual=exactitud actualcalculada,nuevo=exactituddeseada,ya=exponenteconstantequees iguala0.2cuandoaumentaeltamaodepasoy0.25disminuyeeltamaode paso. Elparmetroclaveenlaecuacin25.47esobviamentenuevoyaqueessu vehculoparaespecificarlaexactituddeseada.Unamanerapararealizarlosera relacionarnuevoconunnivelrelativodeerror.Aunqueestofuncionabiensolo cuandoocurrenvalorespositivos,puedecausarproblemasparasolucionesque pasanporcero. Porejemplo,ustedpodraestarsimulandounafuncinoscilatoria querepetidamentepasaporcero,peroestlimitadaporvaloresmximos absolutos. Paratalcaso,podranecesitarestosvaloresmximosparafigurarenla exactitud deseada. Una manera ms general de manejar esos casos es determinar nuevo como: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 23 DondeE=niveldetoleranciaglobal.Sueleccindey-escaladeterminaraentonces comosehaescaladoelerror.Porejemplo,siy-escala=y,laexactitudser manejada en trminos del error relativo fraccional. Si usted trata ahora con un caso donde desee errores relativos constantes a un limite mximoprestablecido, existe ya una y-escala igual a ese lmite. Un truco sugerido por Press y cols. Para obtener los errores relativos constantes excepto aquellos que cruzan muy cerca de cero, es: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 24 6.4 Aplicaciones MtododeEulerydeEulermodificadouncircuitoelctricocontieneuna impedancia,unaresistenciayunacapacidad,laecuacinquerigeesteproblema LRC cuando el sistema no esta sometido a ningn potencial es de tipo: SetomarconcaractersticasdelcircuitounareactanciaLde.4H,R=300yuna capacidad de .001 F. En el tiempo inicial (t=0), la intensidad es de 3A y su derivada (es decir la carga elctrica) de .5A/s. C Solucin Primero se debe transformar este problemaenunconjuntodeecuacionesdeprimerorden.SetomaraQigualala derivada de la intensidad de corriente. Si se utiliza el mtodo deEuler tradicional se tiene que resolver dichas ecuaciones empleando las formulas: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 25 La tabla de resultados obtenida con un paso de .0005 es: Si ahora se utiliza el de Euler modificado las formula son: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 26 Cabe recalcar que el problema se toma muy inestable si ese utilizan valores mas altos para L. Mtodo de Butcher: implcito de segundo orden Sea el siguiente PVI: Y|= .3y+et =f(t , y) Y(0) = 1 Resuelva este problema utilizando el mtodo de Runge-Kutta de 2do orden construido a partir de la matriz de Butcher siguiente: Solucin: Cabe sealar que el esquema anterior es implcito al ser una matriz A densa. Aplicando las formulas genricas de Runge-Kutta de segundo orden al arreglo de Butcher anterior queda: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 27 Sustituyendoenlafuncinfporlaexpresindelejemplo,quedaelsiguiente algoritmo de clculo: Ntese que ahora es necesario resolver un sistema de ecuaciones en K1 y K2 para cada paso de tiempo. Se empiezan los clculos con i=0, t=0, y0=1, es decir el valor inicial y se supone un valor del paso temporal h=0,1. La secuencia de los clculos consiguientes se resumen en la tabla a continuacin. Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 28

Sistema de ecuaciones rgidas y estabilidad (SisRigid) Sea el siguiente sistema acoplado de ecuaciones diferenciales de primer orden: Coya escritura en forma matricial conduce a: Solucin: Para hallar una solucin analtica del problema es necesario diagonalisar la matriz A o desacoplar el sistema de ecuaciones mediante una transformacin similar. Para Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 29 esto, se requiere calcular los auto valores y los auto vectores de la matriz A. los auto valores vienen dado al hace el determnate de |A-I| igual a cero, lo que resulta en la siguiente ecuacin cuadrtica: Y el matiz de los auto vectores correspondientes es: Por lo tanto, mediante el siguiente cambio de variables: Se transforma el sistema anterior de uno desacoplado: Y la solucin analtica es ahora inmediata: Unidad VI Solucin de Ecuaciones Diferenciales Portillo Contreras Misael ISC Grupo 1Pgina 30 Que al sustituir las variables originales y las condicionales iniciales, queda finalmente: Si se grafica y1 vs. t, se observan dosescalas de tiempo, t1 y t11 en donde el primero termino de la solucin, e-11.1t, permanece prcticamente constante a la largo de t1 y decae luego lentamente en un intervalo de tiempo 0