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Tema 5. Lenguaje algebraico y ecuaciones de primer grado: operaciones elementales, función lineal y sistema de ecuaciones En el presente bloque se han dado las leyes de los signos así como las reglas de jerarquía que se aplican a las operaciones básicas con números. También se han visto algunos patrones de un conjunto de números llamados sucesiones mediante expresiones generales y se han definido relaciones entre diversas cantidades o magnitudes mediante el factor de proporcionalidad. El siguiente paso es expresar las magnitudes o cantidades que no se conocen o simplemente la relación de éstas mediante el uso de cualquier símbolo o letra (a, b, c, d, e,…, x, y, z, w,…). El álgebra ayuda a expresar cantidades o magnitudes mediante símbolos o letras y a trabajar con ellas aplicando cada una de las reglas o leyes de las operaciones básicas y signos.

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A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

A continuación se presentan ejemplos donde se explica por qué se utiliza el álgebra. a) ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero si sus lados miden 3

cm? R. El perímetro del triángulo equilátero es igual a 3 x 3 = 3 + 3 + 3 = 9 cm, debido a que se obtiene sumando la longitud de cada uno de sus lados. En este ejemplo existen dos variables, una es el perímetro y la otra es la medida de la longitud del lado del triángulo equilátero. Si el perímetro se expresa con la letra “P” y la longitud del lado del triángulo equilátero con la letra “l”, la relación entre el perímetro y la longitud del lado del triángulo se expresa como lP ×= 3 . Ahora, si se tiene un polígono regular de “n” lados, los cuales miden “l” y perímetro “P”, la relación entre el perímetro, la longitud y número de lados se expresa como lnP ×= . Por ejemplo la relación entre el perímetro y la longitud de los lados de los primeros tres polígonos regulares se muestra en la figura de la derecha, en donde “n” toma los valores de 3, 4 y 5 respectivamente.

b) ¿Cuál es la expresión algebraica del perímetro del polígono irregular si las longitudes de sus lados están en función de las variables “x” e “y” dadas en centímetros? Si y=1.5 cm, x=3 cm, ¿cuál es su perímetro?

R. El perímetro de cualquier figura plana es igual a la suma de la longitud de sus lados, de tal manera que si se expresa el perímetro con la letra “P”, éste estará dado por:

P=(4x+2y)+(2y)+(4x-3y)+(2x-y)=10x

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Si y=1.5 cm y x=3 cm el perímetro es: P = 10x(3)= 30 cm

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la región sombreada? Si x=12 centímetros, ¿cuál es área del rectángulo sombreado?

R. La relación que existe entre el área de un rectángulo y la longitud de sus lados, se expresa algebraicamente de la siguiente manera,

hbA ×= , donde “b” es la base y “h” la altura del rectángulo. El área total de rectángulo sombreado es igual .3248)16)(23( +=+ xx Si x=12 cm, el área del rectángulo sombreado es igual a 48(12)+32= 576+32=608 2cm . d) A Mónica le dieron $30 para comprar un jabón, con lo que sobrara debía comprar frijol. Si el precio del jabón es de $9 y le dieron un kilogramo y medio de frijol, ¿cuál es el precio de un kilogramo de frijol? R. Como el precio del kilogramo de frijol no se conoce, se expresa mediante un símbolo o letra, en este caso se elige la letra “x”. El precio del frijol (“x”), por 1.5 kg, más $9 del jabón deben sumar $30, lo cual se expresa algebraicamente como:

1.5x+9=30 Para determinar el valor del precio por kilogramo de frijol se recomienda hacer lo siguiente:

Algoritmo 1 Paso 1. Se resta el número 9 a ambos lados de la igualdad.

1.5x+9-9=30-9 1.5x=21

Paso 2. Se dividen ambos lados de la igualdad por el número 1.5. 51

215151

...

=x

Paso 3. El precio por kilogramo de frijol es de 14 pesos.

14=x

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S

De este ejemplo se desprende la solución de una igualdad donde se desconoce una de sus variables. Si se tiene una ecuación de la forma ax+b=c, donde “a”, “b”, “c” son números conocidos y “x” es la variable o magnitud desconocida, el valor de “x” está dado por:

abcx −

=

En el ejemplo anterior a=1.5, b=9 y c=30, por lo que el valor de “x” es igual a:

1451

2151

930==

−=

−=

..abcx

En algunos problemas se desconoce más de una magnitud o variable, esto hace necesario buscar las soluciones de ambas variables para determinar los valores de éstas, por ejemplo: María y Jesús están esperando su primer hijo y quieren construir una pequeña habitación para cuando nazca su bebé. Sin embargo, no cuentan con el dinero suficiente para cubrir los gastos del material en un solo pago, por lo que decidieron comprarlos semanalmente. La primer semana compraron dos sacos de cemento y tres de cal, en total invirtieron $275, posteriormente gastaron $750, con esto compraron 6 sacos de cemento y 6 de cal. ¿Cuál es el precio del saco de cemento y de cal? Si “x” y “y” representan el precio por saco de cemento y de cal respectivamente, las dos inversiones hechas por José y María se expresan algebraicamente de la siguiente manera:

2 ecuación 750661 ecuación 27532

↔=+↔=+

yxyx

Para determinar el costo del saco de cemento y de cal (valores de “x” y “y”) se pueden seguir cualquiera de los siguientes dos procedimientos llamados “métodos de sustitución”:

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Algoritmo 2 (método de sustitución) Procedimiento 1 Procedimiento 2

Paso 1. Se encuentra el valor de la variable “x” en la ecuación 1 aplicando el algoritmo 1.

23275 yx −

=

Paso 1. Se encuentra el valor de la variable de “y” en la ecuación 2 aplicando el algoritmo 1.

66750 xy −

=

Paso 2. Se sustituye el valor “x” encontrado en la ecuación 2.

750632753

75062

32756

75066

=+−

=+

−

=+

yy

yyyx

)(

Paso 2. Se sustituye el valor “y” encontrado en la ecuación 1.

2756750212

2756

675032

27532

=−+

=

−

+

=+

)( xx

xx

yx

Paso 3. Se realizan las operaciones necesarias para llegar a una ecuación de la forma ay+b=c.

750382575069825

7506)3275(3

=−=+−

=+−

yyy

yy

Paso 3. Se realizan las operaciones necesarias para llegar a una ecuación de la forma ax+b=c.

27537527533752

=+−=−+

xxx

Paso 4. Se determina el valor de “y” usando el algoritmo 1.

253

753825750

=−−

=−−

=y

Paso 4. Se determina el valor de “x” usando el algoritmo 1.

1001

1001375275

=−

−=

−−

=x

Paso 5. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones para determinar una ecuación de la forma ax+b=c.

2757522752532

=+=+

xx )(

Paso 5. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones para determinar una ecuación de la forma ay+b=c.

275320027531002

=+=+

yy)(

Paso 6. Se determina el valor de la variable “x” usando el algoritmo 1.

x=100

Paso 6. Se determina el valor de la variable “y” usando el algoritmo 1.

y=25

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A

S

Si se despejan cada una de las dos ecuaciones con respecto a la variable “y”, se tiene lo siguiente:

2 ECUACIÓN O ECUACIÓN SEGUNDA1256

7506

1 ECUACIÓN O ECUACIÓN PRIMER 69132

32752

↔+−=+−

=

↔+−=+−

=

xxy

xxy .

Como existe una relación entre las dos variables, es posible realizar una tabla que exprese esto:

“x” 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 “y” 1ª. 85 78.3 71.7 65 58.3 51.7 45 38.3 31.7 25 “y” 2ª. 115 105 95 85 75 65 55 45 35 25

En la última columna de la tabla se puede observar que se tiene el mismo valor para las dos ecuaciones, es decir, si el costo del saco de cemento es de $100, el saco de cal costará $25. Si se hace la gráfica de ambas ecuaciones se puede ver que las dos rectas se intersecan cuando el valor de la variable “x” es 100 y el de la variable “y” es 25.

Cuando se hacen las gráficas de las rectas del sistema de ecuación y se localiza el punto donde se intersecan (solución), se está utilizando el método gráfico, que también se puede aplicar cuando hay más de dos ecuaciones. De esta manera se determina si un sistema de ecuaciones tiene o no solución.

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Siempre hay una solución No existe solución La gráfica muestra tres rectas que se cortan en un punto en común, el cual representa la solución.

La gráfica muestra tres rectas que no se cortan en ningún punto en común.

Si hay ecuaciones de la forma y=ax+b se tiene que: a) Dos o más ecuaciones de una recta pertenecen a la misma familia de rectas paralelas si el coeficiente (a) es igual para estas ecuaciones. Por ejemplo: las rectas mostradas en lado derecho de la tabla anterior (a=2).

122212

−=+=+=

xyxyxy

b) Cuando dos o más ecuaciones de una recta cuentan con el mismo valor para la constante (b), se dice que éstas pertenecen a un HAZ de rectas con intersección en el punto b. Por ejemplo: las rectas mostradas en lado izquierdo de la tabla anterior (b=3).

33333

−=−−=−−=

xyxyxy