6.1 Fundamentos de ecuaciones diferenciales Se llama ecuacin diferencial a aquella ecuacin que contiene derivadas.Si la ecuacin solo tiene una sola variable independiente recibe el nombre de ecuaciones diferencialesOrdinarias (EDO). Si la ecuacin contiene ms de una variable independiente, apareciendo as sus derivadasParciales, recibe el nombre de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Se llama orden de una ecuacin diferencial al orden de la mayor derivada que aparezca en ella. Se llama grado de una ecuacin diferencial al grado de la derivada de mayor orden que aparezca en ella. Se llama solucin general de una ecuacin diferencial a toda relacin entre las variables, libres de derivadas, que satisface dicha ecuacin diferencial.Por lo comn, la solucin general de una ecuacin diferencial de ordenntienenconstante.Integrar o resolver una ecuacin diferencial es hallar su solucin general. Se llama solucin particular de una ecuacin diferencial a aquella solucin que se obtienena partir de la solucin general, dando valores a las constantes.

6.2 Mtodos de un pasoMtodos de un paso: Mtodo de Euler, Mtodode Euler mejorado y Mtodo de Runge-Kutta

Mtodo de EulerUna de las tcnicas ms simples para aproximar soluciones de una ecuacin diferencial es el mtodo de Euler o de las rectas tangentes.

Este se obtiene de considerar una aproximacin lineal a la para la solucin exacta Y (x) del problema de valor inicial.

La aproximacin lineal de Y 0(x) se representa como:

de donde, despejando Y (x + h) obtenemos:

Denotando Y (x+h) como yn+1 y f[x, y(x)] por f(xn, yn) obtenemos la frmula del mtodo de Euler.

Mtodo de Euler Mejorado:

Mejora el clculo de la pendiente, utilizando dos puntos (inicial y final de cada intervalo) para luego obtener un promedio, es decir:

Mtodo de Runge-Kutta:

Los mtodos de Runge-Kutta extienden la frmula general de los mtodos de un paso, utilizando el siguiente.

donde: (xi, yi, h) se denomina funcin incremento y representa una aproximacin de la pendiente del intervalo [xi, xi+1]. Dicha aproximacin se calcula como una combinacin lineal de las pendientes en puntos especficos del intervalo.

6.3 Mtodos de pasos mltiplesSe considera el problema de valores iniciales (P.V.I.) 8