unidad 5 diseño de engranes rectos 6
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5.10.- Tren de Engranes Planetarios
La sección previa fue concerniente con trenes de engranes ordinarios, esto es, trenes
en la cual cada engrane rota con respecto al centro que está fijo a la tierra.
Trenes de engranes ordinarios tienen un grado de libertad.
En contraste a un tren ordinario, un tren de engranes planetario (epicíclico)
puede suministrar 2 grados de libertad. Esto se hace liberando uno de los centros
de engranes en la figura 7.18a.
De la figura 7.18b, el engrane 3 es llamado engrane planeta, porque su centro no
está fijo a la tierra. En vez de esto, el engrane orbita semejante a la tierra
alrededor del sol. El engrane 2 es llamado engrane sol, porque su centro está fijo a
la tierra y es orbitado por el planeta.
Engranes planetas, tales como 3 giran sobre un eje que está fijo a un brazo giratorio,
también llamado carrier o araña.
5.11.- Velocidad Angular de Engranes Planetarios
1.- Cuerpo 2 respecto a la tierra 21 .
1 2
21
Los trenes de engranes
planetarios tienen los siguientes
giros:
2.- Cuerpo 4 respecto a la tierra 41 .
3.- Cuerpo 3 respecto a la tierra 31 .
4.- Cuerpo 3 respecto al brazo 34 .
4 41
3
31
34
1.- Cuerpo 2 respecto a la tierra 21 .
1 2
21
También los trenes de engranes
planetarios tienen las siguientes
velocidades angulares:
2.- Cuerpo 4 respecto a la tierra 41 .
3.- Cuerpo 3 respecto a la tierra 31 .
4.- Cuerpo 3 respecto al brazo 34 .
4 41
3
31
34 34
41
31
21
21
Como los trenes de engranes
planetarios tienen 2 grados de
libertad, podemos dar 21 y 41 ,
y calcular 31 y 34 .
41
31
34
31 : Rotación del Planeta con Respecto a la Tierra
41
B VB
r4
r2
r3
= 41 ( r2 + r3 )
nota: El cuerpo 2 se fija a
la tierra para simplificar
los cálculos, así, 21 = 0 .
= 41 r4
Igualando:
31 r3 = 41 ( r2 + r3 )
r
rr 41
3
3231
(1)
VB = 41 ( r2 + r3 )
31
B VB = 31 r3
r3
También:
A
CIR
centro instantáneo de rotación
Se tiene entonces:
41
3
231 1
r
r
VB = 31 r3
34 : Rotación del Planeta con Respecto al Brazo
La longitud del arco
A-A’ es igual a:
L1 = 41 r2
41 r2
A
A’
L1
L1
A
r3 34
El punto A viaja la
misma distancia en
el engrane 3:
L1 = 34 r3
41 r2
A
A’
L1
L1
A
r3 34
derivando respecto al
tiempo:
34 r3 = 41 r2
Tenemos:
L1 = 41 r2
L1 = 34 r3
Igualando :
34 r3 = 41 r2
41
3
234
r
r
(2)
Despejando 34 :
El paso diametral es el número de dientes del engrane por
diámetro de paso ( radio de los círculo de paso):
D
NP
Para que dos engranes se acoplen, deben tener el mismo paso
diametral , así:
3
3
2
2
r2
N
r2
NP
3
2
3
2
r
r
N
N
Se escribe ecuaciones (1) y (2) en función del número de
dientes:
41
3
231 1
r
r
41
3
234
r
r
(3)
(4)
Relaciones entre las dos Velocidades Angulares
De (4) tenemos:
3
2
41
34
N
N
Sustituyendo en (3):
41
41
34
31 1
41
3
2 1N
N
41
3
2
N
N
344131
41
41
34
31 1
La ecuación (5) declara que la velocidad del engrane 3 es
igual a la velocidad del brazo 4, mas la velocidad de 3
respecto a 4.
(5)
5.12.- El Método de la Fórmula
El tren de engranes planetario es la configuración más
simple posible: un engrane sol, un engrane planeta y un
brazo.
Desafortunadamente, trenes útiles son raramente simples. En
general, un tren de engranes planetarios empleará más de
tres engranes y el análisis será más complicado.
Se derivará una fórmula de razón de engranes para trenes
simples y se extenderá para trenes de engranes más reales.
344131 (5)
De manera similar se puede escribir:
244121
De la ecuación (5) se tiene:
Despejando 34 y 24 :
413134
412124
La razón entre 34 y 24 se calcula como:
4121
4131
24
34
Ec. (6) es la razón entre 3 y 2 medidos desde cuerpo 4 que
se considera en ese momento como fijo ( tierra ). Esto es una
inversión cinemática y se puede ver que la razón de 34 a 24
es la misma como la razón de trenes de engranes ordinarios
de 3 a 2 . Usando :
(6)
Despejando 34 y 24 :
impulsados engranes de dientes de número de Producto
impulsores engranes de dientes de número de Producto
F
L
La ecuación (6) se escribe como:
3
2
24
34
N
N
El signo menos indica que los engranes rotan en sentido
opuesto.Este signo se determina viendo como giran los cuerpos.
(7)
Igualando (6) y (7) para la razón de velocidad se tiene:
3
2
4121
4131
24
34
N
N
Una expresión más general es:
impulsadosengraneslosddientesdenúmerodeloductoPr
impulsoresengraneslosddientesdenúmerodeloductoPr
AF
AL
FA
LA
e
e
L = last F = firts A = arm
LA .- velocidad angular del último engrane relativo al brazo
FA .- velocidad angular del primer engrane relativo al brazo
L .- velocidad angular absoluta del último engrane
F .- velocidad angular absoluta del primer engrane
A .- velocidad angular absoluta del brazo
Ejemplo1. Determine la razón del tren para el tren epicíclico
mostrado, siendo el brazo la entrada con una velocidad de 1 rpm y
el sol la salida. El engrane corona se mantiene estacionario. Sol. 3
Ejemplos de Trenes de Engranes Planetarios
Ejemplo 2. La figura muestra un engranaje planetario del tipo
compuesto, considerando los siguientes datos, encontrar la
variable representada por el signo de interrogación. N2 = 30, N3
= 25, N4 = 45, N5 = 50, N6 = 200, ω2 = ?, ω6 = 20, ωbrazo = -
50. ω en rpm y N es número de dientes. Sol. 790 rpm
Ejemplo 4. La figura muestra un engranaje planetario utilizado
en una caja diferencial trasera de auto. El vehiculo tiene ruedas
con radio de rodamiento de 15 in y corre hacia adelante en línea
recta a 50 mph. El motor gira a 2 000 rpm. La caja de
transmisión esta en marcha directa (1:1) con el eje de
transmisisón principal. A) cual es la velocidad en rpm delas
ruedas traseras y la relación de velocidad entre el engrane anular
y el piñón. Sol. 560.2 rpm y 3.57 a 1.