Unidad 5 Derivacin e integral numrica 5.1 Derivacin numrica.Consideremos una funcin f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1),...,(xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la funcin en un punto x que en principio no tiene por qu coincidir con alguno de los que guran en los datos de que disponemos. La forma ms sencilla de resolver el problema de la diferenciacin numrica consiste en estimar la derivada utilizando frmulas obtenidas mediante la aproximacin de Taylor, que se denominan frmulas de diferencias nitas. Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciacin numrica es inestable. Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisicin de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciacin como veremos a lo largo de ste captulo.Frmulas de diferencias de dos puntos

Este proceso de paso al lmite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones prcticas donde no se conozca la forma explcita de f(x). En primer lugar un lmite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde los nmeros que se manejan son nitos. A pesar de todo es de esperar que si la funcin f(x) no se comporta mal y h0 es un nmero nito pero pequeo se cumpla:

Es ms, la misma definicin de la derivada implica que si f(x) existe, entonces hay algn h0 a partir del cual nuestra aproximacin dista menos de una cantidad del valor real para la derivada. El problema es que esto slo es cierto con precisin innita ya que h0 puede ser tan pequeo que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f(x + h0) f(x) est seriamente afectada por el error de redondeo.La ecuacin (2.1) es la forma ms sencilla de aproximar una derivada conocidas f(x) y f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona informacin sobre la precisin de esta aproximacin.Teorema. Sea f(x)C1(a, b) y existe f(x) en (a, b), entonces se cumple que:

Demostracin. Escribamos la aproximacin de Taylor para la funcin en un punto x+h:

Reordenando la expresin anterior queda demostrado el teorema.El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada primera por su frmula de diferencia adelantada es una funcin lineal de h. Cuanto menor sea h (o sea al tomar valores de f(x) ms cercanos) la derivada numrica ser ms precisa. Este error se denomina error de truncacin o discretizacin y puede acotarse fcilmente, obtenindose que: E mx(x,x+h)|f(z)|. En realidad, para datos obtenidos a partir de una tabla esta acotacin no es de gran utilidad directa ya que si no se conoce la derivada primera menos an se conocer la segunda pero al menos nos permite conocer el orden de aproximacin de la frmula.Geomtricamente el error O(h) procede del hecho de aproximar la derivada por la pendiente de la cuerda que une los puntos f(x) y f(x + h), Por otro lado, si existe la derivada deben existir las derivadas laterales y entonces

Un problema que presenta esta frmula es que la precisin de la misma es baja y por lo tanto en situaciones donde slo dispongamos de un muestreo de baja precisin de f(x), como ocurre en ensayos, datos experimentales, etc., ser conveniente utilizar otras frmulas de derivacin ms precisas.Frmulas de orden superiorEl error de truncacin de la frmula de diferencia adelantada de dos puntos vara linealmente con h, de manera que es necesario usar valores de h muy pequeos para reducir suficientemente los errores de truncacin. Es posible deducir frmulas para las derivadas con errores de truncacin ms pequeos. Por ejemplo, tomemos

donde z1(x, x + h) y z2(x h, x). Restando (2.1a) y (2.1a) obtenemos

Que nos proporciona una siguiente aproximacin para la derivada con un trmino de error de truncacin que depende cuadrticamente de h. Usando el teorema del valor intermediof(z) = (f(z1) + f(z2))/2, y entonces, sifes suficientemente derivable.

Usando los desarrollos de Taylor de f(x+h) y f(x+2h) se encuentra la llamada frmula de diferencia adelantada de tres puntos que es:

Reemplazando h por h en (2.3) obtenemos una frmula de diferencias retrasadas de tres puntos

De todas estas, la frmula de diferencia centrada es la que tiene, en principio, menor error de truncacin y la que requiere menos evaluaciones de la funcin, siendo por lo tanto ms eciente desde el punto de vista computacional.Utilizando el valor de la funcin en ms puntos se construyen frmulas ms precisas para las derivadas. Alguna de ellas se muestra en la tabla siguiente junto con las que hemos deducido ya.

Derivadas de orden superiorEl mismo procedimiento que se ha seguido al deducirfrmulaspara calcularnumrica- mente las derivadas primeras puede usarse para construir derivadas de orden superior partiendo del desarrollo de Taylor y eliminando las derivadas primeras. Consideremos por ejemplo las expresiones:

Sumando las ecuaciones anteriores y despejando se encuentra que:

Procediendo de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen diferentes puntos y aproximaciones para derivadas de orden superior. La tabla siguiente presenta algunas de lasfrmulasms comunes para calcular derivadas de orden superior.

5.2 Integracin numrica: Mtodo del trapecio, Mtodos de Simpson 1/3 y 3/8.En los cursos de Clculo Integral, nos ensean como calcular una integral definida de una funcin continua mediante una aplicacin del Teorema Fundamental del Clculo:Teorema Fundamental del ClculoSea f(x) una funcin continua en el intervalo [a,b] y seaF(x)una anti derivada def(x). Entonces:

El problema en la prctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la antiderivada requerida, an para integrales aparentemente sencillas como:

la cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Clculo.REGLA DEL TRAPECIOCorresponde al caso donden=1, es decir :

dondef1(x)es un polinomio de interpolacin (obviamente de grado 1) para los datos: xab

yf(a)f(b)

sabemos que este polinomio de interpolacin es:

Integrando este polinomio, tenemos que:

Que es la conocidaRegla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretacin geomtrica que le podemos dar a la frmula. El polinomio de interpolacin para una tabla que contiene dos datos, es una lnea recta. La integral, corresponde al rea bajo la lnea recta en el intervalo [a,b], que es precisamente el rea del trapecio que se forma.

REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIOSuponemos que tenemos los datos: axmb

f(a)f(xm)f(b)

donde xmes el puntomedio entrea y b.En este caso se tiene que:

Dondef2(x)es el polinomio de interpolacin para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de LaGrange.As, tenemos que:

Si denotamosh= (b-a)/2 = xm-a = b-xm,entonces:

Simplificando trminos:

Vemos que cada uno de los trminos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x-)(x-).As, calculamos la siguiente integral por partes:

Obteniendo,por lo tanto,

Usamos esta frmula para calcular la integral de cada uno de los tres trminos de f2(x) y obteniendo como resultado final

Debido al factor h/3 se le conoce como laregla de Simpson de un tercio.En la prctica, sustituimos el valor de h = (b-a)/ 2para obtener nuestra frmula final:

REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOSEste caso corresponde a n=3 , es decir,

donde f3(x) es un polinomio de interpolacin para los siguientes datos:x0 x1x2x3

f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)

Y donde a= x0, b= x3y x1, x2son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo[a,b].Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolacin de Lagrange, y usando el mtodo de integracin por partes se llega a la siguiente frmula:

donde h = (b-a) / 3. Debido al factor 3h / 8es que se le dio el nombredeReglade Simpson de 3/8. En la prctica, se sustituye el valor dehpara obtener:

5.3 Integracin con intervalos desiguales.Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa una combinacin de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerrquico:1 .-Simpson3/8 Esta se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados.2 .- Simpson1/3 Esta se aplica si falla (1) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados.3 .- Regla Trapezoidal Solo se aplica si no se cumple(1)y(2)EjemploEvaluar1usando la siguiente tabla:x0 0.10.30.50.70.951.2

f(x)06.8444.25.515.771

Solucin.Vemos que en el intervalo [0,0.01]podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7] la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo [0.7,1.2] la regla de Simpson de 1/3. As, tenemos las siguientes integrales:

Finalmente, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores:

5.4 Aplicaciones.Mtodo del trapecioEjemplo 1:Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral:

Solucin.Usamos la frmula directamente con los siguientes datos:

Por lo tanto tenemos que:

Mtodo de Simpson 1/3Ejemplo 1.Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral:

Solucin.Aplicamos la frmula directamente, con los siguientes datos:

Por lo tanto, tenemos que:

Mtodo de Simpson 3/8Ejemplo 1.Aproximar la siguiente integral:

aplicando la regla de Simpson de 3/8, y subdiviendo en 3 intervalos.SolucinIdentificamosn=3 y la particin correspondiente:

Al considerar los puntos que dividen en tres partes iguales a cada subintervalo, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo todos los datos en la frmula, obtenemos:

De acuerdo a los ejemplos vistos, resulta evidente que la regla de Simpson de 3/8, es ms exacta que la de 1/3 y a su vez, sta es ms exacta que la regla del trapecio. En realidad, pueden establecerse cotas para los errores que se cometen en cada uno de estos mtodos.

Sntesis:La principal idea que subyace en las tcnicas de derivacin numrica est muy vinculada a la interpolacin y se podra resumir en lo siguiente: Si de una funcin f(x) se conocen sus valores en un determinado soporte de puntos, puede aproximarse la funcin f(x) por otra funcin p(x) que la interpole en dicho soporte y sustituir el valor de las derivadas de f(x) en un punto x* por el valor de las correspondientes derivadas de p(x) en dicho punto x*. Esta idea tan simple deber sin embargo ser analizada con detalle pues su aplicacin sin mayores consideraciones puede conducir a errores no admisibles. Puesto que entre las distintas tcnicas de interpolacin existentes se han abordado en temas precedentes las tcnicas de interpolacin polinmica de Lagrange, nos centraremos aqu en las frmulas obtenidas a partir de esta forma de interpolar. No obstante conviene indicar que para otras tcnicas de interpolacin podran disearse tcnicas de derivacin numrica de forma anloga a como se plantearn las recogidas en este tema.Una de las primeras frmulas que nos permiten aproximar una derivada primera tiene sus races en los comienzos del clculo diferencial en el siglo XVII. En ese entonces el concepto de lmite no estaba desarrollado de forma explcita y la primera derivada de una funcin f(x) en el punto x* se consideraba como el valor del cociente incremental:

Cuando h era suficientemente pequeo. Una vez que, en el siglo XIX, se formaliz el concepto de lmite se pudo proceder a definir la primera derivada de una funcin f(x) en x* mediante la conocida expresin:

Snchez Rodrguez Diego Antonio

Sntesis De muchas funciones con las que se trabaja en la prctica no se conoce su expresin analtica y tan slo se dispone de su valor en un conjunto de puntos (llamado soporte por analoga con la terminologa utilizada en los temas de interpolacin). No obstante, en ocasiones es necesario proceder al clculo del valor de alguna derivada de tales funciones en un punto concreto. Es obvio que en este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada (pues se desconoce la expresin de la funcin). Surge as la conveniencia de disear mtodos numricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una funcin en algn punto a partir del conocimiento de los valores de la funcin en un soporte dado. Los mtodos que estn desarrollados con este fin muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresin analtica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante frmulas numricas suficientemente precisas. Ejemplo de ello son el mtodo de la secante o, ms generalmente, los mtodos de cuasi Newton detallados en el estudio de mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones no lineales. Es ms, muchas de las tcnicas de derivacin numrica que se abordarn en este tema estn en la base de diferentes mtodos utilizados para la resolucin de ecuaciones diferenciales, es decir de ecuaciones en las que intervienen derivadas de funciones incgnita. Es el caso, por ejemplo, de los llamados mtodos en diferencias finitas

Guzmn Gutirrez Jos Manuel

Unidad 6Ecuaciones diferenciales ordinarias6.1 Fundamentos de ecuaciones diferencialesUnaecuacin diferenciales unaecuacinen la que intervienenderivadasde una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en Ecuaciones: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.Una ecuacin diferencial es una ecuacin que incluye expresiones o trminos que involucran a una funcin matemtica incgnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuacin diferencial ordinaria, donderepresenta una funcin no especificada de la variable independiente, es decir,,es la derivada decon respecto a.La expresinEs una ecuacin en derivadas parciales.A la variable dependiente tambin se le llama funcin incgnita (desconocida). La resolucin de ecuaciones diferenciales es un tipo deproblema matemticoque consiste en buscar una funcin que cumpla una determinada ecuacin diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un mtodo especfico para la ecuacin diferencial en cuestin o mediante una transformada (como, por ejemplo, latransformada de Laplace).Orden de la ecuacinEl orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial se denominaorden de la ecuacin.Grado de la ecuacinEs la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin, siempre y cuando la ecuacin est en formapolinmica, de no ser as se considera que no tiene grado.Ecuacin diferencial linealSe dice que una ecuacin es lineal si tiene la forma, es decir:Ni la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.En cada coeficiente que aparece multiplicndolas slo interviene la variable independiente.Unacombinacin linealde sus soluciones es tambin solucin de la ecuacin.Ejemplos:Es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones, conkun nmero real cualquiera.Es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, conaybreales.Es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, conaybreales.

6.2 Mtodos de un paso: mtodos de Euler, mtodo de Euler mejorando y mtodo de runge-kuttaEnmatemticaycomputacin, elmtodo de Euler, llamado as en honor deLeonhard Euler, es un procedimiento deintegracin numricapara resolverecuaciones diferenciales ordinariasa partir de un valor inicial dado.Elmtodo de Euleres el ms simple de losmtodos numricosresolver un problema del siguiente tipo:

Consiste en multiplicar los intervalos que va deaensubintervalos de ancho; sea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto depuntos:del intervalo de inters. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

.La condicin inicial, representa el puntopor donde pasa la curva solucin de la ecuacin del planteamiento inicial, la cual se denotar como.Ya teniendo el puntose puede evaluar la primera derivada deen ese punto; por lo tanto:

Grafica A.Con esta informacin se traza una recta, aquella que pasa pory de pendiente. Esta recta aproximaen una vecinidad de. Tmese la recta como reemplazo dey localcese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a. Entonces, podemos deducir segn la Grfica A:

Se resuelve para:

Es evidente que la ordenadacalculada de esta manera no es igual a, pues existe un pequeo error. Sin embargo, el valorsirve para que se aproximeen el puntoy repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesin de aproximaciones siguiente:

Mtodo de Euler MejoradoEste mtodo se basa en la mismaideadel mtodo anterior, pero hace un refinamiento en la aproximacin, tomando un promedio entre ciertas pendientes.La frmula es la siguiente:

Donde

Para entender esta frmula, analicemos el primer paso de la aproximacin, conbaseen la siguiente grfica:

En la grfica, vemos que la pendiente promediocorresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condicin inicial y la "recta tangente" a la curva en el puntodondees la aproximacin obtenida con la primera frmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condicin inicial, y se considera el valor de esta recta en el puntocomo la aproximacin de Euler mejorada.El mtodo de runge-kuttaElmtodo de Runge-Kuttaes un mtodo genrico de resolucin numrica deecuaciones diferenciales. Este conjunto de mtodos fue inicialmente desarrollado alrededor del ao1900por los matemticosC. RungeyM. W. Kutta.Los mtodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de mtodos iterativos (implcitos y explcitos) para la aproximacin de soluciones deecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.Sea

Una ecuacin diferencial ordinaria, condondees un conjunto abierto, junto con la condicin de que el valor inicial de sea

Entonces el mtodo RK (de ordens) tiene la siguiente expresin, en su forma ms general:,Dondehes el paso por iteracin, o lo que es lo mismo, el incrementoentre los sucesivos puntosy. Los coeficientesson trminos de aproximacin intermedios, evaluados en de manera local

concoeficientes propios del esquema numrico elegido, dependiente de laregla de cuadraturautilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explcitos o implcitos dependiendo de las constantesdel esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,para, los esquemas son explcitos.

6.3 Mtodos de pasos mltiplesLos mtodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan informacin en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados mtodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el clculo, se tiene informacin valiosa de los puntos anteriores y est a nuestra disposicin. La curvatura de las lneas que conectan esos valores previos proporciona informacin con respecto a la trayectoria de la solucin. Los mtodos multipaso que exploraremos aprovechan esta informacin para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un mtodo simple de segundo orden que sirve para demostrar las caractersticas generales de los procedimientos multipaso.

El mtodo de Heun de no autoinicio

Recordemos que el procedimiento de Heun usa el mtodo de Euler como un predictor:

Y la regla trapezoidal como un corrector:

ec.1

As, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local dey, respectivamente. Esto sugiere que el predictor es el enlace debil en el mtodo, pues tiene el error ms grande. Esta debilidad es significativa debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la prediccin inicial. En consecuencia, una forma para mejorar el mtodo de Heun es mediante el desarrollo de un predictor que tenga un error local de. Esto se puede cumplir al usar el mtodo de Euler y la pendiente en, y una informacin extra del punto anteriorcomo en:

ec.2

Observe la ecuacin ec. 2 alcanza) a expensas de emplear un tamao de paso ms grande, 2h. Adems, observe que la ecuacin ec. 1 no es de auto inicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podra no estar disponible en un problema comn de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones 26.11 y 26.12 son llamadas mtodo de Heun de no auto inici.Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada de la ecuacin 26.12 se localiza ahora en el punto medio ms que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la prediccin. Como se demostrara despus, esta ubicacin centrada mejora el error del predictor aSin embargo, antes de proceder a una deduccin formal del mtodo de Heun de no auto inicio, resumiremos el mtodo y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:

Predictor:Corrector:Donde los superndices se agregaron para denotar que el corrector se aplica iterativamente de j=1 a m para obtener soluciones refinadas. Observe queson los resultados finales de las iteraciones del corrector en los pasos de tiempo anteriores. Las iteraciones son terminadas en cualquier paso de tiempo con base en el criterio de paro:

ec. 3

Cuandoes menor que una tolerancia de error Es preestablecida, se terminan las iteraciones. En este punto

6.4aplicaciones en la ingenieraLas ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de laingenierapara el modelado de fenmenos fsicos. Su uso es comn tanto enciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (fsica,qumica,biologa) omatemticas, como eneconoma.Endinmica estructural, la ecuacin diferencial que define el movimiento de una estructura es:

DondeMes lamatrizque describe lamasade la estructura,Ces la matriz que describe elamortiguamientode la estructura,Kes lamatriz de rigidezque describe larigidezde la estructura,xes vector de desplazamientos [nodales] de la estructura,Pes el vector de fuerzas (nodales equivalentes), ytindica tiempo. Esta es una ecuacin de segundo orden debido a que se tiene el desplazamientoxy su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.La vibracin de una cuerda est descrita por la siguiente ecuacin diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

Dondees el tiempo yes la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuacin se le llamaecuacin de onda.

Sntesis La inmensa mayora de las ecuaciones diferenciales no se pueden resolver de forma analtica explcita, por lo que resulta esencial disear algoritmos numricos que permitan hallar una aproximacin numrica precisa. Los esfuerzos de investigacin en este sentido han proporcionado un vasto abanico de esquemas numricos que permiten hallar soluciones aproximadas para una gran variedad de ecuaciones diferenciales. Adems, hoy en da uno puede elegir entre una amplia despensa de software que proporcionan resultados precisos y ables en periodos de tiempo moderadamente cortos. No obstante, todos esos paquetes y los mtodos que subyacen tienen sus limitaciones, y quienes los utilizan deben ser capaces de reconocer cuando el software trabaja correctamente y cuando genera resultados espurios.Lo cierto es que los mtodos esenciales que vamos a considerar raramente se utilizan en la prctica, incluso para ecuaciones diferenciales relativamente sencillas, puestas que existen mtodos ms sosticados, especializadas y verstiles. Pero cualquier desarrollo avanzado se construye sobre esquemas bsicos y las ideas que subyacen de stos

Snchez Rodrguez Diego Antonio

SntesisLos problemas representativos con los que se enfrenta un analista numrico de ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen ya en las ecuaciones de primer orden ms simples. Nuestro objetivo es calcular una aproximacin a 3 la solucin para el problema de Cauchy:

Donde y(t) es una funcin real denida en un intervalo I, y f(t, y) es una funcin denida en I R. Por el bien de la simplicidad, centraremos nuestra atencin en el caso escalar; sin embargo, todas las frmulas y resultados se pueden adaptar a sistemas de primer orden solo con reemplazar las funciones escalares y(t) y f(t, y) por funciones vectoriales. Por otra parte, sabemos que las ecuaciones diferenciales de orden superior se reducen a sistemas equivalentes de primer orden. Por no ser objeto de este tema, no entraremos a estudiar en profundidad los diferentes resultados tericos que aseguran, bajo ciertas hiptesis, la existencia, unicidad o regularidad de las soluciones de los problemas de Cauchy. No obstante recordamos a continuacin uno de los teoremas clsicos de existencia y unicidad.

Guzmn Gutirrez Jos Manuel